Cinétique et dynamique d'un système continu de matière

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     Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec, pour système continu de matière, un système d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» ; de plus si le contenu du système reste inchangé $\;{\big (}$aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion${\big )}$, le système est dit « fermé » $\;{\big [}$sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable $\;\left(\Sigma \right)\;$ dite « de contrôle »${\big ]}$.

     Les cas de systèmes continus de matière d'expansions surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» de masse surfacique «$\;\sigma (M)={\dfrac {dm}{dS}}(M)\;$» ou linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$» de masse linéique «$\;\lambda (M)$ $={\dfrac {dm}{d{\mathit {l}}}}(M)\;$» ne sont pas développés car il suffit de faire les remplacements suivants :

• « le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ » par « le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\sigma (M)\;dS_{M}\right]\;$ de l'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ » ou par « le pseudo-point $\;M\,\left[dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\;$ de l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ » puis
• « l'intégrale volumique définissant la grandeur cinétique ou dynamique $\;{\mathcal {Y}}\;$ associée à l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ à partir de sa densité volumique $\;y(M)=$ ${\dfrac {d{\mathcal {Y}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$ à savoir $\;{\mathcal {Y}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}y(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » par « l'intégrale surfacique définissant la grandeur cinétique ou dynamique $\;{\mathcal {Y}}\;$ associée à l'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à partir de sa densité surfacique $\;y_{s}(M)=$ ${\dfrac {d{\mathcal {Y}}}{dS}}(M)\;$ à savoir $\;{\mathcal {Y}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}y_{s}(M)\;dS_{M}\;$ » ou par « l'intégrale curviligne définissant la grandeur cinétique ou dynamique $\;{\mathcal {Y}}\;$ associée à l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ à partir de sa densité linéique $\;y_{\mathit {l}}(M)=$ ${\dfrac {d{\mathcal {Y}}}{d{\mathit {l}}}}(M)\;$ à savoir $\;{\mathcal {Y}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}y_{\mathit {l}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ».

Cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

     Dans le cas général le système continu de matière est déformable et

     dans le cas où il est fermé et « indéformable » il définit un « solide $\;{\big (}$au sens de la mécanique${\big )}\;$».

Masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

     La masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» est une grandeur scalaire $\;>0\;$ caractérisant l'inertie du système et définie selon

«$\;m_{\text{syst}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$».

     Remarque : Si le système est fermé, sa masse ne varie pas c'est-à-dire «$\;m_{\text{syst}}=cste\;$» $\;{\big \{}$mais il est possible que son volume varie par le fait que l'expansion tridimensionnelle se déforme en occupant plus ou moins d'espace, correspondant alors à une masse volumique au point générique $\;\searrow \;$ ou $\;\nearrow {\big \}}$.

Centre d'inertie (ou centre de masse) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

     Le centre d'inertie $\;{\big (}$ou centre de masse${\big )}\;$ du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» est le barycentre $\;G\;$ des positions instantanées des pseudo-points $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ affectés de leur masse élémentaire $\;dm$, sa définition mathématique s'écrivant

«$\;G\;$ tel que $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» $\;{\big (}G\;$ est donc un point fictif${\big )}$.

     Propriété : avec $\;O\;$ représentant une position quelconque, «$\;G\;$ est tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» $\;{\big (}$de par la définition, $\;G\;$ est indépendant de $\;O{\big )}$.

     Propriété : Justification : introduisant la position $\;O\;$ dans la définition, on obtient «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]\,\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,{\overrightarrow {OG}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{m_{\text{syst}}}}={\dfrac {\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}{\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$».

Résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

     La résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$», en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est notée, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$ $\;{\big [}$ou, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {P}}(t){\big ]}\;$ et définie comme la somme continue des quantités de mouvement de chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ soit, en notant $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de résultante cinétique en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou encore, ;
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : Si le système est fermé, c'est-à-dire s'il n'y a ni entrée ni sortie de matière, l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des pseudo-points le constituant ;

     Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée $\;(\Sigma )$, $\;m_{\text{syst}}\;$ pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :

     Remarque : si le système est ouvert, $\;\succ \;$par entrée ou sortie de pseudo-points accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et $\;{\big (}$ou${\big )}$

     Remarque : si le système est ouvert, $\;\succ \;$par modification du mouvement des pseudo-points initialement présents.

     Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle${\underline {\;\left({\mathcal {V}}\right)}}$ : La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est liée au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans lequel
$\;m_{\text{syst}}\;$ est la masse du système et
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

                 Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : Choisissant un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)$, est tel que $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ;

                        Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient $\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left(\!{\dfrac {\partial {\overrightarrow {OM}}}{\partial t}}\!\right)_{\!\!\!M}\!(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {V}}_{M}(t)\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$, le 2^ème membre définissant la résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, C.Q.F.D..

                 Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est donc, au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O

Définition du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O

     Le vecteur moment cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un point $\;O$ $\;{\big (}$a priori quelconque${\big )}\;$ est la somme continue des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$, définie à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à ce même point $\;O\;$ soit, en notant $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O,\,{\text{volum}}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!O,\,{\text{syst}}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de moment cinétique vectoriel du système en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$, ou encore, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O,\,{\text{volum}}}(M,\,t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$ dans lequel $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$ est la densité volumique de résultante cinétique en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$ « le vecteur résultante cinétique volumique en $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
soit encore «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

     Soit $\;\left(O\,,\,O'\right)\;$ deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ suit la relation suivante

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$.

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {OM_{i}}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\;$ et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit $\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}\right]\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {O'M}}\wedge \wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme $\;{\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)\;$ et on factorise vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OO'}}\;$ dans le 1^er terme $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]=$ ${\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'où la R.Q.F.D..

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque $\;O\;$ et le C.D.I. $\;G\;$ du système continu est le plus couramment utilisé à savoir «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système continu, à l'instant $\;t$, par rapport à un point $\;O\;$ quelconque dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant $\;t$, par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à $\;O$, du point fictif $\;G\;$ de quantité de mouvement $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$».

Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude

     Considérant le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right){\big \}}$, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ vaut, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\\{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right\rbrace \;$ où, le système continu étant en translation, «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)$ $=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» et «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» puis, par factorisation vectorielle à droite «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système continu soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» et
«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ $\;={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$».

Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude

Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle

Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ imposé, avec précision du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C

     Soit $\;A\;$ un point quelconque de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ du point matériel $\;M\;$ avec $\;A\neq C\;$ centre du cercle décrit par $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec le vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au point $\;A\neq C\;$ de son axe de rotation, noté $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ est défini par

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$» ou «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» ;

     y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$, on obtient $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$ nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel soit $\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {AC}}(t)+{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ par utilisation de la relation de Chasles ou encore, en notant $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire de $\;\Delta$, on peut écrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\quad {\text{ainsi que}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)={\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {CM}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\cancel {+\;{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)=\;{\cancel {{\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\;+}}\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ car $\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où $\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}={\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)$, soit encore, en notant $\;R\;$ le rayon du cercle $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)=R^{2}\;\;\forall \;t$, l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$en mouvement circulaire de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point $\;A\;$ de l'axe de rotation $\;\neq \;$ du centre $\;C\;$ du cercle

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=m\;R^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AC}}\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$».

Expression du vecteur moment cinétique d’un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ

Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire, au même instant $\;t$, le vecteur moment cinétique volumique du système en $\;M\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)=\mu (M)\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\mu (M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;$, avec $\;H\;$ centre de rotation de $\;M\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;r\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M$, le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ étant la somme continue des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ ; on en déduit donc $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\mu (M)\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\mu (M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ou, après distribution de l'intégration sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1^er ou 2^ème terme,

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]$» ;

     en notant «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» exprimée en $\;kg\cdot m^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$ $\;{\big [}$il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^re étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et

     repérant $\;M\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big [}$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ «$\;\left(r,\,\theta ,\,z\right)\;$» $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$,

     le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$».

Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « axe principal d'inertie du système »

     Pour tout $\;A$, point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et passant par $\;A$,
     on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation $\;\left\lbrace \left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}$, orthogonales entre elles, telles que

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)\;$ soit $\;\parallel \;$ à l'axe de rotation $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$» du système c'est-à-dire telles que
«$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH_{k}}}\;{\overrightarrow {H_{k}M}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» avec $\;H_{k}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)$,
$\Downarrow$
«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{p,\,k}}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{p,\,k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r_{k}^{\,2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» dans laquelle $\;r_{k}=H_{k}M$,
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$ définissant un « axe principal d'inertie du système issu de $\;A\;$»,
$\;J_{\Delta _{p,\,k}}\;$ étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$ passant par $\;A\;$».

     Remarque : Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux $\;\perp$, d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$», en rotation autour d'un axe issu de $\;A\;$ ayant l'une des trois directions précédentes, « soit $\;\parallel \;$ au vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point $\;A$, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine $\;A\;$ mais $\;\ldots$

     Remarque : un axe quelconque $\;\left(\Delta \right)\;$ peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points $\;A\;$ c'est-à-dire que le 2^ème terme du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)\;$ du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, à savoir «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;\perp \left(\Delta \right)\;$», peut être non nul pour tous les points $\;A\in \left(\Delta \right)\;$.

     Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : Pour plus de détails voir les paragraphes « complément, notion d'axes principaux d'inertie d'un système continu de matière » et « complément, moments principaux d'inertie de quelques solides homogènes » du chap.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;

     Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ayant un axe de symétrie de révolution $\;\left(\Delta \right)\;$ autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on vérifie la relation «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)$ $=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{\,2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» dans laquelle $\;r=HM\;$ établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en $\;H_{n}$, à la position $\;M_{n,\,\theta }\;$ correspond une position unique $\;{M'}_{n,\,\theta }\;$ symétrique de $\;M_{n,\,\theta }\;$ par rapport à $\;H_{n}\;$ c'est-à-dire tel que $\;{\overrightarrow {H_{n}{M'}_{n,\,\theta }}}(t)=-{\overrightarrow {H_{n}M_{n,\,\theta }}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\mu (M_{n,\,\theta })\;{\overline {AH_{n}}}\left[{\overrightarrow {H_{n}M_{n,\,\theta }}}(t)+{\overrightarrow {H_{n}{M'}_{n,\,\theta }}}(t)\right]={\vec {0}},\;\;\forall \;\theta ,\;\;\forall \;n\;$» d'où la propriété énoncée en intégrant sur $\;\theta \;$ à $\;H_{n}\;$ fixé utilisant $\;{\big (}$une seule fois${\big )}\;$ toutes les positons du plan de section droite coupant l'axe en $\;H_{n}\;$ puis sur $\;H_{n}\;$ pour décrire toutes les sections droites.

Moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ

     Le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» par rapport à l'axe $\;\Delta$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant $\;t$, dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de l'axe soit

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\;t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\;t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;\forall \;A\;\in \;\Delta$.

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c'est-à-dire en vérifiant la propriété «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle entre $\;A\;$ et $\;A'\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» et on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;$» R.Q.F.D. ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts $\;A\;$ et $\;A'\;$ quelconques sur l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous pouvons poser $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque d'un axe $\;\Delta$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\;{\cancel {{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;+}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ d'où
     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» en notant $\;H_{G}\;$ le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ soit, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle $\;A\;$ et d'axe orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ d'où les coordonnées cylindro-polaires de $\;G$ $\;\left(r_{G}\,,\,\theta _{G}\,,\,z_{G}\right)$ $\;{\big [}$avec pour base cylindro-polaire liée à $\;G$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)=r_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ et par suite «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;$» ou, en notant $\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t$,

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$.

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$, $\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe et $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où
     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ainsi que $\;{\overrightarrow {HM}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;M$, «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}\;$» et enfin l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit principal d'inertie ou non.

Énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle

     L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme continue des énergies cinétiques de tous les pseudo-points $\;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$, définies au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit, en notant $\;K_{\text{volum}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {dK}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique d'énergie cinétique en $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,

«$\;K({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou,
la densité volumique d'énergie cinétique s'exprimant encore selon
«$\;K_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,2}(M,\,t)}{2\;\mu (M)}}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec
$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;$ « la densité volumique de résultante cinétique du système en$\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
«$\;K({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,2}(M,\,t)}{2\;\mu (M)}}\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$».

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right){\big \}}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}}\;$ et reconnaissant $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=m_{\text{syst}}\;$ dans l'autre facteur

«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$»
ou encore, avec $\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$».

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» de masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t),\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta {\big \}}\;$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou, en injectant l'expression du vecteur vitesse de $\;M$, «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou encore, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$ et en reconnaissant dans l'autre facteur $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$

«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ est la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$
ou encore, avec $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$, $\;J_{\Delta }=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ étant le moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta \right)$,
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {\sigma _{\!\Delta }^{\,2}({\text{syst. en rot.}})}{2\;J_{\Delta }}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$».