Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Cinétique et dynamique d'un système continu de matière
Chapitre no 4
Leçon : [[|Cinétique et dynamique d'un système continu de matière]]
Chap. préc. :
[[../Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels/]]
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Cinétique et dynamique d'un système continu de matière : Cinétique et dynamique d'un système continu de matière Cinétique et dynamique d'un système continu de matière », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec, pour système continu de matière, un système d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable dite « de contrôle ».
Les cas de systèmes continus de matière d'expansions surfacique «» de masse surfacique «» ou linéique «» de masse linéique «» ne sont pas développés car il suffit de faire les remplacements suivants :
« le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] » par « le pseudo-point de l'expansion surfacique [2] » ou par « le pseudo-point de l'expansion linéique [3] » puis
« l'intégrale volumique définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion tridimensionnelle à partir de sa densité volumique à savoir [4] » par « l'intégrale surfacique définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion surfacique à partir de sa densité surfacique à savoir [5] » ou par « l'intégrale curviligne définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion linéique à partir de sa densité linéique à savoir [6] ».
Cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
La masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du système et définie selon
Remarque : Si le système est fermé, sa masse ne varie pas c'est-à-dire «» mais il est possible que son volume varie par le fait que l'expansion tridimensionnelle se déforme en occupant plus ou moins d'espace, correspondant alors à une masse volumique au point générique ou .
Centre d'inertie (ou centre de masse) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
Le centre d'inertie ou centre de masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est le barycentre des positions instantanées des pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [1] affectés de leur masse élémentaire , sa définition mathématique s'écrivant[7]
La résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme continue[8] des quantités de mouvement de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] au même instant soit, en notant la densité volumique de résultante cinétique en dans le référentiel à cet instant ,
«»[4],[9] ou encore, ; «»[4],[10],[11] avec le vecteur vitesse de à l'instant dans .
Remarque : Si le système est fermé, c'est-à-dire s'il n'y a ni entrée ni sortie de matière, l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des pseudo-points le constituant ;
Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée , pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :
Remarque : si le système est ouvert, par entrée ou sortie de pseudo-points accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et ou
Remarque : si le système est ouvert, par modification du mouvement des pseudo-points initialement présents.
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I[12]. du système au même instant dans le même référentiel selon
«»[10] dans lequel est la masse du système et le vecteur vitesse de à l'instant dans .
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration[13] : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I[12]. du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est tel que [4] ;
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [4],[14] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, [4], le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , C.Q.F.D[15]..
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétiquedu système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», définie à l'instant dans le référentiel , est donc, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I.[12] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.
Moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O
Le vecteur moment cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[16] est la somme continue[8] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1], définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [17] soit, en notant la densité volumique de moment cinétique vectoriel du système en dans le référentiel à cet instant , ou encore, dans lequel est la densité volumique de résultante cinétique en dans le référentiel à cet instant ,
«»[4],[9],[18] avec « le vecteur résultante cinétique volumique en dans au même instant », soit encore «»[4],[10],[18] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante
«»[9] dans laquelle «» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .
Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles[19] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[20] soit [4] dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [21] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D[22]..
Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I[12]. du système continu est le plus couramment utilisé à savoir «»[9] ;
Remarque : le moment cinétique vectoriel du système continu, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I[12]. du système dans le même référentiel , «» et Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude
Considérant le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, «» dans lequel «[4] où, le système continu étant en translation, «» et «»[4] puis, par factorisation vectorielle à droite[21] «»[4] par définition du C.D.I[12]. du système continu soit
Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [23] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C
Soit un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel avec centre du cercle décrit par dans le référentiel avec le vecteur rotation instantanée , le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté est défini par
y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [23], à savoir [24],[25], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[26] soit avec par utilisation de la relation de Chasles[19] ou encore, en notant le vecteur unitaire de , on peut écrire car est à , d'où , soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matérielen mouvement circulaire de centre, de rayon et de vecteur rotation instantanée[23] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un pointde l'axe de rotation du centre du cercle
Expression du vecteur moment cinétique d’un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ
Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)
Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique volumique du système en de l'expansion tridimensionnelle dans par rapport à sous la forme [27],[10], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système étant la somme continue[8] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] ; on en déduit donc [4] ou, après distribution de l'intégration sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,
en notant «»[4],[28] exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1re étant sa masse et
repérant par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [29],
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon
Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « axe principal d'inertie du système »
Pour tout , point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude et passant par , on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation , orthogonales entre elles, telles que
« soit à l'axe de rotation » du système c'est-à-dire telles que «»[4],[31] avec le projeté orthogonal de sur , «»[10] avec «»[4] dans laquelle , définissant un « axe principal d'inertie du système issu de »[32], étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par ».
Remarque : Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point quelconque, «», en rotation autour d'un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, « soit au vecteur rotation instantanée », c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine[33] mais
Remarque : un axe quelconque peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points c'est-à-dire que le 2ème terme du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée , à savoir «», peut être non nul pour tous les points [34].
Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ayant un axe de symétrie de révolution autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point quelconque de , on vérifie la relation «» avec «»[4] dans laquelle établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «»[4] car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en , à la position correspond une position unique symétrique de par rapport à c'est-à-dire tel que «» d'où la propriété énoncée en intégrant sur à fixé utilisant une seule fois toutes les positons du plan de section droite coupant l'axe en [35] puis sur pour décrire toutes les sections droites.
Moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ
Le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» par rapport à l'axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un pointquelconque de l'axe soit
Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectifc'est-à-dire en vérifiant la propriété «» ;
Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[37] entre et soit «»[9] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[38] «»[39] R.Q.F.D[22]. ;
Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «»[40] dans lequel « d'où Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par «» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41] «» en notant le projeté orthogonal de sur l'axe soit, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par d'où les coordonnées cylindro-polaires de avec pour base cylindro-polaire liée à , [29] et par suite «» ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant [9],
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «»[4],[43],[10],[30] dans lequel «»[4] est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par «»[4] ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[38] ainsi que à , «»[4] et enfin l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué
«» que l'axe soit principal d'inertie[44] ou non[10].
Énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
L'énergie cinétique, à l'instant , du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» dans le référentiel d'étude est la somme continue[8] des énergies cinétiques de tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [1], définies au même instant , dans le référentiel [45] soit, en notant la densité volumique d'énergie cinétique en dans le référentiel à cet instant ,
«»[4],[9],[46] ou, la densité volumique d'énergie cinétique s'exprimant encore selon «» avec « la densité volumique de résultante cinétique du système en dans au même instant », et « le vecteur vitesse de dans au même instant », «»[4],[10].
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant , du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , s'évaluant selon «»[4] soit, en factorisant par et reconnaissant [4] dans l'autre facteur
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que avec [25], s'évaluant selon «»[4],[45],[30] ou, en injectant l'expression du vecteur vitesse de , «»[4],[30] ou encore, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41] «»[4] soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur [4]
«»[10] ou «»[10] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de ou encore, avec [10], [4] étant le moment d'inertie du système relativement à , «»[10].
Référentiel barycentrique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et cinétique associée
Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le référentiel barycentriqueou du centre de massedu système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est le référentiel lié au C.D.I.[12] du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».
Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .
Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude en la considérant comme composée de deux mouvements :
Intérêt de son introduction : un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant , à , ce mouvement considérant le système à l'instant comme un solide et
Intérêt de son introduction : un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide lié au C.D.I[12]. ;
Intérêt de son introduction : le solide s'identifie au référentiel barycentrique , ce dernier étant lié à , en translation de vecteur vitesse relativement au référentiel d'étude ;
Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à
Intérêt de son introduction : celle du mouvement du C.D.I[12]. dans le référentiel d’étude et
Intérêt de son introduction : celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.
Grandeurs cinétiques barycentriques du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est la somme continue[8] des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les pseudo-points du système[1] soit
«»[4],[9] avec la densité volumique de résultante cinétique barycentrique du système ou encore, en cinétique classique, «»[4],[10].
Propriété : «»[10] car «»[10] d'une part et «» d'autre part ; on en déduit «»[4],[10].
Moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque
Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué en un point quelconque «» est la somme continue[8] des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les pseudo-points du système[1] par rapport au même point au même instant soit
«»[4],[9] avec la densité volumique de vecteur moment cinétique barycentrique du système par rapport à ou encore, «[4],[9]»[4],[10].
Propriété : «» est indépendant du point origine et simplement noté «»[10] en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points et distincts on obtient «»[9] avec [10] d'où «»[10].
Énergie cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» «» est la somme continue[8] des énergies cinétiques barycentriques de tous les pseudo-points du système[1] au même instant soit
«»[4],[9] avec la densité volumique d'énergie cinétique barycentrique du système ou encore, en cinétique classique, «»[4],[10].
Les théorèmes de Kœnig ou König[47] permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
Le moment cinétique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un point quelconque «» est la somme
du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «»[48] évalué à l'instant et
du moment cinétique vectoriel du C.D.I[12]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même point en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude[37] et l'appliquant entre un point quelconque et le C.D.I[12]. du système, on peut donc écrire «»[10] dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude ;
il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig[47], à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I.[12] du système, à l'instant , dans le référentiel d'étude, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant , c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant , dans le référentiel barycentrique , lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I[12]. du système, soit encore à établir «» ;
pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[49], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[50], le mouvement d'entraînement du centre d'un pseudo-point[1] quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement de vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre de pseudo-point s'écrit «»[49] puis, en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[20] dans le membre de droite «», enfin en faisant la somme continue[8] sur «»[4], « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant [4] en factorisant vectoriellement à droite par [21] soit »[4] par définition du C.D.I[12]. du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle d'où finalement «» R.Q.F.D[22]..
Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)
Le mouvement général d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» indéformabledéfinissant un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé
d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[12]. du système et
d'une rotation[51] autour de son C.D.I[12]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide ;
l'application du 1er théorème de Kœnig[47] à nous conduit à «» dans lequel
provient du mouvement de translation de relativement à cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point fixe dans , dans ce cas on parlerait de moment cinétique orbital et
, dû à la rotation propre du solide autour du C.D.I[12]. de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre du solide autour de son C.D.I[12]. selon «»[4] dans lequel «[4] est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation [52] passant par » avec , étant le projeté orthogonal de sur , le dernier terme de n'étant nul que si l'axe de rotationest axe principal d'inertie du solide[44], on peut alors écrire «».
Remarque : Dans le cas général où l'axe de rotation propre n'est pas nécessairement un axe principal d'inertie du solide[44], on peut appliquer la version du 1er théorème de Kœnig[47] projetée sur ou de même direction que mais passant par , et on obtient «».
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme
de l'énergie cinétique barycentrique du système «» évalué à l'instant et
de l'énergie cinétique du C.D.I[12]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» étant définie,
à l'instant , dans le référentiel d'étude , selon «»[4],[10] et,
dans le référentiel barycentrique , au même instant , selon «»[4],[10],
nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[49], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[50], le mouvement d'entraînement du centre d'un pseudo-point[1] quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement de vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre de pseudo-point s'écrit «»[49] puis, en formant le carré scalaire développé dans le membre de droite et en multipliant par «» ou, en développant le membre de droite, «», enfin en faisant la somme continue[8] sur «»[4], « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant [4], en factorisant scalairement par [53] soit »[4] par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle et le « 3ème terme, en factorisant par , se réécrivant »[4] d'où finalement « ou » R.Q.F.D[22]..
Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)
Le mouvement général d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» indéformabledéfinissant un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé
d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[12]. du système et
d'une rotation[51] autour de son C.D.I[12]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide ;
l'application du 2ème théorème de Kœnig[47] à nous conduit à «» dans lequel
provient du mouvement de translation de relativement à cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point fixe dans , dans ce cas on parlerait d'énergie cinétique orbitale et
, due à la rotation propre du solide autour du C.D.I[12]. de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre du solide autour de son C.D.I[12]. selon «» dans laquelle «[4] est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation [52] passant par » avec , étant le projeté orthogonal de sur .
Notions de systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et leurs propriétés associées
Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière, ce dernier est envisagé d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable dite « de contrôle ».
Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que toutes les autres notions associées « résultante, moments résultants vectoriel et scalaire, puissance, travaux élémentaire et fini, caractère conservatif d'une force et énergie potentielle associée ».
Résultante des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Remarques : Nous avons vu dans le paragraphe « exemples (de forces appliquées sur un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » qu'il existe Remarques : deux types de forces s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels, les « forces de champ » et les « forces de contact », Remarques : deux types de forces sans différence formelle entre les deux dans le cas d'un système discret fermé de matière si ce n'est que les 1ères s'exercent sur tous les points alors que les 2ndes n'agissent que sur les points situés en périphérie du système ; Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de champ » s'exerçant sur tous les pseudo-points du système[1] sont réparties en volume et, bien que Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de contact » s'exerçant sur les pseudo-points de la périphérie du système[1] sont usuellement réparties en surface ou encore localisée ponctuellement comme dans le cas de l'action du ressort ou d'une corde, nous les considérerons aussi, de façon à ne pas alourdir la présentation, comme réparties en volume avec une valeur nulle pour tous les pseudo-points hors périphérie du système[1] simplification dont nous déduisons Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, l'absence pratique de distinction entre « forces de champ » et « forces de contact » dans ce qui suit pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Résultante du système de forces extérieures (ou résultante dynamique) appliqué(e) à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Une force extérieure est une force que l'extérieur «» du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle exerce sur un pseudo-point[1] de ce système ; le système des forces extérieures est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires que « chaque système de exerce sur chaque pseudo-point du système d'expansion tridimensionnelle »[1]ou encore [54].
La « force extérieure élémentaire que le système de exerce sur le pseudo-point de d'expansion tridimensionnelle »[1] étant à , nous remplaçons la donnée du « système des forces extérieures [54] » par celle de la « densité volumique de force extérieure [54] » avec
la « densité volumique de force extérieure que le système de exerce en » définie par « en ».
Définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
La résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la résultante des forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant sur ce système de matière soit encore
«»[4] avec [54] la somme des densités volumiques de forces que chaque système de exerce en .
Résultante du système de forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
Une force intérieure est une force qu'un pseudo-point[1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle exerce sur un autre pseudo-point[1] de ce même système ; le système des forces intérieures est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires que chaque pseudo-point [1] du système exerce sur chaque pseudo-point [1] de ce même système .
La « force intérieure élémentaire que le pseudo-point [1] de exerce sur le pseudo-point [1] du même système d'expansion tridimensionnelle » étant à , nous remplaçons la donnée du « système des forces intérieures » par celle de la « densité bivolumique de force intérieure » avec
la « densité bivolumique de force intérieure que exerce en » définie par « en ».
Remarques : Bien sûr, la distinction entre « forces extérieures » et « forces intérieures » impose de commencer par définir, sans ambiguïté, le système , c'est aussi la raison pour laquelle nous nous limitons aux systèmes fermés.
Remarques : Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] mais aussi l’action que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] avec ; on parle alors d’interactions entre les deux pseudo-points[1] et si l’une est appelée arbitrairement « action », l’autre est alors nommée « réaction ». Newton[55] a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3ème brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n[56]. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton[55].
Rappel du principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Pour deux points matériels et en interaction telle que décrive l'action de sur [57] et l'action de sur [57], on a à tout instant et quels que soient les mouvements de et :
Commentaires : En « dynamique newtonienne »[59] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel[60] ;
Commentaires : la 2ème relation peut s'écrire encore, en utilisant la 1re relation, , ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun , la 1re relation ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.
Remarque : À l'échelle mésoscopique un pseudo-point d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[1] se comportant, des points de vue cinétique et dynamique, comme un point matériel, le principe des actions réciproques ou 3ème loi de Newton[55] peut s'appliquer à un couple de pseudo-points[1].
Définition de la résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété
Résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
La résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de toutes les forces intérieures élémentaires de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système soit encore
Propriété[63] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
«»[62],[4], ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point[1] du système fermé[64].
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon et , se réécrit alors [62],[65] et d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d’où la propriété énoncée .
Moment résultant vectoriel des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique vectoriel) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le vecteur moment résultant des forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant sur ce système de matière relativement au point soit encore
«»[4] avec «» le moment vectoriel par rapport à de la densité volumique de force extérieure en .
Définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété
Moment résultant vectoriel du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le vecteur moment résultant du système des forces intérieures relativement au point origine quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de tous les moments de forces intérieures élémentaires relativement au point de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système soit encore
«»[62],[4] avec «» le moment vectoriel par rapport à de la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec .
Propriété[67] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
«»[62],[4], ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point[1] du système fermé[64].
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon et , se réécrit alors [62],[65] dans laquelle le 1er terme vaut et le 2nd ; Propriété Démonstration : d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a soit, en substituant par et en factorisant vectoriellement à droite par [21] «»[62], Propriété Démonstration : enfin, d’après la 2ème relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d'où la propriété énoncée .
Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle a une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nulsen effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine , il l'est par rapport à tout autre point origine car la résultante l'est aussi[68] ;
toutefois, dans le cas général, le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle n'est pas équivalent à un système de forces nulen particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière déformable n’est pas nul[69], alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment.
Moment résultant scalaire des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante et de moment résultant vectoriel de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci
Le moment scalaire d'une force par rapport à l'axe , noté est le projeté, sur l'axe orienté par , du moment vectoriel de cette force par rapport à un point quelconque de l'axe [70] soit
Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le moment résultant scalaire des forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant sur ce système de matière relativement à l'axe orienté par soit encore
«», avec «» le moment scalaire par rapport à de la densité volumique de force extérieure en .
Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété
Moment résultant scalaire du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le moment résultant scalaire du système des forces intérieures relativement à l'axe quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de tous les moments de forces intérieures élémentaires relativement à l'axe orienté par de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système soit encore
«»[62] ou «»[4] avec «» le moment scalaire par rapport à de la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec .
Propriété[72] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
«»[62],[4], ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point[1] du système fermé[64].
Puissance développée par des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante, de moments résultants vectoriel et scalaire de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Puissance développée par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[8] des puissances développées dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant, au même instant , sur chaque pseudo-point[1] soit encore
«»[4],[73] dans laquelle est le vecteur vitesse de à l'instant dans , avec «» la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en , à l'instant dans ou la puissance volumique développée par les forces extérieures «» en , à l'instant dans .
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation de vecteur vitesse à l'instant par rapport au référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit de factoriser scalairement[53] par dans l'expression définissant «»[4],[73], on obtient ainsi «», le facteur entre accolades s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à à l'instant [74] R.Q.F.D[22]..
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant autour d'un axe fixe du référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par » ;
2ème cas particulier, démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée [23] autour de avec [75] «» «»[4] en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41], nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la densité volumique de force extérieure en relativement au point dans le facteur entre accolades «»[4] obtenue en factorisant scalairement[53] par soit encore «» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à et enfin, en explicitant en fonction de la vitesse angulaire de rotation de à l'instant autour de «», on obtient «»[76] R.Q.F.D[22]..
3ème cas particulier, système continu fermé indéformable de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant », « le vecteur vitesse du C.D.I[12]. de à l'instant dans le référentiel d'étude », « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à par rapport au C.D.I[12]. de à l'instant » et « le vecteur rotation instantanée[23], à l'instant , de autour de l'axe [52] dans le référentiel barycentrique du solide » ou dans le référentiel d'étude , les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre ;
3ème cas particulier, démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système continu fermé de matière «» indéformable c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé 3ème cas particulier, démonstration : d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[12]. du système et 3ème cas particulier, démonstration : d'une rotation[51] autour de son C.D.I[12]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide d'où 3ème cas particulier, démonstration : le vecteur vitesse de à l'instant dans , «» l'expression de la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en à l'instant , «» et, en faisant la somme continue[8] sur , la puissance cherchée «»[4] ce qui donne 3ème cas particulier, démonstration : dans le 1er terme, après factorisation scalaire[53] par , «»[4] et 3ème cas particulier, démonstration : dans le 2ème terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41], «»[4] puis la factorisation scalaire[53] par , «»[4] en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à d'où 3ème cas particulier, démonstration : «» R.Q.F.D[22]..
Puissance développée par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
La puissance développée, à l'instant , dans le référentiel d'étude , par le système des forces intérieures, , appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de toutes les puissances développées par les forces intérieures élémentaires de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système, au même instant , dans le référentiel , soit encore
«»[62],[4],[77] avec «» la puissance développée à l'instant dans par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec ou puissance bivolumique de forces intérieures «» en en interaction avec , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions[78] : «»[4] dans laquelle «» est la puissance développée, à l'instant , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude soit «» ;
Autres expressions : démonstration : découle du regroupement par couple des termes de la double somme continue[8] avec utilisation de «»[79] et de en factorisant scalairement par le facteur commun[53] Autres expressions : démonstration : ou, en évaluant dans le référentiel d'étude la grandeur vectorielle «» soit «» cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles[19], c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans , du « vecteur position relative de relativement à à l'instant » ou, « vecteur position de à l'instant dans le référentiel lié à en translation par rapport à », ou encore, avec en translation par rapport à «»[80] cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant de dans noté » soit finalement «» nous obtenons «» ; Autres expressions : démonstration : la double intégration volumique de la grandeur précédente «» sur conduisant à compter deux fois chaque couple, il est nécessaire de compenser ceci par le « facteur » R.Q.F.D[22]..
Autres expressions : «»[4] dans laquelle «» est la puissance développée, à l'instant , par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude encore appelée puissance bivolumique de forces intérieures en en interaction avec définie dans lié à en translation par rapport à , notée «» soit «» R.Q.F.V[81]..
1re conséquence : «»[4] ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels et non de leur origine , a même valeur dans tout référentiel en translation par rapport aux , en particulier dans le référentiel d'étude et le référentiel barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle .
2ème conséquence : Dans le cas général «»[4] est «» car dépendant des vitesses relatives des pseudo-points[1] les uns par rapport aux autres et celles-ci sont non nulles si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est déformable.
3ème conséquence : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelleest indéformablec'est-à-dire si c'est un solide au sens de la mécanique, la puissance développée par les forces intérieures à l'instant «» car «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[79] et la composante sur de étant avec d'où «» se réécrivant «» et finalement « pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable ».
Travail développé par des systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Comme lors de l'introduction de la notion de puissance développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail élémentaire d'un système de forces correspondant à une durée élémentaire d'action du système de forces développant une puissance instantanée sera «»[82] et Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail d'un système de forces correspondant à un intervalle de temps d'action du système de forces développant une puissance instantanée sera «»[83].
Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le produit de la puissance développée par le système des forces extérieures à l'instant dans le même référentiel d'étude , par la durée élémentaire de l'action, soit
«»[4] avec «» la puissance volumique «» développée par les forces extérieures en , à l'instant , dans , «» étant la densité volumique de force extérieure en et «» le vecteur vitesse de au même instant dans .
Remarque : «»[4] soit «»[4] dans laquelle est le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle de temps dans ; Remarque : «» étant aussi le travail élémentaire développé par la densité volumique de force extérieure appliqué en sur l'intervalle de temps dans [84]ou travail élémentaire volumique des forces extérieures en , nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.
Définition équivalente du travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[8] des travaux élémentaires développés dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant, pendant le même intervalle de temps , sur chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] soit
«»[4] avec « le vecteur déplacement élémentaire de » sur l'intervalle de temps dans .
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «»[85], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. »[22].
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » ;
2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par »[86], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. »[22].
Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[83] de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces extérieures sur l'intervalle de temps dans le même référentiel d'étude soit
«»[4] avec «» la puissance volumique développée par les forces extérieures en , à l'instant dans le référentiel , «» étant le vecteur vitesse de au même instant dans le même référentiel .
Remarque : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre «»[4] avec le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle de temps dans «» dans laquelle le pseudo-point [1] de centre décrivant une trajectoire spécifique a une position paramétrée par avec une position initiale notée et une finale notée d'où Remarque : en permutant les intégrations volumique et temporelle, conséquence de la linéarité de ces opérations «»[4] et Remarque : en reconnaissant dans le terme entre accolades la paramétrisation d'une intégrale curviligne «»[6], Remarque : nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.
Définition équivalente du travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[8] de tous les travaux développés dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures élémentaires s'exerçant, pendant le même intervalle de temps , sur chaque pseudo-point[1] soit
«»[4] avec «»[6] le travail développé par «» quand se déplace sur de à dans .
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation telle qu'un point quelconque , lié à , suit la trajectoire de à dans le référentiel d'étude sur l'intervalle de temps :
«»[6] dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée en en une position générique de » et « le vecteur déplacement élémentaire du point sur » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[4],[6],[87] dans laquelle « est égal à au point d'application près », « suivant déduite de par translation de vecteur » d'où, en permutant les intégrations volumique et curviligne, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant « par » «»[6],[4] ou encore, après factorisation scalaire[53] par dans la fonction à intégrer «» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. »[22].
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude telle qu'un point quelconque , lié à mais , tourne de à autour du , le projeté orthogonal de sur , l'abscisse angulaire de dans le plan de sa trajectoire variant de à sur l'intervalle de temps :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en en une position générique du cercle décrit » et « la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique » ;
2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[4],[6],[87] dans laquelle est le cercle suivi par avec , son vecteur déplacement élémentaire le long de ou, se déplaçant sur un cercle «»[88], d'où «»[4] dans laquelle « est égal à au point d'application près », « suivant déduite de par composition d'une homothétie de centre , le projeté orthogonal de sur l'axe , d'une translation de vecteur , étant le projeté orthogonal de sur l'axe et d'une rotation autour de d'un angle » d'où, en permutant les intégrations volumique et angulaire, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant par «»[4] ou, pouvant être sorti de l'intégrale volumique, «»[4], soit finalement «» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. »[22].
Travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le produit de la puissance développée par le système des forces intérieures de densité bivolumique , à l'instant dans le même référentiel d'étude , par la durée élémentaire de l'action, soit
«[62] »[4],[77] avec «» la puissance développée à l'instant dans par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec ou puissance bivolumique de forces intérieures «» en en interaction avec , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions[89] : à partir de «»[4] dans laquelle est le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude avec « la puissance développée, à l'instant , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] dans le référentiel » nous en déduisons, en multipliant les expressions précédentes par la durée élémentaire , le travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme
«»[4] avec «» le travail élémentaire développé, à l'instant , dans le référentiel , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] étant le vecteur déplacement élémentaire de dans ;
Autres expressions : en utilisant «» dans laquelle est la densité bivolumique de forces intérieures en en interaction avec , le travail élémentaire développé par les forces intérieures se réécrit sous la forme
«»[4] avec «» le travail élémentaire développé, à l'instant , par la densité bivolumique de forces intérieures en en interaction avec , évalué dans le référentiel étant le vecteur déplacement élémentaire de dans .
Avec un repérage sphérique de[90]dans le repère associé au référentiel : les coordonnées sphériques de dans le repère associé au référentiel étant «» et la base locale sphérique associée «», on en déduit l'explicitation de «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[79] et celle de «»[91] «» et par suite la réécriture du travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme
Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : Si la force d'interaction entre et est « attractive », « est » et Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : si la force d'interaction entre M et M' elle est « répulsive », « est ». Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De l'explicitation du travail élémentaire du système des forces intérieures appliqué au système continu fermé de matière précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à utilisant le repérage sphérique du point [90] dans le repère associé au référentiel soit
Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De ces expressions appliquées à indéformable on vérifie que «» et Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que «».
Diverses expressions du travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Travail développé par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces intérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[83] de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces intérieures sur l'intervalle de temps dans le même référentiel d'étude soit
«[62] »[4],[77] avec «» la puissance développée à l'instant dans par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec ou puissance bivolumique de forces intérieures «» en en interaction avec , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions : «»[4] avec la grandeur à intégrer doublement volumiquement « égale à définissant le travail élémentaire développé, à l'instant , dans le référentiel référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] étant le vecteur déplacement élémentaire de dans », ce travail élémentaire s'écrivant encore «» en utilisant le repérage sphérique de [90] dans le repère associé au référentiel , cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double intégration volumique et de l'intégration sur un intervalle, à l'aide d'une intégrale curviligne[6] selon
«»[6],[4] avec la trajectoire de dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude ;
Autres expressions : en utilisant «» dans laquelle est la densité bivolumique de forces intérieures en en interaction avec , le travail développé par les forces intérieures sur une durée finie se réécrit, en utilisant le repérage sphérique de [90] dans le repère associé au référentiel avec «» et «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[79], « étant le vecteur unitaire radial du repérage sphérique lié à de pôle »
Systèmes de forces conservatifs appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergies potentielles associées du système continu de matière
Préliminaires : Le caractère conservatif d'un système de forces n'est introduit que pour un système de forces ne dépendant pas explicitement du tempsil est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons.
Préliminaires : Comme lors de l'introduction de la notion de travail élémentaire développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
Préliminaires : dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Système de forces extérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu de matière dans ce champ de forces extérieures conservatif
Système de forces extérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système de forces extérieures «» appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , résultant de l'action du système extérieur à , de « densité volumique » est conservatif ssi son travail élémentaire «»[4] «»[4]est une différentielle exacteou totale des coordonnées de [92] ou,
« ne dépendant pas » chaque forme différentielle[93] volumique «» est indépendante des autres, le système de forces extérieures est conservatif ssi chaque forme différentielle volumique «»[93]est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées de [92].
Énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées de , de densité volumique «» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire de la densité volumique du système de forces extérieures conservatif dont elle « dérive »[95] soit mathématiquement
«» avec « l'énergie potentielle volumique de en dans le champ de forces extérieures conservatif » celle-ci nécessitant de préciser sa référence[96] pour être définie sans ambiguïté ;
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la somme continue[8] des énergies potentielles volumiques «» dont dérive chaque densité volumique de force conservative soit mathématiquement
«»[4]avec choix de la référence[96] de « »[4] soit finalement «»[95].
Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées de , de densité volumique «» telle que l'opposé de son gradient[97] est égal au champ du système des densités volumiques des forces extérieures conservatif dont elle « dérive »[98] soit mathématiquement
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la somme continue[8] des énergies potentielles volumiques «» dont dérive chaque densité volumique de force conservative soit mathématiquement
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude pour lequel le système de forces extérieures «» appliqué à résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[100] est une différentielle de fonction scalaire avec «[4] la résultante du système des forces extérieures », ce travail élémentaire s'écrivant encore « avec un point quelconque lié à » s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle dedans le champ du système des forces extérieures notée fonction des coordonnées du point selon
«» «»[97] dans laquelle «[4] est la résultante du système des forces extérieures » ;
1er cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en translation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[96] près ne dépend pas du choix du point lié au système usuellement on choisit pour le C.D.I[12]. de
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude pour lequel le système de forces extérieures «» appliqué à résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[101] est une différentielle de fonction scalaire avec «[4] le moment résultant scalaire du système des forces extérieures par rapport à l'axe », ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle dedans le champ du système des forces extérieures notée fonction de l'abscisse angulaire de rotation selon
«» «» dans laquelle «[4] est le moment résultant scalaire du système des forces extérieures » ;
2ème cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en rotation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[96] près ne dépend pas du choix de la direction, liée au système , par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation
Système de forces intérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu fermé de matière dans ce champ de forces intérieures conservatif (ou énergie potentielle d'interaction du système de matière)
Système de forces intérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , correspondant à « une interaction [102] entre pseudo-points de »[1] à savoir «» est conservatif ssi son travail élémentaire «»[4],[103]avec le référentiel lié à en translation relativement au référentiel »[4]ou, en introduisant la densité bivolumique «» de forces en en interaction [102] avec , «»[4]est une différentielle exacteou totale des coordonnées de dans les référentiels »[92] ;
« pour et figés ne dépendant que de dans » et non des autres points chaque forme différentielle[93] bivolumique «» est indépendante des autres, le système de forces intérieures correspondant à « une interaction [102]est conservatif ssi chaque forme différentielle volumique «»[93]est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées relatives de dans [92].
Définition équivalente d'un système de forces intérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , correspondant à « une interaction [102] entre pseudo-points de »[1] à savoir « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » est conservatif ssi son travail élémentaire «»[4]avec la coordonnée radiale de dans le repère associé à , le référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude et la seule composante radiale de appliquée à dans le repère associé à est une différentielle exacteou totale des coordonnées radiales de dans les référentiels liés à en translation relativement à »[92] ;
« pour et figés ne dépendant que de dans » et non des autres points chaque forme différentielle[93] bivolumique «» est indépendante des autres, le système de forces intérieures correspondant à « une interaction [102]est conservatif ssi chaque forme différentielle volumique «»[93]est une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale relative de dans [92].
Définition de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un champ de forces intérieures conservatif
Énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » interaction entre pseudo-points de est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées radiales relatives de dans les référentiels liés à en translation relativement au référentiel d'étude , de densité bivolumique «» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire de la densité bivolumique en en interaction [102] avec dont « dérive »[95] soit mathématiquement
«» avec la coordonnée radiale de dans le repère associé à , la composante radiale de dans le repère associé à , étant le référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude ;
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif « de « densité bivolumique en en interaction [102] avec » est la somme continue[61] des énergies potentielles bivolumiques «» dont dérive chaque densité bivolumique de force conservative soit mathématiquement, avec le facteur compensant le dédoublement des termes
Remarques : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de cette énergie potentielle »[96] : usuellement « la référence de» est choisie pour les centres des pseudo-points[1] du systèmeéloignés à l'infini les uns des autres c'est-à-dire « pour ».
Remarques : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif ne dépendant que des distances mutuelles séparant les différents centres des pseudo-points[1] du système entre eux et celles-ci étant indépendantes du référentiel dans lesquelles elles sont définies, on en déduit que «est invariante par changement de référentiel ».
Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » interaction entre pseudo-points[1] de est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées radiales relatives de dans les référentiels liés à en translation relativement au référentiel d'étude , de densité bivolumique «» telle que l'opposé de son gradient[97]avec en repérage sphérique de pôle [90] du repère associé au référentiel est égal au champ du système des densités bivolumiques de forces intérieures conservatif dont elle « dérive »[98] soit mathématiquement
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , « de « densité bivolumique en en interaction [102] avec » est la somme continue[61] des énergies potentielles bivolumiques «» dont dérive chaque densité bivolumique de force conservative soit mathématiquement, avec le facteur compensant le dédoublement des termes
Remarque : avec le choix de « référence pour »[96] «», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif si chaque composante radiale de densité bivolumique de force est de même variation monotone à savoir Remarque : si les forces d'interaction de type sont « purement attractives »[106] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » «» et Remarque : si les forces d'interaction de type sont « purement répulsives »[106] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » «».
Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle applicables en référentiel galiléen
Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, ce dernier est envisagé sous la forme d'un système continu de matière «» d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ;
de plus, pour que les théorèmes de la dynamique newtonienne soient applicables au système sous les formes énoncées, le contenu de ce dernier doit rester inchangé aucune entrée ou sortie de pseudo-points[1] dans le système, le système doit donc être « fermé »[107].
Dans ce paragraphe, le référentiel d'étude de la dynamique newtonienne du système est exclusivement « galiléen ».
Théorème de la résultante cinétique et celui du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie)
Théorème de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridiemensionnelle
« Dans un référentiel galiléen, la résultante dynamique appliquée, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est égale à la dérivée temporelle de sa résultante cinétique au même instant » soit
.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[109].
Démonstration[110] : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer, à chaque pseudo-point [1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la r.f.d.[111] soit «»[4],[112] puis
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut en faire la somme continue[8] sur [4] ou «»[4] la réécriture du 2ème membre résultant de la permutation de l'intégration volumique[4] et de la dérivation temporelle[113],
le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique s'exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ,
le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit et
le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système continu fermé de matière soit d'où
pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel galiléen, ou (C.Q.F.D.)[15], applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.
Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle (cadre de la dynamique newtonienne)
« Dans un référentiel galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne, la résultante dynamique appliquée, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est égale au produit de la masseinertedu système par le vecteur accélération de son C.D.I.[12]au même instant » soit
.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermédéformable ou non de matière Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108] car, le théorème de la résultante cinétique dont il découle ne s'applique pas à un système ouvert
Démonstration[114] : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , du théorème de la résultante cinétique au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle soumis, à l'instant , à la résultante dynamique soit dans laquelle est la résultante cinétique du système au même instant et, Démonstration : Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique , la masse inerte et le vecteur vitesse du C.D.I[12]. du système à savoir dont on déduit, Démonstration : , la masse de tout système fermé étant constante, soit, Démonstration : par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, (C.Q.F.D.)[15].
Préliminaire : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique
Début d’un théorème
Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne ou relativiste)
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétiqued'un système continu fermé de matière isolé d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est conservée au cours du temps du référentiel », ce référentiel étant qualifié de « galiléen ou inertiel».
Fin du théorème
Démonstration : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un pseudo-point [1] quelconque de postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à le système étant isolé «»[4] d'où, en faisant la somme continue[8] sur et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir [4] ainsi que la définition de la résultante cinétique [4] après avoir permuté intégration volumique[4] et dérivation temporelle selon [113], on établit soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé[115].
Début d’un théorème
Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps dans lequel le C.D.I.[12]d'un système continu fermé de matière isolé d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est animé d'un mouvement rectiligne uniforme », ce référentiel étant qualifié de « galiléen ou inertiel».
Fin du théorème
Démonstration : Appliquant le théorème de l'inertie au système continu fermé isolé on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétique de est conservée au cours du temps puis, comme avec pour un système fermé, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[12]. du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de .
Conséquence du théorème de la résultante cinétique[116] : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,
« la conservation de la résultante cinétique du système »[117] soit ; cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.
Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie[118] : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème du mouvement du C.D.I[12]. au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,
« la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[12]. du système »[119] soit ; cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.
Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point fixe dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans par rapport au même point , au même instant , «» soit
«».
Fin du théorème
Démonstration : Considérant le système continu fermé de matière «» étudié dans le référentiel galiléen et un point fixe dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque pseudo-point [1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point fixe dans [120], s'écrivant «»[121],
Démonstration : on en fait la somme continue[8] sur «»[4] ou «»[4], la réécriture du 2ème membre résultant de la permutation de l'intégration volumique[4] et de la dérivation temporelle[113], on y reconnaît dans
« le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en à l'instant «»,
« le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière évalué au même point à l'instant «»[122] et
« le 2ème membre » la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière évalué au même point au même instant à savoir «».
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[123].
Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué par rapport à un point fixe du référentiel d'étude galiléen à savoir «» si le vecteur moment résultant dynamique en appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système continu fermé de matière en un point fixe dans un référentiel galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «» ;
le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière par rapport au point fixe dans galiléen peut être nul par
« absence de forces extérieures » c'est-à-dire si le système continu fermé de matière est isolé, « des forces extérieures toutes centrales par rapport au point fixe»[124] ou « des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe se compensent »[125].
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude
Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen n'est pas à mémoriser quand le point origine a un mouvement quelconque relativement au système dans car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[12]. du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas où le point origine A d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel à l'instant » soit
«».
Fin du théorème
Commentaires : ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière.
Commentaires : En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière est lié à la vitesse du C.D.I. du système et à la masse de ce dernier par voir le paragraphe « résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «» ; Commentaires : par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière et le mouvement du C.D.I. du système[126] d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.
Considérant le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique étudié dans le référentiel galiléen et un point mobile dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;
exprimons d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un pseudo-point [1] dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point mobile dans [127], en écrivant ce théorème relativement à un point origine fixe dans soit «»[4],[121] puis on effectue le changement d'origine sur les deux moments vectoriels de forces et sur le moment cinétique vectoriel de façon à faire apparaître la nouvelle origine mobile dans selon «» que l'on reporte dans la relation après dérivation de la dernière expression selon «», ce qui donne, après factorisation vectorielle[21] partielle à gauche par dans le 2ème terme
ou encore, en appliquant la r.f.d.n[128]. au pseudo-point [1][4] soit, en multipliant vectoriellement à gauche par , «»[4] d'où la réécriture de la relation «»[4]
soit, en faisant la somme continue[8] sur des relations définies en chaque , «»[4], on reconnaît dans
« le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué au point origine mobile dans à l'instant «»,
« le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué au même point mobile dans à l'instant «»[122],
« le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de l'intégration volumique[4] et de la dérivation temporelle[113], à «»[4] c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière par rapport au même point mobile dans au même instant et enfin
« le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par [21] «»[4] reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;
finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point mobile dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est.
Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle) dans le référentiel d'étude
C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen car le C.D.I[12]. du système est mobile le seul cas où y serait fixe est « isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale » :
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. G du système dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I[12]. du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique étudié dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système «» «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au C.D.I[12]. de ce dernier au même instant «» soit
«».
Fin du théorème
Remarque : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[12]. du système , le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude galiléen et non dans le référentiel barycentrique , lequel est en général non galiléen[129].
Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe fixe dans , le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué, à l'instant , au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique «» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans par rapport au même axe , au même instant , «» soit
«».
Fin du théorème
Démonstration : Considérant le système continu fermé de matière «» étudié dans le référentiel galiléen et un axe fixe dans par rapport auquel on détermine les moments scalaires, l'axe étant orienté par le vecteur unitaire ,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point quelconque, fixe sur dans [130], s'écrivant «»,
Démonstration : on multiplie scalairement chaque membre par «» et on reconnaît
dans « le 1er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système continu fermé de matière évalué par rapport à l'axe à l'instant «» et
dans « le 2ème membre » se transformant en «» compte-tenu de la constance de , la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière par rapport au même axe au même instant , «».
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[131].
Cas d'un solide en rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans le référentiel d'étude
Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen où le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique a un mouvement de rotation autour de l'axe fixe dans et prenant pour origine des moments l'axe de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à du système à l'instant «» est égal au produit du moment d'inertie «» du système par rapport à l'axe de rotation soit «»[4],[132] où est la distance orthogonale séparant de l'axe par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «» du système autour de l'axe au même instant la vitesse angulaire instantanée étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée [133] repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel soit
Commentaire : sous cette forme, ce théorème applicable en dynamique newtonienne à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste[135].
Ayant rappelé, dans le paragraphe « moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ (cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre, le lien entre le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe de rotation , la vitesse angulaire de rotation et le moment d'inertie à savoir «» et appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système sous sa forme la plus générale «», il suffit alors d'expliciter la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire dans le cas où le système est en rotation en tenant compte du fait que le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation est une constante, soit «» et par suite «» R.Q.F.D[22]..
Sachant voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans ce chapitre que «»[4],[30],[10] dans laquelle «» sont les coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas du centre du pseudo-point générique du système la base cylindro-polaire liée à étant notée [29], le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation [136], le vecteur rotation instantanée du système à l'instant et la vitesse angulaire de rotation du système au même instant , nous constatons que, dans le cas général, «» «» d'où le théorème du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit «» avec «» dans le cas général où l'axen'est pas un axe principal d'inertie du système[137] ;
par contre, dans le cas particulier où l'axe, fixe dans le référentiel d'étude galiléen, est un axe principal d'inertie[137]du système continu fermé de matière autour duquel il est en rotation, le théorème du moment cinétique vectoriel du système en rotation autour de s'écrit «», étant un point quelconque de .
Si le moment résultant dynamique scalaire du système continu fermé de matière en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen est nul c'est-à-dire si «», le système tourne à vitesse angulaire conservée dans le temps c'est-à-dire «».
Prolongement, solide en rotation autour d'un axe (Δ) de direction fixe dans le référentiel d'étude
Le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen ce qui a pour conséquence que le vecteur unitaire orientant est un vecteur constant dans n'est pas mémoriser car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
il se déduit du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen[138], étant choisi sur de façon à ce que soit «» dans laquelle « est la résultante cinétique du système » et « le vecteur vitesse du point dans » définis tous deux à l'instant «» dans laquelle on reconnaît
dans le 1er membre, le moment résultant dynamique scalaire du système relativement à l'axe soit «»,
dans le 1er terme du 2ème membre, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe car «» compte-tenu du fait que soit «» et
dans le 2ème terme du 2ème membre, un produit mixte « a priori »[39] ou encore, « a priori » en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41],
soit finalement, sans utiliser le caractère rotatif du système , «» ;
pour un système en rotation, à l'instant , à la vitesse angulaire dans galiléen autour de l'axe se translatant dans donc gardant une direction fixe, le moment cinétique scalaire du système à l'instant , dans , s'exprimant selon «» avec le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation [136] «» d'où l'énoncé du prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à en rotation autour de de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen.
Début d’un théorème
Prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen où le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique a un mouvement de rotation autour d'un axe de direction fixe dans et prenant pour origine des moments l'axe de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à du système à l'instant «» est égal à la somme du produit du moment d'inertie «» du système par rapport à l'axe de rotation [136] par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «» du système autour de l'axe au même instant la vitesse angulaire instantanée étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée [133] repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel et d'un terme correctif, a priori non nul, tenant compte de la translation de dans et de la résultante cinétique du système à l'instant soit
«», étant le vecteur unitaire orientant et un point quelconque fixe sur cet axe.
Fin du théorème
Commentaires : sous cette forme, ce prolongement de théorème applicable en dynamique newtonienne à un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste[135].
Commentaires : Le terme correctif «» se réécrivant, en tenant compte de «» voir le paragraphe « résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre, «» est nul dans le cas de nullité d'un produit mixte[39] c'est-à-dire dans le cas où
l'axe glisse sur lui-même du point fixe de est colinéaire à ou,
l'axe se translate parallèlement au mouvement du C.D.I[12]. du système du point fixe de est colinéaire à ou encore,
l'axe passe par le C.D.I[12]. du système ce qui est certainement le cas le plus fréquemment rencontré du point fixe de est colinéaire à ;
Commentaires : en conclusion le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen prend la forme simplifiée «» dans le cas où l'axe de rotationglisse sur lui-mêmeou si la translation de l'axese fait parallèlement à la trajectoire du C.D.I.[12] du système dont un cas particulier est l'axepassant par c'est-à-dire «».
Voir aussi le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
Théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la puissance cinétique d’un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , à l'instant , «» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système à l'instant «» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système au même instant «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen ».
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[139].
Démonstration[140] : Dans le référentiel d'étude galiléen , on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque pseudo-point [1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel galiléen[141], soit
Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, on fait la somme continue[8] sur des relations définies en chaque centre des pseudo-points du système «»[4] ou, en permutant l'intégration volumique[4] et la dérivation temporelle[113] «»[4], on y reconnaît dans
le 1er membre la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «»[4] à l'instant c'est-à-dire à la puissance cinétique du système «» au même instant ,
le 1er terme du 2nd membre «»[4] la puissance développée, à l'instant , par les forces extérieures appliquées au système «» et
le 2ème terme du 2nd membre «»[4] la puissance développée, à l'instant , par les forces intérieures appliquées au système «»,
Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle.
Le théorème de la puissance cinétique se simplifie dans le cas particulier d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique indéformable c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique car nous avons établi au paragraphe « 3èmeconséquence (de l'évaluation de la puissance développée par les forces intérieures appliquées à un solide) » plus haut dans ce chapitre que celle-ci est nulle soit «» d'où l'énoncé du théorème :
Début d’un théorème
Théorème de la puissance cinétique appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la puissance cinétique d’un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , à l'instant , «» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système à l'instant «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen ».
Fin du théorème
Commentaire : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle
Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solideSolide en translation de vecteur vitesse dans le référentiel d'étude galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système en translation[143] s'écrivant «» avec « la résultante dynamique appliquée à à l'instant » et l'énergie cinétique du système en translation[144] «» avec « la masse du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé de matière en translation[145] relativement au référentiel d'étude galiléen se réécrit «».
Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide Solide en rotation de vitesse angulaire instantanée autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système en rotation autour d'un axe fixe[146] s'écrivant «» avec « le moment résultant dynamique scalaire appliquée à à l'instant relativement à » et l'énergie cinétique du système en rotation autour d'un axe fixe[147] «» avec « le moment d'inertie[136] du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe fixe[148] relativement au référentiel d'étude galiléen se réécrit «».
Réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide Solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude galiléen, mouvement composé d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , , étant le C.D.I[12]. du solide, et d'une rotation de vecteur rotation instantanée, au même instant , autour d'un axe passant par : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système en mouvement quelconque[149] s'écrivant «» avec « la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ainsi que « le moment résultant dynamique vectoriel appliquée à à l'instant évalué par rapport à » et l'énergie cinétique du système en mouvement quelconque s'évaluant par utilisation du 2ème théorème de Kœnig[150] «» avec « la masse du solide », « l'énergie cinétique barycentrique du solide laquelle est égale à , étant le moment d'inertie[136] du solide par rapport à l'axe »[151], le théorème de la puissance cinétique appliqué au système continu fermé indéformable de matière en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude galiléen se réécrit
Pour passer d'une « forme locale de la dynamique écrite à l'instant » à la « forme intégrée écrite sur l'intervalle de temps associée à cette forme locale », il suffit de multiplier la forme locale par d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire après utilisation de [152] d'une part et [153] d'autre part :
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , sur l'intervalle de temps , «» est égale à la somme du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système sur l'intervalle de temps «» et de celui développé par les forces intérieures appliquées au même système sur le même intervalle de temps «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen ».
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[154].
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matièrec'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : de on déduit [155] d'où l'énoncé du théorème :
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , sur l'intervalle de temps , «» est égale au travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système sur le même intervalle de temps «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen ».
Fin du théorème
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «» dans le référentiel d'étude galiléen : «»[156] avec « la masse du solide » et « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant ».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen : «»[157] avec « le moment d'inertie[136] du solide par rapport à » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide à l'instant ».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I[12]. «» et d'un déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe passant par mobile dans le référentiel d'étude galiléen : «»[158] avec « la masse du solide », « le moment d'inertie[136] du solide par rapport à », « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide au même instant ».
Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie
Pour mémoire « le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue[8] de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «» d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation, sur l'intervalle de temps , de l'énergie cinétique d’un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , «» est égale à la somme du travail développé par les forces extérieures appliquées au système sur «»[159] et de celui développé par les forces intérieures appliquées au même système sur le même intervalle «»[160] soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen ».
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[154].
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matièrec'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : de on déduit d'où l'énoncé du théorème :
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation, sur l'intervalle de temps , de l'énergie cinétique d’un système continu fermé de matière indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , à savoir «» est égale au travail développé par les forces extérieures appliquées au système sur le même intervalle de temps «»[159] soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen ».
Fin du théorème
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «» dans le référentiel d'étude galiléen : «»[156] avec « la masse du solide » et « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant ».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen : «»[157] avec « le moment d'inertie[136] du solide par rapport à » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide à l'instant ».
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière : Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I[12]. «» et d'un déplacement angulaire élémentaire «» autour de l'axe passant par mobile dans le référentiel d'étude galiléen : «»[158] avec « la masse du solide », « le moment d'inertie[136] du solide par rapport à », « la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant » et « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au solide au même instant ».
Théorème déduit du « théorème de l'énergie cinétique » dans le cas où « le système de forces résultant de l'action du système extérieur au système étudié » ou et « celui de forces intérieures correspondant à une interaction entre pseudo-points de »[1] est sontconservatif(s)[161]
Définition de l'énergie mécanique d'un système continu fermé de matière dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
Dans le cas où le système de forces résultant de l'action du système extérieur au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique ainsi qu'éventuellement celui de forces intérieures correspondant à une interaction entre pseudo-points de »[1] sont conservatifs[161], on définit
l'énergie potentielle de dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à soit «»[4],[162] dans laquelle «» est la densité volumique d'énergie potentielle dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» définie en selon «» «»[97]en précisant la référence de l'énergie potentielle volumique[96] ainsi que, si nécessaire,
l'énergie potentielle de dans le champ éventuel du système des forces intérieures conservatif correspondant à une interaction entre pseudo-points de [1] « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » soit, avec «» la densité bivolumique d'énergie potentielle dans le champ du système de forces intérieures conservatif d'interaction entre pseudo-points de [1] «» définie en en interaction avec selon «» «»[97] étant la coordonnée radiale de dans le repère associé à , la composante radiale de dans le même repère associé à , étant le référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude , «»[4],[163]en précisant la référence de l'énergie potentielle bivolumique[96] puis
dans le référentiel d'étude , l'énergie mécanique de , à l'instant , «» dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatives selon
«» avec «» l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude .
Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée élémentaire
Pour établir, dans le référentiel d'étude galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , Pour établir, on écrit, dans le référentiel , le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué, à l'instant , au système , en distinguant parmi les forces extérieures ainsi que celles intérieures les forces conservatives dont on veut utiliser le caractère conservatif de celles qui ne le sont pas ou qui le sont mais dont on ne souhaite pas utiliser l'aspect conservatif soit
«» et
Pour établir, on utilise la définition de l'énergie potentielle de dans le champ de forces extérieures conservatif ainsi que celle dans le champ de forces intérieures conservatif soit
Pour établir, en ne laissant que les travaux élémentaires des forces non conservatives dans le membre de droite et en utilisant la définition, à l'instant , dans le référentiel , de l'énergie mécanique du système dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs «» soit
«» d'où l'énoncé du théorème :
Début d’un théorème
Théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation élémentaire de l'énergie mécanique d’un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs, sur l'intervalle de temps , «» est égale à la somme du travail élémentaire développé par les forces extérieures non conservatives[164] appliquées au système sur «» et de celui développé par les forces intérieures non conservatives[164] appliquées au même système sur le même «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen » avec «», «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude , «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif et «» celle associée, à l'instant , au champ de forces intérieures d'interaction [102] conservatif.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[165].
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnellec'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : utilisant [155] on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ de forces extérieures conservatif :
Début d’un théorème
Théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation élémentaire de l'énergie mécanique d’un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans le champ de forces extérieures conservatif, sur l'intervalle de temps , «» est égale au travail élémentaire développé par les forces extérieures non conservatives[164] appliquées au système sur le même intervalle de temps «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen » avec «», «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude et «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif.
Fin du théorème
Théorème de la puissance mécanique, forme locale associée à la forme intégrée du « théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire ou sur une durée finie »
Pour passer d'une « forme intégrée de la dynamique écrite sur l'intervalle de temps » à la « forme locale écrite à l'instant associée à cette forme intégrée », il suffit de diviser la forme élémentaire de la forme intégrée par d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique après utilisation de [152] d'une part et [153] d'autre part :
Début d’un théorème
Théorème de la puissance mécanique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la puissance mécanique «», à l'instant , d’un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs, est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures non conservatives[164] appliquées au système à l'instant «» et de celle développée par les forces intérieures non conservatives[164] appliquées au même système au même instant «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen » avec «», «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude , «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif et «» celle associée, à l'instant , au champ de forces intérieures d'interaction [102] conservatif.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[166].
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnellec'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique : utilisant [69] on en déduit l'énoncé du théorème appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ de forces extérieures conservatif :
Début d’un théorème
Théorème de la puissance mécanique appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la puissance mécanique, à l'instant , d’un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans le champ de forces extérieures conservatif, «» est égale à la puissance développée par les forces extérieures non conservatives[164] appliquées au système «» au même instant soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen » avec «», «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude et «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif.
Fin du théorème
Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie
Pour mémoire « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue[83] de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «» d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :
Début d’un théorème
Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation, sur l'intervalle de temps , de l'énergie mécanique d’un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs dans les champs de forces extérieures et intérieures conservatifs «» est égale à la somme du travail développé par les forces extérieures non conservatives[164] appliquées au système sur l'intervalle de temps «» et de celui développé par les forces intérieures non conservatives[164] appliquées au même système sur le même «» soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen » avec «», «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude , «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif et «» celle associée, à l'instant , au champ de forces intérieures d'interaction [102] conservatif.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[167].
Cas particulier d'un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle[168] : de on déduit d'où l'énoncé du théorème :
Début d’un théorème
Théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie appliqué à un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen , la variation, sur l'intervalle de temps , de l'énergie mécanique d’un système continu fermé indéformable de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans le champ de forces extérieures conservatif «» est égale au travail des forces extérieures non conservatives[164] appliquées à sur le même intervalle de temps «»[159] soit, mathématiquement,
« dans le référentiel galiléen » avec «», «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude et «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif.
Fin du théorème
Cas particulier d'un système continu fermé (déformable ou non) de matière d'expansion tridimensionnelle conservatif : Un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique étant dit « conservatif » ssi « toutes les forces extérieures et intérieures sont conservatives ou, dans le cas de présence de forces extérieures et intérieures non conservatives, celles-ci ne travaillent pas »[169] on en déduit aisément, par application du théorème de la variation de l'énergie mécanique sur une durée finie au système étudié, la conservation de l'énergie mécanique du système continu fermé de matièreconservatif soit «» avec «»[170], «» étant l'énergie cinétique de , à l'instant , dans le référentiel d'étude , «» l'énergie potentielle de , à l'instant , associée au champ de forces extérieures conservatif les autres forces extérieures éventuelles ne travaillant pas et «» celle associée, à l'instant , au champ de forces intérieures d'interaction [102] conservatif les autres forces intérieures éventuelles ne travaillant pas.
Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus de matière d'expansion tridimensionnelle applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système
Dans le cas général d'un système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle , ce dernier n'étant ni isolé, ni pseudo-isolé, son C.D.I[12]. n'est pas en mouvement rectiligne uniforme relativement au référentiel d'étude galiléen et par suite le référentiel barycentrique[171]du système n'est pas galiléen ;
on en déduit qu'a priori les théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle ne s'appliquent pas dans le référentiel barycentrique du système,
le fait que le référentiel barycentrique [171] soit en translation de vecteur vitesse dans le référentiel d'étude galiléen nécessite, a priori, l'ajout, aux systèmes de forces extérieures et intérieures appliqués au système, d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement élémentaire appliquée sur chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] du système «»[172] pour pouvoir appliquer les théorèmes de la dynamique newtonienne au système dans le référentiel barycentrique [171] dans la mesure où ce dernier est non galiléen[173], toutefois
Il existe un théorème applicable sans modification dans le référentiel barycentrique[171] d'un système continu fermé de matière ni isolé, ni pseudo-isolé, d'expansion tridimensionnelle c'est le théorème du moment cinétique vectoriel avec, pour origine d'évaluation des moments vectoriels, le C.D.I[12]. du système[174], voir ci-après.
Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel
Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle avec son C.D.I. G pour origine d'évaluation des moments des forces dans son référentiel barycentrique a priori non galiléen
Dans le référentiel barycentrique [171] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique avec un référentiel d'étude galiléen et prenant pour origine des vecteurs moments de forces le C.D.I[12]. du système , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système «» «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique barycentrique de ce dernier au même instant «»[175] soit
«»[175] dans le référentiel barycentrique[171] a priori non galiléen, la seule condition d'applicabilité de ce théorème étant que le référentiel d'étude soit galiléen.
Fin du théorème
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel avec pour point origine d'évaluation des moments vectoriels le C.D.I[12]. du système soit
«» dans le référentiel d'étude galiléen[174], avec
Démonstration : «» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système et Démonstration : «» le vecteur moment cinétique de par rapport à au même instant dans le référentiel d'étude puis, Démonstration : on applique le 1er théorème de Kœnig[47] au système pour lier le vecteur moment cinétique barycentrique du système au vecteur moment cinétique de ce dernier dans le référentiel d'étude[176] «» soit, en prenant en , «» dont on déduit Démonstration : «» la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est faite pourvu que les deux référentiels soient en translation l'un par rapport à l'autre d'où, par report dans la relation , «» ou simplement «» R.Q.F.D[22]. dans la mesure où les seuls référentiels utilisés sont en translation l'un par rapport à l'autre.
Il y a conservation du moment cinétique barycentrique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle à savoir «»[175] si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système par rapport à , C.D.I[12]. du système, est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel barycentrique [171] a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «».
Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est en rotation autour dede direction fixe orientée par et passant par , on peut déduire du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué au système étudié dans le référentiel barycentrique [171] a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen, le théorème du moment cinétique barycentrique scalaire relativement à l'axe de direction fixe appliqué dans le référentiel barycentrique [171] a priori non galiléen, en multipliant scalairement les deux membres du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel par soit «», étant un vecteur constant, soit finalement, par définition du moment scalaire de forces[177] et du moment cinétique scalaire[178],
«» avec fixe dans le référentiel barycentrique [171] du système, étant a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen ;
le système étant en rotation autour de de direction fixe, on peut écrire «» avec « le moment d'inertie[136] du système » et « la vitesse angulaire instantanée de ce dernier autour de l'axe à l'instant »[179] «» étant une constante soit la réécriture du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire pour un système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel barycentrique [171] du système,
«» avec axe de rotation fixe dans le référentiel barycentrique a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen ;
si le vecteur moment résultant dynamique du système en rotation par rapport fixe dans le référentiel barycentrique [171] du système, avec le C.D.I[12]. de ce dernier comme origine d'évaluation du moment vectoriel, est nul c'est-à-dire «» «», on déduit de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire au système en rotation autour de fixe dans ,
la conservation de la vitesse angulaire instantanée de rotationdu système autour de l'axefixe dans le référentiel barycentrique[171] soit «», le système étant donc en rotation uniforme autour de fixe dans le référentiel barycentrique [171].
↑ Un pseudo-point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , sa masse est donc , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel ,, son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine ,
↑ Un pseudo-point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , sa masse est donc , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel ,, son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine ,
↑ L'expression en cinétique relativiste est nettement moins conviviale dans laquelle est le facteur de Lorentz de à l'instant dans le référentiel ; toutefois cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel ou non et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est , la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération est à la résultante dynamique alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération est a priori à la résultante dynamique , cette dernière étant à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique.
↑ Dans cette démonstration nous supposons le système incompressible c'est-à-dire dont la masse volumique ne dépend pas explicitement du temps soit mais ce qui importe c'est que chaque pseudo-point ait une masse globalement constante correspondant à une constance de chaque facteur cas d'un système incompressible ou à une variation contraire par exemple si , .
↑ pour un système fermé, la dérivée temporelle de est donc que multiplie la dérivée temporelle de mais ce serait faux pour un système ouvert, c'est donc la raison pour laquelle le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du C.D.I. n'est applicable que pour un système fermé.
↑ Ou « moment cinétique (vectoriel) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.
↑ 18,0 et 18,1 Définition applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle l'est encore à un système continu ouvert de matière d'expansion tridimensionnelle défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, seuls les vecteurs moment cinétique des pseudo-points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser de même, en cinétique classique ou newtonienne seuls les vecteurs vitesse des pseudo-points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser, il en est de même en cinétique relativiste mais les vecteurs vitesse des pseudo-points présents à l'instant à l'intérieur de sont à multiplier par le facteur de Lorentz qui leur est associé
↑ 19,019,1 et 19,2Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ «» étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point c'est-à-dire de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et de volume et «» le moment d'inertie volumique du système en relativement à l'axe de rotation.
↑ 30,030,130,230,3 et 30,4 Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée , applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe fixe étant
premièrement que le contenu à l'instant le soit c'est-à-dire que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et
deuxièmement que le voisinage extérieur de à l'instant le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c'est-à-dire que les pseudo-points entrant à l'intérieur de entre et aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des pseudo-points à l'intérieur de impliquant que les pseudo-points en sortant entre et ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent,
on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus sauf avis contraire de système continu de matière ouvert en rotation autour d'un axe fixe toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe , une 2ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à , lequel dépend a priori de mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend pas
↑ Ou, en choisissant le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système comme origine du repère et l'axe orienté par comme axe et repérant par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par la base cylindro-polaire liée à étant , c'est-à-dire «», la réécriture de la condition selon «».
↑ Il y a donc au moins trois axes principaux d'inertie d'un système continu fermé par point origine de calcul de moment cinétique (vectoriel) du système lors de la rotation de ce dernier autour de l'axe choisi
↑ Les trois axes principaux d'inertie du système issus de définissent, avec ce dernier, le « repère principal d'inertie du système ».
↑ Et s'il existe un point tel que «», pour les autres points mais on a, sauf cas très particulier, «», ce qui signifie que est axe principal d'inertie uniquement si le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système est le point .
↑ Pour une seule utilisation il faut donc regrouper les positions par couple.
↑ Définition applicable à un système continu fermé de matière l'est encore à un système continu ouvert de matière défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, seuls les énergies cinétiques des pseudo-points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser.
↑ 51,051,1 et 51,2 Le caractère rotatif provient du fait que le système est indéformable.
↑ 52,052,1 et 52,2 On note «» pour traduire le fait que l'axe de rotation n'est pas nécessairement fixe dans ; une conséquence du fait que la rotation propre de puisse se faire autour d'un axe de direction variable serait que le moment d'inertie de dépende du temps , il faudrait donc en toute rigueur noté .
↑ 55,055,155,2 et 55,3Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimalcalcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) pour qui l'invention du calcul infinitésimal fut la contribution principale dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment ; en optique Newton a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ Principe Fondamental de la Dynamique Newtonienne.
↑ 57,0 et 57,1 La force décrivant l'action de sur est encore notée et celle décrivant l'action de sur encore notée avec l'objet subissant l'action en 1er indice et l'objet source de l'action en 2nd.
↑ C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit à peu près , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».
↑ En dynamique relativiste, le principe des actions réciproques reste applicable dans la mesure où les forces utilisées sont invariantes par changement de référentielet elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique dans sa globalité.
↑ 61,061,161,261,361,4 et 61,5 Par intégrale sextuple voir la note « 62 » plus bas dans ce chapitre s'évaluant finalement par deux intégrales volumiques a priori emboîtées.
↑ 62,0062,0162,0262,0362,0462,0562,0662,0762,0862,0962,10 et 62,11 Une intégrale sextuple est une intégrale sur un domaine d'espace sextidimensionnel représentant une généralisation du paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; une méthode de calcul d'une intégrale sextuple consiste à figer un 1er sous-domaine tridimensionnel de façon à intégrer sur le sous-domaine complémentaire l'intégrale en question étant volumique puis intégrer sur le 1er sous-domaine tridimensionnel restant cette intégrale en question étant encore volumique, l'intégrale sextuple s'écrivant alors a priori sous la forme de deux intégrales volumiques emboîtées cas où le domaine d'intégration de l'intégrale volumique intérieure, intégration sur le sous-domaine complémentaire au sous-domaine tridimensionnel figé, dépend de ce sous-domaine figé, qui s'écrit parfois sous la forme d'un produit de deux intégrales volumiques cas où le domaine d'intégration de l'intégrale volumique initialement intérieure est indépendant du sous-domaine tridimensionnel figé
↑ 64,064,1 et 64,2 En particulier le système continu fermé de matière peut être déformable ou indéformable.
↑ 65,0 et 65,1 Le facteur résultant du fait qu'en faisant la somme continue par intégrale sextuple sur tous les couples de on compte deux fois la contribution due à chaque force intérieure élémentaire.
↑ Pour vérifier cela, il suffit d'utiliser la formule de changement d'origine .
↑ 69,0 et 69,1 Voir le paragraphe « conséquences (des expressions de la puissance développée par le système des forces intérieures) » plus bas dans ce chapitre.
↑ 73,0 et 73,1 Voir aussi le paragraphe « définition (de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.
↑ Voir aussi le paragraphe « expression de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas d'un système de matière en translation » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.
↑ Voir aussi le paragraphe « expression de la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas d'un système de matière (indéformable) en rotation » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.
↑ 77,077,1 et 77,2 Voir aussi le paragraphe « définition (de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière se faisant aisément.
↑ Voir aussi le paragraphe « autres expressions équivalentes (de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » pour un système discret fermé de points matériels, la généralisation à un système continu fermé de matière ne retenant que la 2ème expression se faisant aisément.
↑ En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres voir le paragraphe énoncé de la formule de Bour du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ; Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866) est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de ans.
↑ 83,083,183,283,3 et 83,4 C.-à-d. obtenue en ajoutant toutes les contributions élémentaires successives ce qui correspond à une intégrale sur un intervalle voir le paragraphe « définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ; Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps.
↑ Voir le paragraphe « 1ercas particulier (système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en translation) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « 2èmecas particulier (système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation) » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet la puissance développée par une force dont le point d'application se déplace sur un cercle d'axe s'écrivant «» dans laquelle est la vitesse angulaire du point et le moment scalaire de la force relativement à l'axe de rotation voir le paragraphe « expression de la puissance développée par une force dans le cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », il suffit de multiplier la relation explicitant la puissance développée «» de part et d'autre par pour obtenir la relation cherchée «» avec et .
↑ 99,099,199,299,3 et 99,4 Les indices figurant en bas et à droite de dans ou signifie que ces variables restent figées le temps de la prise du gradient, la dérivation n'est donc faite que par rapport aux coordonnées de dans ou dans à fixé.
↑ Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par un système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas particulier d'un système en translation » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « travail élémentaire développé par un système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas particulier d'un système en rotation » plus haut dans ce chapitre.
↑ Facteur car «» apparaît deux fois dans les deux intégrales volumiques emboîtées
↑ 106,0 et 106,1 Cette hypothèse est en fait non réaliste car si toutes les forces d'interaction étaient « purement attractives » sans contre-partie, le système de matière s'effondrerait il faut donc une composante répulsive aux faibles distances et Cette hypothèse est en fait non réaliste car si toutes les forces d'interaction étaient « purement répulsives » sans contre-partie, le système de matière exploserait il faut donc une composante attractive aux grandes distances.
↑ La dynamique newtonienne des systèmes continus ouverts de matière d'expansion tridimensionnelle ne sera pas abordée dans ce chapitre.
↑ En effet, si la résultante cinétique à l'instant du système ouvert intérieur à est effectivement la somme continue par intégrale volumique des quantités de mouvement des pseudo-points qui sont présents dans à cet instant , la grandeur ne traduit que la variation entre et de la somme continue par intégrale volumiquedes quantités de mouvement des pseudo-points présents dans à l'instant sans tenir compte des pseudo-points entrant ou sortant sur l'intervalle ; En effet, si la variation entre et de la résultante cinétique du système ouvert devant être traduite selon dans laquelle d'où , ces deux derniers termes définissant les débits de quantités de mouvement entrant et sortant , on en déduit que le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à l'instant est égal à
↑ Voir aussi le paragraphe « démonstration (du théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
↑ Relation Fondamentale de la Dynamique newtonienne ou relativiste.
↑ «» y est la résultante des forces exercées par chaque système de sur le pseudo-point c'est-à-dire avec le nombre de systèmes de .
↑ 113,0113,1113,2113,3 et 113,4 Cette permutation est possible parce que la définition de l'expansion tridimensionnelle est indépendante du temps dans la mesure où le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle est fermé la définition de indépendante de ne veut pas dire que le volume de est une constante mais qu'il n'y a aucune entrée ou sortie de pseudo-points.
↑ Voir aussi le paragraphe « démonstration (du théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » s'adaptant sans difficulté apparente aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
↑ Dans le cadre de la dynamique relativiste ce théorème suppose que le principe des actions réciproques est applicable dans le référentiel considéré et il y est car les forces utilisées sont invariantes par changement de référentiel et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique dans sa globalité.
↑ C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système continu fermé de matière isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système continu fermé de matière pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème de la résultante cinétique même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques.
↑ C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système continu fermé de matière isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système continu fermé de matière pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème du mouvement du C.D.I. du système même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques.
↑ 121,0 et 121,1 «» y est le moment résultant vectoriel par rapport à des forces exercées par chaque système de sur le pseudo-point c'est-à-dire avec le nombre de systèmes de .
↑ En effet, si le vecteur moment résultant cinétique à l'instant par rapport au point origine du système ouvert intérieur à est effectivement la somme continue par intégrale volumique des moments cinétiques vectoriels par rapport à des pseudo-points qui sont présents dans à cet instant , la grandeur ne traduit que la variation entre et de la somme continue par intégrale volumiquedes moments cinétiques vectoriels par rapport à des pseudo-points présents dans à l'instant sans tenir compte des pseudo-points entrant ou sortant sur l'intervalle ; En effet, si la variation entre et du moment résultant cinétique vectoriel par rapport à du système ouvert devant être traduite selon dans laquelle d'où
,
En effet, si ces deux derniers termes définissant les débits de moment cinétique vectoriel, par rapport à , entrant et sortant , on en déduit que le taux horaire de variation du moment résultant cinétique vectoriel par rapport à du système ouvert défini à l'instant est égal à
↑ C.-à-d. de direction passant par le même point fixe .
↑ On pourrait qualifier le système continu fermé de matière de « pseudo-isolé en rotation autour d'un point » dans la mesure où la compensation des moments vectoriels des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée
↑ Voir la note traitant d'un système discret fermé de points matériels à adapter à un système continu fermé de matière « 32 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » où on rappelle l'expression avec le facteur de Lorentz du point , alors que l'expression de la vitesse du C.D.I. du système s'exprime, comme en cinématique newtonienne, selon d'où aucun lien dans le cas général sauf dans le cas où le système de points matériels est en translation car tous les points matériels ont la même vitesse donc le même facteur de Lorentz d'où, après factorisation par ce dernier ainsi que par la vitesse commune . Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en ; Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en . Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Même si nous voyons dans le paragraphe « théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel » plus loin dans ce chapitre qu'il s'applique également dans le référentiel barycentrique non galiléen, mais ce n'est pas ce qui est exposé ici
↑ Voir le paragraphe « énoncé (du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen) » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet le théorème du moment cinétique vectoriel n'étant pas applicable à un système ouvert de matière voir la note « 123 » plus haut dans ce chapitre et le théorème du moment cinétique scalaire se déduisant du précédent par multiplication scalaire par .
↑ étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point c'est-à-dire de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et de volume .
↑ 133,0 et 133,1 Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées , on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée définissant l'accélération angulaire instantanée s'écrit encore .
dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe de rotation du système ».
↑ 135,0 et 135,1 En effet nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de portée par l'axe dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » étant un point quelconque choisi sur , non applicabilité rédhibitoire par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire orientant l'axe
↑ Voir le paragraphe « prolongement du théorème (du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet, si l'énergie cinétique à l'instant du système ouvert intérieur à est effectivement la somme continue par intégrale volumique des énergies cinétiques des pseudo-points qui sont présents dans à cet instant , la grandeur ne traduit que la variation entre et de la somme continue par intégrale volumique des énergies cinétiques des pseudo-points présents dans à l'instant sans tenir compte des pseudo-points entrant ou sortant sur l'intervalle ; En effet, si la variation entre et de l'énergie cinétique du système ouvert devant être traduite selon dans laquelle d'où , ces deux derniers termes définissant les débits d'énergie cinétique entrant et sortant , on en déduit que le taux horaire de variation de l'énergie cinétique du système ouvert défini à l'instant est égal à
↑ Voir aussi le paragraphe « démonstration (du théorème de la puissance cinétique d'un système fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » à adapter aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
↑ «» y est la puissance des forces exercées par chaque système de sur le pseudo-point c'est-à-dire dont la définition est avec le nombre de systèmes de .
↑ Voir le paragraphe « 1ercas particulier (de la puissance développée par les forces extérieures) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Il est inutile de préciser que le système est indéformable car tout système en rotation autour d'un axe fixe ne se déforme pas.
↑ Voir le paragraphe « 3èmecas particulier (de la puissance développée par les forces extérieures) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « énoncé (du 2ème théorème de Kœnig) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Bien que l'énergie cinétique soit la somme de grandeurs définies dans deux référentiels différents, la définition de la puissance cinétique comme la dérivée temporelle de l'énergie cinétique ne pose aucune difficulté car on dérive une grandeur scalaire et même si on dérivait une grandeur vectorielle, on obtiendrait la même dérivée dans l'un ou l'autre des référentiels car les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre.
↑ 154,0 et 154,1 En effet sa forme locale associée « le théorème de la puissance cinétique » n'étant pas applicable à un système continu ouvert de matière, voir la note « 139 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 156,0 et 156,1 Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le cas particulier d'un solide (réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide, solide en translation) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 157,0 et 157,1 Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le cas particulier d'un solide (réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide, solide en rotation) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 158,0 et 158,1 Voir le paragraphe « théorème de la puissance cinétique dans le cas particulier d'un solide (réécriture du théorème suivant la nature du mouvement du solide, solide en mouvement quelconque) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 162,0 et 162,1 Voir le paragraphe « définitions (de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif) » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire n'étant pas applicable à un système continu ouvert de matière car la forme locale dont il découle ne l'est pas voir la note « 139 » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire n'est pas applicable à un système ouvert de matière, d'où la forme locale en découlant non plus.
↑ En effet le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous forme élémentaire n'est pas applicable à un système continu ouvert de matière, d'où la forme intégrée sur une durée finie en découlant non plus.
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ca05cb269c79d5f298bbe6699a25f93d2ece18)
![{\displaystyle \;M\,\left[dm=\sigma (M)\;dS_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cfc7ba41a9295c0a8ec60437757282f4071e1a)
![{\displaystyle \;M\,\left[dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5da8c954a838b5dde3e7796b4c4b61ff0aa84b)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]\,\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a8d831720f813428dc315c0610c318fd35c39b)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,{\overrightarrow {OG}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9f9e6e1ac22230f358b038abb3f2f41418c32a)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c75d5e628d875ef749e02ee59338bf6fcc659)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}\right]\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {O'M}}\wedge \wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf7e68cd873661aeb55c8d80fefb59ae552b30c)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffb9dff1977e2ecf6c5cdaaadd8b42cae9be527)
![{\displaystyle =\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa86ec93944e7e9c0217ca461c5266a8fc332306)
![{\displaystyle {\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ac38bffc31d0dd3043d346a922aba2b73acf7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aeba8a9388415d503ddd6b67e061e60f5fa441)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\mu (M)\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\mu (M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d367b7c2ef9cb154ba0f28f44c1a8cb884898654)
![{\displaystyle \,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9d541829e4356ba676f28104e70ae1996e85f6)
![{\displaystyle \;m_{\text{syst}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e47d51305be5d18cbc9e79c1f0f263e0d52983)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2783d495fbbfcc90a8f4e3515df5383dd5170717)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e73df07ece0d7cbe3c536bca689907d92d399d)
![{\displaystyle \;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;\perp \left(\Delta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0c622630b28c43bd0b8d144828f7e8390bab64)
![{\displaystyle \;\mu (M_{n,\,\theta })\;{\overline {AH_{n}}}\left[{\overrightarrow {H_{n}M_{n,\,\theta }}}(t)+{\overrightarrow {H_{n}{M'}_{n,\,\theta }}}(t)\right]={\vec {0}},\;\;\forall \;\theta ,\;\;\forall \;n\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af97eda07650d3069118520c966d7d27cb79fb07)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec4427c198450a7fb3c2b7e752a59a8ba899ae)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb22e1152a74a24a181f2040d720725656d5b58)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f885afce5b27a2818542b95cd061feaa9168c04)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a6d6b1cf625ba9764f6264a106ef421b2d9330)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d68f933c3eb2d052e5ad8848db3752ad38bfa24)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca7ffda500df1b33562579cc974851737c0ef94)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327599ac1a0cbebb650c3fa8a7cc6aac6b157134)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4888274d18f00458b0f18b9411fa55de9ac063a0)
![{\displaystyle \;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d702e4fd1627634d5cc2df0f5e2b71b88b51fa9f)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9a12b9fde825526887083a4383f302ae98b948)
![{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}^{\,*}\!(t)}{2}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc29182deb55c90ba931cff836d36d5499acff1)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b9502c5799642ddd50f8787af7a0ccb1169300)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391222df02063a90e46a46fb3813b35770aee966)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)-{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {GH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382df4daa179871bf496b38b0ac8e55fe367e3c5)
![{\displaystyle \;O{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6d2e8421ffaeb862d52b1faa430ab5f2d5a24d)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta _{O}}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24484e7cefd3537dffc4901f59379bffdc1a8060)
![{\displaystyle \;K^{*}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{\!2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f01d31cea8ffc516053b1d05c19707e8e3c2dc)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\left\lbrace \left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\right\rbrace \;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30396f6c504239f2e8f74b5980106dce26dcba4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e362e32f280945edc448d7b8672342a2ac36fe10)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b9cff2dcbf398a126e384b65291c621057522e)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b79e4e7a88df29a0bda8c995a9bdc022f14e2c)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4432400d235de07a078abfb6e1bbf43696aa5a)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=K(G,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d613307c7bc995291d1c56d3d0c63de79ca1ca56)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e796b0d1cac1bd2c4e68c1b7ad6739a671efbb6d)
![{\displaystyle \;M\,\left[\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee40bb18eb1dea4a9c6b7978f1d8765f22ff462)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d910c9b343f4e9866518a376b49e5baff2e8bd5c)
![{\displaystyle {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5009a1a3c1fcd7483273ceb0ed46bba07856fae5)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0807ba0975d026d7caadf0510b31ca2b55d2a384)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028d0b908d4b2c4c7c7bc3833cbdedb8c390290c)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba8876f3e5351cfe69867dcb2220392e588173e)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3456d335340e352ca98c69a3261641f95f26e0)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6b5f4befa519f0172f294a820543bfbef85837)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37176d9127c170e08fe335eca0f1f88c5f670b8)
![{\displaystyle \;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc19d2fc92b40b60a289ed7ad226cb7a053cbead)
![{\displaystyle \;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096808f15a68c33325bf365cfd36d31f07262121)
![{\displaystyle \;d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d824a57948fd82bff4cf5bc20524625e9a7091)
![{\displaystyle \;M'\,\left[\mu (M')\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8801b9a224bf53b2b785de64ccab0994c9ecaa)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13038824c146d0bf6ec90e25435d1131be444d65)
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f281535301033f0a158eea03458dafb2f0d5c96a)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8b752b53942ced0356a5d2cc4462ff48c06ca)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a75da051d8e5efbee3764d2a948372041b5dc21)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badfb42ed48d436eb36ea2cb4e4ea5b86e6fb231)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6489ff4c31b31b93729bd53a3974465b4b99b3cb)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f308d53690a7c409d1e909517eb4e81778ab00)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left\lbrace d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}+d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9658163150dfb18459c7a66867a04032851542)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}+d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea57c3fcfdeb73f9b646d508ec75950365c40667)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf6237745f73a44711dfbe1dcce264259cb7d3f)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e69f69c3ab33f4e72bb2b601972a8df3953192)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d29ccce330fbfb6b895c7b64d8a30eec36819d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de34cdeabc7d38f82586cd020e6769a9e5ba75b)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862694567f04876ac191203c3ceca00a6d4ef727)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229b843351b4e2f69ef0362d9d33959bc2d4d23d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3373bb6c9797e89df2d6eb6e7dd2954ce1181a)
![{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdcda6c304908561c0170a7bc8b840914351970)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right]={\overrightarrow {OM'}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1f49574aeeb6113b4e727fd89ec5f4ab9cbf96)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}=-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d984fdedef5b02b2ece1d2c28e4163d864a877)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5821279689dde40a3004f687d8a0b187b47e6b)
![{\displaystyle \;-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b865d47fec38b6572646b4e9f62c3429a964e4)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM'}}\right]\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {M'M}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adfe7a2f57495b3365a3c3b55bb478bb4b8e6dc)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {M'M}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db492663767865abcae5ced7a559045d6803e71)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2809745b2adfa98b4cc5c0be6508430bea0602)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0633f8aee7ac554395ddd3963435aafe967006)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e03f0e40f77008be56969d86499f1630d75cf43)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511e18f9e635e85c53cc1771f31957cac1e27b95)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102fd2643cf69e55559663e46dc697a86975c900)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;\;{\text{:}}\;\left(O\in \Delta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146f400e37a3337c3e9191a96778b7d8c11dcdd1)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36aec59cadbc871b8040ac9c19688b307519d52)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92237b6cdfc3fe9f561e7a4fe43024834514581c)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71cbf2d77c6f879b019d16b74a624ddb7d86825)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39bcf76e32eee21ddc0c3c482fcf57edc39fac9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1f5c58f5c9c3d9c34a5a3b6639f459683cced2)
![{\displaystyle \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91c544c28df187de9d5f5e4d8ab95d3178a2ccc)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c67168b4c49f32cd401224a2f1dffe9465113d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40edd980192920fa3cbe3761994aac6e3a163d21)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\overline {\Omega }}(t)\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef56e04c504e4184c01e2a69e1fd5dc1465a85b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f036354d4b5e352825b71dae9e181ec660a438d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6023910a7969dc22ee06aea14045c695f3daa166)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d6753d7208d854df7f3642786f720e4782f9c2)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d278297aed6c11944397423885a10110aea06d7e)
![{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace ={\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094935ec98d99bc09cb87355e872b85ac3a4410d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f88d1aed54d0febbdf3f9b74b70b0e03057ae7)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63fd2c4d8c779604da1d3aa61ab512fb6399ab5)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c244fad5b88f1ad1a0d73b781559e751a3206cb9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbe16a9ab71840c6947a37a9e27fe1db164f640)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa8c804d6b45d0428a78f39df5289d44381dd7f)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91e9037e08d1a6cb78114369f9d5d1184cf64f0)
![{\displaystyle -d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea633628fcc23f979e33738069469e7b48f241)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\\{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M'}(t)=-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M'}(t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d3fa01efecbbf8e61dfc6c42f3661a29201a05)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014dff48d4b2b2e36af9a7835892c5696a0eeccd)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM'}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba87366bfc98c8458131f1e0b8731eed0140a900)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {d\,[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM'}}]}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c999b23882e5ab556257dd8cf777710bf947e1)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba4e4aca3843880ba667d2ae669ecd897bd0b3b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{\!M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b47ab5be155e40e886203cf3b028f81cdb6a99)
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451c8068ba4165c8b9d80fcfb83bac2e1a817aaf)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028d2bf528fb94142636abc13ea1d89a22f63e3b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a227342015aec07e86fa7ba7edb177526f6f62e1)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562138921aa9cab6fe7c6f7b966d6c25fafda8c0)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b430b5fb2e0520e2ff5d9a22eef88f747e5542a9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9575abfa63bf782de75b0cb9c1a4785e12d4b4f9)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4f4527a6506168b344be7870bcb922ccd902aa)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01364e592cf8fc618cb041adf6633f5764b1757e)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}(t)\times dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c17363a5efde3034c70b5e11dfdb674b0ea345)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e4b97dd1cd97238b8a13399f73bd05c6a90f01)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt=\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41be82ed252ace3211ae36de02dd1a0b1138565)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d701b958fa7c8a6533535fc063a85476618c0a3)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12690ee5185fa520b1944c0efd489b03d8bcc97)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]\right\rbrace dt=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dt\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)\;dt\right]\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8104affab2c30a2857b66d854d62801d7ff240a)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c47511ca837e2cb016cfa099d0b0d321cb9dde)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94a7830cb2b3faeaa4f45d9e51e8e80bfb5f7e7)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaa54be35d69c7135c1814d3648c1e991e77b65)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left[{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413811109c02dec140587ea0401a8762dd7cb036)
![{\displaystyle ={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\right]={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1410218d2af525adcf46e054e226c2fa8fef7c8)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4097c0b317dff1a9618db4a994e3dd2934dad7ee)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\,\left[{\overline {\Omega }}(t)\;dt\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb75966cb735401979276ec1b2d2a620e8eb781)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb34a734b500c583bf27e0272048e540458ba588)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88bd69e4eff9a9ddf155072432e1dfb533d6a08)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t'\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44b03c507ea1a1adfcc64e4af8e19e7bc5c5f2a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}={\mathcal {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{ext}}}(M,\,t)={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607fb7b331581bcfe587a027e220cc5cfba98820)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b36353d1abf6ac2ac1b1a35bb26b8c471a9807)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')\right]\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f817fb2d05791ce195ceae7f972ae51c2120f8d5)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99174047634ad274b748f08e83e158e1ba8302b)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcfaa74428879b17b880acb6f4071756615e4fc)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac8f59532cec9dbb6055920ad08d9e22cb05fbb)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abf530cf6b22c6e22e9a69b5948b65893262927)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56259495b46872e62e7dbbf6bf3b7ff1767c1788)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dA}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c04f53a2e2117e6a6ef5d18d0b3afb2570f36f)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\overrightarrow {dA}}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af69e0328ff4e2db50aa54c1ae167193fc44e2d2)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efe7c85e443abc5c002e382a4a1ab5259773b71)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}}_{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a696d379f9910e91682006edb032e6d235c85c17)
![{\displaystyle \,\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}}_{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08afb169c0a1e6358bd477bc3960aa14cf45966)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{\theta _{M,\,0}}^{\theta _{M,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40088f8b07669070c8b5875f2ac007d00a4f97f9)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int _{\theta _{M,\,0}}^{\theta _{M,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6485055a36a2dd10c1518c60fb2c84119581fae)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d\theta _{M}\,,\,\theta _{M}\in \left[\theta _{M,\,0}\,,\,\theta _{M,\,f}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d9ca00203e5249fe2fb46b389559749d3181d0)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d\theta _{A}\,,\,\theta _{A}\in \left[\theta _{A,\,0}\,,\,\theta _{A,\,f}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329de5d80f6504d314791311e76f4586b7d3acb5)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]d\theta _{A}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05669a49ae5b54af1b6d6b6d02b08400dfbd06f)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace d\theta _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cacbd06b971beca5c3ba14c803abfa81f8b29d)
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fb9ec17e11ad4ce28f7cd5e7134cc824b00c70)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\left\lbrace \;\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28fae1482b0788b09244bee93ce44cd59d8fa09)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54cea520a96f261154848849a7ba488d7c2505e)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdd61212a85663de85c0ab47ee0182473335935)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cc7e72b5923e07cbd04f138c510edb5daea715)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a938a78816e84cec3375141fc60580ece18b1c)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514dc2a4eb1692c6172504462b6d5a0961bbffcd)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb4c22e8f57f815377c9f885a3d7fcabd876316)
![{\displaystyle \;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06f38b4991e5b2c1371cfe7b60cbf6f1e4636ea)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f1f4190286b6782d895e5d1313822267d307e4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \;\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t'\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1335df6361cc2920a3ce2cf687efff7a9f88c796)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t')\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8bc3a6ed53aec6948613cbc2078d439d39cbf4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc588259bfb5fa6b867f0f042d2d8a259d48a93)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bf4424e6f98de17ede4a163238aa7f797462f4)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e0f2fa9f108f37318cb883b836ab3588c768c4)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a88a7e1d94404793a07eb3c24fe8c71597130e)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]={\overline {d^{2}\,F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;dr_{M',\,M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d666d6231ec5ed83d8bcad616bc3ff40f8a66f79)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{f}}{\overline {d^{2}\,F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;dr_{M',\,M}\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba04e6de4472a04f6f5967a914614575b7096ff)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{f}}{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9594d5d55fc6fba623a9aabcf9bf48856c5a08f)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2237c16c220badda066f5bbb766d32af89771c92)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70f38f37b17a0a00340fb683be5c2bc0cf518d2)
![{\displaystyle =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddef277d64756810f4537024450323f556a4fcc)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9471debf7db81299bd253b788dc9a3389dec91c3)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1081e7930d0ddb4762fa662d19dafca60cfad315)
![{\displaystyle \;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdcbba2a4b648a5fd089ec9e2e2d4a8aa24c35f)
![{\displaystyle \;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c2807327fbd05ceff5952e83d95e9683f60891)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[-du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]d{\mathcal {V}}_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb20dff42bd4d51a810d5464bfaa9d4b4e1db7de)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=-d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728eceacc58f59cc0372538549affbaec71cb6c0)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d07a1be5c3f6766486ff059548a93fe9af3e25f)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8827209b0c5224f1f491afcf4e51a9aade984ad6)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,M'\,\neq \,M}\!\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c5a7c90036a052937cd6eee03a932c09a50892)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,M'\,\neq \,M}\!\left[U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d2cae65e3ad7b9036162b3d39e75550c924e3a)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e851120538c0d6604805b80adce4bd9f04279988)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00f06ecdd33749c4c8915ea5a25ccd8e0029ca8)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667a11366ab40f083ab3c470ae1d3dc8d3e2c2f1)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a6ba4121de44914fc397c3c581e604be61287)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right](t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41b10d7b9c68ddd23f82b1ea1788f073d5ab05d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c11192b3c6b39acf7d3b156a77778e68d273cf3)
![{\displaystyle \left\lbrace d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\,\neq \,M\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a574eafc6f406dfb452efda89a7d27eb7bdca16c)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebe2a6bae4748db1da22e736b79c00668f531a0)
![{\displaystyle ={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74569900f6f6e5377f9d48bc1431c051f79faf9)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}\!{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359cd9bb0c15dae6f2d0149ed3c50c6f7144c88d)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84adfb230b8b710f8a83f7741548c6a74acc93b1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9329534932ecee45c7065a1adb19e2c55794d7a6)
![{\displaystyle \;\delta W_{{\text{bivolum}}\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93424b4ee61c49f0055c057b9301f12adc26340)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acea74a7d490290abac889f2f89954f031fb0d97)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e38f44f8bf7820cf5a64effeeafbc6874ae207)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e831d094c9eceb73598ad2288205a8f80664cfd9)
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4578e739e1ef0c5723370f922c0dcfe05a2c6bb)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752ead21732446f56e4aa02d72c6895c51d773bc)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]={\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}=-du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097f0c2c47f7b0c0915ba174f14b5b9dcc3a1695)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e94b771ba3575117ae78afe00fe7e0d1b43ecb)
![{\displaystyle \;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M}){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9952197d7241c19fe06087e98ab63ff0de4714f1)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73310d7cb60d5a3f282a77e65043a0fcf649badc)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \;\;={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[-du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623b16e160a7be4814d6e9b2a323ddb372bb62ae)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-d\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de5aa13c46f396927f96490d72ca10810616154)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\!\left(r_{M',\,M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c44e26f3b57d85562312fe7fe1e9a1080e3222)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9f205b40266e0426b3b86862d5a2690b047bc9)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fd42ad2552714c919fe3a69945d5a06c208e26)
![{\displaystyle \qquad \quad \;\;={\dfrac {1}{2}}\left[-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{N\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{N'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,N\,\leftarrow \,N'}(r_{N',\,N})\;d{\mathcal {V}}_{N'}\right]d{\mathcal {V}}_{N}\right\rbrace \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7af55ac68b68a10bc9d1725103468e922cf8cf)
![{\displaystyle \quad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\displaystyle \iiint \limits _{N\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{N'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,N\,\leftarrow \,N'}(r_{N',\,N})\;d{\mathcal {V}}_{N'}\right]d{\mathcal {V}}_{N}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46003c50603fa954ecd329725758ad73693a0106)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left[U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8934fe86ce7de1d29560bce42c880f503ae3d37a)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedb4cb349d4bcea719ce19cecf39cdb8179f865)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f7cc01630eb474cf2bc8aab70ab9d68dc8e195)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\dfrac {d\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa205f2472324378f62cf3c3f6a473063ee6714)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a092ed0551b5a98bc3ae32a20562309f568a9dbd)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02914d54f48f8e753dd5d88fe8063ba5c4104ed)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dba47682dbbfc1633545aa7eb9b7c7f717561e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352147c693d0f46129f6503adfb5da6bb60267b6)
![{\displaystyle {\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db982ffb3be798b661428412dfdb3a743c23d19d)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d57b9c81396b66d14a6bc5ed8c865089aa803)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace ={\dfrac {d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20211cf5a4b895dd7bda0fc877f756495ffbef4e)
![{\displaystyle {\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e045d533775f09a93e9d63eb9c08dc3fdeac42)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\\d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\!\!&=&\!\!d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M)\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a94c953c931bfb80a8ead32ef09f0098c6a6d05)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M)\right]}{dt}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd02b21cdd7a1ce67ac70703a437b7cc2084bf6d)
![{\displaystyle {\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d50f3df5afd2acc66988fb81a7c0852f780555d)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace +\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401604ee59159e1c0749d0a683cdf48b7ac8baad)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ={\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3da42b7442e7097906f0f5bf925620f91f57d00)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8326469c972bec86c3b06b21d986375f0d13a0)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa152d14f0cb49e9a3159517de4274241fc45fc)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9897a843f734101910e493fbd51986979a30afee)
![{\displaystyle ={\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515a91c950f18f7ac0a7539feda56d9ae606333d)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f58173f7d52de9ffa730d8278ef36407f5b4e5c)
![{\displaystyle =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04be79d71927e84831ff476d49edd2868ed267d0)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f97e67eda9e18ab6ab6af3ae79252f64841e5e5)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6443180182e5d7176e2a4d0366e1cab837fc4714)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;{\cancel {+\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0c5205b234d2c5078bbeda9505906ab35616df)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdff36a604e03df40a4ac995b197b70cc698230)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9deb54e145cd1dee3f999f80c98757c40699d0a5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}\right]}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be84faded1908d9fa190aed2c973d0057fe8e979)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9eeffd3db6786fe4ab9ab0f28df64fb104884e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcda4c9e34350ba30f39948446f6d99ed12c8c8)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8aa581c80109621ec73c2cc8e0540598828698)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd395f8d8c320e111ebabbe50e05456fe7cf2cb)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10df820cfb3c6ab5f5243da9b16e1c99b9acce23)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52e0a79b76608db3ced7329ec78889519a83b21)
![{\displaystyle \;m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492b96afab606374e8c3eb2c72755459cded2d0a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!(t),\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e29f5cd8080264f51f8c05c593640568738ebaa)
![{\displaystyle =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ccecc12c6d85284fdca7da6ac64d14c4a1932b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dK_{M}\right]}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11c42f9626f05de6df1ba69944198e6fa26a9cf)
![{\displaystyle =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cc23cfe08db9a6ddd0e20f293423135b2ad9fe)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e253736c48b66743969a5d16b7edc6d8650d436c)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c717955beb8e528c65d87f5e4eb744bd362ff4b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c386fd4c980e9d7deac5fa9f5ae0d45f654920d8)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b53d813cf1c131c556b13cc84facc0ab97621b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b776ae40438981ff43ce83332a9374ede1f265)
![{\displaystyle \;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ef69abee6d90563bccc1b4b8e22a4f021d6dbf)
![{\displaystyle \;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2621bbd980db8b9bb67b916c713e7fbb858690bf)
![{\displaystyle \;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\right]+d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c233461f33f30af70c2fa81874e10aeb7fe5d7ce)
![{\displaystyle \;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d61e427a2979b2b0a4d5c176e053e608677cd77)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9666c2b1dd98aa35595cba4ec981f18609cef4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d3aa1aa6406d5fa466b4034fb28041e2628148)
![{\displaystyle \;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}+W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50c5bb54877ccb8b04d68b11851239ef54269b4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfc3f6ef1db139c77b8150914742827a2aa4e89)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4a6de09f9678bf8d190fbcc38fe3f417f526b7)
![{\displaystyle \;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae53559bd711a9cf008f99a6c7e2b1ebd051c94c)
![{\displaystyle \;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b12c530a24bc8d294dbf6cbcd5768c6ca7c4ff)
![{\displaystyle \;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t_{f})-{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d546682b2738b5978a627cb255a3274dd80ad2)
![{\displaystyle \;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\right]+\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5049110b1b7a0559ebb856b24029055f58a5cb40)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]=-{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179ff209e8f00c8f9147e3d3eb2ef71e0710e864)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\!\left(r_{M',\,M}\right)=-{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28418e64db5eabe99dfcc1cc7b2a54b4e5e83f97)
![{\displaystyle \;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf7762124a5d6bab309c6f8682cc8a1acf3f0e6)
![{\displaystyle \;\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces conserv.}}}=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f205280fd39104ce426f7cbf97bd32993a18fdd0)
![{\displaystyle \;\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces conserv.}}}=-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5dbac74c695e44d0aba986307b07d9179c35ef)
![{\displaystyle \;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+\delta W_{{\text{ext}},\,{\text{forces non conserv.}}}-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{\text{conserv.}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]+\delta W_{{\text{int}},\,{\text{forces non conserv.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9771a5f645ace6908278659fd5f4ca3d70695269)
![{\displaystyle \;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbb17f3307eed886e6f3c6f513e13ed76206d08)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19f5e83d804927ffea3e5c5714591349d94dc7b)
![{\displaystyle \;E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}(t)=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)+U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right),\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123f5fb0b24770ef1d35163fb5a0f6d961b2f813)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8abcee2a1000a9e2f71910fcb318a20aab3764)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4867a0aab2f5b18d38ea89ae8cda59d195d3a2ae)
![{\displaystyle \;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}+W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d46e4d4f52f0e3f9b8bc5e58d0d93a4e4a506cb)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,{\text{forces non conserv.}}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0f2781ec098a769d3023ad276d61d7b3745619)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,,\,{\text{forces non conserv.}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c015e96daf7a3a784d600bbd9ceb03d2affb460)
![{\displaystyle \;\Delta E_{m,\,\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right],\,,\,{\text{forces non conserv.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc245c62b5bec872efd80f9a8a96bf85c22332a)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2beaa88b26f320462d1aa4c9e9e720b3e313cf5)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52d3fa1332eea2ce47ab26e0057d4b5088dd755)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma ^{*}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1757c0f7f99d1da2730d4e2d83b7a782a17b7787)
![{\displaystyle \not \ll \,c{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5830ed3bbc69dae29a3f18d4c592a98dff5a77cf)
![{\displaystyle \;d{\mathcal {V}}_{M}\nearrow {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0979a950fcca8a6d6df689c4459ba98e4001e90)
![{\displaystyle {\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f179fa3058bae27e8b4bb7aa7b060cdf6d862a)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161c621bc0e1a876434871ab7727c25ab74897ed)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{k}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{k}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta _{p,\,k}}\right\rbrace {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3419b3e99fa59875f51ade7a52251d77fbe783c3)
![{\displaystyle \;{\vec {A}}_{M}\!\left[M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d19d15840784477bd97e5e9a3ac1c514492eb5a)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c3d7025b909a7ea0c2918eb8a91f6954ae68)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a048d52eda6cf5c33f61a4beed7db3e1cf365c91)
![{\displaystyle {\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}(t+\delta t)+\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}-\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a879ba47baf1c223c5ef7c75ccb33f8f42efeff8)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {P}}_{({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)+\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}-\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8af54bfbbef6c361a2a23d88b2cd51f399f4cc0)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}D{\vec {P}}_{{\text{entrant à }}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\\D{\vec {P}}_{{\text{sortant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {P}}_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8072bc9cdc7b43f81f464e8f8fb2dd166e7c7961)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7586e7da8795bf354a4d77763fa56e8797403111)
![{\displaystyle \;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f828a16dc17de45189d715676ed3c65ac68b80d)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e5365de0729bdd56d66eb0bee08947055361d8)
![{\displaystyle \sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86c2c1cd2122d88bc49ddccd7cada95b08ad750)
![{\displaystyle \;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3080f8e90d4ff21a48127cc6e856718732d967d6)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e6da87609304131ed1add1a6bd4b728b58ebe8)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f528402aed25869c2645770ad205f9cf11f83cc)
![{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {S}})_{t}}(t+\delta t)+\delta {\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}-\delta {\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d0d85d546e4fbb8ebeb82fcc617413de49e99a)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {S}})_{t+\delta t}}(t+\delta t)-{\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {S}})_{t}}(t)}{\delta t}}={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O,\,({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)+\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}-\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339bb39f37dc632521afeff0fef2beeec16013e2)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}D{\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{entrant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\\D{\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{sortant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta {\vec {\sigma }}_{O,\,{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9655ca5300a5181ce3b0ae40ad31034030ecd48)
![{\displaystyle 1886{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f056cb5e0634141126aab0838aae5d8bc568344b)
![{\displaystyle \;\left(\Delta \right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ec88538a93e73185c50e3f0c669068084f37ac)
![{\displaystyle \;d{\mathcal {V}}_{M}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0389028b532a65b989ab070343d846c02884d22)
![{\displaystyle K_{({\mathcal {S}})_{t}}(t+\delta t)+\delta K_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}-\delta K_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2156be8ca7243ec890923be2343bc09930e241)
![{\displaystyle {\dfrac {dK_{({\mathcal {S}})_{t}}}{dt}}(t)+\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta K_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}-\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta K_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f269457223038323e954ab838b2ad52882b5a5)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}DK_{{\text{entrant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta K_{{\text{entrant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\\DK_{{\text{sortant à}}\;t}=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {\delta K_{{\text{sortant sur}}\;\left[t\,,\,t+\delta t\right]}}{\delta t}}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e21b5bb5ac5cfeb5517f8832a44e15adde7502)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795f83857bca949f914dffeb2ce15b3367f0bb18)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baee822049b5f3c67afecc320bd4c38e726a7949)
