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Cinétique et dynamique d'un système continu de matière
Chapitre no 4
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec, pour système continu de matière, un système d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable dite « de contrôle ».
Les cas de systèmes continus de matière d'expansions surfacique «» de masse surfacique «» ou linéique «» de masse linéique «» ne sont pas développés car il suffit de faire les remplacements suivants :
« le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] » par « le pseudo-point de l'expansion surfacique [2] » ou par « le pseudo-point de l'expansion linéique [3] » puis
« l'intégrale volumique définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion tridimensionnelle à partir de sa densité volumique à savoir [4] » par « l'intégrale surfacique définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion surfacique à partir de sa densité surfacique à savoir [5] » ou par « l'intégrale curviligne définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion linéique à partir de sa densité linéique à savoir [6] ».
Cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
La masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du système et définie selon
Remarque : Si le système est fermé, sa masse ne varie pas c'est-à-dire «» mais il est possible que son volume varie par le fait que l'expansion tridimensionnelle se déforme en occupant plus ou moins d'espace, correspondant alors à une masse volumique au point générique ou .
Centre d'inertie (ou centre de masse) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
Le centre d'inertie ou centre de masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est le barycentre des positions instantanées des pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [1] affectés de leur masse élémentaire , sa définition mathématique s'écrivant[7]
La résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme continue[8] des quantités de mouvement de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] au même instant soit, en notant la densité volumique de résultante cinétique en dans le référentiel à cet instant ,
«»[4],[9] ou encore, ; «»[4],[10],[11] avec le vecteur vitesse de à l'instant dans .
Remarque : Si le système est fermé, c'est-à-dire s'il n'y a ni entrée ni sortie de matière, l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des pseudo-points le constituant ;
Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée , pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :
Remarque : si le système est ouvert, par entrée ou sortie de pseudo-points accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et ou
Remarque : si le système est ouvert, par modification du mouvement des pseudo-points initialement présents.
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I[12]. du système au même instant dans le même référentiel selon
«»[10] dans lequel est la masse du système et le vecteur vitesse de à l'instant dans .
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration[13] : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I[12]. du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est tel que [4] ;
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [4],[14] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, [4], le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , C.Q.F.D[15].
Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétiquedu système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», définie à l'instant dans le référentiel , est donc, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I.[12] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.
Moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O
Le vecteur moment cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[16] est la somme continue[8] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1], définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [17] soit, en notant la densité volumique de moment cinétique vectoriel du système en dans le référentiel à cet instant , ou encore, dans lequel est la densité volumique de résultante cinétique en dans le référentiel à cet instant ,
«»[4],[9],[18] avec « le vecteur résultante cinétique volumique en dans au même instant », soit encore «»[4],[10],[18] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante
«»[9] dans laquelle «» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .
Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles[19] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[20] soit [4] dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [21] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D[22].
Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I[12]. du système continu est le plus couramment utilisé à savoir «»[9] ;
Remarque : le moment cinétique vectoriel du système continu, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I[12]. du système dans le même référentiel , «» et Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude
Considérant le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, «» dans lequel «[4] où, le système continu étant en translation, «» et «»[4] puis, par factorisation vectorielle à droite[21] «»[4] par définition du C.D.I[12]. du système continu soit
Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [23] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C
Soit un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel avec centre du cercle décrit par dans le référentiel avec le vecteur rotation instantanée , le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté est défini par
y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [23], à savoir [24],[25], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[26] soit avec par utilisation de la relation de Chasles[19] ou encore, en notant le vecteur unitaire de , on peut écrire car est à , d'où , soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matérielen mouvement circulaire de centre, de rayon et de vecteur rotation instantanée[23] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un pointde l'axe de rotation du centre du cercle
Expression du vecteur moment cinétique d’un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ
Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)
Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique volumique du système en de l'expansion tridimensionnelle dans par rapport à sous la forme [27],[10], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système étant la somme continue[8] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] ; on en déduit donc [4] ou, après distribution de l'intégration sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,
en notant «»[4],[28] exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1re étant sa masse et
repérant par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [29],
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon
Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « axe principal d'inertie du système »
Pour tout , point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude et passant par , on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation , orthogonales entre elles, telles que
« soit à l'axe de rotation » du système c'est-à-dire telles que «»[4],[31] avec le projeté orthogonal de sur , «»[10] avec «»[4] dans laquelle , définissant un « axe principal d'inertie du système issu de »[32], étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par ».
Remarque : Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point quelconque, «», en rotation autour d'un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, « soit au vecteur rotation instantanée », c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine[33] mais
Remarque : un axe quelconque peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points c'est-à-dire que le 2ème terme du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée , à savoir «», peut être non nul pour tous les points [34].
Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ayant un axe de symétrie de révolution autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point quelconque de , on vérifie la relation «» avec «»[4] dans laquelle établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «»[4] car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en , à la position correspond une position unique symétrique de par rapport à c'est-à-dire tel que «» d'où la propriété énoncée en intégrant sur à fixé utilisant une seule fois toutes les positons du plan de section droite coupant l'axe en [35] puis sur pour décrire toutes les sections droites.
Moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ
Le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» par rapport à l'axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un pointquelconque de l'axe soit
Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectifc'est-à-dire en vérifiant la propriété «» ;
Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[37] entre et soit «»[9] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[38] «»[39] R.Q.F.D[22]. ;
Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «»[40] dans lequel « d'où Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par «» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41] «» en notant le projeté orthogonal de sur l'axe soit, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par d'où les coordonnées cylindro-polaires de avec pour base cylindro-polaire liée à , [29] et par suite «» ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant [9],
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «»[4],[43],[10],[30] dans lequel «»[4] est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par «»[4] ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[38] ainsi que à , «»[4] et enfin l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué
«» que l'axe soit principal d'inertie[44] ou non[10].
Énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
L'énergie cinétique, à l'instant , du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» dans le référentiel d'étude est la somme continue[8] des énergies cinétiques de tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [1], définies au même instant , dans le référentiel [45] soit, en notant la densité volumique d'énergie cinétique en dans le référentiel à cet instant ,
«»[4],[9],[46] ou, la densité volumique d'énergie cinétique s'exprimant encore selon «» avec « la densité volumique de résultante cinétique du système en dans au même instant », et « le vecteur vitesse de dans au même instant », «»[4],[10].
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant , du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , s'évaluant selon «»[4] soit, en factorisant par et reconnaissant [4] dans l'autre facteur
Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que avec [25], s'évaluant selon «»[4],[45],[30] ou, en injectant l'expression du vecteur vitesse de , «»[4],[30] ou encore, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41] «»[4] soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur [4]
«»[10] ou «»[10] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de ou encore, avec [10], [4] étant le moment d'inertie du système relativement à , «»[10].
Référentiel barycentrique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et cinétique associée
Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le référentiel barycentriqueou du centre de massedu système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est le référentiel lié au C.D.I.[12] du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».
Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .
Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude en la considérant comme composée de deux mouvements :
Intérêt de son introduction : un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant , à , ce mouvement considérant le système à l'instant comme un solide et
Intérêt de son introduction : un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide lié au C.D.I[12]. ;
Intérêt de son introduction : le solide s'identifie au référentiel barycentrique , ce dernier étant lié à , en translation de vecteur vitesse relativement au référentiel d'étude ;
Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à
Intérêt de son introduction : celle du mouvement du C.D.I[12]. dans le référentiel d’étude et
Intérêt de son introduction : celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.
Grandeurs cinétiques barycentriques du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est la somme continue[8] des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les pseudo-points du système[1] soit
«»[4],[9] avec la densité volumique de résultante cinétique barycentrique du système ou encore, en cinétique classique, «»[4],[10].
Propriété : «»[10] car «»[10] d'une part et «» d'autre part ; on en déduit «»[4],[10].
Moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque
Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué en un point quelconque «» est la somme continue[8] des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les pseudo-points du système[1] par rapport au même point au même instant soit
«»[4],[9] avec la densité volumique de vecteur moment cinétique barycentrique du système par rapport à ou encore, «[4],[9]»[4],[10].
Propriété : «» est indépendant du point origine et simplement noté «»[10] en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points et distincts on obtient «»[9] avec [10] d'où «»[10].
Énergie cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» «» est la somme continue[8] des énergies cinétiques barycentriques de tous les pseudo-points du système[1] au même instant soit
«»[4],[9] avec la densité volumique d'énergie cinétique barycentrique du système ou encore, en cinétique classique, «»[4],[10].
Les théorèmes de Kœnig ou König[47] permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle.
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
Le moment cinétique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un point quelconque «» est la somme
du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «»[48] évalué à l'instant et
du moment cinétique vectoriel du C.D.I[12]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même point en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel d'étude[37] et l'appliquant entre un point quelconque et le C.D.I[12]. du système, on peut donc écrire «»[10] dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude ;
il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig[47], à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I.[12] du système, à l'instant , dans le référentiel d'étude, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant , c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant , dans le référentiel barycentrique , lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I[12]. du système, soit encore à établir «» ;
pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[49], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[50], le mouvement d'entraînement du centre d'un pseudo-point[1] quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement de vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre de pseudo-point s'écrit «»[49] puis, en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[20] dans le membre de droite «», enfin en faisant la somme continue[8] sur «»[4], « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant [4] en factorisant vectoriellement à droite par [21] soit »[4] par définition du C.D.I[12]. du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle d'où finalement «» R.Q.F.D[22].
Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)
Le mouvement général d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» indéformabledéfinissant un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé
d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[12]. du système et
d'une rotation[51] autour de son C.D.I[12]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide ;
l'application du 1er théorème de Kœnig[47] à nous conduit à «» dans lequel
provient du mouvement de translation de relativement à cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point fixe dans , dans ce cas on parlerait de moment cinétique orbital et
, dû à la rotation propre du solide autour du C.D.I[12]. de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre du solide autour de son C.D.I[12]. selon «»[4] dans lequel «[4] est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation [52] passant par » avec , étant le projeté orthogonal de sur , le dernier terme de n'étant nul que si l'axe de rotationest axe principal d'inertie du solide[44], on peut alors écrire «».
Remarque : Dans le cas général où l'axe de rotation propre n'est pas nécessairement un axe principal d'inertie du solide[44], on peut appliquer la version du 1er théorème de Kœnig[47] projetée sur ou de même direction que mais passant par , et on obtient «».
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme
de l'énergie cinétique barycentrique du système «» évalué à l'instant et
de l'énergie cinétique du C.D.I[12]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
L'énergie cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» étant définie,
à l'instant , dans le référentiel d'étude , selon «»[4],[10] et,
dans le référentiel barycentrique , au même instant , selon «»[4],[10],
nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[49], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[50], le mouvement d'entraînement du centre d'un pseudo-point[1] quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement de vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses de ce centre de pseudo-point s'écrit «»[49] puis, en formant le carré scalaire développé dans le membre de droite et en multipliant par «» ou, en développant le membre de droite, «», enfin en faisant la somme continue[8] sur «»[4], « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant [4], en factorisant scalairement par [53] soit »[4] par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle et le « 3ème terme, en factorisant par , se réécrivant »[4] d'où finalement « ou » R.Q.F.D[22].
Application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique)
Le mouvement général d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» indéformabledéfinissant un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé
d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[12]. du système et
d'une rotation[51] autour de son C.D.I[12]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide ;
l'application du 2ème théorème de Kœnig[47] à nous conduit à «» dans lequel
provient du mouvement de translation de relativement à cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point fixe dans , dans ce cas on parlerait d'énergie cinétique orbitale et
, due à la rotation propre du solide autour du C.D.I[12]. de ce dernier, dépend du vecteur rotation instantanée propre du solide autour de son C.D.I[12]. selon «» dans laquelle «[4] est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation [52] passant par » avec , étant le projeté orthogonal de sur .
Notions de systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et leurs propriétés associées
Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière, ce dernier est envisagé d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable dite « de contrôle ».
Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que toutes les autres notions associées « résultante, moments résultants vectoriel et scalaire, puissance, travaux élémentaire et fini, caractère conservatif d'une force et énergie potentielle associée ».
Résultante des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Remarques : Nous avons vu dans le paragraphe « exemples (de forces appliquées sur un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » qu'il existe Remarques : deux types de forces s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels, les « forces de champ » et les « forces de contact », Remarques : deux types de forces sans différence formelle entre les deux dans le cas d'un système discret fermé de matière si ce n'est que les 1ères s'exercent sur tous les points alors que les 2ndes n'agissent que sur les points situés en périphérie du système ; Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de champ » s'exerçant sur tous les pseudo-points du système[1] sont réparties en volume et, bien que Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, les « forces de contact » s'exerçant sur les pseudo-points de la périphérie du système[1] sont usuellement réparties en surface ou encore localisée ponctuellement comme dans le cas de l'action du ressort ou d'une corde, nous les considérerons aussi, de façon à ne pas alourdir la présentation, comme réparties en volume avec une valeur nulle pour tous les pseudo-points hors périphérie du système[1] simplification dont nous déduisons Remarques : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, l'absence pratique de distinction entre « forces de champ » et « forces de contact » dans ce qui suit pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Résultante du système de forces extérieures (ou résultante dynamique) appliqué(e) à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Une force extérieure est une force que l'extérieur «» du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle exerce sur un pseudo-point[1] de ce système ; le système des forces extérieures est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires que « chaque système de exerce sur chaque pseudo-point du système d'expansion tridimensionnelle »[1]ou encore [54].
La « force extérieure élémentaire que le système de exerce sur le pseudo-point de d'expansion tridimensionnelle »[1] étant à , nous remplaçons la donnée du « système des forces extérieures [54] » par celle de la « densité volumique de force extérieure [54] » avec
la « densité volumique de force extérieure que le système de exerce en » définie par « en ».
Définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
La résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la résultante des forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant sur ce système de matière soit encore
«»[4] avec [54] la somme des densités volumiques de forces que chaque système de exerce en .
Résultante du système de forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle
Une force intérieure est une force qu'un pseudo-point[1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle exerce sur un autre pseudo-point[1] de ce même système ; le système des forces intérieures est alors défini comme l'ensemble des forces élémentaires que chaque pseudo-point [1] du système exerce sur chaque pseudo-point [1] de ce même système .
La « force intérieure élémentaire que le pseudo-point [1] de exerce sur le pseudo-point [1] du même système d'expansion tridimensionnelle » étant à , nous remplaçons la donnée du « système des forces intérieures » par celle de la « densité bivolumique de force intérieure » avec
la « densité bivolumique de force intérieure que exerce en » définie par « en ».
Remarques : Bien sûr, la distinction entre « forces extérieures » et « forces intérieures » impose de commencer par définir, sans ambiguïté, le système , c'est aussi la raison pour laquelle nous nous limitons aux systèmes fermés.
Remarques : Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] mais aussi l’action que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] avec ; on parle alors d’interactions entre les deux pseudo-points[1] et si l’une est appelée arbitrairement « action », l’autre est alors nommée « réaction ». Newton[55] a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3ème brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n[56]. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton[55].
Rappel du principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Pour deux points matériels et en interaction telle que décrive l'action de sur [57] et l'action de sur [57], on a à tout instant et quels que soient les mouvements de et :
Commentaires : En « dynamique newtonienne »[59] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel[60] ;
Commentaires : la 2ème relation peut s'écrire encore, en utilisant la 1re relation, , ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun , la 1re relation ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.
Remarque : À l'échelle mésoscopique un pseudo-point d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[1] se comportant, des points de vue cinétique et dynamique, comme un point matériel, le principe des actions réciproques ou 3ème loi de Newton[55] peut s'appliquer à un couple de pseudo-points[1].
Définition de la résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété
Résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
La résultante du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de toutes les forces intérieures élémentaires de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système soit encore
Propriété[63] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
«»[62],[4], ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point[1] du système fermé[64].
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon et , se réécrit alors [62],[65] et d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d’où la propriété énoncée .
Moment résultant vectoriel des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique vectoriel) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le vecteur moment résultant des forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant sur ce système de matière relativement au point soit encore
«»[4] avec «» le moment vectoriel par rapport à de la densité volumique de force extérieure en .
Définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété
Moment résultant vectoriel du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le vecteur moment résultant du système des forces intérieures relativement au point origine quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de tous les moments de forces intérieures élémentaires relativement au point de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système soit encore
«»[62],[4] avec «» le moment vectoriel par rapport à de la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec .
Propriété[67] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
«»[62],[4], ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point[1] du système fermé[64].
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures élémentaires selon et , se réécrit alors [62],[65] dans laquelle le 1er terme vaut et le 2nd ; Propriété Démonstration : d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a soit, en substituant par et en factorisant vectoriellement à droite par [21] «»[62], Propriété Démonstration : enfin, d’après la 2ème relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d'où la propriété énoncée .
Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle a une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nulsen effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine , il l'est par rapport à tout autre point origine car la résultante l'est aussi[68] ;
toutefois, dans le cas général, le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle n'est pas équivalent à un système de forces nulen particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière déformable n’est pas nul[69], alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment.
Moment résultant scalaire des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante et de moment résultant vectoriel de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci
Le moment scalaire d'une force par rapport à l'axe , noté est le projeté, sur l'axe orienté par , du moment vectoriel de cette force par rapport à un point quelconque de l'axe [70] soit
Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le moment résultant scalaire des forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant sur ce système de matière relativement à l'axe orienté par soit encore
«», avec «» le moment scalaire par rapport à de la densité volumique de force extérieure en .
Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et propriété
Moment résultant scalaire du système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le moment résultant scalaire du système des forces intérieures relativement à l'axe quelconque[66] appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de tous les moments de forces intérieures élémentaires relativement à l'axe orienté par de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système soit encore
«»[62] ou «»[4] avec «» le moment scalaire par rapport à de la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec .
Propriété[72] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » soit
«»[62],[4], ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque pseudo-point[1] du système fermé[64].
Puissance développée par des systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante, de moments résultants vectoriel et scalaire de systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Puissance développée par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[8] des puissances développées dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant, au même instant , sur chaque pseudo-point[1] soit encore
«»[4],[73] dans laquelle est le vecteur vitesse de à l'instant dans , avec «» la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en , à l'instant dans ou la puissance volumique développée par les forces extérieures «» en , à l'instant dans .
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation de vecteur vitesse à l'instant par rapport au référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit de factoriser scalairement[53] par dans l'expression définissant «»[4],[73], on obtient ainsi «», le facteur entre accolades s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à à l'instant [74] R.Q.F.D[22].
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant autour d'un axe fixe du référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par » ;
2ème cas particulier, démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée [23] autour de avec [75] «» «»[4] en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41], nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la densité volumique de force extérieure en relativement au point dans le facteur entre accolades «»[4] obtenue en factorisant scalairement[53] par soit encore «» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à et enfin, en explicitant en fonction de la vitesse angulaire de rotation de à l'instant autour de «», on obtient «»[76] R.Q.F.D[22].
3ème cas particulier, système continu fermé indéformable de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant », « le vecteur vitesse du C.D.I[12]. de à l'instant dans le référentiel d'étude », « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à par rapport au C.D.I[12]. de à l'instant » et « le vecteur rotation instantanée[23], à l'instant , de autour de l'axe [52] dans le référentiel barycentrique du solide » ou dans le référentiel d'étude , les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre ;
3ème cas particulier, démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « application à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable (solide au sens de la mécanique) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système continu fermé de matière «» indéformable c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé 3ème cas particulier, démonstration : d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[12]. du système et 3ème cas particulier, démonstration : d'une rotation[51] autour de son C.D.I[12]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide d'où 3ème cas particulier, démonstration : le vecteur vitesse de à l'instant dans , «» l'expression de la puissance développée par la densité volumique de force extérieure en à l'instant , «» et, en faisant la somme continue[8] sur , la puissance cherchée «»[4] ce qui donne 3ème cas particulier, démonstration : dans le 1er terme, après factorisation scalaire[53] par , «»[4] et 3ème cas particulier, démonstration : dans le 2ème terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[41], «»[4] puis la factorisation scalaire[53] par , «»[4] en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à d'où 3ème cas particulier, démonstration : «» R.Q.F.D[22].
Puissance développée par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
La puissance développée, à l'instant , dans le référentiel d'étude , par le système des forces intérieures, , appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[61] de toutes les puissances développées par les forces intérieures élémentaires de densité bivolumique qu'un pseudo-point[1] quelconque du systèmeexerce sur un autre pseudo-point[1] quelconque du système, au même instant , dans le référentiel , soit encore
«»[62],[4],[77] avec «» la puissance développée à l'instant dans par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec ou puissance bivolumique de forces intérieures «» en en interaction avec , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions[78] : «»[4] dans laquelle «» est la puissance développée, à l'instant , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude soit «» ;
Autres expressions : démonstration : découle du regroupement par couple des termes de la double somme continue[8] avec utilisation de «»[79] et de en factorisant scalairement par le facteur commun[53] Autres expressions : démonstration : ou, en évaluant dans le référentiel d'étude la grandeur vectorielle «» soit «» cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles[19], c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans , du « vecteur position relative de relativement à à l'instant » ou, « vecteur position de à l'instant dans le référentiel lié à en translation par rapport à », ou encore, avec en translation par rapport à «»[80] cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant de dans noté » soit finalement «» nous obtenons «» ; Autres expressions : démonstration : la double intégration volumique de la grandeur précédente «» sur conduisant à compter deux fois chaque couple, il est nécessaire de compenser ceci par le « facteur » R.Q.F.D[22].
Autres expressions : «»[4] dans laquelle «» est la puissance développée, à l'instant , par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude encore appelée puissance bivolumique de forces intérieures en en interaction avec définie dans lié à en translation par rapport à , notée «» soit «» R.Q.F.V[81].
1re conséquence : «»[4] ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels et non de leur origine , a même valeur dans tout référentiel en translation par rapport aux , en particulier dans le référentiel d'étude et le référentiel barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle .
2ème conséquence : Dans le cas général «»[4] est «» car dépendant des vitesses relatives des pseudo-points[1] les uns par rapport aux autres et celles-ci sont non nulles si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est déformable.
3ème conséquence : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelleest indéformablec'est-à-dire si c'est un solide au sens de la mécanique, la puissance développée par les forces intérieures à l'instant «» car «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[79] et la composante sur de étant avec d'où «» se réécrivant «» et finalement « pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable ».
Travail développé par des systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Comme lors de l'introduction de la notion de puissance développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés de matière pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail élémentaire d'un système de forces correspondant à une durée élémentaire d'action du système de forces développant une puissance instantanée sera «»[82] et Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail d'un système de forces correspondant à un intervalle de temps d'action du système de forces développant une puissance instantanée sera «»[83].
Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le produit de la puissance développée par le système des forces extérieures à l'instant dans le même référentiel d'étude , par la durée élémentaire de l'action, soit
«»[4] avec «» la puissance volumique «» développée par les forces extérieures en , à l'instant , dans , «» étant la densité volumique de force extérieure en et «» le vecteur vitesse de au même instant dans .
Remarque : «»[4] soit «»[4] dans laquelle est le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle de temps dans ; Remarque : «» étant aussi le travail élémentaire développé par la densité volumique de force extérieure appliqué en sur l'intervalle de temps dans [84]ou travail élémentaire volumique des forces extérieures en , nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.
Définition équivalente du travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[8] des travaux élémentaires développés dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures élémentaires de densité volumique s'exerçant, pendant le même intervalle de temps , sur chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] soit
«»[4] avec « le vecteur déplacement élémentaire de » sur l'intervalle de temps dans .
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «»[85], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. »[22].
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » ;
2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par »[86], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. »[22].
Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[83] de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces extérieures sur l'intervalle de temps dans le même référentiel d'étude soit
«»[4] avec «» la puissance volumique développée par les forces extérieures en , à l'instant dans le référentiel , «» étant le vecteur vitesse de au même instant dans le même référentiel .
Remarque : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre «»[4] avec le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle de temps dans «» dans laquelle le pseudo-point [1] de centre décrivant une trajectoire spécifique a une position paramétrée par avec une position initiale notée et une finale notée d'où Remarque : en permutant les intégrations volumique et temporelle, conséquence de la linéarité de ces opérations «»[4] et Remarque : en reconnaissant dans le terme entre accolades la paramétrisation d'une intégrale curviligne «»[6], Remarque : nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.
Définition équivalente du travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[8] de tous les travaux développés dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures élémentaires s'exerçant, pendant le même intervalle de temps , sur chaque pseudo-point[1] soit
«»[4] avec «»[6] le travail développé par «» quand se déplace sur de à dans .
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation telle qu'un point quelconque , lié à , suit la trajectoire de à dans le référentiel d'étude sur l'intervalle de temps :
«»[6] dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée en en une position générique de » et « le vecteur déplacement élémentaire du point sur » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[4],[6],[87] dans laquelle « est égal à au point d'application près », « suivant déduite de par translation de vecteur » d'où, en permutant les intégrations volumique et curviligne, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant « par » «»[6],[4] ou encore, après factorisation scalaire[53] par dans la fonction à intégrer «» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. »[22].
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude telle qu'un point quelconque , lié à mais , tourne de à autour du , le projeté orthogonal de sur , l'abscisse angulaire de dans le plan de sa trajectoire variant de à sur l'intervalle de temps :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en en une position générique du cercle décrit » et « la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique » ;
2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[4],[6],[87] dans laquelle est le cercle suivi par avec , son vecteur déplacement élémentaire le long de ou, se déplaçant sur un cercle «»[88], d'où «»[4] dans laquelle « est égal à au point d'application près », « suivant déduite de par composition d'une homothétie de centre , le projeté orthogonal de sur l'axe , d'une translation de vecteur , étant le projeté orthogonal de sur l'axe et d'une rotation autour de d'un angle » d'où, en permutant les intégrations volumique et angulaire, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant par «»[4] ou, pouvant être sorti de l'intégrale volumique, «»[4], soit finalement «» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. »[22].
Travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude
Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est le produit de la puissance développée par le système des forces intérieures de densité bivolumique , à l'instant dans le même référentiel d'étude , par la durée élémentaire de l'action, soit
«[62] »[4],[77] avec «» la puissance développée à l'instant dans par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec ou puissance bivolumique de forces intérieures «» en en interaction avec , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions[89] : à partir de «»[4] dans laquelle est le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude avec « la puissance développée, à l'instant , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] dans le référentiel » nous en déduisons, en multipliant les expressions précédentes par la durée élémentaire , le travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme
«»[4] avec «» le travail élémentaire développé, à l'instant , dans le référentiel , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] étant le vecteur déplacement élémentaire de dans ;
Autres expressions : en utilisant «» dans laquelle est la densité bivolumique de forces intérieures en en interaction avec , le travail élémentaire développé par les forces intérieures se réécrit sous la forme
«»[4] avec «» le travail élémentaire développé, à l'instant , par la densité bivolumique de forces intérieures en en interaction avec , évalué dans le référentiel étant le vecteur déplacement élémentaire de dans .
Avec un repérage sphérique de[90]dans le repère associé au référentiel : les coordonnées sphériques de dans le repère associé au référentiel étant «» et la base locale sphérique associée «», on en déduit l'explicitation de «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[79] et celle de «»[91] «» et par suite la réécriture du travail élémentaire développé par les forces intérieures sous la forme
Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : Si la force d'interaction entre et est « attractive », « est » et Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : si la force d'interaction entre M et M' elle est « répulsive », « est ». Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De l'explicitation du travail élémentaire du système des forces intérieures appliqué au système continu fermé de matière précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à utilisant le repérage sphérique du point [90] dans le repère associé au référentiel soit
Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De ces expressions appliquées à indéformable on vérifie que «» et Avec un repérage sphérique du point M dans le repère associé au référentiel RM' : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que «».
Diverses expressions du travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Travail développé par le système des forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces intérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique est la somme continue[83] de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces intérieures sur l'intervalle de temps dans le même référentiel d'étude soit
«[62] »[4],[77] avec «» la puissance développée à l'instant dans par la densité bivolumique en de forces intérieures en interaction avec ou puissance bivolumique de forces intérieures «» en en interaction avec , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions : «»[4] avec la grandeur à intégrer doublement volumiquement « égale à définissant le travail élémentaire développé, à l'instant , dans le référentiel référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude , par la force que le pseudo-point [1] exerce sur le pseudo-point [1] étant le vecteur déplacement élémentaire de dans », ce travail élémentaire s'écrivant encore «» en utilisant le repérage sphérique de [90] dans le repère associé au référentiel , cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double intégration volumique et de l'intégration sur un intervalle, à l'aide d'une intégrale curviligne[6] selon
«»[6],[4] avec la trajectoire de dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude ;
Autres expressions : en utilisant «» dans laquelle est la densité bivolumique de forces intérieures en en interaction avec , le travail développé par les forces intérieures sur une durée finie se réécrit, en utilisant le repérage sphérique de [90] dans le repère associé au référentiel avec «» et «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[79], « étant le vecteur unitaire radial du repérage sphérique lié à de pôle »
Systèmes de forces conservatifs appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergies potentielles associées du système continu de matière
Préliminaires : Le caractère conservatif d'un système de forces n'est introduit que pour un système de forces ne dépendant pas explicitement du tempsil est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons.
Préliminaires : Comme lors de l'introduction de la notion de travail élémentaire développée par les systèmes de forces appliqués à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle nous nous limitons aux systèmes continus fermés pour garder une présentation simple, en effet
Préliminaires : dans le cas d'un système ouvert de matière défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un pseudo-point [1] qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Système de forces extérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu de matière dans ce champ de forces extérieures conservatif
Système de forces extérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système de forces extérieures «» appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , résultant de l'action du système extérieur à , de « densité volumique » est conservatif ssi son travail élémentaire «»[4] «»[4]est une différentielle exacteou totale des coordonnées de [92] ou,
« ne dépendant pas » chaque forme différentielle[93] volumique «» est indépendante des autres, le système de forces extérieures est conservatif ssi chaque forme différentielle volumique «»[93]est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées de [92].
Énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées de , de densité volumique «» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire de la densité volumique du système de forces extérieures conservatif dont elle « dérive »[95] soit mathématiquement
«» avec « l'énergie potentielle volumique de en dans le champ de forces extérieures conservatif » celle-ci nécessitant de préciser sa référence[96] pour être définie sans ambiguïté ;
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la somme continue[8] des énergies potentielles volumiques «» dont dérive chaque densité volumique de force conservative soit mathématiquement
«»[4]avec choix de la référence[96] de « »[4] soit finalement «»[95].
Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces extérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées de , de densité volumique «» telle que l'opposé de son gradient[97] est égal au champ du système des densités volumiques des forces extérieures conservatif dont elle « dérive »[98] soit mathématiquement
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» de « densité volumique » résultant de l'action du système extérieur à est la somme continue[8] des énergies potentielles volumiques «» dont dérive chaque densité volumique de force conservative soit mathématiquement
1er cas particulier, système continu fermé de matière «» d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en translation d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude pour lequel le système de forces extérieures «» appliqué à résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[100] est une différentielle de fonction scalaire avec «[4] la résultante du système des forces extérieures », ce travail élémentaire s'écrivant encore « avec un point quelconque lié à » s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle dedans le champ du système des forces extérieures notée fonction des coordonnées du point selon
«» «»[97] dans laquelle «[4] est la résultante du système des forces extérieures » ;
1er cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en translation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[96] près ne dépend pas du choix du point lié au système usuellement on choisit pour le C.D.I[12]. de
2ème cas particulier, système continu fermé de matière «» indéformable d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude pour lequel le système de forces extérieures «» appliqué à résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[101] est une différentielle de fonction scalaire avec «[4] le moment résultant scalaire du système des forces extérieures par rapport à l'axe », ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle dedans le champ du système des forces extérieures notée fonction de l'abscisse angulaire de rotation selon
«» «» dans laquelle «[4] est le moment résultant scalaire du système des forces extérieures » ;
2ème cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en rotation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[96] près ne dépend pas du choix de la direction, liée au système , par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation
Système de forces intérieures conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et énergie potentielle du système continu fermé de matière dans ce champ de forces intérieures conservatif (ou énergie potentielle d'interaction du système de matière)
Système de forces intérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , correspondant à « une interaction [102] entre pseudo-points de »[1] à savoir «» est conservatif ssi son travail élémentaire «»[4],[103]avec le référentiel lié à en translation relativement au référentiel »[4]ou, en introduisant la densité bivolumique «» de forces en en interaction [102] avec , «»[4]est une différentielle exacteou totale des coordonnées de dans les référentiels »[92] ;
« pour et figés ne dépendant que de dans » et non des autres points chaque forme différentielle[93] bivolumique «» est indépendante des autres, le système de forces intérieures correspondant à « une interaction [102]est conservatif ssi chaque forme différentielle volumique «»[93]est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées relatives de dans [92].
Définition équivalente d'un système de forces intérieur conservatif appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
Le système de forces intérieures appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , correspondant à « une interaction [102] entre pseudo-points de »[1] à savoir « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » est conservatif ssi son travail élémentaire «»[4]avec la coordonnée radiale de dans le repère associé à , le référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude et la seule composante radiale de appliquée à dans le repère associé à est une différentielle exacteou totale des coordonnées radiales de dans les référentiels liés à en translation relativement à »[92] ;
« pour et figés ne dépendant que de dans » et non des autres points chaque forme différentielle[93] bivolumique «» est indépendante des autres, le système de forces intérieures correspondant à « une interaction [102]est conservatif ssi chaque forme différentielle volumique «»[93]est une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale relative de dans [92].
Définition de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un champ de forces intérieures conservatif
Énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » interaction entre pseudo-points de est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées radiales relatives de dans les référentiels liés à en translation relativement au référentiel d'étude , de densité bivolumique «» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire de la densité bivolumique en en interaction [102] avec dont « dérive »[95] soit mathématiquement
«» avec la coordonnée radiale de dans le repère associé à , la composante radiale de dans le repère associé à , étant le référentiel lié à en translation relativement au référentiel d'étude ;
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif « de « densité bivolumique en en interaction [102] avec » est la somme continue[61] des énergies potentielles bivolumiques «» dont dérive chaque densité bivolumique de force conservative soit mathématiquement, avec le facteur compensant le dédoublement des termes
Remarques : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de cette énergie potentielle »[96] : usuellement « la référence de» est choisie pour les centres des pseudo-points[1] du systèmeéloignés à l'infini les uns des autres c'est-à-dire « pour ».
Remarques : L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif ne dépendant que des distances mutuelles séparant les différents centres des pseudo-points[1] du système entre eux et celles-ci étant indépendantes du référentiel dans lesquelles elles sont définies, on en déduit que «est invariante par changement de référentiel ».
Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif
L'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , dans le champ du système de forces intérieures conservatif « de densité bivolumique en en interaction [102] avec » interaction entre pseudo-points[1] de est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées radiales relatives de dans les référentiels liés à en translation relativement au référentiel d'étude , de densité bivolumique «» telle que l'opposé de son gradient[97]avec en repérage sphérique de pôle [90] du repère associé au référentiel est égal au champ du système des densités bivolumiques de forces intérieures conservatif dont elle « dérive »[98] soit mathématiquement
l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , « de « densité bivolumique en en interaction [102] avec » est la somme continue[61] des énergies potentielles bivolumiques «» dont dérive chaque densité bivolumique de force conservative soit mathématiquement, avec le facteur compensant le dédoublement des termes
Remarque : avec le choix de « référence pour »[96] «», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le champ du système de forces intérieures conservatif si chaque composante radiale de densité bivolumique de force est de même variation monotone à savoir Remarque : si les forces d'interaction de type sont « purement attractives »[106] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » «» et Remarque : si les forces d'interaction de type sont « purement répulsives »[106] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » «».
Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes continus fermés de matière d'expansion tridimensionnelle applicables en référentiel galiléen
Comme dans la partie « cinétique » d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, ce dernier est envisagé sous la forme d'un système continu de matière «» d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ;
de plus, pour que les théorèmes de la dynamique newtonienne soient applicables au système sous les formes énoncées, le contenu de ce dernier doit rester inchangé aucune entrée ou sortie de pseudo-points[1] dans le système, le système doit donc être « fermé »[107].
Dans ce paragraphe, le référentiel d'étude de la dynamique newtonienne du système est exclusivement « galiléen ».
Théorème de la résultante cinétique et celui du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie)
Théorème de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridiemensionnelle
« Dans un référentiel galiléen, la résultante dynamique appliquée, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est égale à la dérivée temporelle de sa résultante cinétique au même instant » soit
.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[109].
Démonstration[110] : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer, à chaque pseudo-point [1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , la r.f.d.[111] soit «»[4],[112] puis
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut en faire la somme continue[8] sur [4] ou «»[4] la réécriture du 2ème membre résultant de la permutation de l'intégration volumique[4] et de la dérivation temporelle[113],
le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique s'exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ,
le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit et
le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système continu fermé de matière soit d'où
pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans un référentiel galiléen, ou (C.Q.F.D.)[15], applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.
Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle (cadre de la dynamique newtonienne)
« Dans un référentiel galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne, la résultante dynamique appliquée, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est égale au produit de la masseinertedu système par le vecteur accélération de son C.D.I.[12]au même instant » soit
.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermédéformable ou non de matière Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108] car, le théorème de la résultante cinétique dont il découle ne s'applique pas à un système ouvert
Démonstration[114] : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , du théorème de la résultante cinétique au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle soumis, à l'instant , à la résultante dynamique soit dans laquelle est la résultante cinétique du système au même instant et, Démonstration : Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique , la masse inerte et le vecteur vitesse du C.D.I[12]. du système à savoir dont on déduit, Démonstration : , la masse de tout système fermé étant constante, soit, Démonstration : par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, (C.Q.F.D.)[15].
Préliminaire : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique
Début d’un théorème
Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne ou relativiste)
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétiqued'un système continu fermé de matière isolé d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est conservée au cours du temps du référentiel », ce référentiel étant qualifié de « galiléen ou inertiel».
Fin du théorème
Démonstration : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un pseudo-point [1] quelconque de postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à le système étant isolé «»[4] d'où, en faisant la somme continue[8] sur et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir [4] ainsi que la définition de la résultante cinétique [4] après avoir permuté intégration volumique[4] et dérivation temporelle selon [113], on établit soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé[115].
Début d’un théorème
Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps dans lequel le C.D.I.[12]d'un système continu fermé de matière isolé d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est animé d'un mouvement rectiligne uniforme », ce référentiel étant qualifié de « galiléen ou inertiel».
Fin du théorème
Démonstration : Appliquant le théorème de l'inertie au système continu fermé isolé on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétique de est conservée au cours du temps puis, comme avec pour un système fermé, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[12]. du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de .
Conséquence du théorème de la résultante cinétique[116] : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,
« la conservation de la résultante cinétique du système »[117] soit ; cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.
Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie[118] : Si le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème du mouvement du C.D.I[12]. au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,
« la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[12]. du système »[119] soit ; cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.
Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point fixe dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans par rapport au même point , au même instant , «» soit
«».
Fin du théorème
Démonstration : Considérant le système continu fermé de matière «» étudié dans le référentiel galiléen et un point fixe dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque pseudo-point [1] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point fixe dans [120], s'écrivant «»[121],
Démonstration : on en fait la somme continue[8] sur «»[4] ou «»[4], la réécriture du 2ème membre résultant de la permutation de l'intégration volumique[4] et de la dérivation temporelle[113], on y reconnaît dans
« le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en à l'instant «»,
« le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière évalué au même point à l'instant «»[122] et
« le 2ème membre » la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière évalué au même point au même instant à savoir «».
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière d'expansion tridimensionnelle mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu ouvert de matière défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [108],[123].
Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué par rapport à un point fixe du référentiel d'étude galiléen à savoir «» si le vecteur moment résultant dynamique en appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système continu fermé de matière en un point fixe dans un référentiel galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «» ;
le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière par rapport au point fixe dans galiléen peut être nul par
« absence de forces extérieures » c'est-à-dire si le système continu fermé de matière est isolé, « des forces extérieures toutes centrales par rapport au point fixe»[124] ou « des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe se compensent »[125].
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude
Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen n'est pas à mémoriser quand le point origine a un mouvement quelconque relativement au système dans car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[12]. du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas où le point origine A d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel à l'instant » soit
«».
Fin du théorème
Commentaires : ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système continu fermédéformable ou non de matière.
Commentaires : En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière est lié à la vitesse du C.D.I. du système et à la masse de ce dernier par voir le paragraphe « résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle (propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière) » plus haut dans ce chapitre, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «» ; Commentaires : par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière et le mouvement du C.D.I. du système[126] d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.
Considérant le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique étudié dans le référentiel galiléen et un point mobile dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;
exprimons d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un pseudo-point [1] dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point mobile dans [127], en écrivant ce théorème relativement à un point origine fixe dans soit «»[4],[121] puis on effectue le changement d'origine sur les deux moments vectoriels de forces et sur le moment cinétique vectoriel de façon à faire apparaître la nouvelle origine mobile dans selon «» que l'on reporte dans la relation après dérivation de la dernière expression selon «», ce qui donne, après factorisation vectorielle[21] partielle à gauche par dans le 2ème terme
ou encore, en appliquant la r.f.d.n[128]. au pseudo-point [1][4] soit, en multipliant vectoriellement à gauche par , «»[4] d'où la réécriture de la relation «»[4]
soit, en faisant la somme continue[8] sur des relations définies en chaque , «»[4], on reconnaît dans
« le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué au point origine mobile dans à l'instant «»,
« le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué au même point mobile dans à l'instant «»[122],
« le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de l'intégration volumique[4] et de la dérivation temporelle[113], à «»[4] c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière par rapport au même point mobile dans au même instant et enfin
« le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par [21] «»[4] reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;
finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point mobile dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est.
Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle) dans le référentiel d'étude
C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen car le C.D.I[12]. du système est mobile le seul cas où y serait fixe est « isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale » :
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. G du système dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I[12]. du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique étudié dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système «» «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au C.D.I[12]. de ce dernier au même instant «» soit
«».
Fin du théorème
Remarque : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[12]. du système , le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude galiléen et non dans le référentiel barycentrique
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;M\,\left[dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ca05cb269c79d5f298bbe6699a25f93d2ece18)
![{\displaystyle \;M\,\left[dm=\sigma (M)\;dS_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cfc7ba41a9295c0a8ec60437757282f4071e1a)
![{\displaystyle \;M\,\left[dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5da8c954a838b5dde3e7796b4c4b61ff0aa84b)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]\,\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a8d831720f813428dc315c0610c318fd35c39b)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\;\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,{\overrightarrow {OG}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9f9e6e1ac22230f358b038abb3f2f41418c32a)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c75d5e628d875ef749e02ee59338bf6fcc659)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M}}\right]\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {O'M}}\wedge \wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf7e68cd873661aeb55c8d80fefb59ae552b30c)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffb9dff1977e2ecf6c5cdaaadd8b42cae9be527)
![{\displaystyle =\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa86ec93944e7e9c0217ca461c5266a8fc332306)
![{\displaystyle {\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ac38bffc31d0dd3043d346a922aba2b73acf7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aeba8a9388415d503ddd6b67e061e60f5fa441)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\mu (M)\;r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\mu (M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d367b7c2ef9cb154ba0f28f44c1a8cb884898654)
![{\displaystyle \,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9d541829e4356ba676f28104e70ae1996e85f6)
![{\displaystyle \;m_{\text{syst}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e47d51305be5d18cbc9e79c1f0f263e0d52983)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2783d495fbbfcc90a8f4e3515df5383dd5170717)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e73df07ece0d7cbe3c536bca689907d92d399d)
![{\displaystyle \;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;\perp \left(\Delta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0c622630b28c43bd0b8d144828f7e8390bab64)
![{\displaystyle \;\mu (M_{n,\,\theta })\;{\overline {AH_{n}}}\left[{\overrightarrow {H_{n}M_{n,\,\theta }}}(t)+{\overrightarrow {H_{n}{M'}_{n,\,\theta }}}(t)\right]={\vec {0}},\;\;\forall \;\theta ,\;\;\forall \;n\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af97eda07650d3069118520c966d7d27cb79fb07)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec4427c198450a7fb3c2b7e752a59a8ba899ae)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb22e1152a74a24a181f2040d720725656d5b58)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f885afce5b27a2818542b95cd061feaa9168c04)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a6d6b1cf625ba9764f6264a106ef421b2d9330)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d68f933c3eb2d052e5ad8848db3752ad38bfa24)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca7ffda500df1b33562579cc974851737c0ef94)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327599ac1a0cbebb650c3fa8a7cc6aac6b157134)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4888274d18f00458b0f18b9411fa55de9ac063a0)
![{\displaystyle \;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d702e4fd1627634d5cc2df0f5e2b71b88b51fa9f)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9a12b9fde825526887083a4383f302ae98b948)
![{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {{\vec {P}}_{\text{volum}}^{\,*}\!(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}^{\,*}\!(t)}{2}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc29182deb55c90ba931cff836d36d5499acff1)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b9502c5799642ddd50f8787af7a0ccb1169300)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {GM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391222df02063a90e46a46fb3813b35770aee966)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)-{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {GH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382df4daa179871bf496b38b0ac8e55fe367e3c5)
![{\displaystyle \;O{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6d2e8421ffaeb862d52b1faa430ab5f2d5a24d)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta _{O}}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24484e7cefd3537dffc4901f59379bffdc1a8060)
![{\displaystyle \;K^{*}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{\!2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f01d31cea8ffc516053b1d05c19707e8e3c2dc)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\left\lbrace \left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\right\rbrace \;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30396f6c504239f2e8f74b5980106dce26dcba4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e362e32f280945edc448d7b8672342a2ac36fe10)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\,\left[{\vec {V}}_{M}^{\,*}\right]^{2}\!(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b9cff2dcbf398a126e384b65291c621057522e)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b79e4e7a88df29a0bda8c995a9bdc022f14e2c)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{\,*}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4432400d235de07a078abfb6e1bbf43696aa5a)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=K(G,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d613307c7bc995291d1c56d3d0c63de79ca1ca56)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e796b0d1cac1bd2c4e68c1b7ad6739a671efbb6d)
![{\displaystyle \;M\,\left[\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee40bb18eb1dea4a9c6b7978f1d8765f22ff462)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d910c9b343f4e9866518a376b49e5baff2e8bd5c)
![{\displaystyle {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5009a1a3c1fcd7483273ceb0ed46bba07856fae5)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0807ba0975d026d7caadf0510b31ca2b55d2a384)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028d0b908d4b2c4c7c7bc3833cbdedb8c390290c)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba8876f3e5351cfe69867dcb2220392e588173e)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3456d335340e352ca98c69a3261641f95f26e0)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6b5f4befa519f0172f294a820543bfbef85837)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37176d9127c170e08fe335eca0f1f88c5f670b8)
![{\displaystyle \;M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc19d2fc92b40b60a289ed7ad226cb7a053cbead)
![{\displaystyle \;M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096808f15a68c33325bf365cfd36d31f07262121)
![{\displaystyle \;d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d824a57948fd82bff4cf5bc20524625e9a7091)
![{\displaystyle \;M'\,\left[\mu (M')\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8801b9a224bf53b2b785de64ccab0994c9ecaa)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}\!{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13038824c146d0bf6ec90e25435d1131be444d65)
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f281535301033f0a158eea03458dafb2f0d5c96a)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8b752b53942ced0356a5d2cc4462ff48c06ca)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a75da051d8e5efbee3764d2a948372041b5dc21)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badfb42ed48d436eb36ea2cb4e4ea5b86e6fb231)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6489ff4c31b31b93729bd53a3974465b4b99b3cb)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f308d53690a7c409d1e909517eb4e81778ab00)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left\lbrace d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}+d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9658163150dfb18459c7a66867a04032851542)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}+d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea57c3fcfdeb73f9b646d508ec75950365c40667)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf6237745f73a44711dfbe1dcce264259cb7d3f)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e69f69c3ab33f4e72bb2b601972a8df3953192)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d29ccce330fbfb6b895c7b64d8a30eec36819d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de34cdeabc7d38f82586cd020e6769a9e5ba75b)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862694567f04876ac191203c3ceca00a6d4ef727)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229b843351b4e2f69ef0362d9d33959bc2d4d23d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3373bb6c9797e89df2d6eb6e7dd2954ce1181a)
![{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdcda6c304908561c0170a7bc8b840914351970)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\right]={\overrightarrow {OM'}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1f49574aeeb6113b4e727fd89ec5f4ab9cbf96)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}=-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d984fdedef5b02b2ece1d2c28e4163d864a877)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5821279689dde40a3004f687d8a0b187b47e6b)
![{\displaystyle \;-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b865d47fec38b6572646b4e9f62c3429a964e4)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM'}}\right]\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {M'M}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adfe7a2f57495b3365a3c3b55bb478bb4b8e6dc)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {M'M}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db492663767865abcae5ced7a559045d6803e71)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2809745b2adfa98b4cc5c0be6508430bea0602)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0633f8aee7ac554395ddd3963435aafe967006)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e03f0e40f77008be56969d86499f1630d75cf43)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511e18f9e635e85c53cc1771f31957cac1e27b95)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102fd2643cf69e55559663e46dc697a86975c900)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;\;{\text{:}}\;\left(O\in \Delta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146f400e37a3337c3e9191a96778b7d8c11dcdd1)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36aec59cadbc871b8040ac9c19688b307519d52)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92237b6cdfc3fe9f561e7a4fe43024834514581c)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71cbf2d77c6f879b019d16b74a624ddb7d86825)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39bcf76e32eee21ddc0c3c482fcf57edc39fac9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1f5c58f5c9c3d9c34a5a3b6639f459683cced2)
![{\displaystyle \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91c544c28df187de9d5f5e4d8ab95d3178a2ccc)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c67168b4c49f32cd401224a2f1dffe9465113d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40edd980192920fa3cbe3761994aac6e3a163d21)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\overline {\Omega }}(t)\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef56e04c504e4184c01e2a69e1fd5dc1465a85b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f036354d4b5e352825b71dae9e181ec660a438d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM}}(t)\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6023910a7969dc22ee06aea14045c695f3daa166)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d6753d7208d854df7f3642786f720e4782f9c2)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \,d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d278297aed6c11944397423885a10110aea06d7e)
![{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {GM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace ={\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094935ec98d99bc09cb87355e872b85ac3a4410d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f88d1aed54d0febbdf3f9b74b70b0e03057ae7)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63fd2c4d8c779604da1d3aa61ab512fb6399ab5)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c244fad5b88f1ad1a0d73b781559e751a3206cb9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbe16a9ab71840c6947a37a9e27fe1db164f640)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa8c804d6b45d0428a78f39df5289d44381dd7f)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91e9037e08d1a6cb78114369f9d5d1184cf64f0)
![{\displaystyle -d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea633628fcc23f979e33738069469e7b48f241)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\\{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M'}(t)=-d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{M'}(t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d3fa01efecbbf8e61dfc6c42f3661a29201a05)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014dff48d4b2b2e36af9a7835892c5696a0eeccd)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M}(t)-{\vec {V}}_{M'}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM'}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba87366bfc98c8458131f1e0b8731eed0140a900)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {d\,[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM'}}]}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c999b23882e5ab556257dd8cf777710bf947e1)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M'M}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba4e4aca3843880ba667d2ae669ecd897bd0b3b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]\,\leftarrow \,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\vec {V}}_{\!M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b47ab5be155e40e886203cf3b028f81cdb6a99)
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451c8068ba4165c8b9d80fcfb83bac2e1a817aaf)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028d2bf528fb94142636abc13ea1d89a22f63e3b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a227342015aec07e86fa7ba7edb177526f6f62e1)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562138921aa9cab6fe7c6f7b966d6c25fafda8c0)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b430b5fb2e0520e2ff5d9a22eef88f747e5542a9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9575abfa63bf782de75b0cb9c1a4785e12d4b4f9)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4f4527a6506168b344be7870bcb922ccd902aa)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01364e592cf8fc618cb041adf6633f5764b1757e)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}(t)\times dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c17363a5efde3034c70b5e11dfdb674b0ea345)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e4b97dd1cd97238b8a13399f73bd05c6a90f01)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt=\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41be82ed252ace3211ae36de02dd1a0b1138565)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d701b958fa7c8a6533535fc063a85476618c0a3)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12690ee5185fa520b1944c0efd489b03d8bcc97)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]\right\rbrace dt=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dt\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)\;dt\right]\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8104affab2c30a2857b66d854d62801d7ff240a)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c47511ca837e2cb016cfa099d0b0d321cb9dde)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94a7830cb2b3faeaa4f45d9e51e8e80bfb5f7e7)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaa54be35d69c7135c1814d3648c1e991e77b65)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left[{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413811109c02dec140587ea0401a8762dd7cb036)
![{\displaystyle ={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\right]={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1410218d2af525adcf46e054e226c2fa8fef7c8)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4097c0b317dff1a9618db4a994e3dd2934dad7ee)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\,\left[{\overline {\Omega }}(t)\;dt\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb75966cb735401979276ec1b2d2a620e8eb781)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb34a734b500c583bf27e0272048e540458ba588)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88bd69e4eff9a9ddf155072432e1dfb533d6a08)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t'\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44b03c507ea1a1adfcc64e4af8e19e7bc5c5f2a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\mathcal {P}}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}={\mathcal {P}}_{{\text{volum}},\,{\text{ext}}}(M,\,t)={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607fb7b331581bcfe587a027e220cc5cfba98820)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b36353d1abf6ac2ac1b1a35bb26b8c471a9807)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM}}(t')\right]\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f817fb2d05791ce195ceae7f972ae51c2120f8d5)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99174047634ad274b748f08e83e158e1ba8302b)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcfaa74428879b17b880acb6f4071756615e4fc)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac8f59532cec9dbb6055920ad08d9e22cb05fbb)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abf530cf6b22c6e22e9a69b5948b65893262927)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {(\Gamma _{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56259495b46872e62e7dbbf6bf3b7ff1767c1788)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dA}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c04f53a2e2117e6a6ef5d18d0b3afb2570f36f)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\overrightarrow {dA}}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af69e0328ff4e2db50aa54c1ae167193fc44e2d2)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efe7c85e443abc5c002e382a4a1ab5259773b71)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}}_{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a696d379f9910e91682006edb032e6d235c85c17)
![{\displaystyle \,\displaystyle \int \limits _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}}_{M})}{\rightarrow }}M_{f}}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08afb169c0a1e6358bd477bc3960aa14cf45966)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{\theta _{M,\,0}}^{\theta _{M,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40088f8b07669070c8b5875f2ac007d00a4f97f9)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int _{\theta _{M,\,0}}^{\theta _{M,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6485055a36a2dd10c1518c60fb2c84119581fae)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d\theta _{M}\,,\,\theta _{M}\in \left[\theta _{M,\,0}\,,\,\theta _{M,\,f}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d9ca00203e5249fe2fb46b389559749d3181d0)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d\theta _{A}\,,\,\theta _{A}\in \left[\theta _{A,\,0}\,,\,\theta _{A,\,f}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329de5d80f6504d314791311e76f4586b7d3acb5)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]d\theta _{A}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05669a49ae5b54af1b6d6b6d02b08400dfbd06f)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace d\theta _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cacbd06b971beca5c3ba14c803abfa81f8b29d)
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fb9ec17e11ad4ce28f7cd5e7134cc824b00c70)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\left\lbrace \;\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28fae1482b0788b09244bee93ce44cd59d8fa09)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54cea520a96f261154848849a7ba488d7c2505e)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdd61212a85663de85c0ab47ee0182473335935)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]=d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cc7e72b5923e07cbd04f138c510edb5daea715)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a938a78816e84cec3375141fc60580ece18b1c)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514dc2a4eb1692c6172504462b6d5a0961bbffcd)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]={\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb4c22e8f57f815377c9f885a3d7fcabd876316)
![{\displaystyle \;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06f38b4991e5b2c1371cfe7b60cbf6f1e4636ea)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f1f4190286b6782d895e5d1313822267d307e4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \;\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\mathcal {P}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t'\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1335df6361cc2920a3ce2cf687efff7a9f88c796)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\vec {V}}_{M}(t')\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8bc3a6ed53aec6948613cbc2078d439d39cbf4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc588259bfb5fa6b867f0f042d2d8a259d48a93)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bf4424e6f98de17ede4a163238aa7f797462f4)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e0f2fa9f108f37318cb883b836ab3588c768c4)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a88a7e1d94404793a07eb3c24fe8c71597130e)
![{\displaystyle \;\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]={\overline {d^{2}\,F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;dr_{M',\,M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d666d6231ec5ed83d8bcad616bc3ff40f8a66f79)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{f}}{\overline {d^{2}\,F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\;dr_{M',\,M}\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba04e6de4472a04f6f5967a914614575b7096ff)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {\left(\Gamma _{M,\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{f}}{\overline {f}}_{{\text{bivolum}}\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9594d5d55fc6fba623a9aabcf9bf48856c5a08f)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2237c16c220badda066f5bbb766d32af89771c92)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70f38f37b17a0a00340fb683be5c2bc0cf518d2)
![{\displaystyle =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddef277d64756810f4537024450323f556a4fcc)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9471debf7db81299bd253b788dc9a3389dec91c3)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}=-du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1081e7930d0ddb4762fa662d19dafca60cfad315)
![{\displaystyle \;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdcbba2a4b648a5fd089ec9e2e2d4a8aa24c35f)
![{\displaystyle \;u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c2807327fbd05ceff5952e83d95e9683f60891)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[-du_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]d{\mathcal {V}}_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb20dff42bd4d51a810d5464bfaa9d4b4e1db7de)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=-d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728eceacc58f59cc0372538549affbaec71cb6c0)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;\;\forall \;M\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d07a1be5c3f6766486ff059548a93fe9af3e25f)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}={\vec {f}}_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8827209b0c5224f1f491afcf4e51a9aade984ad6)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,M'\,\neq \,M}\!\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{volum}},\,M\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c5a7c90036a052937cd6eee03a932c09a50892)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,M'\,\neq \,M}\!\left[U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d2cae65e3ad7b9036162b3d39e75550c924e3a)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e851120538c0d6604805b80adce4bd9f04279988)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00f06ecdd33749c4c8915ea5a25ccd8e0029ca8)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667a11366ab40f083ab3c470ae1d3dc8d3e2c2f1)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a6ba4121de44914fc397c3c581e604be61287)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right](t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41b10d7b9c68ddd23f82b1ea1788f073d5ab05d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c11192b3c6b39acf7d3b156a77778e68d273cf3)
![{\displaystyle \left\lbrace d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right\rbrace _{\left(M,\,M'\,\neq \,M\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a574eafc6f406dfb452efda89a7d27eb7bdca16c)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\delta W_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebe2a6bae4748db1da22e736b79c00668f531a0)
![{\displaystyle ={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74569900f6f6e5377f9d48bc1431c051f79faf9)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}\!{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359cd9bb0c15dae6f2d0149ed3c50c6f7144c88d)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84adfb230b8b710f8a83f7741548c6a74acc93b1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9329534932ecee45c7065a1adb19e2c55794d7a6)
![{\displaystyle \;\delta W_{{\text{bivolum}}\,/\,{\mathcal {R}}_{M'}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'},\,t\right]={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/\,{\mathcal {R}}_{M'}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93424b4ee61c49f0055c057b9301f12adc26340)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}={\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acea74a7d490290abac889f2f89954f031fb0d97)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\left(\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e38f44f8bf7820cf5a64effeeafbc6874ae207)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e831d094c9eceb73598ad2288205a8f80664cfd9)
![{\displaystyle {\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}}{d{\mathcal {V}}_{M}\;d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4578e739e1ef0c5723370f922c0dcfe05a2c6bb)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752ead21732446f56e4aa02d72c6895c51d773bc)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\right]={\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}=-du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097f0c2c47f7b0c0915ba174f14b5b9dcc3a1695)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left({\mathcal {S}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e94b771ba3575117ae78afe00fe7e0d1b43ecb)
![{\displaystyle \;u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M}){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9952197d7241c19fe06087e98ab63ff0de4714f1)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overline {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;dr_{M',\,M}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73310d7cb60d5a3f282a77e65043a0fcf649badc)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \;\;={\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[-du_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace d{\mathcal {V}}_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623b16e160a7be4814d6e9b2a323ddb372bb62ae)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-d\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}(r_{M',\,M})\;d{\mathcal {V}}_{M'}\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de5aa13c46f396927f96490d72ca10810616154)
![{\displaystyle \;{\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\!\left(r_{M',\,M}\right)=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\!\left(r_{M',\,M}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c44e26f3b57d85562312fe7fe1e9a1080e3222)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\vec {f}}_{{\text{bivolum}},\,{\text{interact}}_{q},\,M\,\leftarrow \,M'}\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9f205b40266e0426b3b86862d5a2690b047bc9)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,M\,\leftarrow \,M'}\right]\;d{\mathcal {V}}_{M'}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fd42ad2552714c919fe3a69945d5a06c208e26)
![{\displaystyle \qquad \quad \;\;={\dfrac {1}{2}}\left[-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{N\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{N'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,N\,\leftarrow \,N'}(r_{N',\,N})\;d{\mathcal {V}}_{N'}\right]d{\mathcal {V}}_{N}\right\rbrace \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7af55ac68b68a10bc9d1725103468e922cf8cf)
![{\displaystyle \quad =-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\displaystyle \iiint \limits _{N\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{N'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}u_{{\text{bivolum}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right),\,N\,\leftarrow \,N'}(r_{N',\,N})\;d{\mathcal {V}}_{N'}\right]d{\mathcal {V}}_{N}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46003c50603fa954ecd329725758ad73693a0106)
![{\displaystyle \;d^{2}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\,\forall \,\left(N',\,N\right)\,\neq \,\left(M',\,M\right)}\!\left[U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8934fe86ce7de1d29560bce42c880f503ae3d37a)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedb4cb349d4bcea719ce19cecf39cdb8179f865)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f7cc01630eb474cf2bc8aab70ab9d68dc8e195)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\dfrac {d\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa205f2472324378f62cf3c3f6a473063ee6714)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a092ed0551b5a98bc3ae32a20562309f568a9dbd)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02914d54f48f8e753dd5d88fe8063ba5c4104ed)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left(d{\vec {p}}_{M}\right)}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dba47682dbbfc1633545aa7eb9b7c7f717561e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352147c693d0f46129f6503adfb5da6bb60267b6)
![{\displaystyle {\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db982ffb3be798b661428412dfdb3a743c23d19d)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d57b9c81396b66d14a6bc5ed8c865089aa803)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \;\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right](t)\right\rbrace ={\dfrac {d\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20211cf5a4b895dd7bda0fc877f756495ffbef4e)
![{\displaystyle {\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\right]}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e045d533775f09a93e9d63eb9c08dc3fdeac42)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\\d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\!\!&=&\!\!d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M)\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a94c953c931bfb80a8ead32ef09f0098c6a6d05)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M)\right]}{dt}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd02b21cdd7a1ce67ac70703a437b7cc2084bf6d)
![{\displaystyle {\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d50f3df5afd2acc66988fb81a7c0852f780555d)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace +\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401604ee59159e1c0749d0a683cdf48b7ac8baad)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ={\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3da42b7442e7097906f0f5bf925620f91f57d00)
![{\displaystyle \;d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}={\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8326469c972bec86c3b06b21d986375f0d13a0)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]={\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d\left[d{\vec {p}}_{M}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa152d14f0cb49e9a3159517de4274241fc45fc)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]+\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9897a843f734101910e493fbd51986979a30afee)
![{\displaystyle ={\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515a91c950f18f7ac0a7539feda56d9ae606333d)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{M\,\left[\mu (M)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\,\leftarrow \,M'\,\left[\mu (M')\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right]}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f58173f7d52de9ffa730d8278ef36407f5b4e5c)
![{\displaystyle =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {d\left[d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge d{\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04be79d71927e84831ff476d49edd2868ed267d0)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f97e67eda9e18ab6ab6af3ae79252f64841e5e5)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6443180182e5d7176e2a4d0366e1cab837fc4714)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;{\cancel {+\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0c5205b234d2c5078bbeda9505906ab35616df)
