En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Divers repérages d'un point dans l'espace Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite » [1].
Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » [2] par rapport auquel on peut positionner tout point, Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on y choisit « un point fixe » et Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère « un point quelconque » de l'espace Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère dans de façon intrinsèque Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère par le vecteur appelé Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » on repère par « vecteur position du point » .
Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d. Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « origine » fixe dans et Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « base orthonormée » usuellement directe [3][4]également fixe dans , Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base orientant un axe passant par à savoir : Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des abscisses, Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des ordonnées et Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des cotes.
Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon , « définissent les coordonnées cartésiennes du point » [5] Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon , « définissent les abscisse, ordonnée et cote.
Propriété
Les coordonnées cartésiennes de sont les mesures algébriques de la distance entre l'origine et Les coordonnées cartésiennes de sont les mesures algébriques de la distance entre le projeté orthogonal de sur l'axe adapté, ainsi : appelant le projeté orthogonal de sur , l'abscisse de est égale à «», ainsi : appelant le projeté orthogonal de sur , l'ordonnée de est égale à «» et ainsi : appelant le projeté orthogonal de sur , la cote de est égale à «» ; de plus notant « le projeté orthogonal de sur le plan », on a «», de plus notant « le projeté orthogonal de sur le plan », on a «» et de plus notant « le projeté orthogonal de sur le plan », on a «».
Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace
Vue en perspective du repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'un point
Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et Appelant celui de sur le plan , on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en conservant la localisation de par sa cote mais on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant celle de relativement à son repérage cartésien, on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré par la distance le séparant de on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré et par l'angle orienté [6] que fait on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré et par l'angle avec ; le nom complet du repérage est repérage cylindro-polaireou cylindriqued'axe.
Voir schéma en perspective ci-contre.
Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point
Vues projetées du repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'un point : demi-plan méridien et vue de dessus
Les coordonnées cylindro-polairesou cylindriques de sont avec Les coordonnées cylindro-polaires«» sa « coordonnée radiale » [7], Les coordonnées cylindro-polaires«» sa « coordonnée angulaire » [8] et Les coordonnées cylindro-polaires«» sa cote ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien et il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'autre en vue de dessus il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, voir ci-contre.
On définit la base « cylindro-polaire »ou cylindrique liée à « orthonormée directe [3] » avec On définit la base « cylindro-polaire »le 1er vecteur de la base , On définit la base « cylindro-polaire »le 2nd vecteur de la base dans le plan « directement au précédent » [9]on peut encore le définir par et On définit la base « cylindro-polaire »le 3ème vecteur de la base identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ;
cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de : le 1er est appelé « vecteur radial », cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de : le 2ndest appelé« vecteur orthoradial » et cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de : le 3ème constant est appelé« vecteur axial » [10].
Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point
Le vecteur position du point s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à selon «» [11], on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position, respectivement et , sont identiques aux coordonnées radiale et axiale du point, on en alors que la composante orthoradiale du vecteur positiondiffère de la coordonnée angulaire du point [12].
Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point
Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base cartésienne : , le 3ème vecteur étant le même ou encore Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base cartésienne : [13].
Coordonnées cylindro-polairesou cylindriquesen fonction des coordonnées cartésiennes : [14], la 3ème cordonnée étant la même.
Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire
Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : , le 3ème vecteur étant le même ou encore Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [13].
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polairesou cylindriques : , la 3ème cordonnée étant la même.
Remarque : Le repérage cylindro-polaire ou cylindrique se suffit à lui-même, il ne faut jamais sauf dans de très rares cas transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ; Remarque : si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !
Vue en perspective du repérage sphérique d'un point
Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et Appelant celui de sur le plan , on définit le demi-plan méridien contenant et [15] et Appelant celui de sur le plan , on repère ce demi-plan méridien par l'angle orienté [16] qu'il fait avec Appelant celui de sur le plan , on repère le demi-plan méridien de référence analogue géographique Appelant celui de sur le plan , on repère le demi-plan méridien de référence de la longitude, puis Appelant celui de sur le plan , on repère dans ce demi-plan méridien Appelant celui de sur le plan , on repère par la distance séparant de analogue géographique Appelant celui de sur le plan , on repère par la distance de l'altitude augmentée du rayon de la Terre et Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle orienté [17] que fait le vecteur position de Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle avec l'axe analogue géographique Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle avec l'axe analogue de la colatitude ;
on obtient ainsi le repérage sphériquede pôle et[18]d'axe, on obtient ainsi ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.
Voir schéma en perspective ci-contre.
Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point
Vues projetées du repérage sphérique d'un point : demi-plan méridien et vue de dessus
Les coordonnées sphériques de sont avec «» son « rayonpolaire» [19], Les coordonnées sphériques de sont avec «» sa « colatitude » [20] et Les coordonnées sphériques de sont avec «» sa « longitude » [21] ;
il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien et il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection en vue de dessus [22], il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre la base cylindro-polaire y est il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre la base rappelée en marron.
On définit la base « sphérique » liée à orthonormée directe [3] avec On définit la base « sphérique »le 1er vecteur de la base , On définit la base « sphérique »le 2nd vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement au précédent » [23]on peut encore le définir par On définit la base « sphérique »le 2nd vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement au précédent » on peut encore avec le 3ème vecteur de la base et On définit la base « sphérique »le 3ème vecteur de la base au demi-plan méridien et orientant ce dernier [24] soit encore [25] ;
cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et , le 1er est appelé « vecteur radial », cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et , le 2ndest appelé « vecteur orthoradial » [26],[27] et cette base est liée à car le 3ème vecteur de la base sphérique dépend de seul, le 3èmeest appelé « vecteur longitudal » [28].
Composantes sphériques du vecteur position d'un point
Le vecteur position du point s'écrivant dans la base sphérique liée à selon «» [29],
on en déduit que la composante radiale du vecteur position, est identique à la coordonnée radiale du point,
on en alors que les composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position et diffèrent des coordonnées angulaires et du point [30].
Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point
Pour un repérage sphérique de pôle et[18] d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire vertical », Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « la colatitude » [31], Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud », Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « la longitude » et Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».
Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point
Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [25] ou encore Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [13],[25].
Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polairesou cylindriques : [32] suffisant pour déterminer .
Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique
Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base sphérique : [25] ou encore Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base sphérique : [13],[25].
Coordonnées cylindro-polairesou cylindriquesen fonction des coordonnées sphériques : [32].
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire ou cylindrique[33] ; Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire, Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple exemple d'un déplacement sur une sphère seules et varient !
Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point
Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire puis Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : la base cylindro-polaire dans la base sphérique .
Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : [37].
Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; Remarque : si, dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose, il ne sera jamais intéressant de remplacer le repérage sphérique par le repérage cartésien.
La notion de vecteur déplacement d'un point à partir d'une position quelconque nécessite de préciser la position finale du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant ; si la position finale reste proche de la position initiale , on substitue la notation à celle de et le vecteur déplacementest qualifié de « petit » ; pour infiniment proche de suivant une direction d'approche fixée, on substitue la notation à celle de et le vecteur déplacementest qualifié d'élémentaire.
Le vecteur déplacement élémentaire à partir d'une position quelconque en suivant une direction fixée peut être considéré aussi comme obtenu en suivant une courbe passant par [38] ;
en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'une positions'identifie à en conclusion la définition celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [39] ;
en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme ou simplement «» [40] ; en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe est tangent à la courbe en , dans la mesure où [41].
Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit , les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.
À retenir vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien :
«».
Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit , ses composantes cartésiennes étant donc .
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe
Considérons la parabole d'équations cartésiennes [42] et différencions ces équations : on obtient alors et Considérons la parabole d'équations cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole s'explicite en fonction de l'élément différentiel selon Considérons la parabole d'équations cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire «» [43] ; Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul, Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est toujours dans le sens de et Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est de sens contraire à pour , Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur s'annule pour et Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est dans le sens de pour , Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur de norme d'autant plus grande que l'est [44]
Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire ou cylindrique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit [45].
Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire
Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle dont ils dépendent soit Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne [46] ; on utilise [47] avec les dérivées par rapport à des deux 1ers vecteurs de base égales à [48],[49] soit :
À retenir dérivées des vecteurs de base et par rapport à :
et ;
quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement au vecteur initial, ainsi dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , on obtient se déduisant de par rotation de , dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , on obtient se déduisant de par rotation de ;
on peut encore écrire et .
Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à .
Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire
Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où suivant , «»,
suivant , on se déplace selon le cercle passant par et d'axe c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [50] d'où suivant , «»,
suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où suivant , «»,
le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit «», ses composantes cylindro-polaires étant donc .
Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires
ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire « cote à l'abscisse angulaire » qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite [51] d'axe , l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe .
Vecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite [51] d'axe : Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires «» [52], nous cherchons à déterminer le vecteur déplacement élémentaire du point générique de l'hélice circulaire et pour cela nous différencions les équations de cette dernière : on obtient alors «» et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice circulaire peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel selon «» [53].
Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite [51] d'axe : il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul, Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vectorielle sur , est toujours dans le sens de et Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vect celle sur , est de sens contraire à pour [54], et Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vect celle sur , est dans le sens de pour [55], Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de [56]
Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec à ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution l'hélice circulaire se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante » [57] ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre et est , elle « monte » dans le sens trigonométrique [58] Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre et est , elle « monte » dans le sens anti-trigonométrique [59], Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ; Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit le pas de l'hélice circulaire par la variation de cote correspondant à un tour complet soit Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit un pas de pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon .
Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit [60].
Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point
Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :
suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par
![{\displaystyle \;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6101f10d214bef769dd9482448bec3100ed4711)
![{\displaystyle \;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b6e22cc56594affb962665a116a54f99a0938c)
![{\displaystyle \;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a815a7aac2161be56752772a47d4d455e3b99f)
![{\displaystyle \theta \in \left[0\,{,}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1fe6d129e7496f06f23c53265690c6ac10b9b0)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c405274be54cf5b9eb1516e0e1a67d0fcc6ca1e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;{\cancel {+\;dz\;{\vec {u}}_{z}}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\;{\vec {u}}_{y}\right]\,dx\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c30f84f5afc95260d9cbc501ccd7ac5312b93c1)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf2655709e3d438d899725c28b42aab9a22c656)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]={\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d6e73647ef8c9d0563b30d0b25e86deed45963)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c r c r}{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}\!\!&=&\!\!\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}\!\!&+&\!\!\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}\!\!&=&\!\!-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fda8ab1556fe9bb63ac8b9045c740ab1da97fc9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba803b0769fe9c8070075752ac0dbfc73e7be629)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1102636df0d1283354760fb3be5a4069e653667)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03044ada35b58702aea3fa820775e4873da2477)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7149ffb4b3075ad4c1b413cb55fdaae0aadb17e1)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]={\vec {u}}_{\theta }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\;d\theta \\d\!\left[{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301b92e0275329850adfff40511faf02accdcf3f)
![{\displaystyle \;d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb00374b04c93f7953dc77d08aae7a31f38a11b3)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=\left[a\;{\vec {u}}_{\theta }+h\;{\vec {u}}_{z}\right]d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efe0388efca0dc1b76f06281d8c345ea241d323)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\!\left[{\vec {u}}_{r}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca482082e799678147e23caa377424f61d3b100)
