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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace

Leçons de niveau 14
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Divers repérages d'un point dans l'espace
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Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite » [1].

Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace

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Repérage cartésien d'un point dans l'espace

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Choix d'un repère cartésien

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     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe un « repère cartésien » c.-à-d.
     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « origine » fixe dans et
     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « base orthonormée » usuellement directe [3] [4] également fixe dans ,
     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base orientant un axe passant par à savoir :
     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des abscisses,
     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des ordonnées et
     Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » , on lui associe une « chaque vecteur de base « orienté par » axe des cotes.

Coordonnées cartésiennes d'un point

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     Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon , « définissent les coordonnées cartésiennes du point » [5]
     Le vecteur position de se décomposant dans la base cartésienne selon , « définissent les abscisse, ordonnée et cote.

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace

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Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point

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Vue en perspective du repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'un point

     Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et
     Appelant celui de sur le plan ,
     on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en conservant la localisation de par sa cote mais
     on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant celle de relativement à son repérage cartésien,
     on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré par la distance le séparant de
on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré et par l'angle orienté [6] que fait
on définit le repérage cylindro-polaire ou cylindrique de en modifiant étant repéré et par l'angle avec  ;
     le nom complet du repérage est repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'axe .
     Voir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point

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Vues projetées du repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'un point  : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les coordonnées cylindro-polaires ou cylindriques de sont avec
     Les coordonnées cylindro-polaires «» sa « coordonnée radiale » [7],
     Les coordonnées cylindro-polaires «» sa « coordonnée angulaire » [8] et
     Les coordonnées cylindro-polaires «» sa cote ;

     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien et
     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'autre en vue de dessus
     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, voir ci-contre.

     On définit la base « cylindro-polaire » ou cylindrique liée à « orthonormée directe [3] » avec
     On définit la base « cylindro-polaire » le 1er vecteur de la base ,
     On définit la base « cylindro-polaire » le 2nd vecteur de la base dans le plan « directement au précédent » [9] on peut encore le définir par et
     On définit la base « cylindro-polaire » le 3ème vecteur de la base identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ;

     cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de  : le 1er est appelé « vecteur radial »,
     cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de  : le 2nd est appelé« vecteur orthoradial » et
     cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de  : le 3ème constant est appelé« vecteur axial » [10].

Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point

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     Le vecteur position du point s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à selon «» [11],
     on en déduit que les composantes radiale et axiale du vecteur position, respectivement et , sont identiques aux coordonnées radiale et axiale du point,
      on en alors que la composante orthoradiale du vecteur position diffère de la coordonnée angulaire du point [12].

Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point

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Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien

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     Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base cartésienne : , le 3ème vecteur étant le même ou encore
     Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base cartésienne : [13].

     Coordonnées cylindro-polairesou cylindriquesen fonction des coordonnées cartésiennes : [14], la 3ème cordonnée étant la même.

Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire

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     Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : , le 3ème vecteur étant le même ou encore
     Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [13].

     Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polairesou cylindriques : , la 3ème cordonnée étant la même.

     Remarque : Le repérage cylindro-polaire ou cylindrique se suffit à lui-même, il ne faut jamais sauf dans de très rares cas transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien ;
     Remarque : si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cartésien, et il peut être nettement plus simple !

Repérage sphérique d'un point dans l'espace

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Principe du repérage sphérique d'un point

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Vue en perspective du repérage sphérique d'un point

     Appelant le projeté orthogonal de sur l'axe et
     Appelant celui de sur le plan , on définit le demi-plan méridien contenant et [15] et
     Appelant celui de sur le plan , on repère ce demi-plan méridien par l'angle orienté [16] qu'il fait avec
     Appelant celui de sur le plan , on repère le demi-plan méridien de référence analogue géographique
     Appelant celui de sur le plan , on repère le demi-plan méridien de référence de la longitude, puis
     Appelant celui de sur le plan , on repère dans ce demi-plan méridien
     Appelant celui de sur le plan , on repère par la distance séparant de analogue géographique
     Appelant celui de sur le plan , on repère par la distance de l'altitude augmentée du rayon de la Terre et
     Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle orienté [17] que fait le vecteur position de
     Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle avec l'axe analogue géographique
     Appelant celui de sur le plan , on repère par l'angle avec l'axe analogue de la colatitude ;

     on obtient ainsi le repérage sphérique de pôle et[18] d'axe ,
     on obtient ainsi ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés.

     Voir schéma en perspective ci-contre.

Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point

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Vues projetées du repérage sphérique d'un point  : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les coordonnées sphériques de sont avec «» son « rayon polaire» [19],
     Les coordonnées sphériques de sont avec «» sa « colatitude » [20] et
     Les coordonnées sphériques de sont avec «» sa « longitude » [21] ;

     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien et
     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection en vue de dessus [22],
     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre la base cylindro-polaire y est
     il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre la base rappelée en marron.

     On définit la base « sphérique » liée à orthonormée directe [3] avec
     On définit la base « sphérique » le 1er vecteur de la base ,
     On définit la base « sphérique » le 2nd vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement au précédent » [23] on peut encore le définir par
          On définit la base « sphérique » le 2nd vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement au précédent » on peut encore avec le 3ème vecteur de la base et
     On définit la base « sphérique » le 3ème vecteur de la base au demi-plan méridien et orientant ce dernier [24] soit encore [25] ;

     cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et , le 1er est appelé « vecteur radial »,
     cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et , le 2nd est appelé « vecteur orthoradial » [26], [27] et
     cette base est liée à car le 3ème vecteur de la base sphérique dépend de seul, le 3ème est appelé « vecteur longitudal » [28].

Composantes sphériques du vecteur position d'un point

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     Le vecteur position du point s'écrivant dans la base sphérique liée à selon «» [29],

     on en déduit que la composante radiale du vecteur position , est identique à la coordonnée radiale du point,
       on en alors que les composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position et diffèrent des coordonnées angulaires et du point [30].

Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point

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     Pour un repérage sphérique de pôle et[18] d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « est l'altitude augmentée du rayon de la Terre »,
          Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire vertical »,
          Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « la colatitude » [31],
          Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud »,
          Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « la longitude » et
          Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, « le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point

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Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire

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     Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [25] ou encore
     Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaireou cylindrique : [13], [25].

     Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polairesou cylindriques : [32] suffisant pour déterminer .

Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique

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     Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base sphérique : [25] ou encore
     Vecteurs de base cylindro-polaireou cylindriqueen fonction des vecteurs de base sphérique : [13], [25].

     Coordonnées cylindro-polairesou cylindriquesen fonction des coordonnées sphériques : [32].

     Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire ou cylindrique[33] ;
     Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple que dans le repérage cylindro-polaire,
     Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple exemple d'un déplacement sur une sphère seules et varient !

Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point

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Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien

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     Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne : [34].

     Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes : [35], [36], suffisant pour déterminer .

Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique

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     Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : on décompose les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire puis
     Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : la base cylindro-polaire dans la base sphérique .

     Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques : [37].

     Remarque : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est jamais utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ;
     Remarque : si, dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose, il ne sera jamais intéressant de remplacer le repérage sphérique par le repérage cartésien.

Vecteur déplacement élémentaire d'un point

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Définition intrinsèque

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     La notion de vecteur déplacement d'un point à partir d'une position quelconque nécessite de préciser la position finale du déplacement, le vecteur déplacement obtenu s'écrivant ;
     si la position finale reste proche de la position initiale , on substitue la notation à celle de et le vecteur déplacementest qualifié de « petit » ;
     pour infiniment proche de suivant une direction d'approche fixée, on substitue la notation à celle de et le vecteur déplacementest qualifié d'élémentaire.

     Le vecteur déplacement élémentaire à partir d'une position quelconque en suivant une direction fixée peut être considéré aussi comme obtenu en suivant une courbe passant par [38] ;

     en conclusion la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'une positions'identifie à
               en conclusion la définition celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe vue dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [39] ;

     en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit
     en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme ou simplement «» [40] ;
     en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe est tangent à la courbe en , dans la mesure où [41].

Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

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Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien

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     Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit , les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle.

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point

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     Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,
  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où ,

     le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit , ses composantes cartésiennes étant donc .

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

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     Considérons la parabole d'équations cartésiennes [42] et différencions ces équations : on obtient alors et
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole s'explicite en fonction de l'élément différentiel selon
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire «» [43] ;
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est toujours dans le sens de et
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est de sens contraire à pour ,
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur s'annule pour et
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur est dans le sens de pour ,
            Considérons la parabole d'équations cartésiennes d'autre part, pour , la composante vectorielle sur de norme d'autant plus grande que l'est [44]

Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

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Calcul préliminaire

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     Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire ou cylindrique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit [45].

Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire

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     Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle dont ils dépendent soit
     Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne [46] ;
     on utilise [47] avec les dérivées par rapport à des deux 1ers vecteurs de base égales à [48], [49] soit :

     Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à .

Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire

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     On reporte l'expression de dans celle de obtenue en calcul préliminaire et on trouve .

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point

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     Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

  • suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où
    suivant , «»,
  • suivant , on se déplace selon le cercle passant par et d'axe c.-à-d. d'équations et du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique [50] d'où
    suivant , «»,
  • suivant , on se déplace selon la droite passant par et à c.-à-d. d'équations et du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique d'où
    suivant , «»,

     le vecteur déplacement élémentaire étant finalement se réécrit «», ses composantes cylindro-polaires étant donc .

Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires

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     Ci-contre à gauche le tracé d'une hélice circulaire droite [51] d'axe  ;

     ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire « cote à l'abscisse angulaire » qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'hélice circulaire droite [51] d'axe , l'autre surface étant un tuyau cylindrique de révolution d'axe .

     Vecteur déplacement élémentaire le long d'une hélice circulaire droite [51] d'axe : Soit l'hélice circulaire d'équations cylindro-polaires «» [52], nous cherchons à déterminer le vecteur déplacement élémentaire du point générique de l'hélice circulaire et pour cela nous différencions les équations de cette dernière : on obtient alors «» et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'hélice circulaire peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel selon
                                                                                                                             «» [53].

     Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite [51] d'axe : il n'existe aucun point de l'hélice circulaire où le vecteur déplacement élémentaire est nul,
           Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vectorielle sur , est toujours dans le sens de et             Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vect celle sur , est de sens contraire à pour [54], et
            Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : pour , la composante vect celle sur , est dans le sens de pour [55],
           Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe : la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de [56]

     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : une hélice circulaire est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec à  ;
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan,
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution l'hélice circulaire se « développe » en une droite c.-à-d. en une courbe de « pente constante » [57] ;
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre et est , elle « monte » dans le sens trigonométrique [58]
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ;
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre et est , elle « monte » dans le sens anti-trigonométrique [59],
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ;
     Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit le pas de l'hélice circulaire par la variation de cote correspondant à un tour complet soit
    Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit un pas de pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon .

Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

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Calcul préliminaire

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     Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit [60].

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point

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     Pour créer un déplacement élémentaire du point en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi :

  • suivant , on se déplace selon la demi-droite passant par