Leçons de niveau 14

Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système continu de matière

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Cinétique et dynamique d'un système continu de matière
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Chapitre no 4
Leçon : Mécanique des systèmes de points
Chap. préc. :Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels
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Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système continu de matière
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     Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec, pour système continu de matière, un système d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de matière dans l'expansion, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert » et nécessite d'être délimité par une surface fermée fixe indéformable dite « de contrôle ».

     Les cas de systèmes continus de matière d'expansions surfacique «» de masse surfacique «» ou linéique «» de masse linéique « » ne sont pas développés car il suffit de faire les remplacements suivants :

  • « le pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] » par « le pseudo-point de l'expansion surfacique [2] » ou par « le pseudo-point de l'expansion linéique [3] » puis
  • « l'intégrale volumique définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion tridimensionnelle à partir de sa densité volumique à savoir [4] » par « l'intégrale surfacique définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion surfacique à partir de sa densité surfacique à savoir [5] » ou par « l'intégrale curviligne définissant la grandeur cinétique ou dynamique associée à l'expansion linéique à partir de sa densité linéique à savoir [6] ».

Cinétique d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas général le système continu de matière est déformable et

     dans le cas où il est fermé et « indéformable » il définit un « solide au sens de la mécanique».

Masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     La masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du système et définie selon

«» [4].

     Remarque : Si le système est fermé, sa masse ne varie pas c.-à-d. «» mais il est possible que son volume varie par le fait que l'expansion tridimensionnelle se déforme en occupant plus ou moins d'espace, correspondant alors à une masse volumique au point générique ou .

Centre d'inertie (ou centre de masse) du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Le centre d'inertie ou centre de masse du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est le barycentre des positions instantanées des pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [1] affectés de leur masse élémentaire , sa définition mathématique s'écrivant [7]

« tel que » [4] est donc un point fictif.

     Propriété : avec représentant une position quelconque, « est tel que » [4] «» [4] de par la définition, est indépendant de .

     Propriété : Justification : introduisant la position dans la définition, on obtient «» [4] ou «» [4] « » [4] ou encore «» [4].

Résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme continue [8] des quantités de mouvement de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] au même instant soit, en notant la densité volumique de résultante cinétique en dans le référentiel à cet instant ,

«» [4], [9] ou encore, ;
«» [4], [10], [11] avec
le vecteur vitesse de à l'instant dans .

     Remarque : Si le système est fermé, c.-à-d. s'il n'y a ni entrée ni sortie de matière, l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des pseudo-points le constituant ;

     Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée , pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :

     Remarque : si le système est ouvert, par entrée ou sortie de pseudo-points accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et ou

     Remarque : si le système est ouvert, par modification du mouvement des pseudo-points initialement présents.

     Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I. [12] du système au même instant dans le même référentiel selon

«» [10] dans lequel
est la masse du système et
le vecteur vitesse de à l'instant dans .

                 Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration [13] : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I. [12] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , est tel que [4] ;

                        Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [4], [14] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, [4], le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , C.Q.F.D. [15].

                 Propriété de la résultante cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle : La résultante cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «», définie à l'instant dans le référentiel , est donc, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. [12] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O[modifier | modifier le wikicode]

Définition du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un point O[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[16] est la somme continue [8] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1], définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [17] soit, en notant la densité volumique de moment cinétique vectoriel du système en dans le référentiel à cet instant , ou encore, dans lequel est la densité volumique de résultante cinétique en dans le référentiel à cet instant ,

«» [4], [9], [18] avec
« le vecteur résultante cinétique volumique en dans au même instant »,
soit encore «» [4], [10], [18] avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante

«» [9] dans laquelle
«» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles [19] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [20] soit [4] dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [21] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D. [22].

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I. [12] du système continu est le plus couramment utilisé à savoir «» [9] ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système continu, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I. [12] du système dans le même référentiel , «» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».

Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, « » dans lequel «[4] où, le système continu étant en translation, « » et «» [4] puis, par factorisation vectorielle à droite [21] « » [4] par définition du C.D.I. [12] du système continu soit

«» [9] et
«[9] » [10].

Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle[modifier | modifier le wikicode]
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [23] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C

     Soit un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel avec centre du cercle décrit par dans le référentiel avec le vecteur rotation instantanée , le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté est défini par

«» [9] ou «» [10] ;

     y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [23], à savoir [24], [25], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel [26] soit avec par utilisation de la relation de Chasles [19] ou encore, en notant le vecteur unitaire de , on peut écrire car est à , d'où , soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [23] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point de l'axe de rotation du centre du cercle

«» [10].
Expression du vecteur moment cinétique d’un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ[modifier | modifier le wikicode]
Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique volumique du système en de l'expansion tridimensionnelle dans par rapport à sous la forme [27], [10], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système étant la somme continue [8] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [1] ; on en déduit donc [4] ou, après distribution de l'intégration sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,

«» [4], [10] ;

     en notant «» [4], [28] exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et

     repérant par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [29],

     le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

«» [4], [30], [10].
Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est « axe principal d'inertie du système »[modifier | modifier le wikicode]

     Pour tout , point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude et passant par ,
     on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation , orthogonales entre elles, telles que

« soit à l'axe de rotation » du système c.-à-d. telles que
«» [4], [31] avec le projeté orthogonal de sur ,

«» [10] avec «» [4] dans laquelle ,
définissant un « axe principal d'inertie du système issu de » [32],
étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par ».

     Remarque : Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point quelconque, «», en rotation autour d'un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, « soit au vecteur rotation instantanée », c.-à-d. qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point , ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine [33] mais

     Remarque : un axe quelconque peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points c.-à-d. que le 2ème terme du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée , à savoir «», peut être non nul pour tous les points [34].

     Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : Pour plus de détails voir les paragraphes « complément, notion d'axes principaux d'inertie d'un système continu de matière » et « complément, moments principaux d'inertie de quelques solides homogènes » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;

     Exemples d'axes principaux d'inertie et moments principaux d'inertie correspondants : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ayant un axe de symétrie de révolution autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point quelconque de , on vérifie la relation « » avec «» [4] dans laquelle établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «» [4] car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en , à la position correspond une position unique symétrique de par rapport à c.-à-d. tel que «» d'où la propriété énoncée en intégrant sur à fixé utilisant une seule fois toutes les positons du plan de section droite coupant l'axe en [35] puis sur pour décrire toutes les sections droites.

Moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» par rapport à l'axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un point quelconque de l'axe soit

«», [36], [9] .

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c.-à-d. en vérifiant la propriété «» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle [37] entre et soit « » [9] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [38] «» [39] R.Q.F.D. [22] ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «» [40] dans lequel « d'où
     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par «» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [41] «» en notant le projeté orthogonal de sur l'axe soit, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par d'où les coordonnées cylindro-polaires de avec pour base cylindro-polaire liée à , [29] et par suite «» ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant , [9]

«[10], [42].

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «» [4], [43], [10], [30] dans lequel « » [4] est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où
     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par «» [4] ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [38] ainsi que à , «» [4] et enfin l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«» que l'axe soit principal d'inertie [44] ou non [10].

Énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique, à l'instant , du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» dans le référentiel d'étude est la somme continue [8] des énergies cinétiques de tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [1], définies au même instant , dans le référentiel [45] soit, en notant la densité volumique d'énergie cinétique en dans le référentiel à cet instant ,

«» [4], [9], [46] ou,
la densité volumique d'énergie cinétique s'exprimant encore selon
«» avec
« la densité volumique de résultante cinétique du système en dans au même instant »,
et « le vecteur vitesse de dans au même instant »,
«» [4], [10].

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant , du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que , s'évaluant selon «» [4] soit, en factorisant par et reconnaissant [4] dans l'autre facteur

«» [10], [45]
ou encore, avec [10]
«» [10].

     Cas particulier d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [23] à l'instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que avec [25], s'évaluant selon «» [4], [45], [30] ou, en injectant l'expression du vecteur vitesse de , «» [4], [30] ou encore, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [41] « » [4] soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur [4]

«» [10] ou
«» [10] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de
ou encore, avec [10], [4] étant le moment d'inertie du système relativement à ,
«» [10].

Référentiel barycentrique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et cinétique associée[modifier | modifier le wikicode]

Notion de référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .

     Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude en la considérant comme composée de deux mouvements :

        Intérêt de son introduction : un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant , à , ce mouvement considérant le système à l'instant comme un solide et

        Intérêt de son introduction : un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide lié au C.D.I. [12]  ;

     Intérêt de son introduction : le solide s'identifie au référentiel barycentrique , ce dernier étant lié à , en translation de vecteur vitesse relativement au référentiel d'étude  ;

     Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à

        Intérêt de son introduction : celle du mouvement du C.D.I. [12] dans le référentiel d’étude et

        Intérêt de son introduction : celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique c.-à-d. à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

Grandeurs cinétiques barycentriques du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

Résultante cinétique barycentrique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» est la somme continue [8] des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les pseudo-points du système [1] soit

«» [4], [9] avec la densité volumique de résultante cinétique barycentrique du système ou encore,
en cinétique classique, «» [4], [10].

     Propriété : «» [10] car «» [10] d'une part et «» d'autre part ; on en déduit «» [4], [10].

Moment cinétique barycentrique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle évalué en un point O quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» de masse volumique «» évalué en un point quelconque «» est la somme continue [8] des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les pseudo-points du système [1] par rapport au même point au même instant soit

«» [4], [9] avec la densité volumique de vecteur moment cinétique barycentrique du système par rapport à
ou encore, «[4], [9]