Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel

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Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
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Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
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Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.

Sommaire

Aspect de la cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude relativement à un autre point A : définition dans le référentiel d’étude du « moment cinétique de M par rapport au point A » (ou « moment cinétique vectoriel de M »)[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit d’une part, de décrire le mouvement du point matériel dans le référentiel d'étude [1] relativement à un point privilégié [2] et
     Il s'agit d'autre part, de tenir compte de l'inertie du point matériel c.-à-d. de sa masse.

Définition du vecteur « moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d’étude par rapport à un point A »[modifier | modifier le wikicode]

     Commentaires : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel par rapport au point , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la vitesse en norme, direction et sens d'autre part, le tout relativement au point , la grandeur dépend donc du référentiel  ;

Schéma de définition du moment cinétique (vectoriel) d'un point matériel M par rapport à un point A dans le référentiel d'étude, l'espace étant orienté par une base directe

     Commentaires : le point est le point par rapport auquel on calcule le moment cinétique (vectoriel) encore appelé point origine de calcul, le moment cinétique (vectoriel) est représenté au point voir ci-contre dans le cas d'un espace orienté par un trièdre direct ;

     Commentaires : le moment cinétique du point matériel par rapport à est un vecteur axial ou pseudo-vecteur[5] comme produit vectoriel de deux vecteurs polaires ou vrais vecteurs[6] voir le paragraphe « propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », son sens dépend donc de l'orientation de l'espace si l'espace est orienté par un trièdre indirect ce qui est excessivement rare [7] le sens de est inversé par rapport à celui représenté sur le schéma ci-contre.

     Remarque : avec la notion hors programme de physique de PCSI de « torseur » introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », on remarque que le moment cinétique (vectoriel) du point matériel par rapport à c.-à-d. est le moment du torseur cinétique du point matériel à savoir dont les éléments de réduction sont évalués en soit .

Propriétés du « moment cinétique (vectoriel) de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A »[modifier | modifier le wikicode]

     Les propriétés du « moment cinétique (vectoriel) du point matériel dans le référentiel d’étude par rapport au point origine » se déduisent de la définition d’un produit vectoriel [8] à savoir :

  • produit vectoriel et
  • dans le cas où , les direction, sens et norme sont
       direction au plan ,
       sens tel que le trièdre soit direct [9] dans le cas présent où l'espace est orienté par une base directe [10] et
       norme en  ;

     remarque : si le mouvement de est plan et si est choisi dans le plan de la trajectoire de , est au plan dans la mesure où il n’est pas nul et « son sens » [11] précise le sens de « rotation » [12] relativement à dans le plan.

« Vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A », cas particulier de « vecteur moment d’un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A »[modifier | modifier le wikicode]

     De façon générale, le « vecteur moment d’un champ vectoriel [13], [14] par rapport à point origine de calcul du moment» étant défini selon [15], on en déduit que
     De façon générale, le « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à point origine de calcul du moment cinétique» est le « vecteur moment de la quantité de mouvement du point matériel dans le référentiel [16] par rapport à point origine de calcul du moment».

Complément, expression « relativiste » du « vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d’étude par rapport au point origine A »[modifier | modifier le wikicode]

     La notion de « vecteur moment d’un champ vectoriel [13], [14] par rapport à un point origine » étant [15] et ceci indépendamment de toute cinétique,
     le « vecteur moment cinétique du point matériel par rapport au point origine dans un référentiel » est défini comme le « vecteur moment de la quantité de mouvement du point matériel par rapport au point origine », que le mouvement de dans soit classique [4] ou relativiste soit,

en cinétique relativiste,  ;

     l'expression relativiste, dans le référentiel , de la quantité de mouvement du point matériel en fonction de sa masse et de sa vitesse dans , a été introduite dans le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,

  • elle nécessite de définir le facteur de Lorentz [17] du point dans le référentiel par et
  • la quantité de mouvement de dans s'écrit alors
    ou encore,
    [18] en définissant la masse apparente de dans par [19] ;

     utilisant cette expression on en déduit l'expression relativiste, dans le référentiel , du vecteur moment cinétique du point matériel par rapport au point origine en fonction, entre autres, de la vitesse de dans


avec le facteur de Lorentz [17] de dans

     soit encore, est l'expression classique [4] du vecteur moment cinétique de par rapport à dans .

     Remarques : Conformément à ce qui est introduit dans le paragraphe « torseur cinétique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les éléments de réduction du torseur cinétique du point matériel dans le référentiel au point de réduction sont définis selon , expression applicable en cinétique classique [4] ou relativiste et
     Remarques : suivant le caractère classique [4] ou relativiste du mouvement du point matériel dans le référentiel  :
     Remarques : en cinétique classique [4] ,
     Remarques : en cinétique relativiste que l'on peut réécrire selon établissant l'importance de « » facteur de Lorentz [17] du point matériel dans le référentiel aussi bien dans la cinétique utilisant la résultante que dans celle utilisant le moment vectoriel en  ;

     Remarques : on remarque aussi que les éléments de réduction du torseur cinétique relativiste du point matériel dans le référentiel au point de réduction se déduisent de ceux du torseur cinétique classique [4] du point matériel dans le même référentiel au même point de réduction en y substituant la masse du point matériel par la masse apparente de ce dernier à l'instant , soit [19].

Formule de changement d’origine du calcul des moments (cinétiques) vectoriels[modifier | modifier le wikicode]

Formule de changement d’origine du calcul de vecteur moment d’un champ vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

     Cette formule a été introduite dans le paragraphe « notion de résultante d'un torseur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » sous le nom de « relation de Varignon [20] ou règle de transport des moments», un champ de moments étant effectivement un torseur en tant que champ de vecteurs équiprojectif [21], elle s'écrit selon

[22], [23],

     la démonstration s'effectuant très simplement dans le cas présent en partant de la définition du vecteur moment du champ par rapport au point origine soit , en utilisant la relation de Chasles [24] puis la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [25] soit , expression dans laquelle le 2nd terme du 2ème membre étant par définition, nous permet de conclure la démonstration.

Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un point matériel dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à point origine de calcul du moment cinétique» étant le « vecteur moment de la quantité de mouvement du point matériel dans le référentiel [16] par rapport à point origine de calcul du moment», on peut lui appliquer la formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment d'un champ et on obtient


applicable sous cette forme en cinétique classique [4] ou relativiste.

Cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [26] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M au point C (origine de calcul de moment cinétique)

Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un point matériel , de masse , en mouvement circulaire de centre , de vecteur rotation instantanée [26] dans le référentiel d'étude , le vecteur moment cinétique de ce point matériel dans par rapport au centre de sa trajectoire circulaire, noté est défini par

     ou, dans le cadre de la cinétique classique [4],  ;

     y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [26], à savoir [27], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel [28] soit car, de par la nature du mouvement de le rayon vecteur est à à tout instant, soit encore, en notant le rayon du cercle, , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [26] quand l'origine de calcul du moment cinétique est le centre du cercle

[29].

Notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment d'inertie [30] d'un point matériel , de masse , relativement à un axe est introduit quand le point « tourne » [31] autour de l'axe , il est noté [32] et représente une « grandeur scalaire inertielle de rotation » [33], il est défini par la relation

exprimé en ,
dans laquelle est la masse du point et la distance orthogonale séparant de l'axe .

Réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel d'étude par rapport au centre du cercle « support de la trajectoire de » [34] s'écrit

[35]

     où est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation , étant la masse du point et le rayon du cercle, et le vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire du point .

Évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [26] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C

     Soit un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel avec centre du cercle décrit par dans le référentiel avec le vecteur rotation instantanée , le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté est défini par

     ou, dans le cadre de la cinétique classique [4],  ;

     y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [26], à savoir [27], [36], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel [28] soit avec par utilisation de la relation de Chasles [24] ou encore, en notant le vecteur unitaire de , on peut écrire car est à , soit finalement , soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [26] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point de l'axe de rotation du centre du cercle

,

     soit une somme de deux termes dont

  • le 1er «» est colinéaire à l'axe de rotation et
  • le 2nd «» est à l'axe de rotation dans le « plan méridien de »,

     ce qu'on peut encore écrire

[37].

     Remarque : la relation de proportionnalité entre et n'est réalisée qu'en choisissant pour origine de calcul du moment cinétique le centre du cercle, et qu'en dehors de ce point , il n'y a pas proportionnalité entre et car pour , n’est pas porté par l'axe [38].

Analogie entre la cinétique d’un point matériel en mouvement quelconque et celle d’un point matériel en mouvement de rotation autour d’un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique classique [4] d'un point matériel en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique » , ce facteur égal à la masse du point matériel représentant la « grandeur d'inertie » soit

 ;

     en cinétique classique [4] d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe , de centre et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue [39] entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique » , le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation représentant la « grandeur d'inertie » soit

 ;

     on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique [4] entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes

.

Complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport au centre C du cercle[modifier | modifier le wikicode]

     Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport au point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement relativiste dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine est lié à l'expression que le vecteur moment cinétique du point matériel prendrait si le mouvement de ce dernier était classique [4] dans le même référentiel d'étude par rapport au même point origine selon


avec facteur de Lorentz [17] du point dans  ;

     dans le référentiel d'étude , le vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire classique [4] autour de l'axe de rotation, de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [26], avec, pour point origine de calcul du moment, le centre du cercle, ayant pour expression établie précédemment dans laquelle est le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation et

     dans le référentiel d'étude R , la définition du vecteur rotation instantanée [26] ainsi que son lien avec le vecteur vitesse dans un mouvement circulaire de centre à savoir restant les mêmes en relativiste, on en déduit l'expression du facteur de Lorentz [17] du point dans en fonction de la vitesse angulaire non algébrisée et du rayon du cercle soit « » d'où

     dans le référentiel d'étude R , l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe de rotation, de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [26], avec, pour point origine de calcul du moment, le centre du cercle,


avec le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation et
le facteur de Lorentz [17] du point dans .

     Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse en mouvement quelconque, il existe un facteur de proportionnalité entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique » , ce facteur égal à la masse du point matériel représentant la « grandeur d'inertie » soit

 ;

     Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe , de centre et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue [39] entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique » , le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation représentant la « grandeur d'inertie » soit

 ;

     Remarque 2 : dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique [4] et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes » [40] c.-à-d.
     Remarque 2 : la « masse apparente » en translation relativiste et
     Remarque 2 : le « moment d'inertie apparent » ou en rotation relativiste.

Aspect de la cinétique de M dans le référentiel d’étude relativement à un axe Δ, définition dans ce référentiel du moment cinétique de M par rapport à l’axe Δ (ou « moment cinétique scalaire de M »)[modifier | modifier le wikicode]

Notion d’« équiprojectivité » du « champ de vecteurs moment d’un champ vectoriel »[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion introduite pour un champ de vecteurs dans le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel» du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » à savoir

,

     n'est pas vérifiée pour n'importe quel champ de vecteurs mais

     cette propriété d’« équiprojectivité » est applicable au champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel quelconque défini par , , en effet par utilisation de la relation de Chasles [24] soit enfin, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle [25] dans le 1er membre de cette équation que l'on cherche à vérifier ce qui établit la propriété d’« équiprojectivité » compte-tenu de la nullité du 1er produit mixte du 1er membre [41] ;

en conclusion on retient .

Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique de M » dans le référentiel d’étude et conséquence, notion de « moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »[modifier | modifier le wikicode]

     Le « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à point origine de calcul du moment cinétique» étant le « vecteur moment du champ vectoriel quantité de mouvement du point matériel dans le référentiel [16] par rapport à point origine de calcul du moment», nous en déduisons l'« équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique du point matériel » dans le référentiel d’étude soit

.

     Remarque : en utilisant la notion hors programme de physique de PCSI de « torseur » introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment cinétique (vectoriel) du point matériel par rapport à «» étant le moment du torseur cinétique du point matériel «» d'éléments de réduction en « » et
     Remarque : le « moment d'un torseur au point » étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif » [42] nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel par rapport à ».

     Conséquence : considérant un axe quelconque et deux points quelconques (distincts) de cet axe , nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du point matériel dans le référentiel la relation [43] ou,
     Conséquence : en orientant l'axe par et en simplifiant par , «» [44] cette valeur constante sur définissant le moment cinétique (scalaire) du point matériel dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe .

     Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du point matériel par rapport à l'axe , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse dans un plan à ainsi que de la disposition du point par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel .

Retour sur le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée fixé[modifier | modifier le wikicode]

Évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique du point matériel , de masse , par rapport au centre du cercle « support de la trajectoire de » [34] de rayon dans le référentiel d'étude s'écrivant avec moment d'inertie du point relativement à l'axe et le vecteur rotation instantanée [26] du mouvement du point, nous en déduisons

     après orientation de l'axe par dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du point sur le cercle,

     l'expression du moment cinétique (scalaire) du point matériel par rapport à l'axe du cercle, à l'instant , dans le référentiel d'étude , soit finalement

[45].

     Remarque : Le moment cinétique (scalaire) de par rapport à l'axe de rotation de son mouvement circulaire étant la projection sur orienté par du moment cinétique (vectoriel) de par rapport à n'importe quel point de , on vérifie qu'en prenant un point origine avec centre du cercle on trouve le même résultat, en effet
     Remarque : ayant établi précédemment [46] et multipliant scalairement par on obtient, après utilisation de la distributivité du produit scalaire relativement à l’addition vectorielle [47], , le 2ème terme du 2ème membre étant nul car est à et le 1er terme restant du 2ème membre étant égal à .

Expression symbolique reliant la cinétique et la cinématique dans le cas d’un mouvement circulaire autour d’un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique classique [4] d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées au paragraphe « analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ » plus haut dans ce chapitre entre la « grandeur cinétique » moment cinétique scalaire du point et la « grandeur cinématique » vitesse angulaire de rotation du point, le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation représentant la « grandeur d'inertie » soit

 ;

     on vérifie ainsi l'analogie de cinétique classique [4] entre mouvements de translation et de rotation suivant les correspondances suivantes

.

Complément, expression relativiste du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe Δ du cercle[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi, plus haut dans ce chapitre, au paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle », l'expression du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire relativiste autour de l'axe de rotation dans le référentiel d'étude , le point origine de calcul du vecteur moment cinétique étant le centre du cercle,

     dans laquelle [26] est le vecteur rotation instantanée, le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation et le facteur de Lorentz [17] du point dans le référentiel d'étude , il suffit, pour établir l'expression relativiste du moment cinétique scalaire du point matériel en mouvement circulaire d'axe , ce dernier étant l'axe par rapport auquel le moment cinétique scalaire est évalué, de projeter sur le vecteur unitaire orientant l'axe , soit

      soit encore, en reconnaissant dans l'expression entre crochets le moment cinétique scalaire que le point matériel en mouvement circulaire d'axe aurait en cinétique classique [4], la relation suivante, dans le référentiel d'étude ,

avec
le facteur de Lorentz [17] du point ,
le moment d'inertie du point autour de son axe de rotation et
la vitesse angulaire de rotation de sur le cercle.

     Remarque 1 : en cinétique relativiste d'un point matériel de masse en mouvement circulaire d'axe , de centre et de rayon , on trouve une relation de proportionnalité analogue à celles exposées dans le paragraphe plus haut dans ce chapitre, entre la « grandeur cinétique » et la « grandeur cinématique » , le facteur de proportionnalité égal au moment d'inertie du point matériel relativement à l'axe de rotation représentant la « grandeur d'inertie » soit

 ;

     Remarque 2 : là encore, dans le but de garder les mêmes grandeurs cinématiques en cinétiques classique [4] et relativiste, on peut introduire des « grandeurs d'inertie apparentes » [40] c.-à-d.
     Remarque 2 : la « masse apparente » en translation relativiste et
     Remarque 2 : le « moment d'inertie apparent » ou en rotation relativiste.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Tant que l'on ne fait pas de la dynamique c.-à-d. tant que les causes de la cinétique à savoir « les forces » ne sont pas introduites, le référentiel peut être quelconque « galiléen ou non ».
  2. Usuellement ce point est choisi fixe dans mais il peut être mobile si le but recherché est l'étude du plus ou moins grand écart séparant le point matériel de ce point mobile de , lequel n'est pas nécessairement galiléen si l'étude reste en dehors du cadre de la dynamique.
  3. Ou « moment cinétique (vectoriel) du point matériel en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant même être omis.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 et 4,19 C.-à-d. newtonien(ne).
  5. Voir le paragraphe « définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Voir le paragraphe « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. Et n'est jamais le cas en absence de précision.
  8. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. Utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « 7 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. Dans le cas où l'espace serait orienté par une base indirecte ce qui ne sera a priori jamais le cas mais qui n'est pas interdit, on utiliserait la règle de la main gauche, voir description de la règle dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Pour le déterminer la règle la plus pratique me semble être celle du tire-bouchon de Maxwell on suppose que l'espace est orienté par une base directe : le tire-bouchon étant placé en tourne dans le sens de pour se déplacer dans le sens de .
  12. « Rotation » entre guillemets car la trajectoire de n'est a priori pas un cercle de centre mais cela peut l'être ;
       si le sens de est connu dans un espace orienté par une base directe, pour que le tire-bouchon de Maxwell placé en se déplace dans le sens de il faut qu'il tourne dans un certain sens, ce qui nous détermine alors le sens de .
  13. 13,0 et 13,1 Voir le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ(ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. 14,0 et 14,1 Champ vectoriel défini en tout point , pouvant, ou non, dépendre du référentiel.
  15. 15,0 et 15,1 C'est aussi le 2ème vecteur des éléments de réduction en d'un torseur glisseur de résultante voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (M étant un point central du glisseur) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans lequel le moment est défini selon ce qui est effectivement égal à .
  16. 16,0 16,1 et 16,2 Ici le champ vectoriel dépend du référentiel et aussi implicitement de .
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 17,6 et 17,7 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  18. Le seul avantage de cette expression est qu'elle permet d'avoir une expression de quantité de mouvement en fonction de la vitesse en apparence identique que le mouvement soit newtonien ou relativiste, mais ce n'est qu'une apparence car en relativiste dépend de la vitesse voir la note « 19 » qui suit et n'est donc pas une constante du mouvement comme en newtonien.
  19. 19,0 et 19,1 L'inconvénient de l'introduction de la masse apparente est que cette dernière dépend de la vitesse, raison pour laquelle son utilisation doit être réfléchie personnellement j'évite de m'y référer.
  20. Pierre Varignon (1654 - 1722) mathématicien français ayant fourni d'importantes contributions dans le domaine de la statique
  21. Voir le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  22. Dans le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la relation de Varignon était écrite en y substituant par et par , ce qui est bien la même expression compte-tenu de et de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. Formule à retenir elle se retient facilement si on pense à la relation de Chasles
  24. 24,0 24,1 et 24,2 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  25. 25,0 et 25,1 Voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  26. 26,00 26,01 26,02 26,03 26,04 26,05 26,06 26,07 26,08 26,09 26,10 et 26,11 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  27. 27,0 et 27,1 Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  28. 28,0 et 28,1 Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la formule utilisée ici étant .
  29. On remarque que est à c.-à-d. que la grandeur cinétique dans un mouvement de rotation est proportionnelle à la grandeur cinématique correspondante de même que l'on a trouvé que la grandeur cinétique dans un mouvement de translation est proportionnelle à la grandeur cinématique correspondante
  30. Cette appellation historique n'ayant aucun rapport avec les notions de moment de champ vectoriel pourrait prêter à confusion, mais un changement pour un autre nom n'est guère envisageable, de plus, à l'expérience, on se rend compte que, très rapidement, les usagers ne sont plus gênés