Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels

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Mécanique 2 (PCSI)/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.

Sommaire

Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière »[modifier | modifier le wikicode]

     Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque »[modifier | modifier le wikicode]

     Les diverses expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière [1] « quelconque » [2], à l'instant et dans le référentiel d'étude , voir le paragraphe « puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sont rappelées ci-après :

     «» [3] s'explicitant selon «» [4], étant le vecteur vitesse du point dans le référentiel , ou encore,

     «» en introduisant le vecteur vitesse relative, à l'instant , de par rapport à c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant , de dans le référentiel , lié à , en translation par rapport à , noté et égal à , soit aussi,

     «» [5] en regroupant les points deux par deux, s'écrivant encore «» [6].

     En repérant le point « dans le référentiel » par ses « coordonnées sphériques de pôle soit » avec « pour base sphérique liée à » [7],

  • la « force que exerce sur » s'écrit, dans la « base sphérique de liée à » selon «» se déduit de la 2ème relation du principe des actions réciproques [8] à savoir avec «» [9] définissant « l'intensité de l’interaction entre et » et simplement notée «» [10] d’où la réécriture « », de même,
  • le « vecteur vitesse relative de par rapport à » dans la « base sphérique de » s'écrivant « » [11],

     on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que exerce sur dans le référentiel , à savoir, «» [10], la base étant orthonormée d'où finalement «» [10], [12].

Cas particulier d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Si la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière [1] indéformable [13] est identiquement nulle [14]

« pour un système indéformable [13] »,

     ceci devient, a priori, faux pour un système déformable sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas[15] soit

« pour un système déformable » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas.

Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système[modifier | modifier le wikicode]

     Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière [1] « quelconque » [2], à l'instant et dans le référentiel d'étude galiléen, voir le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » est rappelé ci-après :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière [1] « quelconque » [2] est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Cas particulier d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant , à un système de matière [1] indéformable [13] ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant , par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle [16]

« pour un système indéformable [13] dans un référentiel galiléen »,

     ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas[15] d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen

« pour un système déformable » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas.

Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système[modifier | modifier le wikicode]

     Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ».

Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] « quelconque » [2], sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude galiléen, voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sont rappelés ci-après :

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] « quelconque » [2] est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Cas particulier d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] indéformable [13] sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul [17]

« pour un système indéformable [13] dans un référentiel galiléen sur » ou
« pour un système indéformable [13] dans un référentiel galiléen sur »,

     ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas[18] d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen

« pour un système déformable sur » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas ou
« pour un système déformable sur » sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas.

« En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives[modifier | modifier le wikicode]

     Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière [1] déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique voir le paragraphe « quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ? » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »

Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec » [19] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système voir relation du paragraphe « rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre et du lien entre travail élémentaire et puissance «», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système sur l'intervalle  :

«» [20],
la 1ère expression étant une « forme différentielle des variables indépendantes » [21], [22], [23] ;

     le système des forces intérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces intérieures sera « conservatif » si son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces intérieures considéré est une « différentielle de fonction », et comme le travail élémentaire est la somme de formes différentielles dont chacune dépend d'une variable différente, ceci est réalisé dans la mesure où « chacune des formes différentielles est une différentielle de fonction » [24] et,

           le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »dans la mesure où le cœfficient de est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes , la C.N. [25] pour que la forme différentielle «» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de ne dépende pas de mais soit fonction de la seule variable » [26], [27] cette C.N. [25] est une C.S. [28] dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » [29] sur un « ouvert étoilé » [30] de son domaine de définition d'après le théorème de Poincaré [31] relatif aux formes différentielles fermées [29] sur un ouvert étoilé de [32].

     En conclusion, la C.N. [25] pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces intérieures soit « conservatif » est que son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces intérieures considéré s'écrive selon «» [33].

Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives)[modifier | modifier le wikicode]

     Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec » [19] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière déformable ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées étant une différentielle de fonction s'écrit «» [34] et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple » notée «» selon «[35] [36] » soit finalement

«» [37], [38] ou,
après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle [39],
«[40], [41] avec référence [39] » [42] ;

     de «» utilisant «» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du système de matière déformable :

«» dans lesquelles «
[40] est l'énergie potentielle d'interaction pour le type de forces intérieures considéré du couple » [43].

« Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à ou points matériels.

Système « Terre – Lune »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans ce 1er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel :

  • «» pour la Terre dans lequel représente la position de son C.D.I. [44] et sa masse,
  • «» pour la Lune dans lequel représente la position de son C.D.I. [44] et sa masse ;

     l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «» dans laquelle est la distance séparant leur C.D.I. [44], on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système selon « » d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée [39] « la Lune infiniment éloignée de la Terre [45] », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune »

«» avec référence [39] : [45] ».

Atome d’hélium[modifier | modifier le wikicode]

     L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «» et de deux électrons de charge individuelle «», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique ;

Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne

     il y a «» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules [46] et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple :

  • entre l’électron et le noyau séparés de la distance , l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «» [47], on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron «» par « » d’où «» [48] avec « référence [39] : électron infiniment éloigné du noyau » [49],
  • entre l’électron et le noyau séparés de la distance , l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «» [47], on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron «» par « » d’où « » [48] avec « référence [39] : électron infiniment éloigné du noyau » [49] et
  • entre l’électron et l’électron séparés de la distance , l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «» [47], on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron «» par « » d’où « » [48] avec « référence [39] : électron infiniment éloigné de l'électron » [50] ;

     l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «» soit finalement

«»,
la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,
les deux 1ers termes correspondant à une attraction et le 3ème à une répulsion.

« En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

     « Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique voir le paragraphe « énoncé du premier principe de la thermodynamique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »

Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec » [51] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système voir relation du paragraphe « définition (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et du lien entre travail élémentaire et puissance «», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système sur l'intervalle  :

«» [52] avec
«» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel ,
le travail élémentaire étant une « forme différentielle des variables scalaires indépendantes positionnant les points matériels » [21], [53] ;

     le système des forces extérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces extérieures sera « conservatif » si son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces extérieures considéré est une « différentielle de fonction », et comme le travail élémentaire est la somme de formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « chacune des formes différentielles est une différentielle de fonction » [54] et,

           le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »dans la mesure où le point matériel est repéré, dans le référentiel , par ses coordonnées cartésiennes [55], la C.N. [25] pour que «» [55] soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » [29], [56], [57] cette C.N. [25] est une C.S. [28] dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » [29] sur un « ouvert étoilé » [30] de son domaine de définition d'après le théorème de Poincaré [31] relatif aux formes différentielles fermées [29] sur un ouvert étoilé de [32].

     En conclusion, la C.N. [25] pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur ou un des sous-systèmes de forces extérieures soit « conservatif » est que son travail élémentaire ou celui du sous-système de forces extérieures considéré «» en repérage cartésien[55] satisfasse les conditions

«» [55], [58].

Énergie potentielle d’interaction de type « k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « k »)[modifier | modifier le wikicode]

     Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec » [51] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     Si le système des forces extérieures de type «» s'exerçant sur un système de matière est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «» considérées à savoir «» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type du point matériel » notée «» selon «[59] [60] » soit finalement

«» [61], [62] ;

     on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière dans le champ des forces extérieures conservatives de type « k » selon

«» [63].

Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie mécanique d'un système de matière [1] déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant , «» ou en absence d'ambiguïté et définie selon

«» dans laquelle
le 1er, 2ème et 3ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant , les énergies
cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type et intérieures de type du système .

Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière [1] déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude galiléen, «», on distingue,

  • dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas [64], d’où «» ainsi que,
  • dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas [64], d’où «» puis,

     on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique

  • «» et
  • «» ensuite,

     on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «» du système de matière [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude galiléen, à un système de matière [1] déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «» dans lequel  ;

Début d’un théorème
Fin du théorème

     On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière [1] déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable[modifier | modifier le wikicode]

     Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière [1] déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où « dans le référentiel galiléen » dans lequel on reconnaît

  • dans le 1er membre, la puissance mécanique instantanée de [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant , «»,
  • dans le 1er terme du 2ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives [64] appliquées à [1] déformable, notée, à l'instant , « » et
  • dans le 2ème terme du 2ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives [64] appliquées à [1] déformable, notée, à l'instant , « » d'où

     l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière [1] déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière [1] déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

« En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas[modifier | modifier le wikicode]

     La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière [1] déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique voir le paragraphe « système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives

     « L'énergie mécanique d'un système de matière [1] déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives, définie dans un référentiel d'étude galiléen » est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives [64] s’exerçant sur ne travaillent pas ;

     c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière [1] déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives [64] impliquant « ainsi que » et l'application du théorème dans un référentiel d'étude galiléen s'écrivant « » on en tire «» ou encore «» ;

     c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière [1] déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives [64] impliquant « ainsi que » et l'application du théorème dans un référentiel d'étude galiléen s'écrivant « » on en tire «» ou, après intégration, «».

Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du tabouret d’inertie[modifier | modifier le wikicode]

Tabouret d'inertie.png

     Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

     Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant avec un minimum de frottement solide et fluide autour d'un axe « vertical » dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal et sur le siège duquel est positionné un système de matière [1] pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle déformable par exemple un individu avec un haltère dans chaque main ;

     le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière [1] déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen

Description de l’expérience[modifier | modifier le wikicode]

     On met en rotation le « système déformable » c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ;

     un « moteur interne au système déformable » c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation puis

     le même « moteur interne » c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale et on observe que la vitesse angulaire de rotation en reprenant sa valeur initiale.

     Remarque : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

Explication de l’observation[modifier | modifier le wikicode]

     L'ensemble « système déformable c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «», n'étant soumis qu'aux actions extérieures

  • « le poids de force verticale descendante» et
  • « les forces de liaison du pivot » [65] qui se réduisent en un point , choisi fixe sur , axe vertical de rotation de l'ensemble ,
    à une résultante verticale ascendante et
    à un couple de vecteur moment à l'axe vertical de rotation idéalité de la liaison pivot [65] par absence de frottement,

     on en déduit que « le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation agissant sur est nul » soit «» [66] étant le vecteur unitaire de orientant les angles de rotation et

     l'application, à l'ensemble , du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe fixe dans le référentiel d’étude galiléen » [67] nous conduit à «» soit, dans le cas présent, «» d'où, après intégration, «» c'est-à-dire « la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant par rapport à l'axe de rotation dans le référentiel d'étude galiléen » [68], ceci restant indépendant de la déformation du système dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures ;

     de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière en rotation autour de l'axe dans le référentiel d'étude s’écrit, à l'instant , «» avec «, la vitesse angulaire de rotation de autour de à l'instant » et «, le moment d’inertie du système relativement à l’axe [69] au même instant » [70] ;

     tant que l'ensemble ne se déforme pas, son moment d'inertie «» reste constant [69] et par suite, ceci établit l’équivalence entre

  • « la conservation du moment cinétique scalaire de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen » et
  • «la conserv celle de la vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen » soit « avant la 1ère déformation » ;

     après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur « à » [69] et de

  • « la conservation du moment cinétique scalaire de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de «»,
  • « une vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen restant constante mais de valeur plus faible dans cette phase que dans la phase initiale » soit « après la 1ère déformation avec » ;

     après que l'ensemble ait repris son extension la plus proche de l'axe c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale « à » [69] et de

  • « la conservation du moment cinétique scalaire de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de «»,
  • « une vitesse angulaire de rotation de autour de l'axe de rotation fixe dans le référentiel d'étude galiléen restant constante de valeur plus grande dans cette phase que dans la phase précédente plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire» soit « après la 2ème déformation avec