Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments de force

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Notion de vecteur moment d’une force par rapport à un point A (ou moment vectoriel d’une force)

Définition

Vecteur moment d'une force appliquée en M par rapport à un point A

     Le vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$
        Le vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est la grandeur vectorielle notée $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\;$ définie par
        Le vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\;$»  ;
     ses composantes et sa norme s’expriment dans le système international $\;{\big (}S.I.{\big )}\;$ en «$\;N\cdot m\;$» .

     Remarque : le vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ soit $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\;$,
        Remarque : le vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est le vecteur moment du champ vectoriel $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ et à l'instant $\;t\;$.

Propriétés

Schéma de définition du vecteur moment $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\;$ de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée en $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;\notin \;$ au support de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$, l'espace physique étant orienté à droite

     Le moment vectoriel de $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport à $\;A$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\,$» est $\bullet \;$nul si «$\;A\;$ est sur le support de $\;{\vec {F}}(M)\;$ » et
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\bullet \;$non nul si « le support de $\;{\vec {F}}(M)\;$ ne passe pas par $\;A\;$» ,
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\bullet }\;$l’ensemble $\;\left\lbrace {\vec {F}}(M)\,,\,A\right\rbrace \;$ formant un plan : dans ce cas,
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\,$» est $\succ \;$de direction $\;\perp \;$ au plan $\;\left\lbrace {\vec {F}}(M)\,,\,A\right\rbrace \;$ et
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\succ \;$de sens tel que $\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {F}}(M)\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\right\rbrace$ direct si l'espace physique
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$de sens tel que $\color {transparent}{\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {F}}(M)\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\right\rbrace }$ est orienté à droite  »
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$${\big (}$voir schéma ci-contre, sauf avis contraire, ce sera toujours le cas envisagé${\big )}\;$ ou
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\succ \;$de sens tel que $\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {F}}(M)\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\right\rbrace$ indirect ${\big (}$au sens de la
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$physique${\big )}\;$ si l'espace physique est orienté à gauche $\;{\big (}$cas pratiquement
                      Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$physique$\color {transparent}{\big )}\;$ si l'espace physique est orienté à gauche jamais envisagé${\big )}\;$» ,
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\succ \;$de norme «$\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]{\Big \Vert }={\Big \Vert }{\overrightarrow {AM}}(t){\Big \Vert }\;\Vert {\vec {F}}(M)\Vert \;{\Bigg \vert }\sin \!\left[{\widehat {{\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {F}}(M)}}\right]{\Bigg \vert }=\Vert {\vec {F}}(M)\Vert \,\left\lbrace {\Big \Vert }{\overrightarrow {AM}}(t){\Big \Vert }\;\vert \sin \!\left(\alpha \right)\vert \right\rbrace$
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$de norme «$\;\color {transparent}{{\Big \Vert }{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]{\Big \Vert }}$ $=\Vert {\vec {F}}(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;$» dans laquelle
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$${\mathsf {d}}(t)\,$ est la distance $\,\perp \,$ entre le support de $\,{\vec {F}}(M)\;$ à l'instant $\,t\,$ et le point origine $\,A\,$ de définition de $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]$,
        Le moment vectoriel de $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à $\;\color {transparent}{A}$, «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]}\,$» est $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{{\mathsf {d}}(t)}\,$ est grandeur appelée « bras de levier de la force$\;{\vec {F}}(M)\;$ relativement à $\;A\;$» .

Changement d’origine de calcul du moment vectoriel d’une force

     Le « vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$»
        Le « vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant le « vecteur moment du champ vectoriel $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport à $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$» ,
        Le « vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant la formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel s'y applique
        Le « vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant «$\;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$» où le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(M)\;$ est la force $\;{\vec {F}}(M)\;$, soit
        Le « vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant «$\;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {F}}(M)\;$» .

Définition du moment (scalaire) d’une force par rapport à un axe Δ, bras de levier de la force

Équiprojectivité du « moment vectoriel d'une force »

     Un champ de vecteurs $\;{\vec {f}}(M)\;$ d'un espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ étant équiprojectif ssi «$\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}\;$» , nous savons que
     le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque $\;{\vec {C}}(M)\;$ défini par $\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}\;$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]={\overrightarrow {PM}}\wedge {\vec {C}}(M)\;$ »
     le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque $\;\color {transparent}{{\vec {C}}(M)}\;$ est équiprojectif c.-à-d. «$\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;$, $\;\;\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\left[{\vec {C}}(M)\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}\quad \forall \;{\vec {C}}(M)\;$» .

     Le « vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$»
        Le « vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant le « vecteur moment du champ vectoriel $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport à $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$» ,
        Le « vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant on peut lui appliquer la propriété d'équiprojectivité soit «$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;$, $\;\;\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» .

     Remarque : le vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ soit $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\;$
        Remarque : le vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant aussi le « 2^ème vecteur des éléments de réduction en $\;A\;$ du torseur glisseur de résultante $\;{\vec {F}}(M)\;$» , $\Rightarrow$
        Remarque : le vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ étant aussi « torseur glisseur$\;{\mathcal {T}}_{\text{stat}}\;$d’éléments de réduction en $\;A$, $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}(M)\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\end{array}}\right\rbrace _{A}$» et
     Remarque : le « moment d'un torseur au point $\;A\;$» étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif » $\Rightarrow$ $\;{\big (}$sans autre développement${\big )}$
     Remarque : le « vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ est équiprojectif ».

Définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ

     Considérant un axe $\;\Delta \;$ quelconque et deux points quelconques $\;{\big (}$distincts${\big )}\;$ de cet axe $\;\left(A\,,\,A'\neq A\right)\in \Delta ^{2}$,
           Considérant un axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$
              Considérant un axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$»
              Considérant un axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ soit, en orientant l'axe $\;\Delta \;$ par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et en simplifiant par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$,
              Considérant un axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» , cette valeur constante sur $\;\Delta \;$ définissant
              Considérant un axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le moment $\;{\big (}$scalaire${\big )}\;$ de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$
                 Considérant un axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta$.

Moment (scalaire) d'une force par rapport à un axe Δ

     Le moment $\;{\big (}$scalaire${\big )}\;$ de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta \;$
        Le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est la grandeur scalaire, définie à l'instant $\;t$, par
        Le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;$» avec
        Le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par «$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant $\;\Delta \;$» et
        Le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\;$ le vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point
        Le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ par « matériel $\;M\;$ évalué en un point $\;A\;$ quelconque de $\;\Delta \;$ au même instant $\;t\;$» ou,
        Le moment $\;\color {transparent}{\big (}$scalaire$\color {transparent}{\big )}\;$ de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\in \Delta \;$».

1^ère méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ

     Pour exprimer le moment scalaire d’une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ par rapport à un axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, on peut

• déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point $\;A\,\in \,\Delta \;$ dans une base orthonormée « directe si l'espace est orienté à droite  » $\;{\big (}$pratiquement toujours le cas considéré${\big )}\;$ ou
  déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point $\;\color {transparent}{A\,\in \,\Delta }\;$ dans une base orthonormée « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ si l'espace est orienté à gauche  »
        déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point $\;\color {transparent}{A\,\in \,\Delta }\;$ dans une base orthonormée « indirecte $\;\color {transparent}{\big (}$au sens de la physique$\color {transparent}{\big )}\;$${\big (}$cas pratiquement jamais envisagé${\big )}\;$ et
• multiplier scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ pour obtenir le moment scalaire cherché .

2^ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe

     Méthode à préférer car c'est, en général et de très loin, la plus rapide.

     Préliminaire : De «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\in \Delta \;$», produit mixte des trois vecteurs «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {F}}(M)\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
     Préliminaire : De «$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\in \Delta }\;$», ce dernier est nul si ces trois vecteurs sont coplanaires  ;
     Préliminaire : or «$\;A\in \Delta \;$» alors que «$\;M\;$ a priori $\;\notin \Delta \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;$ et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ ne sont pas colinéaires et forment un plan $\;(\Pi )\;$», on a deux cas de figures suivant que $\;{\vec {F}}(M)\subset (\Pi )\;$ ou $\;{\cancel {\subset }}\;(\Pi )\;$ :

Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe coupant ce dernier

Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe ne coupant pas ce dernier

     Ci-contre à gauche le cas de figure dans lequel la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ appartient au plan $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace$,
     Ci-contre à gauche les trois vecteurs $\;{\vec {F}}(M)\;$, $\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;$ et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant coplanaires le moment scalaire de $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport à $\;\Delta \;$ est nul
     Ci-contre à gauche soit mathématiquement «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=0\;$» ;

     Ci-contre à droite le cas de figure dans lequel la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ n'appartient pas au plan $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace$,
     Ci-contre à droite les trois vecteurs ${\vec {F}}(M)\;$, ${\overrightarrow {AM}}(t)$ et ${\vec {u}}_{\Delta }$ n'étant pas coplanaires le moment scalaire de ${\vec {F}}(M)\;$ par rapport à $\Delta$ est $\neq 0\;$
     Ci-contre à droite soit mathématiquement «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\neq 0\;$» ;
     Ci-contre à droite décomposant la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ en une composante $\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ «$\;{\vec {F}}_{\parallel }\;$» et
        Ci-contre à droite décomposant la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ en une composante $\;\perp \;$ à $\;\Delta \;$ «$\;{\vec {F}}_{\perp }\;$» soit
  Ci-contre à droite décomposant la force «$\;{\vec {F}}(M)={\vec {F}}_{\parallel }(M)+{\vec {F}}_{\perp }(M)\;$», on déduit de la distributivité de la multiplication mixte
  Ci-contre à droite décomposant la force «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)={\vec {F}}_{\parallel }(M)+{\vec {F}}_{\perp }(M)}\;$», on déduit de la distributivité par rapport à l'addition vectorielle
  Ci-contre à droite décomposant la force «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=\left\lbrace {\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \left[{\vec {F}}_{\parallel }(M)+{\vec {F}}_{\perp }(M)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }$
  Ci-contre à droite décomposant la force «$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]}$ $=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{\parallel }(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{\perp }(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }$
  Ci-contre à droite décomposant la force «$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]}$ $={\cancel {{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\parallel }(M)\,,\,t\right]\;+}}\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]\;$», le 1^er terme étant nul  ;

Schéma en vue de dessus de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la composante de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe appliquée en un point extérieur à l'axe ne passant pas par la trace de ce dernier sur le plan

                                                 Ci-contre à droite décomposant la force il reste donc à évaluer $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]$ $\;{\big [}$schéma ci-contre à droite${\big ]}$ :
                                                 Ci-contre à droite $\succ \;$tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire $\,{\big [}$le sens «$\;+\;$» de rotation dans le plan $\,\perp \,$ à l’axe $\,\Delta \,$ et
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire $\,\color {transparent}{\big [}$passant par $\,M$ $\,{\big (}$c.-à-d. le plan de la figure ci-contre${\big )}\,$ étant
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire $\,\color {transparent}{\big [}$défini par le sens de $\,{\vec {u}}_{\Delta }$ $\,{\big (}$sur l'exemple ci-contre sens
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire $\,\color {transparent}{\big [}$défini par le sens de $\,\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }}$ $\,\color {transparent}{\big (}$trigonométrique ${\big )}{\big ]}$ :
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord $\bullet \;$si $\,{\vec {F}}_{\perp }(M)\,$ tend à faire tourner $\,M\,$ dans le sens «$\;+\;$» le moment scalaire est $\,>0\,$ et
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord $\bullet \;$si $\,{\vec {F}}_{\perp }(M)\,$ tend à faire tourner $\,M\,$ dans le sens «$\;-\;$» le moment scalaire est $\,<0$,
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$tout d'abord d'où, dans l’exemple ci-contre, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]<0\;$»,
                                                 Ci-contre à droite $\succ \;$ensuite on détermine la valeur absolue du moment scalaire par «$\;{\Big \vert }{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]{\Big \vert }=\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;$» où
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$ensuite «$\;{\mathsf {d}}(t)\,$ est le bras de levier, à l'instant $\,t$, de $\,{\vec {F}}_{\perp }(M)\,$ relativement à $\,\Delta \;$» c.-à-d.
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$ensuite «$\;\color {transparent}{{\mathsf {d}}(t)}\,$ est la « distance orthogonale entre le support de$\;\mathbf {{\vec {F}}_{\perp }(M)} \;$et l’axe » ,
                                                 Ci-contre à droite $\succ \;$enfin on en déduit la valeur de «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]\;$» :
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$enfin $\bullet \;$si $\,{\vec {F}}_{\perp }(M)\,$ tend à faire tourner $\,M\,$ dans le sens «$\;+\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=+\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;$» et
                                                 Ci-contre à droite $\color {transparent}{\succ }\;$enfin $\bullet \;$si $\,{\vec {F}}_{\perp }(M)\,$ tend à faire tourner $\,M\,$ dans le sens «$\;-\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=-\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;$» $\,{\big [}$cas de la figure immédiatement au-dessus${\big ]}$.

     Conclusion : Si « le support de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ coupe $\;{\big (}$au sens large ${\big )}\;$ l'axe $\;\Delta \;$ de définition du moment scalaire de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ »,
              Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ coupe $\;\color {transparent}{\big (}$au sens large$\color {transparent}{\big )}\;$ l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition le moment scalaire de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ est nul «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=0\;$»,
     Conclusion : si « le support de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ et l’axe $\;\Delta \;$ de définition du moment scalaire de cette force ne sont pas coplanaires »,
        Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ et l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition le moment scalaire de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ est non nul «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\neq 0\;$» et
           Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ et l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition le moment scalaire de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est égal au moment scalaire de la composante $\;{\vec {F}}_{\perp }(M)\;$ de la force $\;{\vec {F}}(M)\;$ sur le
            Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ et l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition le moment scalaire de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ est égal au moment scalaire de la composante plan passant par $\;M\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe :
        Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ et l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition $\succ \;$si $\;{\vec {F}}_{\perp }(M)\;$ tend à faire tourner $\;M\;$ dans le sens «$\;+\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=+\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;$» et
        Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ et l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition $\succ \;$si $\;{\vec {F}}_{\perp }(M)\;$ tend à faire tourner $\;M\;$ dans le sens «$\;-\;$», «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=-\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;$»,
        Conclusion : Si « le support de la force $\;\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ et l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ de définition avec «$\;{\mathsf {d}}(t)\;$ le bras de levier, à l'instant $\;t$, de $\;{\vec {F}}_{\perp }(M)\;$ relativement à $\;\Delta \;$» dans les deux cas.

Exemples de calcul de moment scalaire de force : moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide et moment scalaire du poids dans l’exemple du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté

     Préliminaire : Toujours préférer faire des schémas de situation avec des « paramètres de position positifs » de façon à raisonner sur le schéma sans avoir à « tenir compte du signe du paramètre »  ;
     Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté $\,{\big [}$à $\,t=0\,$ le P.P.S. étant écarté de $\,\theta _{0}\,$ de sa position d’équilibre stable $\,\theta _{\text{éq}}=0\,$ et
           Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté $\,\color {transparent}{\big [}$lâché sans vitesse initiale $\,{\dot {\theta }}_{0}=0$, le point matériel $\,M\,$ décrit alors un mouvement circulaire
           Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté $\,\color {transparent}{\big [}$de rayon $\,{\mathit {l}}\;$ d'axe $\,\Delta \;\perp \,$ au plan vertical de lancement ${\big ]}$
           Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. en faisant deux schémas de situation avec un changement de signe du paramètre de position
           Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. en faisant deux schémas de situation pour y souligner l'intérêt de faire un schéma avec $\;\theta (t)>0\;$ $\ldots$

     Schémas de situation à l'instant$\;t$ avec $\;\theta (t)>0\;$ à gauche $\;{\big (}$schéma souhaitable${\big )}\;$ et $\;\theta (t)<0\;$ à droite $\;{\big (}$schéma à éviter autant que possible${\big )}$ :

Schéma représentant un pendule pesant simple $\;{\big (}$P.P.S.${\big )}\;$ à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est positif

Schéma représentant un pendule pesant simple $\;{\big (}$P.P.S.${\big )}\;$ à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est négatif

     Ci-contre à gauche schéma représentant un P.P.S. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur $\;M\;$ à un instant où l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de ce dernier est $\;>0$, schéma souhaitable n'induisant pas d'erreur potentielle de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de $\;M$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;$» si on oublie le signe de $\;\theta$ ;

     ci-contre à droite schéma représentant un P.P.S. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur $\;M\;$ à un instant où l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de ce dernier est $\;<0$, schéma à éviter car susceptible d'induire une erreur de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de $\;M$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;$» si on oublie le signe de $\;\theta$, en effet
     ci-contre à droite on observe, sur le schéma de droite, que $\;m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner $\;M\;$ dans le sens «$\;+\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]>0\;$» avec $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=\Vert m\;{\vec {g}}\Vert \;{\mathsf {d}}\;$ dans laquelle le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ s'écrit «$\;{\mathsf {d}}={\mathit {l}}\;\vert \sin(\theta )\vert \;$» d'où l'erreur potentielle si on oublie le signe de $\;\theta \;$ du schéma en écrivant «$\;{\cancel {{\mathsf {d}}={\mathit {l}}\;\sin(\theta )}}\;$» ce qui conduit à un bras de levier $\;<0\;$ contraire à la définition d'un bras de levier
     ci-contre à droite on observe, $\;{\big [}$en fait, comme $\;\theta \;$ est $\;<0\;$ sur le schéma ci-contre à droite, on a «$\;\vert \sin(\theta )\vert =-\sin(\theta )\;$» et par suite «$\;{\mathsf {d}}=-{\mathit {l}}\;\sin(\theta )\;$» $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=-m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin(\theta )>0\;$ conforme au signe du moment scalaire de $\;m\;{\vec {g}}\;$ observé sur le schéma, $\;{\big (}g\;$ étant l'intensité de la pesanteur c.-à-d. $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert {\big )}{\big ]}$.

     Évaluation du moment scalaire du poids du P.P.S. relativement à l'axe${\underline {\;\Delta }}$ $\;{\big (}$sur le schéma ci-contre à gauche${\big )}$ : on observe, sur ce schéma, que $\;m\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner $\;M\;$ dans le sens «$\;-\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]<0\;$» avec $\;{\big \vert }{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]{\big \vert }$ $=\Vert m\;{\vec {g}}\Vert \;{\mathsf {d}}\;$ dans laquelle le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ s'écrit «$\;{\mathsf {d}}={\mathit {l}}\;\vert \sin(\theta )\vert$ $={\mathit {l}}\;\sin(\theta )\;$» $\;{\big \{}\theta >0\;$ sur le schéma${\big \}}$,
                                                                  soit $\;{\big \vert }{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]{\big \vert }=\Vert m\;{\vec {g}}\Vert \;{\mathit {l}}\;\sin(\theta )\;$ et, en posant $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\,,\,t\right]=-m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$» compte-tenu de son caractère négatif sur ce schéma.

     Évaluation du moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide du P.P.S. relativement à l'axe${\underline {\;\Delta }}$ $\;{\big (}$sur le schéma ci-dessus à gauche${\big )}$ : le support de la tension $\;{\vec {T}}(t)\;$ de la tige idéale rigide coupant l’axe $\;\Delta$, son moment scalaire par rapport à cet axe est nul soit «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {T}}(t)\right]=0\;$» .

Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels, généralisation à un système continu fermé de matière

Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels

     La distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» introduite au paragraphe « système des forces extérieures et système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée ci-dessous :

• le système des forces extérieures appliquées au système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ est l'ensemble des forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ que chaque système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur au système de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ exerce sur chaque point matériel $\;M_{i}\;$ de ce dernier ;
• le système des forces intérieures agissant dans le système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ est l'ensemble des forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{\,2}}\;$ que chaque point matériel $\;M_{j}\;$ du système de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ exerce sur chaque point matériel $\;M_{i}\;$ de ce dernier.

Généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

     Il existe deux types principaux de forces s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle qui seront vus plus en détail aux paragraphes « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples », « champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples » et « champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante » du chap.$1$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » :

• les forces volumiques$\;{\big (}$forces de champ${\big )}\;$ s’exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$, forces volumiques notées $\;d{\vec {F}}_{\!V}(M)={\vec {f}}_{\!V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {f}}_{\!V}(M)\;$ densité volumique de force de champ au point $\;M\;$ et
• les forces surfaciques$\;{\big (}$forces de contact${\big )}\;$ s'exerçant sur chaque surface élémentaire de la surface fermée limitant un pseudo-point , forces surfaciques notées $\;d^{2}\!{\vec {F}}_{\!S}(N_{M})=$ ${\vec {f}}_{\!S}(N_{M})\;d^{2}S_{N_{M}}\;$ avec $\;{\vec {f}}_{\!S}(N_{M})\;$ densité surfacique de force de contact au point $\;N_{M}$ $\;{\big [}N_{M}\;$ désignant un point de la surface fermée limitant le pseudo-point centré en $\;M\;$${\big ]}$.

     On fait également la distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ en prolongeant celle faite dans le paragraphe « distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels » ci-dessus selon :

• les forces extérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir
  $\succ \;$des forces volumiques $\;{\big (}$c.-à-d. de champ${\big )}$ $\;d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)={\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)\;$ ou
  $\succ \;$des forces surfaciques $\;{\big (}$c.-à-d. de contact${\big )}$ $\;d^{2}{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^{2}S_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{l}}(N)={\vec {f}}_{\!S,\,N\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{l}}(N)\;d^{2}S_{N}\;$ que l'extérieur du système exerce sur chaque point $\;N\;$ de la surface fermée limitant $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ ;
• les forces intérieures agissant dans le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ limitée par la surface fermée $\;\left(S\right)\;$ sont
  $\succ \;$des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système $\;{\big (}$elles sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bivolumiques » ${\big )}\;$ à savoir $\;d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$ force que le pseudo-point centré en $\;M'\;$ exerce sur le pseudo-point centré en $\;M\;$ $\;{\Bigg \{}$le rapport $\;{\vec {f}}_{{\text{bivol}},\,M\,\leftarrow \,M'}(M)=$ ${\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace }(M)}{d{\mathcal {V}}_{M}\,d{\mathcal {V}}_{M'}}}\;$ pourrait être appelé densité bivolumique de force que $\;M'\;$ exerce sur $\;M{\Bigg \}}$ ou
  $\succ \;$des forces de contact entre deux pseudo-points voisins $\;d^{2}{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^{2}S_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace }(N)$ $={\vec {f}}_{\!S,\,N\,\leftarrow \,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^{2}S_{N}\;$.

     Remarque 1 : Dans le cas où le système continu de matière devient d'expansion surfacique$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ parce que une des dimensions de l'expansion volumique initiale est infiniment petite,
     Remarque 1 : les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des forces surfaciques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion surfacique$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ notées $\;d{\vec {F}}_{\!S}(M)=$ ${\vec {f}}_{\!S}(M)\;d{\mathcal {S}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {f}}_{\!S}(M)\;$ densité surfacique de force de champ au point $\;M\;$ et
     Remarque 1 :les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces linéiques de contact s'exerçant sur chaque longueur élémentaire de la courbe fermée limitant un pseudo-point , notées $\;d^{2}\!{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}}}(N_{M})={\vec {f}}_{\!{\mathit {l}}}(N_{M})\;d^{2}{\mathit {l}}_{N_{M}}\;$ avec $\;{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}}}(N_{M})\;$ densité linéique de force de contact au point $\;N_{M}$ $\;{\big [}N_{M}\;$ désignant un point de la courbe fermée limitant le pseudo-point centré en $\;M\;$${\big ]}$ ;

     Remarque 1 : on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir
$\succ \;$des forces surfaciques $\;{\big (}$c.-à-d. de champ${\big )}$ $\;d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {S}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)={\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;d{\mathcal {S}}_{M}\;$ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou
$\succ \;$des forces linéiques $\;{\big (}$c.-à-d. de contact${\big )}$ $\;d^{2}{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace N,\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{l}}(N)={\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,N\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{l}}(N)\;d^{2}{\mathit {l}}_{N}\;$ que l'extérieur du système exerce sur chaque point $\;N\;$ de la courbe fermée limitant $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ ;

     Remarque 1 : on distingue : les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ limitée par la courbe fermée $\;\left(C\right)\;$ sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système $\;{\big (}$sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bisurfaciques » ${\big )}\;$ à savoir $\;d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {S}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {S}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$ force que le pseudo-point centré en $\;M'\;$ exerce sur le pseudo-point centré en $\;M\;$ $\;{\Bigg \{}$le rapport $\;{\vec {f}}_{{\text{bisurf}},\,M\,\leftarrow \,M'}(M)={\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {S}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {S}}_{M'}\right\rbrace }(M)}{d{\mathcal {S}}_{M}\,d{\mathcal {S}}_{M'}}}\;$ pourrait être appelé densité bisurfacique de force que $\;M'\;$ exerce sur $\;M{\Bigg \}}$ ou des forces de contact entre pseudo-points voisins $\;d^{2}{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace }(N)=$ ${\vec {f}}_{\!S,\,N\,\leftarrow \,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^{2}{\mathit {l}}_{N}\;$.

     Remarque 2 : Dans le cas où le système continu de matière devient d'expansion linéique$\;\left(\Gamma \right)\;$ parce que deux des dimensions de l'expansion volumique initiale sont infiniment petites,
     Remarque 2 : les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des forces linéiques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion linéique$\;\left(\Gamma \right)\;$ notées $\;d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}}}(M)=$ ${\vec {f}}_{\!{\mathit {l}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}}}(M)\;$ densité linéique de force de champ au point $\;M\;$ et
     Remarque 2 :les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces de contact s'exerçant entre chaque pseudo-point voisin, notées $\;{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{g}}(M)\;$ ou $\;{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{d}}(M)\;$ suivant que le pseudo-point voisin du pseudo-point centré en $\;M\;$ est situé d'un côté ou de l'autre $\;{\big \{}$forces de contact exercées sur l'un ou l'autre des pseudo-points extrêmes limitant l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right){\big \}}$ ;

     Remarque 2 : on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir
$\succ \;$des forces linéiques $\;{\big (}$c.-à-d. de champ${\big )}$ $\;d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)={\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;d{\mathcal {l}}_{M}\;$ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en $\;M\,\in \,\left(\Gamma \right)\;$ ou
$\succ \;$les forces de contact exercées sur les pseudo-points extrêmes limitant l'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$, $\;{\vec {f}}_{N_{g}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{l}}(N_{g})\;$ ou $\;{\vec {f}}_{N_{d}\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{l'}}(N_{d})\;$ que l'extérieur du système exerce sur chaque point extrême limitant $\;\left(\Gamma \right)\;$ suivant le côté considéré ;

     Remarque 2 : on distingue : les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion linéique $\,\left(\Gamma \right)\,$ sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système $\,{\big (}$sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bilinéiques » ${\big )}\,$ à savoir $\,d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathit {l}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$ force que le pseudo-point centré en $\,M'\;$ exerce sur le pseudo-point centré en $\,M\;$ $\,{\Bigg \{}$le rapport $\,{\vec {f}}_{{\text{bilin}},\,M\,\leftarrow \,M'}(M)={\dfrac {d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathit {l}}_{M'}\right\rbrace }(M)}{d{\mathit {l}}_{M}\,d{\mathit {l}}_{M'}}}\,$ pourrait être appelé densité bilinéique de force que $\,M'\,$ exerce sur $\,M{\Bigg \}}$ ou des forces de contact entre pseudo-points voisins $\,{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{g}}(M)\,$ ou $\,{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{d}}(M)\,$ suivant que le pseudo-point voisin du pseudo-point centré en $\,M\,$ est situé d'un côté ou de l'autre.

Conséquence du principe des actions réciproques sur le système des forces intérieures

     Le principe des actions réciproques $\;{\big (}$ou 3^ème loi de Newton ${\big )}\;$ a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques et commentaires » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il ne s'agit donc que d'un rappel dans les deux 1^ers sous-paragraphes ci-dessous.

Rappel : énoncé du principe des actions réciproques

Début d’un théorème

Principe des actions réciproques (ou 3^ème loi de Newton)

     Pour deux points matériels $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ en interaction telle que $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ décrive l'action de $\;M_{2}\;$ sur $\;M_{1}\;$ et $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ l'action de $\;M_{1}\;$ sur $\;M_{2}\;$, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$ : «$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$»
et
«$\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$» .

Fin du théorème

Rappel : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels

     La résultante des forces intérieures $\,{\vec {F}}_{\text{int}}\,$ s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étant définie selon «$\,{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;$» , on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne » $\;{\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$» .

Généralisation : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière

     La résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ étant définie selon «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {F}}_{\text{int. de champ}}+{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}\;$» avec «$\;{\vec {F}}_{\text{int. de champ}}$ $=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$» et «$\;{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \oiint \limits _{N_{M}\,\in \,dS_{M}}d^{2}{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace N_{M},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{{\text{voisin de }}N_{M}},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace }(N_{M})\right]\;$» , on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne $\;{\big (}$appliqué dans chaque résultante partielle $\;{\vec {F}}_{\text{int. de champ}}\;$ et $\;{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}\;$ en regroupant les termes par couples${\big )}\;$ la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » $\;{\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$».

     Remarques : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :

     Remarques : La résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ étant définie selon «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {F}}_{\text{int. de champ}}+{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}\;$» avec «$\;{\vec {F}}_{\text{int. de champ}}$ $=\displaystyle \iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {S}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {S}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$» et «$\;{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[\displaystyle \oint \limits _{N_{M}\,\in \,d{\mathit {l}}_{M}}d^{2}{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace N_{M},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{{\text{voisin de }}N_{M}},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace }(N_{M})\right]\;$» , on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne $\;{\big (}$appliqué dans chaque résultante partielle $\;{\vec {F}}_{\text{int. de champ}}\;$ et $\;{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}\;$ en regroupant les termes par couples${\big )}\;$ la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique en dynamique newtonienne » $\;{\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$».

     Remarques : La résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ étant définie selon «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {F}}_{\text{int. de champ}}+{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}\;$» avec «$\;{\vec {F}}_{\text{int. de champ}}$ $=\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left(\Gamma \right)^{2}}d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathit {l}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$» et «$\;{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{g}}(M)+{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{d}}(M)\right]d{\mathit {l}}_{M}\;$» , on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne $\;{\big (}$appliqué dans chaque résultante partielle $\;{\vec {F}}_{\text{int. de champ}}\;$ et $\;{\vec {F}}_{\text{int. de contact}}\;$ en regroupant les termes par couples${\big )}\;$ la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique en dynamique newtonienne » $\;{\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$».

Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un « point origine quelconque A », moment résultant scalaire de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ »

Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque

     Le vecteur moment résultant, par rapport au point origine $\;A$, des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» est définie selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;$» ;

     on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne « la nullité du moment résultant vectoriel des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque » $\;{\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}}\;$».

     Démonstration : « en associant les termes de la somme $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;$ par couple $\;\left\lbrace {\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\,,\,{\overrightarrow {AM_{j}}}\wedge {\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}\right\rbrace \;$» dont la somme vaut «$\;{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\overrightarrow {AM_{j}}}\wedge {\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}=$ ${\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\overrightarrow {AM_{j}}}\wedge \left(-{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right)$ après avoir utilisé la 1^ère relation du principe des actions réciproques à savoir $\;{\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}=-{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$» ou encore, après « factorisation vectorielle à droite par $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$» et utilisation de la relation de Chasles sur l’autre facteur «$\;\left[{\overrightarrow {AM_{i}}}-{\overrightarrow {AM_{j}}}\right]\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}={\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}={\vec {0}}\;$ par la 2^ème partie du principe des actions réciproques » d'où la nullité de chaque somme de couple «$\;{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\overrightarrow {AM_{j}}}\wedge {\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}={\vec {0}}\;$» et par suite, en faisant la somme sur tous les couples différents possibles «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}}\;$».

Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque

     De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}$ $\;{\big [}$avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace {\big ]}\;$ par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque , soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» et
     de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe $\;\Delta \;$ quelconque à partir du vecteur moment relativement à un point $\;A\;$ de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, on en tire
     de la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}$ $\;{\big [}$avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace {\big ]}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ quelconque «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}=$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\;\in \;\Delta ,\;\;\forall \;\Delta \;\subset \;{\mathcal {E}}\;$» puis
     on en déduit « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne $\;{\big (}$et aussi relativiste${\big )}\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ quelconque  » soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}=0,\;\;\forall \;\Delta \;\subset \;{\mathcal {E}}\;$» .

Généralisation : vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un « point origine quelconque A », moment scalaire résultant de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ »

Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque

     Du vecteur moment résultant par rapport au point origine quelconque $\,A\;$ des forces intérieures $\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}\,$ s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)\,$ défini selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}\;$» où «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}=$ $\;\;\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace }(M)\right]=\displaystyle \iiint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)^{2}}{\overrightarrow {AM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$» et «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \oiint \limits _{N_{M}\,\in \,dS_{M}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace N_{M},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{{\text{voisin de }}N_{M}},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace }(N_{M})\right]\right\rbrace \;$» , on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne $\;{\big (}$appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}\;$ en regroupant les termes par couples${\big )}\;$ la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel et par suite « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque » ${\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» .

     Remarques : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :

     Remarques : Le vecteur moment résultant relativement à un point origine $\,A\,$ quelconque des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\,\left({\mathcal {S}}\right)\,$ étant défini selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}\;$» où «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}=\displaystyle \iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {S}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {S}}_{M'}\right\rbrace }(M)\right]=\displaystyle \iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)^{2}}{\overrightarrow {AM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {S}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {S}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$» et «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \oint \limits _{N_{M}\,\in \,d{\mathit {l}}_{M}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace N_{M},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{{\text{voisin de }}N_{M}},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace }(N_{M})\right]\right\rbrace \;$» , on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne $\;{\big (}$appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}\;$ en regroupant les termes par couples${\big )}\;$ la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel et par suite « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique en dynamique newtonienne par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque » ${\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» .

     Remarques : Le moment résultant $\,{\big (}$vectoriel${\big )}\,$ relativement à un point origine $\,A\,$ quelconque des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique $\,\left(\Gamma \right)\,$ étant défini selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}\;$» où «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}=\;\;\;\;\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left(\Gamma \right)^{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathit {l}}_{M'}\right\rbrace }(M)\right]=\;\;\;\;\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\!\!\int \limits _{\!\!\!\!\!\!\!\!\left(M\,,\,M'\right)\,\in \,\left(\Gamma \right)^{2}}{\overrightarrow {AM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathit {l}}_{M'}\right\rbrace }(M)\;$» et «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}\wedge \left[{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{g}}(M)+{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{d}}(M)\right]d{\mathit {l}}_{M}\;$» , on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne ${\big (}$appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de champ}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int. de contact}}}\;$ en regroupant les termes par couples${\big )}\;$ la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel et par suite « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique en dynamique newtonienne par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque » $\;{\big (}$on établit de la même façon que la propriété reste applicable en dynamique relativiste${\big )}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» .

Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un axe Δ quelconque

     De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque , soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» et
     de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe $\;\Delta \;$ à partir du vecteur moment relativement à un point $\;A\;$ de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, on en tire
          la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un axe $\;\Delta \;$ quelconque , «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\;\in \;\Delta ,\;\;\forall \;\Delta \;\subset \;{\mathcal {E}}\;$» puis
     on en déduit « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en dynamique newtonienne $\;{\big (}$et aussi relativiste${\big )}\;$ par rapport à un axe $\;\Delta \;$ quelconque » soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}=0,\;\;\forall \;\Delta \;\subset \;{\mathcal {E}}\;$» .

Commentaire sur la nullité de la résultante et du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé de matière

     Bien que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à un point origine quelconque également nul,
     Bien que le système des forces intérieures n’est pas, a priori, équivalent à un système de forces nulles .

     Remarque : en utilisant la notion $\,{\big (}$hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\,$ de « torseur » ,
     Rematque : l'ensemble de la résultante et du moment résultant $\,{\big (}$vectoriel${\big )}\,$ des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière, moment par rapport à un point origine quelconque $\;A\;$,
     Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en $\;A\;$ du torseur statique des forces intérieures $\;{\mathcal {T}}_{\text{stat. int}}\;$ s'exerçant sur le système fermé de matière soit
             Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en $\;\color {transparent}{A}\;$ du torseur statique des forces intérieures «$\;{\mathcal {T}}_{\text{stat. int}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» ,
           Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en $\;\color {transparent}{A}\;$ le torseur statique des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est donc le torseur nul  ;
     Remarque : toutefois si le torseur statique des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est le torseur nul , ce n'est pas le torseur de forces nulles .

Résultante dynamique, moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire appliqués à un système de points matériels

     Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne
     Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire restent applicables en dynamique relativiste.

Rappel : résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels

     La résultante dynamique appliquée au système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$»
     La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$» avec
           La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\;$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\,$ somme des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce
           La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\;$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }}\,$ somme des forces sur chaque point matériel $\,M_{i}\,$ du système ».

Complément : résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière

     La définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues $\;{\big (}$c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique , surfacique ou curviligne ${\big )}$ d'où :

     $\succ \;$La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ somme des forces que chaque
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. « système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\,$ du système » ou
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des densités volumiques de forces que
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. « chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion tridimensionnelle ».

     $\succ \;$La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ somme des forces que chaque
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. « système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,dS_{M}\right)\;$ du système » ou
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des densités surfaciques de forces que
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. « chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion surfacique $\,\left({\mathcal {S}}\right)\;$».

     $\succ \;$La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des forces que chaque
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. « système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$ du système » ou
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. «$\;{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des densités linéiques de forces que
     $\color {transparent}{\succ }\;$La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\,$ s’exerçant sur ce système c.-à-d. « chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion linéique $\,\left(\Gamma \right)\;$».

Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine « quelconque A »

Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système de points matériels fermé

     Le vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine$\;A\,$ quelconque appliqué à un système fermé de points matériels
     Le vecteur moment résultant dynamique ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\,$ est le vecteur moment résultant des forces extérieures s'exerçant sur ce système de
     Le vecteur moment résultant dynamique $\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}}\,$ est le vecteur moment résultant points matériels relativement au point$\;A\,$ soit encore
  Le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$» avec
  Le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\,$ somme des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur
  Le vecteur moment résultant dynamique «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }}\,$ somme des forces que chaque point matériel $\,M_{i}\;$».

Complément : Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine « quelconque A »

     La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine $\;A\;$ quelconque est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues $\;{\big (}$c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique , surfacique ou curviligne ${\big )}$ d'où :

     $\succ \;$Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ évalué relativement à un point origine $\;A\;$ quelconque
     $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à $\;A\;$ c.-à-d.
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {AM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ somme des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)}\,$ somme des forces que chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ du système » ou
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des densités volumiques de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;\color {transparent}{{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)}\;$ somme des densités volumiques de forces que chaque point $\;M\;$ de l'expansion tridimensionnelle du système ».

     $\succ \;$Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ évalué relativement à un point origine $\;A\;$ quelconque
     $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à $\;A\;$ c.-à-d.
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {AM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}\;$» avec
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ somme des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)}\,$ somme des forces que chaque pseudo point $\,\left(M,\,dS_{M}\right)\;$ du système » ou
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des densités surfaciques de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;\color {transparent}{{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)}\;$ somme des densités surfaciques de forces que chaque point $\;M\;$ de l'expansion surfacique du système ».

     $\succ \;$Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ évalué relativement à un point origine $\;A\;$ quelconque
     $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à $\;A\;$ c.-à-d.
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {AM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» avec
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ somme des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)}\,$ somme des forces que chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$ du système » ou
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ somme des densités linéiques de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en
  $\color {transparent}{\succ }\;$Le vecteur moment résultant dynamique est «$\;\color {transparent}{{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)}\;$ somme des densités linéiques de forces que chaque point $\;M\;$ de l'expansion linéique du système ».

Complément : vecteurs résultante et moment résultant dynamiques s'exerçant sur un système discret (ou continu) fermé de matière, éléments de réduction du torseur dynamique de ce système

     En utilisant la notion $\,{\big (}$hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}\,$ de « torseur » ,
      En utilisant la notion l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques, moment par rapport à un point origine quelconque$\;A\;$, s'exerçant sur un système fermé de matière
      En utilisant la notion l'ensemble constitue les éléments de réduction en $\,A\;$du torseur statique des forces extérieures$\;{\mathcal {T}}_{\text{stat. ext}}\;$ s'exerçant sur ce système fermé de matière, d'où
                        En utilisant la notion l'ensemble constitue les éléments de réduction en $\,\color {transparent}{A}\;$du torseur statique des forces extérieures«$\;{\mathcal {T}}_{\text{stat. ext}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}=\end{array}}\right\rbrace _{A},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» .

Moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ »

     Lz vecteur moment résultant dynamique s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}$ $\,{\big [}$avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace {\big ]}\,$ par rapport à un point origine $\,A\,$ quelconque ,
     Lz vecteur moment résultant dynamique se définissant par «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}},\;\;\forall \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;$» avec
     Lz vecteur moment résultant dynamique se définissant par «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\,$ somme des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque point matériel $\,M_{i}\;$» et
     le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe $\,\Delta \,$ se définissant à partir du vecteur moment résultant dynamique relativement à un point $\,A\,\in \,\Delta$, axe orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     le moment résultant scalaire dynamique relativement à un axe $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ se définissant par «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\;\in \;\Delta ,\;\;\forall \;\Delta \;\subset \;{\mathcal {E}}\;$» $\Rightarrow$
     la définition du moment résultant dynamique scalaire s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}$ $\,{\big [}$avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace {\big ]}\,$ par rapport à un axe $\,\Delta \,$ quelconque ,
     la définition du moment résultant dynamique scalaire «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\left[\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\sum \limits _{i=1}^{i=N}\left[\left({\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$».

Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système de points matériels fermé

     Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\Delta$ quelconque $\,{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}$ appliqué à un système de points matériels fermé
     Le moment résultant dynamique scalaire est le moment résultant scalaire des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points matériels fermé relativement à l'axe$\;\Delta \,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ soit, $\,A\,$ étant un point quelconque de $\,\Delta$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\overset {\cdots }{=}}\;\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$» avec
«$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}\;$».

Complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ »

     La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine $\;A\;$ quelconque étant calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues $\;{\big (}$c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique , surfacique ou curviligne ${\big )}$ et
                 celle du moment résultant dynamique scalaire d'un système discret fermé de points matériels relativement à un axe $\;\Delta \;$ s'obtenant par multiplication scalaire du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système en n'importe quel point $\;A\;\in \,\Delta \;$ par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ orientant $\;\Delta \;$ avec utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ,
     on en déduit la définition du moment résultant dynamique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique relativement à un axe $\;\Delta \;$ utilisant

• d'une part la définition générale d'un moment scalaire relativement à un moment vectoriel et
• d'autre part la propriété de « distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'intégration vectorielle »  :

Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle

     Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\Delta$ quelconque $\,{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}$ appliqué à un système continu fermé de matière
           Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\color {transparent}{\Delta }$ quelconque $\,\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}}$ appliqué à un d'expansion tridimensionnelle $\left({\mathcal {V}}\right)$
     Le moment résultant dynamique scalaire est le moment résultant scalaire des forces extérieures s'exerçant sur ce système de matière relativement à l'axe$\;\Delta \,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ soit, $\,A\,$ étant un point quelconque de $\,\Delta$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\overset {\cdots }{=}}\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$» avec
«$\;d{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M,\,\left(d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$».

Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion surfacique

     Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\Delta$ quelconque $\,{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}$ appliqué à un système continu fermé de matière
           Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\color {transparent}{\Delta }$ quelconque $\,\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}}$ appliqué à un d'expansion surfaciqye $\left({\mathcal {S}}\right)$
     Le moment résultant dynamique scalaire est le moment résultant scalaire des forces extérieures s'exerçant sur ce système de matière relativement à l'axe$\;\Delta \,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ soit, $\,A\,$ étant un point quelconque de $\,\Delta$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\overset {\cdots }{=}}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$» avec
«$\;d{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M,\,\left(dS_{M}\right)\;$».

Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion linéique

     Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\Delta$ quelconque $\,{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}$ appliqué à un système continu fermé de matière
           Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe$\;\color {transparent}{\Delta }$ quelconque $\,\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}}$ appliqué à un d'expansion linéiqye $\left(\Gamma \right)$
     Le moment résultant dynamique scalaire est le moment résultant scalaire des forces extérieures s'exerçant sur ce système de matière relativement à l'axe$\;\Delta \,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ soit, $\,A\,$ étant un point quelconque de $\,\Delta$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\overset {\cdots }{=}}\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$» avec
«$\;d{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M,\,\left(d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$».

Changement d’origine de calcul du moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système de points matériels

Changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels

     À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force $\,{\vec {F}}(M)\;$ appliquée à un point matériel $\,M\,$ par rapport à un point origine $\,A\,$ à l'instant $\,t\,$» c.-à-d.
        À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force $\,\color {transparent}{{\vec {F}}(M)}\;$ «$\;\forall \;\left(O\,,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O'}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {F}}(M),\;\;\left({\mathfrak {ch}}\right)\;$» et
     À partir du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i},\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}$ $\,{\big [}$avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace {\big ]}\,$ par rapport à un point origine $\,A\,$ quelconque ,
     À partir du vecteur moment résultant dynamique défini selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}},\,t\right]=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\;$» avec
     À partir du vecteur moment résultant dynamique défini selon «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\;$ somme des forces que les systèmes $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieurs exerce sur chaque point matériel $\,M_{i}\;$» $\Rightarrow$
     À partir du par addition vectorielle des relations $\,\left({\mathfrak {ch}}\right)$ $\,{\big \{}$dans lesquelles $\,M\,$ est remplacée par $\,M_{i},\;i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\,$ ainsi que $\,\left(O\,,\,O'\right)\,$ par $\,\left(A\,,\,A'\right){\big \}}\,$
     À partir du par addition vectorielle «$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;\;\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}},\,t\right]=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}},\,t\right]+\left[\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$» et
     À partir du par addition vectorielle « en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {A'A}}\;$» dans le 2^ème terme du 2^ème membre
     À partir du par addition vectorielle «$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;\;\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}},\,t\right]=\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}},\,t\right]+{\overrightarrow {A'A}}\wedge \left[\sum \limits _{i=1}^{i=N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\;$» soit finalement
     À partir du par addition vectorielle «$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A',\,{\text{ext}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$» avec «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{{\text{ext}}_{k}}(t)\,$ la somme des résultantes dynamiques
           À partir du par addition vectorielle «$\;\color {transparent}{\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A',\,{\text{ext}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=\sum {\vec {F}}_{{\text{ext}}_{k}}(t)}\,$ la somme exercées par tous les systèmes $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieurs ».

Complément : changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière

     Les définitions des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique,
     Les définitions des vecteurs résultante et moment évalué par rapport à un point origine $\;A\;$ quelconque , étant calquées sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour
     Les définitions des seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues $\;{\big (}$c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique , surfacique ou curviligne ${\big )}$ et
     Les définitions des seules modifications le remplacement de la factorisation vectorielle à gauche dans une somme discrète vectorielle » par « celle dans une intégration vectorielle » , d'où
     la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)$ :

«$\;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;\;\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A',\,{\text{ext}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$» avec
«$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique exercée sur le système continu fermé
               d'expansions tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$».

Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction

     Soit $\,\left(\Delta \,,\,\Delta '\right)\,$ un couple d'axes $\,\parallel \,$ quelconques tous deux orientés par le même vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     Soit $\,A\,$ et $\,A'\,$ deux points quelconques choisis respectivement sur $\,\Delta \,$ et $\,\Delta '$,
     le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système matériel fermé, qu'il soit discret ou continu d'expansions tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\,\left({\mathcal {S}}\right)\,$ ou linéique $\,\left(\Gamma \right)$
     le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant «$\;\forall \;A\;\in \;\Delta ,\;\;\forall \;A'\;\in \;\Delta ',\;\;\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A',\,{\text{ext}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;\;({\mathfrak {a}})\;$» avec
     le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d'expansions tridimensionnelle,
     le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\;$ la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d’surfacique ou linéique »,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué au système s'obtient en multipliant scalairement chaque membre de la relation $\;({\mathfrak {a}})\;$ par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A',\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'A}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$» avec «$\;\Delta '\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ de direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, $\;\forall \;A'\;\in \;\Delta ',\;\;\forall \;A\;\in \;\Delta \;$» ;
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « notant $\,H'\,$ le projeté orthogonal de $\,A'\,$ sur $\,\Delta$ $\Rightarrow$ $\,{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'A}}={\vec {u}}_{\Delta }\wedge \left({\overrightarrow {A'H'}}+{\overrightarrow {H'A}}\right)={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}+{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H'A}}\;$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « notant $\,\color {transparent}{H'}\,$ le projeté orthogonal de $\,\color {transparent}{A'}\,$ sur $\,\color {transparent}{\Delta }$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\,\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'A}}}$ $={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\;$ dont nous déduisons
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$» avec «$\;\Delta '\;\parallel \;$ à $\;\Delta \;$ de direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, $\;\forall \;A'\;\in \;\Delta ',\;\;\forall \;A\;\in \;\Delta \;$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\;$» avec «$\;\color {transparent}{\Delta '\;\parallel }\;$ à $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ et $\,H'\,$ projeté orthogonal de $\,A'\,$ sur $\,\Delta \;$» ;
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « le vecteur «$\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\;$» étant $\,\perp \,$ au plan $\,\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace$, selon la disposition de la résultante dynamique $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\,$ du système
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « le vecteur «$\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}}\;$» étant $\,\color {transparent}{\perp }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$, selon la disposition de la à l'instant $\,t$, le changement d'axe se réécrit :
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\bullet \;$si $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\,$ est $\,\parallel \,$ au plan $\,\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace$, $\,\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=0\;$ d'où «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» $\,\Delta '\,$ étant $\,\parallel \,$ à $\,\Delta \,$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$, $\,\color {transparent}{\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=0}\,$ d'où « avec «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;\parallel \,$ au plan $\,\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace \;$»,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\bullet \;$si $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\,$ est $\,\not \parallel \,$ au plan $\,\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace$, c.-à-d. si $\,{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\parallel }(t)+{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t)\,$ avec $\,{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t)\neq {\vec {0}}\,$ composante $\,\perp \,$ au plan,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$, $\,\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot \left[{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\parallel }(t)+{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t)\right]\,$ soit,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$, par distributivité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle ,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$, $\,\color {transparent}{\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}$ $={\cancel {\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\parallel }(t)\;+}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t)\;$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$, ou, avec «$\;{\mathit {d}}=A'H'\;$ la distance $\,{\big (}$non algébrisée${\big )}\,$ séparant les deux axes $\,\Delta \,$ et $\,\Delta '\;$»,
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$,«$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {A'H'}}\right]\cdot {\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=\pm \,{\Big \Vert }{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t){\Big \Vert }\;{\mathit {d}}\;$» d'où le changement d'axe se réécrit
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$,«$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\pm \;{\Big \Vert }{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t){\Big \Vert }\;{\mathit {d}}\;$» où $\,\Delta '\;\parallel \,$ à $\,\Delta \,$ et $\,{\mathit {d}}=d\left(\Delta \,,\,\Delta '\right)\;$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$,«$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\pm \;{\Big \Vert }{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t){\Big \Vert }\;{\mathit {d}}}\;$» où ${\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t)$ composante de ${\vec {F}}_{\text{ext}}(t)$
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$,«$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\pm \;{\Big \Vert }{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t){\Big \Vert }\;{\mathit {d}}}\;$» où $\color {transparent}{{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t)}$ $\perp$ au plan $\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace \,$ et
     le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\,\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)}\,$ est $\,\color {transparent}{\not \parallel }\,$ au plan $\,\color {transparent}{\left\lbrace \Delta \,,\,\Delta '\right\rbrace }$,«$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ',\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\pm \;{\Big \Vert }{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,\perp }(t){\Big \Vert }\;{\mathit {d}}}\;$» où $\,+\,$ ou $\,-\,$ suivant la note « ¹⁰⁰ »

Définition d’un couple, propriété du moment vectoriel d’un couple

Définition d'un couple en tant que système de forces

Définition d'un couple parmi les systèmes de forces

     Un couple $\;{\big (}$en tant que système de forces${\big )}\;$ est un système de forces dont

• la résultante est nulle à tout instant $\;t\;$ soit : «$\;{\overrightarrow {\text{résult}}}_{\text{couple}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$» et
• le moment résultant par rapport à un point $\;A\;$ quelconque n'est pas identiquement nul soit : «$\;\forall \;A$, $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{couple}}}(t)\neq {\vec {0}}\;$» .

     Remarque : Un couple $\;{\big (}$en tant que système de forces${\big )}\;$ est un cas particulier de « torseur » nommé « torseur couple » $\;\ldots$

Schémas représentant deux exemples de couples en tant que systèmes de forces

Exemples de couple

     Voir ci-contre :

• exemple de gauche : système de forces de même norme également réparties sur un cercle du système de matière sur
  exemple de gauche : lequel le couple s'exerce ,
• exemple de droite : deux forces opposées $\,\left\lbrace {\vec {F}}_{1}\,,\,{\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}\right\rbrace \,$ appliquées respectivement en deux points $\,\left(M_{1}\,,\,M_{2}\right)\,$
  exemple de droite : du système de matière sur lequel le couple s'exerce, la direction commune de $\,\left\lbrace {\vec {F}}_{1}\,,\,{\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}\right\rbrace \,$
  exemple de droite : étant différente de celle de $\,{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$.

Propriété du moment vectoriel d'un couple

     La résultante d’un couple étant nulle et

     le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante $\;{\vec {R}}_{\text{syst. de forces}}\;$ étant «$\;{\overrightarrow {M}}_{\!A',\,{\text{syst. de forces}}}={\overrightarrow {M}}_{\!A,\,{\text{syst. de forces}}}+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {R}}_{\text{syst. de forces}}\;$» d'où
     le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante $\;{\vec {R}}_{\text{couple}}={\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$       «$\;{\overrightarrow {M}}_{\!A',\,{\text{couple}}}={\overrightarrow {M}}_{\!A,\,{\text{couple}}}\;$», le moment résultant vectoriel d’un couple est
           le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\text{couple}}={\vec {0}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {M}}_{\!A',\,{\text{couple}}}={\overrightarrow {M}}_{\!A,\,{\text{couple}}}}\;$», indépendant du point origine de calcul $\;{\big \{}$aussi
            le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\text{couple}}={\vec {0}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « pour le différencier des autres systèmes de forces de vecteur moment résultant
            le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\text{couple}}={\vec {0}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « dépendant du point origine, le vecteur moment $\,{\big (}$résultant${\big )}\;$ d’un couple est
             le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\text{couple}}={\vec {0}}}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « dépendant du point origine, le vecteur moment usuellement noté «$\;{\overrightarrow {\Gamma }}\;$» ${\big \}}$.

     Remarque : Un couple $\,{\big (}$en tant que système de forces${\big )}\,$ étant un cas particulier de « torseur » nommé « torseur couple » ,
           Remarque : Un couple $\,\color {transparent}{\big (}$en tant que système de forces$\color {transparent}{\big )}\,$ étant un cas particulier de « torseur » on peut donc lui attribuer, sans autre commentaire, les propriétés de ce dernier à savoir
           Remarque : Un couple $\,\color {transparent}{\big (}$en tant que système de forces$\color {transparent}{\big )}\,$ étant un cas particulier de « torseur » on peut donc lui attribuer, la constance du moment du torseur couple en tout point de l'espace $\;\ldots$

Équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple

     Considérant un solide $\,\left(S\right)\,$ et son système de forces exercées par son extérieur $\,\left(\Sigma \right)_{k}$, de résultante «$\;{\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$» et de moment résultant à un point origine $\,A\,$ quelconque «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$»
             Considérant un solide $\,\color {transparent}{\left(S\right)}\,$ et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à $\,A\,$ d'un système de forces s'exerçant sur un système fermé de matière quelconque
             Considérant un solide $\,\color {transparent}{\left(S\right)}\,$ et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ d'un système de forces constituant les éléments de réduction en $\,A\,$ du torseur statique
             Considérant un solide $\,\color {transparent}{\left(S\right)}\,$ et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ d'un système de forces constituant associé aux forces précitées dans le cadre de la notion $\,{\big (}$hors
             Considérant un solide $\,\color {transparent}{\left(S\right)}\,$ et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ d'un système de forces constituant programme de physique de P.C.S.I.${\big )}$ de « torseur » , soit
             Considérant un solide $\,\color {transparent}{\left(S\right)}\,$ et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ d'un système de forces constituant «$\;{\mathcal {T}}_{{\text{stat}},\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$» et
     l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures plus précisément de la résultante «$\;{\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$» et du moment résultant au point origine $\,G\,$ C.D.I. du solide
                    l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures $\Rightarrow$ le système des forces extérieures exercées par $\,\left(\Sigma \right)_{k}\,$ sur $\,\left(S\right)\,$
                    l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures $\color {transparent}{\Rightarrow }$ peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant en $\,G\;$ ou
                    l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures $\color {transparent}{\Rightarrow }$ peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant en $\,A\;$ quelconque.

     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;(\Sigma _{k})\;$exerce sur le solide$\;(S)$ : $\bullet \;$une « force unique $\;{\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$ appliquée en $\;A\;$» et
     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$exerce sur le solide$\;\color {transparent}{(S)}$ : $\bullet \;$un couple de moment «$\;{\overrightarrow {\Gamma }}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$» ;
     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$exerce sur le solide$\;\color {transparent}{(S)}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$justification : le moment du système de forces exercées par $\,\left(\Sigma \right)_{k}\,$ sur $\,\left(S\right)\,$ au point origine $\,A'\,$ quelconque
     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$exerce sur le solide$\;\color {transparent}{(S)}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$justification : $\neq \,$ de $\,A\,$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A',\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}=$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$» s'identifie à
     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$exerce sur le solide$\;\color {transparent}{(S)}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$justification : la somme du moment du couple «$\;{\overrightarrow {\Gamma }}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$» $\,{\big (}$1^er terme du 2^ème membre${\big )}\,$ et
     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$exerce sur le solide$\;\color {transparent}{(S)}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$justification : la somme du moment de la force $\;{\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$ appliquée en $\,A\,$ $\,{\big (}$2^ème terme du 2^ème membre ${\big )}$
     Système équivalent au système de forces extérieures que$\;\color {transparent}{(\Sigma _{k})}\;$exerce sur le solide$\;\color {transparent}{(S)}$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$justification : la somme du moment de la force «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\right]={\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {R}}_{\left(S\right)\,\leftarrow \,\left(\Sigma \right)_{k}}\;$».

Notion de « liaison pivot », propriété de son moment

     Une « liaison pivot » est mise en œuvre lors du mouvement d'un 1^er solide sur un 2^ème solide, pour restreindre le mouvement relatif à une rotation autour d'un axe fixe du référentiel lié au 2^ème solide.

Définition d'une « liaison pivot »

     Une « liaison pivot » d'axe $\,Oz\,$ restreint les possibilités de mouvement du « rotor » $\,{\big (}$solide tournant${\big )}\,$ à une rotation d’axe $\,Oz\,$ par rapport au « stator » $\,{\big (}$solide par rapport auquel se fait la rotation${\big )}$ ;

     dans ce paragraphe, la liaison pivot est « géométriquement idéale » c.-à-d. qu'elle assure un guidage parfait en rotation autour de l'axe de liaison $\,Oz\,$ en bloquant toute translation le long de cet axe ;

     dans ce paragraphe la liaison pivot est entièrement définie par la direction et la position de l'axe $\,Oz\,$ qui doit être systématiquement représenté sur tout schéma ;

     dans ce paragraphe la liaison pivot est la liaison la plus « commune » des systèmes mécaniques.

Réalisation pratique d'une « liaison pivot »

Schéma d'une liaison pivot $\,{\big (}$idéale${\big )}\,$ d'axe $\,z'z\,$ pour laquelle les translations sont bloquées ainsi que les rotations suivant les axes $\,\perp \,$ à $\,z'z\,$ ;
le cylindre sur lequel tourne le rotor et qui matérialise l'axe de la liaison pivot exerce un système de forces sur le rotor équivalent à
     $\succ \;$une résultante $\,{\vec {R}}\;\left(R_{x},\,R_{y},\,R_{z}\right)\;$, appliquée en $\,A$, de direction quelconque, s'adaptant aux actions exercées sur le rotor de façon à supprimer toute translation de ce dernier et
     $\succ \;$un couple de moment $\,{\overrightarrow {\Gamma }}\;\left(\Gamma _{x},\,\Gamma _{y},\,\Gamma _{z}=0\right)\;$, de direction $\,\perp \,$ à $\,z'z$, s'adaptant aux actions exercées sur le rotor de façon à supprimer toute rotation de ce dernier autre que celle autour de $\,z'z\,$ laquelle, en absence de frottements, se traduit par $\,\Gamma _{z}=0$

Éclaté d'un roulement à billes :
      1. bague extérieure
      2. bille
      3. cage
      4. chemin de la bille
      5. bague intérieure

Roulement à aiguilles

     La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste à emboîter deux cylindres coaxiaux
 La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste et à réaliser des butées empêchant
     La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste les cylindres de coulisser le long de
     La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste leur axe commun ${\big (}$voir schéma
     La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste leur axe commun $\color {transparent}{\big (}$voir ci-dessus${\big )}$ ;

     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides réductibles à l’aide
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\bullet \;$d'une « lubrification » ou,
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\bullet \;$en utilisant
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\color {transparent}{\bullet }\;$en $\blacktriangleright \;$des roulements « à billes »
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\color {transparent}{\bullet }\;$en $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\,{\big (}$voir éclaté à gauche${\big )}\,$ ou
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\color {transparent}{\bullet }\;$en $\blacktriangleright \;$des roulements « à aiguilles »
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\color {transparent}{\bullet }\;$en $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$$\,{\big (}$voir photo à droite${\big )}$,
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\color {transparent}{\bullet }\;$l'utilisation de roulements étant
     le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides $\color {transparent}{\bullet }\;$toujours préférable.

Action d’une « liaison pivot », cas d’une « liaison pivot idéale » d’axe Az

     Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor sur le cylindre d'axe $\;z'z\;$ au niveau de la coupe $\;\left(BC\right)\;$ du 1^er schéma du paragraphe « réalisation pratique d'une liaison pivot »
     Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor sur le cylindre d'axe $\;\color {transparent}{z'z}\;$ au niveau de la coupe $\;\color {transparent}{\left(BC\right)}\;$ du 1^er schéma du paragraphe « plus haut dans ce chapitre,
     Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu'elles sont réparties tout au long de la surface de contact et
     Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu'elles sont $\perp \;$ à celle-ci dans la mesure où « les frottements solides $\;{\big (}$ou fluides${\big )}\;$ sont supposés négligeables »,
     Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’elles coupent donc l'axe de rotation $\;z'z\;$ $\Rightarrow$ le moment scalaire relativement à l'axe$\;z'z\;$de ces forces de contact      Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’elles coupent donc l'axe de rotation $\;\color {transparent}{z'z}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ assurant le guidage en rotation du rotor sur le cylindre d'axe$\;z'z\;$est nul.

     Remarque : Il y a d'autres forces de contact entre le rotor et le cylindre d'axe $\;z'z\;$ sur lequel le rotor tourne :
     Remarque ! Il y a d'autres forces $\bullet \;$celles assurant l'absence de translation du rotor le long des axes $\,\left(x'x\,,\,y'y\,,\,z'z\right)\,$ du cylindre, de résultante s'adaptant à toute action pouvant entraîner une translation et
     Remarque ! Il y a d'autres forces $\color {transparent}{\bullet }\;$celles assurant l'absence de translation du rotor le long des axes $\,\color {transparent}{\left(x'x\,,\,y'y\,,\,z'z\right)}\,$ du cylindre, de moment $\,{\big (}$vectoriel${\big )}\,$ résultant nul en un point $\,A\,$ de l'axe $\,z'z\,$,
     Remarque ! Il y a d'autres forces $\bullet \;$celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes $\,\left(x'x\,,\,y'y\right)\,$ du cylindre, de moment $\,{\big (}$vectoriel${\big )}\,$ résultant au point $\,A\,$ de l'axe $\,z'z$,
     Remarque ! Il y a d'autres forces $\color {transparent}{\bullet }\;$celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes $\,\color {transparent}{\left(x'x\,,\,y'y\right)}\,$ du cylindre, de moment $\,\color {transparent}{\big (}$vectoriel$\color {transparent}{\big )}\,$ de direction $\,\perp \,$ à l'axe $\,z'z$, s'adaptant à toute
     Remarque ! Il y a d'autres forces $\color {transparent}{\bullet }\;$celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes $\,\color {transparent}{\left(x'x\,,\,y'y\right)}\,$ du cylindre, de moment $\,\color {transparent}{\big (}$vectoriel$\color {transparent}{\big )}\,$ action pouvant entraîner un basculement
     Remarque ! Il y a d'autres forces $\color {transparent}{\bullet }\;$celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes $\,\color {transparent}{\left(x'x\,,\,y'y\right)}\,$ du cylindre, de résultante $\,{\big (}$éventuelle${\big )}\,$ non nulle de direction quelconque ;
     Remarque : si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du rotor en rotation sur le cylindre d'axe $\,z'z$, avec absence de translation du rotor relativement au cylindre et
     Remarque : si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du rotor en rotation sur le cylindre d'axe $\,\color {transparent}{z'z}$, avec absence de basculement perpendiculairement au cylindre,
     Remarque : si on considère ce système de forces étant de résultante $\,{\big (}$vectorielle${\big )}\,$ «$\;{\vec {R}}\;\left(R_{x},\,R_{y},\,R_{z}\right)\;$» et
     Remarque : si on considère ce système de forces étant de moment résultant $\,{\big (}$vectoriel${\big )}\,$ en un point $\,A\;\in \;z'z\,$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;$ $\left({\mathcal {M}}_{\!A,\,x}\,,\,{\mathcal {M}}_{\!A,\,y}\,,\,{\mathcal {M}}_{\!A,\,z}=0\right)\;$» ,
     Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé $\bullet \;$d'une force unique «$\;{\vec {R}}\;\left(R_{x},\,R_{y},\,R_{z}\right)\;$» appliquée en $\,A\,$ et
     Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé $\bullet \;$d'un couple de moment vectoriel «$\;{\overrightarrow {\Gamma }}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;\left(\Gamma _{x}={\mathcal {M}}_{\!A,\,x}\,,\,\Gamma _{y}={\mathcal {M}}_{\!A,\,y}\,,\,\Gamma _{z}={\mathcal {M}}_{\!A,\,z}=0\right)\;$» ,
     Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé $\color {transparent}{\bullet }\;$d'un couple « la nullité de $\;\Gamma _{z}\;$» caractérisant une « liaison pivot idéale »,
     Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé $\color {transparent}{\bullet }\;$d'un couple « la présence de frottements » même faibles $\,{\big (}$liaison pivot « non idéale »${\big )}\,$ correspondant à «$\;\Gamma _{z}<0\;$».

Notions simples sur les « moteurs ou freins » dans les dispositifs rotatifs, présence d’un « stator » exerçant un couple sur le « rotor »

Généralités

     $\succ \;$Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe $\,Oz\,$ du référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}$, il y a $\bullet \;$un solide tournant autour de $\,Oz\,$ appelé « rotor » et
     $\color {transparent}{\succ }\;$Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe $\,\color {transparent}{Oz}\,$ du référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, il y a $\bullet \;$un solide fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ appelé « stator »,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe $\,\color {transparent}{Oz}\,$ du référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le rotor étant usuellement en « liaison pivot » relativement au stator ;

     $\succ \;$le dispositif rotatif peut être $\bullet \;$« moteur », dans ce cas le stator doit exercer un couple moteur sur le rotor pour que « celui-ci soit entraîné » ou
     $\color {transparent}{\succ }\;$le dispositif rotatif peut être $\bullet \;$« résistif » $\,{\big (}$il agit donc en « frein »${\big )}$, dans ce cas le stator doit exercer un couple résistif sur le rotor pour que « celui-ci ne s'emballe pas » $\;\ldots$

Cas du moteur

     Le dispositif rotatif est « moteur » si le stator exerce un couple moteur sur le rotor pour entraîner ce dernier lequel, à son tour, déploie une action motrice sur l'objet en interaction avec le rotor ;

     si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale $\,{\big (}$c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables${\big )}\,$ et
      si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre $\,{\big (}$c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir${\big )}\,$
       si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre le couple moteur que le stator doit exercer sur le rotor est quasi nul mais
      si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » $\,{\big (}$c.-à-d. tel qu'il déploie une action motrice sur une partie extérieure au système rotatif${\big )}$,
       si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » la partie soumise à l'action du rotor exerçant un couple résistant sur le rotor ,
       si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » le stator doit appliquer sur le rotor un couple moteur de compensation sinon le rotor s’arrêtera .

Cas du frein

     Le dispositif rotatif est « résistif » si le stator exerce un couple résistif sur le rotor pour que ce dernier « ne s'emballe pas », en conséquence de quoi
     Le dispositif rotatif est « résistif » si le stator exerce un couple résistif sur le rotor déploie une action résistive sur l'objet en interaction avec lui $\,{\big (}$but recherché pour que le rotor ait une action de « frein »${\big )}$ ;

     si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale $\,{\big (}$c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables${\big )}\,$ et
      si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre $\,{\big (}$c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir${\big )}\,$
       si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre le couple résistif que le stator doit exercer sur le rotor est quasi nul mais
      si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » $\,{\big (}$c.-à-d. tel qu'il déploie une action résistive sur une partie extérieure au système rotatif, but recherché par tout « frein »${\big )}$,
       si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » la partie soumise à l'action du rotor exerçant un couple moteur sur le rotor ,
       si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » le stator doit appliquer sur le rotor un couple résistif de compensation sinon le rotor s’emballera .

     Exemple du frein avant$\;{\big (}$ou arrière${\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : le rotor étant la roue avant $\,{\big (}$ou arrière${\big )}\,$ et
     Exemple du frein avant$\;\color {transparent}{\big (}$ou arrière$\color {transparent}{\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : le stator le cadre de la bicyclette choisi comme référentiel d’étude $\,{\mathcal {R}}$ ;
     Exemple du frein avant$\;\color {transparent}{\big (}$ou arrière$\color {transparent}{\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : le sol de la route $\,\searrow \,$ défile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ vers l’arrière de plus en plus vite en absence de freinage , pour l'éviter
     Exemple du frein avant$\;\color {transparent}{\big (}$ou arrière$\color {transparent}{\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : le sol de la route $\,\color {transparent}{\searrow }\,$ défile dans $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ vers l’arrière de plus en plus vite il faut ralentir le défilement de la route dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Exemple du frein avant$\;\color {transparent}{\big (}$ou arrière$\color {transparent}{\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : la route $\,\searrow \,$ exerçant un couple moteur sur la roue $\,{\big (}$rotor${\big )}$,
     Exemple du frein avant$\;\color {transparent}{\big (}$ou arrière$\color {transparent}{\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : le cadre de la bicyclette $\,{\big (}$stator${\big )}\,$ doit exercer un couple résistant sur la roue $\,{\big (}$rotor${\big )}\,$ ce qui est réalisé
     Exemple du frein avant$\;\color {transparent}{\big (}$ou arrière$\color {transparent}{\big )}\;$d’une bicyclette entraînée dans une descente : le cadre de la bicyclette $\,\color {transparent}{\big (}$stator$\color {transparent}{\big )}\,$ doit exercer un couple résistant par l’action des patins du frein s’appuyant sur la roue.