En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Moments de force Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments de force », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Notion de vecteur moment d’une force par rapport à un point A (ou moment vectoriel d’une force)
Schéma de définition du vecteur moment de la force [1] appliquée en par rapport au point origine au support de la force [1], l'espace physique étant orienté à droite[5]
Remarquons tout d'abord que le moment vectoriel de [1] par rapport à soit «» est
non nul si « le support de [1] ne passe pas par »[7], l’ensemble formant un plan : est de direction au plan et de sens tel que le trièdre «» soit « direct si l'espace physique est orienté à droite[5] »[8]voir schéma ci-contre, sauf avis contraire, ce sera toujours le cas envisagé ou de sens tel que le trièdre «» soit « indirect au sens de la physique[9] si l'espace physique est orienté à gauche[10]cas pratiquement jamais envisagé»[11] ; on peut aisément déterminer la direction ainsi que le sens du vecteur moment de la force [1] par rapport à , il suffit alors de spécifier sa norme pour le connaître, celle-ci se déterminant par
«» dans laquelle « représente la distance orthogonale entre le support de [1] à l'instant et le point origine de définition du moment vectoriel », grandeur qui sera appelée « bras de levier de la force[1]relativement à »[12].
Changement d’origine de calcul du moment vectoriel d’une force
Le « vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel par rapport au point origine à l'instant » étant le « vecteur moment du champ vectoriel par rapport à à l'instant », on peut lui appliquer la propriété d'équiprojectivité rappelée ci-dessus soit
Remarque : en utilisant la notion hors programme de physique de P.C.S.I. de « torseur » introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment vectoriel«» de la force [1] appliquée au point matériel par rapport à à l'instant étant le moment du torseur (glisseur) statique[14] de résultante [1] à savoir «» d'éléments de réduction en «» et Remarque : le « moment d'un torseur au point » étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif »[15] nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel par rapport au point origine à l'instant ».
Définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ
Considérant un axe quelconque[16] et deux points quelconques distincts de cet axe , nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel à l'instant la relation
«»[17] soit, en orientant l'axe par et en simplifiant par , «»[18],
cette valeur constante sur définissant le moment scalaire de la force [1] appliquée au point matériel par rapport à l'axe à l'instant .
Moment (scalaire) d'une force par rapport à un axe Δ
Le moment scalaire de la force [1] appliquée au point matériel par rapport à l'axe est la grandeur scalaire, définie à l'instant , selon
«» avec « le vecteur unitaire orientant » et « le vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel évalué en un point quelconque de au même instant », soit encore, «».
1ère méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ
Pour exprimer le moment scalaire d’une force [1] appliquée au point matériel par rapport à un axe orienté par , on peut
déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point dans une base orthonormée « directe si l'espace est orienté à droite[5] »[8]pratiquement toujours le cas considéré ou déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point dans une base orthonormée « indirecte au sens de la physique[9] si l'espace est orienté à gauche[10] »[11]cas pratiquement jamais envisagé et
multiplier scalairement par [19] pour obtenir le moment scalaire cherché[20].
2ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe
Méthode à préférer car c'est, en général et de très loin, la plus rapide.
Préliminaire : De «», produit mixte des trois vecteurs «», on en déduit que ce dernier est nul si ces trois vecteurs sont coplanaires[21] ; Préliminaire : or «» alors que « a priori »[22] « et ne sont pas colinéaires et forment un plan » ; Préliminaire : on a donc deux cas de figures suivant que appartient ou n'appartient pas à ce plan :
Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe coupant ce dernierSchéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe ne coupant pas ce dernier
Ci-contre à gauche le cas de figure dans lequel la force [1] appliquée au point matériel appartient au plan , les trois vecteurs [1], et étant coplanaires le moment scalaire de [1] par rapport à est nul[21] soit mathématiquement «» ;
Ci-contre à droite le cas de figure dans lequel la force [1] appliquée au point matériel n'appartient pas au plan , les trois vecteurs [1], et n'étant pas coplanaires le moment scalaire de [1] par rapport à est non nul[21] soit mathématiquement «» ; Ci-contre à droite décomposant la force [1] en une composante à «» et une composante à «» soit «», on déduit de la distributivité de la multiplication vectorielle[23] et de la multiplication scalaire[24] relativement à l'addition vectorielle celle de la multiplication mixte[21] par rapport à l'addition vectorielle «», le 1er terme du 2ème membre étant nul[25] ; il reste donc à évaluer schéma ci-dessous à droite :
Schéma en vue de dessus de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la composante de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe appliquée en un point extérieur à l'axe ne passant pas par la trace de ce dernier sur le plan
Ci-contre à droite tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire le sens «» de rotation dans le plan à l’axe et passant par c'est-à-dire le plan de la figure ci-contre étant défini par le sens de sur l'exemple ci-contre sens trigonométrique direct :
si tend à faire tourner dans le sens «» le moment scalaire est et
si tend à faire tourner dans le sens «» le moment scalaire est , d'où, dans l’exemple ci-contre, «»,
Ci-contre à droite ensuite on détermine la valeur absolue du moment scalaire par «»[26] où « est le bras de levier, à l'instant , de relativement à » c'est-à-dire la « distance orthogonale entre le support deet l’axe »[27],
Ci-contre à droite enfin on en déduit la valeur de «» :
si tend à faire tourner dans le sens «», «» et
si tend à faire tourner dans le sens «», «» cas de figure ci-contre.
Conclusion : Si « le support de la force [1] coupe au sens large[28] l’axe de définition du moment scalaire de la force [1] », ce dernier est nul «»,
Conclusion : si « le support de la force [1] et l’axe de définition du moment scalaire de cette dernière ne sont pas coplanaires », ce dernier est non nul «» et est égal au moment scalaire de la composante de la force [1] sur le plan passant par et à l’axe, soit
Conclusion : si tend à faire tourner dans le sens «», «» et
Conclusion : si tend à faire tourner dans le sens «», «»,
Conclusion : « étant le bras de levier, à l'instant , de relativement à » dans les deux cas.
Exemples de calcul de moment scalaire de force : moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide et moment scalaire du poids dans l’exemple du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté
Préliminaire : Il est toujours préférable de faire des schémas de situation avec des « paramètres de position positifs » de façon à raisonner sur le schéma sans avoir à « tenir compte du signe du paramètre »[29] ;
Préliminaire : nous nous proposons de déterminer le moment scalaire du poids dans l'exemple du P.P.S[30]. à un degré de liberté le P.P.S[30]. étant écarté de de sa position d’équilibre stable et lâché sans vitesse initiale, le point matériel décrit alors un mouvement circulaire de rayon [31] d'axe au plan vertical de lancement en faisant deux schémas de situation avec un changement de signe du paramètre de position pour y souligner l'intérêt de faire un schéma avec une abscisse angulaire de à l'instant positive
Schéma représentant un pendule pesant simple P.P.S. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est positifSchéma représentant un pendule pesant simple P.P.S. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est négatif
Préliminaire : Ci-contre à gauche schéma représentant un P.P.S[30]. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur à un instant où l'abscisse angulaire de ce dernier est , schéma souhaitable n'induisant pas d'erreur potentielle de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de «» si on oublie le signe de ;
Préliminaire : Ci-contre à droite schéma représentant un P.P.S[30]. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur à un instant où l'abscisse angulaire de ce dernier est , schéma à éviter car susceptible d'induire une erreur de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de «» si on oublie le signe de , en effet Préliminaire : Ci-contre à droite on observe, sur ce schéma, que tendant à faire tourner dans le sens «» «» avec dans laquelle le bras de levier de s'écrit «»[32],[31] d'où l'erreur potentielle si on oublie le signe de du schéma en écrivant «»[31] ce qui conduit à un bras de levier contraire à la définition d'un bras de levier[32] Préliminaire : Ci-contre à droite on observe, sur ce schéma, en fait, comme est sur le schéma ci-contre à droite, on a «» et par suite «» conforme au signe du moment scalaire de observé sur le schéma, étant l'intensité de la pesanteur c'est-à-dire .
Évaluation du moment scalaire du poids du P.P.S[30]. relativement à l'axesur le schéma ci-contre à gauche : on observe, sur ce schéma, que tendant à faire tourner dans le sens «» «» avec dans laquelle le bras de levier de s'écrit «»[31] car , sur le schéma, est soit [31] et, en posant [33],
Évaluation du moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide du P.P.S[30]. relativement à l'axesur le schéma ci-dessus à gauche : le support de la tension de la tige idéale rigide coupant l’axe , son moment scalaire par rapport à cet axe est nul soit
Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels, généralisation à un système continu fermé de matière
le système des forces extérieures appliquées au système discret fermé de points matériels est l'ensemble des forces que chaque système extérieur au système de points matériels exerce sur chaque point matériel de ce dernier ;
le système des forces intérieures agissant dans le système discret fermé de points matériels est l'ensemble des forces que chaque point matériel du système de points matériels exerce sur chaque point matériel de ce dernier.
Généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle
les forces volumiquesforces de champ s’exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [37], forces volumiques notées avec densité volumique de force de champ au point et
les forces surfaciquesforces de contact s'exerçant sur chaque surface élémentaire de la surface fermée limitant un pseudo-point[37], forces surfaciques notées [38] avec densité surfacique de force de contact au point désignant un point de la surface fermée limitant le pseudo-point centré en [37].
les forces extérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir des forces volumiques c'est-à-dire de champ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en [37] ou des forces surfaciques c'est-à-dire de contact[38] que l'extérieur du système exerce sur chaque point de la surface fermée limitant ;
les forces intérieures agissant dans le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle limitée par la surface fermée sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système[37]elles sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bivolumiques »[39] à savoir [40] force que le pseudo-point centré en [37] exerce sur le pseudo-point centré en [37]le rapport pourrait être appelé densité bivolumique de force que exerce sur ou des forces de contact entre deux pseudo-points[37] voisins [38].
Remarque 1 : Dans le cas où le système continu de matière devient d'expansion surfacique parce qu'une des dimensions de l'expansion volumique initiale est infiniment petite, Remarque 1 : les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des forces surfaciques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion surfacique[41] notées avec densité surfacique de force de champ au point et Remarque 1 :les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces linéiques de contact s'exerçant sur chaque longueur élémentaire de la courbe fermée limitant un pseudo-point[41], notées [42] avec densité linéique de force de contact au point désignant un point de la courbe fermée limitant le pseudo-point centré en [41] ;
Remarque 1 : on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion surfacique , lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir des forces surfaciques c'est-à-dire de champ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en [41] ou des forces linéiques c'est-à-dire de contact[42] que l'extérieur du système exerce sur chaque point de la courbe fermée limitant ;
Remarque 1 : on distingue : les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion surfacique limitée par la courbe fermée sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système[41]sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bisurfaciques »[43] à savoir [44] force que le pseudo-point centré en [41] exerce sur le pseudo-point centré en [41]le rapport pourrait être appelé densité bisurfacique de force que exerce sur ou des forces de contact entre pseudo-points[41] voisins [42].
Remarque 2 : Dans le cas où le système continu de matière devient d'expansion linéique parce que deux des dimensions de l'expansion volumique initiale sont infiniment petites, Remarque 2 : les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des forces linéiques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion linéique[45] notées avec densité linéique de force de champ au point et Remarque 2 :les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces de contact s'exerçant entre chaque pseudo-point[45] voisin, notées ou suivant que le pseudo-point[45] voisin du pseudo-point[45] centré en est situé d'un côté ou de l'autre ou Remarque 2 : les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces de contact exercées sur l'un ou l'autre des pseudo-points[45] extrêmes limitant l'expansion linéique ;
Remarque 2 : on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion linéique , lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir des forces linéiques c'est-à-dire de champ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en [45] ou les forces de contact exercées sur les pseudo-points[45] extrêmes limitant l'expansion linéique , ou que l'extérieur du système exerce sur chaque point extrême limitant suivant le côté considéré ;
Remarque 2 : on distingue : les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion linéique sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système[45]sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bilinéiques »[46] à savoir [47] force que le pseudo-point centré en [45] exerce sur le pseudo-point centré en [45]le rapport pourrait être appelé densité bilinéique de force que exerce sur ou des forces de contact entre pseudo-points[41] voisins ou suivant que le pseudo-point[45] voisin du pseudo-point[45] centré en est situé d'un côté ou de l'autre.
Conséquence du principe des actions réciproques sur le système des forces intérieures
Principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Pour deux points matériels et en interaction telle que décrive l'action de sur [49] et l'action de sur [49], on a à tout instant et quels que soient les mouvements de et :
La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec «» étant définie selon «»[51], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne[52] « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne » on établit de la même façon[52] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit
La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle étant définie selon «» avec «»[54],[40] et «»[55],[38], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne[52]appliqué dans chaque résultante partielle et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » on établit de la même façon[52] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit
«».
Remarques : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :
Remarques : La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique étant définie selon «» avec «»[56],[42] et «»[57],[40], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne[52]appliqué dans chaque résultante partielle et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique en dynamique newtonienne » on établit de la même façon[52] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit
«».
Remarques : La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique étant définie selon «» avec «»[58],[47] et «»[59],[60], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne[52]appliqué dans chaque résultante partielle et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique en dynamique newtonienne » on établit de la même façon[52] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit
«».
Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un « point origine quelconque A », moment résultant scalaire de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ »
Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque
Le vecteur moment résultant, par rapport au point origine , des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec «» est définie selon
«» ;
on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne[52] « la nullité du moment résultant vectoriel des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne par rapport à un point origine quelconque »[16]on établit de la même façon[52] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit
«».
Démonstration : « en associant les termes de la somme par couple » dont la somme vaut « après avoir utilisé la 1ère relation du principe des actions réciproques à savoir » ou encore, après « factorisation vectorielle à droite par »[61] et utilisation de la relation de Chasles[62] sur l’autre facteur « par la 2ème partie du principe des actions réciproques » d'où la nullité de chaque somme de couple «» et par suite, en faisant la somme sur tous les couples différents possibles «».
Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque
De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec par rapport à un point origine quelconque[16], soit «»[63] et de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe à partir du vecteur moment relativement à un point de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire , on en tire la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec par rapport à un axe quelconque[16], «»[63] puis on en déduit « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienneet aussi relativiste par rapport à un axe quelconque »[16] soit
Généralisation : vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un « point origine quelconque A », moment scalaire résultant de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ »
Du vecteur moment résultant par rapport au point origine quelconque [16] des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle défini selon «» avec «
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M),\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8880f59a6939d16772305aae33691324b47128)
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![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A'}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8cbc4192073e150665ac52e0e33039f71a1e70)
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![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebda4595c769569d27f836b203168135cf29a737)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta },\;\;\forall \;A\in \Delta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b22e1d353deffecfac726dee5c8985a353c3ba)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e448e0eb98355f76a67d8627e2199a9708f9ce)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]\neq 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4331e3a06427d15a25cb2b6a401014117f94096f)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\cancel {{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\parallel }(M)\,,\,t\right]\;+}}\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1ed8931fda1411d17a1cdedd2787d7c6482fc8)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2879815b7103bb931128bb7052b584a4a7f4a4bc)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7a9a32696b6ae2b7c700ccc34881adca9a095b)
![{\displaystyle \;{\Big \vert }{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]{\Big \vert }=\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359baf4d9bc0ab852d12dee4d6c059f0aeaaad23)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f60aff1575c593f6a82de5294842eaf330ec326)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=+\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6d7746b1e67f69d720fcd5f7272856ecc7bdde)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=-\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd388fa2fe5706d3c0c4bbab6791e7b7254db3e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=+\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a49daedb6eb28e3bf47eb45656e9ea053083ed8)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\,,\,t\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{\perp }(M)\,,\,t\right]=-\Vert {\vec {F}}_{\perp }(M)\Vert \;{\mathsf {d}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f64f88777f0fc3c9416dfb6ec3ef72c00610828)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245153a4ccfc319c051be7b0f981f0af5150bc21)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460bb49de8d53e8a5724335fd5ebb63344e8080b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=\Vert m\;{\vec {g}}\Vert \;{\mathsf {d}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30befb8d6de81fdd5e906b99074bcad36b5f3de2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=-m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin(\theta )>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0689d67048be73bdb6cdb73b4ee2b649e0abcccf)
![{\displaystyle \;g=\Vert {\vec {g}}\Vert {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060aa533e55c7a278238878adfc83b01a4972940)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff0b6c950888b867f0334af51f65a566571fd07)
![{\displaystyle \;{\big \vert }{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]{\big \vert }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930e625cd173d8a30a5147fe9c694db2d58e5a65)
![{\displaystyle \;{\big \vert }{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\right]{\big \vert }=\Vert m\;{\vec {g}}\Vert \;{\mathit {l}}\;\sin(\theta )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f37e0157000aef4a79e3fbfb4fa90da5b4f2d14)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[m\;{\vec {g}}\,,\,t\right]=-m\;g\;{\mathit {l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5f8f21acdf21f716491627da0f5f5435c69ca2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {T}}(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31df69091a7abc856ff43c085016c8a1ca5bae16)
![{\displaystyle \;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48580ef105cbf8f7839ee91e8c0a4d0dd3c23a3)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left\lbrace {\text{ext}}_{k}\right\rbrace }\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f0420096f77ded812d6c0ec3d7683d7cd7d7f1)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{\,2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc962564f4604afc198716362ec47379d94b7e4)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d56ed7e20b6a2d093fe320841cb1ea8d504bf8f)
![{\displaystyle =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78aa7ee31f6c7c7332975ebe48e6fc9a40120614)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\displaystyle \oiint \limits _{N_{M}\,\in \,dS_{M}}d^{2}{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace N_{M},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{{\text{voisin de }}N_{M}},\,d^{2}S_{N}\right\rbrace }(N_{M})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3ac3e1d8120a2d966d30839b8bceb863a175ed)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[\displaystyle \oint \limits _{N_{M}\,\in \,d{\mathit {l}}_{M}}d^{2}{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace N_{M},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace N_{{\text{voisin de }}N_{M}},\,d^{2}{\mathit {l}}_{N}\right\rbrace }(N_{M})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263c01d2f901b44f29e7068992e184040630dc6e)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{g}}(M)+{\vec {f}}_{\!M\,\leftarrow \,M_{d}}(M)\right]d{\mathit {l}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7220fa7af6ecd12708cfa5114d898a623d444fc5)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72aa17b5db307048018cb721f5176d81ba7a23e)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\overrightarrow {AM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8642c3efbc112b5baff9508e6de3c4bfe1665df0)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {AM_{i}}}-{\overrightarrow {AM_{j}}}\right]\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}={\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8a30515d392479d92e7e7e1f9c4de0d9830a50)
![{\displaystyle \;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c70afb5dbadf5ee9e0bcc8934022f822a8ead8)
![{\displaystyle \;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215f4eda87effc5729a30caeaeb653c9fa3d25ee)
