Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments de force

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Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments de force
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Sommaire

Notion de vecteur moment d’une force par rapport à un point A (ou moment vectoriel d’une force)[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque :Le vecteur moment d'un champ vectoriel par rapport au point origine ayant été défini dans le paragraphe « vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » selon [3], on observe donc que le vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel par rapport au point origine à l'instant soit [4], est le vecteur moment du champ vectoriel [1] par rapport au point origine et à l'instant .

Schéma de définition du vecteur moment de la force [1] appliquée en par rapport au point origine au support de la force [1]

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     Remarquons tout d'abord que le moment vectoriel de [1] par rapport à soit «» est

  • nul si « est sur le support de [1] » [5] et
  • non nul si « le support de [1] ne passe pas par » [6], l’ensemble formant un plan représenté ci-contre :
        est de direction au plan et
                                            de sens tel que le trièdre «» soit direct ;

     on peut aisément déterminer la direction ainsi que le sens du vecteur moment de la force [1] par rapport à , il suffit alors de spécifier sa norme pour le connaître, celle-ci se déterminant par dans laquelle représente la distance orthogonale entre le support de [1] à l'instant et le point origine de définition du moment vectoriel, grandeur qui sera appelée « bras de levier de la force [1] relativement à » [7].

Changement d’origine de calcul du moment vectoriel d’une force[modifier | modifier le wikicode]

     Le « vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel par rapport au point origine à l'instant » étant le « vecteur moment du champ vectoriel par rapport à à l'instant », on peut lui appliquer la « formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel » énoncée au chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et rappelée ci-dessous

[8],

     soit, avec un vecteur champ s'identifiant à la force [1],

[8].

Définition du moment (scalaire) d’une force par rapport à un axe Δ, bras de levier de la force[modifier | modifier le wikicode]

Équiprojectivité du « moment vectoriel d'une force »[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion introduite pour un champ de vecteurs dans le paragraphe « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel» [8] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » à savoir

[8],

     n'est pas vérifiée pour n'importe quel champ de vecteurs mais

     l'est pour un champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel quelconque défini par [8], voir le paragraphe « notion d'équiprojectivité du champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » c.-à-d.

[8] ;

     Le « vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel par rapport au point origine à l'instant » étant le « vecteur moment du champ vectoriel par rapport à à l'instant », on peut lui appliquer la propriété d'équiprojectivité rappelée ci-dessus soit

[8].

     Remarque : en utilisant la notion hors programme de physique de PCSI de « torseur » introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment (vectoriel) «» de la force [1] appliquée au point matériel par rapport à à l'instant étant le moment du torseur (glisseur) statique [9] de résultante [1] à savoir «» d'éléments de réduction en « » et
     Remarque : le « moment d'un torseur au point » étant par définition un « champ de vecteurs équiprojectif » [10] nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel par rapport au point origine à l'instant ».

Définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un axe quelconque [11] et deux points quelconques (distincts) de cet axe , nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment de la force [1] appliquée au point matériel à l'instant la relation [12]
     soit, en orientant l'axe par et en simplifiant par , «» [13] cette valeur constante sur définissant le moment (scalaire) de la force [1] appliquée au point matériel par rapport à l'axe à l'instant .

1ère méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Pour exprimer le moment scalaire d’une force [1] appliquée au point matériel par rapport à un axe orienté par , on peut

  • déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point dans une « base orthonormée directe » [14] et
  • multiplier scalairement par [14] pour obtenir le moment scalaire cherché [15].

2ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe[modifier | modifier le wikicode]

     Méthode à préférer car c'est, en général et de très loin, la plus rapide.

     Préliminaire : De «», produit mixte des trois vecteurs «», on en déduit que ce dernier est nul si ces trois vecteurs sont coplanaires [16] ;
     Préliminaire : or «» alors que « a priori » [17] « et ne sont pas colinéaires et forment un plan » ;
     Préliminaire : on a donc deux cas de figures suivant que appartient ou n'appartient pas à ce plan :

Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe coupant ce dernier
Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe ne coupant pas ce dernier

     Ci-contre à gauche le cas de figure dans laquelle la force [1] appliquée au point matériel appartient au plan , les trois vecteurs [1], et étant coplanaires le moment scalaire de [1] par rapport à est nul [16] soit  ;

     Ci-contre à droite le cas de figure dans laquelle la force [1] appliquée au point matériel n'appartient pas au plan , les trois vecteurs [1], et n'étant pas coplanaires le moment scalaire de [1] par rapport à est non nul [16] soit  ;
     Ci-contre à droite décomposant la force [1] en une composante à «» et une composante à «» soit , on déduit de la distributivité de la multiplication vectorielle [18] et de la multiplication scalaire [19] relativement à l'addition vectorielle celle de la multiplication mixte [16] par rapport à l'addition vectorielle , le 1er terme du 2ème membre étant nul [20] ; il reste donc à évaluer schéma ci-dessous à droite :

Schéma en vue de dessus de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la composante de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe appliquée en un point extérieur à l'axe ne passant pas par la trace de ce dernier sur le plan

     Ci-contre à droite tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire le sens «» de rotation dans le plan à l’axe et passant par c.-à-d. le plan de la figure ci-contre étant défini par le sens de sur l'exemple ci-contre sens trigonométrique direct :

  • si tend à faire tourner dans le sens «» le moment scalaire est et
  • si tend à faire tourner dans le sens «» le moment scalaire est ,
         d'où, dans l’exemple ci-contre, «»,

                                                  Ci-contre à droite ensuite on détermine la valeur absolue du moment scalaire par «» [21]« est le bras de levier, à l'instant , de relativement à » c.-à-d. la « distance orthogonale entre le support de et l’axe » [22],

                                                  Ci-contre à droite enfin on en déduit la valeur de «» :

  • si tend à faire tourner dans le sens «», «» et
  • si tend à faire tourner dans le sens «», «» cas de figure ci-dessus.

     Conclusion : Si « le support de la force [1] coupe au sens large [23] l’axe de définition du moment scalaire de la force [1] », ce dernier est nul «»,

     Conclusion : si « le support de la force [1] et l’axe de définition du moment scalaire de cette dernière ne sont pas coplanaires », ce dernier est non nul «» et est égal au moment scalaire de la composante de la force [1] sur le plan passant par et à l’axe, soit

        Conclusion : si tend à faire tourner dans le sens «», «» et

        Conclusion : si tend à faire tourner dans le sens «», «»,

              Conclusion : dans les deux cas « étant le bras de levier, à l'instant , de relativement à ».

Exemples de calcul de moment scalaire de force : moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide et moment scalaire du poids dans l’exemple du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Il est toujours préférable de faire des schémas de situation avec des « paramètres de position positifs » de façon à raisonner sur le schéma sans avoir à « tenir compte du signe du paramètre » [24] ;

     Préliminaire : nous nous proposons de déterminer le moment scalaire du poids dans l'exemple du P.P.S. [25] à un degré de liberté le P.P.S. [25] étant écarté de de sa position d’équilibre stable et lâché sans vitesse initiale, le point matériel décrit alors un mouvement circulaire de rayon [26] d'axe au plan vertical de lancement pour y souligner l'intérêt de faire un schéma avec une abscisse angulaire de à l'instant positive

Schéma représentant un pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est positif
Schéma représentant un pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est négatif

     Préliminaire : Ci-contre à gauche schéma représentant un P.P.S. [25] à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur à un instant où l'abscisse angulaire de ce dernier est , schéma souhaitable n'induisant pas d'erreur potentielle de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de «» si on oublie le signe de  ;

     Préliminaire : Ci-contre à droite schéma représentant un P.P.S. [25] à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur à un instant où l'abscisse angulaire de ce dernier est , schéma à éviter car susceptible d'induire une erreur de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de «» si on oublie le signe de , en effet
     Préliminaire : Ci-contre à droite on observe, sur ce schéma, que tendant à faire tourner dans le sens «» «» avec dans laquelle le bras de levier de s'écrit «» [27], [26] d'où l'erreur potentielle si on oublie le signe de du schéma en écrivant «» [26] ce qui conduit à un bras de levier contraire à la définition d'un bras de levier [27], [28].

     Évaluation du moment scalaire du poids du P.P.S. [25] relativement à l'axe Δ (sur schéma ci-dessus à gauche) : on observe, sur ce schéma, que tendant à faire tourner dans le sens «» «» avec dans laquelle le bras de levier de s'écrit « » [26] car , sur le schéma, est soit [26] et, en posant [29],

[30].

     Évaluation du moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide du P.P.S. [25] relativement à l'axe Δ (sur schéma ci-dessus à gauche) : le support de la tension de la tige idéale rigide coupant l’axe , son moment scalaire par rapport à cet axe est nul soit

[31], [32].

Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels, généralisation à un système continu fermé de matière[modifier | modifier le wikicode]

Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     La distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels dans lequel «» introduite au paragraphe « système des forces extérieures et système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée ci-dessous :

  • le système des forces extérieures appliquées au système discret fermé de points matériels est l'ensemble des forces que chaque système extérieur au système de points matériels exerce sur chaque point matériel de ce dernier ;
  • le système des forces intérieures agissant dans le système discret fermé de points matériels est l'ensemble des forces que chaque point matériel du système de points matériels exerce sur chaque point matériel de ce dernier.

Généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

     Il existe deux types principaux de forces s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle qui seront vus plus en détail aux paragraphes « champs de forces dans un fluide, distinction forces volumique et surfacique, exemples », « champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples » et « champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante et sa différence avec la pression » du chap. de la leçon « Statique des fluides » :

  • les forces volumiques qui sont des forces de champ s’exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle [33], forces volumiques notées avec densité volumique de force de champ au point et
  • les forces surfaciques qui sont des forces de contact s'exerçant sur chaque surface élémentaire de la surface fermée limitant un pseudo-point [33], forces surfaciques notées [34] avec densité surfacique de force de contact au point désignant un point de la surface fermée limitant le pseudo-point centré en [33].

     On fait également la distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en prolongeant celle faite dans le paragraphe « distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels » ci-dessus selon :

  • les forces extérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir
    des forces volumiques c.-à-d. de champ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en [33] ou
    des forces surfaciques c.-à-d. de contact [34] que l'extérieur du système exerce sur chaque point de la surface fermée limitant  ;
  • les forces intérieures agissant dans le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle limitée par la surface fermée sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système [33] sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bivolumiques » [35] à savoir [36] force que le pseudo-point centré en [33] exerce sur le pseudo-point centré en [33] le rapport pourrait être appelé densité bivolumique de force que exerce sur ou des forces de contact entre deux pseudo-points [33] voisins [34].

     Remarque 1 : Dans le cas où le système continu de matière devient d'expansion surfacique parce que une des dimensions de l'expansion volumique initiale est infiniment petite,
     Remarque 1 : les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des forces surfaciques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion surfacique [37] notées avec densité surfacique de force de champ au point et
     Remarque 1 :les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces linéiques de contact s'exerçant sur chaque longueur élémentaire de la courbe fermée limitant un pseudo-point [37], notées [38] avec densité linéique de force de contact au point désignant un point de la courbe fermée limitant le pseudo-point centré en [37] ;

           Remarque 1 : on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion surfacique , lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir
des forces surfaciques c.-à-d. de champ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en [37] ou
des forces linéiques c.-à-d. de contact [38] que l'extérieur du système exerce sur chaque point de la courbe fermée limitant  ;

           Remarque 1 : on distingue : les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion surfacique limitée par la courbe fermée sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système [37] sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bisurfaciques » [39] à savoir [40] force que le pseudo-point centré en [37] exerce sur le pseudo-point centré en [37] le rapport pourrait être appelé densité bisurfacique de force que exerce sur ou des forces de contact entre pseudo-points [37] voisins [38].

     Remarque 2 : Dans le cas où le système continu de matière devient d'expansion linéique parce que deux des dimensions de l'expansion volumique initiale sont infiniment petites,
     Remarque 2 : les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des forces linéiques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion linéique [41] notées avec densité linéique de force de champ au point et
     Remarque 2 :les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces de contact s'exerçant entre chaque pseudo-point [41] voisin, notées ou suivant que le pseudo-point [41] voisin du pseudo-point [41] centré en est situé d'un côté ou de l'autre ou
     Remarque 2 : les forces surfaciques de contact initiales sont à remplacer par des forces de contact exercées sur l'un ou l'autre des pseudo-points [41] extrêmes limitant l'expansion linéique  ;

           Remarque 2 : on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion linéique , lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir
des forces linéiques c.-à-d. de champ que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en [41] ou
les forces de contact exercées sur les pseudo-points [41] extrêmes limitant l'expansion linéique , ou que l'extérieur du système exerce sur chaque point extrême limitant suivant le côté considéré ;

           Remarque 2 : on distingue : les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion linéique sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système [41] sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bilinéiques » [42] à savoir [43] force que le pseudo-point centré en [41] exerce sur le pseudo-point centré en [41] le rapport pourrait être appelé densité bilinéique de force que exerce sur ou des forces de contact entre pseudo-points [37] voisins ou suivant que le pseudo-point [41] voisin du pseudo-point [41] centré en est situé d'un côté ou de l'autre.

Conséquence du principe des actions réciproques sur le système des forces intérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Le principe des actions réciproques ou 3ème loi de Newton [44] a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques et commentaires » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il ne s'agit donc que d'un rappel dans les deux 1ers sous-paragraphes ci-dessous.

Rappel : énoncé du principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Rappel : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec «» étant définie selon [47], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne » on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

[49].

Généralisation : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle étant définie selon avec [50], [36] et [51], [34], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] appliqué dans chaque résultante partielle et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne » on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

.

     Remarques : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :

     Remarques : La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique étant définie selon avec [52], [38] et [53], [36], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] appliqué dans chaque résultante partielle et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique en dynamique newtonienne » on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

.

     Remarques : La résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique étant définie selon avec [54], [43] et [55], [56], on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] appliqué dans chaque résultante partielle et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque résultante partielle et par suite « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique en dynamique newtonienne » on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

.

Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un « point origine quelconque A », moment résultant scalaire de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ »[modifier | modifier le wikicode]

Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment résultant, par rapport au point origine , des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec «» est définie selon

 ;

     on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] « la nullité du moment résultant vectoriel des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne par rapport à un point origine quelconque » [11] on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

.

     Démonstration : en associant les termes de la somme par couple ayant pour somme où on a utilisé la 1ère relation du principe des actions réciproques ou encore, par « factorisation vectorielle à droite par » [57] et utilisation de la relation de Chasles [58] sur l’autre facteur «» par la 2ème partie du principe des actions réciproques d'où la nullité de chaque somme de couple et par suite, en faisant la somme sur tous les couples différents possibles .

Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec par rapport à un point origine quelconque [11], soit «» [59] et
     de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe à partir du vecteur moment relativement à un point de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire , on en tire
          la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels avec par rapport à un axe quelconque [11], «» [59] puis
     on en déduit « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne et aussi relativiste par rapport à un axe quelconque » [11] soit

[59].

Généralisation : vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un « point origine quelconque A », moment scalaire résultant de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ »[modifier | modifier le wikicode]

Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Du vecteur moment résultant par rapport au point origine quelconque [11] des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle défini selon avec [60], [36] et [61], [34], on déduit de l'utilisation successive de la 1ère et 2ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel [62], [63] et par suite « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en dynamique newtonienne par rapport à un point origine quelconque » [11] on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

[59].

     Remarques : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant :

     Remarques : Le moment résultant (vectoriel) relativement à un point origine quelconque [11] des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique étant défini selon avec [64], [38] et [65], [36], on déduit de l'utilisation successive de la 1ère et 2ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel [66], [67] et par suite « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique en dynamique newtonienne par rapport à un point origine quelconque » [11] on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

[59].

     Remarques : Le moment résultant (vectoriel) relativement à un point origine quelconque [11] des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique étant défini selon avec [68], [43] et [55], [56], on déduit de l'utilisation successive de la 1ère et 2ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne [48] appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel et en regroupant les termes par couples la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel [69], [70] et par suite « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique en dynamique newtonienne par rapport à un point origine quelconque » [11] on établit de la même façon [48] que la propriété reste applicable en dynamique relativiste soit

[59].

Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un axe Δ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique par rapport à un point origine quelconque [11], soit «» [59] et
     de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe à partir du vecteur moment relativement à un point de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire , on en tire
          la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique par rapport à un axe quelconque [11], «» [59] puis
     on en déduit « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique en dynamique newtonienne et aussi relativiste par rapport à un axe quelconque » [11] soit

[59].

Commentaire sur la nullité de la résultante et du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé de matière[modifier | modifier le wikicode]

     Bien que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à un point origine quelconque [11] également nul, il n’est pas, a priori, équivalent à un système de forces nulles nous verrons dans le paragraphe « conséquences diverses de la définition de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », que la puissance développée par les forces intérieures n’est pas nulle si le système de matière est déformable alors qu'un système de forces nulles ne développe évidemment aucune puissance.

     Remarque : en utilisant la notion