Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique

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Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
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Chapitre no 9
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
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Principe fondamental de la dynamique du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

Le principe fondamental de la dynamique p.f.d. du point matériel ne se limite pas à sa relation fondamentale de la dynamique r.f.d. ou loi de la quantité de mouvement mais
postule qu'il existe un référentiel galiléen où cette dernière s'applique.

Causes de modification de la grandeur cinétique « quantité de mouvement » d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

     Le point matériel subit l'« action du reste de l'Univers » et « c'est sous cette action qu'il peut y avoir modification de son mouvement », mais, en pratique, « seuls quelques systèmes ont une influence non négligeable » ;

     on décrit l'« action du système sur » par le « vecteur force ou plus simplement » appelé « force que exerce sur » ;
     on décrit l'« action du système sur » par ses diverses composantes et sa norme s'expriment en Newton  ;
     on décrit l'« action du système sur » cette force dépend « des natures respectives de et »,
     on décrit l'« action du système sur » cette force dépend « des positions et parfois
     on décrit l'« action du système sur » cette force dépend « des vitesses de et des éléments constitutifs de
     on décrit l'« action du système sur » cette force dépend « des vitesses dans le référentiel d'étude » [1].

     En conclusion, les causes de modification de la grandeur cinétique « quantité de mouvement » d'un point matériel sont
     En conclusion, les causes de modification « les forces notées plus simplement appliquées au point », de norme exprimée en .

     Propriétés : On postule, en « dynamique newtonienne » [2], que « est invariant par changement de référentiel » [3] ;
     Propriétés : une conséquence est que « dépend de la position relative de par rapport aux éléments constitutifs de » [4] et,
        Propriétés : une conséquence est si « dépend des vitesses de et de celles des éléments constitutifs de », il s'agit en fait
        Propriétés : une conséquence est si « dépend de la « vitesse relative de par rapport aux éléments constitutifs de ».

     Propriétés : On admet l'« additivité des vecteurs forces » dans la mesure où « les auteurs de ces derniers sont disjoints » [5] ;
     Propriétés : ainsi pour faire le « bilan des forces agissant sur », on recherche les « différents systèmes disjoints » et
     Propriétés : ainsi « si chaque système , pris isolément, exerce une force sur », on postule que
     Propriétés : ainsi l'« action simultanée de l'ensemble des systèmes est modélisée le vecteur force ».

     Rappel : Parmi les systèmes ayant une action sur , il y a : ceux en contact avec qui exercent des forces de contact et
     Rappel : Parmi les systèmes ayant une action sur , il y a : ceux séparés de par de l'espace qui exercent des forces à distance [6], [7].

Principe fondamental de la dynamique ou « p.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du « p.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

Le principe fondamental de la dynamique ou « p.f.d. » a été énoncé pour la 1ère fois en par Isaac Newton [8],
les anglo-saxons le connaissent sous le nom de 2ème loi de Newton [8], [9].
Début d’un théorème
Fin du théorème

Commentaires sur le « p.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

     Un point matériel modélise un solide dont la position est repérée à l'aide de trois paramètres les coordonnées du point ;
     Un point matériel modélise un solide se confondra avec un point matériel si on peut négliger ses dimensions propres par rapport aux autres dimensions intervenant dans le repérage exemple : la Terre dans son repérage par rapport au système solaire est un point matériel, mais la Terre par rapport à un satellite artificiel ne l'est, bien sûr, pas.

     Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique ou « r.f.d. » peut s'écrire, dans tout référentiel galiléen, selon

«».

Autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la « r.f.d.n. »[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Pour obtenir un lien entre forces appliquées et cinématique du point matériel , il convient de
     Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer le vecteur quantité de mouvement du point à l'instant par son expression
     Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer le vecteur quantité de mouvement en fonction de son inertie c.-à-d. la masse inerte de ce dernier et
     Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer le vecteur quantité de mouvement en fonction de sa vitesse au même instant ,
     Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer expression s'écrivant en cinétique newtonienne «» [11] et
     Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer expression s'écrivant en cinétique relativiste «» [12] avec « le facteur de Lorentz [13] associé »
Préliminaire : Pour obtenir un lien remplacer expression s'écrivant en cinétique relativiste ou «» avec « la masse apparente associée » [12] ;

     Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème en cinétique newtonienne, la masse inerte du point étant constante,
     Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème il n'en est pas de même en cinétique relativiste car la « masse apparente »
     Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème il n'en est pas de même en cinétique relativiste car la « masse apparente ne l'est a priori pas [14]

     En cinétique newtonienne, «» avec « le vecteur accélération du point à l'instant ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Commentaires sur la « r.f.d.n. »[modifier | modifier le wikicode]

     Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique newtonienne ou « r.f.d.n. » peut être écrite, dans tout référentiel galiléen, selon

«».

Nécessité d'utiliser la cinétique en dynamique relativiste, la cinématique rendant la « r.f.d. » inutilisable en pratique à l'exception du cas des mouvements uniformes[modifier | modifier le wikicode]

     En dynamique relativiste si on tente de chercher le lien entre forces appliquées et cinématique du point matériel , « il faut dériver temporellement l'expression du vecteur quantité de mouvement du point à l'instant soit » dans laquelle « est le facteur de Lorentz [13] associé égal à » d'où « » dont le dernier terme « s'écrit » avec « la masse apparente du point à l'instant » et « son vecteur accélération » ; ainsi on obtient
     En dynamique relativiste «» a priori non identiquement nul sauf dans le cas particulier où serait constant c.-à-d. dans le cas d'un mouvement uniforme sur la trajectoire suivie par le point

     Réécriture [15] de la r.f.d. [16] en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées à un point matériel à l'instant
                 Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen la somme des forces est liée à la cinématique de ce dernier par la relation
                 Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen «» dans laquelle
                           Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen « est la masse apparente du point à l'instant » et
                           Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen «
                           Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen « » que l'on peut écrire, en utilisant le repérage de Frenet [17], [18],
                           Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen «» où
                           Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen « « est la vitesse instantanée [19] à l'instant du point sur sa trajectoire » et
                           Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen « « l'accélération tangentielle [20] de ce dernier » ;

                 Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la r.f.d.r. [21] en terme cinématique s'écrirait
                      Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la r.f.d.r. «» [22] en dynamique relativiste
                      Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la r.f.d.r. « le vecteur accélérationest a priori non colinéaire à la sommedes forces appliquées », ceci rendant la cinématique relativiste inintéressante relativement à la cinétique relativiste dans la mesure « la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvementest, quant à elle, colinéaire à la sommedes forces appliquées »

     Réécriture de la r.f.d. [16] en dynamique relativiste dans le cas d'un mouvement uniforme : Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées à un point matériel à l'instant dont le mouvement est uniforme est liée à la cinématique de ce dernier par la relation «», « la masse apparente étant, dans le cas d'un mouvement uniforme, une constante ».

            Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste dans le cas d'un mouvement uniforme : Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique relativiste ou « r.f.d.r. » du point matériel en mouvement uniforme de vitesse et de masse apparente peut être écrite, dans tout référentiel galiléen, selon

«».

Utilisation de la « r.f.d.n. »[modifier | modifier le wikicode]

     Le problème le plus fréquent est la recherche du mouvement du point matériel connaissant les forces s'exerçant sur lui ;

     comme , l'« application de la r.f.d.n. [23] » [24] c.-à-d. une « équation différentielleen général non linéairedu 2ème ordre en ».

     Nous admettrons que « si on se donne la position et la vitesse initiales et », la solution de l'équation différentielle du 2ème ordre en existe et est unique.

Retour sur la recherche de référentiels galiléens[modifier | modifier le wikicode]

     Le p.f.d. [25] postule l'« existence d'un référentiel galiléen où la r.f.d. [16] s'applique » ; il s’agit donc de « trouver le référentiel galiléen pour un problème posé » et en pratique cela dépend du problème ;

     nous avons déjà passé en revue quelques référentiels galiléens dans lesquels le principe de l'inertie peut être appliqué, en sachant que tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un galiléen est lui-même galiléen et la conclusion a été :

  • le meilleur est le « référentiel de Copernic [26] », restant galiléen sur une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité [27], [28],
  • pour une durée d'expérience ne dépassant pas trois jours, le « référentiel géocentrique » est estimé meilleur galiléen [29] car son mouvement de translation circulaire quasi uniforme relativement au référentiel de Copernic [26] peut être assimilé à un mouvement de translation rectiligne uniforme à près [30],
  • pour une durée d'expérience ne dépassant pas , le « référentiel terrestre » est estimé meilleur galiléen [29] car son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique peut être assimilé à un mouvement local de translation rectiligne uniforme à près [31].

Théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes fermés de points matériels,
     Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » et s'appliquant à un système fermé de points matériels est appelée
     Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » la « théorème de la résultante cinétique » car elle est démontrée en appliquant le p.f.d. [25] à chaque point matériel du système et
     Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » la « théorème de la résultante cinétique » car elle est démontrée en utilisant le principe des actions réciproques [32] ;
     Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » [33] de la dynamique des systèmes fermés de points matériels dans laquelle
           Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » et s'appliquant à un système fermé de points matériels
           Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » la « loi est admise, cette dernière devant alors être appelée
           Commentaire préliminaire : toutefois il existe une construction « maximaliste » la « principe fondamental de la dynamique des systèmes fermés de points matériels » [34].

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : l'ensemble de ces commentaires concerne aussi bien la dynamique newtonienne que la dynamique relativiste ;
     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer à un système fermé déformable ou non de points matériels mais
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [35] car,
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert si « la résultante cinétique à l'instant du système ouvert intérieur à notée » est effectivement
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert si « la somme des quantités de mouvement des points matériels qui sont présents dans à cet instant »,
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert la grandeur ne traduit que la variation entre et de la somme des quantités de mouvement des points matériels présents dans à l'instant sans tenir compte des points matériels entrant ou sortant sur l'intervalle  ;
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert « la variation entre et de la résultante cinétique du système ouvert devant être traduite selon »
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert dans laquelle «» d'où
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert «
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert « », les 2ème et 3ème termes définissant les débits de quantités de mouvement entrant et sortant
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à la date est donc
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à la date «» [36]
     Commentaires : il n'est pas applicable à un système ouvert le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à la date et non .

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer à chaque point matériel du système fermé de points matériels la r.f.d. [16] soit «» [37] et
     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne «» ou
     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne «»,

     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 1er terme du 1er membre étant la « résultante dynamique s'exerçant sur le système fermé de points matériels »,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2ème terme du 1er membre, la « résultante des forces intérieures exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance [38] soit »,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2nd membre, la « dérivée temporelle de la résultante cinétique du système fermé de points matériels soit » d'où
     Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen, «» ou
     Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen, «» C.Q.F.D. [39], applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.

En complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer à chaque point matériel du système ouvert de points matériels défini, à l'instant , comme le contenu intérieur de la surface de contrôle ,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer la r.f.d. [16] soit «» [37] et
     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne «» ou
     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne «»,

     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 1er terme du 1er membre étant la « résultante dynamique s'exerçant sur le système ouvert de points matériels défini à l'instant »,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2ème terme du 1er membre, la « résultante des forces intérieures exercées sur tout le système ouvert de points matériels défini à l'instant »,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2ème terme du 1er membre, la « résultante dont on a établi la nullité [40] soit » et
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2nd membre, la « dérivée temporelle de la résultante cinétique du système constitué des points matériels initialement présents à l'instant » soit
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2nd membre, la «» « du taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à l'instant égal à
     Le référentiel d'étude étant galiléen, le 2nd membre, la «» « » [41] et que l'on notera «» d'où
     Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système ouvert de points matériels défini, à l'instant , comme le contenu intérieur de la surface de contrôle , «» ou
     Le référentiel d'étude étant galiléen, pour un système ouvert en « ajoutant dans chaque membre » «».

     En conclusion, dans un référentiel galiléen, « le taux horaire de variation de la résultante cinétique d'un système ouvert défini à l'instant comme le contenu intérieur à [42] c.-à-d. »
     En conclusion, dans un référentiel galiléen, « le taux horaire de variation de la résultante cinétique d'un système ouvert diffère de « la résultante dynamique exercée sur le système ouvert » soit
     En conclusion, dans un référentiel galiléen, «» le théorème de la résultante cinétique est donc inapplicable à un système ouvert en dynamique newtonienne ou relativiste ;

     En conclusion, en réalité, la relation à appliquer doit être «» dans laquelle « et sont respectivement le débit de quantités de mouvement des points matériels entrant et sortant à l'instant », relation applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.

Conséquence sur les systèmes fermés de points matériels « pseudo-isolés » : conservation de leur résultante cinétique[modifier | modifier le wikicode]

     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » c.-à-d. si la résultante dynamique appliquée au système est telle que «»,
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique «» soit,
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » après intégration par rapport au temps , «» c.-à-d.
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » « la conservation de la résultante cinétique du système fermé pseudo-isolé » [43] «» ;
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.

     Remarqueen complément : Dans la mesure où un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur, à l'instant , de la surface de contrôle serait « pseudo isolé » [44], quelle conclusion sur la cinétique du système pourrait-on en tirer dans un référentiel galiléen dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste ?

     Remarqueen complément : Si un tel système « pseudo isolé ouvert » existait [44] nous en déduirions que le « taux horaire de variation de sa résultante cinétique c.-à-d. suit la relation
          Remarqueen complément : Su un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que le «» [45] c.-à-d.
          Remarqueen complément : Si un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que la seule cause de variation de résultante cinétique du système ouvert pseudo-isolé [44] serait l'apport et le retrait de quantités de mouvement des points matériels entrant dans le système ouvert et en sortant et
          Remarqueen complément : Si un tel système « pseudo isolé ouvert » existait nous en déduirions que la résultante cinétique du système ouvert pseudo-isolé [44] resterait constante si les débits de quantités de mouvement des points matériels entrant et sortant à l'instant étaient identiquement les mêmes mais on rappelle qu'en pratique un système pseudo-isolé ne peut qu'être fermé [44] !

Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » [33] de la dynamique des systèmes fermés de points matériels,
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » applicable, dans le cadre de la dynamique newtonienne,
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant » applicable, à un système fermé de points matériels est appelée
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « théorème du mouvement du centre d'inertie » car elle est démontrée à partir
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée du « théorème de la résultante cinétique » avec une construction « minimaliste »[46] ou
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée du « principe fondamental de la dynamique des systèmes fermés de points matériels » [34]
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée du « principe fondamental de la dynamiqueavec une construction « maximaliste » [33][47] mais,
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » la « loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant »
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » « la loi énoncée étant une conséquence démontrée d'un théorème avec une construction « minimaliste »[46] ou
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » « la loi énoncée étant une conséquence démontrée d'un principe avec une construction « maximaliste » [33][47],
           Commentaire préliminaire : avec une construction « minimaliste » ou « maximaliste » « la loi énoncée étant une conséquence démontrée c'est effectivement un théorème.

Énoncé du théorème (dynamique newtonienne)[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermé déformable ou non de points matériels
     Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [35] car,
     Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert le théorème de la résultante cinétique à partir duquel il pourrait être démontré «»
     Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert le théorème de la résultante cinétique ne s'applique pas à un système ouvert

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , du théorème de la résultante cinétique au système fermé de points matériels soumis, à l'instant , à la résultante dynamique soit
     Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , «» dans lequel « est la résultante cinétique du système au même instant » et
     Cela découle de la propriété liant, en cinétique newtonienne, « la résultante cinétique , la masse inerte et le vecteur vitesse du C.D.I. [48] du système » c.-à-d.
     Cela découle de la propriété liant, en cinétique newtonienne, «» [49] dont on déduit, en dérivant par rapport au temps ,
     Cela découle de la propriété liant, en cinétique newtonienne, «» la masse de tout système fermé étant constante, soit,
     Cela découle par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, «» C.Q.F.D. [39].

En complément, inapplicabilité du théorème du mouvement du centre d'inertie à un système fermé de points matériels dans le cadre de la dynamique relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer au système fermé de points matériels soumis, à l'instant , à la résultante dynamique ,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer le théorème de la résultante cinétique «» [50] avec « la résultante cinétique du système au même instant », mais

     Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «» dans lequel
     Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, « est le facteur de Lorentz [13] du point matériel »,
     Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, la résultante cinétique du système fermé est, en général, telle que
     Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «» [51], le C.D.I. [48] du système, ayant pour
     Le référentiel d'étude étant galiléen, nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, «  ;

     Le référentiel d'étude étant galiléen, en 1ère conséquence, une C.N. [52] mais ce ne sera pas une C.S. [53] pour envisager l'applicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. [48] d'un système fermé de points matériels en dynamique relativiste est que le système soit en translation «» avec «» [51] mais,
                Le référentiel d'étude étant galiléen, en 1ère conséquence, une C.N. mais ce ne sera pas une C.S. si la masse apparente à l'instant dépend effectivement de ce qui est le cas si la translation n'est pas uniforme, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système en translation s'écrivant selon «» est telle que «» [54] d'où l'inapplicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. [48], dans le cadre de la dynamique relativiste, aux systèmes fermés de points matériels en translation non uniforme [54] ;

     Le référentiel d'étude étant galiléen, en 2ème conséquence, si le système fermé de points matériels est en translation uniforme, la masse apparente du système à l'instant étant une constante égale à « », on en déduit «» d'où l'applicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. [48], dans le cadre de la dynamique relativiste, aux systèmes fermés de points matériels en translation uniforme sous la forme «» dans laquelle «» est la masse apparente constante du système en translation uniforme.

     En conclusion, le théorème du mouvement du C.D.I. [48] d'un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen est inapplicable en dynamique relativiste à l'exception du
     En conclusion, cas très particulier où le système fermé est en translation uniforme, l'application du théorème nécessite alors de remplacer la masse du système par sa masse apparente dans le mouvement de translation uniforme à la vitesse constante .

Conséquence sur les systèmes fermés de points matériels « pseudo-isolés » dans le cadre de la dynamique newtonienne : mouvement rectiligne uniforme de leur C.D.I.[modifier | modifier le wikicode]

     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » c.-à-d. si la résultante dynamique appliquée au système est telle que «»,
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » l'application du théorème du mouvement du C.D.I. [48] au système fermé dans un référentiel galiléen «»
           Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au système fermé dans un référentiel galiléen ou «» soit,
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » après intégration par rapport au temps , «» c.-à-d.
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » « la conservation du vecteur vitesse du C.D.I. [48] du système fermé pseudo-isolé » [43] «» ;
     Si le système fermé de points matériels est « pseudo isolé » cette conclusion n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.

     Remarqueen complément : Le théorème du mouvement du C.D.I. [48] n'étant pas applicable à un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur, à l'instant , de la surface de contrôle [55], il est inutile d'envisager son hypothétique cas particulier « pseudo isolé » [44] dans le cadre d'application du théorème à savoir, dans un référentiel galiléen en dynamique newtonienne.

     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, nous avons établi «» [56] mais
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, « étant a priori » [51] avec
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, « facteur de Lorentz [13] de » [57],
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, on ne peut donc rien déduire sur le mouvement de sauf

     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est en translation car
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, «» devenant applicable [51],
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de «» [56] on en déduit
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de « garde une direction constante » c.-à-d.
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de « le mouvement de est rectiligne » et
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de «» qui se réécrit
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de «» dont on déduit aisément
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de «» c.-à-d.
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de un « caractère uniforme du mouvement de » d'où
     Remarqueen complément : Si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels est étudié en dynamique relativiste, de finalement « le mouvement de est rectiligne uniforme » ;

     Remarqueen complément : en conclusion, si le système fermé « pseudo isolé » de points matériels, étudié dans le cadre de la dynamique relativiste, est en translation dans un référentiel galiléen, le mouvement de son C.D.I. [48] est rectiligne uniforme correspondant à «».

Plan d'étude pour déterminer les équations du mouvement d'un point matériel ou celles du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Nous restreignons l'étude en restant dans le cadre de la dynamique newtonienne [58],
    Nous restreignons l'étude en restant dans le cadre seule dynamique où le théorème du mouvement du C.D.I. [48] d'un système fermé de points matériels est applicable sans aucune restriction

     Le plan d'étude proposé est le suivant :

  • Préciser nettement le point matériel ou le système fermé de points matériels étudié ainsi que le référentiel d'étude en vérifiant son caractère galiléen [59], [60],
  • faire ensuite avec schéma à l'appui le bilan des forces appliquées au point matériel ou le bilan des forces extérieures [61] appliquées au système fermé de points matériels,
  • choisir le système de repérage [62] du point matériel ou du C.D.I. [48] du système fermé de points matériels en précisant les vecteurs de base sur le schéma précédent,
  • projeter la r.f.d.n. [23] ou le théorème du mouvement du C.D.I. [48] sur les trois vecteurs de base en explicitant les composantes du vecteur accélération dans le repérage choisi, on obtient alors un système de trois équations différentielles du 2ème ordre couplées ou non du mouvement du point ou du C.D.I. [48] du système de points matériels,
  • intégrer ces équations [63], [64] et utiliser les C.I. [65] pour obtenir les équations uniques du mouvement du point matériel ou du C.D.I. [48] du système de points matériels.

En complément : quelques expériences mettant en défaut le caractère galiléen des référentiels géocentrique ou terrestre[modifier | modifier le wikicode]

Les expériences envisagées sont traitées dans le cadre exclusif de la dynamique newtonienne,
les vitesses des objets considérés sont donc ,
le temps est considéré « absolu » et l'espace dans lequel ils se déplacent « euclidien » [66]

Préliminaire : nécessité d'introduire des « pseudo forces d'inertie » pour obtenir, en dynamique newtonienne du point matériel (ou d'un système fermé de points matériels), une relation fondamentale de la dynamique (ou un théorème du mouvement du centre d'inertie) en référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : On parle de « pseudo forces d'inertie » et non de « forces d'inertie » car une force doit exister dans tous les référentiels et par construction les « pseudo forces d'inertie » ne sont introduites que dans les référentiels non galiléens [67].

     Considérons un référentiel « quasi galiléen » sur la durée [68], l'entraînement de relativement à un référentiel galiléen pouvant être assimilé, pendant cette durée, à une translation rectiligne uniforme [69], et qui devient
     Considérons un référentiel « non galiléen » sur toute durée excédant [68] et ceci uniquement dans l'un des deux cas ci-dessous [70]

  • un entraînement de translation curviligne uniforme de relativement à correspondant au cas du référentiel géocentrique relativement au référentiel galiléen de Copernic [26] avec une translation quasi circulaire uniforme et
  • un entraînement de rotation uniforme de autour d'un axe fixe dans correspondant au cas du référentiel terrestre relativement au référentiel quasi galiléen géocentrique quasi galiléen dans la mesure où la durée d'expérience ne dépasse pas trois jours [68].

Cas où le référentiel d'entraînement est en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Soit le référentiel en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen et
     Soit un point matériel soumis, dans l'un ou l'autre des référentiels, aux forces [71],
     appliquant la r.f.d.n. [23] à dans le référentiel galiléen seul référentiel où la r.f.d.n. [23] est valide, nous en déduisons
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen «» où « est le vecteur accélération du point dans le référentiel galiléen » ;

            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or nous avons établi, en complément, la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas d'un entraînement de translation [72] soit
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or nous avons établi, en complément, «» où est un point lié à [73], loi s'écrivant encore
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or nous avons établi, en complément, «» [74] ;

     le report de la relation dans la relation donnant «» et
     le report de la relation dans la relation souhaitant, pour obtenir une forme de r.f.d.n. [23] applicable dans un référentiel non galiléen, ne conserver que dans le membre de droite,
     le report de la relation dans la relation on bascule donc l'autre terme «» dans le membre de gauche en le changeant bien sûr de signe d'où
     le report de la relation dans la relation donnant «»,
     le report de la relation dans la relation donnant «», homogène à une force, étant appelée « pseudo force d'inertie d'entraînement » et notée «», d'où
     le report de la relation dans la relation la r.f.d.n. [23] en référentiel non galiléen par entraînement de translation «».

Cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Soit le référentiel en rotation uniforme autour de l'axe fixe du référentiel galiléen avec le « vecteur rotation instantanée » et
     Soit un point matériel soumis, dans l'un ou l'autre des référentiels, aux forces [71],
     appliquant la r.f.d.n. [23] à dans le référentiel galiléen seul référentiel où la r.f.d.n. [23] est valide, on en déduit
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen «» où « est le vecteur accélération du point dans le référentiel galiléen » ;

            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas d'un entraînement de rotation uniforme [75]
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, «» avec
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, « le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant »
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, « dans lequel « est le projeté de sur » et
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, « le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis » [76]
            appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel galiléen or on a établi, en complément, « au même instant du point  ;

     le report de la relation dans la relation donnant «» et
     le report de la relation dans la relation souhaitant, pour obtenir une forme de r.f.d.n. [23] applicable dans un référentiel non galiléen, ne conserver que dans le membre de droite,
     le report de la relation dans la relation on bascule donc la somme des deux autres termes «» dans le membre de gauche en la changeant bien sûr de signe d'où
     le report de la relation dans la relation donnant «» ou encore,
     le report de la relation dans la relation donnant «»,
     le report de la relation dans la relation donnant «», homogène à une force, étant appelée « pseudo force d'inertie d'entraînement » notée «»,
     le report de la relation dans la relation donnant «», homogène à une force, étant appelée « pseudo force d'inertie de Coriolis [76] » notée «»,
le report de la relation dans la relation d'où la r.f.d.n. [23] en référentiel non galiléen par entraînement de rotation uniforme «».

Mouvement d'une sonde dans le Système solaire[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement d'une sonde localisée dans le Système solaire étant de durée évidemment très inférieure à l'échelle de temps de l'Humanité [77] durée maximale sur laquelle le référentiel de Copernic [26] est estimé galiléen [78] on en déduit que le meilleur référentiel galiléen [79] pour toute sonde se déplaçant exclusivement dans le Système solaire est le « référentiel de Copernic [26] ».

Mouvement d'un satellite autour de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement d'un satellite autour de la Terre sur une durée durée maximale sur laquelle le référentiel géocentrique est estimé galiléen [80] pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel géocentrique, on en déduit que le meilleur référentiel galiléen [79] pour tout satellite autour de la Terre sur une durée maximale de 3 jours [81] est le « référentiel géocentrique ».

     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le satellite n'est soumis, en 1ère approximation, qu'à la force de gravitation terrestre et
     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le satellite décrit une « ellipse dont le centre de la Terre est l'un des foyers » [82], [83] mais

     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart grandissant avec la durée d’observation,
     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart dû principalement à l'« attraction gravitationnelle lunaire » et
     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart dû dans une moindre mesure à l'« attraction gravitationnelle solaire »
     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart dû mais aussi au caractère « non galiléen » du référentiel géocentrique [84] ;

     Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, on démontre que la correction, tenant compte de toutes ces influences, peut se déduire de l'application de la r.f.d.n. [23] dans le référentiel géocentrique considéré comme quasi galiléen à condition d'ajouter, à la force de gravitation terrestre, une pseudo force dite « des marées » [85]

Mouvement d'une chute libre sans vitesse initiale relativement à la Terre[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement de chute libre [86], [87] d'un corps sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme
                  Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale se faisant sur une durée évidemment très durée maximale sur laquelle le référentiel terrestre est estimé galiléen [88]
                  Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel terrestre, on en déduit que
                  Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale le meilleur référentiel galiléen [79] pour tout corps en chute libre sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme [89]
                        Le mouvement de chute libre d'un corps sans vitesse initiale le meilleur référentiel galiléen pour tout corps en chute libre sans vitesse initiale est le « référentiel terrestre ».

     Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre n'est soumis, en 1ère approximation, qu'à son poids [86] et
     Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre décrit une chute « verticale » [90] d'un mouvement uniformément accéléré d'« accélération indépendante de l'objet chutant » [91],
           Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre décrit une chute « verticale » d'un mouvement uniformément accéléré ceci avec une bonne précision mais

     Dans le référentiel terrestre si on souhaite une très bonne précision on observe une très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale si l'expérience est réalisée dans l'hémisphère Nord
     Dans le référentiel terrestre si on souhaite une très bonne précision on observe une historiquement, l'expérience a été réalisée par Reich [92] en à Freiburg dans un puits de mine de profondeur à la « latitude  » avec observation d'une déviation de soit un écart de  ;

     Dans le référentiel terrestre pour justifier cette très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale, on tient compte du caractère non galiléen du référentiel terrestre
     Dans le référentiel terrestre pour justifier en ajoutant la « pseudo force d'inertie de Coriolis [76] » [93]
     Dans le référentiel terrestre pour justifier en ajoutant au poids du corps en chute libre [86] dans le champ de pesanteur terrestre uniforme puis
     Dans le référentiel terrestre pour justifier en appliquant la r.f.d.n. [23] au corps dans le référentiel terrestre considéré non galiléen soit
           Dans le référentiel terrestre pour justifier en appliquant la r.f.d.n. » d'où
       Dans le référentiel terrestre pour justifier une très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale de en chute libre [86] sans vitesse initiale dans l'hémisphère Nord voir, en complément, un exemple de résolution avec la méthode des perturbations dans la note « [94] » ;

     Dans le référentiel terrestre on peut également démontrer l'existence d'une déviation vers l'Est de la chute d'un objet sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme sans travailler dans le référentiel terrestre supposé théoriquement non galiléen mais en revenant au référentiel géocentrique supposé galiléen en effet :

     Dans le référentiel terrestre un objet en chute libre [86] sans vitesse initiale relativement à la Terre et
     Dans le référentiel terrestre un objet positionné initialement à la distance du centre de la Terre c.-à-d. à la surface de celle-ci à la « latitude »
     Dans le référentiel terrestre un objet possède initialement, dans le référentiel géocentrique,
     Dans le référentiel terrestre un objet possède initialement, la vitesse «» avec « le 1er vecteur de base cartésienne du repère associé au référentiel géocentrique, vecteur horizontal dirigé vers l'Est » les deux autres vecteurs de base étant horizontal dirigé vers le Sud et vertical descendant [95],
     Dans le référentiel terrestre un objet possède initialement, la vitesse «» avec « la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même » et
     Dans le référentiel terrestre un objet possède initialement, la vitesse «» avec « le rayon du parallèle passant par le lieu de lancement », lieu de lancement choisi comme origine du repère associé au référentiel géocentrique ;

     Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, l'objet n'étant soumis, qu'à son seul poids [96],
     Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, l'application de la r.f.d.n. [23] à [97] nous fournit son vecteur accélération dans le référentiel géocentrique soit
                Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, l'application de la r.f.d.n. à nous fournit son vecteur accélération «» et par suite,

     Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. [65] son vecteur vitesse dans le référentiel géocentrique soit
           Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur vitesse «» puis

           Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur position «
           Dans le référentiel terrestre dans le référentiel géocentrique galiléen, en intégrant avec utilisation des C.I. son vecteur position « » ;

     Dans le référentiel terrestre on constate que « l'objet ponctuel possède, à l'instant , une “ composante de vitesse horizontale dirigée vers l'Est
     Dans le référentiel terrestre on constate que « l'objet ponctuel possède, à l'instant , par rapport à l'axe vertical de lancement du repère lié au référentiel géocentrique » alors que

     Dans le référentiel terrestre on constate que « le point lié à la Terre situé à la même profondeur que
     Dans le référentiel terrestre on constate que « le point lié à la Terre a, au même instant , une “ vitesse horizontale dirigée vers l'Est [98]
     Dans le référentiel terrestre on constate que « le point lié à la Terre a, au même instant , par rapport au même axe vertical de lancement du repère lié au référentiel géocentrique »,

     Dans le référentiel terrestre on en déduit que « la composante horizontale dirigée vers l'Est de la vitesse de à l'instant étant plus grande que la vitesse horizontale dirigée vers l'Est du point lié à la Terre situé à la même profondeur que au même instant » c.-à-d. «» et
     Dans le référentiel terrestre on en déduit que « la composante horizontale dirigée vers l'Est de la vitesse dans le référentiel terrestre de à l'instant , c.-à-d. » se déterminant, par utilisation de la loi de composition des vitesses sur l'axe le référentiel géocentrique étant le référentiel absolu [99] et le référentiel terrestre le référentiel d'entraînement [99], l'entraînement étant considéré comme une translation selon «» [100] d'où
     Dans le référentiel terrestre on en déduit que «» c.-à-d.
     Dans le référentiel terrestre on en déduit que une déviation vers l'Est effective dans le référentiel terrestre
     Dans le référentiel terrestre on en déduit que une déviation vers l'Est de la chute d'un objet sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme.

Mouvement d'oscillations d'un pendule pesant écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant [101], [102] écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme
                     Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant sur une durée durée maximale sur laquelle le référentiel terrestre est estimé galiléen [88]
                     Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel terrestre, on en déduit que
                     Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant le meilleur référentiel galiléen [79] pour toutes oscillations de durée inférieure à quinze minutes d'un pendule pesant [101] écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme est le « référentiel terrestre ».

     Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant [101] que nous considérerons « simple » [101] pour se limiter à l'utilisation de la r.f.d.n. [23]
            Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel est soumis à deux forces « son poids » et
            Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel est soumis à deux forces « la tension de la tige rigide sans masse »
            Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel est soumis à deux forces étant le point fixe relié à la tige,
            Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel est soumis à ces deux forces étant, à l'instant dans le plan vertical
            Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant est tel que l'objet massique ponctuel est soumis à passant par et contenant la tige rigide ;

     Dans le référentiel terrestre appliquant la r.f.d.n. [23] à à l'instant , on détermine le vecteur accélération de au même instant «»,
           Dans le référentiel terrestre appliquant la r.f.d.n. à à l'instant , on détermine le vecteur accélération contenu dans le plan vertical passant par et contenant la tige rigide ;
     Dans le référentiel terrestre on démontre au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence de composante d'accélération au plan vertical ainsi que
     Dans le référentiel terrestre on démontre au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence de vitesse initiale donc l'absence de composante de vitesse initiale au plan vertical
     Dans le référentiel terrestre on démontre au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence entraîne la nature plane du mouvement de dans le plan vertical
     Dans le référentiel terrestre on démontre au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence entraîne passant par et contenant la tige rigide dans sa position initiale,
     Dans le référentiel terrestre on démontre au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que l'absence entraîne plan que nous appellerons « plan de lancement » [103] ;

     Dans le référentiel terrestre on établit au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que suit des oscillations circulaires de centre dans le « plan de lancement » [104], [105],
      Dans le référentiel terrestre on établit au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que le mouvement restant plan tant que la durée des oscillations ne dépasse pas mais

     Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » [106] le référentiel terrestre n'étant plus quasi galiléen sur cette durée,
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » on observe alors que la nature plane des oscillations est mise en défaut, plus précisément
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » le mouvement s'effectuant dans le « plan de lancement » sur une durée , au-delà de cette durée,
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » admettant que les oscillations du pendule pesant [101] restent planes dans un plan vertical d'oscillations,
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » admettant que ce dernier n'est plus le « plan de lancement » mais
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » admettant que ce dernier un plan vertical résultant d'une lente rotation par rapport au « plan de lancement »
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » admettant que ce dernier un plan vertical résultant d'une lente rotation dans le sens rétrograde [107] dans l'hémisphère Nord [108]
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » admettant que historiquement le pendule de Foucault [109], modélisable en pendule pesant simple [101], installé au Panthéon de Paris avait une longueur de , une masse de correspondant à une boule de de rayon, une élongation angulaire le déplacement horizontal allant de la position verticale d'équilibre stable à une des deux positions extrêmes était alors de , il battait avec une période de et le « plan d'oscillations » avait une période de rotation de le pendule pouvait osciller pendant une fois lancé et son plan d'oscillations déviait de par heure,

            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » l'explication de la lente rotation du plan d'oscillations nécessite
            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » l'explication de considérer le « référentiel géocentrique » comme « meilleur galiléen » dans ce cas le plan d'oscillations est quasi fixe dans le référentiel géocentrique [110], mais le référentiel terrestre tournant de l'Ouest vers l'Est relativement au référentiel géocentrique, on en déduit que le plan d'oscillations tourne de l'Est vers l'Ouest relativement au référentiel terrestre [111] ou

            Dans le référentiel terrestre Si « la durée dépasse » l'explication de maintenir l'étude dans le « référentiel terrestre » en considérant son caractère « non galiléen » dans ce cas c'est donc la « pseudo force d'inertie de Coriolis » [76] qui explique la très lente rotation du plan d'oscillations [112].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. La force peut dépendre aussi « explicitement du temps », mais ceci étant très rare, nous supposerons par la suite sauf exception que cela n'est pas le cas.
  2. Mais cela reste valable en « dynamique relativiste ».
  3. C.-à-d. que les vecteurs forces sont indépendants du référentiel.
  4. Et non des positions absolues de et de celles des éléments constitutifs de .
  5. C.-à-d. sans parties communes.
  6. Encore appelées forces de champ.
  7. Dans le cadre de la dynamique newtonienne, nous négligeons la durée de propagation entre la source du champ et le point matériel , ce qui revient à considérer un établissement instantané de la force de champ en accord avec  ;
       en dynamique relativiste, si , il pourrait y avoir un retard entre l'instant d'application de la force de champ sur le point par rapport à celui de création de la force de champ à la source, mais ceci ne se manifeste pas si la source crée un champ stationnaire d'une part et si la distance entre la source et le point ne varie pas rapidement d'autre part.
  8. 8,0 et 8,1 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  9. En fait c'est plus précisément la relation fondamentale de la dynamique ou « r.f.d. » incluse dans le « p.f.d. » qui est appelée 2ème loi de Newton.
  10. C'est donc cette relation fondamentale de la dynamique qui constitue, pour les anglo-saxons, la 2ème loi de Newton.
  11. Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  12. 12,0 et 12,1 Voir le paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  13. 13,0 13,1 13,2 et 13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  14. En fait la masse apparente n'est constante que si le facteur de Lorentz l'est, ce qui n'est réalisé que pour un mouvement à norme de vecteur vitesse constante c.-à-d. un mouvement uniforme à trajectoire quelconque.
  15. Inutilisable pratiquement.
  16. 16,0 16,1 16,2 16,3 et 16,4 Relation Fondamentale de la Dynamique.
  17. Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  18. Voir le paragraphe « compléments : composantes locales de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  19. Voir le paragraphe « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  20. Voir le paragraphe «  composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  21. Relation Fondamentale de la Dynamique Relativiste.
  22. En effet le terme à ajouter à s'écrit d'où l'expression utilisant
  23. 23,00 23,01 23,02 23,03 23,04 23,05 23,06 23,07 23,08 23,09 23,10 23,11 23,12 23,13 et 23,14 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  24. On rappelle que peut être indépendante de ou en dépendre ou encore dépendre de ou même dépendre explicitement de
  25. 25,0 et 25,1 Principe Fondamental de la Dynamique.
  26. 26,0 26,1 26,2 26,3 et 26,4 Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire.
  27. Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à .
  28. Voir le paragraphe « Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  29. 29,0 et 29,1 Le meilleur galiléen est le galiléen pour lequel le mouvement du point étudié est le plus simple, par exemple le mouvement d'un satellite terrestre est plus simple à décrire dans le référentiel géocentrique que dans le référentiel de Copernic ou encore le mouvement d'un homme se déplaçant sur Terre est plus simple à décrire dans le référentiel terrestre que dans le référentiel géocentrique.
  30. Voir le paragraphe « caractère quasi-galiléen du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  31. Voir le paragraphe « caractère quasi-galiléen du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  32. Voir le paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  33. 33,0 33,1 33,2 et 33,3 Qualification personnelle choisie par rapport à l'autre construction qualifiée usuellement de « minimaliste ».
  34. 34,0 et 34,1 En fait le programme de physique de P.C.S.I. parle simplement de « loi de la quantité de mouvement » pour un système fermé de points matériels utilisant le fait qu'une loi peut être indifféremment un principe ou un théorème, ce choix laissant libre de faire une construction « minimaliste » ou « maximaliste » ce libre cours étant accentué par le fait que les concepteurs du programme ont auparavant nommé « quantité de mouvement » ce qui est usuellement appelé « résultante cinétique » dans les deux constructions mais
       en ce qui concerne les systèmes fermés isolés, ayant choisi une construction « minimaliste » voir commentaires préliminaires des paragraphes « théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne) » et « théorème de l'inertie (en dynamique relativiste) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » je poursuis en choisissant une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes fermés de points matériels
  35. 35,0 et 35,1 Notation maintenue pour la surface de contrôle, à ne pas confondre avec les systèmes extérieurs exerçant une action sur le système ouvert de points matériels
  36. Voir le paragraphe « en complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels » plus bas dans ce chapitre.
  37. 37,0 et 37,1 S'il y a plusieurs systèmes extérieurs ayant une action sur , la somme des forces modélisant toutes ces actions extérieures est notée pour simplifier.
  38. Voir le paragraphe « 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », applicable indifféremment en dynamique newtonienne ou relativiste.
  39. 39,0 et 39,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  40. Voir le paragraphe « 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé (remarque concernant les systèmes ouverts) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », applicable indifféremment en dynamique newtonienne ou relativiste.
  41. Voir le 2ème commentaire du paragraphe « énoncé du théorème de la résultante cinétique » plus haut dans le chapitre.
  42. C.-à-d. la surface de contrôle.
  43. 43,0 et 43,1 C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système fermé de points matériels isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système fermé de points matériels pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème de la résultante cinétique même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques.
  44. 44,0 44,1 44,2 44,3 44,4 et 44,5 Nous envisageons ce cas bien que nous ayons vu dans la remarque du paragraphe « définition d'un système (fermé) de points matériels pseudo-isolé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » qu'un système pseudo-isolé ne pouvait, en pratique, qu'être fermé
  45. Voir le paragraphe « en complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels (2ème conclusion) » plus haut dans ce chapitre.
  46. 46,0 et 46,1 Qui est le choix adopté.
  47. 47,0 et 47,1 Qui n'est pas le choix adopté mais qui aurait pu l'être.
  48. 48,00 48,01 48,02 48,03 48,04 48,05 48,06 48,07 48,08 48,09 48,10 48,11 48,12 48,13 48,14 et 48,15 Centre D'Inertie.
  49. Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  50. Valable en dynamique newtonienne ou relativiste.
  51. 51,0 51,1 51,2 et 51,3 Voir le paragraphe « théorème de l'inertie (en dynamique relativiste), conséquence » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans lequel on établit qu'« il est nécessaire que le système fermé de points matériels soit en translation pour pouvoir écrire » ou, avec la masse apparente du système en translation à l'instant « », la réécriture de la résultante cinétique selon «», la masse apparente à l'instant dépendant effectivement de dans la mesure où en dépend le seul cas où la masse apparente à l'instant est une constante correspondant à une translation uniforme mais
       si le système fermé de points matériels n'est pas en translation «».
  52. Condition Nécessaire.
  53. Condition Suffisante.
  54. 54,0 et 54,1 Le seul cas où est celui où le système fermé est en translation uniforme.
  55. Voir le 2ème commentaire du paragraphe « énoncé du théorème (dynamique newtonienne) » plus haut dans ce chapitre.
  56. 56,0 et 56,1 Voir « conséquence sur les systèmes fermés de points matériels pseudo-isolé : conservation de leur résultante cinétique » plus haut dans ce chapitre.
  57. étant le C.D.I. centre d'inertie du système.
  58. Ce qui est d'ailleurs, pour cette question, le cadre du programme de physique de P.C.S.I.
  59. Dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I., le référentiel d'étude doit être galiléen car la dynamique newtonienne dans un référentiel non galiléen n'y est pas au programme.
  60. À ce stade il n'est pas encore nécessaire de préciser le repère associé au référentiel choisi.
  61. Tant qu'on se limite au théorème de la résultante cinétique ou du mouvement du C.D.I. il est inutile d’introduire les forces intérieures puisqu'elles se compensent.
  62. Le repérage va en général de soi, pour un point ou un système de points glissant sur un plan, choix du repérage cartésien dont un vecteur de base cartésienne est au plan, les deux autres vecteurs de base étant choisis dans le plan avec, si le mouvement supposé est rectiligne, un vecteur suivant cette direction,
       Le repérage va en général de soi, pour un point ou un système de points glissant sur un cylindre ou tel que le mouvement supposé soit circulaire, choix du repérage cylindro-polaire d'axe confondu avec l'axe du cylindre ou avec l'axe du cercle trajectoire supposée du point ou du C.D.I.,
       Le repérage va en général de soi, pour un point ou un système de points glissant sur un sphère, le choix du repérage sphérique serait malvenu car l'accélération en coordonnées sphériques est compliquée et n'est pas à retenir on se ramène donc au repérage le plus proche c.-à-d. le repérage cylindro-polaire
       Le repérage va en général de soi, on peut encore, quand on connaît la trajectoire, préférer le repérage de Frenet mais ce repérage est hors programme de physique de P.C.S.I.
  63. Si le système d'équations est un système d'équations couplées, il faut commencer par découpler les équations
  64. Quand cela est possible car certaines équations découplées n'ont pas de solutions analytiques mais uniquement des solutions numériques approchées nécessitant d’injecter les valeurs numériques et les contions initiales C.I.
  65. 65,0 et 65,1 Conditions Initiales.
  66. On n'envisage donc pas la courbure de l'espace-temps au voisinage d'objets très massiques
  67. En fait il serait maladroit de dire que les « pseudo forces d'inertie » n'existent que dans les référentiels non galiléens, car le traitement de la dynamique pouvant se faire exclusivement dans des référentiels galiléens même si, dans certains cas, ce serait nettement plus compliqué sans jamais introduire cette notion de « pseudo forces d'inertie », il serait plus correct de parler de « pseudo existence »
  68. 68,0 68,1 et 68,2 Si le référentiel est géocentrique la durée maximale pendant laquelle le référentiel est « quasi galiléen » est approximativement , voir le paragraphe « caractère quasi galiléen du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       Si le référentiel est terrestre la durée maximale pendant laquelle le référentiel est « quasi galiléen » est approximativement , voir le paragraphe « caractère quasi galiléen du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  69. Voir le paragraphe « propriété liant deux référentiels galiléens » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  70. Ce ne sont pas les seuls entraînements possibles donnant un caractère non galiléen à un référentiel mais ce sont ceux qui interviennent le plus souvent.
  71. 71,0 et 71,1 Les forces étant invariantes dans tout changement de référentiels, les actions exercées par sont modélisées par les mêmes forces dans ou .
  72. Voir le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  73. En général l'origine du repère cartésien associé à .
  74. Le référentiel étant en translation relativement à , tous les points liés à ont même vecteur accélération au même instant d'où la notation de ce vecteur accélération commun .
  75. Voir le paragraphe « cas particulier très fréquent d'un entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  76. 76,0 76,1 76,2 et 76,3 Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la « pseudo force dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
  77. Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à .
  78. Voir le paragraphe « meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  79. 79,0 79,1 79,2 et 79,3 C.-à-d. le référentiel galiléen par rapport auquel le mouvement de l'objet est décrit le plus simplement possible.
  80. Voir le paragraphe « caractère quasi galiléen du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  81. Au-delà de trois jours on peut choisir le référentiel de Copernic comme référentiel d'étude galiléen ou tenir compte du caractère « non galiléen » du référentiel géocentrique en corrigeant la résultante dynamique par ajout de pseudo forces d'inertie d'entraînement notion introduite en complément dans le paragraphe « cas où le référentiel d'entraînement est en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen » plus haut dans ce chapitre mais ces notions ne sont pas au programme de physique de P.C.S.I..
  82. Voir les paragraphes « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif dans le cas d'une force newtonienne attractive » et « 1ère loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l'attraction gravitationnelle de cette dernière » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  83. Voir la « définition bifocale d'une ellipse » dans un paragraphe du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  84. Pour traduire ce caractère « non galiléen » on ajoute au bilan des vraies forces
       Pour traduire ce caractère « non galiléen » on ajoute une « pseudo force d'inertie d'entraînement » voir la note « 81 » plus haut dans ce chapitre tenant compte de l'écart entre le mouvement de translation rectiligne uniforme supposé et celui de translation circulaire uniforme réel en fait, dans le référentiel de Copernic, le centre de la Terre décrit une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des foyers mais en 1ère approximation l'ellipse peut être confondue avec un cercle du référentiel géocentrique relativement au référentiel galiléen de Copernic.
  85. Cette pseudo force hors programme de physique de P.C.S.I. est donc la somme de la force de gravitation lunaire, de la force de gravitation solaire et de la pseudo force d'inertie d'entraînement tenant compte du caractère non galiléen du référentiel géocentrique notion introduite en complément dans le paragraphe « cas où le référentiel d'entraînement est en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen » plus haut dans ce chapitre ;
       en fait, parmi les deux attractions gravitationnelles, la plus importante est celle de la Lune, ce qui nous amène à introduire une 1ère pseudo force « des marées » lunaires sans tenir compte de l'attraction solaire, cette pseudo force « des marées lunaires » est
    • centrifuge relativement au centre de la Terre quand le satellite est aligné avec les centres de la Terre et de la Lune
    • et centripète relativement au centre de la Terre quand le satellite est en quadrature avec les centres de la Terre et de la Lune,
       ainsi à chaque fois que le satellite est aligné avec les centres de la Terre et de la Lune ce qui arrive deux fois par tour sur la trajectoire géocentrique du satellite il subit un léger éloignement du centre de la Terre alors qu'à chaque fois qu'il est en quadrature avec les centres de la Terre et de la Lune ce qui arrive deux fois par tour sur la trajectoire géocentrique du satellite il subit un léger rapprochement du centre de la Terre cette pseudo force est dite « des marées » car c'est elle qui explique, en association avec la rotation de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique, le phénomène des marées océaniques, en effet à chaque fois que la masse d'eau voit la Lune au-dessus d'elle ou aux antipodes donc au-dessous de la Terre elle s'éloigne légèrement du centre de la Terre d'où marées hautes alors qu'à chaque fois qu'elle voit la Lune en quasi quadrature avec le centre de la Terre elle s'approche légèrement du centre de celle-ci d'où marées basses, le cycle de marées hautes et basses se produisant en gros deux fois par jour ;
       pour traiter de l'influence de l'attraction solaire on introduit une 2ème pseudo force « des marées » solaires sans tenir compte de l'attraction lunaire, cette pseudo force « des marées solaires » est
    • centrifuge relativement au centre de la Terre quand le satellite est aligné avec les centres de la Terre et du Soleil
    • et centripète relativement au centre de la Terre quand le satellite est en quadrature avec les centres de la Terre et du Soleil,
       les modifications de la trajectoire géocentrique du satellite dues aux « marées solaires » se déterminent par le même raisonnement que celles exposées par « marées lunaires » cette dernière étant en fait la plus importante car la pseudo force « des marées lunaires » est en gros deux fois plus importante que celle « des marées solaires » à effet identique de sens de déformation.
       Retour sur les marées océaniques : c'est donc la pseudo force « des marées lunaires » qui permet d'expliquer les marées océaniques mais les marées hautes ou basses sont accentuées on parle de « marées de vives eaux » quand la pseudo force « des marées solaires » agit dans le même sens que celle « des marées lunaires » ce qui arrive quand les centres de la Terre, de la Lune et du Soleil sont en situation d'alignement très approché c.-à-d. lors des phases de Nouvelle Lune et de Pleine Lune et les marées hautes ou basses sont diminuées on parle de « marées de mortes eaux » quand la pseudo force « des marées solaires » agit dans le sens contraire de celle « des marées lunaires » ce qui arrive quand les centres de la Terre, de la Lune et du Soleil sont en situation de quadrature très approchée c.-à-d. lors des phases de Premier Quartier de Lune et de Dernier Quartier de Lune, on observe donc un cycle de marées de vives eaux et de mortes eaux se produisant en gros deux fois par lunaison soit un peu moins d'un mois.
  86. 86,0 86,1 86,2 86,3 et 86,4 Un corps est dit en chute libre si la seule force extérieure auquel il est soumis est son poids ;
       on rappelle d'autre part que le poids d'un corps est la somme de la force de gravitation terrestre du corps positionné en et de la pseudo force d'inertie d'entraînement de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique calculé en la même position comme cela a été exposé dans la note « 50 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  87. Voir le paragraphe « chute libre dans le cas de lancement vertical (chute libre sans vitesse initiale) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  88. 88,0 et 88,1 Voir le paragraphe « caractère quasi galiléen du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  89. La chute libre sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme se produisant toujours sur une durée très inférieure à quinze minutes, considérer le caractère « non galiléen » du référentiel terrestre ne sera jamais nécessaire pour ce type d'expériences mais si on souhaite détecter de très faibles écarts qui seraient la conséquence de la rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique, pour cela on peut choisir le référentiel géocentrique comme référentiel d'étude galiléen ou tenir compte du caractère « non théoriquement galiléen » du référentiel terrestre en corrigeant la résultante dynamique par ajout de pseudo force d'inertie de Coriolis on n'ajoute pas la pseudo force d'inertie d'entraînement car celle-ci est déjà incluse dans le poids du corps comme cela a été rappelé en note « 86 » plus haut dans ce chapitre ; voir plus d'informations sur ces notions introduites en complément dans le paragraphe « cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » plus haut dans ce chapitre mais ces notions ne sont pas au programme de physique de P.C.S.I..
  90. La verticale en un point de la Terre est la direction du poids d'un corps placé en ce point direction d'un « fil à plomb » ;
       or on constate que la verticale en un lieu ne passe pas rigoureusement par le centre de la Terre sauf aux pôles et à l'équateur, à Paris par exemple l'écart par rapport à la direction passant par le centre est de d'angle c'est peu mais si on creusait verticalement on passerait à du centre, cela prouve que le poids ne s'identifie pas rigoureusement avec la force de gravitation terrestre laquelle a une direction passant par le centre par définition ;
       comme nous l'avons déjà évoqué, le poids d'un corps est la somme de la « force de gravitation terrestre » de ce corps et de la « pseudo force d'inertie d'entraînement » tenant compte du mouvement de rotation du référentiel terrestre relativement au référentiel géocentrique considéré comme galiléen, cette « pseudo force d'inertie d'entraînement » est « axifuge » c.-à-d. de même direction et même sens que le 1er vecteur de base cylindro-polaire d'axe « pôle Sud - pôle Nord » et de norme d'autant plus grande que la distance du point à l'axe de rotation est grande d'où l'inclinaison du poids relativement à la direction passant par le centre sauf aux pôles où la « pseudo force d'inertie d'entraînement » est nulle et à l'équateur où la direction de cette dernière passe par le centre de la Terre.
  91. C'est parce qu'on a observé l'indépendance de l'accélération de chute libre relativement à l'objet que l'on a pu déduire que la masse inerte et la masse grave de l'objet sont proportionnelles entre elles et qu'avec un bon choix d'unités on peut les confondre identification connue sous le nom de « principe d'équivalence » revoir la note « 3 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  92. Ferdinand Reich (1799 - 1882) professeur de physique et de chimie théorique allemand à l'école des mines de Freiburg, surtout connu pour sa mise en évidence de la déviation vers l'Est d'un corps en chute libre en et aussi pour être à l'origine de la découverte de l'indium en découverte qu'il partage avec Hieronimus Theodor Richter (1825 - 1898) chimiste, métallurgiste et minéralogiste allemand à l'école des mines de Freiburg, participation essentielle compte-tenu du fait que Ferdinand Reich était daltonien et ne pouvait voir qu'en noir et blanc.
  93. Voir le paragraphe « cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » plus haut dans ce chapitre.
  94. En effet, sans tenir compte de « pseudo force d'inertie de Coriolis », on établit que le vecteur vitesse de l'objet modélisé par le point matériel dans le référentiel terrestre dans lequel on choisit comme base cartésienne orthonormée directe avec vertical descendant, horizontal vers l'Est et horizontal vers le Sud voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » s'exprime selon «» ;
       tenant compte maintenant de la « pseudo force d'inertie de Coriolis » de norme petite dans la mesure où l'est et
       utilisant la théorie des perturbations pour évaluer la « pseudo force d'inertie de Coriolis en 1ère approximation » avec «» ainsi que
       utilisant la théorie des perturbations pour évaluer la « pseudo force d'inertie de Coriolis en 1ère approximation » avec «
       utilisant la théorie des perturbations pour évaluer la « pseudo force d'inertie de Coriolis en 1ère approximation » avec « si la chute se produit en un lieu de latitude » d'où
       utilisant la théorie des perturbations pour évaluer la «» effectivement dirigée vers l'Est ;
       la « pseudo force d'inertie de Coriolis » étant à la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même et celle-ci étant petite, la « pseudo force d'inertie de Coriolis » n'est effectivement qu'une correction de la force principale qui est le poids, d'où une correction très petite relativement à la chute verticale.
  95. L'espace étant supposé « orienté à droite » voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et la base étant choisie orthonormée directe voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  96. En toute rigueur, dans le référentiel géocentrique, l'objet n'est soumis qu'à la force de gravitation terrestre et non à son poids, lequel est la somme de cette force de gravitation terrestre et de la pseudo force d'inertie d'entraînement du référentiel terrestre au point considéré par rapport au référentiel géocentrique, mais cette dernière étant très petite nous négligeons la différence entre poids et force de gravitation terrestre
  97. L'objet étant supposé ponctuel.
  98. Le point lié à la Terre situé à la même profondeur que tournant à la vitesse angulaire dans le référentiel géocentrique et le rayon du parallèle étant maintenant .
  99. 99,0 et 99,1 Voir le paragraphe « position du problème (pour des changements de référentiels) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  100. Voir le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  101. 101,0 101,1 101,2 101,3 101,4 et 101,5 Un pendule pesant est un corps pouvant osciller autour d'un point fixe du référentiel terrestre, point non confondu avec le centre de gravité du corps c.-à-d. le point d'application du poids de ce dernier, lequel est aussi son centre d'inertie car la masse grave s'identifie à la masse inerte ;
       un cas particulier est le pendule pesant simple constitué d'un objet massique ponctuel relié au point fixe du référentiel terrestre par une tige rigide sans masse ou un fil inextensible idéal tendu.
  102. Voir le paragraphe « mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  103. Voir le paragraphe « démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », les C.I. ou étant précisées dans le paragraphe « conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté » du même chap. de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  104. En pratique les oscillations finiront par s'amortir mais en théorie, en absence de frottements, elles perdurent indéfiniment
  105. Voir le paragraphe « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  106. Pratiquement pour que la durée d'oscillations dépasse , il est nécessaire d’entretenir les oscillations à cause des forces de frottements entraînant spontanément un amortissement ; l'entretien est donc assuré par des forces compensant ces forces de frottements.
  107. C.-à-d. dans le sens horaire ou sens contraire de rotation de la Terre sur elle-même ou de l'Ouest vers l'Est.
  108. Dans l'hémisphère Sud, le plan vertical d'oscillations résulte d'une lente rotation par rapport au plan de lancement dans le sens direct et non rétrograde.
  109. Jean Bernard Léon Foucault (1819 - 1868) physicien et astronome français principalement connu pour avoir démontré, en , la rotation de la Terre autour de son axe à l'aide du pendule portant son nom, il perfectionna aussi, en , le gyroscope qui avait été inventé en par Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger (1765 - 1831) astronome, mathématicien et physicien allemand à qui on doit aussi le perfectionnement des goniomètres qui lui permirent de travailler à la triangulation du relief dans le royaume de Wurtemberg et l'invention de l'électroscope.
  110. On le suppose fixe pour simplifier l'explication car en fait le pendule étant initialement écarté de sa position d'équilibre stable du référentiel terrestre et lâché sans vitesse relativement à ce dernier, il est en fait lâché avec une vitesse horizontale dirigée vers l'Est dans le référentiel géocentrique, c.-à-d. la vitesse linéaire du point fixe de la Terre où l'expérience est réalisée dans le référentiel géocentrique supposant positionné initialement à la distance du centre de la Terre c.-à-d. localisé à la surface de celle-ci à la « latitude » il possède alors initialement, dans le référentiel géocentrique, la vitesse «» dans laquelle est le 1er vecteur de base cartésienne du repère associé au référentiel géocentrique, vecteur horizontal dirigé vers l'Est les deux autres vecteurs de base étant horizontal dirigé vers le Nord et vertical ascendant tel que la base soit directe voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », « étant la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même » et « le rayon du parallèle passant par choisi comme origine du repère associé au référentiel géocentrique ».
  111. Ce qui, dans l'hémisphère Nord, constitue effectivement le sens horaire avec cette explication simpliste on détermine le sens de rotation du plan d'oscillations dans le référentiel terrestre mais la détermination de la période de rotation de ce plan ne peut être obtenue qu'à l'issue d'une étude plus détaillée que nous ne ferons pas ;
       dans l'hémisphère Sud, la rotation du plan d'oscillations de l'Est vers l'Ouest relativement au référentiel terrestre correspond au sens anti-horaire en effet une montre à aiguilles positionnée en un lieu de latitude de l'hémisphère Sud étant physiquement la symétrique, par rapport au plan équatorial, d'une montre à aiguilles positionnée en un lieu de même longitude et de latitude de l'hémisphère Nord, un même sens catalogué comme sens horaire de l'hémisphère Nord se retrouve sens anti-horaire dans l'hémisphère Sud.
  112. Nous ne ferons pas cette étude qui est hors programme et serait trop longue à aborder ; toutefois ceux qui le souhaiteraient pourraient aborder la question dans l'article de wikipédia « cas du pendule de Foucault » dans cet article l'auteur ne considère pas a priori que le pendule oscille dans un plan c.-à-d. que la projection du pendule sur le sol horizontal est un segment mais il établit que cette projection est une ellipse très allongée laquelle peut être confondue, en 1ère approximation, avec un segment, il établit d'autre part que le grand axe de cette ellipse très allongée assimilable avec le segment précédemment introduit tourne avec une période à Paris