Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Barycentre d'un système de points

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Barycentre d'un système de points
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Chapitre no 24
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Transformées de Laplace directes et inverses et leur utilisation
Chap. suiv. :Changement de référentiels
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Sommaire

......On va se limiter au cadre de la géométrie élémentaire pour introduire la notion de barycentre d'un système de points (avec son utilisation pratique en physique).

Barycentre de deux points[modifier | modifier le wikicode]

......Cette notion peut être introduite dès lors qu'on associe à chaque point une grandeur non nulle caractérisant le point et étant additive, on dit alors que les points sont « pondérés » par cette grandeur, celle-ci définissant le cœfficient affecté au point [1].

Définition du barycentre d'un système de deux points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le système de deux points pondérés , les cœfficients affectés aux points étant tous deux , on appelle barycentre de ce système de deux points pondérés

le point tel que .

......Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système et appliquons la relation de Chasles [2] que l'on reporte dans la définition de soit d'où l'équation suivante  ;

......Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. d'existence du barycentre du système qui est et sous cette condition on obtient une solution unique .

Conclusion : le barycentre du système n'existe et est unique que si .

......Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système au cas où à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de on déduit que le barycentre du système avec est le point à l'infini de la direction [3].

Vecteur position du barycentre du système de deux points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

...... étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne [4] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c'est-à-dire ,

.

Méthode de construction du barycentre du système de deux points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

......Le point étant un point quelconque peut être choisi en un des points par exemple et la formule précisant le vecteur position du barycentre se réécrit selon établissant que le point se trouve sur la droite plus précisément

Exposé de la méthode de construction du barycentre du système {A (1) , B (2)} par utilisation du théorème de Thalès [5]
  • si et sont tous deux , se trouve sur le segment situé, à partir de à la fraction de la longueur du segment , les points , et sont alignés dans l'ordre  ;
  • si est et de valeur absolue , se trouve au-delà du segment situé, à partir de à la fraction de la longueur du segment , les points , et sont alignés dans l'ordre  ;
  • si est et de valeur absolue , se trouve en-deçà du segment situé, à partir de à la fraction de la longueur du segment , les points , et sont alignés dans l'ordre .

......Exemple de construction : Soit à construire le barycentre du système d'après ce qui précède on en déduit c'est-à-dire que se trouve sur le segment au de la longueur du segment à partir de voir construction ci-contre utilisant le théorème de Thalès [5]

Propriété d'homogénéité[modifier | modifier le wikicode]

......Si est le barycentre du système avec , on établit aisément que

pour tout réel , le barycentre du système est encore  ;

......en effet la définition du barycentre du système étant , multipliant cette dernière par et utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à l'addition vectorielle on obtient c'est-à-dire la définition du barycentre du système .

Cas particulier : isobarycentre d'un système de deux points[modifier | modifier le wikicode]

......On parle d'« isobarycentre d'un système de deux points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à  ;

......propriété : l'isobarycentre d'un système de deux points est le milieu su segment joignant les deux points.

Barycentre de trois points[modifier | modifier le wikicode]

......On généralise aisément la notion de barycentre à un système de trois points pondérés …

Définition du barycentre d'un système de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le système de trois points pondérés , les cœfficients affectés aux points étant tous trois , on appelle barycentre de ce système de trois points pondérés

le point tel que .

......Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système et appliquons la relation de Chasles [2] et que l'on reporte dans la définition de soit d'où l'équation suivante  ;

......Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. d'existence du barycentre du système qui est et sous cette condition on obtient une solution unique .

Conclusion : le barycentre du système n'existe et est unique que si .

......Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système au cas où à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de on déduit que le barycentre du système des trois points avec est le point à l'infini de la direction du vecteur [3].

Vecteur position du barycentre du système de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

...... étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne [6] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c'est-à-dire ,

.

Propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partiel[modifier | modifier le wikicode]

......La définition du barycentre d'un système de deux (ou trois) points pondérés ne précisant pas l'ordre des points, la prise de barycentre est évidemment commutative ;

......la prise de barycentre du système avec est aussi associative si c'est-à-dire que le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés, étant un point quelconque pris pour origine, peut se réécrire en réduisant l'une quelconque des sommes vectorielles selon sont respectivement les « barycentres partiels » du système des deux points pondérés , et  ;
......ainsi la somme vectorielle peut se réécrire selon d'où trois façons de réécrire le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés en utilisant l'un des trois barycentres partiels

.

Méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

......La méthode la plus simple consiste à définir le barycentre partiel entre deux points judicieusement choisis par exemple entre et , le barycentre partiel étant puis à déterminer le barycentre du système des deux points pondérés lequel s'identifie au barycentre du système des trois points pondérés  :

Disposition des trois atomes d'une molécule d'eau dans le but de déterminer leur barycentre, chaque atome étant affecté de son nombre de masse [7]

......Exemple de construction du barycentre du système des trois atomes d'une molécule d'eau, chaque atome étant affecté de son nombre de masse [7] : une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, notés et pour les distinguer (mais ils sont bien entendu identiques) liés à un atome d'oxygène, noté , l'angle entre les liaisons étant et la longueur de chaque liaison étant la même égale à [8], le nombre de masse d'un atome d'hydrogène étant 1 et celui d'un atome d'oxygène  ;
......on cherche donc le barycentre du système des trois atomes pondérés et pour cela on détermine d'abord l'isobarycentre des deux atomes d'hydrogène et qui est au milieu du segment joignant ces derniers, il est donc sur la bissectrice de l'angle situé à la distance de l’atome d'oxygène telle que en soit , puis
......on détermine le barycentre des deux points pondérés , étant sur la bissectrice de l'angle tel que , à la distance en soit .

Isobarycentre d'un système de trois points non alignés, conséquence sur la propriété des médianes d'un triangle quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......On parle d'« isobarycentre d'un système de trois points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à .

Schéma d'un triangle ABC quelconque avec tracé des trois médianes AA' issue de A, BB' issue de B et CC' issue de C, propriété de concours de ces trois médianes en G appelé centre de gravité du triangle

......Propriété : l'isobarycentre du système de trois points peut se déterminer en faisant intervenir l'un des trois isobarycentre partiel [dans ce qui suit les trois points sont non alignés de façon à former un triangle] :

  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est milieu du segment puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane au de la longueur de la médiane à partir de ou
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est milieu du segment puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane au de la longueur de la médiane à partir de ou enfin
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est milieu du segment puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane au de la longueur de la médiane à partir de  ;

......Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours , appelé « centre de gravité du triangle », étant, sur chaque médiane, au de sa longueur à partir du sommet ;

......Propriété : le centre de gravité du triangle est donc défini selon la relation , son vecteur position relativement à un point quelconque étant [9].

Barycentre de n points[modifier | modifier le wikicode]

......On généralise la notion de barycentre à un système de points pondérés, [10]

Définition du barycentre d'un système de n points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le système de n points pondérés , les cœfficients affectés aux points étant tous , on appelle barycentre de ce système de n points pondérés

le point tel que .

......Condition d'existence et d'unicité : On admet qu'une C.N. d'existence du barycentre du système est

et

......Condition d'existence et d'unicité : que sous cette condition on obtient une solution unique.

Notion d'espace affine de direction l'espace vectoriel associé[modifier | modifier le wikicode]

......Étant donné un espace vectoriel sur le corps des réels on appelle espace affine de direction l'ensemble non vide muni d'une application qui, à chaque bipoint de associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :

  • , la relation de Chasles [2] s'applique dans et
  • , , il existe un translaté unique de par c'est-à-dire tel que [11].

......On définit la dimension de l'espace affine par celle de l'espace vectoriel qui lui est associé ;

......exemples : espace affine de dimension 1 encore appelé « droite affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par un vecteur  ;

......exemples : espace affine de dimension 2 encore appelé « plan affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par deux vecteurs non colinéaires ;

......exemples : espace affine de dimension 3 représentant l'« espace affine de la physique newtonienne à trois degrés de liberté » dont la direction est l'espace vectoriel généré par trois vecteurs non coplanaires ;

......exemples : espace affine de dimension dont la direction est l'espace vectoriel généré par , vecteurs libres [12], cet espace affine n'étant pas concevable par notre cerveau dont l'imaginaire peut représenter trois dimensions au maximum [13].

......Propriété : si on fixe un point origine dans l'espace affine , il existe une application de dans sa direction qui, à tout point de associe le vecteur  ; cette application est alors bijective [14].

Isobarycentre d'un système de quatre points non coplanaires, conséquence sur la propriété des médianes d'un tétraèdre quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......On parle d'« isobarycentre d'un système de quatre points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à .

Schéma d'un tétraèdre ABCD quelconque avec tracé des trois des quatre médianes AA' issue de A, BB' issue de B, CC' issue de C (DD' issue de D n'ayant pas été tracée pour ne pas surcharger), propriété de concours de ces quatre médianes en G appelé centre de gravité du tétraèdre

......Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points peut se déterminer en faisant intervenir l'un des quatre isobarycentres partiels [dans ce qui suit les quatre points sont non coplanaires [15] de façon à former un tétraèdre] :

  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [16] au de la longueur de la médiane à partir de ou
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [16] au de la longueur de la médiane à partir de ou
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [16] au de la longueur de la médiane à partir de ou enfin
  • utiliser l'isobarycentre partiel du système qui est centre de gravité de la face puis en déduire comme barycentre du système donc tel que établissant que se trouve sur la médiane [16] au de la longueur de la médiane à partir de  ;

......Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours , appelé « centre de gravité du tétraèdre », étant, sur chaque médiane, au de sa longueur à partir du sommet ;

......Propriété : le centre de gravité du tétraèdre est donc défini selon la relation , son vecteur position relativement à un point quelconque étant [17].

Notion de fonction vectorielle de Leibniz[modifier | modifier le wikicode]

......On se place dans un espace affine de direction l'espace vectoriel tous deux de dimension  ;

......soient une famille de points de et une famille de scalaires réels, on appelle

fonction vectorielle de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine ,
l'application de dans qui, au point associe le vecteur .

......Propriétés : si , la fonction vectorielle de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine s'annule pour un unique point définissant le barycentre du système des points pondérés  ; en conclusion

si , tel que  ;

......Propriétés : si , la fonction vectorielle de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine peut être simplifiée en utilisant le barycentre du système des points pondérés selon

 ;

......Propriétés : si , avec choisi comme origine du vecteur position du barycentre du système des points pondérés , on obtient

.

......Remarque : on démontre que si , la fonction vectorielle de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine à savoir est constante ; en supposant la constante s'écrit avec le barycentre du système des points pondérés autres que , en effet

......Remarque : si la somme se réécrivant implique l'existence et l'unicité du barycentre du système de points pondérés soit que l'on reporte dans la définition de la fonction vectorielle de Leibniz [18] soit, par utilisation de la relation de Chasles [2] C.Q.F.D. [19].

Utilisation de la notion de barycentre à la détermination de lieu de points défini par une relation scalaire particulière[modifier | modifier le wikicode]

Lieu des points M tel que le rapport des distances à deux points distincts d'un espace affine euclidien à trois dimensions soit égal à un réel positif différent de un[modifier | modifier le wikicode]

......Espace vectoriel euclidien : un espace vectoriel est dit « euclidien » si on définit sur lui un produit scalaire de deux vecteurs.

......Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » si l'espace vectoriel direction de l'espace affine est « euclidien », la conséquence étant la possibilité de mesurer distances et angles dans l'espace affine « euclidien » ;

......Espace affine euclidien : la distance entre deux points de l'espace affine « euclidien » de direction l'espace vectoriel étant l'application de dans défini par  ;

......Espace affine euclidien : l'angle entre deux bipoints de l'espace affine « euclidien » de direction l'espace vectoriel étant l'application de dans [20] défini par .

......Problème posé : Trouver le lieu des points de l'espace affine « euclidien » de dimension 3 tel que, étant deux points distincts de cet espace, le rapport des distances séparant de chacun des points est un réel strictement positif différent de , ou tel que [21].

......Solution : La relation de définition de étant avec , et , peut se réécrire ou soit encore [22] ;

......Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles en utilisant respectivement les barycentres du système des deux points pondérés , chaque barycentre existant et étant unique car la somme des cœfficients affectant chaque point de chacun des systèmes est non nulle [23] soit ce qui permet de réécrire la relation de définition du lieu cherché des points selon ou, avec , soit enfin

le lieu des points tel que est la sphère de diamètre
est le barycentre du système et celui du système .

Notion de fonction scalaire de Leibniz[modifier | modifier le wikicode]

......On se place dans un espace affine euclidien de direction l'espace vectoriel euclidien tous deux de dimension  ;

......soient une famille de points de et une famille de scalaires réels, on appelle

fonction scalaire de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine euclidien ,
l'application de dans qui, au point associe le scalaire .

......Propriétés : si , la fonction scalaire de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine euclidien peut être réduit, en utilisant définissant le barycentre du système des points pondérés , selon

[24] ;

......Propriétés : si somme non nulle, en effet, par relation de Chasles [2], soit, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [18] et en développant les carrés scalaires ou, par définition du barycentre du système des points pondérés , la fonction scalaire de Leibniz [18] se réécrit  ;

......Propriétés : si , avec choisi comme origine du vecteur position du barycentre du système des points pondérés , on obtient

.

......Remarque : sachant que si , la fonction vectorielle de Leibniz [18] associée au système de points pondérés de l'espace affine euclidien à savoir est constante s'écrivant, avec [25], selon avec le barycentre du système des points pondérés autres que [26] soit la réduction de la fonction scalaire de Leibniz [18] selon

avec point arbitrairement fixé ;

......Remarque : en effet si avec , on en déduit assurant l'existence et l'unicité du barycentre du système des points pondérés autres que  ;

......Remarque : étant un point de choisi arbitrairement, l'utilisation de la relation de Chasles [2] conduisant à donne, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [18], en développant les carrés scalaires et en utilisant la nullité de la somme des cœfficients, dans laquelle dans la mesure où C.Q.F.D. [19].

Prolongement de la notion de barycentre à un système continu de points pondérés[modifier | modifier le wikicode]

......On considère maintenant un système continu de points en chacun desquels est affectée une densité de cœfficient continue par morceaux, ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle toutes trois continues dans un espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'intégrabilité.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une courbe continue de point générique affecté d'une densité linéique de cœfficient continue par morceaux, on définit le barycentre de ce système de points par

est l'abscisse curviligne du point générique sur  ;

......on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre du système de points est

 ;

......on démontre aussi que le vecteur position du barycentre du système de points avec point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la courbe s'écrit

.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une surface continue de point générique affecté d'une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux, on définit le barycentre de ce système de points par

est l'aire élémentaire définie au point générique sur  ;

......on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre du système de points est

 ;

......on démontre aussi que le vecteur position du barycentre du système de points avec point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la surface s'écrit

.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux[modifier | modifier le wikicode]

......Soit une expansion tridimensionnelle continue de point générique affecté d'une densité volumique de cœfficient continue par morceaux, on définit le barycentre de ce système de points par

est le volume élémentaire défini au point générique dans  ;

......on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre du système de points est

 ;

......on démontre aussi que le vecteur position du barycentre du système de points avec point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'expansion tridimensionnelle s'écrit

.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Si les points sont étudiés dans le cadre gravitationnel à une échelle où les atomes sont considérés comme insécables, la grandeur en question va être la masse du point effectivement additive (ce qui cesserait d'être le cas à l'intérieur d'un atome à cause de la conversion masse énergie) ;
    ...si les points sont étudiés dans le cadre électrostatique, la grandeur en question va être la charge du point effectivement additive …
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 et 2,7 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  3. 3,0 et 3,1 Ceci est une extension de la définition du barycentre qu'a priori nous n'utiliserons pas.
  4. Cette propriété est encore connue sous le nom de « réduction de somme vectorielle » : pour tout point de l'espace la somme se réduit à l'aide du barycentre du système en .
  5. 5,0 et 5,1 Thalès de Milet (vers -625, -547) philosophe et savant grec n'ayant apparemment rien écrit mais qui fut néanmoins l'auteur de nombreuses recherches en mathématiques dont le théorème portant son nom.
  6. Cette propriété est encore connue sous le nom de « réduction de somme vectorielle » : pour tout point de l'espace la somme se réduit à l'aide du barycentre du système en .
  7. 7,0 et 7,1 Nombre de masse d'un atome : nombre de nucléons que contient ce dernier.
  8. Un angström étant un sous-multiple de l'unité de longueur du S.I. bien adapté aux distances atomiques [Anders Jonas Angström (1814 - 1874) astronome et physicien suédois qui fut l'un des fondateurs de la spectroscopie et l'un des pionniers dans l'étude des spectres, il découvrit la présence d'hydrogène dans le spectre solaire en 1862, pour lui rendre hommage on donna son nom à une unité de longueur précisant l'ordre de grandeur dans les distances atomiques].
  9. Si on particularise par exemple en on en déduit en accord avec la réduction de la somme vectorielle traduisant que est l'isobarycentre partiel de .
  10. C.-à-d. au moins .
  11. L'application qui, à un point de l'espace affine , associe son translaté par un vecteur est appelé « translation de vecteur  ».
  12. On rappelle qu'un ensemble de vecteurs est libre si .
  13. La seule façon de concevoir un espace affine de dimension 4 est d'imaginer les quatre sous espaces affines de dimension 3 de direction l'un des quatre sous espaces vectoriels de dimension 3 généré par ou ou ou .
  14. On rappelle qu'une application est bijective ssi tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent.
  15. Le caractère « non coplanaire » des quatre points implique que l'espace affine dans lequel baignent ces quatre points est de dimension , on dit, dans ces conditions, que cet espace affine de dimension 3 est généré par les quatre points non coplanaires, ceci se justifiant par le fait que l'ensemble de tous les barycentres de ces quatre points affectés de cœfficient quelconque génère l'espace affine ;
    ...dans le cas où les quatre points seraient coplanaires sans être alignés, ils généreraient un espace affine de dimension , ceci se justifiant par le fait que l'ensemble de tous les barycentres de ces quatre points coplanaires mais non alignés affectés de cœfficient quelconque constitue l'espace affine de dimension  ;
    ...dans le cas où les quatre points seraient alignés, ils généreraient un espace affine de dimension , ceci se justifiant par le fait que l'ensemble de tous les barycentres de ces quatre points alignés affectés de cœfficient quelconque constitue l'espace affine de dimension .
  16. 16,0 16,1 16,2 et 16,3 On appelle « médiane d'un tétraèdre » tout segment joignant un sommet quelconque au centre de gravité de la face opposée à ce sommet ; il y a donc quatre médianes dans un tétraèdre quelconque.
  17. Si on particularise par exemple en on en déduit en accord avec la réduction de la somme vectorielle traduisant que est l'isobarycentre partiel de .
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 18,10 et 18,11 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal (calcul différentiel et calcul intégral) dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le calcul infinitésimal, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment.
  19. 19,0 et 19,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  20. L'angle introduit étant non algébrisé.
  21. Le cas est exclu car la méthode de résolution qui va être envisagée nécessite d'une part et d'autre part le lieu des points tel que est connu, c'est, par définition, le plan médiateur du segment .
  22. On étend l'identité définie dans muni de la multiplication scalaire à l'espace vectoriel « euclidien » (donc muni de la multiplication scalaire entre vecteurs car « euclidien ») selon pour tout .
  23. étant et .
  24. Dans le cas où , cette réduction est à comparer à celle de la fonction vectorielle de Leibniz de même forme à l'exception du fait que la fonction vectorielle de Leibniz au point y est nulle par définition du barycentre du système de points pondérés.
  25. Si le cœfficient non nul était il suffirait de remplacer l'indice par l'indice .
  26. Voir le paragraphe « notion de fonction vectorielle dans le cas où  » plus haut dans le chapitre.