Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Barycentre d'un système de points

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......On va se limiter au cadre de la géométrie élémentaire pour introduire la notion de barycentre d'un système de points (avec son utilisation pratique en physique).

Barycentre de deux points

......Cette notion peut être introduite dès lors qu'on associe à chaque point une grandeur non nulle caractérisant le point et étant additive, on dit alors que les points sont « pondérés » par cette grandeur, celle-ci définissant le cœfficient affecté au point .

Définition du barycentre d'un système de deux points pondérés

......Soit le système de deux points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace$, les cœfficients affectés aux points étant tous deux $\;\neq 0$, on appelle barycentre de ce système de deux points pondérés

le point $\;G\;$ tel que $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}$.

......Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ et appliquons la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GB}}=$ ${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\;$ que l'on reporte dans la définition de $\;G\;$ soit $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \left({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\right)={\vec {0}}\;$ d'où l'équation suivante $\;\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {GA}}=-\beta \;{\overrightarrow {AB}}$ ;

......Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. d'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ qui est $\;\alpha +\beta \neq 0\;$ et sous cette condition on obtient une solution unique $\;{\overrightarrow {GA}}=-{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {AB}}$.

Conclusion : le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ n'existe et est unique que si $\;\alpha +\beta \neq 0$.

......Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ au cas où $\;\alpha +\beta =0\;$ à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de $\;\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {AG}}=\beta \;{\overrightarrow {AB}}\;$ on déduit que le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta =0\;$ est le point à l'infini de la direction $\;(AB)\;$ .

Vecteur position du barycentre du système de deux points pondérés

......$\;O\;$ étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles pour réécrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\\{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne $\;\alpha \left[{\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\right]+\beta \left[{\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {OG}}=\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}\;$ soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c'est-à-dire $\;\alpha +\beta \neq 0$,

$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {OA}}+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {OB}}$.

Méthode de construction du barycentre du système de deux points pondérés

......Le point $\;O\;$ étant un point quelconque peut être choisi en un des points par exemple $\;A\;$ et la formule précisant le vecteur position du barycentre se réécrit selon $\;{\overrightarrow {AG}}={\cancel {{\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {AA}}}}\;+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;{\overrightarrow {AB}}\;$ établissant que le point $\;G\;$ se trouve sur la droite $\;(AB)\;$ plus précisément

Exposé de la méthode de construction du barycentre du système {A (1) , B (2)} par utilisation du théorème de Thalès

• si $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ sont tous deux $\;>0$, $\;G\;$ se trouve sur le segment $\;\left[AB\right]\;$ situé, à partir de $\;A\;$ à la fraction $\;{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}\;$ de la longueur du segment $\;\left[AB\right]$, les points $\;A$, $\;B\;$ et $\;G\;$ sont alignés dans l'ordre $\;A\,,\,G\,,\,B$ ;
• si $\;\beta \;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha <0\;$ de valeur absolue $\;\vert \alpha \vert <\beta$, $\;G\;$ se trouve au-delà du segment $\;\left[AB\right]\;$ situé, à partir de $\;A\;$ à la fraction $\;{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}>1\;$ de la longueur du segment $\;\left[AB\right]$, les points $\;A$, $\;B\;$ et $\;G\;$ sont alignés dans l'ordre $\;A\,,\,B\,,\,G$ ;
• si $\;\beta \;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha <0\;$ de valeur absolue $\;\vert \alpha \vert >\beta$, $\;G\;$ se trouve en-deçà du segment $\;\left[AB\right]\;$ situé, à partir de $\;A\;$ à la fraction $\;{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta }}<0\;$ de la longueur du segment $\;\left[AB\right]$, les points $\;A$, $\;B\;$ et $\;G\;$ sont alignés dans l'ordre $\;G\,,\,A\,,\,B$.

......Exemple de construction : Soit à construire le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(2)\right\rbrace \;$ d'après ce qui précède on en déduit $\;{\overrightarrow {AG}}={\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {AB}}\;$ c'est-à-dire que $\;G\;$ se trouve sur le segment $\;\left[AB\right]\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur du segment à partir de $\;A\;$ voir construction ci-contre utilisant le théorème de Thalès

Propriété d'homogénéité

......Si $\;G\;$ est le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta \neq 0$, on établit aisément que

pour tout réel $\;k\neq 0$, le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(k\;\alpha )\,,\,B\,(k\;\beta )\right\rbrace \;$ est encore $\;G$ ;

......en effet la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace \;$ étant $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}$, multipliant cette dernière par $\;k\neq 0\;$ et utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à l'addition vectorielle on obtient $\;k\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+k\;\beta \;{\overrightarrow {GB}}={\vec {0}}\;$ c'est-à-dire la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(k\;\alpha )\,,\,B\,(k\;\beta )\right\rbrace$.

Cas particulier : isobarycentre d'un système de deux points

......On parle d'« isobarycentre d'un système de deux points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à $\;1$ ;

......propriété : l'isobarycentre d'un système de deux points est le milieu su segment joignant les deux points.

Barycentre de trois points

......On généralise aisément la notion de barycentre à un système de trois points pondérés …

Définition du barycentre d'un système de trois points pondérés

......Soit le système de trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace$, les cœfficients affectés aux points étant tous trois $\;\neq 0$, on appelle barycentre de ce système de trois points pondérés

le point $\;G\;$ tel que $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \;{\overrightarrow {GB}}+\gamma \;{\overrightarrow {GC}}={\vec {0}}$.

......Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ et appliquons la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {GB}}$ $={\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\;$ et $\;{\overrightarrow {GC}}=$ ${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AC}}\;$ que l'on reporte dans la définition de $\;G\;$ soit $\;\alpha \;{\overrightarrow {GA}}+\beta \left({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AB}}\right)+\gamma \left({\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {AC}}\right)={\vec {0}}\;$ d'où l'équation suivante $\;\left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {GA}}=-\beta \;{\overrightarrow {AB}}-\gamma \;{\overrightarrow {AC}}$ ;

......Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. d'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ qui est $\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0\;$ et sous cette condition on obtient une solution unique $\;{\overrightarrow {GA}}=-{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {AB}}-{\dfrac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {AC}}$.

Conclusion : le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ n'existe et est unique que si $\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0$.

......Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ au cas où $\;\alpha +\beta +\gamma =0\;$ à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de $\;\left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {AG}}=\beta \;{\overrightarrow {AB}}+\gamma \;{\overrightarrow {AC}}\;$ on déduit que le barycentre du système des trois points $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta +\gamma =0\;$ est le point à l'infini de la direction du vecteur $\;\beta \;{\overrightarrow {AB}}+\gamma \;{\overrightarrow {AC}}\;$ .

Vecteur position du barycentre du système de trois points pondérés

......$\;O\;$ étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles pour réécrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\\{\overrightarrow {GB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\\{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OG}}\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne $\;\alpha \left[{\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {OG}}\right]+\beta \left[{\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OG}}\right]+\gamma \left[{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta +\gamma \right){\overrightarrow {OG}}=\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}\;$ soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c'est-à-dire $\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0$,

$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OA}}+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OB}}+{\dfrac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OC}}$.

Propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partiel

......La définition du barycentre d'un système de deux (ou trois) points pondérés ne précisant pas l'ordre des points, la prise de barycentre est évidemment commutative ;

......la prise de barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ avec $\;\alpha +\beta +\gamma \neq 0\;$ est aussi associative si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha +\beta \neq 0\\\beta +\gamma \neq 0\\\gamma +\alpha \neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire que le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés, $\;O\;$ étant un point quelconque pris pour origine, peut se réécrire en réduisant l'une quelconque des sommes vectorielles selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}=\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {OG_{A,\,B}}}\\\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}=\left(\beta +\gamma \right){\overrightarrow {OG_{B,\,C}}}\\\gamma \;{\overrightarrow {OC}}+\alpha \;{\overrightarrow {OA}}=\left(\gamma +\alpha \right){\overrightarrow {OG_{C,\,A}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;\left\lbrace G_{A,\,B}\,,\,G_{B,\,C}\,,\,G_{C,\,A}\right\rbrace \;$ sont respectivement les « barycentres partiels » du système des deux points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\right\rbrace$, $\;\left\lbrace B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace C\,(\gamma )\,,\,A\,(\alpha )\right\rbrace$ ;
......ainsi la somme vectorielle $\;\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}\;$ peut se réécrire selon $\;\alpha \;{\overrightarrow {OA}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\left(\alpha +\beta \right){\overrightarrow {OG_{A,\,B}}}+\gamma \;{\overrightarrow {OC}}\\\left(\beta +\gamma \right){\overrightarrow {OG_{B,\,C}}}+\alpha \;{\overrightarrow {OA}}\\\left(\gamma +\alpha \right){\overrightarrow {OG_{C,\,A}}}+\beta \;{\overrightarrow {OB}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où trois façons de réécrire le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés en utilisant l'un des trois barycentres partiels

$\;{\overrightarrow {OG}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {\alpha +\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OG_{A,\,B}}}+{\dfrac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OC}}\\{\dfrac {\beta +\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OG_{B,\,C}}}+{\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OA}}\\{\dfrac {\gamma +\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OG_{C,\,A}}}+{\dfrac {\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}\;{\overrightarrow {OB}}\end{array}}\right\rbrace$.

Méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés

......La méthode la plus simple consiste à définir le barycentre partiel entre deux points judicieusement choisis par exemple entre $\;A\,(\alpha )\;$ et $\;B\,(\beta )$, le barycentre partiel étant $\;G_{A,\,B}\,(\alpha +\beta )\;$ puis à déterminer le barycentre $\;G\,(\alpha +\beta +\gamma )\;$ du système des deux points pondérés $\;\left\lbrace G_{A,\,B}\,(\alpha +\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace \;$ lequel s'identifie au barycentre du système des trois points pondérés $\;\left\lbrace A\,(\alpha )\,,\,B\,(\beta )\,,\,C\,(\gamma )\right\rbrace$ :

Disposition des trois atomes d'une molécule d'eau dans le but de déterminer leur barycentre, chaque atome étant affecté de son nombre de masse

......Exemple de construction du barycentre du système des trois atomes d'une molécule d'eau, chaque atome étant affecté de son nombre de masse  : une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, notés $\;H_{a}\;$ et $\;H_{b}\;$ pour les distinguer (mais ils sont bien entendu identiques) liés à un atome d'oxygène, noté $\;O$, l'angle entre les liaisons étant $\;{\widehat {H_{a}OH_{b}}}=\alpha \simeq 105\,{\text{°}}\;$ et la longueur de chaque liaison $\;H\!-\!O\;$ étant la même égale à $\;d\simeq 0,96\;{\text{Å}}\;$, le nombre de masse d'un atome d'hydrogène étant 1 et celui d'un atome d'oxygène $\;16$ ;
......on cherche donc le barycentre $\;G\;$ du système des trois atomes pondérés $\;\left\lbrace O\,(16)\,,\,H_{a}\,(1)\,,\,H_{b}\,(1)\right\rbrace \;$ et pour cela on détermine d'abord l'isobarycentre $\;I\;$ des deux atomes d'hydrogène $\;H_{a}\;$ et $\;H_{b}\;$ qui est au milieu du segment joignant ces derniers, il est donc sur la bissectrice de l'angle $\;{\widehat {H_{a}OH_{b}}}=\alpha \;$ situé à la distance $\;OI\;$ de l’atome d'oxygène telle que $\;OI=OH\;\cos \!\left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\simeq 0,96\times \cos(52,5\,{\text{°}})\;$ en $\;{\text{Å}}\;$ soit $\;OI\simeq 0,584\,{\text{Ǻ}}$, puis
......on détermine le barycentre $\;G\;$ des deux points pondérés $\;\left\lbrace O\,(16)\,,\,I\,(2)\right\rbrace$, $\;G\;$ étant sur la bissectrice de l'angle $\;{\widehat {H_{a}OH_{b}}}=\alpha \;$ tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\cancel {{\dfrac {16}{18}}\;{\overrightarrow {OO}}}}+{\dfrac {2}{18}}\;{\overrightarrow {OI}}={\dfrac {1}{9}}\;{\overrightarrow {OI}}$, à la distance $\;OG={\dfrac {OI}{9}}\simeq {\dfrac {0,584}{9}}\;$ en $\;{\text{Å}}\;$ soit $\;OG\simeq 0,065\,{\text{Ǻ}}$.

Isobarycentre d'un système de trois points non alignés, conséquence sur la propriété des médianes d'un triangle quelconque

......On parle d'« isobarycentre d'un système de trois points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à $\;1$.

Schéma d'un triangle ABC quelconque avec tracé des trois médianes AA' issue de A, BB' issue de B et CC' issue de C, propriété de concours de ces trois médianes en G appelé centre de gravité du triangle

......Propriété : l'isobarycentre du système de trois points $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ peut se déterminer en faisant intervenir l'un des trois isobarycentre partiel [dans ce qui suit les trois points sont non alignés de façon à former un triangle] :

• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;A'\;$ milieu du segment $\;\left[BC\right]\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,A'\,(2)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {AG}}={\cancel {{\dfrac {1}{3}}\;{\overrightarrow {AA}}}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(AA'\right)\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;A\;$ ou
• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;B'\;$ milieu du segment $\;\left[AC\right]\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,B'\,(2)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {BG}}={\cancel {{\dfrac {1}{3}}\;{\overrightarrow {BB}}}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {BB'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(BB'\right)\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;B\;$ ou enfin
• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;C'\;$ milieu du segment $\;\left[AB\right]\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace C\,(1)\,,\,C'\,(2)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {CG}}={\cancel {{\dfrac {1}{3}}\;{\overrightarrow {CC}}}}+{\dfrac {2}{3}}\;{\overrightarrow {CC'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(CC'\right)\;$ au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;C$ ;

......Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours $\;G$, appelé « centre de gravité du triangle », étant, sur chaque médiane, au $\;{\dfrac {2}{3}}\;$ de sa longueur à partir du sommet ;

......Propriété : le centre de gravité $\;G\;$ du triangle $\;ABC\;$ est donc défini selon la relation $\;{\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\vec {0}}$, son vecteur position relativement à un point $\;O\;$ quelconque étant $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}{3}}\;$.

Barycentre de n points

......On généralise la notion de barycentre à un système de $\;n\;$ points pondérés, $\;n\in \mathbb {N} ^{*}/\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ …

Définition du barycentre d'un système de n points pondérés

......Soit le système de n points pondérés $\;\left\lbrace A_{1}\,(\alpha _{1})\,,\,A_{2}\,(\alpha _{2})\,,\,\ldots \,,\,A_{k}\,(\alpha _{k})\,,\,\ldots \,,\,A_{n}\,(\alpha _{n})\right\rbrace$, les cœfficients affectés aux points étant tous $\;\neq 0$, on appelle barycentre de ce système de n points pondérés

le point $\;G\;$ tel que $\;\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}={\vec {0}}$.

......Condition d'existence et d'unicité : On admet qu'une C.N. d'existence du barycentre du système $\;\left\lbrace A_{1}\,(\alpha _{1})\,,\,A_{2}\,(\alpha _{2})\,,\,\ldots \,,\,A_{k}\,(\alpha _{k})\,,\,\ldots \,,\,A_{n}\,(\alpha _{n})\right\rbrace \;$ est

$\;\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\neq 0\;$ et

......Condition d'existence et d'unicité : que sous cette condition on obtient une solution unique.

Notion d'espace affine de direction l'espace vectoriel associé

......Étant donné un espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ sur le corps des réels $\;\mathbb {R} \;$ on appelle espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ l'ensemble non vide muni d'une application $\;\varphi \;$ qui, à chaque bipoint $\;\left(A\,,\,B\right)\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{2}\;$ associe un élément de $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ noté $\;{\overrightarrow {AB}}\;$ vérifiant les deux propriétés suivantes :

• $\;\forall \,\left(A\,,\,B\,,\,C\right)\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{3}$, la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}\;$ s'applique dans $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ et
• $\;\forall \,A\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}$, $\;\forall \;{\vec {v}}\in {\mathcal {E}}_{\text{vect}}$, il existe un translaté unique de $\;A\;$ par $\;{\vec {v}}\;$ c'est-à-dire $\;\exists !\;B\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}\;$ .

......On définit la dimension de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ par celle de l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ qui lui est associé ;

......exemples : espace affine de dimension 1 encore appelé « droite affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par un vecteur $\;{\vec {i}}$ ;

......exemples : espace affine de dimension 2 encore appelé « plan affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par $\;\left({\vec {i}}\,,\,{\vec {j}}\right)\;$ deux vecteurs non colinéaires ;

......exemples : espace affine de dimension 3 représentant l'« espace affine de la physique newtonienne à trois degrés de liberté » dont la direction est l'espace vectoriel généré par $\;\left({\vec {i}}\,,\,{\vec {j}}\,,\,{\vec {k}}\right)\;$ trois vecteurs non coplanaires ;

......exemples : espace affine de dimension $\;n\geqslant 4\;$ dont la direction est l'espace vectoriel généré par $\;\left({\vec {u}}_{i}\right)_{i=1\,\ldots \,n\geqslant 4}$, $\;n\geqslant 4\;$ vecteurs libres , cet espace affine n'étant pas concevable par notre cerveau dont l'imaginaire peut représenter trois dimensions au maximum .

......Propriété : si on fixe un point origine $\;O\;$ dans l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}$, il existe une application $\;\varphi _{O}\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans sa direction $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ qui, à tout point $\;M\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ associe le vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}$ ; cette application $\;\varphi _{O}\;$ est alors bijective .

Isobarycentre d'un système de quatre points non coplanaires, conséquence sur la propriété des médianes d'un tétraèdre quelconque

......On parle d'« isobarycentre d'un système de quatre points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à $\;1$.

Schéma d'un tétraèdre ABCD quelconque avec tracé des trois des quatre médianes AA' issue de A, BB' issue de B, CC' issue de C (DD' issue de D n'ayant pas été tracée pour ne pas surcharger), propriété de concours de ces quatre médianes en G appelé centre de gravité du tétraèdre

......Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace \;$ peut se déterminer en faisant intervenir l'un des quatre isobarycentres partiels [dans ce qui suit les quatre points sont non coplanaires de façon à former un tétraèdre] :

• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,C\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;A'\;$ centre de gravité de la face $\;\left(BCD\right)\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,A'\,(3)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {AG}}=$ ${\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {AA}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(AA'\right)\;$ au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;A\;$ ou
• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,C\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;B'\;$ centre de gravité de la face $\;\left(ACD\right)\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace B\,(1)\,,\,B'\,(3)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {BG}}=$ ${\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {BB}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {BB'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(BB'\right)\;$ au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;B\;$ ou
• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,D\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;C'\;$ centre de gravité de la face $\;\left(ABD\right)\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace C\,(1)\,,\,C'\,(3)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {CG}}=$ ${\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {CC}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {CC'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(CC'\right)\;$ au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;C\;$ ou enfin
• utiliser l'isobarycentre partiel du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(1)\,,\,C\,(1)\right\rbrace \;$ qui est $\;D'\;$ centre de gravité de la face $\;\left(ABC\right)\;$ puis en déduire $\;G\;$ comme barycentre du système $\;\left\lbrace D\,(1)\,,\,D'\,(3)\right\rbrace \;$ donc tel que $\;{\overrightarrow {DG}}={\cancel {{\dfrac {1}{4}}\;{\overrightarrow {DD}}}}+{\dfrac {3}{4}}\;{\overrightarrow {DD'}}\;$ établissant que $\;G\;$ se trouve sur la médiane $\;\left(DD'\right)\;$ au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de la longueur de la médiane à partir de $\;D\;$ ;

......Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours $\;G$, appelé « centre de gravité du tétraèdre », étant, sur chaque médiane, au $\;{\dfrac {3}{4}}\;$ de sa longueur à partir du sommet ;

......Propriété : le centre de gravité $\;G\;$ du tétraèdre $\;ABCD\;$ est donc défini selon la relation $\;{\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}+{\overrightarrow {GD}}={\vec {0}}$, son vecteur position relativement à un point $\;O\;$ quelconque étant $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{4}}\;$.

Notion de fonction vectorielle de Leibniz

......On se place dans un espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ tous deux de dimension $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ ;

......soient $\;\left(A_{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ points de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ et $\;\left(\alpha _{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ scalaires réels, on appelle

fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}$,
l'application $\;{\vec {f}}\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ qui, au point $\;M\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ associe le vecteur $\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}\;\;\in {\mathcal {E}}_{\text{vect}}$.

......Propriétés : si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, la fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ s'annule pour un unique point $\;G\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ définissant le barycentre du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$ ; en conclusion

si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, $\;\exists !\,G\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ tel que $\;{\vec {f}}(G)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}={\vec {0}}$ ;

......Propriétés : si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, la fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ peut être simplifiée en utilisant le barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$ selon

$\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}$ ;

......Propriétés : si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, avec $\;O\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ choisi comme origine du vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, on obtient

$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {{\vec {f}}(O)}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}={\dfrac {\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}$.

......Remarque : on démontre que si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0$, la fonction vectorielle de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés de l'espace affine $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ à savoir $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ est constante ; en supposant $\;\alpha _{1}\neq 0\;$ la constante s'écrit $\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ avec $\;G_{1}\;$ le barycentre du système des $\;n-1\;$ points pondérés autres que $\;A_{1}$, en effet

......Remarque : si $\;\alpha _{1}\neq 0\;$ la somme $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0\;$ se réécrivant $\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0\;$ implique l'existence et l'unicité du barycentre $\;G_{1}\;$ du système de $\;n-1\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=2,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ soit $\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\left(\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right)\,{\overrightarrow {MG_{1}}}=-\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MG_{1}}}\;$ que l'on reporte dans la définition de la fonction vectorielle de Leibniz $\;{\vec {f}}(M)=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MA_{1}}}+\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MA_{1}}}-\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MG_{1}}}\;$ soit, par utilisation de la relation de Chasles $\;{\vec {f}}(M)=\alpha _{1}\left[{\overrightarrow {MA_{1}}}-{\overrightarrow {MG_{1}}}\right]=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ C.Q.F.D. .

Utilisation de la notion de barycentre à la détermination de lieu de points défini par une relation scalaire particulière

Lieu des points M tel que le rapport des distances à deux points distincts d'un espace affine euclidien à trois dimensions soit égal à un réel positif différent de un

......Espace vectoriel euclidien : un espace vectoriel est dit « euclidien » si on définit sur lui un produit scalaire de deux vecteurs.

......Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » si l'espace vectoriel direction de l'espace affine est « euclidien », la conséquence étant la possibilité de mesurer distances et angles dans l'espace affine « euclidien » ;

......Espace affine euclidien : la distance entre deux points de l'espace affine « euclidien » $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ étant l'application $\;d\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\times {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans $\;\mathbb {R} _{+}\;$ défini par $\;\left(A\,,\,B\right)\;{\overset {d}{\mapsto }}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {AB}}{\Big \Vert }={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}^{2}}}$ ;

......Espace affine euclidien : l'angle entre deux bipoints de l'espace affine « euclidien » $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ étant l'application $\;\alpha \;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{2}\times {\mathcal {E}}_{\text{aff}}^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} _{+}\;$ défini par $\;\left\lbrace \left(A\,,\,B\right)\,,\,\left(C\,,\,D\right)\right\rbrace \;{\overset {\alpha }{\mapsto }}\;\arccos \!\left[{\dfrac {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}}{{\Big \Vert }{\overrightarrow {AB}}{\Big \Vert }\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {CD}}{\Big \Vert }}}\right]$.

......Problème posé : Trouver le lieu des points $\;M\;$ de l'espace affine « euclidien » de dimension 3 tel que, $\;\left(A\,,\,B\right)\;$ étant deux points distincts de cet espace, le rapport des distances séparant $\;M\;$ de chacun des points est un réel strictement positif différent de $\;1$, ou tel que $\;{\dfrac {d\!\left(M,\,A\right)}{d\!\left(M,\,B\right)}}=k\;\in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\setminus \!\left\lbrace 1\right\rbrace \;$.

......Solution : La relation de définition de $\;M\,\in \,{\mathcal {E}}_{{\text{aff}},\,3}\;$ étant $\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MA}}{\Big \Vert }=k\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MB}}{\Big \Vert }\;$ avec $\;k\;\in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\setminus \!\left\lbrace 1\right\rbrace$, $\;\left(A\,,\,B\right)\,\in \,{\mathcal {E}}_{{\text{aff}},\,3}^{2}\;$ et $\;A\neq B$, peut se réécrire $\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MA}}{\Big \Vert }^{2}=k^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {MB}}{\Big \Vert }^{2}\;$ ou $\;{\overrightarrow {MA}}^{2}-k^{2}\;{\overrightarrow {MB}}^{2}=0\;$ soit encore $\;\left({\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}\right)\!\cdot \!\left({\overrightarrow {MA}}+k\;{\overrightarrow {MB}}\right)=0\;$ ;

......Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}\\{\overrightarrow {MA}}+k\;{\overrightarrow {MB}}\end{array}}\right\rbrace \;$ en utilisant respectivement les barycentres $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G_{-}\\G_{+}\end{array}}\right\rbrace \;$ du système des deux points pondérés $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left[A\,(1)\,,\,B\,(-k)\right]\\\left[A\,(1)\,,\,B\,(+k)\right]\end{array}}\right\rbrace$, chaque barycentre existant et étant unique car la somme des cœfficients affectant chaque point de chacun des systèmes est non nulle soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {MA}}-k\;{\overrightarrow {MB}}=\left(1-k\right){\overrightarrow {MG_{-}}}\\{\overrightarrow {MA}}+k\;{\overrightarrow {MB}}=\left(1+k\right){\overrightarrow {MG_{+}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ce qui permet de réécrire la relation de définition du lieu cherché des points $\;M\;$ selon $\;\left(1-k^{2}\right){\overrightarrow {MG_{-}}}\cdot {\overrightarrow {MG_{+}}}=0\;$ ou, avec $\;k^{2}\neq 1$, $\;{\overrightarrow {MG_{-}}}\cdot {\overrightarrow {MG_{+}}}=0\;$ soit enfin

le lieu des points $\;M\;$ tel que $\;{\dfrac {d\!\left(M,\,A\right)}{d\!\left(M,\,B\right)}}=k\;\in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\setminus \!\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ est la sphère de diamètre $\;\left[G_{-}G_{+}\right]\;$ où
$\;G_{-}\;$ est le barycentre du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(-k)\right\rbrace \;$ et $\;G_{+}\;$ celui du système $\;\left\lbrace A\,(1)\,,\,B\,(+k)\right\rbrace$.

Notion de fonction scalaire de Leibniz

......On se place dans un espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ de direction l'espace vectoriel euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{vect}}\;$ tous deux de dimension $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ ;

......soient $\;\left(A_{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ points de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ et $\;\left(\alpha _{k}\right)_{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ une famille de $\;n\;$ scalaires réels, on appelle

fonction scalaire de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}$,
l'application $\;f\;$ de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ qui, au point $\;M\in {\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ associe le scalaire $\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}\;\;\in \mathbb {R}$.

......Propriétés : si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, la fonction scalaire de Leibniz associée au système de $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ de l'espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ peut être réduit, en utilisant $\;G\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ définissant le barycentre du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, selon

$\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}=f(G)+\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}\;$ ;

......Propriétés : si somme non nulle, en effet, par relation de Chasles , $\;{\overrightarrow {MA_{k}}}={\overrightarrow {MG}}+{\overrightarrow {GA_{k}}}\;$ soit, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz et en développant les carrés scalaires $\;f(M)=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}+\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}\right)+2\;{\overrightarrow {MG}}\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}\right)\;$ ou, par définition $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}={\vec {0}}\;$ du barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, la fonction scalaire de Leibniz se réécrit $\;f(M)=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}+\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}\right)=\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MG}}^{2}+f(G)$ ;

......Propriétés : si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\neq 0$, avec $\;O\,\in \,{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ choisi comme origine du vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système des $\;n\;$ points pondérés $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}$, on obtient

$\;{\overrightarrow {OG}}^{2}={\dfrac {f(O)-f(G)}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}={\dfrac {\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\left[{\overrightarrow {OA_{k}}}^{2}-{\overrightarrow {GA_{k}}}^{2}\right]}{\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}}}$.

......Remarque : sachant que si $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0$, la fonction vectorielle de Leibniz $\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}\;$ associée au système de $\;n\;$ points pondérés de l'espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ à savoir $\;\left\lbrace A_{k}\,\left(\alpha _{k}\right)\right\rbrace _{k=1,\,\ldots ,\,n\,\geqslant \,p+1}\;$ est constante s'écrivant, avec $\;\alpha _{1}\neq 0\;$, selon $\;{\vec {f}}(M)=\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}=$ $\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ avec $\;G_{1}\;$ le barycentre du système des $\;n-1\;$ points pondérés autres que $\;A_{1}\;$ soit la réduction de la fonction scalaire de Leibniz selon

$\;f(M)=\sum \limits _{k=1}^{n}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {MA_{k}}}^{2}=f(O)+2\;\alpha _{1}\;{\overrightarrow {MO}}\cdot {\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ avec $\;O\;$ point arbitrairement fixé ;

......Remarque : en effet si $\;\alpha _{1}\neq 0\;$ avec $\;\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=0$, on en déduit $\;\sum \limits _{k=2}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}=-\alpha _{1}\neq 0\;$ assurant l'existence et l'unicité du barycentre $\;G_{1}\;$ du système des $\;n-1\;$ points pondérés autres que $\;A_{1}$ ;

......Remarque : $\;O\;$ étant un point de $\;{\mathcal {E}}_{\text{aff}}\;$ choisi arbitrairement, l'utilisation de la relation de Chasles conduisant à $\;{\overrightarrow {MA_{k}}}={\overrightarrow {MO}}+{\overrightarrow {OA_{k}}}\;$ donne, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz , en développant les carrés scalaires et en utilisant la nullité de la somme des cœfficients, $\;f(M)={\cancel {\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\right){\overrightarrow {MO}}^{2}+}}\;\left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}^{2}\right)+2\;{\overrightarrow {MO}}\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}\right)=f(O)+2\;{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {f}}(O)\;$ dans laquelle $\;{\vec {f}}(O)=$ $\sum \limits _{k=1}^{n\,\geqslant \,p+1}\alpha _{k}\;{\overrightarrow {OA_{k}}}=\alpha _{1}\;{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}\;$ dans la mesure où $\;\alpha _{1}\neq 0\;$ C.Q.F.D. .

Prolongement de la notion de barycentre à un système continu de points pondérés

......On considère maintenant un système continu de points en chacun desquels est affectée une densité de cœfficient continue par morceaux, ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle toutes trois continues dans un espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'intégrabilité.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux

......Soit une courbe continue $\;\left(\Gamma \right)\;$ de point générique $\;P\;$ affecté d'une densité linéique de cœfficient $\;\lambda (P)\;$ continue par morceaux, on définit le barycentre $\;G\;$ de ce système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace \;$ par

$\;\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;{\overrightarrow {GP}}\;ds_{P}={\vec {0}}\;$ où $\;s_{P}\;$ est l'abscisse curviligne du point générique sur $\;\left(\Gamma \right)$ ;

......on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace \;$ est

$\;\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;ds_{P}\neq 0$ ;

......on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\lambda (P)\right],\,P\in \left(\Gamma \right)\right\rbrace \;$ avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la courbe $\;\left(\Gamma \right)\;$ s'écrit

$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;{\overrightarrow {OP}}\;ds_{P}}{\displaystyle \int _{P\in \left(\Gamma \right)}\lambda (P)\;ds_{P}}}$.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux

......Soit une surface continue $\;\left(\Sigma \right)\;$ de point générique $\;P\;$ affecté d'une densité surfacique de cœfficient $\;\sigma (P)\;$ continue par morceaux, on définit le barycentre $\;G\;$ de ce système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace \;$ par

$\;\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;{\overrightarrow {GP}}\;dS_{P}={\vec {0}}\;$ où $\;dS_{P}\;$ est l'aire élémentaire définie au point générique sur $\;\left(\Sigma \right)$ ;

......on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace \;$ est

$\;\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;dS_{P}\neq 0$ ;

......on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\sigma (P)\right],\,P\in \left(\Sigma \right)\right\rbrace \;$ avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la surface $\;\left(\Sigma \right)\;$ s'écrit

$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;{\overrightarrow {OP}}\;dS_{P}}{\displaystyle \iint _{P\in \left(\Sigma \right)}\sigma (P)\;dS_{P}}}$.

Barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux

......Soit une expansion tridimensionnelle continue $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de point générique $\;P\;$ affecté d'une densité volumique de cœfficient $\;\mu (P)\;$ continue par morceaux, on définit le barycentre $\;G\;$ de ce système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace \;$ par

$\;\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;{\overrightarrow {GP}}\;d{\mathcal {V}}_{P}={\vec {0}}\;$ où $\;d{\mathcal {V}}_{P}\;$ est le volume élémentaire défini au point générique dans $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ ;

......on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace \;$ est

$\;\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;d{\mathcal {V}}_{P}\neq 0$ ;

......on démontre aussi que le vecteur position du barycentre $\;G\;$ du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu (P)\right],\,P\in \left({\mathcal {V}}\right)\right\rbrace \;$ avec $\;O\;$ point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ s'écrit

$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;{\overrightarrow {OP}}\;d{\mathcal {V}}_{P}}{\displaystyle \iiint _{P\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (P)\;d{\mathcal {V}}_{P}}}$.