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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Barycentre d'un système de points
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Barycentre d'un système de points », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On va se limiter au cadre de la géométrie élémentaire pour introduire la notion de barycentre d'un système de points
avec son utilisation pratique en physique
.
Cette notion peut être introduite dès lors qu'on associe à chaque point une grandeur non nulle caractérisant le point et étant additive, on dit alors que les points sont « pondérés » par cette grandeur, celle-ci définissant le cœfficient affecté au point [1].
Définition du barycentre d'un système de deux points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
Soit le système de deux points pondérés
, les cœfficients affectés aux points étant tous deux
, on appelle barycentre de ce système de deux points pondérés
le point
tel que «
».
Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système
et appliquons la relation de Chasles [2]
que l'on reporte dans la définition de
soit
d'où l'équation suivante
;
Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. [3] d'existence du barycentre du système
qui est «
» et sous cette condition on obtient une solution unique «
».
Conclusion : le barycentre du système
n'existe et est unique que si «
».
Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système
au cas où
à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de
on déduit que « le barycentre du système
avec
est le point à l'infini de la direction
» [4].
Vecteur position du barycentre du système de deux points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire
que l'on reporte dans la définition du barycentre
«
» [5] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c.-à-d.
,
«
».
Méthode de construction du barycentre du système de deux points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
Exposé de la méthode de construction du barycentre du système

par utilisation du théorème de Thalès
[6]
Le point
étant un point quelconque peut être choisi en un des points par exemple
et la formule précisant le vecteur position du barycentre se réécrit selon
établissant que le point
se trouve sur la droite
plus précisément
- si
et
sont tous deux
,
se trouve sur le segment
situé, à partir de
à la fraction
de la longueur du segment
, les points
,
et
sont alignés dans l'ordre
;
- si
est
et
de valeur absolue
,
se trouve au-delà du segment
situé, à partir de
à la fraction
de la longueur du segment
, les points
,
et
sont alignés dans l'ordre
;
- si
est
et
de valeur absolue
,
se trouve en-deçà du segment
situé, à partir de
à la fraction
de la longueur du segment
, les points
,
et
sont alignés dans l'ordre
.
Exemple de construction : Soit à construire le barycentre du système
d'après ce qui précède on en déduit
c.-à-d. que
se trouve sur le segment
au
de la longueur du segment à partir de
voir construction ci-contre utilisant le théorème de Thalès [6]
Si
est le barycentre du système
avec
, on établit aisément que
pour tout réel
, le barycentre du système
est encore
;
en effet la définition du barycentre du système
étant
, multipliant cette dernière par
et utilisant la distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à l'addition vectorielle on obtient
c.-à-d. la définition du barycentre du système
.
Cas particulier : isobarycentre d'un système de deux points[modifier | modifier le wikicode]
On parle d'« isobarycentre d'un système de deux points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à
;
propriété : l'isobarycentre d'un système de deux points est le milieu su segment joignant les deux points.
On généralise aisément la notion de barycentre à un système de trois points pondérés
Définition du barycentre d'un système de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
Soit le système de trois points pondérés
, les cœfficients affectés aux points étant tous trois
, on appelle barycentre de ce système de trois points pondérés
le point
tel que «
».
Condition d'existence et d'unicité : Supposons l'existence du barycentre du système
et appliquons la relation de Chasles [2]
et
que l'on reporte dans la définition de
soit
d'où l'équation suivante
;
Condition d'existence et d'unicité : on en déduit une C.N. [3] d'existence du barycentre du système
qui est «
» et sous cette condition on obtient une solution unique «
».
Conclusion : le barycentre du système
n'existe et est unique que si «
».
Remarque : On peut prolonger la définition du barycentre du système
au cas où
à condition d'admettre que le barycentre puisse être un point à l'infini sur une direction, ainsi de
on déduit que « le barycentre du système des trois points
avec
est le point à l'infini de la direction du vecteur
» [4].
Vecteur position du barycentre du système de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
étant un point quelconque de l'espace, on utilise la relation de Chasles [2] pour réécrire
que l'on reporte dans la définition du barycentre, ce qui donne la relation suivante
[7] soit, dans la mesure où on souhaite que le barycentre reste à distance finie c.-à-d.
,
«
».
Propriétés de commutativité et d'associativité de la prise de barycentre, notion de barycentre partiel[modifier | modifier le wikicode]
La définition du barycentre d'un système de deux
ou trois
points pondérés ne précisant pas l'ordre des points, la prise de barycentre est évidemment commutative ;
la prise de barycentre du système
avec
est aussi associative si
c.-à-d. que le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés,
étant un point quelconque pris pour origine, peut se réécrire en réduisant l'une quelconque des sommes vectorielles selon
où les éléments du triplet
sont respectivement les « barycentres partiels » du système des deux points pondérés
,
et
;
ainsi la somme vectorielle
peut se réécrire selon
d'où trois façons de réécrire le vecteur position du barycentre du système des trois points pondérés en utilisant l'un des trois barycentres partiels
«
».
Méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
La méthode la plus simple consiste à définir le barycentre partiel entre deux points judicieusement choisis par exemple entre
et
, le barycentre partiel étant
puis à déterminer le barycentre
du système des deux points pondérés
lequel s'identifie au barycentre du système des trois points pondérés
:
Disposition des trois atomes d'une molécule d'eau dans le but de déterminer leur barycentre, chaque atome étant affecté de son nombre de masse
[8]
Exemple de construction du barycentre du système des trois atomes d'une molécule d'eau, chaque atome étant affecté de son nombre de masse [8] : une molécule d'eau est constitué de deux atomes d'hydrogène, notés
et
pour les distinguer
mais ils sont bien entendu identiques
liés à un atome d'oxygène, noté
, l'angle entre les liaisons étant
et la longueur de chaque liaison
étant la même égale à
[9], le nombre de masse d'un atome d'hydrogène étant
et celui d'un atome d'oxygène
;
on cherche donc le barycentre
du système des trois atomes pondérés
et pour cela on détermine d'abord l'isobarycentre
des deux atomes d'hydrogène
et
qui est au milieu du segment joignant ces derniers, il est donc sur la bissectrice de l'angle
situé à la distance
de l’atome d'oxygène telle que
en
soit
, puis
on détermine le barycentre
des deux points pondérés
,
étant sur la bissectrice de l'angle
tel que
, à la distance
en
soit
.
Isobarycentre d'un système de trois points non alignés, conséquence sur la propriété des médianes d'un triangle quelconque[modifier | modifier le wikicode]
On parle d'« isobarycentre d'un système de trois points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à
.
Schéma d'un triangle

quelconque avec tracé des trois médianes

issue de

,

issue de

et

issue de

, propriété de concours de ces trois médianes en

appelé centre de gravité du triangle
Propriété : l'isobarycentre du système de trois points
peut se déterminer en faisant intervenir l'un des trois isobarycentre partiel
dans ce qui suit les trois points sont non alignés de façon à former un triangle
:
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
milieu du segment
puis en déduire
comme barycentre du système des deux points
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
au
de la longueur de la médiane à partir de
ou
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
milieu du segment
puis en déduire
comme barycentre du système des deux points
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
au
de la longueur de la médiane à partir de
ou enfin
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
milieu du segment
puis en déduire
comme barycentre du système des deux points
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
au
de la longueur de la médiane à partir de
;
Propriété : on en déduit que les trois médianes d'un triangle quelconque sont concourantes, le point de concours
, appelé « centre de gravité du triangle », étant, sur chaque médiane, au
de sa longueur à partir du sommet ;
Propriété : le centre de gravité
du triangle
est donc défini par
, son vecteur position relativement à un point
quelconque étant
[10].
On généralise la notion de barycentre à un système de
points pondérés,
[11]
Définition du barycentre d'un système de n points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
Soit le système de
points pondérés
, les cœfficients affectés aux points étant tous
, on appelle barycentre de ce système de
points pondérés
le point
tel que «
».
Condition d'existence et d'unicité : On admet qu'une C.N. [3] d'existence du barycentre du système
est
«
» et Condition d'existence et d'unicité : On admet que sous cette condition on obtient une solution unique.
Notion d'espace affine de direction l'espace vectoriel associé[modifier | modifier le wikicode]
Étant donné un espace vectoriel
sur le corps des réels
on appelle espace affine
de direction
l'ensemble non vide muni d'une application
qui, à chaque bipoint
de
associe un élément de
noté
vérifiant les deux propriétés suivantes :
, la relation de Chasles [2]
s'applique dans
et
,
, il existe un translaté unique de
par
c.-à-d.
tel que
[12].
On définit la dimension de l'espace affine
par celle de l'espace vectoriel
qui lui est associé ;
exemples : espace affine de dimension
encore appelé « droite affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par un vecteur
;
exemples : espace affine de dimension
encore appelé « plan affine » dont la direction est l'espace vectoriel généré par
deux vecteurs non colinéaires ;
exemples : espace affine de dimension
représentant l'« espace affine de la physique newtonienne à trois degrés de liberté » dont la direction est l'espace vectoriel généré par
trois vecteurs non coplanaires ;
exemples : espace affine de dimension
dont la direction est l'espace vectoriel généré par
,
vecteurs libres [13], cet espace affine n'étant pas concevable par notre cerveau dont l'imaginaire peut représenter trois dimensions au maximum [14].
Propriété : si on fixe un point origine
dans l'espace affine
, il existe une application
de
dans sa direction
qui, à tout point
de
associe le vecteur
; cette application
est alors bijective [15].
Isobarycentre d'un système de quatre points non coplanaires, conséquence sur la propriété des médianes d'un tétraèdre quelconque[modifier | modifier le wikicode]
On parle d'« isobarycentre d'un système de quatre points » quand les cœfficients qui leur sont affectés sont égaux ou si tous les cœfficients sont égaux à
.
Schéma d'un tétraèdre

quelconque avec tracé de trois des quatre médianes

issue de

,

issue de

,

issue de

issue de

n'ayant pas été tracée pour ne pas surcharger

, propriété de concours de ces quatre médianes en

appelé centre de gravité du tétraèdre
Propriété : l'isobarycentre du système de quatre points
peut se déterminer en faisant intervenir l'un des quatre isobarycentres partiels
dans ce qui suit les quatre points sont non coplanaires [16] de façon à former un tétraèdre
:
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
centre de gravité de la face
puis en déduire
comme barycentre du système
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
[17] au
de la longueur de la médiane à partir de
ou
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
centre de gravité de la face
puis en déduire
comme barycentre du système
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
[17] au
de la longueur de la médiane à partir de
ou
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
centre de gravité de la face
puis en déduire
comme barycentre du système
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
[17] au
de la longueur de la médiane à partir de
ou enfin
- utiliser l'isobarycentre partiel du système
qui est
centre de gravité de la face
puis en déduire
comme barycentre du système
donc tel que
établissant que
se trouve sur la médiane
[17] au
de la longueur de la médiane à partir de
;
Propriété : on en déduit que les quatre médianes d'un tétraèdre quelconque sont concourantes, le point de concours
, appelé « centre de gravité du tétraèdre », étant, sur chaque médiane, au
de sa longueur à partir du sommet ;
Propriété : le centre de gravité
du tétraèdre
est donc défini selon la relation «
», son vecteur position relativement à un point
quelconque étant «
» [18].
On se place dans un espace affine
de direction l'espace vectoriel
tous deux de dimension
;
soient
une famille de
points de
et
une famille de
scalaires réels, on appelle
fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de
points pondérés
de l'espace affine
,
« l'application
de
dans
qui, au point
associe le vecteur
».
Propriétés : si
, la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de
points pondérés
de l'espace affine
s'annule pour un unique point
définissant le barycentre du système des
points pondérés
; en conclusion
« si
», «
tel que
» ;
Propriétés : « si
», la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de
points pondérés
de l'espace affine
peut être simplifiée en utilisant le barycentre
du système des
points pondérés
selon
«
» ;
Propriétés : « si
», avec
choisi comme origine du vecteur position du barycentre
du système des
points pondérés
, on obtient
«
».
Remarque : « si
», on démontre que la fonction vectorielle de Leibniz [19] associée au système de
points pondérés de l'espace affine
à savoir
est constante ;
Remarque : « si
», « en supposant
» la constante s'écrit «
avec
le barycentre du système des
points pondérés autres que
», en effet
Remarque : « si
», « en supposant si
, « la somme
se réécrivant
» implique « l'existence et l'unicité du barycentre
du système de
points pondérés
» soit «
» ou encore «
» que l'on reporte dans la définition de la fonction vectorielle de Leibniz [19] «
» soit, par utilisation de la relation de Chasles [2] «
» C.Q.F.D. [20].
Utilisation de la notion de barycentre à la détermination de lieu de points défini par une relation scalaire particulière[modifier | modifier le wikicode]
Lieu des points M tel que le rapport des distances à deux points distincts d'un espace affine euclidien à trois dimensions soit égal à un réel positif différent de un[modifier | modifier le wikicode]
Espace vectoriel euclidien : un espace vectoriel est dit « euclidien » si on définit sur lui un produit scalaire de deux vecteurs.
Espace affine euclidien : un espace affine est dit « euclidien » si l'espace vectoriel direction de l'espace affine est « euclidien », la conséquence étant la possibilité de mesurer distances et angles dans l'espace affine « euclidien » ;
Espace affine euclidien : la distance entre deux points de l'espace affine « euclidien »
de direction l'espace vectoriel
étant l'application
de
dans
défini par
«
» ;
Espace affine euclidien : l'angle entre deux bipoints de l'espace affine « euclidien »
de direction l'espace vectoriel
étant l'application
de
dans
[21] défini par
«
» [22].
Problème posé : Trouver le lieu des points
de l'espace affine « euclidien » de dimension
tel que,
étant deux points distincts de cet espace, le rapport des distances séparant
de chacun des points est un réel strictement positif différent de
, ou tel que «
» [23].
Solution : La relation de définition de
étant «
avec
»,
et
, peut se réécrire «
» ou encore «
» soit finalement «
» [24] ;
Solution : on réalise alors la réduction des sommes vectorielles «
» en utilisant respectivement les barycentres
du système des deux points pondérés
, chaque barycentre existant et étant unique car la somme des cœfficients affectant chaque point de chacun des systèmes est non nulle [25] soit «
» ce qui permet de réécrire la relation de définition du lieu cherché des points
selon «
» ou, avec
, «
» soit enfin
« le lieu des points
tel que
est la sphère de diamètre
» où
«
est le barycentre du système
» et «
celui du système
».
On se place dans un espace affine euclidien
de direction l'espace vectoriel euclidien
tous deux de dimension
;
soient
une famille de
points de
et
une famille de
scalaires réels, on appelle
fonction scalaire de Leibniz [19] associée au système de
points pondérés
de l'espace affine euclidien
,
« l'application
de
dans
qui, au point
associe le scalaire
».
Propriétés : « si
», la fonction scalaire de Leibniz [19] associée au système de
points pondérés
de l'espace affine euclidien
peut être réduit, en utilisant
définissant le barycentre du système des
points pondérés
, selon
«
» [26] ;
Propriétés : « si
», en effet, par relation de Chasles [2],
soit, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [19] et en développant les carrés scalaires «
» ou, par définition «
du barycentre
du système des
points pondérés
», la fonction scalaire de Leibniz [19] se réécrit «
» ;
Propriétés : « si
», avec
choisi comme origine du vecteur position du barycentre
du système des
points pondérés
, on obtient
«
».
Remarque : sachant que « si
», la fonction vectorielle de Leibniz [19]
associée au système de
points pondérés de l'espace affine euclidien
à savoir
est constante s'écrivant,
Remarque : sachant que « si
» [27], selon «
avec
le barycentre du système des
points pondérés autres que
» [28] soit la réduction de la fonction scalaire de Leibniz [19] selon
«
» avec
point arbitrairement fixé ;
Remarque : sachant que si «
», en effet « si
avec
», on en déduit «
assurant l'existence et l'unicité du barycentre
du système des
points pondérés autres que
» ;
Remarque : sachant que « si
», en effet « si
étant un point de
choisi arbitrairement, l'utilisation de la relation de Chasles [2] conduisant à
donne, en reportant dans la relation de définition de la fonction scalaire de Leibniz [19], en développant les carrés scalaires et en utilisant la nullité de la somme des cœfficients, la relation suivante «
» où «
dans la mesure où
» C.Q.F.D. [20].
Prolongement de la notion de barycentre à un système continu de points pondérés[modifier | modifier le wikicode]
On considère maintenant un système continu de points en chacun desquels est affectée une densité de cœfficient continue par morceaux, ces points décrivant une courbe, une surface ou une expansion tridimensionnelle toutes trois continues dans un espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'intégrabilité.
Barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux[modifier | modifier le wikicode]
Soit une courbe continue
de point générique
affecté d'une densité linéique de cœfficient
continue par morceaux, on définit le barycentre
de ce système de points
par
«
» [29] où
est l'abscisse curviligne du point générique sur
;
on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre
du système de points
est
«
» [29] ;
on démontre aussi que le vecteur position du barycentre
du système de points
avec
point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la courbe
s'écrit
«
» [29].
Barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux[modifier | modifier le wikicode]
Soit une surface continue
de point générique
affecté d'une densité surfacique de cœfficient
continue par morceaux, on définit le barycentre
de ce système de points
par
«
» [30] où
est l'aire élémentaire définie au point générique sur
;
on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre
du système de points
est
[30] ;
on démontre aussi que le vecteur position du barycentre
du système de points
avec
point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie la surface
s'écrit
«
» [30].
Barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux[modifier | modifier le wikicode]
Soit une expansion tridimensionnelle continue
de point générique
affecté d'une densité volumique de cœfficient
continue par morceaux, on définit le barycentre
de ce système de points
par
«
» [31] où
est le volume élémentaire défini au point générique dans
;
on établit que la condition d'existence et d'unicité du barycentre
du système de points
est
«
» [31] ;
on démontre aussi que le vecteur position du barycentre
du système de points
avec
point quelconque de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel est définie l'expansion tridimensionnelle
s'écrit
«
» [31].
- ↑ Si les points sont étudiés dans le cadre gravitationnel à une échelle où les atomes sont considérés comme insécables, la grandeur en question va être la masse du point effectivement additive
ce qui cesserait d'être le cas à l'intérieur d'un atome à cause de la conversion masse énergie
;
si les points sont étudiés dans le cadre électrostatique, la grandeur en question va être la charge du point effectivement additive
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 et 2,7 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
- ↑ 3,0 3,1 et 3,2 Condition Nécessaire.
- ↑ 4,0 et 4,1 Ceci est une extension de la définition du barycentre qu'a priori nous n'utiliserons pas.
- ↑ Cette propriété est encore connue sous le nom de « réduction de somme vectorielle » : pour tout point
de l'espace la somme
se réduit à l'aide du barycentre
du système
en
.
- ↑ 6,0 et 6,1 Thalès de Milet (vers -625, -547) philosophe et savant grec n'ayant apparemment rien écrit mais qui fut néanmoins l'auteur de nombreuses recherches en mathématiques dont le théorème portant son nom.
- ↑ Cette propriété est encore connue sous le nom de « réduction de somme vectorielle » : pour tout point
de l'espace la somme
se réduit à l'aide du barycentre
du système
en
.
- ↑ 8,0 et 8,1 Nombre de masse d'un atome : nombre de nucléons que contient ce dernier.
- ↑ Un angström
étant un sous-multiple de l'unité de longueur du S.I. bien adapté aux distances atomiques
Anders Jonas Ångström (1814 - 1874) astronome et physicien suédois qui fut l'un des fondateurs de la spectroscopie et l'un des pionniers dans l'étude des spectres, il découvrit la présence d'hydrogène dans le spectre solaire en
, pour lui rendre hommage on donna son nom à une unité de longueur précisant l'ordre de grandeur dans les distances atomiques
.
- ↑ Si on particularise
par exemple en
on en déduit
en accord avec la réduction de la somme vectorielle
traduisant que
est l'isobarycentre partiel de
.
- ↑ C.-à-d. au moins
.
- ↑ L'application qui, à un point
de l'espace affine
, associe son translaté
par un vecteur
est appelé « translation de vecteur
».
- ↑ On rappelle qu'un ensemble de vecteurs
est libre si
.
- ↑ La seule façon de concevoir un espace affine de dimension
est d'imaginer les quatre sous espaces affines de dimension
de direction l'un des quatre sous espaces vectoriels de dimension
généré par
ou
ou
ou
.
- ↑ On rappelle qu'une application est bijective ssi tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent.
- ↑ Le caractère « non coplanaire » des quatre points implique que l'espace affine dans lequel baignent ces quatre points est de dimension
, on dit, dans ces conditions, que cet espace affine de dimension
est généré par les quatre points non coplanaires, ceci se justifiant par le fait que l'ensemble de tous les barycentres de ces quatre points affectés de cœfficient quelconque génère l'espace affine ;
dans le cas où les quatre points seraient coplanaires sans être alignés, ils généreraient un espace affine de dimension
, ceci se justifiant par le fait que l'ensemble de tous les barycentres de ces quatre points coplanaires mais non alignés affectés de cœfficient quelconque constitue l'espace affine de dimension
;
dans le cas où les quatre points seraient alignés, ils généreraient un espace affine de dimension
, ceci se justifiant par le fait que l'ensemble de tous les barycentres de ces quatre points alignés affectés de cœfficient quelconque constitue l'espace affine de dimension
.
- ↑ 17,0 17,1 17,2 et 17,3 On appelle « médiane d'un tétraèdre » tout segment joignant un sommet quelconque au centre de gravité de la face opposée à ce sommet ; il y a donc quatre médianes dans un tétraèdre quelconque.
- ↑ Si on particularise
par exemple en
on en déduit
en accord avec la réduction de la somme vectorielle
traduisant que
est l'isobarycentre partiel de
.
- ↑ 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 et 19,11 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal
calcul différentiel et calcul intégral
dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le calcul infinitésimal, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment.
- ↑ 20,0 et 20,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ L'angle introduit étant non algébrisé.
- ↑ Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Le cas
est exclu car la méthode de résolution qui va être envisagée nécessite
d'une part et d'autre part le lieu des points
tel que
est connu, c'est, par définition, le plan médiateur du segment
.
- ↑ On étend l'identité
définie dans
muni de la multiplication scalaire à l'espace vectoriel « euclidien »
donc muni de la multiplication scalaire entre vecteurs car « euclidien »
selon
pour tout
.
- ↑
étant
et
.
- ↑ Dans le cas où
, cette réduction est à comparer à celle de la fonction vectorielle de Leibniz
de même forme à l'exception du fait que la fonction vectorielle de Leibniz au point
y est nulle par définition du barycentre du système de points pondérés.
- ↑ Si le cœfficient non nul était
il suffirait de remplacer l'indice
par l'indice
.
- ↑ Voir le paragraphe « notion de fonction vectorielle dans le cas où
» plus haut dans le chapitre.
- ↑ 29,0 29,1 et 29,2 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 30,0 30,1 et 30,2 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 31,0 31,1 et 31,2 Voir le paragraphe « les deus types d'intégrales volumiques » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».