Leçons de niveau 14

Mécanique du point en référentiel non galiléen/Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen

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Mécanique du point en référentiel non galiléen/Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen
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Sommaire

Introduction : Recherche d'une relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) pour un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Démonstration de la propriété caractérisant tout référentiel galiléen relativement à un référentiel galiléen de référence[modifier | modifier le wikicode]

     Démonstration : Pour définir la translation de par rapport à , il suffit de se donner le mouvement, dans , d'un point fixe de , par exemple celui de l'origine du repère associé à , de vecteur vitesse à l'instant dans , « noté encore » et de vecteur accélération au même instant dans , « noté encore ».

     Démonstration : Rappel : Une conséquence du mouvement d’ensemble de translation de tous les points fixes de est que tout bipoint lié à garde une direction fixe dans et, par suite, que la base cartésienne du repère associé à peut être identifiée à celle du repère associé à les axes cartésiens de l’un pouvant être choisis à ceux de l’autre.

     Démonstration : Utilisation de la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un entraînement de translation [1] : «» dans laquelle et sont respectivement les référentiels absolu et d'entraînement, «» [2] étant le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant , « et » respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de au même instant c.-à-d. les vecteurs accélérations de à l'instant dans et soit finalement

«» [2].

     Démonstration : Conséquence d'un entraînement de translation rectiligne uniforme : Comme «» [2] on en déduit «».

     Démonstration : Application du p.f.d.n. [3] au point matériel M [4] : étant galiléen on peut appliquer le p.f.d.n. [3] à un « point matériel quelconque » soumis à un « système de n'importe quelles forces » et on en déduit que le vecteur accélération du point à l'instant dans à savoir «» se détermine par r.f.d.n. [5] soit «».

     Démonstration : Établissement du caractère galiléen du référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à  : Pour établir que le référentiel est galiléen, il faut démontrer que la r.f.d.n. [5] s'y applique à «» soumis au « système de forces » et pour cela, on utilise d'une part l'invariance des forces par changement de référentiel [6] ainsi que la constance de la masse d'un point et d'autre part «» conséquence de la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas de en translation rectiligne uniforme relativement à d'où

« dans la r.f.d.n. s'applique à soumis au système de forces » car
«» «»

                                                                            « est galiléen ».

But recherché pour obtenir une r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Nous nous limiterons aux cas où le référentiel non galiléen étudié est en translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme ou en rotation autour d'un axe fixe relativement à tout référentiel galiléen mais le résultat obtenu pourra être généralisé sans difficulté à un référentiel non galiléen en entraînement quelconque relativement à tout référentiel galiléen.

     Voulant étudier le « mouvement d'un point matériel » soumis à un « système de forces » dans le « référentiel d'étude non galiléen » c.-à-d. n’étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen ,

     nous cherchons à trouver sous quelle forme doit être modifiée la r.f.d.n. [5] pour qu'elle devienne applicable dans un référentiel non galiléen c.-à-d. obtenir le 1er membre de «».

     Pour cela on applique la r.f.d.n. [5] à «» soumis au « système de forces » dans le « référentiel galiléen » soit «» puis

     Pour cela on utilise la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un entraînement de translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme[1] ou de rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel absolu galiléen [7] «» avec « le vecteur accélération d'entraînement du point à l'instant » et « le vecteur accélération de Coriolis [8] de au même instant », loi de composition newtonienne des accélérations que l'on reporte dans la relation d'où

«» ;

     Pour cela on voit que, pour atteindre le but poursuivi, il suffit de transposer les deux derniers termes du 2ème membre de la relation dans le 1er membre de façon à conserver uniquement le 2ème membre souhaité «» ce qui donne la relation ci-dessous :

«».

     Conclusion : Il est possible d’obtenir une r.f.d.n. [5] applicable à un point matériel dans un référentiel non galiléen de la forme «», mais il faut, aux «vraies forces » existant dans tous les référentiels car invariantes par changement de ces derniers, ajouter deux termes, homogènes à des forces, «» [9] liés au caractère non galiléen du référentiel et par suite n’existant que dans un tel référentiel, que l'on nommera « pseudo-forces d’inertie » [10].

Pseudo-forces d'inertie (traduisant le caractère non galiléen du référentiel)[modifier | modifier le wikicode]

Pseudo-forces d'inertie d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

     La pseudo-force d'inertie d'entraînement agissant sur le point matériel apparaît dès lors que le référentiel d'étude est non galiléen, que son entraînement relativement à un référentiel galiléen soit une translation ou une rotation autour d'un axe fixe ou encore un mouvement quelconque.

Cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme relativement à tout galiléen ne dépend pas de la position du point par contre elle dépend a priori du temps .

     Exemple : Si est une voiture freinant en ligne droite par rapport au sol supposé galiléen, le vecteur accélération de la voiture par rapport au sol est dirigée en sens contraire du mouvement et la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente dans l'habitacle ou sur tout objet y séjournant est dirigée dans le sens du mouvement ainsi une personne sans ceinture de sécurité sera-t-elle propulsée vers l'avant de la voiture [11]

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, est centrifuge relativement à et dépend de la position du point en étant de norme à la distance de à l'axe par contre sa norme ne dépend pas explicitement du temps .

     Exemple : Si est un manège en rotation uniforme autour d'un axe fixe par rapport au sol supposé galiléen, la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente sur le manège ou sur tout objet y reposant hors de l'axe est centrifuge ainsi une personne présente sur le manège sera-t-elle propulsée vers l'extérieur du manège [13]

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, a deux composantes dont l'une est orthoradiale, l'autre étant centrifuge relativement à , sa norme dépendant de la position du point et explicitement du temps .

     Exemple : Si est un manège en phase de freinage autour d'un axe fixe par rapport au sol supposé galiléen, la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente sur le manège ou sur tout objet y reposant hors de l'axe a une composante orthoradiale dans le sens de rotation et une autre centrifuge ainsi une personne présente sur le manège sera-t-elle propulsée simultanément vers l'avant et vers l'extérieur du manège [15]

En complément, cas d'un référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Pseudo-forces d'inertie de Coriolis[modifier | modifier le wikicode]

     La pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] agissant sur le point matériel apparaît dès lors que le référentiel d'étude est non galiléen à entraînement rotatif relativement à un référentiel galiléen ou à entraînement quelconque avec une composante rotative, elle n'intervient donc pas quand le référentiel non galiléen est en translation « pure » relativement à tout référentiel galiléen.

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété : Pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] soit non nulle, il faut que le point qui la subit dans le référentiel d'étude non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de dans .

Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété : Comme précédemment, pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] soit non nulle, il faut que le point qui la subit dans le référentiel d'étude non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de dans .

En complément, cas d'un référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété : Là encore, pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] soit non nulle, il faut que le point qui la subit dans le référentiel d'étude non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de dans .

Relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaires : Le 2nd membre de la r.f.d.n. [5] ci-dessus se réécrit « dans lequel est le vecteur quantité de mouvement newtonien de à l'instant dans le référentiel d'étude non galiléen ».

     Commentaires : Si le référentiel d'étude non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] n'existant pas est considérée comme nulle et la r.f.d.n. [5] se réécrit « dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à tout galiléen , avec ».

     Remarques : Les deux formes ci-dessus de la r.f.d.n. [5] dans un référentiel non galiléen à savoir «» peuvent être étendues à un référentiel galiléen à condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis [8] dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.

     Remarques : Les deux formes de r.f.d. [16] dans un référentiel non galiléen ne sont applicables qu'en dynamique newtonienne, elles deviennent généralement inapplicables en dynamique relativiste car pour établir la 1ère forme «» on a utilisé la loi de composition newtonienne des accélérations, loi non applicable en cinématique relativiste Aussi, dès lors qu'un référentiel , dans le cadre de la dynamique relativiste, devient non galiléen, on ne fait pas l'étude dans ce référentiel mais on maintient celle-ci dans un référentiel galiléen [17] on rappelle que la seule forme de r.f.d. [16] applicable en dynamique relativiste dans un référentiel galiléen est «» [18] avec le vecteur quantité de mouvement relativiste de à l'instant dans le référentiel d'étude galiléen, «» étant le facteur de Lorentz [19] du point dans

Théorèmes du moment cinétique (vectoriel et scalaire) du point dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaire : Si le référentiel d'étude non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] n'existant pas est considérée comme nulle et le théorème du moment cinétique vectoriel se réécrit « dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à tout galiléen , avec ».

     Remarques : Le théorème du moment cinétique vectoriel dans un référentiel non galiléen n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne la justification de cette affirmation est faite dans le paragraphe « démonstration du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen » de ce chapitre.

     Remarques : Le théorème du moment cinétique vectoriel dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléen à condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis [8] dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.

Démonstration du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la r.f.d.n. [5] appliquée, dans un référentiel d'étude non galiléen, à un point matériel soumis aux «vraies forces », « » dans laquelle est la quantité de mouvement du point matériel à l'instant dans le référentiel non galiléen, «» et « » les pseudo-forces d'inertie respectivement d'entraînement et de Coriolis [8] s'exerçant sur à l'instant dans non galiléen,
          Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par dans lequel est un point fixe du référentiel d'étude non galiléen et on obtient, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle [20] «» ;

     dans la mesure où est choisi fixe dans le référentiel non galiléen , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «», est aussi la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de par rapport à à l'instant dans , soit «» avec en effet :

          dans la mesure où O est choisi fixe dans le référentiel non galiléen R, dans laquelle, étant un point fixe dans , est le vecteur position de à l'instant dans le référentiel non galiléen et par suite «» le vecteur vitesse «» de à l'instant dans non galiléen, égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «» «» soit «» ;

     on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des vecteurs moments des «vraies forces » appliquées à par rapport à et des pseudo-forces d'inertie d'entraînement «» et de Coriolis [8] «» s'exerçant toutes deux sur dans non galiléen, soit «» ;

     on en déduit le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel relativement à un point fixe dans le référentiel d'étude non galiléen sous la forme

« avec un point fixe de non galiléen ».

Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Commentaire : Si le référentiel d'étude non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] n'existant pas est considérée comme nulle et le théorème du moment cinétique scalaire se réécrit « dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à tout galiléen , [21] avec ».

     Remarques : Le théorème du moment cinétique scalaire dans un référentiel non galiléen n'est, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne la justification de cette affirmation est faite dans le paragraphe « démonstration du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen » de ce chapitre.

     Remarques : Le théorème du moment cinétique scalaire dans un référentiel non galiléen à savoir «» [21] peut être étendu à un référentiel galiléen à condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis [8] dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.

Démonstration du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Choisissant un point origine fixe sur l'axe fixe du référentiel non galiléen , on peut appliquer au point matériel le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au point origine fixe du référentiel non galiléen «» dans laquelle est le moment cinétique vectoriel du point matériel à l'instant dans le référentiel non galiléen , étant l'ensemble des vraies forces appliquées au point , et les pseudo-forces d'inertie respectivement d'entraînement et de Coriolis [8] s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen , on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par le vecteur unitaire orientant l'axe et on obtient, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [22] utilisée dans le membre de gauche et du caractère constant de utilisée dans le membre de droite « » [23] ;

     dans la mesure où est choisi sur , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «» [23], est aussi la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de par rapport à à l'instant dans le référentiel non galiléen , soit «» [21] avec  ;

          dans la mesure où O est choisi sur Δ, on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des moments scalaires des vraies forces appliquées à et des pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis [8] s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen , tous les moments scalaires étant évalués par rapport à soit «» ;

     on en déduit le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel relativement à un axe fixe dans un référentiel non galiléen sous la forme

«[21] si est un axe fixe de non galiléen ».

Statique d'un point dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

1ère condition nécessaire (C.N.) d'équilibre relatif d'un point dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L’équilibre relatif d'un point matériel dans un référentiel non galiléen se traduit par les deux conditions suivantes soit, en utilisant la 1ère condition, la réécriture de la 1ère C.N. [24] d’équilibre relatif

«» dans laquelle
est l'ensemble des vraies forces appliquées au point et
la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen.

     Remarques : La 1ère C.N. [24] d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendue à un référentiel galiléen à condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement nulle.

     Remarques : On observe que la pseudo-force d'inertie de Coriolis [8] ne jouant aucun rôle dans cette 1ère C.N. [24] d’équilibre relatif, celle-ci est formellement identique quel que soit l'entraînement du référentiel d'étude non galiléen par rapport au référentiel galiléen translation, rotation uniforme ou non relativement à un axe fixe de ou encore mouvement quelconque, cette identité n'étant que formelle car l'explicitation de la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen dépend du type d'entraînement.

2ème condition nécessaire (C.N.) d'équilibre relatif d'un point dans un référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L’équilibre relatif d'un point matériel dans non galiléen se traduisant par les deux conditions