En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique du point en référentiel non galiléen : Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen Mécanique du point en référentiel non galiléen/Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Introduction : Recherche d'une relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) pour un référentiel non galiléen
Propriété caractérisant tout référentiel galiléen relativement à un référentiel galiléen de référence
Tout référentiel , « animé par rapport à un référentiel galiléen de référence , d’un mouvement de translation rectiligne uniforme », est lui-même « galiléen ».
Démonstration : Pour définir la translation de par rapport à , il suffit de se donner le mouvement, dans , d'un point fixe de , par exemple celui de l'origine du repère associé à , de vecteur vitesse à l'instant dans , « noté encore » et de vecteur accélération au même instant dans , « noté encore ».
Démonstration : Rappel : Une conséquence du mouvement d’ensemble de translation de tous les points fixes de est que tout bipoint lié à garde une direction fixe dans et, par suite, que la base cartésienne du repère associé à peut être identifiée à celle du repère associé à les axes cartésiens de l’un pouvant être choisis à ceux de l’autre.
Démonstration : Utilisation de la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un entraînement de translation[1] : «» dans laquelle et sont respectivement les référentiels absolu et d'entraînement, «»[2] étant le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant , « et » respectivement les vecteurs accélérations absolue et relative de au même instant c'est-à-dire les vecteurs accélérations de à l'instant dans et soit finalement
Démonstration : Conséquence d'un entraînement de translation rectiligne uniforme : Comme «»[2] on en déduit «».
Démonstration : Application du p.f.d.n[3]. au point matériel M[4] : étant galiléen on peut appliquer le p.f.d.n[3]. à un « point matériel quelconque » soumis à un « système de n'importe quelles forces » et on en déduit que le vecteur accélération du point à l'instant dans à savoir «» se détermine par r.f.d.n[5]. soit «».
Démonstration : Établissement du caractère galiléen du référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à : Pour établir que le référentiel est galiléen, il faut démontrer que la r.f.d.n[5]. s'y applique à «» soumis au « système de forces » et pour cela, on utilise d'une part l'invariance des forces par changement de référentiel[6] ainsi que la constance de la masse d'un point et d'autre part «» conséquence de la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas de en translation rectiligne uniforme relativement à d'où
« dans la r.f.d.n. s'applique à soumis au système de forces » car «» «» « est galiléen ».
But recherché pour obtenir une r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen
Préliminaire : Nous nous limiterons aux cas où le référentiel non galiléen étudié est en translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme ou en rotation autour d'un axe fixe relativement à tout référentiel galiléen mais le résultat obtenu pourra être généralisé sans difficulté à un référentiel non galiléen en entraînement quelconque relativement à tout référentiel galiléen.
Voulant étudier le « mouvement d'un point matériel » soumis à un « système de forces » dans le « référentiel d'étude non galiléen » c'est-à-dire n’étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen ,
nous cherchons à trouver sous quelle forme doit être modifiée la r.f.d.n.[5]pour qu'elle devienne applicable dans un référentiel non galiléen c'est-à-dire obtenir le 1er membre de «».
Pour cela on applique la r.f.d.n[5]. à «» soumis au « système de forces » dans le « référentiel galiléen » soit «» puis
Pour cela on utilise la loi de composition newtonienne des accélérations dans le cas d'un entraînement de translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme[1] ou de rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel absolu galiléen[7] «» avec « le vecteur accélération d'entraînement du point à l'instant » et « le vecteur accélération de Coriolis[8] de au même instant », loi de composition newtonienne des accélérations que l'on reporte dans la relation d'où
«» ;
Pour cela on voit que, pour atteindre le but poursuivi, il suffit de transposer les deux derniers termes du 2ème membre de la relation dans le 1er membre de façon à conserver uniquement le 2ème membre souhaité «» ce qui donne la relation ci-dessous :
«».
Conclusion : Il est possible d’obtenir une r.f.d.n[5]. applicable à un point matériel dans un référentiel non galiléen de la forme «», mais il faut, aux «vraiesforces» existant dans tous les référentiels car invariantes par changement de ces derniers, ajouter deux termes, homogènes à des forces, «»[9]liés au caractère non galiléen du référentielet par suite n’existant que dans un tel référentiel, que l'on nommera « pseudo-forces d’inertie »[10].
Pseudo-forces d'inertie (traduisant le caractère non galiléen du référentiel)
La pseudo-force d'inertie d'entraînement agissant sur le point matériel apparaît dès lors que le référentiel d'étude est non galiléen, que son entraînement relativement à un référentiel galiléen soit une translation ou une rotation autour d'un axe fixe ou encore un mouvement quelconque.
Cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen
Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en translation (non rectiligne ou rectiligne non uniforme) par rapport à tout référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme par rapport à un référentiel galiléen quelconque, aux «vraies forces » s'exerçant sur il faut ajouter la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à dans le référentiel non galiléen
«».
Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en translationnon rectiligne ou rectiligne non uniforme relativement à tout galiléen ne dépend pas de la position du pointpar contre elle dépend a priori du temps .
Exemple : Si est une voiture freinant en ligne droite par rapport au sol supposé galiléen, le vecteur accélération de la voiture par rapport au sol est dirigée en sens contraire du mouvement et la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente dans l'habitacle ou sur tout objet y séjournant est dirigée dans le sens du mouvement ainsi une personne sans ceinture de sécurité sera-t-elle propulsée vers l'avant de la voiture[11]
Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier
Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, aux «vraies forces » s'exerçant sur il faut ajouter, entre autres[12], la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à dans le référentiel non galiléen
«» avec la vitesse angulaire de rotation de autour de fixe dans et le projeté orthogonal de sur l'axe .
Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, est centrifuge relativement à et dépend de la position du pointen étant de norme à la distance de à l'axe par contre sa norme ne dépend pas explicitement du temps .
Exemple : Si est un manège en rotation uniforme autour d'un axe fixe par rapport au sol supposé galiléen, la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente sur le manège ou sur tout objet y reposant hors de l'axe est centrifuge ainsi une personne présente sur le manège sera-t-elle propulsée vers l'extérieur du manège[13]
Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier
Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, aux «vraies forces » s'exerçant sur il faut ajouter, entre autres[12], la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à dans le référentiel non galiléen
«» avec le vecteur rotation instantanée[14] à l'instant de autour de fixe dans , un point fixe de et le projeté orthogonal de sur l'axe .
Propriété : La pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, a deux composantes dont l'une est orthoradiale, l'autre étant centrifuge relativement à , sa norme dépendant de la position du pointet explicitement du temps .
Exemple : Si est un manège en phase de freinage autour d'un axe fixe par rapport au sol supposé galiléen, la pseudo-force d’inertie d’entraînement s'exerçant sur toute personne présente sur le manège ou sur tout objet y reposant hors de l'axe a une composante orthoradiale dans le sens de rotation et une autre centrifuge ainsi une personne présente sur le manège sera-t-elle propulsée simultanément vers l'avant et vers l'extérieur du manège[15]
En complément, cas d'un référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu galiléen
Pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque relativement à un référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque relativement à un référentiel galiléen, entraînement composé d'une translation de vecteur vitesse à l'instant dans étant un point fixe de et d'une rotation autour d'un axe passant par de vecteur rotation instantanée[14] au même instant dans , aux «vraies forces » s'exerçant sur il faut ajouter, entre autres[12], la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'appliquant à dans le référentiel non galiléen
La pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] agissant sur le point matériel apparaît dès lors que le référentiel d'étude est non galiléen à entraînement rotatif relativement à un référentiel galiléen ou à entraînement quelconque avec une composante rotative, elle n'intervient donc pas quand le référentiel non galiléen est en translation « pure » relativement à tout référentiel galiléen.
Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier
Pseudo-force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, aux «vraies forces » s'exerçant sur et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «» s'appliquant à spécifiquement dans le référentiel non galiléen étant la vitesse angulaire de rotation de autour de et le projeté orthogonal de sur , il faut ajouter, spécifiquement dans le référentiel non galiléen , la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] s'appliquant à
«» avec le vecteur rotation instantanée[14] de autour de fixe dans tel que étant le vecteur unitaire orientant l'axe et le vecteur vitesse de dans le référentiel non galiléen.
Propriété : Pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] soit non nulle, il faut que le point qui la subit dans le référentiel d'étude non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de dans .
Cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier
Pseudo-force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en rotation non uniforme autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen, aux «vraies forces » s'exerçant sur et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «» s'appliquant à spécifiquement dans le référentiel non galiléen étant un point fixe de , le vecteur rotation instantanée[14] de autour de , la vitesse angulaire de rotation de autour de étant le vecteur unitaire orientant l'axe et le projeté orthogonal de sur , il faut ajouter, spécifiquement dans le référentiel non galiléen , la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] s'appliquant à
«» avec le vecteur vitesse de dans le référentiel non galiléen.
Propriété : Comme précédemment, pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] soit non nulle, il faut que le point qui la subit dans le référentiel d'étude non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de dans .
En complément, cas d'un référentiel d'entraînement en mouvement quelconque relativement au référentiel absolu galiléen
Pseudo-force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur un point dans un référentiel d'étude non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque dans un référentiel galiléen
Si le référentiel d'étude du mouvement d'un point matériel est non galiléen en mouvement d'entraînement quelconque relativement à un référentiel galiléen, entraînement composé d'une translation de vecteur vitesse à l'instant dans étant un point fixe de et d'une rotation autour d'un axe passant par de vecteur rotation instantanée[14] au même instant dans , aux «vraies forces » s'exerçant sur et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «» s'appliquant à spécifiquement dans le référentiel non galiléen étant la vitesse angulaire de rotation de autour de étant le vecteur unitaire orientant l'axe et le projeté orthogonal de sur , il faut ajouter, spécifiquement dans le référentiel non galiléen , la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] s'appliquant à
«» avec le vecteur vitesse de dans le référentiel non galiléen.
Propriété : Là encore, pour que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] soit non nulle, il faut que le point qui la subit dans le référentiel d'étude non galiléen soit en mouvement relativement dans ce dernier elle n'intervient donc pas dans le cas d'un équilibre relatif de dans .
Relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) dans un référentiel non galiléen
Relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) dans un référentiel non galiléen
Le mouvement d'un point matériel , de masse , dans un référentiel d'étude non galiléen, soumis aux «vraies forces », se détermine en appliquant à la r.f.d.n[5]. à l'instant
«» avec, s'exerçant sur à l'instant dans le référentiel non galiléen, «» la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur M à l'instant t dans le référentiel R non galiléen, «» la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8], «» étant le vecteur accélération du point à l'instant dans non galiléen.
Fin du théorème
Commentaires : Le 2nd membre de la r.f.d.n[5]. ci-dessus se réécrit « dans lequel est le vecteur quantité de mouvement newtonien de à l'instant dans le référentiel d'étude non galiléen ».
Commentaires : Si le référentiel d'étude non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] n'existant pas est considérée comme nulle et la r.f.d.n[5]. se réécrit « dans un référentiel non galiléenen translation par rapport à tout galiléen, avec ».
Remarques : Les deux formes ci-dessus de la r.f.d.n[5]. dans un référentiel non galiléen à savoir «» peuvent être étendues à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis[8] dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.
Remarques : Les deux formes de r.f.d[16]. dans un référentiel non galiléen ne sont applicables qu'en dynamique newtonienne, elles deviennent généralement inapplicables en dynamique relativiste car pour établir la 1re forme «» on a utilisé la loi de composition newtonienne des accélérations, loi non applicable en cinématique relativiste Aussi, dès lors qu'un référentiel , dans le cadre de la dynamique relativiste, devient non galiléen, on ne fait pas l'étude dans ce référentiel mais on maintient celle-ci dans un référentiel galiléen[17]on rappelle que la seule forme de r.f.d[16]. applicable en dynamique relativiste dans un référentiel galiléen est «»[18] avec le vecteur quantité de mouvement relativiste de à l'instant dans le référentiel d'étude galiléen, «» étant le facteur de Lorentz[19] du point dans
Théorèmes du moment cinétique (vectoriel et scalaire) du point dans un référentiel non galiléen
Théorème du moment cinétique vectoriel du point dans un référentiel non galiléen
Dans un référentiel non galiléen, et en prenant pour origine des moments un point fixe dans , le moment vectoriel des «vraies forces » appliquées à un point matériel «» est lié au moment cinétique vectoriel de ce dernier relativement à à l’instant «» par la relation :
«» dans laquelle «» est le moment vectoriel de la pseudo-force d'inertie d'entraînement et «» est le moment vectoriel de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8], pseudo-forces s'exerçant toutes deux sur à l'instant dans le référentiel non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Si le référentiel d'étude non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] n'existant pas est considérée comme nulle et le théorème du moment cinétique vectoriel se réécrit « dans un référentiel non galiléenen translation par rapport à tout galiléen, avec ».
Remarques : Le théorème du moment cinétique vectoriel dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis[8] dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.
Démonstration du théorème du moment cinétique vectoriel du point applicable dans un référentiel non galiléen
Partant de la r.f.d.n[5]. appliquée, dans un référentiel d'étude non galiléen, à un point matériel soumis aux «vraies forces », «» dans laquelle est la quantité de mouvement du point matériel à l'instant dans le référentiel non galiléen, «» et «» les pseudo-forces d'inertie respectivement d'entraînement et de Coriolis[8] s'exerçant sur à l'instant dans non galiléen, Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par dans lequel est un point fixe du référentiel d'étude non galiléen et on obtient, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle[20] «» ;
dans la mesure où est choisi fixe dans le référentiel non galiléen , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «», est aussi la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de par rapport à à l'instant dans , soit «» avec en effet :
dans la mesure où O est choisi fixe dans le référentiel non galiléen R, dans laquelle, étant un point fixe dans , est le vecteur position de à l'instant dans le référentiel non galiléen et par suite «» le vecteur vitesse «» de à l'instant dans non galiléen, égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «» «» soit «» ;
on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des vecteurs moments des «vraies forces » appliquées à par rapport à et des pseudo-forces d'inertie d'entraînement «» et de Coriolis[8] «» s'exerçant toutes deux sur dans non galiléen, soit «» ;
on en déduit le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel relativement à un point fixe dans le référentiel d'étude non galiléen sous la forme
« avec un point fixe de non galiléen ».
Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen
Théorème du moment cinétique scalaire du point dans un référentiel non galiléen
Dans un référentiel non galiléen, et repérant les moments scalaires par rapport à un axe fixe dans avec le vecteur unitaire orientant , le moment scalaire des «vraies forces » appliquées à un point matériel «» est lié au moment cinétique scalaire de ce dernier relativement à à l’instant «» par la relation :
«»[21] dans laquelle «» est le moment scalaire de la pseudo-force d'inertie d'entraînement et «» est le moment scalaire de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8], pseudo-forces s'exerçant toutes deux sur à l'instant dans le référentiel non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Si le référentiel d'étude non galiléen est en entraînement de translation par rapport à tout référentiel galiléen, la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] n'existant pas est considérée comme nulle et le théorème du moment cinétique scalaire se réécrit « dans un référentiel non galiléenen translation par rapport à tout galiléen, [21] avec ».
Remarques : Le théorème du moment cinétique scalaire dans un référentiel non galiléen à savoir «»[21]peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence des deux pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis[8] dans un galiléen est équivalente à la présence de deux pseudo-forces d'inertie identiquement nulles.
Démonstration du théorème du moment cinétique scalaire du point applicable dans un référentiel non galiléen
Choisissant un point origine fixe sur l'axe fixe du référentiel non galiléen , on peut appliquer au point matériel le théorème du moment cinétique vectoriel relativement au point origine fixe du référentiel non galiléen «» dans laquelle est le moment cinétique vectoriel du point matériel à l'instant dans le référentiel non galiléen , étant l'ensemble des vraies forces appliquées au point , et les pseudo-forces d'inertie respectivement d'entraînement et de Coriolis[8] s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen , on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par le vecteur unitaire orientant l'axe et on obtient, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[22] utilisée dans le membre de gauche et du caractère constant de utilisée dans le membre de droite «»[23] ;
dans la mesure où est choisi sur , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «»[23], est aussi la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de par rapport à à l'instant dans le référentiel non galiléen , soit «»[21] avec ;
dans la mesure où O est choisi sur Δ, on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des moments scalaires des vraies forces appliquées à et des pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis[8] s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen , tous les moments scalaires étant évalués par rapport à soit «» ;
on en déduit le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel relativement à un axe fixe dans un référentiel non galiléen sous la forme
L’équilibre relatif d'un point matériel dans un référentiel non galiléen se traduit par les deux conditions suivantes soit, en utilisant la 1re condition, la réécriture de la 1re C.N[24]. d’équilibre relatif
«» dans laquelle est l'ensemble des vraies forces appliquées au point et la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen.
Remarques : La 1re C.N[24]. d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendue à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement nulle.
Remarques : On observe que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne jouant aucun rôle dans cette 1re C.N[24]. d’équilibre relatif, celle-ci est formellement identique quel que soit l'entraînement du référentiel d'étude non galiléen par rapport au référentiel galiléen translation, rotation uniforme ou non relativement à un axe fixe de ou encore mouvement quelconque, cette identité n'étant que formelle car l'explicitation de la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen dépend du type d'entraînement.
2ème condition nécessaire (C.N.) d'équilibre relatif d'un point dans un référentiel non galiléen
L’équilibre relatif d'un point matériel dans non galiléen se traduisant par les deux conditions dans lesquelles est un point fixe du référentiel non galiléen , soit, en utilisant la 1re condition, la réécriture de la 2ème C.N[24]. d’équilibre relatif
«» dans laquelle est l'ensemble des vraies forces appliquées au point et la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen.
Remarques : Cette 2ème C.N[24]. d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen est équivalente à la 1re tant qu'on s'intéresse à l'équilibre relatif d'un point matériel , cela résulte du fait que le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à dans un référentiel non galiléen est équivalent à la r.f.d.n[5]. appliqué au même point dans le même référentiel non galiléen.
Remarques : La 2ème C.N[24]. d’équilibre relatif dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendue à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement nulle.
Remarques : On observe que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne jouant aucun rôle dans cette 2ème C.N[24]. d’équilibre relatif, celle-ci est formellement identique quel que soit l'entraînement du référentiel d'étude non galiléen par rapport au référentiel galiléen translation, rotation uniforme ou non relativement à un axe fixe de ou encore mouvement quelconque, cette identité n'étant que formelle car l'explicitation de la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans le référentiel non galiléen dépend du type d'entraînement.
Théorème de la puissance cinétique du point dans un référentiel non galiléen
Théorème de la puissance cinétique du point dans un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen , la puissance cinétique d’un point matériel à l'instant est égale à la somme des puissances des «vraies forces » appliquées au point au même instant et de la puissance de la pseudo-force d'inertie d'entraînement « s'exerçant sur à l'instant dans le référentiel non galiléen », soit
«» avec «» et «» les puissances instantanées développées par la force et la pseudo-force d'inertie d'entraînement à l'instant dans non galiléen étant le vecteur vitesse de à l'instant dans non galiléen, ainsi que «» l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen, étant le vecteur quantité de mouvement de à l'instant dans non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la puissance cinétique dans un référentiel non galiléen est applicable sous la forme ci-dessus quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nulle quel que soit l'entraînement.
Remarques : Le théorème de la puissance cinétique dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.
Démonstration du théorème de la puissance cinétique du point applicable dans un référentiel non galiléen
L’expression du théorème de la puissance cinétique applicable à un point matériel dans un référentiel d'étude non galiléen nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point dans non galiléen, c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point non galiléen » soit, en cinétique newtonienne du point , car, en cinétique newtonienne du point , ;
on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d.n[5]. applicable dans un référentiel non galiléen et écrite sous la forme «» par pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point dans le référentiel non galiléen «» ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans le membre de gauche[22] et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite, «» ;
dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les vraies forces appliquées au point et par les pseudo-forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis[8] s'exerçant sur le point dans non galiléen dans laquelle la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] «» est nulle quel que soit l'entraînement, nullité justifiée par utilisation de la « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » exposée dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;
en conclusion le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel dans un référentiel non galiléen s'écrit «».
Théorème de l'énergie cinétique du point dans un référentiel non galiléen
Le travail élémentaire d'une force ou pseudo-force sur la durée élémentaire à partir de l'instant où cette force ou pseudo-force développe la puissance , noté usuellement [25], étant défini selon «» avec pour unité de travail le joule[26] de symbole , ,
le théorème de l'énergie cinétique du point matériel sous sa forme élémentaire dans un référentiel d'étude non galiléen se déduit
du théorème de la puissance cinétique du point dans le référentiel non galiléen en multipliant ce dernier par et du théorème de la puissance cinétique du point M dans le référentiel R non galiléen en utilisant la définition de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable [27],
d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique du point matériel sous sa forme élémentaire dans un référentiel d'étude non galiléen ci-dessous :
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique du point sous sa forme élémentaire dans un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen , la variation élémentaire d'énergie cinétique «» d’un point matériel sur l'intervalle est égale à la somme des travaux élémentaires des «vraies forces » appliquées au point sur le même intervalle et du travail élémentaire de la pseudo-force d'inertie d'entraînement « s'exerçant sur sur dans le référentiel non galiléen », soit
«» avec «»[28] et «»[28] les travaux élémentaires développés par la force et la pseudo-force d'inertie d'entraînement sur l'intervalle dans le référentiel d'étude non galiléen étant le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle dans non galiléen, ainsi que «» l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen, étant le vecteur quantité de mouvement de à l'instant dans non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, le travail élémentaire développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nul quel que soit l'entraînement car la puissance développée par cette pseudo-force dans le référentiel non galiléen est nulle.
Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.
Théorème de l'énergie cinétique du point sur une durée finie dans un référentiel non galiléen
Le travail d'une force ou pseudo-force sur l'intervalle de temps où cette force ou pseudo-force développe, à partir de l'instant sur une durée , un travail élémentaire [25], noté usuellement , étant défini comme la somme continue[29] de tous ces travaux élémentaires sur cet intervalle de temps c'est-à-dire «»,
le théorème de l'énergie cinétique du point matériel sous l'intervalle de temps dans un référentiel d'étude non galiléen se déduit
du théorème de l'énergie cinétique de dans non galiléen sous forme élémentaire à partir de sur une durée , en formant la somme continue[29], membre à membre, de ce dernier et du théorème de l'énergie cinétique dd M dans R non galiléen sous forme élémentaire à partir de t sur une durée dt, en utilisant ,
d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique du point matériel sur une durée finie dans un référentiel d'étude non galiléen ci-dessous :
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique du point sur une durée finie dans un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen , la variation d'énergie cinétique d’un point matériel sur l'intervalle «» est égale à la somme des travaux des «vraies forces » appliquées au point sur le même intervalle et du travail de la pseudo-force d'inertie d'entraînement « s'exerçant sur sur dans le référentiel non galiléen », soit
«» avec «»[30] et «»[30] les travaux développés par la force et la pseudo-force d'inertie d'entraînement sur l'intervalle dans le référentiel d'étude non galiléen étant le vecteur déplacement élémentaire de sur l'intervalle dans non galiléen, ainsi que «» l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen, étant le vecteur quantité de mouvement de à l'instant dans non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, le travail développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nul quel que soit l'entraînement car le travail élémentaire développé par cette pseudo-force dans le référentiel non galiléen est nul sur tout l'intervalle de durée finie.
Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.
Théorème de la variation de l'énergie mécanique du point dans un référentiel non galiléen
Présupposé : Dans ce chapitre nous ne considérons l'éventuel caractère conservatif d'une force que si celle-ci ne dépend pas explicitement du temps dans le référentiel considéré.
Préliminaire : Une force étant dite « conservative » ssi son travail de à «» est indépendant de la trajectoire suivi par le point qui subit la force[31] ou Préliminaire : Une force « F(M) » étant dite « conservative » ssi son travail élémentaire «» est une différentielle de fonction énergétique[32] du point qui subit la force[33],
Préliminaire : il est possible de définir l'énergie potentielle du point dans le champ de cette force conservative «» comme la fonction scalaire du point telle que sa différentielle s'identifie à l'opposé du travail élémentaire de la force «»[34] fonction définie sans autre exigence à une constante additive près ou Préliminaire : il est possible de définir l'énergie potentielle du point « M » dans le champ de cette force conservative « UF(M) » comme la fonction scalaire du point telle que son gradient[35] s'identifie à l'opposé de la force «»[36] fonction définie sans autre exigence à une constante additive près,
Préliminaire : l'unicité de cette fonction nécessitant de préciser l'endroit où celle-ci s'annule endroit appelé « référence de l'énergie potentielle ».
Énergie mécanique d'un point matériel soumis à un (ou plusieurs) champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel non galiléen
Dans le référentiel d'étude non galiléen, l'énergie mécanique, à l'instant , d'un point matériel soumis au(x) champ(s) de vraie force conservatif(s) «» « dérivant » individuellement de l'énergie potentielle du point matériel dans le référentiel non galiléen «» est notée «» et définie, à l'instant dans non galiléen, selon
«» dans laquelle «» est l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen et étant respectivement la vitesse et la quantité de mouvement de dans non galiléen.
Remarque : A priori une force « conservative dans un référentiel galiléen » peut être « non conservative dans un référentiel non galiléen au sens où le caractère conservatif n'est considéré que pour une force ne dépendant pas explicitement du temps» exemple, le poids d'un point matériel Remarque : est, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, une force conservative « dérivant » de l'énergie potentielle du point dans le référentiel terrestre avec l'altitude de , la référence de l'énergie potentielle étant choisie sur le sol terrestre alors que, Remarque : n'est pas, dans un référentiel non galiléen tournant autour d'un axe horizontal fixe dans le référentiel terrestre galiléen, à vitesse angulaire , une force conservativeau sens où le caractère conservatif n'est considéré que pour une force ne dépendant pas explicitement du temps car l'expression du poids de dans avec la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel terrestre , orientant et étant vertical ascendant, ainsi que la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel tournant , l'angle entre et valant, à l'instant , «» avec choix de C.I[37]., cette valeur étant aussi celle de «» est avec d'où «» c'est-à-dire à composantes cartésiennes dépendant explicitement du temps donc sortant du cadre des forces conservatives étudiées dans ce chapitre[38].
Énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique du point dans un référentiel non galiléen
Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen, la somme des travaux des vraies forces non conservatives [39] appliquées à un point matériel lors du déplacement sur sa trajectoire dans non galiléen de à » et de la « pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur lors du même déplacement sur dans non galiléen de à » c'est-à-dire «» est égale à la « variation de l'énergie mécanique du point dans le champ de vraies forces conservatives de non galiléen » c'est-à-dire à la variation de calculée entre les instants associés aux positions et du point sur sa trajectoire dans non galiléen «», soit encore
« dans non galiléen » avec le travail de la vraie force non conservative [39] défini dans selon «» et celui de la pseudo-force d'inertie d'entraînement également dans selon «» ainsi que «» dans laquelle «» et «» sont respectivement les énergies cinétique de à l'instant dans non galiléen et potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, le travail développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nul quel que soit l'entraînement.
Démonstration : Appliquant, entre un instant initial et un instant final , le théorème de l’énergie cinétique au point matériel dans le référentiel d'étude non galiléen en distinguant
les «vraies forces conservatives » dont on utilise le caractère conservatif dans non galiléen en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque vraie force conservative notée
Démonstration : cela donne dans laquelle on remplace le travail de chaque vraie force conservative en fonction de l'énergie potentielle dont elle dérive d'où la 1re somme du 1er membre du théorème de l'énergie cinétique dont on déduit la réécriture du théorème de l'énergie cinétique sous la forme soit enfin, en transposant les termes d'énergies potentielles un changement de signe, compte-tenu de la définition de l'énergie mécanique du point dans le champ des vraies forces conservatives du référentiel non galiléen C.Q.F.D[40].
Remarque : Le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.
Début d’un théorème
Théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen, la somme des travaux élémentaires des vraies forces non conservatives dans non galiléen [39] appliquées à un point matériel lors du déplacement élémentaire sur sa trajectoire de et de la « pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur lors du même déplacement élémentaire sur dans non galiléen de » c'est-à-dire «» est égale à la « variation élémentaire, dans non galiléen, de l'énergie mécanique du point dans le champ de vraies forces conservatives » c'est-à-dire «», soit encore
« dans non galiléen » avec le travail élémentaire de la vraie force non conservative [39] défini dans selon «» et celui de la pseudo-force d'inertie d'entraînement également dans selon «» ainsi que «» dans laquelle «» et «» sont respectivement les énergies cinétique de à l'instant dans non galiléen et potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, le travail élémentaire développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nul quel que soit l'entraînement.
Démonstration : Ce n'est qu'un cas particulier du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen car la différentielle de l'énergie mécanique définie mathématiquement selon «»[27] s'écrit aussi, en restant dans le cadre de la physique où l'élément différentiel est aussi petit que possible[41], «»[42].
Remarque : Le théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.
Début d’un théorème
Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen, la somme des puissances développées par les vraies forces non conservatives dans non galiléen [39] appliquées à un point matériel à l'instant et par la « pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur au même instant dans non galiléen c'est-à-dire «» est égale à la « puissance mécanique, dans non galiléen, du point dans le champ de vraies forces conservatives », soit mathématiquement
« dans non galiléen » avec la puissance développée de la vraie force non conservative [39] défini dans selon «» et celui de la pseudo-force d'inertie d'entraînement également dans selon «» avec le vecteur vitesse de dans non galiléen ainsi que «» dans laquelle «» et «» sont respectivement les énergies cinétique de à l'instant dans non galiléen et potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen.
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la puissance mécanique dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nulle quel que soit l'entraînement.
Démonstration : Il suffit de diviser les deux membres du théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen car la différentielle de l'énergie mécanique étant définie mathématiquement selon «»[27] «» et le travail élémentaire développé par une force ou une pseudo-force pendant une durée élémentaire étant définie relativement à la puissance développée, à l'instant , par cette force ou pseudo-force selon «» «».
Remarques : Le théorème de la puissance mécanique dans un référentiel non galiléen à savoir «» peut être étendu à un référentiel galiléenà condition d'admettre que l'absence de la pseudo-force d'inertie d'entraînement dans un galiléen est équivalente à la présence d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement identiquement nulle.
Remarque : « Le théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen » est la « forme locale » écrite à un instant associée à la « forme intégrée » « le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen » écrite sur un intervalle ou, sous forme élémentaire, sur l'intervalle .
La pseudo-force d’inertie d’entraînement définie dans un référentiel non galiléen peut-elle être conservative ?
Sachant qu'en général, une pseudo-force d'inertie d'entraînement définie dans un référentiel d'étude non galiléen dépend explicitement du tempsce qui est le cas si est en translation relativement à un référentiel galiléen avec une accélération ou en rotation autour d'un axe fixe dans galiléen avec un vecteur rotation instantanée [14] ou encore en mouvement quelconquecelle-ci n'est pas conservative dans le cadre où le caractère conservatif d'une force n'est envisagé que si celle-ci ne dépend pas explicitement du temps ;
nous ne chercherons l'éventuel aspect conservatif d'une pseudo-force d'inertie d'entraînement définie dans un référentiel d'étude non galiléen que si celle-ci ne dépend pas explicitement du temps c'est-à-dire si l'entraînement de relativement à un référentiel galiléen est
une translation rectiligne uniformément accélérée de vecteur accélération ou
une rotation uniforme autour d'un axe fixe de avec un vecteur rotation instantanée [14].
Cas d'un référentiel d'entraînement en translation rectiligne uniformément accélérée relativement au référentiel absolu galiléen
Si le référentiel d’entraînement est en translation dans le référentiel galiléen de vecteur accélération noté , un point quelconque a pour vecteur accélération d'entraînement et est soumis, dans non galiléen, à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «» on note que cette pseudo-force d’inertie d'entraînement ne dépend pas explicitement de et qu'elle est aussi indépendante de , elle est donc ;
cette pseudo-force d'entraînement est conservative dans non galiléen car son travail élémentaire dans ce référentiel est une différentielle de fonction scalaire de en effet son travail élémentaire dans non galiléen s'écrit «» dans la mesure où est un vecteur constant dans étant un point fixe de non galiléen par exemple l'origine du repère associé à non galiléen ;
définissant l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement du point dans le référentiel d'étude non galiléen, notée «», par «» on en déduit son expression
Si le référentiel d’entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe dans le référentiel galiléen de vecteur rotation instantanée [14] noté , un point quelconque a pour vecteur accélération d'entraînement avec le projeté orthogonal de sur et est soumis, dans non galiléen, à la pseudo-force d'inertie d'entraînement «» on note que cette pseudo-force d’inertie d'entraînement ne dépend pas explicitement de mais qu'elle dépend de , elle est de plus « axifuge »[44] ;
cette pseudo-force d'entraînement est conservative dans non galiléen car son travail élémentaire dans ce référentiel est une différentielle de fonction scalaire de en effet son travail élémentaire dans non galiléen, explicité en utilisant le repérage cylindro-polaire du point d'axe orienté par et de pôle du repère associé à non galiléen, les coordonnées cylindro-polaires de étant «» et la base cylindro-polaire lié à «», s'écrit «» car , soit encore «», étant la différentielle de donc de ;
définissant l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement du point dans le référentiel d'étude non galiléen, notée «», par «» on en déduit son expression
«» avec référence sur l'axe [43] et «» étant le projeté orthogonal de sur .
Énergie mécanique du point soumis à un champ de forces conservatives et un champ d'inertie d'entraînement conservatif dans un référentiel non galiléen (énergie mécanique « généralisée »)
Rappel de présupposé : Dans ce chapitre nous ne considérons l'éventuel caractère conservatif d'une force ou de la pseudo-force d'inertie d'entraînement que si celles-ci ne dépendent pas explicitement du temps dans le référentiel considéré.
Énergie mécanique d'un point matériel soumis à un champ de pseudo-force d'inertie d'entraînement conservatif ainsi qu'à un (ou plusieurs) champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel non galiléen
Dans le référentiel d'étude non galiléen, l'énergie mécanique, à l'instant , d'un point matériel soumis au champ de pseudo-force d'inertie d'entraînement conservatif «» « dérivant » de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement de «» et au(x) champ(s) de vraie force conservatif(s) «» « dérivant » individuellement de l'énergie potentielle du point matériel dans le référentiel non galiléen «» est notée «» et définie, à l'instant dans non galiléen, selon
«» dans laquelle «» est l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen et étant respectivement la vitesse et la quantité de mouvement de dans non galiléen.
Remarques : L'énergie mécanique d'un point matériel soumis à un champ de pseudo-force d'inertie d'entraînement conservatif ainsi qu'à un ou plusieurs champ(s) de force conservatif(s) dans un référentiel non galiléen est encore appelée « énergie mécanique généralisée de dans le ou les champ(s) de force conservatif(s) du référentiel non galiléen »[45].
Remarques : L'énergie mécanique généralisée de dans le ou les champ(s) de force conservatif(s) du référentiel non galiléen[45] «» est liée à l'énergie mécanique de dans le ou les champ(s) de force conservatif(s) du référentiel non galiléen «» et à l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement de «» par
«».
Théorème de la variation de l'énergie mécanique « généralisée » du point dans un référentiel non galiléen
Théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen, la somme des travaux des vraies forces non conservatives [39] appliquées à un point matériel lors du déplacement sur sa trajectoire dans non galiléen de à » c'est-à-dire «» est égale à la « variation de l'énergie mécanique généralisée du point dans le champ de vraies forces conservatives de non galiléen »[45] c'est-à-dire à la variation de calculée entre les instants associés aux positions et du point sur sa trajectoire dans non galiléen «», soit encore
« dans non galiléen » avec le travail de la vraie force non conservative [39] défini dans selon «» ainsi que «» dans laquelle «», «» et «» sont respectivement les énergies cinétique de à l'instant dans non galiléen, potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen et potentielle d'inertie d'entraînement de associée au caractère conservatif de la pseudo-force d'inertie .
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée[45] dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, le travail développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nul quel que soit l'entraînement.
Démonstration : Appliquant, entre un instant initial et un instant final , le théorème de la variation de l'énergie mécanique au point matériel dans le référentiel d'étude non galiléen, cela donne dans laquelle on remplace le travail de la pseudo-force d'inertie d'entraînement conservative en fonction de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement dont elle dérive d'où, par remplacement dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique, on déduit la réécriture de ce théorème sous la forme soit enfin, en transposant le terme d'énergie potentielle d'inertie d'entraînement un changement de signe, compte-tenu de la définition de l'énergie mécanique généralisée du point dans le champ des vraies forces conservatives du référentiel non galiléen[45] C.Q.F.D[40].
Début d’un théorème
Théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen, la somme des travaux élémentaires des vraies forces non conservatives dans non galiléen [39] appliquées à un point matériel lors du déplacement élémentaire sur sa trajectoire de c'est-à-dire «» est égale à la « variation élémentaire, dans non galiléen, de l'énergie mécanique généralisée du point dans le champ de vraies forces conservatives »[45] «», soit
« dans non galiléen » avec le travail élémentaire de la vraie force non conservative [39] défini dans selon «» ainsi que «» dans laquelle «», «» et «» sont respectivement les énergies cinétique de à l'instant dans non galiléen, potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen et potentielle d'inertie d'entraînement de associée au caractère conservatif de la pseudo-force d'inertie .
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, le travail élémentaire développé par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nul quel que soit l'entraînement.
Démonstration : Ce n'est qu'un cas particulier du théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen[45] car la différentielle de l'énergie mécanique généralisée[45] définie mathématiquement selon «»[27] s'écrit aussi, en restant dans le cadre de la physique où l'élément différentiel est aussi petit que possible[41], «»[42].
Début d’un théorème
Théorème de la puissance mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen
Dans un référentiel d'étude non galiléen, la somme des puissances développées par les vraies forces non conservatives dans non galiléen [39] appliquées à un point matériel à l'instant c'est-à-dire «» est égale à la « puissance mécanique généralisée, dans non galiléen c'est-à-dire la dérivée temporelle de l'énergie mécanique généralisée[45] du point dans le champ de vraies forces conservatives »[45], soit mathématiquement
« dans non galiléen » avec la puissance développée de la vraie force non conservative [39] défini dans selon «» avec le vecteur vitesse de dans non galiléen ainsi que «» dans laquelle «», «» et «» sont respectivement les énergies cinétique de à l'instant dans non galiléen, potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen et potentielle d'inertie d'entraînement de associée au caractère conservatif de la pseudo-force d'inertie .
Fin du théorème
Commentaire : Le théorème de la puissance mécanique généralisée[45] dans un référentiel non galiléen est applicable quel que soit le mouvement d'entraînement de par rapport à un référentiel galiléen, la puissance développée par la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant nulle quel que soit l'entraînement.
Démonstration : Il suffit de diviser les deux membres du théorème de la variation élémentaire de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen[45] car la différentielle de l'énergie mécanique généralisée[45] étant définie mathématiquement selon «»[27] «» et le travail élémentaire développé par une force pendant une durée élémentaire étant définie relativement à la puissance développée, à l'instant , par cette force selon «» «».
Remarque : « Le théorème de la puissance mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen »[45] est la « forme locale » écrite à un instant associée à la « forme intégrée » « le théorème de la variation de l'énergie mécanique généralisée d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) d'un référentiel non galiléen »[45]écrite sur un intervalle ou, sous forme élémentaire, sur l'intervalle .
Point matériel conservatif dans un référentiel non galiléen
Considérant un point matériel « à mouvement conservatif dans le référentiel d'étudenon galiléen tel que la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen est non conservative[46] et ne travaille pas », nous en déduisons, par application du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point dans un référentiel non galiléen, la conservation de l'énergie mécanique du point dans le référentiel d'étude non galiléen soit
«» avec «» dans laquelle
«» et «» sont respectivement l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen et l'énergie potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen.
Avec pseudo-force d'inertie d'entraînement conservative
Considérant un point matériel « à mouvement conservatif dans le référentiel d'étudenon galiléen tel que la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen est conservative et dérive de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement », nous en déduisons, par application du théorème de la variation d'énergie mécanique généralisée d'un point dans un référentiel non galiléen[45], la conservation de l'énergie mécanique généralisée du point dans le référentiel d'étude non galiléen[45] soit
«» avec «» dans laquelle
«» et «» sont respectivement l'énergie cinétique de à l'instant dans non galiléen et l'énergie potentielle de dans le champ de vraie force conservative de non galiléen.
En complément, autres formes intégrées de la dynamique du point matériel en référentiel non galiléen
Partant de la r.f.d.n[5]. appliquée au point matériel à l'instant dans un référentiel d'étude non galiléen «»,
on multiplie de part et d'autre par d’où ou dans laquelle chaque terme entre crochets du membre de gauche «», «» ou «» définit respectivement une grandeur élémentaire de la vraie force considérée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8]appelée impulsion élémentaire de la vraie force envisagée[47], de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] et notée respectivement , ou [48], la relation obtenue définissant « le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire applicable dans un référentiel non galiléen » réécrit selon
«» puis
on intègre sur d'où ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales dans laquelle chaque terme de la somme du membre de gauche «», «» ou «» définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps appelée impulsion sur l'intervalle de temps [49] de la vraie force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] et notée respectivement , ou , permettant de réécrire la relation obtenue et définissant « le théorème de l'impulsion sur une durée finie applicable dans un référentiel non galiléen » selon
«».
Remarque : Le Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire applicable à un point matériel dans un référentiel d'étude non galiléen trouve son intérêt, relativement à la forme locale associée « la r.f.d.n[5]. dans non galiléen », quand l'une desvraiesforces ou la pseudo-force d'inertie d'entraînement est discontinue de 2ème espèce[50]discontinuité qui se manifeste par exemple dans la modélisation d'une vraie force quand celle-ci est de collision[51] parmi les vraies forces, seules les forces de collision ont une impulsion élémentaire de norme non infiniment petite ;
Remarque : la pseudo-force d'inertie d'entraînement peut également être discontinue de 2ème espèce[50] dans le cas d'un entraînement de translation de relativement à un référentiel galiléen si le mouvement de dans est modifié, à l'instant de discontinuité de 2ème espèce[50], par une collision de sur un objet fixe de [51]exemple on étudie le mouvement d'un point matériel dans une voiture référentiel non galiléen relativement au sol référentiel galiléen et, à un instant , la voiture entre en collision avec un arbre[51] l'arbre exerce sur la voiture, dans , une force de collision[51] discontinue de 2ème espèce centrée sur [50] communiquant à la voiture, dans , une accélération discontinue de 2ème espèce centrée sur [50] et par suite la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans le référentiel voiture non galiléen est discontinue de 2ème espèce centrée sur [50] son impulsion élémentaire est de norme non infiniment petite ;
Remarque : la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne peut, a priori, pas être discontinue de 2ème espèce[50], en effet son expression, quand le référentiel d'étude non galiléen est en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen, étant «», la pseudo-force ne pourrait être discontinue de 2ème espèce[50] que si l'un des facteurs l'était, ce qui n'est pas réalisable pour des vitesses ou des vitesses angulaires
Conséquence de l'application, à un point matériel , du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire en référentiel non galiléen dans les cas suivants
le point matériel subit unevraieforce de collision à l'instantd'impulsion élémentaire[47]de norme non infiniment petite «» étant le vecteur unitaire définissant la direction et le sens de la force de collision est , les autresvraiesforces appliquées à ayant une impulsion élémentaire[47] de norme infiniment petite, l'étude du mouvement de étant faite dans un référentiel non galiléen ne subissant aucune collision dans le référentiel galiléen la collision étant entre et l'objet fixe dans , la pseudo-force d'inertie d'entraînementainsi que l'éventuelle pseudo-force d'inertie de Coriolis[8]a une impulsion élémentaire[47] de norme infiniment petite, et par suite l'application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire centrée en dans référentiel non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de norme infiniment petite et en observant que la variation élémentaire de quantité de mouvement de dans non galiléen devant être, comme le 1er membre, de norme non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter [52], mais ,
«» soit une discontinuité de 1re espèce[53] du vecteur vitesse de dans «» ou
le point matériel subit desvraiesforces sans collision dans un référentiel non galiléen en translation relativement à un référentiel galiléen mais, à l'instant, le référentiel non galiléenentrant en collision avec un objet suffisamment lourd pour que ce dernier puisse être considéré comme fixe dans le référentiel galiléen malgré la collision, le vecteur accélération de dans «» a une discontinuité de 2ème espèce[50] centrée sur la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen «» étant aussi discontinue de 2ème espèce[50] centrée sur est la seule force ou pseudo-force ayant une impulsion élémentaire de norme non infiniment petite «» étant le vecteur unitaire définissant la direction et le sens de la pseudo-force d'inertie d'entraînement est , toutes lesvraiesforces appliquées à ayant une impulsion élémentaire[47] de norme infiniment petite et par suite l'application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire centrée en dans référentiel non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de norme infiniment petite ainsi qu'en observant d'une part l'absence de pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] étant en translation relativement à et d'autre part que la variation élémentaire de quantité de mouvement de dans non galiléen devant être, comme le 1er membre, de norme non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter [52], mais ,
«» soit une discontinuité de 1re espèce[53] du vecteur vitesse de dans «».
2ème autre forme intégrée : Théorème du moment cinétique vectoriel sous forme intégrée
Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel à l'instant dans un référentiel d'étude non galiléen relativement au point origine fixe de par exemple l'origine du repère cartésien associé à «»,
on multiplie de part et d'autre par d’où ou, en distribuant à tous les termes de la somme du membre de gauche, dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche «», «» ou «» définit respectivement une grandeur élémentaire du moment vectoriel de la vraie force considérée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8]que l'on pourrait appelée impulsion élémentaire de moment vectoriel par rapport à de la vraie force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] et notée respectivement , ou [54], la relation obtenue définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique vectoriel sous forme élémentaire applicable dans un référentiel non galiléen » réécrit selon
«» puis
on intègre sur d'où ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales dans laquelle chaque terme de la somme du membre de gauche «», «» ou «» définit une grandeur de moment vectoriel de force relativement à sur l'intervalle de temps que l'on pourrait appelée impulsion de moment vectoriel par rapport à sur l'intervalle de temps de la vraie force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] et notée respectivement , ou , permettant de réécrire la relation obtenue et définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique vectoriel sur une durée finie applicable dans un référentiel non galiléen » selon
«».
Remarque : Là encore la forme intégrée du théorème du moment cinétique vectoriel sous forme élémentaire applicable à un point matériel dans un référentiel d'étude non galiléen trouve son intérêt, relativement à la forme locale associée « le théorème du moment cinétique vectoriel dans non galiléen », quand l'une desvraiesforces ou la pseudo-force d'inertie d'entraînement est discontinue de 2ème espèce[50], en effet la définition du moment vectoriel de celle-ci par rapport à consistant à multiplier vectoriellement à gauche cette dernière par le vecteur nécessairement continu, la discontinuité de 2ème espèce[50] de la vraie force considérée ou de la pseudo-force d'inertie d'entraînement entraîne la discontinuité de 2ème espèce[50]de son moment vectorieldiscontinuité qui se manifeste par exemple dans la modélisation d'une vraie force quand celle-ci est de collision[51] dont on déduit celle de son moment vectoriel parmi les vraies forces, seules les forces de collision ont une impulsion élémentaire de moment vectoriel dont la norme n'est pas infiniment petite ;
Remarque : de même que précédemment pour que le moment vectoriel par rapport à de la pseudo-force d'inertie d'entraînement soit discontinu de 2ème espèce[50] il faut que celle-ci le soit ce qui est, entre autres, réalisé dans le cas d'un entraînement de rotation de autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen si le mouvement de dans est modifié, à l'instant de discontinuité de 2èmeespèce[50], par un freinage brutal de sur l'axe fixe de [55]exemple on étudie le mouvement d'un point matériel sur un manège référentiel non galiléen relativement au sol référentiel galiléen et, à un instant , le système entraînant le manège dans sa rotation est brutalement bloqué sur son arbre de rotation[55] l'arbre exerce sur le manège, dans , un moment vectoriel de freinage brutal[55] discontinu de 2ème espèce centrée sur [50] communiquant au manège, dans , une accélération angulaire de rotation discontinue de 2ème espèce centrée sur [50] et par suite la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans le référentiel manège non galiléen est discontinue de 2ème espèce centrée sur [50]la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'écrivant étant un point fixe de et le projeté orthogonal de sur a la même discontinuité que l'impulsion élémentaire de son moment vectoriel par rapport à est de norme non infiniment petite ;
Remarque : de même que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne pouvant, a priori, pas être discontinue de 2ème espèce[50], son expression, quand le référentiel d'étude non galiléen est en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen, étant «», celle-ci ne pourrait être discontinue de 2ème espèce[50] que si l'un des facteurs l'était, non réalisable pour des vitesses ou des vitesses angulaires, le moment vectoriel, par rapport à , de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne peut non plus être discontinue de 2ème espèce[50]
3ème autre forme intégrée : Théorème du moment cinétique scalaire sous forme intégrée
Partant du théorème du moment cinétique scalaire appliqué au point matériel à l'instant dans un référentiel d'étude non galiléen relativement à un axe fixe de par exemple un axe de direction fixe passant par l'origine du repère cartésien associé à «»,
on multiplie de part et d'autre par d’où ou, en distribuant à tous les termes de la somme du membre de gauche, dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche «», «» ou «» définit respectivement une grandeur élémentaire du moment scalaire de la vraie force considérée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8]que l'on pourrait appelée impulsion élémentaire de moment scalaire par rapport à de la vraie force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] et notée respectivement , ou [56], la relation obtenue définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire applicable dans un référentiel non galiléen » réécrit selon
«» puis
on intègre sur d'où ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales dans laquelle chaque terme de la somme du membre de gauche «», «» ou «» définit une grandeur de moment scalaire de force relativement à sur l'intervalle de temps que l'on pourrait appelée impulsion de moment scalaire par rapport à sur l'intervalle de temps de la vraie force envisagée, de la pseudo-force d'inertie d'entraînement ou de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] et notée respectivement , ou , permettant de réécrire la relation obtenue et définissant « la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sur une durée finie applicable dans un référentiel non galiléen » selon
«».
Remarque : Là encore la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire applicable à un point matériel dans un référentiel d'étude non galiléen trouve son intérêt, relativement à la forme locale associée « le théorème du moment cinétique scalaire dans non galiléen », quand l'une desvraiesforces ou la pseudo-force d'inertie d'entraînement est discontinue de 2ème espèce[50], en effet la définition du moment scalaire de celle-ci par rapport à consistant à multiplier vectoriellement à gauche cette dernière par le vecteur nécessairement continu puis scalairement le résultat obtenu par le vecteur unitaire orientant l'axe, la discontinuité de 2ème espèce[50] de la vraie force considérée ou de la pseudo-force d'inertie d'entraînement entraîne la discontinuité de 2ème espèce[50]de son moment scalairediscontinuité qui se manifeste par exemple dans la modélisation d'une vraie force quand celle-ci est de collision[51] dont on déduit celle de son moment scalaire parmi les vraies forces, seules les forces de collision ont une impulsion élémentaire de moment scalaire non infiniment petite ;
Remarque : de même que précédemment pour que le moment scalaire par rapport à de la pseudo-force d'inertie d'entraînement soit discontinu de 2ème espèce[50] il faut que celle-ci le soit ce qui est, entre autres, réalisé dans le cas d'un entraînement de rotation de autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen si le mouvement de dans est modifié, à l'instant de discontinuité de 2èmeespèce[50], par un freinage brutal de sur l'axe fixe de [55]exemple on étudie le mouvement d'un point matériel sur un manège référentiel non galiléen en rotation relativement au sol référentiel galiléen autour de et, à un instant , le système entraînant le manège dans sa rotation est brutalement bloqué sur son arbre de rotation[55] l'arbre exerce sur le manège, dans , un moment scalaire de freinage brutal[55] discontinu de 2ème espèce centrée sur [50] communiquant au manège, dans , une accélération angulaire de rotation discontinue de 2ème espèce centrée sur [50] et par suite la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans le référentiel manège non galiléen est discontinue de 2ème espèce centrée sur [50]la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'écrivant avec point fixe de et projeté orthogonal de sur a la même discontinuité que l'impulsion élémentaire de son moment scalaire par rapport à est non infiniment petite ;
Remarque : de même que la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne pouvant, a priori, pas être discontinue de 2ème espèce[50], son expression, quand le référentiel d'étude non galiléen est en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen, étant «», celle-ci ne pourrait être discontinue de 2ème espèce[50] que si l'un des facteurs l'était, non réalisable pour des vitesses ou des vitesses angulaires, le moment scalaire, par rapport à , de la pseudo-force d'inertie de Coriolis[8] ne peut non plus être discontinue de 2ème espèce[50]
Conséquence de l'application, à un point matériel , de la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire en référentiel non galiléen dans les cas suivants
le point matériel subit unevraieforce de collision à l'instantd'impulsion élémentaire de moment scalairenon infiniment petite par rapport à un axe «», les autresvraiesforces appliquées à ayant une impulsion élémentaire de moment scalaire infiniment petite, l'étude du mouvement de étant faite dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour de l'axe précédemment introduit et fixe d'un référentiel galiléen donc ne subit aucun freinage brutal dans le référentiel galiléen , la collision étant entre et l'objet fixe dans , la pseudo-force d'inertie d'entraînementainsi que l'éventuelle pseudo-force d'inertie de Coriolis[8]a une impulsion élémentaire de moment scalaire infiniment petite, et par suite l'application de la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire centrée en dans référentiel non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de moment scalaire infiniment petites et en observant que la variation élémentaire du moment cinétique scalaire de dans non galiléen devant être, comme le 1er membre, non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter [52], mais ,
«»[57] soit une discontinuité de 1re espèce[53] de la vitesse angulaire de rotation de autour de dans «» ou
le point matériel subit desvraiesforces sans collision dans un référentiel non galiléen en rotation autour de fixe d'un référentiel galiléen mais, à l'instant, le référentiel non galiléensubit un freinage brutal sur son axe de rotation fixe dans le référentiel galiléen, le vecteur accélération d'entraînement de dans en la position occupée par «avec point fixe de et projeté orthogonal de sur » a une discontinuité de 2ème espèce[50] centrée sur étant discontinu de 2ème espèce[50]la pseudo-force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur dans non galiléen «» étant aussi discontinue de 2ème espèce[50] centrée sur est la seule force ou pseudo-force ayant une impulsion élémentaire de moment scalaire par rapport à non infiniment petite «», toutes lesvraiesforces appliquées à ainsi que l'éventuelle pseudo-force d'inertie de Coriolis[8]ayant une impulsion élémentaire de moment scalaire infiniment petite et par suite l'application de la forme intégrée du théorème du moment cinétique scalaire sous forme élémentaire centrée en dans référentiel non galiléen nous conduit à, en négligeant les impulsions élémentaires de moment scalaire infiniment petites ainsi qu'en observant que la variation élémentaire de moment cinétique scalaire de par rapport à dans non galiléen devant être, comme le 1er membre, non infiniment petite nous ne pouvons plus la noter [52], mais ,
«»[57] soit une discontinuité de 1re espèce[53] de la vitesse angulaire de rotation de autour de dans «».
↑ 2,02,1 et 2,2 Le symbole «» à la suite d'une expression ou fonction signifiant « prend la valeur de ce qui suit le symbole pour la valeur de la variable précisée dans l'expression ou la fonction».
↑ 3,0 et 3,1 Principe Fondamental de la Dynamique Newtonienne.
↑ Le 2ème étant nul c'est-à-dire n'existant pas quand le référentiel d'étude non galiléen est en translation non rectiligne ou rectiligne non uniforme relativement à tout référentiel galiléen .
↑ Il est préférable de les nommer « pseudo-forces » plutôt que « forces » comme cela est souvent fait car les premières ne sont pas invariantes par changement de référentiel, leur existence supposant le référentiel non galiléen, alors que les secondes le sont.
↑ Ce n'est pas la seule façon d'expliquer le mouvement relatif d'une personne sans ceinture de sécurité lors du freinage en ligne droite d'une voiture, il est en effet possible de raisonner en restant dans le référentiel galiléen du sol : la personne n'étant pas liée à la voiture n'est soumise, dans le référentiel galiléen, qu'aux vraies forces qui se compensent, elle conserve donc, par rapport au sol, le mouvement qu'elle avait avant le début du freinage de la voiture, alors que celle-ci voit sa vitesse diminuer la personne a donc un mouvement relatif par rapport à la voiture dirigé vers l'avant de celle-ci.
↑ 12,012,1 et 12,2 En effet a priori il y a aussi une 2ème pseudo-force d'inertie dite « de Coriolis » à ajouter aux «vraies forces » s'exerçant sur dans le cas d'un entraînement rotatif relativement à un galiléen.
↑ Ce n'est pas la seule façon d'expliquer le mouvement relatif d'une personne présente sur le manège, il est en effet possible de raisonner en restant dans le référentiel galiléen du sol : si la personne non liée au manège n'est soumise, dans le référentiel galiléen, qu'aux vraies forces qui se compensent, elle conserve donc, par rapport au sol, un mouvement rectiligne uniforme le long d'une trajectoire tangente au cercle qu'elle suivrait si elle était liée au manège, on observe donc que la personne s'éloigne de l'axe de rotation du manège.
↑ Ce n'est pas la seule façon d'expliquer le mouvement relatif d'une personne présente sur le manège en phase de freinage, il est en effet possible de raisonner en restant dans le référentiel galiléen du sol : si la personne non liée au manège n'est soumise, dans le référentiel galiléen, qu'aux vraies forces qui se compensent, elle conserve donc, par rapport au sol, un mouvement rectiligne uniforme le long d'une trajectoire tangente au cercle qu'elle suivrait si elle était liée au manège, on observe donc que la personne s'éloigne de l'axe de rotation du manège et se déplace simultanément vers l'avant puisqu'elle garde une vitesse qui est plus grande que celle du point du manège qu'elle occupait au moment ou le freinage a commencé.
↑ 16,0 et 16,1 Relation Fondamentale de la Dynamique.
↑ On rappelle qu'il est aussi possible, dans le cadre de la dynamique newtonienne, d'obtenir le mouvement d'un point relativement à un référentiel non galiléen en maintenant son étude dans un référentiel galiléen comme sur les trois exemples traités précédemment :
1er exemple : voir l'exemple d'une voiture freinant en ligne droite par rapport au sol du paragraphe « cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement ar référentiel absolu galiléen (exemple) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement relatif du passager non lié à la voiture par ceinture de sécurité est valable que le passager ait ou non une vitesse relative initiale car il n'existe pas de pseudo-force d'inertie de Coriolis agissant sur lui
2ème exemple : voir l'exemple d'un manège en rotation uniforme autour d'un axe fixe par rapport au sol du paragraphe « cas d'un référentiel d'entraînement en rotation uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier (exemple) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement relatif de la personne reposant sur le manège hors de l'axe de ce dernier est valable si la personne n'a pas de vitesse relative initiale car ce n'est que dans ce cas où la pseudo-force d'inertie de Coriolis agissant sur lui est nulle, si la personne à une vitesse relative initiale radiale vers l'extérieur du manège elle subit une pseudo-force d'inertie de Coriolis orthoradiale en sens contraire du mouvement du manège voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » et son mouvement relatif est la composition d'un déplacement vers l'extérieur dû à la pseudo-force d'inertie d'entraînement centrifuge et d'un déplacement orthoradial en sens contraire du mouvement du manège dû à la pseudo-force d'inertie de Coriolis
3ème exemple : voir l'exemple d'un manège en phase de freinage autour d'un axe fixe par rapport au sol du paragraphe « cas d'un référentiel d'entraînement en rotation non uniforme relativement au référentiel absolu galiléen autour d'un axe fixe de ce dernier (exemple) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement relatif de la personne reposant sur le manège hors de l'axe de ce dernier est valable si la personne n'a pas de vitesse relative initiale car ce n'est que dans ce cas où la pseudo-force d'inertie de Coriolis agissant sur lui est nulle, si la personne à une vitesse relative initiale radiale vers l'extérieur du manège elle subit une pseudo-force d'inertie de Coriolis orthoradiale en sens contraire du mouvement du manège voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » et son mouvement relatif est la composition d'un déplacement vers l'extérieur dû à la composante centrifuge de la pseudo-force d'inertie d'entraînement et d'un déplacement orthoradial en sens contraire ou dans le sens du mouvement du manège en sens contraire si la pseudo-force d'inertie de Coriolis est de norme plus importante que la composante orthoradiale de la pseudo-force d'inertie d'entraînement et dans le sens du mouvement dans le cas contraire
↑Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en ; Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en . Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ 21,021,121,221,3 et 21,4 On ne précise pas le référentiel où on effectue la dérivation temporelle du moment cinétique scalaire du point relativement au référentiel non galiléen car un scalaire étant défini de façon unique quel que soit le référentiel a une même dérivée temporelle quel que soit le référentiel dans lequel on effectue la dérivation d’où l’inutilité de préciser le référentiel ; par contre il faut impérativement définir le référentiel où on évalue le moment cinétique scalaire d’où la notation .
↑ 23,0 et 23,1 On supprime le référentiel non galiléen où on effectue la dérivation temporelle car la grandeur à dériver étant un scalaire défini de façon unique quel que soit le référentiel a une même dérivée temporelle quel que soit le référentiel dans lequel on effectue la dérivation «» ; par contre il faut impérativement définir le référentiel où on évalue le moment cinétique scalaire d’où la notation .
↑ 25,0 et 25,1 La notation historique est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole précédant une grandeur définie à chaque instant dont la signification est « petite variation de la grandeur » c'est-à-dire , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée il serait préférable de noter ce travail élémentaire mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques
↑ Donné pour rendre hommage à James Prescott Joule (1818 - 1889) physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise William Thomson (1824 - 1907)encore connu sous le nom de Lord Kelvin pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostriction propriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique.
↑ 29,0 et 29,1 C.-à-d. l'intégrale de Riemann sur l'intervalle fermé correspondant à l'ajout des tous les travaux élémentaires définis sur avec variant dans voir le paragraphe « définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ». Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps.
↑ On peut expliciter le travail élémentaire du poids de dans le référentiel tournant , en repérant par ses coordonnées cylindro-polaires , d'axe et de pôle du repérage cylindro-polaire lié au référentiel tournant , la base cylindro-polaire lié à de ce référentiel tournant étant , l'angle «» dont on déduit «» et par suite l'expression du travail élémentaire du poids de dans le référentiel tournant , «» soit finalement «» qui est une forme différentielle des variables indépendantes voir le paragraphe « définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » mais cette forme différentielle dépendant aussi explicitement d'une 3ème variable n'est pas une différentielle de fonction scalaire de ces trois variables indépendantes , la condition nécessaire d'égalité des dérivées croisées pour que ce soit le cas n'étant pas réalisée voir le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »en effet «» pouvant être réécrit selon , on vérifie que «» n'est pas une différentielle de fonction scalaire une seule inégalité suffisant bien que «». En complément on peut introduire le caractère conservatif d'une force dépendant explicitement du temps «» ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction à figé », ce qui est le cas pour «» car la condition nécessaire d'égalité des dérivées croisées «» est réalisée, la condition suffisante l'étant aussi car le domaine de définition de la force étant convexevoir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ; En complément on peut, dans le cadre des forces conservatives dépendant explicitement du temps, définir une énergie potentielle dont « dérive à temps figé » cette force soit, dans le cas précédent du poids dans le référentiel tournant non galiléen, une énergie potentielle de pesanteur définie dans «» dépendant aussi explicitement du temps selon «» l'opérateur «» correspondant à une « différentiation à temps figé » soit «» d'où c'est-à-dire une fonction arbitraire du temps que l'on peut choisir nulle par choix de référence soit «» on remarque que cette expression s'identifie, en revenant au repérage de dans le référentiel terrestre , à «».
↑ 39,0039,0139,0239,0339,0439,0539,0639,0739,0839,0939,1039,1139,12 et 39,13 Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.
↑ 43,0 et 43,1 C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.
↑ Les adjectifs « axipète » et « axifuge » ne sont pas « encore » acceptés par les académiciens français ; un vecteur est dit « axipète » si sa direction est coplanaire avec l'axe considéré en étant à ce dernier, de sens dirigé vers l'axe et un vecteur est dit « axifuge » si sa direction est coplanaire avec l'axe considéré en étant à ce dernier, de sens s'éloignant de l'axe.
↑ 46,0 et 46,1 Plus exactement non conservative ou conservative mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle d'inertie d'entraînement raison pour laquelle on la qualifie de « non conservative ».
↑ La notation historique comme celle du travail élémentaire est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole précédant une grandeur définie à chaque instant dont la signification est « petite variation de la grandeur » c'est-à-dire , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire respectivement , ou mais, pour des raisons historiques, ce n'est pas fait.
↑ 52,052,152,2 et 52,3 La signification de cette notation dans le cadre de la physique est que cet élément différentiel est aussi petit que possible voir la note « 41 » plus haut dans ce chapitre.
↑ La notation usuelle comme celle du travail élémentaire est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole précédant une grandeur définie à chaque instant dont la signification est « petite variation de la grandeur » c'est-à-dire , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire de moment vectoriel respectivement , ou mais on ne le fera pas.
↑ La notation usuelle comme celle du travail élémentaire est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole précédant une grandeur définie à chaque instant dont la signification est « petite variation de la grandeur » c'est-à-dire , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire de moment scalaire respectivement , ou mais on ne le fera pas.
↑ 57,0 et 57,1 Le mouvement relatif du point matériel n'est pas, a priori, une rotation autour de mais seule la composante orthoradiale de sa vitesse par repérage cylindro-polaire d'axe orienté par donne une contribution au moment cinétique scalaire de selon avec le moment d'inertie instantané de relativement à et la vitesse angulaire due à la composante orthoradiale de la vitesse de .
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=m\left[{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\right]=m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+m\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+m\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f63bc37f09eaddacc3c079aa088e0b889f76b3)
![{\displaystyle \;\Delta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253fcb66c149824a93e089ec5517bd20a6fffbd7)
![{\displaystyle \;\Delta {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a0d8bee1ed2b8b39aac91fd03dc66f936ed1c5)
![{\displaystyle \;\Delta _{O}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31646cb2a5804c9210860d3086ed6499853c65b6)
![{\displaystyle \;m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afa947b19af186959f382b71eb04c57af3a2ccc)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}m\;{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\\\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2156778053927a7b838d07d8f00fa986b67672)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}_{g}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e622658d22f8b3beeac15e8737e2db68be6d0e19)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1f411b87785f9c0b2f083c83d4ed3112122f94)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbfa660c0501c566416ecfb40fee057a595d90f)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9951c8aeab3b9dbad9eb1492e1053c9f77670dda)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579b33016a1752f62b6dec61c1434f1364a6797e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5415829acaf2c6f8afc9f7c2df84fd7b191c96)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2120797858cef59e76726867db102a41f4baadd7)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec2fa4ea56de1177b51e65a5260a18c0be38813)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9deb54e145cd1dee3f999f80c98757c40699d0a5)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}(M)\right]+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d200745e70e10fd665d6dea1d63e0c51ff74f326)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a4ab0712f057e7d06ad4e0f804fafd7bdef474)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9a6d25eed2739ca66a32970e073cd1e08973e4)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60936666c9ddb0ed3a372a88818130687146c56)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df703a52f547c46c87a0576b5aae1f9e59b5a3a2)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6236ed65e1cabfe46e25d08649c6081fc40e828b)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)}{m}}\wedge {\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a110626cf0076f534ec2033786e9e7b6792023b1)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a2211c4772d6165371df85881157ebcce59dca)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}(M)\right]+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e969acc13cdb0596a767dc7c3034e636331d227)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d9be7afff784350cb64f5ed6ea8ba7c9052626)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cc5997eb1b603d3e4eaee799951589cc1fd337)
![{\displaystyle \;\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d68dc50708155ce0f85e6d465772910869d3608)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35731905f568b2b745b866d9bc4b9d7d5fd0493)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O\,\in \,\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7060e44331216255610d2f6b429fd34d114bf9e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O\,\in \,\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ee449e9a53350a07d20cfe9d92c9c010ea1717)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfec727f1b35047ec45b5726bb02428994403c4f)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace +{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741eb0ef14d08aefe4f1a0c215fbd62dcc5bcf01)
![{\displaystyle ={\dfrac {d\left\lbrace \left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace }{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5c6e29321bd2e73f8711da7565ac2322e1a10f)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left\lbrace \left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace }{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0c2081d52f11901dfaed5ebb2b7528e38e1f80)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43ee44824f6e36d924c7288e30fc13b9c6c6154)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)=\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\\{\text{si }}\;O\;\in \;\Delta \end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007373c82edb1ea8f127524bd08b7070e1c3575e)
![{\displaystyle \;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace +{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b844f93b080a8e6e7540b08c84b6da11b6c615db)
![{\displaystyle \;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace +{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f76a8ada5b538a7623ead389c832432e7d031da)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\vec {0}}\;\;\forall \;t\\{\vec {a}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\!\!&\Rightarrow &\!\!2^{\text{ème}}\;{\text{C.N. d'équilibre}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf5e10d95a135ec354f51fc921349de37f0617a)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{k}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {0}}\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;O\;{\text{fixe dans }}{\mathcal {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0a9a7fc589825738da4a4b7d112b91197503c7)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53c8c65623a5a0143bf080e0c69a106aaf7019e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be0d3b98dbbc946c80b73cbb3b1515da8e4c4dd)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac68125d8a016cfefd0cb6547a11b2ebd3b61145)
![{\displaystyle \;{\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6ae9ad712677a5f7c97c57f513d4ab98302f72)
![{\displaystyle {\dfrac {m}{\cancel {2}}}\;{\cancel {2}}\;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\cdot \left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1505ff08f85acd6af1d2d5eda46bd2c3aec92236)
![{\displaystyle \;m\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb13d22be1b27b9a1f0f8160700cf4e9a56a9e9)
![{\displaystyle \;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d6e6ed3a019f0706a753117bc5b9e991eae217)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a39bb3394613b6c09c23d232b51a326ddf0ddc)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\right]+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)={\dot {K}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc92ae90cf871686dfac21237027dd20df886f3f)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8184c340a63df6df2b27b66bfd7ad1a188b76dd)
![{\displaystyle {\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=\left[-2\;m\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{g}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)=0\;\;\forall \;t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a56d897981b4ce5589ad180306f33623be90912)
![{\displaystyle \;1\;J=1\;W\times 1\;s{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b945a7911d90d700a70180fe9790b2113d7ba5f6)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c47511ca837e2cb016cfa099d0b0d321cb9dde)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=dK_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d62c3a2436b3e93e3033346cda008c9910851c)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1297f1e8fb5368849d6fdb2e4b8fdf001953590d)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b10f43a242d8a98545fc3e7cd5e3ca461e4dbd)
![{\displaystyle \;{\bigg \{}\left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94254ff36e54622c6bf291202610010c39fef668)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01364e592cf8fc618cb041adf6633f5764b1757e)
![{\displaystyle \;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a941219c8affb96d033a966bc971c413bfb354d)
![{\displaystyle \;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d61e427a2979b2b0a4d5c176e053e608677cd77)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]+W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55921aceb261a49cca86915bfc519b0325f31fbe)
![{\displaystyle \;W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{f}}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a9fe508c2983bcea358d753932c16caf414d47)
![{\displaystyle \;W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{f}}{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c797f26c97b3e69669e5aef3603b3e5e1430b20e)
![{\displaystyle \;W_{M_{1}\,{\overset {\mathcal {T}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581c0eefd37a32a2399492bb7d6e970ea656482c)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2702db2bf43545e9d6c9ebada09c12ae5f43dd)
![{\displaystyle \;dU_{\vec {F}}(M)=-\delta W\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c232c2806f0be7bb327d29221a450d72c27c02)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3adc56467b5542eac8e0a1e5e8591889b71e43)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f6eb47e0c76f5c3e42c2ab436b3d4082f1934e)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3270275cbaf628666262bd0de6f69ed3290fbfa5)
![{\displaystyle \;W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af7c3ab7c3fe92f51b1ba2ab1fb4c4e7957ab2e)
![{\displaystyle \;W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84daa518a629d6b4d65f174c236ee6aff717fca4)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{j}W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-K_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adaffc7c723123a8adc3190f0f98e24b6b8b54dc)
![{\displaystyle \;W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{1})-U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}(M_{2})=-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216ed52643e97c2163cdd7272f47c59e3ca353c8)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{j}W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\sum \limits _{j}\left[-\Delta U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]=-\Delta \!\left[\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33ee5506ef3e30404f05a89fc438a76aeb34571)
![{\displaystyle \;-\Delta \!\left[\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]+\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta K_{M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3368ba19a5a695740aea7c4910d248a97619a051)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\Delta \!\left[K_{M/{\mathcal {R}}}+\sum \limits _{j}U_{{\vec {F}}_{j,\,{\text{cons.}}}/{\mathcal {R}}}\right]=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59297081adf135ea1fabc1b8c85fbd6179b95909)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297f240d6834508dc1a52363fa469c46b69427e4)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=dE_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c298a300e9e45d3c5a137371ee2f5dd2f2bf1fe1)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]={\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a47864cd4777767e8bcf37f71c19b17371d3689)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acf8f4d6e0877849f42bb57bfd48228dd9c9fc1)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fca95200d51a10c6db1ed34f67de78615b7f4c)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]+{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\dot {E}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2156c1b78f0c6b812a9a06962b4f53cb99a639a)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]={\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d741452066b5e475899e0f461938fb74360b5f9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0443fe7dedc24f418b29d443e098e8bf3107e055)
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157e0bca5e6eb1e1ef402f0eda3ff392ad014b76)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878c5271322fe36c255db2cfa8691950f0ed2dcc)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\text{cste}}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac401a9eb80731b6f19effc023c00400cb70fee3)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=-m\;{\vec {a}}_{0}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=-d\left[m\;{\vec {a}}_{0}\cdot {\overrightarrow {OM}}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7c7ab92120ebd02f1d5f51ac852fe19c8cbce9)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=-dU_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5e87e5857b18feba2cbcc73b1fa66b39adfafb)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {H_{M}M}}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}\;{\vec {u}}_{r_{\mathcal {R}}}\cdot {\overrightarrow {dM}}_{/{\mathcal {R}}}=m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}\;dr_{\mathcal {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa9afea385d32d87a8ab0572ada98d55408a3f5)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;r_{\mathcal {R}}^{\,2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f953cebebd1c6bbbae423bde1f36a9f9d09fee6)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7efeea398e608a2e5fb6106976fdd9423a18b3)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\Delta {E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75388e381f2ef8d47e683376731b6f37e9807f2e)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]+W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e4a4b45e8d6b53ac518d529c5d62b031958dd7)
![{\displaystyle \;W_{\!\!M_{1}\;{\overset {\cancel {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}}{\rightarrow }}\;M_{2}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=U_{{\text{in.}}\,e,\,M}(M_{1})-U_{{\text{in.}}\,e,\,M}(M_{2})=-\Delta U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7c1982182aac43feb3a49b7c5abefef3970078)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]-\Delta U_{{\text{in.}}\,e,\,M}=\Delta E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc3578ddbc1b68188b98ca085561ff339156ff9)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}W_{\!\!M_{1}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=\Delta \!\left[E_{m,\,M/{\mathcal {R}}}+U_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\Delta {E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52c054906e8ffdd85d151869aa8f8cca83719eb)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d80dc7a4b825db073e0a6d0a50815f770fee9cf)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M)\right]=d{E'}_{m,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94255581191f2259e457ba431fc7b847c40431d6)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd122d3732115158979e6554ea8490f47bc5879e)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i}{\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{i,\,{\text{non cons.}}\,/{\mathcal {R}}}(M_{t})\right]={\dot {E'}}_{m/{\mathcal {R}}}(M,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31a198245a96cbd3c994f8c2cf40398cb705c67)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9bb4c3e8344cb0c979f6ee8c857427b1387ee1)
![{\displaystyle \;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)+{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt=\left[{\dfrac {d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdbc7b5e78a50479c30ffcc6b884a5f054a8e68)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\;dt\right]+\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\;dt\right]+\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\;dt\right]=d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24da7c825e44a5a7d3284b9bb6260b3588d7960)
![{\displaystyle \;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351b32a5009007a848d53f66976d80c95ee6c59b)
![{\displaystyle \;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fc3eba2423eca68abc31bc92b625db65afcf16)
![{\displaystyle \;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09af416859d6eb766b4b97b505d17e6dcec5a302)
![{\displaystyle \sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}=m\;d{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b4badd1c555210c939a15ea4781c0687579588)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace ={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=m\left[{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecaf3c3affcd2958c1ef9360187210764be35a58)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=m\left[{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb879414f1cab3b2c874f746b57d31a65a4e8f3f)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237141a46506e69adf4d583159775737cac74903)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105129832160f79bb341504b49fcd348c8de221f)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b416e24fb12a47a976bb48de21bcee8966314a)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056b77297324e2ce66b379581d32ce80c11e6e7e)
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9b9c517479c07d4e808a2aa01971244994f44a)
![{\displaystyle \;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0ad113ff17966c298064cf3b80f69da325fb4c)
![{\displaystyle \;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18aa33d7076f15ba4a7f6150ac3fa195878cfc9e)
![{\displaystyle \;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c912dd322fa212a159e43aedc7675876be76cac0)
![{\displaystyle \sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]+{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]+{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]={\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {p}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})=m\left[{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e59a34bf4fa6ed9394b8e94a2214c83feff802d)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;>0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c62dd883547dc943eb678b482b6a44103fd8e6)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a88a7e1d94404793a07eb3c24fe8c71597130e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{g}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d480a1444c5ad0e34efb5b9593099552b2a7910)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]=\left[{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0975e52b4ddbd82ba6f180bce6d6abe77f319abe)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace dt=\left[{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf33f76c6d7b0f20bdf0f30c6a55393681677212)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace =d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf4300807c22b98de69da3259374c4577e93260)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1909234ead0d528049c10161f5532e34dca98e48)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d925188b83031a8f6ab5967b5744eb42e55fb11e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21cc9053b0b5319f43d5855bf82c042a5342d5b)
![{\displaystyle \;\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2655cae1d06df631e54ab151769804a9f6dcd9af)
![{\displaystyle \;\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b937da3a7e07b834f3bb3bc0efef5972bfb95c6)
![{\displaystyle \;\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913a15281475c35f0cdf7fc4ea2bcebcbd9d37a3)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace =d{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892754abf108353bf48242cacc46bc6b6a527289)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum \limits _{k}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \right]={\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23203db46b51cbcfb0a8d120a1de5ce65e5cfaaa)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace ={\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50afa53d5a8833e1519a89fd45125fb35d79bf6)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163fcc460f1b11d99663ce670846632b16a5cec6)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026bfea004c834b4effb706f13f9dec88eb85236)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {\mathcal {I}}}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d208b0f4c585bfdcf05d1cebf64671ed4b17c9)
![{\displaystyle =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012f1169bcfdbd1eec189473246b05c3ff5ee9e9)
![{\displaystyle \;{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9d0e5b7816278c510b88be72107c113ae12d74)
![{\displaystyle \;{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81a61a47749cc6c640fec8dd577a5568667a83f)
![{\displaystyle \;{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acffcc21fb3c63e3c60b13659bffaea375a948f4)
![{\displaystyle \sum \limits _{k}{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace +{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace +{\vec {\mathcal {I}}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace ={\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-{\vec {\sigma }}_{O,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426c4fe10209771868ab69ff31f3b820cb92295e)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]={\dfrac {d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245314bcf91a05470c44d4485de610a42fd8579)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace dt={\dfrac {d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f7e0d1a343059695eac546c4d7b11977139533)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace +\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\right\rbrace =d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847cc4850277546709e4043e47111d9a98db55ab)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0f18f41b15d2c2520ddfc7228a18e155ab76fe)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8302ccba1f0891ae4e9ccaf980dfec934cd752a9)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4c7468afc587b347328dd66c4819641ee274c3)
![{\displaystyle \;\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2868101ee12df60d77aa2c530b0971ba65636b8)
![{\displaystyle \;\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fc1982362e2d6cc9cf66a942c39e24633e10ed)
![{\displaystyle \;\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f708fb1ff6bd750e10fb7043ee10ae30e1e4131a)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace =d\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d37fc872930b2b3415d36a3f78714eafe87ee2)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum \limits _{k}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \right]=\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc610d1192cb9347376c73b1c9e8471542ac334c)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace +\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace =\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24acc19a5a0f9ea0e13bbf964b42befba6113d8)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0954da2a44d9153ad0bac9c7a5991f950e14e71)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddf48c2590a154af0bb20e949fde059a81ae664)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f214130ccf1887f94faa42b7126eb4085d09a883)
![{\displaystyle =\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55854828f00bc1d794da0c69380260731904533b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb30a2f1e71d53c996ee7bc4c5aed759507b04ab)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c8e7e4a291867dc5fb2f084720c6430e7a0b28)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcb03301ed09792cb053b593c02a6688b4f779e)
![{\displaystyle \sum \limits _{k}{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\right\rbrace +{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]\right\rbrace +{\mathcal {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}\right]\right\rbrace =\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{2})-\sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c526edb10463db5d558ac074a2b066844856ebd2)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09b37c88d0f4e7c0294af4ab04fa85918fb1df7)
=\Delta \sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=J_{\Delta }(M)\;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d897e622444e602dfd1bd7d4a72431a7bb6aeb)
}{J_{\Delta }(M)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31d6b356adfd5ffdfa4d3e0371fba6ee469c77d)
}{J_{\Delta }(M)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7237b8b0314c1fc96648ed23f3b11bfa17d1fbb)
![{\displaystyle {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec8b8fd9f86cffa472e3222e479a5bb62de37f)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1aa747326d66f168afa39455f3fa000108e282a)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})=\Delta \sigma _{\Delta ,\,M/{\mathcal {R}}}(t_{0})=J_{\Delta }(M)\;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764d317b246813741531050a8502ac2a2fe41755)
![{\displaystyle \;\Delta \Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0})={\dfrac {{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})}{J_{\Delta }(M)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6488af4c2587ea08d36f3c9f3f8918d9c580d27f)
![{\displaystyle \;\Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{+})-\Omega _{M/{\mathcal {R}}}(t_{0}^{-})={\dfrac {{\mathcal {I}}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e\,M}\right]\right\rbrace (t_{0})}{J_{\Delta }(M)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4030adadcf8a6778213f70aef5f42b1a1b6367e5)
![{\displaystyle \;:={\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d62fa8edbd2b9db551f57826dbca52a4ccd9eaa)
![{\displaystyle 1886{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f056cb5e0634141126aab0838aae5d8bc568344b)
![{\displaystyle \;\left[\sigma _{\Delta }\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be9b2f2ed07a8cda927ffb9f953d78ff682bff2)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d94f304d7b3dda621b735ac800459d7d91bee39)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\dfrac {d\left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)}{dt}}\right\rbrace _{\mathcal {R}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\left\lbrace \left[{\vec {\sigma }}_{O}\right]_{\mathcal {R}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace }{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bfccc8191fb660ac62d1e857aa830ad4ca48d1)
![{\displaystyle \;W_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8eb38b1217bef83ff6a01517540197183c9018)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\;dt=\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\right]\;dt={\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\\\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]={\mathcal {P}}_{/{\mathcal {R}}}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;dt=\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\right]\;dt={\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd6feb3a5cc77ebec2d582b77f781ae3fef394c)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M/{\mathcal {R}}}(t)\;dt=\left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23b8acbf7d66cc022880ed60ca49f82beedfb40)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88bd69e4eff9a9ddf155072432e1dfb533d6a08)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{f}}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\\W_{/{\mathcal {R}}\,{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{0}\,{\overset {{\mathcal {T}}_{/{\mathcal {R}}}}{\rightarrow }}\,M_{f}}{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {dM}}_{t}\right]_{/{\mathcal {R}}}\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e347744d00712a9576142f5cf51eeb576425e0fa)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left[dr_{\mathcal {R}}\;{\vec {u}}_{r_{\mathcal {R}}}+r_{\mathcal {R}}\;d\theta _{\mathcal {R}}\;{\vec {u}}_{\theta _{\mathcal {R}}}\right]=-m\;g\;\cos \!\left(-\theta _{\mathcal {R}}+{\dfrac {\pi }{2}}-{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;dr_{\mathcal {R}}-m\;g\;\cos \!\left(-\theta _{\mathcal {R}}-{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;r_{\mathcal {R}}\;d\theta _{\mathcal {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b384bb7a448a3c4dcefd6614c95d7dc01f4d1d7d)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=-m\;g\;\sin \!\left(\theta _{\mathcal {R}}+{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;dr_{\mathcal {R}}-m\;g\;\cos \!\left(\theta _{\mathcal {R}}+{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;r_{\mathcal {R}}\;d\theta _{\mathcal {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328e382c7d8e5cccb5578769945f214e2fe05ee4)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ad27201e08bfc86727a8d22ac5e2e7bd71ad73)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A}{\partial t}}\right)_{r_{\mathcal {R}},\,\theta _{\mathcal {R}}}=-m\;g\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;\cos \!\left(\theta _{\mathcal {R}}+{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\neq \left({\dfrac {\partial C}{\partial r_{\mathcal {R}}}}\right)_{\theta _{\mathcal {R}},\,t}=0\\\left({\dfrac {\partial B}{\partial t}}\right)_{r_{\mathcal {R}},\,\theta _{\mathcal {R}}}=m\;g\;{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;\sin \!\left(\theta _{\mathcal {R}}+{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;r_{\mathcal {R}}\neq \left({\dfrac {\partial C}{\partial \theta _{\mathcal {R}}}}\right)_{r_{\mathcal {R}},\,t}=0\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ddb403ee9500cd10de1665a50a55418e6ca28e)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c497f7f916bcccf0a8a9a2d288907024cf99161)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]={\begin{array}{c c c c}A\!\!&\!\!\!\!&\!\!\!\!&\!\!\\\overbrace {-m\;g\;\sin \!\left(\theta _{\mathcal {R}}+{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)} \!\!&\!\!dr_{\mathcal {R}}\!\!&\!\!\underbrace {-m\;g\;\cos \!\left(\theta _{\mathcal {R}}+{\overline {\Omega }}_{{\mathcal {R}}/{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}\;t\right)\;r_{\mathcal {R}}} \!\!&\!\!d\theta _{\mathcal {R}}\\\!\!&\!\!\!\!&\!\!B\!\!&\!\!\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092da29159fc74566aec016847b7d5a0c4557c86)
![{\displaystyle \;\delta W_{/{\mathcal {R}}}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=-d_{t}U_{{\text{pes}}/{\mathcal {R}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd34d2783d1115c880deab678a1add785f1db017)
![{\displaystyle \;{\vec {I}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3899be6851a4fc55162e46a74ae1b44a63989464)
![{\displaystyle \;{\vec {I}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5bcc9c9a86259e4e54f900aadaee5ca3d9f2b9)
![{\displaystyle \;{\vec {I}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e186168ade66652423c85cfc6c27237e4d27e458)
![{\displaystyle \;{\vec {\mathcal {I}}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07e23af8a5d6c0817a960d07fa0fd4e2df7dd7c)
![{\displaystyle \;{\vec {\mathcal {I}}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416f1efb469cd542e36b7205f7cfc5dab0480bf1)
![{\displaystyle \;{\vec {\mathcal {I}}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98333c484c442fea5d656f3c6ba180c2d9a0d70d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e44c41315bde0192719157482ddc0d1d7469f2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,e,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b349b64448da1d7c5f838989c07e28cd916df2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {I}}_{\left[t\,,\,t+dt\right]}\!\left\lbrace {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {f}}_{{\text{in.}}\,c,\,M}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8ec7cb0ed520646076bb265c9758ac558cf952)
