Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
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Chapitre no 15
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
Chap. suiv. :Divers repérages d'un point dans l'espace
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Intégrale définie sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann [1]

     La fonction scalaire de la variable réelle définie sur l'intervalle fermé
     La fonction scalaire est intégrable sur cet intervalle fermé
     La fonction scalaire est intégrable si elle y est continue par morceaux, c.-à-d.
     La fonction scalaire est intégrable s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration ,
     La fonction scalaire est intégrable s'«»
     La fonction scalaire est intégrable s'«pour laquelle « est continue sur les intervalles ouverts
     La fonction scalaire est intégrable s'«pour laquelle « est continue sur» avec
     La fonction scalaire est intégrable s'«« et »,
     La fonction scalaire est intégrable s'«l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger
     La fonction scalaire est intégrable s'«la continuité de sur » [2].


Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées[modifier | modifier le wikicode]

     On démontre que « la somme de Riemann [1] choisie » [4] admet une « limite finie » quand , limite qui définit l'intégrale de Riemann [1] de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Avec «», « la somme de Riemann [1] associée peut être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base et de hauteur » ;
     aussi, « quand », « la somme de Riemann [1] tendant vers l'intégrale de la fonction sur l'intervalle fermé » et
     aussi, « quand », « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites et »,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann [1] :

Développement de quelques méthodes de calcul[modifier | modifier le wikicode]

     Intégrer une fonction dont on connaît une primitive exemple [5] ou,
     Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée exemple  : on se souvient qu'une primitive de est [6] en ayant oublié la valeur de , pour la retrouver on dérive ce qui donne à identifier à d'où et par suite une primitive de est soit, dans le cas particulier où , une primitive de est ou une primitive de est conduisant à  ;

     intégrer une fonction par changement de variable exemple  : souhaitant avoir au dénominateur [7], on y met en facteur suggérant le changement de variable [8] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur car et non qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif soit [9] [10] donnant finalement  ;

     intégrer une fonction trigonométrique en linéarisantquand cela est possible exemple avec [11] ce qui donne finalement  ;

     intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple exemple dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type sachant qu'on connaît une primitive de la fonction [12] et pour cela considérer la fonction à intégrer comme le produit de fonctions et de façon à appliquer la méthode d'intégration par parties ou I.p.p.[13] exposée ci-dessous ;

     intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple exemple ici on pose « » et « » [15] d'où  ;

     intégrer une fonction rationnelle [16] par décomposition en éléments simples exemple  : la fonction rationnelle de pôles [17] connus se décompose en éléments simples et c.-à-d. avec et constantes réelles à déterminer selon la méthode exposée ci-dessous sur l'exemple ;

          intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple ici on obtient «» d'où la réécriture de l'intégrale en [19] soit finalement  ;

     

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Distinction courbe plane - courbe gauche[modifier | modifier le wikicode]

     Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole et bien d'autres encore ;

     une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Sur une courbe continue plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «» et une origine de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue plane ou gauche, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «» sur depuis l'origine [20],
     Sur une courbe continue plane ou gauche, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique appelé « abscisse curviligne du point et noté » ;
     « l'abscisse curviligne de sur est donc défini par », « la distance non algébrisée séparant de sur étant ».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une courbe ouverte[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou
     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois en une ou plusieurs positions particulières avant de poursuivre [21] ;

     Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1er type, celle du 2ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

     Dans le cas d'une « courbe ouvertesans points multiples» [22], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe et réciproquement »,
           Dans le cas d'une « courbe ouvertesans points multiples», il y a donc « biunivocité » [23] entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de .

Cas d'une courbe fermée[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois par l'endroit de départ et, de façon cyclique
     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, et ordonnée, indéfiniment par toutes les positions précédentes ;
     Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle » [24], la description du point générique de la courbe fermée étant
                        Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », celle du point générique du « cycle » [24] répétée à l'infini ;
     Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » [24] d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse au moins une fois lors de sa description du « cycle » [24],
           Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse on parle alors de « courbe fermée avec points multiples » ;
     Définition : nous appellerons par la suite « courbe fermée » une courbe fermée sans points multiples.

     Remarque : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples» [25], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe » mais
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», « à chaque position de il existe une infinité de valeurs de séparées entre elles d'un multiple d'une grandeur correspondant à la
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», « à chaque position de il existe une infinité de valeurs de séparées entre elles d'un multiple longueur de la courbe fermée »
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», il y a donc périodicité de la fonction qui à fait correspondre un point de la courbe, la période étant égale à  ;
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», pour retrouver une « biunivocité » entre la courbeet un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de ,
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», on restreint le domaine de définition de la fonction avec une détermination principale de l'abscisse curviligne,
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», on restreint le domaine de définition de la fonction avec l'abscisse curviligne prenant les avaleurs [26].

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

     On réalise un paramétrage géométrique de la courbe par abscisse curviligne, étant la position d'un point non « anguleux » [27] d'abscisse curviligne et sa position d'abscisse curviligne infiniment proche ,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point d'abscisse curviligne est défini par
     le vecteur déplacement élémentaire «» soit encore «» c.-à-d.
     le vecteur déplacement élémentaire « la différentielle du vecteur position du point » [28] d'où une autre expression de la définition
     du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point «» usuellement noté «» [29].

     Remarque : Pour un point anguleux de la courbe [30] on définit deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement
          Remarque : Pour un point anguleux de la courbe on définit deux vecteurs envisagé est à gauche « définissant » ou
          Remarque : Pour un point anguleux de la courbe on définit deux vecteurs envisagé est à droite « définissant » [31]

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, étant la position d'un point quelconque non « anguleux » [27] d'abscisse curviligne et
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la position d'un point proche de d'abscisse curviligne voisine ,
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » [32] le long de la courbe du point «»
           Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » a pour direction la sécante  ;
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne devient l'infiniment petit , devient et
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » devient le vecteur déplacement élémentaire  ;
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante tend vers la direction tangente à la courbe en [33] quand [34], d'où
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe en un point non anguleux [27] :

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet[modifier | modifier le wikicode]

     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne,
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, en tout point non anguleux [27] de ,
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, « un vecteur unitaire tangent à en » orienté dans le sens «»
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, « un vecteur unitaire tangent à en » appelé « vecteur unitaire tangentiel » [36] et
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, « constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » [37] ;

     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point non « anguleux » [27] d'abscisse curviligne peut être alors défini par «» [38], [39].

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [43] : si la courbe est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points,
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe est paramétrée géométriquement par le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de s'écrit
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe est paramétrée géométriquement par «» où « est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » [43], [44] et
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace le long de la courbe se réécrivant selon
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace «»
           Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace « est une « forme différentielle de la variable» [45],
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable» dès lors que « est une fonction intégrable de ».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire [46] définie en suivant la courbe dans le sens «»
           Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe d'une position à une position .

     Il y a deux types d'intégrales curvilignes d'une fonction scalaire sur une portion de courbe continue possibles [47] :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une courbe continue  :

  • «» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace [48], usuellement appelée « densité linéique de » [49],
  • «» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace ,
    l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel le long de de à », laquelle est notée «» [50].

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de sur la courbe  ;
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne [51] ou encore
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « temporel » si on connaît le mouvement du point sur , le paramètre étant alors  ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, et étant respectivement les abscisses curvilignes de et sur  :
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, pour le 1er type d'intégrale curviligne, on obtient «» [52] et
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, pour le 2ème type d'intégrale curviligne «».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur [53] ;
     Préliminaire : le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle [54].

     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : on utilise le repérage polaire de pôle , « variant de à » et
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : on utilise le repérage polaire de pôle , « restant égal à » d'où
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : la longueur élémentaire d'arc associé à la variation élémentaire d'angle au centre
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : la longueur élémentaire d'arc s'évalue par «» [56] et par suite
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : la longueur de l'arc de cercle se calcule par «».

     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : on utilise le même repérage polaire de pôle le centre du cercle, « variant de à » et
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : on utilise le même repérage polaire de pôle le centre du cercle, « restant égal à » d'où
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : la longueur élémentaire d'arc associé à la variation élémentaire d'angle au centre s'évalue par «» [56] et par suite
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : la longueur du cercle se calcule par «» [57].

     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboled'équation cartésienneavecentre son sommetet un pointd'abscissequelconque :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabolele vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de étant «» [58],
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabolela longueur élémentaire en ce même point se calcule par «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleen orientant dans le sens des , par «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabolela longueur de l'arc de parabole égale à «» s'évalue en faisant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleun 1er changement de variable soit «» avec «» puis
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleun 2nd changement de variable [59] dont nous déduisons
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole«» avec [60] et, avec la relation de duplication «» [61],
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole«» ce qui s'intègre en «» [59] ou encore,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleavec «» [61], «» soit enfin,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleavec [62], «» ou
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleen remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «» [63]
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole«» [64].

     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiqued'équation polaireavec[65]entreetd'abscisse angulairequelconque :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiquele vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [66] soit,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiqueaprès différenciation et factorisation «» [67], nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiquela longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiqueen orientant dans le sens des , «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiquela longueur de l'arc de spirale logarithmique égale à «» valant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» soit finalement
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» [68] ;
     Autres exemples : la longueur d'un arc de spirale logarithmique d'équation polaire avec[65] entre et d'abscisse angulaire quelconque
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiques'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que est ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» et par suite
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» soit finalement
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique« quand » [69].

     Autres exemples : Longueur d'une ellipsed'équations cartésiennes paramétriques de centre, d'axe focal, de demi-grand axeet de demi-petit-axe «» [70] :
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsele vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [71] soit,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseaprès différenciation et factorisation «», nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsela longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, en faisant apparaître l'excentricité avec
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, la distance séparant le centre de
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, la distance séparant de l'un ou l'autre de ses foyers [72] et
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, en éliminant au profit de par [72]
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, ou, avec , «»
Autres exemples : Longueur d'une ellipseet, en reportant l'expression de dans celle de , «»
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsesoit finalement «» d'où la longueur de l'ellipse se calculant par «[57]

diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe en fonction de son excentricité , c'est aussi, au facteur multiplicatif près, la représentation de la valeur pour de l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce « » en fonction de module elliptique

     Autres exemples : Longueur d'une ellipse» [73], [74] ; la longueur de l'ellipse se réécrit,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen faisant le changement de variable « avec »
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse «» ou, comme ,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse permet la simplification suivante «» et enfin, avec
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse , «»
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsed'où la longueur de l'ellipse se réécrit «
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse» [74] la recherche de la longueur de l'ellipse a
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseconduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsel'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce notée et définie par
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsel'«» d'où «
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsel'«» d'où « » ;
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsevoir diagramme ci-contre donnant la longueur d'une ellipse de demi-grand axe
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsevoir diagramme ci-contre donnant la longueur en fonction de son excentricité  :
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseon retrouve la longueur du cercle pour , « valant » et au fur et à mesure que , «[75] c.-à-d. que ,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsepar exemple pour « le demi-petit axe vaut alors » ou
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsepar exemple pour « le demi-petit axe vaut alors »

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 et 1,11 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps.
  2. Mais attention n'est pas nécessairement continue en car peut être de .
  3. Ce n'est pas une nécessité d'où le qualificatif « particulière » donné par la suite à la somme de Riemann.
  4. Mais il en est de même de toutes les sommes de Riemann possibles.
  5. Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (conséquence) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Prendre une primitive si augmentant le degré du monôme d'une unité, ce résultat se généralisant à toute valeur de à l'exception de , admettant comme primitive.
  7. Car on connaît une primitive de qui est , voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (conséquence) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Il n'est pas toujours nécessaire de baptiser effectivement cette nouvelle variable même si mathématiquement c'est préférable on peut la laisser sous la forme pour gagner du temps et c'est ce qu'on va faire.
  9. N'ayant pas baptisé la nouvelle variable mais ayant laissé pour gagner du temps, les bornes restent celles de la variable et non celles de la nouvelle variable non baptisée.
  10. Il est possible de vérifier ce résultat par des considérations de dimensions ; supposons que et représentent des longueurs, il en sera de même de et par suite s'exprimera en ainsi que  ; le résultat doit donc aussi être en ce qui est le cas avec .
  11. Noter que la présence de suggère de prendre comme nouvelle variable, on en fait donc apparaître la différentielle mais en faisant cela on commet une erreur relativement à d'où la division de par .
  12. Les primitives de la fonction étant .
  13. Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques.
  14. Cela résultant de dont on tire et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.
  15. On choisit la primitive la plus simple
  16. Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.
  17. C.-à-d. les racines du polynôme dénominateur les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle).
  18. Ce qui rend rapide cette méthode c'est qu'elle peut se faire en calcul mental.
  19. Les primitives de étant .
  20. Évidemment il faudrait préciser ce qu'on entend mathématiquement par « longueur algébrique parcourue » mais le but poursuivi ici se limite à donner une notion d'abscisse curviligne ;
       physiquement on peut déterminer l'abscisse curviligne d'un point de à l'aide d'une ficelle dont on fixe une extrémité au point en lui faisant suivre la courbe points par points jusqu'au point , on repère alors le point sur la ficelle et on mesure la distance séparant ce repère et l'extrémité qui était fixée en après avoir tendu la ficelle, cette distance représentant la valeur absolue de l'abscisse curviligne du point  ;
       en ce qui concerne le signe de l'abscisse curviligne, suivant que le point est situé avant ou après l'origine relativement au sens «», l'abscisse curviligne de est ou .
  21. Cas peu fréquent.
  22. Exemple de courbe plane ouverte droite, parabole, branche d'hyperbole attention l'hyperbole n'est pas une courbe continue mais constituée de deux branches continues,
       exemple de courbe gauche ouverte hélice circulaire ou autres hélices
  23. Correspondance entre deux ensembles qui relie un élément quelconque d'un ensemble ou de l'autre à un et un seul élément de l'ensemble restant.
  24. 24,0 24,1 24,2 et 24,3 L'appellation « cycle » est personnelle d'où les guillemets.
  25. Exemple de courbe plane fermée ellipse dont son cas particulier le cercle.
  26. étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.
  27. 27,0 27,1 27,2 27,3 27,4 27,5 et 27,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.
  28. On utilise « la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable, valable dans la mesure où est un infiniment petit » la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  29. Car la différentielle est en fait indépendante du choix de .
  30. La plupart des courbes continues n'ont pas de points anguleux.
  31. Mais pratiquement ce cas est rarement envisagé.
  32. « Petit déplacement » et non déplacement élémentaire car est petit mais non infiniment petit.
  33. Définition géométrique de la tangente à une courbe en un point .
  34. Ce qui est le cas car devient lequel est infiniment proche de .
  35. En effet nous avons montré que la direction de la sécante tendait vers la direction tangente à la courbe en mais le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe pourrait être nul en des points particuliers de celle-ci
  36. Ce vecteur est unique car le point est non anguleux, en un point anguleux on définirait un vecteur à gauche et un autre à droite
  37. Nous n'introduisons pour l'instant que ce vecteur, les deux autres le seront quand cela sera nécessaire, voir le paragraphe « en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » plus précisément les sous-paragraphes « rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1er vecteur de la base locale de Frenet associée » et « 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée » .
       Le qualificatif « local » signifie que la base dépend du point contrairement à une base cartésienne.
       Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  38. Ceci est en accord avec le fait que ces deux vecteurs sont tangents à la courbe en , étant dans le sens de respectivement dans le sens contraire pour respectivement pour c.-à-d. pour un déplacement se faisant dans le sens «» respectivement dans le sens contraire ;
       d'autre part en prenant la norme de cette relation on obtient ou le vecteur étant unitaire signifiant que la norme du vecteur déplacement s'identifie à la valeur absolue de l'arc de courbe élémentaire ;
       si on considère un déplacement petit mais non élémentaire avec proche mais non infiniment proche de , est la longueur de la corde et la longueur de l'arc de courbe, la 1ère étant légèrement inférieure à la 2nde c.-à-d. , quand on fait tendre vers , la différence entre les deux tend vers ce que traduit .
  39. Mathématiquement la relation « caractérisant la courbe définit l'équation vectorielle paramétrique de cette dernière », la définition du vecteur déplacement élémentaire en un point non anguleux peut alors se réécrire, en divisant les deux membres par , «» ou, étant la différentielle de , «» ;
       en fait la relation «» sert de définition mathématique au 1er vecteur de la base locale de Frenet le vecteur peut donc s'obtenir en dérivant par rapport l'équation vectorielle paramétrique de la courbe  ;
       Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  40. Exemples liste évidemment non exhaustive : les vecteurs champ électrique , champ magnétique ou les vecteurs forces dépendant uniquement de l'espace .
  41. Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace est un vecteur force , sa circulation élémentaire le long de la courbe continue est appelée « travail élémentaire de la force le long de la courbe » et est notée «».
  42. Dans le cas d'un point anguleux, y définissant deux vecteurs déplacements élémentaires l'un à gauche «» et l'autre à droite «», on peut définir, en correspondance, deux circulations élémentaires l'une à gauche «» et l'autre à droite «».
  43. 43,0 et 43,1 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  44. Voir le paragraphe « définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet » plus haut dans ce chapitre.
  45. C.-à-d. le produit d'une fonction scalaire de l'unique variable par l'élément différentiel de cette variable , cette notion de forme différentielle d'une variable étant introduite au paragraphe « définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y, z » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais restant valable quel que soit le nombre de variables indépendantes y compris dans le cas d'une seule variable.
       Usuellement une forme différentielle de plusieurs variables indépendantes n'est pas une différentielle de fonction de ces variables indépendantes voir le paragraphe « distinction entre une forme différentielle et une différentielle de fonction scalaire (exposée dans le cas de deux variables indépendantes) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » d'où la notation particulière utilisant le préfixe et non l'opérateur  ;
       dans le cas d'une seule variable, il est rare d'utiliser la notion de forme différentielle car le plus souvent celle-ci s'avère être une différentielle de fonction scalaire de la variable voir le paragraphe « différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il suffit pour cela que la fonction scalaire, cœfficient de l'élément différentiel de la variable dans la forme différentielle, soit intégrable
  46. Pouvant être vectorielle.
  47. Nous supposons la courbe paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points, mais il pourrait y avoir un autre paramétrage et même ne pas y avoir de paramétrage comme dans le cas des intégrales curvilignes du 2ème type.
  48. On a aussi le cas plus rare de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle donnant «» où « est la densité linéique du champ vectoriel » « », l'intégrale s'écrivant «».
  49. Par exemple si correspondant à une densité linéique de masse ou masse linéique exprimée en , l'intégrale curviligne définit la masse de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes ;
       Par exemple si sans unité, l'intégrale curviligne définit la longueur de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes.
  50. Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace serait un vecteur force , l'intégrale curviligne définit « le travail de la force le long de de à » noté «».
  51. À condition que l'on sache la calculer ce qui sera le cas pour les courbes les plus simples comme les droites ou les cercles.
  52. Ou, dans le cas plus rare de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle voir la note « 48 » plus haut dans ce chapitre «».
  53. Une « longueur de portion de courbe » sans autre qualificatif est en général non algébrisée dans le cas contraire on l'appellera « longueur algébrisée de portion de courbe » ; la méthode de calcul d'une longueur de portion de courbe donc non algébrisée introduisant une longueur d'arc élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une longueur positive, de faire varier le paramètre choisi dans le sens croissant de sa variation.
  54. Pour les autres, l'utilisation étant trop rare pour nécessiter de retenir le résultat quand celui-ci a été établi, seule la méthode pour l'établir ou tenter de l'établir doit être connue.
  55. La longueur du cercle étant un cas particulier de celle d'un arc de cercle avec .
  56. 56,0 et 56,1 En effet «» voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit, en faisant correspondre le sens «» sur et celui des angles du plan du cercle, «» qui sera si .
  57. 57,0 et 57,1 on note l'intégrale curviligne en ajoutant un sur l'intégrale simple quand celle-ci se fait sur une courbe fermée selon «».
  58. Le point générique de la parabole ayant ses coordonnées liées par l'équation cartésienne dans le plan de la parabole soit et
       le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de se définissant par se réécrit dans lequel est la dérivée par rapport à de l'équation cartésienne de la parabole soit .
       Voir aussi le paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  59. 59,0 et 59,1 Voir les paragraphes « sinus hyperbolique », « cosinus hyperbolique » et « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  60. Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  61. 61,0 et 61,1 Voir le paragraphe « relations d'addition et de duplication (en trigonométrie hyperbolique) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  62. Voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  63. Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique (forme logarithmique) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  64. On vérifie l'homogénéité du résultat, étant sans dimension et homogène à l'inverse d'une longueur.
  65. 65,0 et 65,1 « La fonction ayant pour logarithme » peut se réécrire, on posant « », selon «».
  66. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  67. De cette expression de vecteur déplacement élémentaire le long de la spirale logarithmique nous en déduisons l'inclinaison locale de ce dernier relativement au vecteur position soit « » ou, étant , «» voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangent : fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », ceci constituant une propriété de la spirale logarithmique pour traduire cette propriété, l'équation polaire de la spirale logarithmique est parfois écrite en fonction de l'angle constant d'inclinaison de sa tangente relativement au rayon vecteur «» soit l'équation polaire sous la forme « ».
  68. Cette longueur d'arc de spirale logarithmique « diverge quand ».
  69. Tenant compte de la note « 67 » exposée plus haut dans ce chapitre faisant intervenir l'angle d'inclinaison de la tangente à la spirale logarithmique relativement au rayon vecteur la tangente restant orientée dans le sens choisie sur dans le sens des «» l'équation polaire de s'écrivant alors sous la forme «», la limite de la longueur de l'arc de la spirale logarithmique quand peut se réécrire « » ou, avec , «» la longueur de l'arc de la spirale logarithmique entre le point et le point asymptotique vers lequel spirale est finie, sa longueur étant égale à «».
  70. Voir le paragraphe « conséquence : équations paramétrique d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », étant l'abscisse angulaire du point générique du cercle de centre et de rayon dont l'ellipse est l'image par « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k» la définition de l'affinité étant exposée dans le paragraphe « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  71. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  72. 72,0 et 72,1 Voir le paragraphe « principales prorpiétés d'une ellipse (à retenir) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  73. En effet la fonction à intégrer est invariante par translation de correspondant à et ,
       En effet de plus, la fonction à intégrer est invariante par symétrie relativement à correspondant à , et .
  74. 74,0 et 74,1 Cette intégrale ne peut pas être évaluée en utilisant les fonctions usuelles algébriques, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles
  75. En accord avec le fait que l'ellipse de centre , de demi-grand axe image du cercle de centre , de rayon par « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k» la définition de l'affinité étant exposée dans le paragraphe « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » est d'une part situé intégralement à l'intérieur du cercle et d'autre part d'autant plus proche de que est plus grand.