Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
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Chapitre no 15
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
Chap. suiv. :Divers repérages d'un point dans l'espace
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Intégrale définie sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann [1]

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

     La fonction scalaire de la variable réelle définie sur l'intervalle fermé est intégrable sur cet intervalle fermé si elle y est continue par morceaux, c.-à-d. s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration , » pour laquelle « est continue sur les intervalles ouverts » avec « et », l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger la continuité de sur » [2].

Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées[modifier | modifier le wikicode]

     On démontre que « la somme de Riemann [1] choisie » [4] admet une « limite finie » quand , limite qui définit l'intégrale de Riemann [1] de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

     En choisissant «», nous avons établi que « la somme de Riemann [1] associée pouvait être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base et de hauteur » ; aussi
     « quand », « la somme de Riemann [1] tendant vers l'intégrale de la fonction sur l'intervalle fermé » et
     « quand », « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites et »,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann [1] :

Développement de quelques méthodes de calcul[modifier | modifier le wikicode]

     Intégrer une fonction dont on connaît une primitive ou,
     Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée  : on se souvient qu'une primitive de est [5] en ayant oublié la valeur de , pour la retrouver on dérive ce qui donne à identifier à d'où et par suite une primitive de est soit, dans le cas particulier où , une primitive de est ou une primitive de est conduisant à  ;

     intégrer une fonction par changement de variable  : il serait souhaitable d'avoir au dénominateur [6], aussi y met-on en facteur suggérant le changement de variable [7] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur car et non qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif soit [8] donnant finalement  ;

     intégrer une fonction trigonométrique en linéarisantquand cela est possible avec permettant de réécrire [9] ce qui donne finalement  ;

     intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type et pour cela il conviendrait de dériver l'autre fonction ;

     intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple appliquée ici on pose « » et « » [12] d'où  ;

     intégrer une fonction rationnelle [13] par décomposition en éléments simples  : la fonction rationnelle de pôles [14] connus se décompose en éléments simples et c.-à-d. avec et constantes réelles à déterminer ;

          intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples appliquée ici on obtient «» d'où la réécriture de l'intégrale en soit finalement  ;

     

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Distinction courbe plane - courbe gauche[modifier | modifier le wikicode]

     Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole et bien d'autres encore ;

     une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Sur une courbe continue plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «» et une origine de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue plane ou gauche, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «» sur depuis l'origine [16], appelé « abscisse curviligne du point et noté » ;
     « l'abscisse curviligne de sur est donc défini par », « la distance non algébrisée séparant de sur étant ».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une courbe ouverte[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, il existe au moins un endroit particulier de cette courbe où on repasse une seule fois avant de poursuivre sans rebrousser chemin et sans y repasser cas peu fréquent ;

     Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1er type, celle du 2ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

     Dans le cas d'une « courbe ouverte sans points multiples» [17], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe et réciproquement »,
          Dans le cas d'une « courbe ouverte sans points multiples» , il y a donc « biunivocité » [18] entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles pour les points de .

Cas d'une courbe fermée[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir d'un endroit quelconque sans rebrousser chemin, on repasse nécessairement au moins une fois par l'endroit de départ avant que le suivi de la courbe sans rebrousser chemin ne se poursuive de façon répétitive ;

     Définition : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe fermée » [19], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe »
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , mais « à chaque position de il existe une infinité de valeurs de se déduisant entre elles d'un multiple d'une même grandeur correspondant à la longueur de la courbe fermée » il y a donc périodicité de la fonction qui à fait correspondre un point de la courbe, la période étant égale à  ;
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes repérant les points de ,
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , il convient de restreindre le domaine de définition de la fonction en définissant une détermination principale de l'abscisse curviligne , l'abscisse curviligne étant alors , étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

     Si on réalise un paramétrage géométrique de la courbe par abscisse curviligne, étant la position d'un point non « anguleux » [20] d'abscisse curviligne et sa position d'abscisse curviligne infiniment proche ,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point d'abscisse curviligne est défini par

«» soit encore «»

     c.-à-d. «la différentielle du vecteur position du point » [21] d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire

«» usuellement noté «» [22].

     Remarque : Pour un point anguleux de la courbe [23] on peut définir deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement envisagé est à gauche « définissant » ou à droite « définissant » [24]

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, étant la position d'un point quelconque non « anguleux » [20] d'abscisse curviligne et
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la position d'un point proche de d'abscisse curviligne voisine ,
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » [25] le long de la courbe du point «» a pour direction la sécante  ;
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne devient l'infiniment petit , devient et
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur petit déplacement devient le vecteur déplacement élémentaire  ;
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante tend vers la direction tangente à la courbe en [26] quand tend vers [27],
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, on en déduit donc la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe en un point non anguleux [20] :

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet[modifier | modifier le wikicode]

     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, on définit, en tout point non anguleux [20] de ,

« un vecteur unitaire tangent à en » orienté dans le sens «» appelé « vecteur unitaire tangentiel » [29] et
constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » [30] ;

     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point non « anguleux » [20] d'abscisse curviligne peut être alors défini par

«» [31], [32].

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [36] : si la courbe est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points, le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de s'écrivant «» où « est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » [36],
           Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace le long de la courbe se réécrivant selon «» est une « forme différentielle de la variable  » [37],
           Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable  » dès lors que « est une fonction intégrable de ».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe dans le sens «» d'une position à une position

     Il y a deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue possibles [38] :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une courbe continue  :

  • «» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace [39], usuellement appelée « densité linéique de » [40],
  • «» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace , l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel le long de de à », laquelle est notée «» [41].

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

     Dans les deux cas une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de sur la courbe  ; ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne [42] ou encore « temporel » dans le cas où on connaît le mouvement du point sur , le paramètre étant alors  ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, et étant respectivement les abscisses curvilignes de et sur  :

  • pour le 1er type d'intégrale curviligne, on obtient «» [43] et
  • pour le 2ème type d'intégrale curviligne «».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur [44] ; le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle [45].

     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : on utilise le repérage polaire de pôle le centre du cercle, « variant de à » et « restant égal à » «» [47] d'où
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : la longueur du cercle égale à «» [48].

     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : on utilise le même repérage polaire de pôle , « variant de à » et « restant égal à » «» [47] d'où la longueur de l'arc de cercle égale à «»

     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole d'équation cartésienne avec entre son sommet et un point d'abscisse quelconque :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole le vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de étant «» voir paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole la longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole en orientant dans le sens des , «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole la longueur de l'arc de parabole égale à «» s'évalue en faisant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole un 1er changement de variable soit «» avec «» puis
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole un 2nd changement de variable [49] dont nous déduisons « » avec [50] et, en utilisant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole la relation de duplication «» [51], «» ce qui s'intègre en «» [49] ou encore, avec «» [51], «» soit enfin,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole avec [52], «» ou
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «» [53]
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole «» [54].

     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique d'équation polaire avec [55] entre et d'abscisse angulaire quelconque :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique le vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [56] soit, après différenciation et factorisation «» [57], nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique la longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique en orientant dans le sens des , «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique la longueur de l'arc de spirale logarithmique égale à «» valant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «» soit finalement
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «» [58] ;
     Autres exemples : la longueur d'un arc de spirale logarithmique d'équation polaire avec entre et d'abscisse angulaire quelconque s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que est ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «»,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «» soit finalement
     Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique « quand » [59].

     Autres exemples : Longueur d'une ellipse d'équations cartésiennes paramétriques de centre , d'axe focal , de demi-grand axe et de demi-petit-axe «» [60] :
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse le vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [61] soit, après différenciation et factorisation «», nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse la longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse en orientant dans le sens des , «» soit,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse en faisant apparaître l'excentricité et en éliminant au profit de , sachant que « avec la distance séparant le centre de de l'un ou l'autre de ses foyers » et «» [62] ou, avec , «» et
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse en reportant l'expression de dans celle de , «» soit finalement «» d'où

diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe en fonction de son excentricité , c'est aussi, au facteur multiplicatif près, la représentation de la valeur pour de l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce « » en fonction de module elliptique

     Autres exemples : Longueur d'une ellipse la longueur de l'ellipse égale à « » [63], [64] s'écrit encore
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse en faisant le changement de variable « avec » «» ou, comme , permet la simplification suivante « » et enfin, avec , l'explicitation finale «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse la réécriture de la longueur de l'ellipse « » [64] la recherche de la longueur de l'ellipse a conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce » d'où
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse «» on retrouve la longueur du cercle pour , « valant » et au fur et à mesure que , «[65] c.-à-d. que la longueur de l'ellipse , par exemple pour « le demi-petit axe vaut alors » ou pour « le demi-petit axe vaut alors » .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 et 1,11 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps.
  2. Mais attention n'est pas nécessairement continue en car peut être de .
  3. Ce n'est pas une nécessité d'où le qualificatif « particulière » donné par la suite à la somme de Riemann.
  4. Mais il en est de même de toutes les sommes de Riemann possibles.
  5. Prendre une primitive si augmentant le degré du monôme d'une unité, ce résultat se généralisant à toute valeur de à l'exception de , admettant comme primitive.
  6. Car on connaît une primitive de qui est .
  7. Il n'est pas toujours nécessaire de baptiser effectivement cette nouvelle variable même si mathématiquement c'est préférable on peut la laisser sous la forme pour gagner du temps.
  8. Il est possible de vérifier ce résultat par des considérations de dimensions ; supposons que et représentent des longueurs, il en sera de même de et par suite s'exprimera en ainsi que  ; le résultat doit donc aussi être en ce qui est le cas avec .
  9. Noter que la présence de suggère de prendre comme nouvelle variable, on en fait donc apparaître la différentielle mais en faisant cela on commet une erreur relativement à d'où la division de par .
  10. Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques.
  11. Cela résultant de dont on tire et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.
  12. On choisit la primitive la plus simple
  13. Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.
  14. C.-à-d. les racines du polynôme dénominateur les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle).
  15. Ce qui rend rapide cette méthode c'est qu'elle peut se faire en calcul mental.
  16. Évidemment il faudrait préciser ce qu'on entend mathématiquement par « longueur algébrique parcourue » mais le but poursuivi ici se limite à donner une notion d'abscisse curviligne ;
       physiquement on peut déterminer l'abscisse curviligne d'un point de à l'aide d'une ficelle dont on fixe une extrémité au point en lui faisant suivre la courbe points par points jusqu'au point , on repère alors le point sur la ficelle et on mesure la distance séparant ce repère et l'extrémité qui était fixée en après avoir tendu la ficelle, cette distance représentant la valeur absolue de l'abscisse curviligne du point  ;
       en ce qui concerne le signe de l'abscisse curviligne, suivant que le point est situé avant ou après l'origine relativement au sens «», l'abscisse curviligne de est ou .
  17. Exemple de courbe plane ouverte droite, parabole, branche d'hyperbole attention l'hyperbole n'est pas une courbe continue mais constituée de deux branches continues,
       exemple de courbe gauche ouverte hélice circulaire ou autres hélices
  18. Correspondance entre deux ensembles qui relie un élément quelconque d'un ensemble ou de l'autre à un et un seul élément de l'ensemble restant.
  19. Exemple de courbe plane fermée ellipse dont son cas particulier le cercle.
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 et 20,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.
  21. On utilise « la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable, valable dans la mesure où est un infiniment petit » la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. Car la différentielle est en fait indépendante du choix de .
  23. La plupart des courbes continues n'ont pas de points anguleux.
  24. Mais pratiquement ce cas est rarement envisagé.
  25. « Petit déplacement » et non déplacement élémentaire car est petit mais non infiniment petit.
  26. Définition géométrique de la tangente à une courbe en un point .
  27. Ce qui est le cas car devient lequel est infiniment proche de .
  28. En effet nous avons montré que la direction de la sécante tendait vers la direction tangente à la courbe en mais le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe pourrait être nul en des points particuliers de celle-ci
  29. Ce vecteur est unique car le point est non anguleux, en un point anguleux on définirait un vecteur à gauche et un autre à droite
  30. Nous n'introduisons pour l'instant que ce vecteur, les deux autres le seront quand cela sera nécessaire.
       Le qualificatif « local » signifie que la base dépend du point contrairement à une base cartésienne.
       Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  31. Ceci est en accord avec le fait que ces deux vecteurs sont tangents à la courbe en , étant dans le sens de respectivement dans le sens contraire pour respectivement pour c.-à-d. pour un déplacement se faisant dans le sens «» respectivement dans le sens contraire ;
       d'autre part en prenant la norme de cette relation on obtient ou le vecteur étant unitaire signifiant que la norme du vecteur déplacement s'identifie à la valeur absolue de l'arc de courbe élémentaire
       si on considère un déplacement petit mais non élémentaire avec proche mais non infiniment proche de , est la longueur de la corde et la longueur de l'arc de courbe, la 1ère étant légèrement inférieure à la 2nde c.-à-d. , quand on fait tendre vers , la différence entre les deux tend vers ce que traduit .
  32. Mathématiquement la relation « caractérisant la courbe définit l'équation vectorielle paramétrique de cette dernière », la définition du vecteur déplacement élémentaire en un point non anguleux peut alors se réécrire, en divisant les deux membres par , «» ou, étant la différentielle de , «» ;
       en fait la relation «» sert de définition mathématique au 1er vecteur de la base locale de Frenet le vecteur peut donc s'obtenir en dérivant par rapport l'équation vectorielle paramétrique de la courbe  ;
       Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  33. Exemples liste évidemment non exhaustive : les vecteurs champ électrique , champ magnétique ou les vecteurs forces dépendant uniquement de l'espace .
  34. Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace est un vecteur force , sa circulation élémentaire le long de la courbe continue est appelée « travail élémentaire de la force le long de la courbe » et est notée «».
  35. Dans le cas d'un point anguleux, y définissant deux vecteurs déplacements élémentaires l'un à gauche «» et l'autre à droite «», on peut définir, en correspondance, deux circulations élémentaires l'une à gauche «» et l'autre à droite «