Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
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Chapitre no 15
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
Chap. suiv. :Divers repérages d'un point dans l'espace
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Sommaire

Intégrale définie sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

......La fonction scalaire de la variable réelle définie sur l'intervalle fermé est intégrable sur cet intervalle fermé si elle y est continue par morceaux, c'est-à-dire s'il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration , pour laquelle est continue sur les intervalles ouverts avec et , l'existence de ces deux limites permettant de prolonger la continuité de sur [1].

Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées[modifier | modifier le wikicode]


......On démontre que « la somme de Riemann choisie » [4] admet une « limite finie » quand , limite qui définit l'intégrale de Riemann de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]


Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé[modifier | modifier le wikicode]

......En choisissant , nous avons établi que la somme de Riemann associée pouvait être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base et de hauteur  ; aussi quand , la somme de Riemann tendant vers l'intégrale de la fonction sur l'intervalle fermé et la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites et , nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann :


Développement de quelques méthodes de calcul[modifier | modifier le wikicode]

...... Intégrer une fonction dont on connaît une primitive ou,
...... Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée  : on se souvient qu'une primitive de est [5] en ayant oublié la valeur de , pour la retrouver on dérive ce qui donne à identifier à d'où et par suite une primitive de est soit, dans le cas particulier où , une primitive de est ou une primitive de est conduisant à  ;

...... intégrer une fonction par changement de variable  : il serait souhaitable d'avoir au dénominateur [6], aussi y met-on en facteur suggérant le changement de variable [7] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur car et non qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif soit [8] donnant finalement  ;

...... intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant (quand cela est possible) avec permettant de réécrire [9] ce qui donne finalement  ;

...... intégrer un produit de fonctions par parties (dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple) dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type et pour cela il conviendrait de dériver l'autre fonction ; exposé de la méthode d'intégration par parties (ou I.p.p.) [10] : si on doit calculer en connaissant une primitive de notée , on peut écrire [11] ; appliquée ici on pose et d'où  ;

...... intégrer une fonction rationnelle [12] par décomposition en éléments simples  : la fonction rationnelle de pôles [13] connus se décompose en éléments simples et c'est-à-dire avec et constantes réelles à déterminer, la façon la plus rapide étant de multiplier les deux membres par (respectivement et d'y faire (respectivement soit [14] d'où la réécriture de l'intégrale en soit finalement  ;

......

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Distinction courbe plane - courbe gauche[modifier | modifier le wikicode]

......Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique (c'est-à-dire ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole) et bien d'autres encore ;

......une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que l'hélice (c'est-à-dire une courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre), mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires …

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

......Sur une courbe continue plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens et une origine de mesure des abscisses curvilignes, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens sur depuis l'origine [15], appelé abscisse curviligne du point et noté  ;
......l'abscisse curviligne de sur est donc définie par , la distance non algébrisée séparant de sur étant .

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une courbe ouverte[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas d'une « courbe ouverte » [16], chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe et réciproquement, il y a donc « biunivocité » [17] entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles pour les points de .

Cas d'une courbe fermée[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas d'une « courbe fermée », chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe mais à chaque position de il existe une infinité de valeurs de se déduisant entre elles d'un multiple d'une même grandeur correspondant à la longueur de la courbe fermée [il y a donc périodicité de la fonction qui à fait correspondre un point de la courbe, la période étant égale à  ;
.....pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes repérant les points de , il convient de restreindre le domaine de définition de la fonction en définissant une détermination principale de l'abscisse curviligne , l'abscisse curviligne étant alors , étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du vecteur de déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

......Si on réalise un paramétrage géométrique de la courbe par abscisse curviligne, étant la position d'un point (non « anguleux » [18]) d'abscisse curviligne et sa position d'abscisse curviligne infiniment proche ,
......le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point d'abscisse curviligne est défini par

soit encore

c'est-à-dire la différentielle du vecteur position du point [19] d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire

usuellement noté [20].

......Remarque : Pour un point anguleux de la courbe [21] on peut définir deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement envisagé est à gauche ou à droite [22]

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

......La courbe étant paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, étant la position d'un point (non « anguleux ») d'abscisse curviligne et sa position d'abscisse curviligne proche , le vecteur « petit déplacement » [23] le long de la courbe du point d'abscisse curviligne  » étant a pour direction la sécante  ;
......quand la variation d'abscisse curviligne devient l'infiniment petit , devient et le vecteur petit déplacement devient le vecteur déplacement élémentaire  ;
......or la direction de la sécante tend vers la direction tangente à la courbe en [24] quand tend vers [25], on en déduit donc la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe en un point non anguleux :




Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet[modifier | modifier le wikicode]

......Sur une courbe continue orientée par le choix (arbitraire) d'un sens permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, on définit, en tout point non anguleux de ,

un vecteur unitaire tangent à en orienté dans le sens appelé « vecteur unitaire tangentiel » [27] et
constituant le « premier vecteur de la base locale de Frenet » [28] ;

......le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point (non anguleux) d'abscisse curviligne peut être alors défini par

[29],[30].

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue[modifier | modifier le wikicode]



......Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet :
......Si la courbe est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points, le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de s'écrivant est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet, la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace le long de la courbe se réécrivant selon est le produit d'une fonction scalaire de l'unique variable et de l'élément différentiel de cette variable [34].

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

......Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe dans le sens d'une position origine à une position finale

......Il y a deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue possibles [35] :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

......Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une courbe continue  :

  • intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace [36], usuellement appelée « densité linéique de » … [37],
  • intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace , l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel » le long de de à , laquelle est notée [38].

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue[modifier | modifier le wikicode]

......Dans les deux cas une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de sur la courbe  ; ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne [39] ou encore « temporel » dans le cas où on connaît le mouvement du point sur , le paramètre étant alors  ;

......dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, et étant respectivement les abscisses curvilignes de et sur  :

  • pour le premier type d'intégrale curviligne, on obtient et
  • pour le deuxième type d'intégrale curviligne .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Mais attention n'est pas nécessairement continue en car peut être de .
  2. Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse (partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration) et à la géométrie différentielle (partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps).
  3. Ce n'est pas une nécessité d'où le qualificatif « particulière » donné par la suite à la somme de Riemann.
  4. Mais il en est de même de toutes les sommes de Riemann possibles.
  5. Prendre une primitive si augmentant le degré du monôme d'une unité, ce résultat se généralisant à toute valeur de à l'exception de , admettant comme primitive.
  6. Car on connaît une primitive de qui est .
  7. Il n'est pas toujours nécessaire de baptiser effectivement cette nouvelle variable même si mathématiquement c'est préférable on peut la laisser sous la forme pour gagner du temps.
  8. Il est possible de vérifier ce résultat par des considérations de dimensions ; supposons que et représentent des longueurs, il en sera de même de et par suite s'exprimera en ainsi que  ; le résultat doit donc aussi être en ce qui est le cas avec .
  9. Noter que la présence de suggère de prendre comme nouvelle variable, on en fait donc apparaître la différentielle mais en faisant cela on commet une erreur relativement à d'où la division de par .
  10. Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques.
  11. Cela résultant de dont on tire et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.
  12. Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.
  13. C'est-à-dire les racines du polynôme dénominateur (les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle).
  14. Ce qui rend rapide cette méthode c'est qu'elle peut se faire en calcul mental.
  15. Évidemment il faudrait préciser ce qu'on entend mathématiquement par « longueur algébrique parcourue » … mais le but poursuivi ici se limite à donner une notion d'abscisse curviligne ;
    ...physiquement on peut déterminer l'abscisse curviligne d'un point de à l'aide d'une ficelle dont on fixe une extrémité au point en lui faisant suivre la courbe points par points jusqu'au point , on repère alors le point sur la ficelle et on mesure la distance séparant ce repère et l'extrémité qui était fixée en après avoir tendu la ficelle, cette distance représentant la valeur absolue de l'abscisse curviligne du point  ;
    ...en ce qui concerne le signe de l'abscisse curviligne, suivant que le point est situé avant ou après l'origine relativement au sens , l'abscisse curviligne de est ou .
  16. Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, exemple de courbe plane ouverte [droite, parabole, branche d'hyperbole (attention l'hyperbole n'est pas une courbe continue mais constituée de deux branches continues)], exemple de courbe gauche ouverte [hélice] …
    ...Une courbe non ouverte est dite « fermée », exemple de courbe plane fermée [ellipse dont son cas particulier le cercle].
  17. Correspondance entre deux ensembles qui relie un élément quelconque d'un ensemble ou de l'autre à un et un seul élément de l'ensemble restant.
  18. En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.
  19. On utilise la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable valable dans la mesure où est un infiniment petit (la définition quant à elle étant rappelée dans un paragraphe traitant des « fonctions vectorielles » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »).
  20. Car la différentielle est en fait indépendante du choix de .
  21. La plupart des courbes continues n'ont pas de points anguleux.
  22. Mais pratiquement ce cas est rarement envisagé.
  23. « petit déplacement » et non déplacement élémentaire car est petit mais non infiniment petit.
  24. Définition géométrique de la tangente à une courbe en un point .
  25. Ce qui est le cas car devient lequel est infiniment proche de .
  26. En effet nous avons montré que la direction de la sécante tendait vers la direction tangente à la courbe en mais le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe pourrait être nul en des points particuliers de celle-ci …
  27. Ce vecteur est unique car le point est non anguleux, en un point anguleux on définirait un vecteur à gauche et un autre à droite …
  28. Nous n'introduisons pour l'instant que ce vecteur, les deux autres le seront quand cela sera nécessaire.
    ...Le qualificatif « local » signifie que la base dépend du point contrairement à une base cartésienne.
    ...Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  29. Ceci est en accord avec le fait que ces deux vecteurs sont tangents à la courbe en , étant dans le sens de (respectivement dans le sens contraire) pour (respectivement pour c'est-à-dire pour un déplacement se faisant dans le sens (respectivement dans le sens contraire) ;
    ...d'autre part en prenant la norme de cette relation on obtient ou (le vecteur étant unitaire) signifiant que la norme du vecteur déplacement s'identifie à la valeur absolue de l'arc de courbe élémentaire (si on considère un déplacement petit mais non élémentaire avec proche mais non infiniment proche de , est la longueur de la corde et la longueur de l'arc de courbe, la première étant légèrement inférieure à la seconde c'est-à-dire , …
    ...quand on fait tendre vers , la différence entre les deux tend vers 0 ce que traduit .
  30. Mathématiquement la relation caractérisant la courbe définit l'équation vectorielle paramétrique de cette dernière, la définition du vecteur déplacement élémentaire en un point non anguleux peut alors se réécrire, en divisant les deux membres par , ou, étant la différentielle de ,  ;
    ...en fait la relation sert de définition mathématique au premier vecteur de la base (locale) de Frenet [le vecteur peut donc s'obtenir en dérivant par rapport l'équation vectorielle paramétrique de la courbe .
  31. Exemples (liste évidemment non exhaustive) : les vecteurs champ électrique , champ magnétique ou les vecteurs forces dépendant uniquement de l'espace .
  32. Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace est un vecteur force , sa circulation élémentaire le long de la courbe continue est appelée « travail élémentaire de la force le long de la courbe » et est notée .
  33. Dans le cas d'un point anguleux, y définissant deux vecteurs déplacements élémentaires l'un à gauche et l'autre à droite, on peut définir, en correspondance, deux circulations élémentaires l'une à gauche et l'autre à droite.
  34. Appelée forme différentielle de la variable .
  35. Nous supposons la courbe paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points, mais il pourrait y avoir un autre paramétrage et même ne pas y avoir de paramétrage comme dans le cas des intégrales curvilignes du deuxième type.
  36. On a aussi le cas (plus rare) de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle donnant est la densité linéique du champ vectoriel car , l'intégrale s'écrivant .
  37. Par exemple si correspondant à une densité linéique de masse (ou masse linéique) exprimée en l'intégrale curviligne définit la masse de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes.
  38. Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace serait un vecteur force , l'intégrale curviligne définit « le travail de la force » le long de de à noté .
  39. À condition que l'on sache la calculer ce qui sera le cas pour les courbes les plus simples comme les droites ou les cercles.