Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable

**Différentielle d'une fonction d'une variable**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 4
Chap. préc. :	Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
Chap. suiv. :	Théorème de Fourier

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Différentielle d'une fonction d'une variable
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre les fonctions scalaires

\;{\big (}

ou vectorielles

{\big )}\;

d'une variable seront systématiquement considérées dérivables.

Élément différentiel d'une variable

Considérons une variable $\;x\;$ et une petite variation de cette variable notée $\;\delta x\;$ ^[1] ;
Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible $\;{\big (}$ c.-à-d. la faisant tendre vers $0{\big )}$ , on obtient l'élément différentiel
Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible $\;\color {transparent}{\big (}$ c.-à-d. la faisant tendre vers $\color {transparent}{0{\big )}}$ , on obtient utilisé en physique et noté $\;dx$ ;
Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible $\;\color {transparent}{\big (}$ c.-à-d. la faisant tendre vers $\color {transparent}{0{\big )}}$ , cet élément différentiel est un infiniment petit ^[2].

Différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

Soit la fonction scalaire $\;f\;$ de la variable $\;x$ ;

considérons la petite variation de cette fonction $\;f(x)\;$ sur l'intervalle $\;\left[x,x+\delta x\right]\;$ notée $\;\delta f(x)\;$ ^[3] et définie selon « $\;\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)\;$ » ^[4] ;

cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante « $\;\delta f(x)=f'(x)\,\delta x+\varphi (\delta x)\,\delta x\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\varphi (\delta x)\right]=0\;$ » ^[5].

Définition de la différentielle de la fonction

\;f\;

en l'abscisse

\;x_{0}

La différentielle de $\;f\;$ pour la valeur $\;x_{0}\;$ de la variable $\;x\;$ est définie selon « $\;df=f'(x_{0})\,dx\;$ » ^[6].

Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel $\;dx\;$ soit « $\;{\dfrac {df}{dx}}=f'(x_{0})\;$ » ^[7].

En conclusion pour exprimer la différentielle de $\;f\;$ pour la valeur $\;x_{0}\;$ de la variable $\;x$ , on multiplie la dérivée $\;f'(x_{0})\;$ par l'élément différentiel $\;dx$ .

Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit

Remarque préliminaire : propriété non valable si l'élément différentiel $\;dx\;$ est quelconque, ce n'est donc pas une propriété à utiliser en mathématique mais uniquement en physique.

Exposé : La petite variation $\;\delta f\;$ de $\;f\;$ sur l'intervalle $\;\left[x,x+\delta x\right]\;$ a été définie par « $\;\delta f=f(x+\delta x)-f(x)\;$ » et,
Exposé : La petite variation $\;\color {transparent}{\delta f}\;$ de $\;\color {transparent}{f}\;$ sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[x,x+\delta x\right]}\;$ a été définie par approximation linéaire nous avons pu écrire « $\;\delta f=f'(x)\,\delta x+\varphi (\delta x)\,\delta x\;$ » avec « $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\varphi (\delta x)\right]=0\;$ » ;

Exposé : en physique, $\;dx\;$ étant l'infiniment petit associé à $\;\delta x\;$ quand ce dernier tend vers $\;0$ , on peut traduire ceci par « $\;\delta x=dx+\psi (\delta x)\,\delta x\;$ » avec « $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\psi (\delta x)=0\;$ » ^[8] ;

     Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à « $\;\delta f=f'(x)\left[dx+\psi (\delta x)\,\delta x\right]+\varphi (\delta x)\,\delta x=f'(x)\,dx+\left[f'(x)\,\psi (\delta x)+\varphi (\delta x)\right]\delta x\;$ » ou encore,
     Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire en définissant « $\;\alpha (\delta x)=f'(x)\,\psi (\delta x)+\varphi (\delta x)\;$ » qui est telle que « $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\alpha (\delta x)\right]=0\;$ » et,
     Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire compte-tenu de la définition de la différentielle de $\;f\;$ pour la valeur $\;x\;$ de la variable, « $\;df=f'(x)\,dx\;$ », on peut écrire
Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à « $\;\delta f=df+\alpha (\delta x)\,\delta x\;$ » avec « $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\alpha (\delta x)\right]=0\;$ » ;

     Exposé : ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel $\;dx\;$ est un infiniment petit, la petite variation $\;\delta f\;$ peut être confondue avec la différentielle $\;df\;$ quand $\;\delta x\;$ tend vers $\;0$ ,
     Exposé : ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel $\;\color {transparent}{dx}\;$ est un infiniment petit, la différence entre les deux « $\;\delta f-df=\alpha (\delta x)\,\delta x\;$ étant un infiniment petit d'ordre supérieur » ;
     Exposé : en physique nous noterons $\;\delta f\simeq df\;$ pour traduire la confusion à un ordre supérieur près.

Propriété de

\;df\;

quand

\;dx\;

est un infiniment petit

Nous pouvons donc écrire « $\;df\simeq f(x+dx)-f(x)\;$ » par propriété quand l'élément différentiel $\;dx\;$ est un infiniment petit ^[9] et
Nous pouvons donc écrire « $\;df=f'(x)\,dx\;$ » par définition ^[10].

Quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

     Les règles énoncées découlent des règles connues sur la dérivation de somme, produit ou quotient de fonctions d'une même variable ainsi que celle de la dérivation de la fonction constante, et
     Les règles énoncées découlent du fait que la différenciation s'obtient par dérivation suivie de la multiplication par l'élément différentiel de la variable ;
     les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left(u+v\right)=du+dv\;$ »,
     les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left(cste\right)=0\;$ »,
     les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left(u\,v\right)=(du)\,v+u\,(dv)\;$ »,
     les règles utilisables sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left({\dfrac {u}{v}}\right)={\dfrac {(du)\,v-u\,(dv)}{v^{2}}}\;$ ».

Utilisation de la différenciation pour justifier la dérivée d'une fonction composée

     Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;x\;$ de la fonction composée $\;f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}$ , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$ « $\;w(x)=x^{2}\;$ »,
     Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$ , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$ « $\;v(w)=\exp \!\left(w\right)\;$ »,
     Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$ , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$ « $\;u(v)=\sin \!\left[v\right]\;$ » et
     Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$ , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires $\succ \;$ « $\;f(u)=\ln \!{\big |}u{\big |}\;$ » ^[11]
     Soit à calculer la dérivée par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction composée $\;\color {transparent}{f(x)=\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}}$ , dont on déduit la composition suivante « $\;f(x)=f\left[u\left\lbrace v\left[w(x)\right]\right\rbrace \right]\;$ » ;

     on évalue alors successivement $\bullet \;$ la différentielle de $\;f\;$ en fonction de $\;du\;$ soit « $\;df={\dfrac {df}{du}}\;du={\dfrac {1}{u}}\;du\;$ »,
     on évalue alors successivement $\bullet \;$ la différentielle de $\;u\;$ en fonction de $\;dv\;$ soit « $\;du={\dfrac {du}{dv}}\;dv=\cos \!\left[v\right]\;dv\;$ »,
     on évalue alors successivement $\bullet \;$ la différentielle de $\;v\;$ en fonction de $\;dw\;$ soit « $\;dv={\dfrac {dv}{dw}}\;dw=\exp \!\left(w\right)\;dw\;$ » et
     on évalue alors successivement $\bullet \;$ la différentielle de $\;w\;$ en fonction de $\;dx\;$ soit « $\;dw={\dfrac {dw}{dx}}\;dx=2\,x\;dx\;$ » ;

on en déduit, par reports successifs, « $\;df={\dfrac {df}{du}}\;du={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;dv={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;{\dfrac {dv}{dw}}\;dw={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;{\dfrac {dv}{dw}}\;{\dfrac {dw}{dx}}\;dx\;$ » c.-à-d.
on en déduit, la formule de dérivation de la fonction composée $\;f(x)=f\left[u\left\lbrace v\left[w(x)\right]\right\rbrace \right]\;$ écrite en notation différentielle « $\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {df}{du}}\times {\dfrac {du}{dv}}\times {\dfrac {dv}{dw}}\times {\dfrac {dw}{dx}}\;$ » ^[12] $\;{\big (}$ formule à utiliser directement ${\big )}$ d'où :

on en déduit « $\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {1}{u}}\;\cos \!\left[v\right]\;\exp \!\left(w\right)\;2\,x\;$ » ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, « $\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {1}{\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]}}\;\cos \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]\;\exp \!\left(x^{2}\right)\;2\,x\;$ » soit finalement
on en déduit « $\;\color {transparent}{{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {1}{u}}\;\cos \!\left[v\right]\;\exp \!\left(w\right)\;2\,x}\;$ » ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, « $\;{\dfrac {df}{dx}}=\mathrm {cotan} \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]\;\exp \!\left(x^{2}\right)\;2\,x\;$ ».

Commentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction « $\;f\left[g\left(x\right)\right]\;$ » sous la forme
Commentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction « $\;{\dfrac {df}{dx}}={\dfrac {df}{dg}}\times {\dfrac {dg}{dx}}\;$ ».

Différentielle logarithmique d'une fonction scalaire d'une variable

     Pour une « fonction scalaire $\;f\;$ dérivable en tout $\;x_{0}\;$ de son domaine $\;I\;$ de dérivabilité telle que $\;f(x_{0})\neq 0\;$ pour toute valeur $\;x_{0}\in I\;$ » ^[13], on définit
       Pour la « fonction dérivée logarithmique de $\;f\;$ en $\;x\;\in I\;$ » ^[13] notée $\;h\;$ ^[14] selon « $\;\forall \;x\in I,\;\;x\;{\overset {h}{\rightarrow }}\;h(x)={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}\;$ » ^[13]^, ^[15]
            Pour la « fonction dérivée logarithmique de $\;\color {transparent}{f}\;$ en $\;\color {transparent}{x\;\in I}\;$ » ${\big \{}$ c'est aussi la « dérivée de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$ » ${\big \}}$ .

Définition de la différentielle logarithmique de la fonction

\;f\;

en l'abscisse

\;x_{0}

La différentielle logarithmique de

\;f\;

pour la valeur

\;x_{0}\;

de la variable

\;x\;

du domaine de dérivabilité logarithmique

\;I'\;

^[16] est définie, à partir de la dérivée logarithmique de

\;f

, notée

\;h\;

^[14], telle que «

\;\forall \;x\in I',\;\;x\;{\overset {h}{\rightarrow }}\;h(x)={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}\;

», selon «

\;h(x_{0})\,dx={\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;dx={\dfrac {f'(x_{0})\;dx}{f(x_{0})}}={\dfrac {df}{f(x_{0})}}\;

» dans laquelle
«

\;df=f'(x_{0})\;dx\;

est la différentielle de

\;f\;

pour la valeur

\;x_{0}\;

» ^[17].

Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire $\;f\;$ il n'y a pas de notation réglementée pour la différentielle logarithmique de cette même fonction $\;f$ ,
Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ toutefois on trouve parfois la notation « $\;d\left[\ln {\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$ » soit « $\;d\left[\ln {\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]={\dfrac {df}{f(x_{0})}}\;$ » ^[18].

Différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Définition d'une fonction vectorielle d'une variable

Définition de

\;{\vec {f}}(t)\;

Soit une variable

\;t\in \mathbb {D} \subset \mathbb {R}

, on définit la fonction vectorielle

\;{\vec {f}}\;

sur le domaine de définition

\;\mathbb {D} \;

selon l'application suivante

\;t\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(t)\in E,\;\forall \;t\in \mathbb {D} \;

avec

\;E\;

l’espace physique euclidien à deux ou trois dimensions ^[19].

Définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable

La fonction vectorielle est dite dérivable en $\;t_{0}\;$ si $\;\lim \limits _{t\rightarrow x_{0}}{\dfrac {{\vec {f}}(t)-{\vec {f}}(t_{0})}{t-t_{0}}}\;$ existe, sa valeur définissant $\;{\vec {f}}'(t_{0})\;$ soit « $\;\lim \limits _{t\rightarrow t_{0}}{\dfrac {{\vec {f}}(t)-{\vec {f}}(t_{0})}{t-t_{0}}}={\vec {f}}'(t_{0})\;$ » ^[20] ;

la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si $\;{\vec {f}}'(t_{0})\;$ existe pour toutes les valeurs du domaine.

Définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

Soit la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;$ de la variable $\;t$ ;

considérons la petite variation de cette fonction $\;{\vec {f}}(t)\;$ sur l'intervalle $\;\left[t,t+\delta t\right]\;$ notée $\;\delta {\vec {f}}(t)\;$ ^[21] et définie selon « $\;\delta {\vec {f}}(t)={\vec {f}}(t+\delta t)-{\vec {f}}(t)\;$ » ;

cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante « $\;\delta {\vec {f}}(t)={\vec {f}}'(t)\,\delta t+{\vec {\varphi }}(\delta t)\,\delta t\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}\left[{\vec {\varphi }}(\delta t)\right]={\vec {0}}\;$ » ^[22].

Définition de la différentielle de la fonction

\;{\vec {f}}\;

en

\;t_{0}

La différentielle de $\;{\vec {f}}\;$ pour la valeur $\;t_{0}\;$ de la variable $\;t\;$ est définie selon « $\;{\overrightarrow {df}}={\vec {f}}'(t_{0})\,dt\;$ » ^[23].

Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel $\;dt\;$ soit « $\;{\dfrac {\overrightarrow {df}}{dt}}={\vec {f}}'(t_{0})\;$ » ^[24].

En conclusion pour exprimer la différentielle de $\;{\vec {f}}\;$ pour la valeur $\;t_{0}\;$ de la variable $\;t$ , on multiplie la dérivée $\;{\vec {f}}'(t_{0})\;$ par l'élément différentiel $\;dt$ .

Explicitation d'une fonction vectorielle d'une variable par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

Considérant la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;$ de la variable réelle $\;t$ , de domaine de définition $\;\mathbb {D} \;$ et
choisissant une base « fixe » ^[25] de l'espace physique $\;E\supset {\vec {f}}(\mathbb {D} )\;$ ^[26], base appelée « cartésienne » ^[27] et notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y},\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ ;

décomposant $\;{\vec {f}}(t)\;$ sur la base cartésienne selon « $\;{\vec {f}}(t)=f_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+f_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\Rightarrow$ il est possible de définir la fonction vectorielle $\;{\vec {f}}\;$ à l'aide de trois ^[28] fonctions scalaires $\;\left\lbrace f_{x},\;f_{y},\;f_{z}\right\rbrace$ .

Définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

La base choisie étant indépendante de la variable $\;t$ , on peut dériver $\;{\big (}$ ou différencier ${\big )}\;$ la relation $\;{\vec {f}}(t)=f_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+f_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+f_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ et on obtient :

« $\;{\vec {f}}'(t)={f'}_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{f'}_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{f'}_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » c.-à-d. que la dérivée de la fonction vectorielle a pour composantes la dérivée de ses composantes,
« $\;{\overrightarrow {df}}=df_{x}\,{\vec {u}}_{x}+df_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+df_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » c.-à-d. que la différentielle de la fonction vectorielle a pour composantes la différentielle de ses composantes.

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

     Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre,
              elles peuvent être justifiées par la décomposition des fonctions vectorielles dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ en leurs composantes scalaires sur lesquelles les règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable s'appliquent ;
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)={\overrightarrow {du}}+{\overrightarrow {dv}}\;$ »,
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left({\overrightarrow {cste}}\right)={\vec {0}}\;$ »,
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left(f\,{\vec {v}}\right)=(df)\,{\overrightarrow {v}}+f\,({\overrightarrow {dv}})\;$ »,
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left({\dfrac {\vec {u}}{g}}\right)={\dfrac {(dg)\,{\overrightarrow {u}}-g\,({\overrightarrow {du}})}{g^{2}}}\;$ »,
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)={\overrightarrow {du}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\overrightarrow {dv}}\;$ » ^[29].

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire formée à partir de fonctions vectorielles d'une variable

     Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre,
              elles utilisent aussi les « quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du paragraphe ci-dessus et se justifient en combinant les deux ;
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)={\overrightarrow {du}}\cdot {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {dv}}\;$ » ^[30],
     ces règles sont donc les suivantes $\bullet \;$ « $\;d\!\left[\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}\right]=d\!\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\overrightarrow {dw}}=\left({\overrightarrow {du}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\overrightarrow {dv}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\overrightarrow {dw}}\;$ » ^[31] soit
     ces règles sont donc les suivantes $\color {transparent}{\bullet }\;$ en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ^[32]
     ces règles sont donc les suivantes $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;d\!\left[\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}\right]=\left({\overrightarrow {du}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\overrightarrow {dv}}\right)\cdot {\vec {w}}+\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\cdot {\overrightarrow {dw}}\;$ » ^[33].

Notes et références

↑ Une variation a priori non petite de la variable sera notée $\;\Delta x$ .
↑ En fait, il s'agit de l'élément différentiel utilisé en physique ; en mathématique, $\;dx\;$ représente n'importe quelle variation de la variable $\;x\;$ qui peut en particulier être aussi petite que possible, mais ce n'est qu'un cas particulier de l'« élément différentiel mathématique », cas particulier systématiquement utilisé en physique, aussi un physicien définit $-$ par abus $-$ l'élément différentiel comme un infiniment petit.
↑ Par abus on notera aussi $\;\delta f\;$ sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.
↑ À partir de la représentation graphique $\;(\Gamma )\;$ de la fonction $\;f(x)\;$ dans le plan $\;(O,\,{\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})$ , $\;M\;$ et $\;M'\;$ étant respectivement les points $\;\left\lbrace x,\,f(x)\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace x+\delta x,\,f(x+\delta x)\right\rbrace$ , $\;\delta f\;$ est l'augmentation d'ordonnée du point de $\;(\Gamma )\;$ pour l'augmentation d'abscisse $\;\delta x$ .
↑ Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de $\;\delta f(x)\;$ par $\;\delta x$ , on obtient $\;{\dfrac {\delta f(x)}{\delta x}}=f'(x)+\varphi (\delta x)\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\varphi (\delta x)\right]$ $=0\;$ ce qui donne effectivement $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}{\dfrac {\delta f(x)}{\delta x}}=f'(x)$ ;
   partant de la représentation graphique $\;(\Gamma )\;$ de la fonction $\;f(x)\;$ dans le plan $\;(O,\,{\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})$ , $\;M\;$ et $\;M'\;$ étant respectivement les points $\;\left\lbrace x,\,f(x)\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace x+\delta x,\,f(x+\delta x)\right\rbrace \;$ et
   introduisant la tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ d'équation $\;Y-f(x)=f'(x)\,(X-x)$ , le point $\;N'\;$ de la tangente à $\;(\Gamma )\;$ d'abscisse $\;x+\delta x\;$ ayant pour ordonnée $\;f(x)+f'(x)\,\delta x$ ,
   introduisant la tangente à la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'équation $\;\color {transparent}{Y-f(x)=f'(x)\,(X-x)}$ , $\;f'(x)\,\delta x\;$ est l'augmentation d'ordonnée de $\;N'\;$ par rapport à celle de $\;M\;$ et
   introduisant la tangente à la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'équation $\;\color {transparent}{Y-f(x)=f'(x)\,(X-x)}$ , $\;\varphi (\delta x)\,\delta x=\delta f-f'(x)\,\delta x\;$ représente $\;{\overline {N'M'}}$ .
↑ On rappelle que l'élément différentiel $\;dx\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;df(x_{0})=f'(x_{0})\,dx\;$ mais on ne le fait jamais.
↑ Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon $\;{\dfrac {df}{dx}}(x_{0})=f'(x_{0})$ ;
partant de la différentielle de la fonction pour la valeur $\;x_{0}\;$ notée exceptionnellement $\;df(x_{0})$ , la division par $\;dx\;$ conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon $\;{\dfrac {df(x_{0})}{dx}}=f'(x_{0})$ , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.
↑ Cette dernière condition impliquant que le terme $\;\psi (\delta x)\,\delta x\;$ tende vers $\;0\;$ plus rapidement que $\;\delta x\;$ et par suite permettant de confondre $\;\delta x\;$ et $\;dx\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près.
↑ En effet nous avons vu que $\;\delta f=f(x+\delta x)-f(x)\simeq df\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près et
En effet nous avons vu que $\;\delta x\simeq dx\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près d'où
En effet nous avons vu que $\;df\simeq f(x+dx)-f(x)\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près.
↑ Et cette définition est valable pour tout $\;dx\;$ même si ce dernier n'est pas un infiniment petit $\;{\big (}$ toutefois on l'utilise en physique en tant qu'infiniment petit ${\big )}$ .
↑ Pour simplifier on adopte la même notation $\;f\;$ pour la fonction simple $\;f(u)=\ln \!{\big |}u{\big |}\;$ et pour la fonction composée $\;f(x)=$ $\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}$ .
↑ Obtenue en divisant les deux membres de $\;df={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;{\dfrac {dv}{dw}}\;{\dfrac {dw}{dx}}\;dx\;$ par $\;dx$ .
↑ ^13,0 ^13,1 et ^13,2 Et si $\;f\;$ s'annule pour des valeurs de $\;I\;$ il convient de « restreindre $\;I\;$ au plus grand $\;I'\subset I\;$ tel que $\;f(I')=f(I)\;\backslash \,\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ ».
↑ ^14,0 et ^14,1 Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
↑ Voir le paragraphe « notion de dérivée logarithmique d'une fonction » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le domaine de dérivabilité logarithmique de $\;f\;$ « $\;I'\;$ » est le domaine de dérivabilité de $\;f\;$ « $\;I\;$ » auquel « on retire toutes les valeurs de $\;I\;$ annulant $\;f\;$ ».
↑ On rappelle que l'élément différentiel $\;dx\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;df(x_{0})=f'(x_{0})\,dx\;$ mais on ne le fait jamais.
↑ On rappelle que l'élément différentiel $\;dx\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;d\left[\ln {\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right](x_{0})=$ ${\dfrac {df(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$ mais on ne le fait jamais.
↑ Deux ou trois dimensions suivant que $\;{\vec {f}}(\mathbb {D} )\;$ ${\big (}$ l'image de $\mathbb {D} {\big )}\;$ est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions ; de plus l'espace physique est euclidien c.-à-d. que c'est un espace $\mathbb {R}$ -vectoriel et qu'on y définit un produit scalaire, par conséquent que l'on peut mesurer les distances entre points $\;{\big (}$ par la norme du vecteur associé ${\big )}\;$ et les angles entre deux bipoints $\;{\big (}$ par utilisation du produit scalaire des deux vecteurs associés ${\big )}$ .
↑ La définition est dite « intrinsèque » car elle ne dépend pas du choix d'une base de l'espace image.
↑ Par abus on notera aussi $\;\delta {\vec {f}}\;$ sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.
↑ Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de $\;\delta {\vec {f}}(t)\;$ par $\;\delta t$ , on obtient $\;{\dfrac {\delta {\vec {f}}(t)}{\delta t}}={\vec {f}}'(t)+{\vec {\varphi }}(\delta t)\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}\left[{\vec {\varphi }}(\delta t)\right]={\vec {0}}\;$ ce qui donne effectivement $\;\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dfrac {\delta {\vec {f}}(t)}{\delta t}}={\vec {f}}'(t)$ .
↑ On rappelle que l'élément différentiel $\;dt\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;{\overrightarrow {df}}(t_{0})={\vec {f}}'(t_{0})\,dt\;$ mais on ne le fait jamais.
↑ Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon $\;{\dfrac {\overrightarrow {df}}{dt}}(t_{0})={\vec {f}}'(t_{0})$ ;
partant de la différentielle de la fonction pour la valeur $\;t_{0}\;$ notée exceptionnellement $\;{\overrightarrow {df}}(t_{0})$ , la division par $\;dt\;$ conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon $\;{\dfrac {{\overrightarrow {df}}(t_{0})}{dt}}={\vec {f}}'(t_{0})$ , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.
↑ C.-à-d. indépendante de la variable.
↑ L'espace physique $\;E\;$ étant à deux ou trois dimensions suivant que $\;{\vec {f}}(\mathbb {D} )\;$ est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions, la base choisie contiendra deux ou trois vecteurs indépendants ; nous supposerons par la suite que l'espace physique $\;E\;$ est à trois dimensions.
↑ Voir aussi le paragraphe « repérage cartésien » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ou deux.
↑ Voir les définitions équivalentes du « produit vectoriel de deux vecteurs » au chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir les définitions équivalentes du « produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir les définitions équivalentes du « produit mixte de trois vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La règle de différenciation consiste à affecter à chaque facteur pris séparément et à tour de rôle l'opération différenciation, les autres facteurs étant inchangés et gardant leur place, puis à ajouter les trois contributions.

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

Théorème de Fourier

[1] Une variation a priori non petite de la variable sera notée $\;\Delta x$ .

[2] En fait, il s'agit de l'élément différentiel utilisé en physique ; en mathématique, $\;dx\;$ représente n'importe quelle variation de la variable $\;x\;$ qui peut en particulier être aussi petite que possible, mais ce n'est qu'un cas particulier de l'« élément différentiel mathématique », cas particulier systématiquement utilisé en physique, aussi un physicien définit $-$ par abus $-$ l'élément différentiel comme un infiniment petit.

[3] Par abus on notera aussi $\;\delta f\;$ sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.

[4] À partir de la représentation graphique $\;(\Gamma )\;$ de la fonction $\;f(x)\;$ dans le plan $\;(O,\,{\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})$ , $\;M\;$ et $\;M'\;$ étant respectivement les points $\;\left\lbrace x,\,f(x)\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace x+\delta x,\,f(x+\delta x)\right\rbrace$ , $\;\delta f\;$ est l'augmentation d'ordonnée du point de $\;(\Gamma )\;$ pour l'augmentation d'abscisse $\;\delta x$ .

[5] Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de $\;\delta f(x)\;$ par $\;\delta x$ , on obtient $\;{\dfrac {\delta f(x)}{\delta x}}=f'(x)+\varphi (\delta x)\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}\left[\varphi (\delta x)\right]$ $=0\;$ ce qui donne effectivement $\;\lim \limits _{\delta x\rightarrow 0}{\dfrac {\delta f(x)}{\delta x}}=f'(x)$ ;
partant de la représentation graphique $\;(\Gamma )\;$ de la fonction $\;f(x)\;$ dans le plan $\;(O,\,{\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})$ , $\;M\;$ et $\;M'\;$ étant respectivement les points $\;\left\lbrace x,\,f(x)\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace x+\delta x,\,f(x+\delta x)\right\rbrace \;$ et
introduisant la tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ d'équation $\;Y-f(x)=f'(x)\,(X-x)$ , le point $\;N'\;$ de la tangente à $\;(\Gamma )\;$ d'abscisse $\;x+\delta x\;$ ayant pour ordonnée $\;f(x)+f'(x)\,\delta x$ ,
introduisant la tangente à la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'équation $\;\color {transparent}{Y-f(x)=f'(x)\,(X-x)}$ , $\;f'(x)\,\delta x\;$ est l'augmentation d'ordonnée de $\;N'\;$ par rapport à celle de $\;M\;$ et
introduisant la tangente à la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'équation $\;\color {transparent}{Y-f(x)=f'(x)\,(X-x)}$ , $\;\varphi (\delta x)\,\delta x=\delta f-f'(x)\,\delta x\;$ représente $\;{\overline {N'M'}}$ .

[6] On rappelle que l'élément différentiel $\;dx\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;df(x_{0})=f'(x_{0})\,dx\;$ mais on ne le fait jamais.

[7] Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon $\;{\dfrac {df}{dx}}(x_{0})=f'(x_{0})$ ;
partant de la différentielle de la fonction pour la valeur $\;x_{0}\;$ notée exceptionnellement $\;df(x_{0})$ , la division par $\;dx\;$ conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon $\;{\dfrac {df(x_{0})}{dx}}=f'(x_{0})$ , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.

[8] Cette dernière condition impliquant que le terme $\;\psi (\delta x)\,\delta x\;$ tende vers $\;0\;$ plus rapidement que $\;\delta x\;$ et par suite permettant de confondre $\;\delta x\;$ et $\;dx\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près.

[9] En effet nous avons vu que $\;\delta f=f(x+\delta x)-f(x)\simeq df\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près et
En effet nous avons vu que $\;\delta x\simeq dx\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près d'où
En effet nous avons vu que $\;df\simeq f(x+dx)-f(x)\;$ à un infiniment petit d'ordre supérieur près.

[10] Et cette définition est valable pour tout $\;dx\;$ même si ce dernier n'est pas un infiniment petit $\;{\big (}$ toutefois on l'utilise en physique en tant qu'infiniment petit ${\big )}$ .

[11] Pour simplifier on adopte la même notation $\;f\;$ pour la fonction simple $\;f(u)=\ln \!{\big |}u{\big |}\;$ et pour la fonction composée $\;f(x)=$ $\ln \!{\big |}\sin \!\left[\exp \!\left(x^{2}\right)\right]{\big |}$ .

[12] Obtenue en divisant les deux membres de $\;df={\dfrac {df}{du}}\;{\dfrac {du}{dv}}\;{\dfrac {dv}{dw}}\;{\dfrac {dw}{dx}}\;dx\;$ par $\;dx$ .

[0_exclu-13] 13,0 ^13,1 et ^13,2 Et si $\;f\;$ s'annule pour des valeurs de $\;I\;$ il convient de « restreindre $\;I\;$ au plus grand $\;I'\subset I\;$ tel que $\;f(I')=f(I)\;\backslash \,\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ ».

[notation_personnelle-14] 14,0 et ^14,1 Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.

[dérivée_logarithmique_d'une_fonction_scalaire-15] Voir le paragraphe « notion de dérivée logarithmique d'une fonction » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[16] Le domaine de dérivabilité logarithmique de $\;f\;$ « $\;I'\;$ » est le domaine de dérivabilité de $\;f\;$ « $\;I\;$ » auquel « on retire toutes les valeurs de $\;I\;$ annulant $\;f\;$ ».

[17] On rappelle que l'élément différentiel $\;dx\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;df(x_{0})=f'(x_{0})\,dx\;$ mais on ne le fait jamais.

[18] On rappelle que l'élément différentiel $\;dx\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;d\left[\ln {\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right](x_{0})=$ ${\dfrac {df(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$ mais on ne le fait jamais.

[19] Deux ou trois dimensions suivant que $\;{\vec {f}}(\mathbb {D} )\;$ ${\big (}$ l'image de $\mathbb {D} {\big )}\;$ est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions ; de plus l'espace physique est euclidien c.-à-d. que c'est un espace $\mathbb {R}$ -vectoriel et qu'on y définit un produit scalaire, par conséquent que l'on peut mesurer les distances entre points $\;{\big (}$ par la norme du vecteur associé ${\big )}\;$ et les angles entre deux bipoints $\;{\big (}$ par utilisation du produit scalaire des deux vecteurs associés ${\big )}$ .

[20] La définition est dite « intrinsèque » car elle ne dépend pas du choix d'une base de l'espace image.

[21] Par abus on notera aussi $\;\delta {\vec {f}}\;$ sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.

[22] Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de $\;\delta {\vec {f}}(t)\;$ par $\;\delta t$ , on obtient $\;{\dfrac {\delta {\vec {f}}(t)}{\delta t}}={\vec {f}}'(t)+{\vec {\varphi }}(\delta t)\;$ avec $\;\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}\left[{\vec {\varphi }}(\delta t)\right]={\vec {0}}\;$ ce qui donne effectivement $\;\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dfrac {\delta {\vec {f}}(t)}{\delta t}}={\vec {f}}'(t)$ .

[23] On rappelle que l'élément différentiel $\;dt\;$ représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
il serait plus précis d'écrire $\;{\overrightarrow {df}}(t_{0})={\vec {f}}'(t_{0})\,dt\;$ mais on ne le fait jamais.

[24] Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon $\;{\dfrac {\overrightarrow {df}}{dt}}(t_{0})={\vec {f}}'(t_{0})$ ;
partant de la différentielle de la fonction pour la valeur $\;t_{0}\;$ notée exceptionnellement $\;{\overrightarrow {df}}(t_{0})$ , la division par $\;dt\;$ conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon $\;{\dfrac {{\overrightarrow {df}}(t_{0})}{dt}}={\vec {f}}'(t_{0})$ , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.

[25] C.-à-d. indépendante de la variable.

[26] L'espace physique $\;E\;$ étant à deux ou trois dimensions suivant que $\;{\vec {f}}(\mathbb {D} )\;$ est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions, la base choisie contiendra deux ou trois vecteurs indépendants ; nous supposerons par la suite que l'espace physique $\;E\;$ est à trois dimensions.

[27] Voir aussi le paragraphe « repérage cartésien » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[28] Ou deux.

[29] Voir les définitions équivalentes du « produit vectoriel de deux vecteurs » au chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[30] Voir les définitions équivalentes du « produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[31] Voir les définitions équivalentes du « produit mixte de trois vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[32] Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[33] La règle de différenciation consiste à affecter à chaque facteur pris séparément et à tour de rôle l'opération différenciation, les autres facteurs étant inchangés et gardant leur place, puis à ajouter les trois contributions.

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