Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable

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Différentielle d'une fonction d'une variable
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Chapitre no 4
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
Chap. suiv. :Théorème de Fourier
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable
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Dans ce chapitre les fonctions scalaires ou vectorielles d'une variable seront systématiquement considérées dérivables.

Élément différentiel d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons une variable et une petite variation de cette variable notée [1] ; si nous rendons cette petite variation aussi petite que possible c.-à-d. si on la fait tendre vers , on obtient alors l'élément différentiel noté  ; cet élément différentiel est donc un infiniment petit [2].

Différentielle d'une fonction scalaire d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la fonction scalaire de la variable  ;

          considérons la petite variation de cette fonction sur l'intervalle notée [3] et définie selon

[4] ;

          cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante

avec [5] ;

     Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel soit

[7].

     En conclusion pour exprimer la différentielle de pour la valeur de la variable ,

on multiplie la dérivée par l'élément différentiel .

Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : Propriété non valable si l'élément différentiel est quelconque, ce n'est donc pas une propriété à utiliser en mathématique mais uniquement en physique.

     La petite variation de sur l'intervalle a été définie par «» et,
     La petite variation de sur l'intervalle a été définie par utilisation de l'approximation linéaire nous avons pu écrire que «» avec «» ;

     en physique, étant l'infiniment petit associé à quand ce dernier tend vers , on peut traduire ceci par «» avec «» [8] ;

     en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à «» ou encore,
     en physique, son report dans l'approximation linéaire en définissant «» qui est telle que «» et,
     en physique, son report dans l'approximation linéaire compte-tenu de la définition de la différentielle de pour la valeur de la variable, «», on peut écrire

«» avec «» ;

     ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel est un infiniment petit, la petite variation peut être confondue avec la différentielle quand tend vers ,
     ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel est un infiniment petit, la différence entre les deux « étant un infiniment petit d'ordre supérieur » ;

en physique nous noterons pour traduire la confusion à un ordre supérieur près.

Quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Les règles énoncées découlent des règles connues sur la dérivation de somme, produit ou quotient de fonctions d'une même variable ainsi que celle de la dérivation de la fonction constante, et du fait que la différenciation s'obtient par dérivation suivie de la multiplication par l'élément différentiel de la variable ; les règles utilisables sont donc les suivantes :

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Utilisation de la différenciation pour justifier la dérivée d'une fonction composée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à calculer la dérivée par rapport à de la fonction composée  :

          pour cela on introduit les fonctions intermédiaires , , et [11] dont on déduit la composition suivante  ;

          on évalue alors successivement :

  • la différentielle de en fonction de soit ,
  • la différentielle de en fonction de soit ,
  • la différentielle de en fonction de soit et
  • la différentielle de en fonction de soit  ;

          on en déduit, par reports successifs, c.-à-d. la formule de dérivation de la fonction composée écrite en notation différentielle

[12] ;

          bien sûr c'est cette formule que l'on utilisera directement d'où :

           ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, soit finalement .

     Commentaires : En physique il est rare que l'on ait une fonction composée de plus de deux fonctions,

on retiendra la formule de dérivation de la fonction sous la forme .

Différentielle logarithmique d'une fonction scalaire d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Si la « fonction scalaire est dérivable en tout de son domaine de dérivabilité telle que pour toute valeur » [13], on a défini, au paragraphe « notion de dérivée logarithmique d'une fonction » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la « fonction dérivée logarithmique de en » [13] notée [14] selon «» [13] c'est aussi la « dérivée de la fonction composée ».

     Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire il n'y a pas de notation réglementée pour la différentielle logarithmique de cette même fonction toutefois on trouve parfois la notation «» soit «» [17].

Différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une fonction vectorielle d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     La fonction vectorielle est dite dérivable en si existe, sa valeur définissant soit

[19] ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si existe pour toutes les valeurs du domaine.

Définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la fonction vectorielle de la variable  ;

          considérons la petite variation de cette fonction sur l'intervalle notée [20] et définie selon

 ;

          cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante

avec [21] ;

     Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel soit

[23].

     En conclusion pour exprimer la différentielle de pour la valeur de la variable ,

on multiplie la dérivée par l'élément différentiel .

Explicitation d'une fonction vectorielle d'une variable par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     Soit la fonction vectorielle de la variable réelle , de domaine de définition , on choisit une base « fixe » [24] de l'espace physique [25], notée et appelée « cartésienne » [26] ;

     pouvant décomposer sur la base cartésienne selon nous constatons qu'il est possible de définir la fonction vectorielle en définissant trois [27] fonctions scalaires .

Définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     La base choisie étant indépendante de la variable , on peut dériver (ou différencier) la relation et on obtient :

  • c.-à-d. que la dérivée de la fonction vectorielle a pour composantes la dérivée de ses composantes,
  • c.-à-d. que la différentielle de la fonction vectorielle a pour composantes la différentielle de ses composantes.

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » énoncées ci-dessus, elles peuvent être justifiées par la décomposition des fonctions vectorielles dans la base cartésienne en leurs composantes scalaires sur lesquelles les règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable s'appliquent ; ces règles sont donc les suivantes :

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • [28].

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire formée à partir de fonctions vectorielles d'une variable[modifier | modifier le wikicode]

     Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » énoncées ci-dessus, elles utilisent aussi les « quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du paragraphe ci-dessus et se justifient en combinant les deux ; ces règles sont donc les suivantes :

  • [29],
  • [30] soit en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [31] [32].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Une variation a priori non petite de la variable sera notée .
  2. En fait, il s'agit de l'élément différentiel utilisé en physique ; en mathématique, représente n'importe quelle variation de la variable qui peut en particulier être aussi petite que possible, mais ce n'est qu'un cas particulier de l'« élément différentiel mathématique », cas particulier systématiquement utilisé en physique, aussi un physicien définit par abus l'élément différentiel comme un infiniment petit.
  3. Par abus on notera aussi sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.
  4. À partir de la représentation graphique de la fonction dans le plan , et étant respectivement les points et , est l'augmentation d'ordonnée du point de pour l'augmentation d'abscisse .
  5. Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de par , on obtient avec ce qui donne effectivement  ;
       partant de la représentation graphique de la fonction dans le plan , et étant respectivement les points et et introduisant la tangente à la courbe en d'équation , le point de la tangente à d'abscisse ayant pour ordonnée , est l'augmentation d'ordonnée de par rapport à celle de et
        représente .
  6. On rappelle que l'élément différentiel représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ; il serait plus précis d'écrire mais on ne le fait jamais.
  7. Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon  ;
       partant de la différentielle de la fonction pour la valeur notée exceptionnellement , la division par conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.
  8. Cette dernière condition impliquant que le terme tende vers plus rapidement que et par suite permettant de confondre et à un infiniment petit d'ordre supérieur près.
  9. Nous avons en effet vu que à un infiniment petit d'ordre supérieur près et que à un infiniment petit d'ordre supérieur près d'où à un infiniment petit d'ordre supérieur près.
  10. Et cette définition est valable pour tout même si ce dernier n'est pas un infiniment petit toutefois on l'utilise en physique en tant qu'infiniment petit.
  11. Pour simplifier on adopte la même notation pour la fonction simple et pour la fonction composée .
  12. Obtenue en divisant les deux membres de par .
  13. 13,0 13,1 et 13,2 Et si s'annule pour des valeurs de il convient de « restreindre au plus grand tel que ».
  14. 14,0 et 14,1 Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
  15. Le domaine de dérivabilité logarithmique de «» est le domaine de dérivabilité de «» auquel « on retire toutes les valeurs de annulant ».
  16. On rappelle que l'élément différentiel représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ; il serait plus précis d'écrire mais on ne le fait jamais.
  17. On rappelle que l'élément différentiel représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ; il serait plus précis d'écrire mais on ne le fait jamais.
  18. Deux ou trois dimensions suivant que l'image de est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions ; de plus l'espace physique est euclidien c.-à-d. que c'est un espace et qu'on y définit un produit scalaire, par conséquent que l'on peut mesurer les distances entre points (par la norme du vecteur associé) et les angles entre deux bipoints (par utilisation du produit scalaire des deux vecteurs associés).
  19. La définition est dite « intrinsèque » car elle ne dépend pas du choix d'une base de l'espace image.
  20. Par abus on notera aussi sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.
  21. Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de par , on obtient avec ce qui donne effectivement .
  22. On rappelle que l'élément différentiel représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ; il serait plus précis d'écrire mais on ne le fait jamais.
  23. Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon  ;
       partant de la différentielle de la fonction pour la valeur notée exceptionnellement , la division par conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.
  24. C.-à-d. indépendante de la variable.
  25. L'espace physique étant à deux ou trois dimensions suivant que est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions, la base choisie contiendra deux ou trois vecteurs indépendants ; nous supposerons par la suite que l'espace physique est à trois dimensions.
  26. Voir aussi le paragraphe « repérage cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. Ou deux.
  28. Voir les définitions équivalentes du « produit vectoriel de deux vecteurs » au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  29. Voir les définitions équivalentes du « produit scalaire de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. Voir les définitions équivalentes du « produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  31. Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  32. La règle de différenciation consiste à affecter à chaque facteur pris séparément et à tour de rôle l'opération différenciation, les autres facteurs étant inchangés et gardant leur place, puis à ajouter les trois contributions.