Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force

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Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.

Définition de la puissance d’une force, dépendance du référentiel d’étude, caractère moteur ou résistif de cette dernière

     Notion entrevue dans le paragraphe « définition de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans le cadre d'une force électrique.

Puissance d'une force

Définition

     La puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ appliquée au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est la grandeur scalaire «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$»

     dans laquelle $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ;

l'unité de puissance est le watt $\;{\big (}$symbole $\;W{\big )}$, $\;1\;W=1\;N\times 1\;m\cdot s^{-1}$.

Propriété de la puissance d'une force

     La puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ faisant intervenir le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ sur laquelle elle s’applique et ce dernier dépendant du référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit que « la puissance développée par cette force dépend aussi du référentiel$\;{\mathcal {R}}\;$dans lequel on la calcule ».

Caractère moteur ou résistif d'une force

     Une force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ dont le point d’application $\;M\;$ se déplace perpendiculairement à la direction du support de la force ne développe aucune puissance c.-à-d.

« si $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=0\;$» ;

     dans le cas contraire, l'angle non orienté $\;\alpha (t)\;$ entre la direction du support de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ et celle de déplacement de son point d'application $\;M\;$ n'est pas droit ${\bigg [}$l'angle non orienté $\;\alpha (t)=$ ${\bigg \vert }{\widehat {\left\lbrace {\vec {F}}(M,\,t)\,;\,{\vec {V}}_{M}(t)\right\rbrace }}{\bigg \vert }\neq {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;$ et la puissance développée par la force $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ est $\;\neq 0$, celle-ci s'écrivant en fonction de $\;\alpha (t)\;$ entre autres selon

«$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=\Vert {\vec {F}}(M,\,t)\Vert \;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;\cos \!\left[\alpha (t)\right]\;$» ;

• « si $\;\alpha (t)\;$ est aigu » c.-à-d. si $\;\alpha (t)\;$ est $\;<\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}$, « la puissance développée par $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$est positive » «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]>0\;$» et la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ est dite « motrice » ;
• « si $\;\alpha (t)\;$ est obtus » c.-à-d. si $\;\alpha (t)\;$ est $\;>\;$ à $\;{\dfrac {\pi }{2}}$, « la puissance développée par $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$est négative » «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]<0\;$» et la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ est dite « résistive » .

Définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière, expression du travail élémentaire de la force en fonction de celle-ci et du vecteur déplacement élémentaire correspondant

Définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière

     Le travail élémentaire de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ sur la durée élémentaire $\;dt\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ où cette force développe la puissance $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ est noté usuellement $\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ et est défini selon

«$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;dt\;$»,
l'unité de travail étant le joule $\;{\big (}$symbole $\;J{\big )}$, $\;1\;J=1\;W\times 1\;s$.

Expression du travail élémentaire de la force dont le point d’application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance

     Reportant la définition de la puissance développée par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$ à savoir $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$ où $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est le vecteur vitesse dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ de $\;M$, point d'application de la force, dans la définition du travail élémentaire de cette dernière précédemment introduite «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ ${\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;dt\;$», on obtient «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=$ $\left[{\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dt={\vec {F}}(M,\,t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M}(t)\;dt\right]\;$» soit encore, avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dt={\overrightarrow {dM}}\;$, l'expression du travail élémentaire de la force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ dont le point d’application $\;M\;$ subit le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ correspondant à la durée élémentaire $\;dt\;$ de développement de sa puissance ${\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]\;$ à partir de l'instant $\;t$,

«$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» ,
l'unité de travail étant toujours le joule $\;{\big (}$symbole $\;J{\big )}$, $\;1\;J=1\;N\times 1\;m$.

     Remarque : Ayant introduit la notion de « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » dans le chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », nous reconnaissons dans le travail élémentaire de la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ dont le point d’application $\;M\;$ subit le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ la circulation élémentaire de la force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$.

Définition du travail d'une force sur la portion de trajectoire définie entre deux positions extrêmes

     Ayant défini le travail élémentaire «$\;\delta W\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]={\vec {F}}(M,\,t)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» développé par la force $\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ à l'instant $\;t\;$ appliquée à $\;M\;$ quand ce dernier se déplace de façon élémentaire le long d'une courbe $\;(\Gamma )$, il suffit, pour définir « le travail développé par la force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ quand$\;M\;$se déplace le long de la courbe$\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$», d'« ajouter les contributions élémentaires en suivant la courbe$\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$» soit

«$\;W_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M,\,t)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {F}}(M,\,t)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$»  ;

     sauf cas particuliers, le travail développé par une force$\;{\vec {F}}(M,\,t)\;$ quand $\;M\;$ se déplace le long d'une courbe $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}$, dépend de la courbe$\;(\Gamma )\;$ à $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$fixés .