Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non

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Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
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Chapitre no 4
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant
Chap. suiv. :Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
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Sommaire

Définition d'un mouvement circulaire, repérage intrinsèque par « rayon vecteur »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma représentant une trajectoire circulaire de centre C et d'axe Δ sur lequel a été choisi un sens + pour orienter les angles du plan contenant le cercle [1]

Définition d'un mouvement circulaire du point M[modifier | modifier le wikicode]

......Le mobile décrit un mouvement circulaire, dans le référentiel d'étude , si sa trajectoire est portée par un cercle ; nous noterons

  • [2] le centre du cercle,
  • [3] son axe (lequel est au plan du cercle [1]) et
  • son rayon.

Repérage intrinsèque du point M sur sa trajectoire circulaire par son « rayon vecteur »[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas général le point est repéré de façon intrinsèque par son vecteur position ,

......Dans le cas général lorsqu'on choisit le centre du cercle pour origine du vecteur position, celui-ci devient usuellement nommé « rayon vecteur » ;

la loi horaire vectorielle du mouvement de est alors .

Vecteur rotation instantanée, expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Définition du vecteur rotation instantanée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point M, de centre C et d'axe Δ sur lequel a été choisi un sens + [1] pour orienter l'angle α(t) que fait le rayon vecteur du point M à l'instant t avec le rayon vecteur de Mréf position de M à un instant de référence ;
......figure aussi le vecteur vitesse de M à l'instant t

......L’axe de rotation étant orienté par [1], avec un « rayon vecteur de référence » permettant de repérer le point à la date sur sa trajectoire circulaire par

l'angle orienté [4] définissant l'abscisse angulaire du point à l'instant ,
le vecteur rotation instantanée au même instant est défini par avec
[5] appelée vitesse angulaire du point au même instant  ;

...... est porté par l'axe et est de même sens que dans l'hypothèse d'un mouvement se faisant dans le sens .

Expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

......On vérifie aisément l’expression intrinsèque (à mémoriser) du vecteur vitesse de sur sa trajectoire circulaire

[6],

......en prenant les direction, sens et norme de ce produit vectoriel [7] :

  • la direction étant à est tangente au cercle,
  • le sens étant tel que soit direct [8] est dans le sens indiqué sur le schéma et
  • la norme étant [9] définit effectivement la vitesse linéaire du mouvement du point sur le cercle.

......Remarque : même si la meilleure origine du vecteur position est le centre de la trajectoire circulaire décrite par , il peut être intéressant, pour préciser le mouvement de ce dernier, de prendre pour origine du vecteur position un point fixe de l'axe ,
......Remarque : la loi horaire vectorielle s'écrit alors [10] et
......Remarque : le vecteur vitesse dans un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée se détermine de façon intrinsèque en fonction du vecteur position selon

[11] ;

......Remarque : justification : partant de l'expression établie avec le rayon vecteur à savoir puis utilisant la relation de Chasles [12] que l'on reporte dans l'expression de précédente avec emploi de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle [13] on obtient soit finalement, le 2nd produit vectoriel étant nul car les deux vecteurs le composant et sont colinéaires [14], C.Q.F.D. [15].

Expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

......Pour obtenir l’expression intrinsèque du vecteur accélération , on dérive par rapport au temps celle de soit [16] ;

Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point M, de centre C et d'axe Δ sur lequel a été choisi un sens + [1] pour orienter l'angle α(t) que fait le rayon vecteur du point M à l'instant t avec le rayon vecteur de Mréf position de M à un instant de référence ;
......figurent aussi le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération de M à l'instant t

......de plus [17] d'où se réécrit ou, en reportant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse,  ;

......pour simplifier cette dernière expression, on applique à la formule du double produit vectoriel [18] soit [19] soit encore [20] ;

......finalement l'expression intrinsèque (à mémoriser) du vecteur accélération du point sur sa trajectoire circulaire s'écrit

[21] ;

......on y observe deux termes [voir sur la figure ci-dessus] :

  • le 1er terme est tangentiel et n'existe que si la vitesse angulaire varie [sur la figure ci-dessus, la vitesse angulaire a été supposée croissante à l'instant considéré d'où une composante tangentielle du vecteur accélération dans le même sens que le vecteur vitesse],
  • le 2ème terme est normal plus précisément « centripète » [22], de norme proportionnelle au rayon du cercle et au carré de la vitesse angulaire [23].

......Remarque : même si cela ne présente qu'un intérêt très limité on peut obtenir l'expression intrinsèque du vecteur accélération en dérivant par rapport au temps celle de est un point fixe de l'axe , , soit [16] avec [24] d'où, par report  ;

......Remarque : dans le 2ème terme on reconnaît celui qui a conduit au terme d'accélération centrale en utilisant une formule du double produit vectoriel après remplacement de par [25] et

......Remarque : le 1er terme doit donc être identifié au terme d'accélération tangentielle , l'égalité entre les deux résultant de l'utilisation de la relation de Chasles , de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle et enfin du fait que les deux vecteurs étant colinéaires.

Cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

......Définition : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue intrinsèque si son vecteur rotation instantanée est constant soit

.

......1ère conséquence : le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant a pour seule particularité le fait d'être de norme constante

.

......2ème conséquence : le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant du fait de la nullité de l'accélération tangentielle dans la mesure où a pour particularité le fait d'être centripète, de norme constante soit

et .

Repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle, définition de l'abscisse angulaire, de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire du point M, expressions des composantes polaires du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point M, avec choix du plan du cercle comme plan xOy, et du centre du cercle comme pôle O du repérage polaire de M, les angles étant orientés par l'axe Oz

......Dans le cas où le point mobile étudié décrit un mouvement circulaire, il est en effet judicieux de choisir le plan du repère lié au référentiel d'étude confondu avec le plan du cercle, l'origine étant identifiée avec le centre de ce dernier, et l'axe avec l'axe du cercle [l'axe de ce dernier étant orienté par voir schéma ci-contre :

Repérage plan polaire de pôle « le centre du cercle », les angles du plan étant orientés par « l'axe (orienté) du cercle »[modifier | modifier le wikicode]

......Le cercle étant de rayon , les coordonnées polaires de sont et la base polaire liée à est respectivement appelé vecteurs unitaires radial et orthoradial ;

......parmi les deux paramètres de position du point , l'un est fixé et l'autre décrit la loi horaire scalaire de position du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire.

Abscisse angulaire de M[modifier | modifier le wikicode]

......L'abscisse angulaire de est sa 2èmecoordonnée polaire, exprimée en fonction du temps , elle définit la loi horaire scalaire « de position » du mouvement de sur sa trajectoire

exprimées en .

Vitesse angulaire de M[modifier | modifier le wikicode]

......On définit la vitesse angulaire de à l'instant comme la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire de à l'instant soit  ; on obtient ainsi la loi horaire scalaire « de vitesse (angulaire) » du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire

en notant exprimées en .

Accélération angulaire de M[modifier | modifier le wikicode]

......On définit l'accélération angulaire [26] de à l'instant comme la dérivée temporelle de la vitesse angulaire de à l'instant d'où l'accélération angulaire de à l'instant égale à  ; on obtient ainsi la loi horaire scalaire « d'accélération (angulaire) » du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire

[27] exprimées en .

Expressions des composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur), du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M[modifier | modifier le wikicode]

Composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur) de M[modifier | modifier le wikicode]

......Par définition du vecteur unitaire radial le 1er vecteur de la base polaire liée à , on en déduit le vecteur position (ou rayon vecteur) de

.

Composantes polaires du vecteur vitesse de M[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur vitesse du point sur sa trajectoire circulaire ayant pour composantes polaires , on en déduit que

le vecteur vitesse de est orthoradial [28] [29] exprimés en .

Composantes polaires du vecteur accélération de M[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur accélération de sur sa trajectoire circulaire ayant pour composantes polaires , on en déduit que

le vecteur accélération de a toujours une composante radiale [30] et éventuellement une composante orthoradiale [31]
[32] exprimés en .

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme[modifier | modifier le wikicode]

......Définitions équivalentes : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue repérage polaire si

  • sa vitesse angulaire est constante soit
    ,
  • son accélération angulaire est identiquement nulle soit
    ,
  • son abscisse angulaire est une fonction affine du temps soit
    .

......1ère conséquence : le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant a pour seule particularité le fait d'être de norme constante

.

......2ème conséquence : le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant du fait de la nullité de l'accélération orthoradiale dans la mesure où l'accélération angulaire est nulle a pour particularité le fait d'être centripète, de norme constante soit

et .

En complément, repérage de Frenet, abscisse curviligne, vitesse instantanée, accélération tangentielle, composante(s) de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point M par repérage de Frenet [33], avec choix de l'origine A et de celui du sens + de mesure de l'abscisse curviligne s de M dans le sens trigonométrique direct

......On choisit l'origine des abscisses curvilignes sur le cercle [34] et
......on oriente ce dernier par le 1er vecteur de base locale de Frenet [33] vecteur unitaire tangentiel de Frenet choisi tangent au cercle dans le « sens direct » [35],
......on oriente ce dernier par le 2ème vecteur de base locale de Frenet [33] vecteur unitaire normal principal de Frenet étant toujours dirigé vers la concavité,
......on oriente ce dernier par le 3ème vecteur de base locale de Frenet [33] vecteur unitaire normal secondaire de Frenet est au plan du cercle pointant vers nous selon [36] [on rappelle que c'est le sens de qui définit le sens de mesure des angles dans le plan du cercle ] voir schéma ci-contre :

Abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......On rappelle que le point sur sa trajectoire est repéré par une seule coordonnée de Frenet [33] son abscisse curviligne exprimée en .

Abscisse curviligne du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......L'abscisse curviligne de est sa seule coordonnée de Frenet [33], exprimée en fonction du temps , elle définit la loi horaire scalaire « de position » du mouvement de sur sa trajectoire

exprimées en .

Vitesse instantanée du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......On définit la vitesse instantanée de à l'instant comme la dérivée temporelle de l'abscisse curviligne de à l'instant soit  ; on obtient ainsi la loi horaire scalaire « de vitesse instantanée » du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire

en notant exprimées en .

Accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......On définit l'accélération tangentielle de à l'instant comme la dérivée temporelle de la vitesse instantanée de à l'instant d'où  ; on obtient ainsi la loi horaire scalaire « d'accélération tangentielle » du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire

exprimées en .

Expression des composantes de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

Composante de Frenet du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Par définition de la vitesse instantanée du point sur sa trajectoire, on en déduit le vecteur vitesse de ce dernier

avec exprimées en .

Composantes de Frenet du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......En plus de l'accélération tangentielle traduisant la variation de la vitesse instantanée sur sa trajectoire, il y a une accélération normale qui décrit la courbure de la trajectoire simultanément à la vitesse instantanée sur celle-ci par d'où le vecteur accélération de sur sa trajectoire s'écrit selon

avec
et exprimées en .

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme[modifier | modifier le wikicode]

......Définitions équivalentes : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue repérage de Frenet [33] si

  • sa vitesse instantanée est constante soit
    ,
  • son accélération tangentielle est identiquement nulle soit
    ,
  • son abscisse curviligne est une fonction affine du temps soit
    .

......1ère conséquence : le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant a pour seule particularité le fait d'être de norme constante

.

......2ème conséquence : le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant du fait de la nullité de l'accélération tangentielle a pour particularité le fait d'être centripète [37], de norme constante soit

et .

En complément, liens entre repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle et repérage de Frenet tel que l'origine des abscisses curvilignes coïncide avec l'origine des abscisses angulaires[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

......Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux que

[38]

......et pour cela, on définit le 1er vecteur de la base locale de Frenet [33] c'est-à-dire le vecteur unitaire tangentiel de Frenet identique au 2ème vecteur de la base polaire c'est-à-dire le vecteur unitaire orthoradial soit

 ;

......pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens (trigonométrique direct) le 3ème vecteur de la base locale de Frenet [33] c'est-à-dire le vecteur unitaire normal secondaire de Frenet identique au 3ème vecteur de la base cylindro-polaire c'est-à-dire le vecteur unitaire axial soit

[39] ;

......les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le 2ème vecteur de la base locale de Frenet [33] c'est-à-dire le vecteur unitaire normal principal de Frenet, lié aux deux autres vecteurs de la base de Frenet par , relativement aux vecteurs de base cylindro-polaire en utilisant , l'opposé du 1er vecteur de la base polaire c'est-à-dire l'opposé du vecteur unitaire radial soit

[40].

......On choisit, de préférence, l’origine des abscisses curvilignes en liaison avec l’origine des abscisses angulaires c'est-à-dire telle que

.

Lien entre abscisses curviligne et angulaire, vitesses instantanée et angulaire, accélérations tangentielle et angulaire du point M[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu des unités des grandeurs cinématiques correspondantes intervenant dans les repérages polaire et de Frenet, une grandeur cinématique de Frenet s'obtient à partir de la grandeur cinématique polaire associée en multipliant cette dernière par une longueur, laquelle ne peut être que le rayon du cercle …

Lien entre abscisses curviligne et angulaire du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Sachant que la longueur d'un arc de cercle de rayon tel que l'angle au centre correspondant soit exprimé en se calcule par

[41],

......on en déduit le lien entre l'abscisse curviligne du point sur sa trajectoire et l'abscisse angulaire correspondante

.

Lien entre vitesses instantanée et angulaire du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Par dérivation temporelle du lien entre abscisses curviligne et angulaire du point sur sa trajectoire on obtient le lien entre la vitesse instantanée du point sur sa trajectoire et la vitesse angulaire correspondante

soit .

Lien entre accélérations tangentielle et angulaire du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Par dérivation temporelle du lien entre vitesse instantanée et angulaire du point sur sa trajectoire on obtient le lien entre l'accélération tangentielle du point sur sa trajectoire et l'accélération angulaire [27] correspondante

soit [27].

Lien entre composantes de Frenet et polaires du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Pour trouver ces liens il suffit d'utiliser les identifications des vecteurs de base de Frenet [33] avec ceux de base polaire à savoir d'où :

Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......De on y reporte et on en déduit à identifier à d'où

les vitesses instantanée et orthoradiale sont identiques .

Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......De on y reporte et on en déduit à identifier à d'où

les accélérations tangentielle et orthoradiale sont identiques et
les accélérations normale et radiale sont opposées .

Essai de repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point M, avec choix du plan du cercle comme plan xOy, et du centre du cercle comme origine O du repérage cartésien de M, les angles étant orientés par l'axe Oz

......Le choix d'un repérage cartésien, même avec origine le centre du cercle, reste un très mauvais choix, l'une des raisons étant qu'il faut pour décrire le mouvement du point sur le cercle deux lois horaires cartésiennes scalaires là où une seule loi horaire scalaire est suffisante lors d'un repérage polaire ou de Frenet [33] ; en effet

......ayant choisi le plan du cercle comme plan , la cote de est , pour compléter la connaissance du mouvement de il reste à préciser les deux lois horaires scalaires donnant l'abscisse et l'ordonnée de en fonction du temps soit et si l'origine du repère a été choisie au centre du cercle, l'utilisation du paramètre angulaire exprimée en fonction du temps permet d'aboutir aux deux lois horaires scalaires , l'abscisse et l'ordonnée de étant liées par l'équation cartésienne de la trajectoire à savoir le cercle de centre et de rayon d'équation  ;

......dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est réelle car , ceci faisant que le mouvement des projetés et de respectivement sur les axes et n'est pas sinusoïdal, l'argument du cosinus ou du sinus n'étant pas une fonction affine du temps,

......dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est accrue lors des lois horaires scalaires de vitesse, chaque composante s'écrivant c'est-à-dire égale à une fonction cosinusoïdale ou sinusoïdale d'une fonction non affine multipliée par une fonction du temps et enfin

......dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est encore plus grande lors des lois horaires scalaires d'accélération, chaque composante s'écrivant

Cas particulier d’un mouvement circulaire uniforme[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant choisi le plan du cercle comme plan et le centre du cercle comme origine , le caractère uniforme du mouvement entraîne

  • une vitesse angulaire notée correspondant à
  • une accélération angulaire nulle c'est-à-dire et
  • une abscisse angulaire fonction affine du temps  ;

......on en déduit les composantes cartésiennes du rayon vecteur se traduisant par le caractère sinusoïdal du mouvement des projetés de sur les axes et , respectivement et , de même amplitude et de même pulsation [42], en quadrature de phase l'un relativement à l'autre, plus précisément :

  • si , les composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent [43], on en déduit que vibre en quadrature retard sur et
  • si , les composantes cartésiennes du rayon vecteur soit encore [44], on en déduit que vibre en quadrature avance sur  ;

......les composantes cartésiennes du vecteur vitesse et du vecteur accélération s'obtiennent en dérivant temporellement celles du rayon vecteur une ou deux fois successivement soit :

  • c'est-à-dire le caractère sinusoïdal de la vitesse des projetés de sur les axes et , respectivement et , de même amplitude [45] et de même pulsation [42], en quadrature de phase l'une relativement à l'autre et
  • c'est-à-dire le caractère sinusoïdal de l'accélération des projetés de sur les axes et , respectivement et , de même amplitude et de même pulsation [42], en quadrature de phase l'une relativement à l'autre, ces dernières composantes se réécrivant [46].

......Conséquence : on déduit aisément de ce qui précède que le projeté d'un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quelconque du cercle est en mouvement rectiligne sinusoïdal de pulsation égale à la valeur absolue de la vitesse angulaire et d'amplitude égale au rayon du cercle

......Conséquence : on emploie cette propriété lors de l'utilisation d'un système « bielle - excentré » pour transformer un mouvement circulaire uniforme en mouvement rectiligne quasi sinusoïdal [à condition que la bielle soit de longueur grande devant le rayon décrit par l'excentré].

Composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux sur des directions orthogonales de même centre O, de même pulsation, de même amplitude et en quadrature de phase[modifier | modifier le wikicode]

......La composition du mouvement de décrivant un mouvement rectiligne sinusoïdal de fréquence c'est-à-dire. de pulsation , d'amplitude sur l'axe soit et

......La composition du mouvement de décrivant un mouvement rectiligne sinusoïdal de même fréquence c'est-à-dire. de même pulsation , de même amplitude sur l'axe en quadrature de phase par rapport au précédent soit

......est un mouvement circulaire uniforme de centre , de rayon et de vitesse angulaire [d'après le paragraphe précédent « cas particulier d'un mouvement circulaire uniforme et le mouvement des projetés sur les axes »
si vibre en quadrature retard sur , la vitesse angulaire est égale à la pulsation d'où et
si vibre en quadrature avance sur , la vitesse angulaire est égale à l'opposé de la pulsation d'où .

Rappel de propriété : la direction du vecteur accélération du point M est toujours dans la concavité de la trajectoire suivie par le point[modifier | modifier le wikicode]

......Cette propriété vérifiée dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait que le vecteur unitaire normal principal de Frenet [33] est, par définition, dans la concavité du cercle simultanément à l'accélération normale [nulle si la vitesse instantanée est nulle sinon est valable quel que soit le mouvement considéré et quelle que soit la trajectoire suivie par ce mouvement :

le vecteur accélération est toujours dirigé dans la concavité de la trajectoire.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 et 1,4 Si on oriente par un vecteur unitaire , le choix du sens d'orientation de définit le sens des angles du plan du cercle [le lien entre les deux est régi par la règle de « l'autostoppeur droitier » ou du « tire-bouchon de Maxwell » dans la mesure où on souhaite un espace orienté par une base directe, revoir le paragraphe « orientation des angles du plan tangent à la surface en M » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].
  2. Point fixe de .
  3. Droite fixe de passant par .
  4. Exprimé en .
  5. Encore notée .
  6. On rappelle que est le centre du cercle.
  7. Revoir les propriétés d'un produit vectoriel dans le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. L'espace étant orienté par une base directe.
  9. L'angle étant droit.
  10. Le vecteur étant nommé « vecteur position », l'appellation « rayon vecteur » étant réservée au vecteur .
  11. C'est-à-dire que c'est la même forme que celle obtenue avec le rayon vecteur .
  12. Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  13. Revoir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. Revoir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  16. 16,0 et 16,1 La règle de dérivation d'un produit de fonctions scalaires par rapport à la variable dont elles dépendent se généralise à un produit scalaire (ou vectoriel) de fonctions vectorielles mais dans le cas de la dérivation d'un produit vectoriel, il ne faut pas oublier que ce dernier n'est pas commutatif (il est en fait anticommutatif).
  17. En effet, le centre du cercle est un point fixe du référentiel d'où son vecteur vitesse est identiquement nul.
  18. Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la formule utilisée étant avec la parenthèse ouvrante devant le 2ème des trois vecteurs du membre de gauche.
  19. En effet le produit scalaire entre le rayon vecteur et le vecteur rotation instantanée est nul car les deux vecteurs orthogonaux.
  20. Le carré scalaire est aussi le carré de la norme du vecteur rotation instantanée ou le carré de la vitesse angulaire cette dernière étant .
  21. Ou
    ...ou encore avec la vitesse angulaire de dans son mouvement circulaire.
  22. C'est-à-dire de direction passant par le centre et dont le sens se dirige toujours vers ce dernier.
  23. Ceci permettant de satisfaire à la dimension d'une accélération.
  24. La propriété découle de la relation de Chasles et du fait que le point est fixe, sinon,
    ...avec mobile nous aurions .
  25. Il aurait été maladroit de remplacer par par complication de l'exposé en effet cela aurait donné
    ... d'où, après simplification évidente, obtenu moins rapidement qu'avec le remplacement de par .
  26. Il n'y a aucune notation propre reconnue par tous pour représenter l'accélération angulaire.
  27. 27,0 27,1 et 27,2 Le plus souvent l'accélération angulaire est simplement notée ou moins souvent
  28. En accord avec le fait qu'il doit être tangent au cercle.
  29. Peut se retrouver à partir de l'expression intrinsèque du vecteur vitesse, en remarquant que la vitesse angulaire est la composante du vecteur rotation instantanée sur l'axe du cercle orienté par , en effet .
  30. En accord avec le fait que le vecteur accélération étant toujours dirigé vers l'intérieur de la concavité, cette propriété ne peut provenir que d'une composante radiale.
  31. Celle-ci existant dès lors que la vitesse angulaire du point n'est pas constante.
  32. Peut se retrouver à partir de l'expression intrinsèque du vecteur accélération, en remarquant que la vitesse angulaire est la composante du vecteur rotation instantanée sur l'axe du cercle orienté par , en effet , étant le centre du cercle soit encore .
  33. 33,00 33,01 33,02 33,03 33,04 33,05 33,06 33,07 33,08 33,09 33,10 33,11 et 33,12 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  34. On le choisit n'importe où sur le cercle puis, si besoin est, le centre du cercle étant choisi comme origine du repère cartésien associé au référentiel d'étude , on choisit l'axe passant par tel que l'abscisse de ce dernier soit le rayon du cercle [en fait seul le choix de est indispensable dans le repérage de Frenet].
  35. Choix arbitraire, on aurait pu choisir l'autre sens « indirect ou rétrograde ».
  36. Dans la mesure où les choix secondaires de repère cartésien (lesquels, rappelons-le, ne sont pas indispensables au repérage de Frenet) se sont poursuivis par celui d'axe directement perpendiculaire à et d'axe perpendiculaire aux deux précédents tel que pointe vers nous, si a été choisi dans le sens direct comme suggéré, alors [mais si est choisi dans le sens indirect ou rétrograde, alors .
  37. En effet le vecteur unitaire normal principal de Frenet est lui même centripète.
  38. C'est le choix qui a été fait puisque le sens des abscisses angulaires a été choisi dans le sens trigonométrique direct du plan et que celui des abscisses curvilignes a été choisi dans le même sens.
  39. Ce choix est possible dans la mesure où le 3ème vecteur de base de Frenet restant à définir, à savoir le vecteur unitaire normal principal , est effectivement dirigé dans le sens de la concavité du cercle comme nous l'avons déterminé dans l'introduction du repérage de Frenet du paragraphe précédent.
  40. On aurait pu introduire le vecteur unitaire normal principal de Frenet juste après l'introduction du vecteur unitaire tangentiel de Frenet et avant celle du vecteur unitaire normal secondaire de la façon suivante :
    ...le 2ème vecteur de la base de Frenet devant être centripète et le 1er vecteur de la base polaire étant centrifuge on doit faire l'identification d'une part et
    ...d'autre part le 3ème vecteur de la base de Frenet (le vecteur unitaire normal secondaire) étant lié aux deux autres vecteurs de base de Frenet par on en déduit son lien avec les vecteurs de base cylindro-polaire par .
  41. La définition du radian étant la mesure d'un angle au centre telle que la longueur de l'arc de cercle correspondant soit égal au rayon du cercle.
  42. 42,0 42,1 et 42,2 La pulsation étant une grandeur physiquement positive.
  43. En effet .
  44. En effet .
  45. L'amplitude étant une grandeur physiquement positive.
  46. Peut se déduire aussi de la forme intrinsèque du vecteur accélération d'un mouvement circulaire uniforme avec centre du cercle et .