Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

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Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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Chapitre no 6
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Pendule de torsion
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Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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     La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel ayant un mouvement circulaire de centre dans un référentiel galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

« Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels « avec » les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
      et
      ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, .

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» et de « masse volumique », les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
     [4] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point » [5] ou encore [4] avec « la densité volumique des forces extérieures appliquée en » et
     [4] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [4] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «» et de « masse surfacique » [6], les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
     [7] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point » [8] ou encore [7] avec « la densité surfacique des forces extérieures appliquée en » et
     [7] avec « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [7] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «» et de « masse linéique », les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
     [9] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point » [10] ou encore [9] avec « la densité linéique des forces extérieures appliquée en » et
     [9] avec « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [9] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L'expression du théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point fixe d'un référentiel d'étude galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour d'un axe fixe dans , reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,

     il en est de même de la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,

     la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du vecteur moment cinétique du système comme c'est rappelé ci-dessous :

Système discret fermé de points matériels {Mi, (mi)} en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)
Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Nous avons établi l'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe « quelconque » [11] dans un référentiel d'étude galiléen, le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point , dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis
     Nous avons établi l'expression du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , en rotation autour d'un axe fixe « quelconque » [11] dans un référentiel d'étude galiléen, le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point , dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et
     Nous avons obtenu : pour un système discret fermé de points matériels « avec » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude voir ci-contre, de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point quelconque de ,

«» [12] avec
moment d'inertie du système par rapport à  ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude voir ci-contre, de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point quelconque de ,

«» [4], [13] avec
le moment d'inertie du système par rapport à égal à
«» [4], [14]
soit encore «» [4].

               Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide [15] dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire  : rappelons tout d'abord qu'il est possible d'associer à un tel système en rotation autour d'un axe fixe , un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » [16] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et que ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice [17] appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous, les éléments diagonaux étant les moments d'inertie par rapport à l'axe [18] donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par et de directions [18] notées en indice :

[4] ;

                         Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide si le vecteur rotation instantanée «» est représenté, à l'instant , par la matrice colonne « » et le vecteur moment cinétique du solide par rapport à «» représenté, au même instant , par la matrice colonne «», cette dernière se déduit en formant le produit matriciel suivant [19] ou soit finalement

[4] ;

                         Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique précédemment déterminés directement à savoir

  • «» [4] porté par l'axe de rotation et
  • « ou, après factorisation par , » [4] à l'axe de rotation ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique de masse surfacique [6] en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point quelconque de , est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques [4] par des intégrales surfaciques [7] soit

«» [7], [13] avec
le moment d'inertie du système par rapport à égal à
«» [7], [20]
soit encore «» [7] ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique de masse linéique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de l'axe orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à n'importe quel point de , est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques [7] par des intégrales curvilignes [9] soit

«» [9], [13] avec
le moment d'inertie du système par rapport à égal à
«» [9], [21]
soit encore «» [9].

     Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe [22] : [4], [23] soit finalement

[4], [24],
  • la 1ère composante du 2ème membre «» étant à l'axe de rotation ,
  • la 2ème composante du 2ème membre «» étant à l'axe de rotation et à l'accélération angulaire de rotation «» composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales et
  • la 3ème composante du 2ème membre «» étant à l'axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation «» composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales ;
  • dans l'hypothèse où les 2ème et 3ème composantes ne sont pas nulles, elles sont de directions l'une de l'autre [25] ;
  • dans le cas où la 2ème composante est non nulle pour une rotation non uniforme [26], elle s'annule dès lors que cette rotation devient uniforme car à , par contre la 3ème composante également non nulle pour une rotation non uniforme [25], reste non nulle dès lors que cette rotation devient uniforme car à .

Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δp fixe dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     La notion d'axe principal d'inertie d'un solide a déjà été introduite dans le paragraphe « complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » mais aussi, à partir de la notion de tenseur d'inertie d'un solide [27], dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :

     L'axe «» est un axe principal d'inertie du solide étudié s'il existe un point particulier «» tel que le vecteur moment cinétique du solide quand ce dernier est en rotation par rapport à fixe dans le référentiel d'étude , moment évalué par rapport à , est porté par l'axe  ;

     dans le cas où le solide est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , on a donc, en repérant par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par le vecteur unitaire ,

«» [4], [28] d'où,
l'expression du vecteur moment cinétique, par rapport à , du solide en rotation autour de de vecteur rotation instantanée ,
«» dans laquelle
«» [4] est le moment principal d'inertie du solide relativement à [29].

     Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie [30] dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe orienté par le vecteur unitaire du référentiel d'étude  : pour un tel système susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe , on définit un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » [16] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice [17] appelée matrice d'inertie du solide voir le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous, les éléments diagonaux [31] étant les moments d'inertie par rapport à l'axe [18] donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par [31] et de directions [18] notées en indice :

[4] ;

               Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie comme cela a été exposé dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie du solide relativement au référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien , direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, rend la matrice d'inertie diagonalisable ; il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée de pour que la matrice d'inertie du solide soit transformée en diagonale ; les axes passant par le point et respectivement orientés par définissent les axes principaux d'inertie du solide issus de point fixe de ce dernier ; les éléments diagonaux de à savoir , et sont appelés moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs , leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle [5] centré en du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

               Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie du solide dans le référentiel lié à ce dernier et relativement axes principaux d'inertie de ce dernier issus du point , point fixe du référentiel lié au solide, s'écrit, avec , et moments principaux d'inertie du solide, selon «».

               Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie Lors de la rotation d'un solide autour d'un axe fixe passant par un point fixe dans le référentiel d'étude galiléen, il existe au moins axes de rotation du solide, axes respectivement , pour lesquels le vecteur moment cinétique du solide par rapport à , à l'instant , «» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «» du solide au même instant , chaque axe définissant un axe principal d'inertie du solide noté , le cœfficiçent de proportionnalité étant le moment principal d'inertie du solide noté «» soit «».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » dans le paragraphe précité du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », applicabilité dans la mesure où l'origine de calcul des moments vectoriels est le C.D.I. [34] du système étudié qu'il soit discret ou continu de matière et le référentiel d'étude est galiléen soit «» [35] quel que soit le mouvement de dans le référentiel d'étude galiléen ;

     par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude galiléen est la composition

  • d'un mouvement de translation de vecteur vitesse et
  • d'un mouvement de rotation autour d'un axe passant par le C.D.I. [34] du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée ,

     le vecteur moment cinétique du système par rapport à s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels , selon « » [36] avec moment d'inertie du système par rapport à [37] ;

     l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «» [38] et donc, a priori, «» sauf si l'axe est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. [34] de ce dernier [39] car la condition pour que soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «» [40] dont on déduit, par rotation de autour de , «» [41].

Début d’un théorème
Fin du théorème

Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel ayant un mouvement circulaire d'axe dans un référentiel galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

« Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels « avec » les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
      et
      ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, étant le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur .

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» et de « masse volumique », les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant avec le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur selon
     [4] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point » [5] ou encore [4] avec « la densité volumique des forces extérieures appliquée en » et
     [4] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [4] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «» et de « masse surfacique » [47], les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant avec le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur selon
     [7] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point » [8] ou encore [7] avec « la densité surfacique des forces extérieures appliquée en » et
     [7] avec « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [7] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «» et de « masse linéique », les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant avec le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur selon
     [9] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point » [10] ou encore [9] avec « la densité linéique des forces extérieures appliquée en » et
     [9] avec « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [9] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L'expression du théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe fixe d'un référentiel d'étude galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe fixe dans , reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,

     il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,

     la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système comme c'est rappelé ci-dessous :

     Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe « quelconque » [11] dans un référentiel d'étude galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis
     Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , en rotation autour d'un axe fixe « quelconque » [11] dans un référentiel d'étude galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et
     Nous avons obtenu : pour un système discret fermé de points matériels « avec » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vitesse angulaire instantanée de rotation du système à l'instant , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe ,

«» avec
«[48] le moment d'inertie du système par rapport à » ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vitesse angulaire instantanée de rotation du système à l'instant , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe ,

«» [4] avec
« le moment d'inertie du système par rapport à » égal à
«» [4], [14]
soit encore «» [4].

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