Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
Icône de la faculté
Chapitre no 6
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Pendule de torsion
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel ayant un mouvement circulaire de centre dans un référentiel galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

« Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels « avec » les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
      et
      ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, .

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» et de « masse volumique », les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
     [4] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point »[5] ou encore [4] avec « la densité volumique des forces extérieures appliquée en » et
     [4] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [4] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «» et de « masse surfacique »[6], les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
     [7] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point »[8] ou encore [7] avec « la densité surfacique des forces extérieures appliquée en » et
     [7] avec « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [7] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «» et de « masse linéique », les vecteurs moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un point fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
     [9] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point »[10] ou encore [9] avec « la densité linéique des forces extérieures appliquée en » et
     [9] avec « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [9] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L'expression du théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point fixe d'un référentiel d'étude galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour d'un axe fixe dans , reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,

     il en est de même de la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,

     la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du vecteur moment cinétique du système comme c'est rappelé ci-dessous :

Système discret fermé de points matériels {Mi, (mi)} en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)
Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Nous avons établi l'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe « quelconque »[11] dans un référentiel d'étude galiléen, le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point , dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis
     Nous avons établi l'expression du moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , en rotation autour d'un axe fixe « quelconque »[11] dans un référentiel d'étude galiléen, le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point , dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et
     Nous avons obtenu : pour un système discret fermé de points matériels « avec » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude voir ci-contre, de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point quelconque de ,

«»[12] avec
moment d'inertie du système par rapport à  ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude voir ci-contre, de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point quelconque de ,

«»[4],[13] avec
le moment d'inertie du système par rapport à égal à
«»[4],[14]
soit encore «»[4].

               Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide[15] dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire  : rappelons tout d'abord qu'il est possible d'associer à un tel système en rotation autour d'un axe fixe , un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) »[16] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et que ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice [17] appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous, les éléments diagonaux étant les moments d'inertie par rapport à l'axe[18] donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par et de directions[18] notées en indice :

[4] ;

                         Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide si le vecteur rotation instantanée «» est représenté, à l'instant , par la matrice colonne « » et le vecteur moment cinétique du solide par rapport à «» représenté, au même instant , par la matrice colonne «», cette dernière se déduit en formant le produit matriciel suivant [19] ou soit finalement

[4] ;

                         Nous avons obtenu : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique précédemment déterminés directement à savoir

  • «»[4] porté par l'axe de rotation et
  • « ou, après factorisation par , »[4] à l'axe de rotation ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique de masse surfacique [6] en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à un point quelconque de , est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques[4] par des intégrales surfaciques[7] soit

«»[7],[13] avec
le moment d'inertie du système par rapport à égal à
«»[7],[20]
soit encore «»[7] ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique de masse linéique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans lequel est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de l'axe orienté par le vecteur unitaire , l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système, évalué par rapport à n'importe quel point de , est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques[7] par des intégrales curvilignes[9] soit

«»[9],[13] avec
le moment d'inertie du système par rapport à égal à
«»[9],[21]
soit encore «»[9].

     Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe[22] : [4],[23] soit finalement

[4],[24],
  • la 1re composante du 2ème membre «» étant à l'axe de rotation ,
  • la 2ème composante du 2ème membre «» étant à l'axe de rotation et à l'accélération angulaire de rotation «» composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles radiales et
  • la 3ème composante du 2ème membre «» étant à l'axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation «» composante résultant d'une intégrale volumique de grandeurs vectorielles orthoradiales ;
  • dans l'hypothèse où les 2ème et 3ème composantes ne sont pas nulles, elles sont de directions l'une de l'autre[25] ;
  • dans le cas où la 2ème composante est non nulle pour une rotation non uniforme[26], elle s'annule dès lors que cette rotation devient uniforme car à , par contre la 3ème composante également non nulle pour une rotation non uniforme[25], reste non nulle dès lors que cette rotation devient uniforme car à .

Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δp fixe dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     La notion d'axe principal d'inertie d'un solide a déjà été introduite dans le paragraphe « complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » mais aussi, à partir de la notion de tenseur d'inertie d'un solide[27], dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », seules les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :

     L'axe «» est un axe principal d'inertie du solide étudié s'il existe un point particulier «» tel que le vecteur moment cinétique du solide quand ce dernier est en rotation par rapport à fixe dans le référentiel d'étude , moment évalué par rapport à , est porté par l'axe  ;

     dans le cas où le solide est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique , on a donc, en repérant par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par le vecteur unitaire ,

«»[4],[28] d'où,
l'expression du vecteur moment cinétique, par rapport à , du solide en rotation autour de de vecteur rotation instantanée ,
«» dans laquelle
«»[4] est le moment principal d'inertie du solide relativement à [29].

     Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie[30] dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe orienté par le vecteur unitaire du référentiel d'étude  : pour un tel système susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe , on définit un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) »[16] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice [17] appelée matrice d'inertie du solide voir le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous, les éléments diagonaux [31] étant les moments d'inertie par rapport à l'axe[18] donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par [31] et de directions[18] notées en indice :

[4] ;

               Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie comme cela a été exposé dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie du solide relativement au référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien , direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, rend la matrice d'inertie diagonalisable ; il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée de pour que la matrice d'inertie du solide soit transformée en diagonale ; les axes passant par le point et respectivement orientés par définissent les axes principaux d'inertie du solide issus de point fixe de ce dernier ; les éléments diagonaux de à savoir , et sont appelés moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs , leurs valeurs dépendent de la répartition des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle[5] centré en du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

               Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie du solide dans le référentiel lié à ce dernier et relativement axes principaux d'inertie de ce dernier issus du point , point fixe du référentiel lié au solide, s'écrit, avec , et moments principaux d'inertie du solide, selon «».

               Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie Lors de la rotation d'un solide autour d'un axe fixe passant par un point fixe dans le référentiel d'étude galiléen, il existe au moins axes de rotation du solide, axes respectivement , pour lesquels le vecteur moment cinétique du solide par rapport à , à l'instant , «» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «» du solide au même instant , chaque axe définissant un axe principal d'inertie du solide noté , le cœfficiçent de proportionnalité étant le moment principal d'inertie du solide noté «» soit «».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » dans le paragraphe précité du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », applicabilité dans la mesure où l'origine de calcul des moments vectoriels est le C.D.I[34]. du système étudié qu'il soit discret ou continu de matière et le référentiel d'étude est galiléen soit «»[35] quel que soit le mouvement de dans le référentiel d'étude galiléen ;

     par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude galiléen est la composition

  • d'un mouvement de translation de vecteur vitesse et
  • d'un mouvement de rotation autour d'un axe passant par le C.D.I[34]. du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée ,

     le vecteur moment cinétique du système par rapport à s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels , selon « »[36] avec moment d'inertie du système par rapport à [37] ;

     l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «»[38] et donc, a priori, «» sauf si l'axe est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I[34]. de ce dernier[39] car la condition pour que soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «»[40] dont on déduit, par rotation de autour de , «»[41].

Début d’un théorème
Fin du théorème

Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel ayant un mouvement circulaire d'axe dans un référentiel galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

« Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels « avec » les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant , selon
      et
      ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, étant le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur .

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «» et de « masse volumique », les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant avec le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur selon
     [4] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point »[5] ou encore [4] avec « la densité volumique des forces extérieures appliquée en » et
     [4] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [4] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «» et de « masse surfacique »[47], les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant avec le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur selon
     [7] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point »[8] ou encore [7] avec « la densité surfacique des forces extérieures appliquée en » et
     [7] avec « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [7] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «» et de « masse linéique », les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe fixe dans sont respectivement définis, à l'instant avec le vecteur unitaire orientant l'axe et un point fixe choisi quelconque sur selon
     [9] dans lequel « est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point »[10] ou encore [9] avec « la densité linéique des forces extérieures appliquée en » et
     [9] avec « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », soit, en cinétique newtonienne, [9] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L'expression du théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe fixe d'un référentiel d'étude galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe fixe dans , reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,

     il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,

     la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système comme c'est rappelé ci-dessous :

     Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe « quelconque »[11] dans un référentiel d'étude galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis
     Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , en rotation autour d'un axe fixe « quelconque »[11] dans un référentiel d'étude galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et
     Nous avons obtenu : pour un système discret fermé de points matériels « avec » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vitesse angulaire instantanée de rotation du système à l'instant , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe ,

«» avec
«[48] le moment d'inertie du système par rapport à » ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle de masse volumique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vitesse angulaire instantanée de rotation du système à l'instant , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe ,

«»[4] avec
« le moment d'inertie du système par rapport à » égal à
«»[4],[14]
soit encore «»[4].

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique de masse surfacique [47] en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vitesse angulaire instantanée de rotation du système à l'instant , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe , est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques[4] par des intégrales surfaciques[7] soit

«»[7] avec
« le moment d'inertie du système par rapport à » égal à
«»[7],[20]
soit encore «»[7] ;

     Nous avons obtenu : pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique de masse linéique en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vitesse angulaire instantanée de rotation du système à l'instant , l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe , est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques[7] par des intégrales curvilignes[9] soit

«»[9] avec
« le moment d'inertie du système par rapport à » égal à
«»[9],[21]
soit encore «»[9].

     Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe : [49] ou la vitesse angulaire instantanée étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée [44] repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe [50] les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :

.
Début d’un théorème
Fin du théorème


Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe ΔG passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe ΔG passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen » au chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » rappelé ci-dessous

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe , de direction fixée, passant par le C.D.I[34]. du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de [53], le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué à ce système à l'instant , à savoir «», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à au même instant , soit «», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore
«»[54]

     et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen,

     et cette applicabilité l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe , la 2ème composante du mouvement du système étant, dans , une translation de vecteur vitesse ,

     et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe de rotation à l'instant s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » et « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » des chap. et de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I[34]. du solide

«» avec
« le moment d'inertie du solide relativement à l'axe » et
« la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant »,
voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe,

     et cette applicabilité le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à étant, à l'instant , « »[49] on en déduit l'énoncé ci-dessous :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe , de direction fixée, passant par le C.D.I[34]. du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de [53], système fermé de matière dont le mouvement à l'instant dans est « la composition d'une translation de vecteur vitesse et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée autour de », le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué à ce système à l'instant , à savoir «», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à soit «» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à au même instant , soit «», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore
«»[55] avec
l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe [56],
la vitesse angulaire instantanée étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée [44] et
l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre.

     Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude , est la composition d'une translation de vecteur vitesse , avec C.D.I[34]. du solide, et d'une rotation autour de l'axe passant par , l'axe lui restant solidaire[53], et de direction fixe dans le référentiel d'étude , l'origine du moment cinétique scalaire étant  :

     Justification Soit un système discret fermé de points matériels « avec » dont est le C.D.I[34]. de vecteur vitesse dans le référentiel d'étude à l'instant et l'axe issu de , restant solidaire à ce dernier[53], de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire , autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant , égal à dans lequel est la vitesse angulaire instantanée au même instant ,
     Justification le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe au même instant dans le référentiel d'étude se calcule selon « » dans lequel , vecteur vitesse de dans le référentiel d'étude à l'instant , s'évalue selon «», étant le centre du cercle que décrit le point dans le référentiel lié à en translation dans soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[57] d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[58] d'autre part,

 ;
  • le 1er terme du 2ème membre «» se réécrivant «» ou encore, par factorisations scalaire[59] puis vectorielle à droite[60], «» dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I[34]. du système discret fermé[61] «» « » et
  • le 2ème terme du 2ème membre «» dans lequel «» étant le vecteur vitesse du point dans le référentiel c'est-à-dire le référentiel lié à en translation par rapport à à l'instant , définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe fixe dans , moment cinétique scalaire évalué, au même instant , relativement à soit « avec le moment d'inertie du système relativement à »[62] d'où
«» C.Q.F.J[63]..

     Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique , la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique[4], surfacique[7] ou curviligne[9] et chaque point matériel par un pseudo point centré en d'expansion tridimensionnelle[5], surfacique[8] ou linéique[10]

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « commentaires sur la r.f.d.n. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre du mouvement circulaire ».
  2. Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant « » avec le facteur de Lorentz du point en mouvement circulaire autour de et
       Non applicable en dynamique relativiste car, d'autre part avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, d'où non transformable selon ni selon sauf mouvement uniforme en dynamique relativiste ;
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  3. 3,0 et 3,1 Restant applicable sous cette forme en dynamique ou cinétique relativiste.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 et 4,25 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. 5,0 5,1 5,2 et 5,3 Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume , de masse , pseudo point en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «» dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide ».
  6. 6,0 et 6,1 Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 7,13 7,14 7,15 7,16 7,17 et 7,18 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. 8,0 8,1 et 8,2 Un pseudo point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , de masse , pseudo point en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «» dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide ».
  9. 9,00 9,01 9,02 9,03 9,04 9,05 9,06 9,07 9,08 9,09 9,10 9,11 9,12 9,13 9,14 9,15 et 9,16 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. 10,0 10,1 et 10,2 Un pseudo point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , de masse , pseudo point en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «» dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide ».
  11. 11,0 11,1 11,2 et 11,3 Au sens où ce n’est a priori pas un axe principal d’inertie du système voir le paragraphe « complément, notion d'axes principaux d'inertie en cinétique newtonienne » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et aussi le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  12. Le point étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu «» la base cylindro-polaire liée à étant notée .
  13. 13,0 13,1 et 13,2 Le point étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu «» la base cylindro-polaire liée à point générique solidaire du solide étant notée .
  14. 14,0 et 14,1 étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point c'est-à-dire de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et de volume .
  15. Voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ (utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  16. 16,0 et 16,1 Cette définition utilise la notion de tenseur contravariant d'ordre introduit dans le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  17. 17,0 et 17,1 Voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  18. 18,0 18,1 18,2 et 18,3 La base cartésienne est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de .
  19. Voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  20. 20,0 et 20,1 étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point c'est-à-dire de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et d'aire .
  21. 21,0 et 21,1 étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point c'est-à-dire de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et de longueur .
  22. Exposé dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle .
  23. Le 3ème terme résulte de l'évaluation de soit, avec voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et , « ».
  24. Pour un système discret fermé de points matériels « avec » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point fixe de s'écrit
     ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point fixe de s'écrit
    ,
    voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique » en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à un point fixe de s'écrit
    ,
    voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. 25,0 et 25,1 En effet « se déduit de par rotation de » avec les mêmes cœfficients «» avant intégration d'où deux résultats vectoriels « et » de direction orthogonale ; de plus on peut affirmer que les deux vecteurs obtenus après intégration « et » s'annulent simultanément.
  26. C'est-à-dire si .
  27. Voir la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » cette définition utilisant la notion de tenseur contravariant d'ordre introduit dans le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », ce tenseur d'inertie pouvant être représenté par une matrice voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » appelée matrice d'inertie du solide comme cela est précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous dans l'hypothèse d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle avec les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et l'opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par et de directions notées en indice rappelons que la base cartésienne est solidaire du solide, elle tourne donc quand ce dernier est en rotation autour de  :
    ,
    voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. Pour un système discret fermé de points matériels « avec » en rotation autour d'un axe issu de , tous deux fixes dans le référentiel d'étude , la condition pour que soit principal d'inertie s'écrit  ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique » en rotation autour d'un axe issu de , tous deux fixes dans le référentiel d'étude , la condition pour que soit principal d'inertie s'écrit , voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique » en rotation autour d'un axe fixe issu de , tous deux fixes dans le référentiel d'étude , la condition pour que soit principal d'inertie s'écrit , voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  29. Pour un système discret fermé de points matériels « avec » la définition du moment principal d'inertie par rapport à s'écrit «» avec la distance orthogonale entre et  ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique » la définition du moment principal d'inertie par rapport à s'écrit «», voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique » la définition du moment principal d'inertie par rapport à s'écrit «», voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. Voir la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  31. 31,0 et 31,1 étant un point quelconque choisi fixe sur .
  32. On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « commentaires sur la r.f.d.n. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée autour de l'axe principal d'inertie de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie de rotation du système » et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point choisi sur l'axe principal d'inertie du système ».
  33. Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de portée par l'axe dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste
  34. 34,00 34,01 34,02 34,03 34,04 34,05 34,06 34,07 34,08 et 34,09 Centre D'Inertie.
  35. Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste est à revoir la note « 28 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le seul cas où est à étant celui d'un système discret ou continu en translation, à l'exception de ce cas est toujours à , la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec origine des moments vectoriels en un point mobile dans le référentiel galiléen étant «» voir le paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  36. Le point étant repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu «» la base cylindro-polaire liée à étant notée .
  37. Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique » le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) s'écrit « », voir d'une part le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par «», la base cylindro-polaire liée à étant notée avec le moment d'inertie du système par rapport à  ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique » le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) s'écrit « », voir d'une part le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par «», la base cylindro-polaire liée à étant notée avec le moment d'inertie du système par rapport à  ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique » le vecteur moment cinétique par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) s'écrit « », voir d'une part le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et d'autre part le point est repéré par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par «», la base cylindro-polaire liée à étant notée avec le moment d'inertie du système par rapport à .
  38. Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique » en rotation autour de l'axe passant par le centre d'inertie (C.D.I.) du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à s'écrit
    ,
    voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique » en rotation autour de l'axe passant par le centre d'inertie (C.D.I.) du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à s'écrit
    ,
    voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique » en rotation autour de l'axe passant par le centre d'inertie (C.D.I.) du système, le taux de variation horaire du vecteur moment cinétique du système par rapport à s'écrit
    ,
    voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  39. Issus de il y a au moins trois axes principaux d'inertie respectivement deux à deux.
  40. Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique » en rotation autour de l'axe issu de , la condition pour que soit principal d'inertie s'écrit , voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique » en rotation autour de l'axe issu de , la condition pour que soit principal d'inertie s'écrit , voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique » en rotation autour de l'axe issu de , la condition pour que soit principal d'inertie s'écrit , voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  41. Par rotation de autour de de la condition pour que ce dernier soit principal d'inertie quand le système de matière est continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique exposée dans la note « 40 » plus haut dans ce chapitre :
       pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique » en rotation autour de l'axe issu de , de la condition pour que soit un axe principal d'inertie «» on déduit, par rotation de autour de , «», voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé d'expansion surfacique « de masse surfacique » en rotation autour de l'axe issu de , de la condition pour que soit un axe principal d'inertie «» on déduit, par rotation de autour de , «», voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       pour un système continu fermé d'expansion linéique « de masse linéique » en rotation autour de l'axe issu de , de la condition pour que soit un axe principal d'inertie «» on déduit, par rotation de autour de , «», voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  42. On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « commentaires sur la r.f.d.n. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée autour de l'axe principal d'inertie de rotation du système », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie du système par rapport à l'axe principal d'inertie de rotation du système » et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué au système par rapport au point choisi sur l'axe principal d'inertie du système ».
  43. Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de portée par l'axe dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel », non applicabilité rédhibitoire par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste
  44. 44,0 44,1 44,2 et 44,3 Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées , on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée définissant l'accélération angulaire instantanée s'écrit encore .
  45. On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe du mouvement circulaire ».
  46. Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste », la relation applicable étant « » avec le facteur de Lorentz du point en mouvement circulaire autour de et
       Non applicable en dynamique relativiste car, d'autre part avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, d'où non transformable selon ni selon sauf mouvement uniforme en dynamique relativiste ;
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  47. 47,0 et 47,1 Bien que le moment cinétique scalaire et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1re a toujours pour indice un axe alors que la 2ème n'a, a priori, pas d'indice
  48. étant la distance orthogonale séparant le point de l'axe .
  49. 49,0 et 49,1 Le moment d'inertie d'un solide autour de n'importe quel axe qui lui est solidaire étant une constante par rapport à toute variation du temps .
  50. Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe , on définit un point et solidaire du solide, ayant un mouvement circulaire d'axe , de centre relativement au référentiel d'étude et on repère la position du solide à l'instant par la position de au même instant , soit .
  51. On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe de rotation du système ».
  52. Non applicable en dynamique relativiste car, nous avons établi dans la note « 9 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la « non applicabilité de dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » d'où la « non applicabilité de la composante de portée par l'axe dans le cadre de la cinétique relativiste d'un point matériel » étant un point quelconque choisi sur , non applicabilité rédhibitoire par simple addition vectorielle dans le cadre de la cinétique relativiste et par suite en multipliant chaque membre par le vecteur unitaire orientant l'axe
  53. 53,0 53,1 53,2 et 53,3 ne glisse pas sur l'axe considéré.
  54. Non applicable en dynamique relativiste voir la note « 30 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que le paragraphe « adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen » du chapitre précité.
  55. Non applicable en dynamique relativiste puisque «» ne l'est pas d'après la note « 54 » précédente
  56. Pour repérer un solide dans sa rotation autour d'un axe , on définit un point et solidaire du solide, ayant un mouvement circulaire d'axe , de centre relativement au référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude et on repère la position du solide à l'instant dans par la position de au même instant dans ce même référentiel, soit .
  57. Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  58. Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  59. Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  60. Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  61. Voir le paragraphe « centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système discret (fermé) de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  62. Voir le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)».
  63. Ce Qu'il Fallait Justifier.