Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

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     Nous limitons, dans ce chapitre, la notion de moment cinétique au cadre de la dynamique newtonienne, seul cadre au programme de physique de P.C.S.I..

Rappel : Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\,M\,$ à mouvement circulaire de centre $\,C\,$ dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ à mouvement circulaire établi au chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ,
     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ à mouvement circulaire est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen où le point matériel $\,M$, de masse $\,m$, a un mouvement circulaire d'axe $\,\Delta$, de centre $\,C\,$ et de rayon $\,R$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen prenant pour origine des vecteurs moments le centre $\,C\,$ du cercle décrit par $\,M\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant par rapport à $\,C\,$ des forces appliquées à $\,M\,$ à l'instant $\,t$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant par rapport à $\,\color {transparent}{C}\,$ des forces appliquées à $\,\color {transparent}{M}\,$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» de $\,M\,$ relativement à l'axe de rotation $\,\Delta \,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «$\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)\,$» de $\,M\,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur autour de l'axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t\;$ soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen

« Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière établi, pour un système discret de points matériels, au chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et
     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière généralisé à un système continu de matière au même chap.$5$ de la même leçon « Mécanique 2 (PCSI) »
     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,O\;$fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,O\;$appliqué à un système fermé de matière
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,\color {transparent}{O}\;$appliqué à l'instant $\,t$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans $\,{\mathcal {R}}\,$ par rapport au même point $\,O\,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système à l'instant $\,t\,$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» c.-à-d.
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» soit mathématiquement «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» .

Fin du théorème

     $\succ \;$Pour un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$», le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,O\,$ appliqué au système à l'instant $\,t\,$ est
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système discret fermé de points matériels «$\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}}\;$ avec $\;\color {transparent}{N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$», le vecteur moment résultant dynamique défini par «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système discret fermé de points matériels «$\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}}\;$ avec $\;\color {transparent}{N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$», le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ l'est par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système discret fermé de points matériels «$\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}}\;$ avec $\;\color {transparent}{N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$», le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i},\,t)\;$» ou, en cinétique newtonienne,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système discret fermé de points matériels «$\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}}\;$ avec $\;\color {transparent}{N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$», le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$».
     $\succ \;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» et de « masse volumique $\;\mu (M)\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,O\,$ appliqué au système à l'instant $\,t\,$ est défini par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$» dans lequel
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)}\;$ est sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» ou encore
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\,$ densité volumique des forces extérieures appliquée en $\,M\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ l'est par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement
       $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)=d{\mathcal {V}}(M,\,t)}\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit encore,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» en cinétique newtonienne,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=}$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\,$ le vecteur vitesse de $\,M\,$ dans $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t\;$».
     $\succ \;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et de « masse surfacique $\;\sigma (M)\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,O\,$ appliqué au système à l'instant $\,t\,$ est défini par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)}\;$ est sur le pseudo point $\;\left(M,\,dS_{M}\right)\;$» ou encore
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\,$ densité surfacique des forces extérieures appliquée en $\,M\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ l'est par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement
       $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)=dS(M,\,t)}\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit encore,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$» en cinétique newtonienne,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=}$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\,$ le vecteur vitesse de $\,M\,$ dans $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t\;$».
     $\succ \;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$» et de « masse linéique $\;\lambda (M)\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,O\,$ appliqué au système à l'instant $\,t\,$ est défini par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;\color {transparent}{d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)}\;$ est sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$» ou encore
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion Linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\,$ densité linéique des forces extérieures appliquée en $\,M\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ l'est par
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement
       $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)=d{\mathit {l}}(M,\,t)}\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit encore,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» en cinétique newtonienne,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\;$» le vecteur moment cinétique «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=}$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\,$ le vecteur vitesse de $\,M\,$ dans $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t\;$».

Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen

     Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point $\,A\,$ fixe d'un référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, appliqué à un système fermé de matière,
     Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point $\,\color {transparent}{A}\,$ fixe d'un référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen, appliqué à un système discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique,
     Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point $\,\color {transparent}{A}\,$ fixe d'un référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen, appliqué à un système fermé de matière, en rotation autour d'un axe $\,\left(\Delta \right)\,$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$,
     Le théorème du moment cinétique vectoriel, par rapport à un point $\,\color {transparent}{A}\,$ fixe d'un référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen, appliqué à un système fermé de matière, reste celui donné au « paragraphe précédent » ,
     la définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système fermé de matière restant celle rappelée au « paragraphe précédent » quelle que soit le mouvement du système,
     la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concerne l'expression du vecteur moment cinétique du système comme c'est rappelé ci-dessous :

Système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i},\,(m_{i})\right\rbrace \,$ en rotation autour d'un axe $\,(\Delta )\,$ fixe, moment cinétique $\,{\big (}$vectoriel${\big )}\,$ du système par rapport à un point $\,A\,$ quelconque de l'axe $\,(\Delta )$

Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\,({\mathcal {V}})\,$ en rotation autour d'un axe $\,(\Delta )\,$ fixe, moment cinétique ${\big (}$vectoriel${\big )}\,$ du système par rapport à un point $\,A\,$ quelconque de l'axe $\,(\Delta )$

     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels
     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système en rotation autour d'un axe $\,\left(\Delta \right)\,$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen,
     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point $\,A\;\in \;\left(\Delta \right)$,
     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de
     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel
     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe « d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » du chap.$2$
     L'expression du moment cinétique vectoriel d'un système a été explicitée au paragraphe de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis
L'expression du moment cinétique vector celle d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\,\left({\mathcal {S}}\right)\,$ ou linéique $\,\left(\Gamma \right)$,
L'expression du moment cinétique vector celle d'un système en rotation autour d'un axe $\,\left(\Delta \right)\,$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen,
L'expression du moment cinétique vector celle d'un système le point origine de calcul du moment vectoriel étant un point $\,A\;\in \;\left(\Delta \right)$,
L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière
L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à
L'expression du moment cinétique vector celle d'un système explicitée au paragraphe « un point A de Δ » du chap.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
     Nous avons obtenu : $\succ \;$pour un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$»
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé en rotation autour d'un axe fixe$\;\left(\Delta \right)\,$ du référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ $\,{\big (}$voir ci-contre${\big )}$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé de vecteur rotation instantanée $\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\,$ à l'instant $\,t\;$ avec $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ vitesse angulaire
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé instantanée de rotation du système autour de $\,\left(\Delta \right)\,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé l'expression newtonienne du vecteur moment évalué par rapport à un point $\,A\,$ quelconque de $\,\left(\Delta \right)$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$» avec
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système discret fermé «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\,$ moment d'inertie du système par rapport à $\,\left(\Delta \right)$ ;
     Nous avons obtenu : $\succ \;$pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle$\;\left({\mathcal {V}}\right)$ $\,{\big [}$de masse volumique $\,\mu (M){\big ]}\,$
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé en rotation autour d'un axe fixe$\;\left(\Delta \right)\,$ du référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}$ $\,{\big (}$voir ci-contre${\big )}$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée $\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\,$ à l'instant $\,t\;$ dans lequel $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ est la vitesse
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé angulaire instantanée de rotation du système autour de $\,\left(\Delta \right)\,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne du vecteur moment évalué par rapport à un point $\,A\,$ quelconque de $\,\left(\Delta \right)$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» avec
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé le moment d'inertie du système par rapport à $\,\left(\Delta \right)\,$ égal à
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}\;$ $\;=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» .
     Nous avons obtenu : $\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique$\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\,{\big [}$de masse surfacique $\,\sigma (M){\big ]}\;$
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé en rotation autour d'un axe fixe$\;\left(\Delta \right)\,$ du référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée $\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\,$ à l'instant $\,t\;$ dans lequel $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ est la vitesse
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé angulaire instantanée de rotation du système autour de $\,\left(\Delta \right)\,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne du vecteur moment évalué par rapport à un point $\,A\,$ quelconque de $\,\left(\Delta \right)$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique à condition de remplacer les intégrales volumiques par des intégrales surfaciques soit
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\sigma (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;dS_{M}\right]\,$» avec
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé le moment d'inertie du système par rapport à $\,\left(\Delta \right)\,$ égal à «$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dm\;r^{2}\,$ $\,=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\sigma (M)\;r^{2}\;dS_{M}\;$»  ;
     Nous avons obtenu : $\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique$\;\left(\Gamma \right)$ $\,{\big [}$de masse linéique $\,\lambda (M){\big ]}\,$
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé en rotation autour d'un axe fixe$\;\left(\Delta \right)\,$ du référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée $\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\,$ à l'instant $\,t\;$ dans lequel $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système
        Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé de vecteur rotation instantanée $\,\color {transparent}{{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}\,$ à l'instant $\,\color {transparent}{t}\;$ dans lequel $\,\color {transparent}{{\overline {\Omega }}(t)}\,$ est la autour de $\,\left(\Delta \right)\,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne du vecteur moment cinétique du système,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne du vecteur moment évalué par rapport à un point $\,A\,$ quelconque de $\,\left(\Delta \right)$,
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé l'expression newtonienne est identique à condition de remplacer les intégrales volumiques par des intégrales curvilignes soit
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé «${\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\sigma (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]$» avec
     Nous avons obtenu : $\color {transparent}{\succ }\;$pour un système continu fermé le moment d'inertie du système par rapport à $\,\left(\Delta \right)\,$ égal à «$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dm\;r^{2}\;$ $\,=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;r^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$» .

     Remarque : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide ${\Big [}$dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, de masse volumique $\;\mu (M)$, en rotation
           Remarque : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide $\color {transparent}{\Big [}$autour d'un axe fixe $\,\left(\Delta \right)\,$ du référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\,$ à l'instant $\,t\,$ dans lequel
           Remarque : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide $\color {transparent}{\Big [}$$\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ est la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\Big ]}$ :
     Remarque : La notion de tenseur d'inertie associée à un système en rotation autour d'un axe fixe $\,\left(\Delta \right)$, a été introduite en complément des outils mathémtiques pour la physique ,
     Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe $\,\left(\Delta \right)\,$ est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une matrice carrée $\,3\;{\text{x}}\;3\;$ appelée
           Remarque : La notion le tenseur d'inertie associé à un système en rotation autour d'un axe fixe $\,\color {transparent}{\left(\Delta \right)}\,$ est un tenseur d'ordre deux pouvant être représenté par une matrice d'inertie du solide ,
     Remarque : La notion la matrice d'inertie $\,{\big (}$symétrique${\big )}\,$ ayant pour $\bullet \;$éléments diagonaux $\,\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&&\\&J_{Ay}&\\&&J_{\Delta }\end{array}}\right]\,$ les moments d'inertie par rapport à l'axe donné en indice et
     Remarque : La notion la matrice d'inertie $\,\color {transparent}{\big (}$symétrique$\color {transparent}{\big )}\,$ ayant pour $\bullet \;$opposé des éléments non diagonaux $\,\left[{\begin{array}{c c c}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{xy}&&I_{yz}\\I_{xz}&I_{yz}&\end{array}}\right]\,$ les produits d'inertie dans le plan passant par $\,A\,$ et de directions
                                             Remarque : La notion la matrice d'inertie $\,\color {transparent}{\big (}$symétrique$\color {transparent}{\big )}\,$ ayant pour $\color {transparent}{\bullet }\;$opposé des éléments non diagonaux les produits d'inertie dans le plan passant par $\,\color {transparent}{A}\,$ et données en indice :
     Remarque : La notion la matrice d'inertie «$\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]$»  ;
     Remarque : si le vecteur rotation instantanée «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» à l'instant $\,t\;$ est représenté par la matrice colonne «$\;\left[\Omega (t)\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\,$» et
     Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à $\,A\,$ au même instant $\,t\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$» représenté par la matrice colonne «$\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]\,$»,
          Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ au même instant $\,\color {transparent}{t}\;$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)}\;$» représenté par la cette dernière se déduit de la 1^ère par multiplication matricielle à gauche
          Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ au même instant $\,\color {transparent}{t}\;$ «$\;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[J\right]\times \left[\Omega (t)\right]\;$» ou «$\;\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Ay}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$» soit
          Remarque : si le vecteur moment cinétique du solide par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ au même instant $\,\color {transparent}{t}\;$ «$\;{\begin{array}{l c l}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\!\!&=-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\!\!&=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\!\!&={\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \end{array}}$»  ;
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes du vecteur moment cinétique $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\,$ du solide en rotation autour d'un axe $\,(\Delta )\,$ fixe dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen  :
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes $\bullet \;$«$\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ $=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$»
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}\;$ porté par l'axe de rotation et
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes $\bullet \;$«$\;-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)=-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)\;$ ou,
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)}$ $=-\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\left[x\;{\vec {u}}_{x}(t)+y\;{\vec {u}}_{y}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace {\overline {\Omega }}(t)\;$ après factorisation par $\;{\overline {\Omega }}(t)$, ou encore,
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)}$ $=-{\overline {\Omega }}(t)\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \;$»
     Remarque : nous retrouvons bien les deux termes $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{-I_{xz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{x}(t)-I_{yz}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{y}(t)}$ $\;\perp \;$ à l'axe de rotation.

     Taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système discret ou continu de matière indéformable en rotation autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen  : «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» s'obtient
     Taux de variation horaire en dérivant «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» par rapport à $\,t$, «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» étant constant, soit
     Taux de variation horaire «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$»  :
     Taux de variation horaire $\bullet \;$la 1^ère composante du 2^ème membre «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» est $\,\parallel \,$ à l'axe de rotation $\,\left(\Delta \right)$,
     Taux de variation horaire $\bullet \;$la 2^ème composante du 2^ème membre «$\;-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» est $\,\perp \,$ à l'axe de rotation $\,\left(\Delta \right)\,$ et
       Taux de variation horaire $\color {transparent}{\bullet }\;$la 2^ème composante du 2^ème membre «$\;\color {transparent}{-d{\overline {\Omega }}(t)\left[\iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\;$» est $\,\propto \,$ à l'accélération angulaire de rotation «$\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» et
     Taux de variation horaire $\bullet \;$la 3^ème composante du 2^ème membre «$\;-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» est $\,\perp \,$ à l'axe de rotation $\,\left(\Delta \right)\,$ et
     Taux de variation horaire $\color {transparent}{\bullet }\;$la 3^ème composante du 2^ème membre «$\;\color {transparent}{-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}\;$» est $\,\propto \,$ au carré de la vitesse angulaire de rotation «$\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$»  ;
     Taux de variation horaire $\bullet \;$remarque : les 2^ème et 3^ème composantes sont $\,\perp \,$ à $\,(\Delta )\,$ et orthogonales deux à deux et
Taux de variation horaire $\color {transparent}{\bullet }\,$remarque les 2^ème et 3^ème composanteselles s'annulent simultanément .

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,A$, fixe sur l'axe $\,\left(\Delta \right)\,$ autour duquel le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)\,$ tourne,      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,\color {transparent}{A}$, fixe sur l'axe $\,\left(\Delta \right)\,$ étant fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,A\,$ du système appliqué à ce dernier à l'instant $\,t$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport à $\,A\,$ de ce dernier au même instant $\,t$      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, la dérivée temporelle du «$\;{\overrightarrow {\sigma _{A}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ $=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» soit, après dérivation temporelle,      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;$» .

Complément, application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'« un de ses axes principaux d’inertie » Δ_p fixe dans un référentiel d'étude galiléen

     Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide  : «$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe un point particulier «$\;O_{p}\,\in \,\left(\Delta _{p}\right)\;$» tel que le vecteur moment cinétique du
                 Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «$\;\color {transparent}{\left(\Delta _{p}\right)}\;$» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe solide quand ce dernier tourne autour de$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$fixe dans le référentiel
                 Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : «$\;\color {transparent}{\left(\Delta _{p}\right)}\;$» est un axe principal d'inertie d'un solide s'il existe d'étude$\;{\mathcal {R}}$, est porté par l'axe$\;\left(\Delta _{p}\right)$, le moment étant évalué en $\,O_{p}$ :
           Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)\,$ de masse volumique $\,\mu (M)$,
           Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant $\,M\,$ par ses coordonnées cylindro-polaires $\,\left(r,\,\theta ,\,z\right)\,$ de pôle $\,O_{p}\,$ et d'axe $\,\left(\Delta _{p}\right)\,$
            Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu en repérant $\,\color {transparent}{M}\,$ par ses coordonnées cylindro-polaires orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta _{p}}\;$,
           Rappel de la définition d'un axe principal d'inertie d'un solide : si le solide étudié est un système continu $\,\left(\Delta _{p}\right)\,$ est axe principal d'inertie du solide ssi «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;$» .

     Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à$\;O_{p}\;$ , du solide en rotation autour de$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$de vecteur rotation instantanée$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ : «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O_{p}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta _{p}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle
                   Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à$\;\color {transparent}{O_{p}}\;$, du solide en rotation autour de$\;\color {transparent}{\left(\Delta _{p}\right)}\;$de vecteur rotation instantanée$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\Omega }}(t)}\;$ : «$\;J_{\Delta _{p}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» est le moment
                   Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à$\;\color {transparent}{O_{p}}\;$, du solide en rotation autour de$\;\color {transparent}{\left(\Delta _{p}\right)}\;$de vecteur rotation instantanée$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\Omega }}(t)}\;$ : « principal d'inertie du solide relativement à $\;\left(\Delta _{p}\right)\;$.

     Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie $\,{\Big [}$exposée dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)$, de masse volumique
                  Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie $\,\color {transparent}{\Big [}$$\,\mu (M)$, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe $\,\left(\Delta \right)\,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ du référentiel
                  Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie $\,\color {transparent}{\Big [}$$\,\color {transparent}{\mu (M)}$, susceptible d'être en rotation autour d'un axe fixe $\,\color {transparent}{\left(\Delta \right)}\,$ orienté par le vecteur unitaire $\,\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }}\,$ d'étude $\,{\mathcal {R}}{\Big ]}$ :
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice carrée $\,3\;{\text{x}}\;3\;$ «$\;\left[J\right]\;$» définissant la
                         Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide , matrice symétrique
                                Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie le tenseur d'inertie d'un tel solide est représentable par une matrice d'inertie du solide rappelée ci-dessous :
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie «$\;\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]\;$»  ;
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie $\,\left[J\right]\,$ du solide relativement au référentiel dans lequel le solide est immobile, avec pour base
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie orthonormée du $\,\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\,W\;$ $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \,$ étant « réelle symétrique »
                         Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie $\,\color {transparent}{\left[J\right]}\,$ du solide est diagonalisable  ;
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de $\,W$, $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace$, pour que la matrice d'inertie du solide
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie on peut donc choisir une nouvelle base orthonormée de $\,\color {transparent}{W}$, $\,\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace }$, pour que soit diagonalisée en $\,\left[{\mathcal {J}}\right]$ :
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes $\,\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace \,$ passant par le point $\,A\,$ du solide et respectivement orientés par $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \,$
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les axes $\,\color {transparent}{\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace }\,$ définissent les axes principaux d'inertie du solide issus de $\,A$ ;
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de $\,\left[{\mathcal {J}}\right]$, «$\;J_{AX}$, $\,J_{AY}\,$ et $\,J_{AZ}\;$» sont les moments principaux d'inertie du solide relativement
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie les éléments diagonaux de $\,\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}\right]}$, «$\;\color {transparent}{J_{AX}}$, $\,\color {transparent}{J_{AY}}\,$ et $\,\color {transparent}{J_{AZ}}\;$» sont les aux axes respectifs $\,\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace \;$,
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie $\,\left[{\mathcal {J}}\right]\,$ du solide relativement à ses axes principaux d'inertie $\,\left\lbrace {\overrightarrow {AX}}\,,\,{\overrightarrow {AY}}\,,\,{\overrightarrow {AZ}}\right\rbrace \,$ issus du point $\;A\,$
                   Notion d'axes principaux d'inertie d'un solide utilisant celle de tenseur d'inertie la matrice d'inertie $\,\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}\right]}\,$ du solide, s'écrivant, dans le référentiel lié à ce dernier, «$\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{AX}&0&0\\0&J_{AY}&0\\0&0&J_{AZ}\end{array}}\right]\;$».

     Expression du vecteur moment cinétique, par rapport à$\;A_{p}\;$ , du solide en rotation autour de$\;\left(\Delta _{p}\right)\;$de vecteur rotation instantanée$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ utilisant la notion de tenseur d'inertie  :
     Expression du vecteur moment cinétique, lors de la rotation d'un solide autour d'un de ses axes principaux d'inertie $\,(\Delta _{p})\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}$, avec $\,A_{p}\,$ fixe sur $\,(\Delta _{p})$, le vecteur moment
     Expression du vecteur moment cinétique, cinétique du solide par rapport à $\,A_{p}$, à l'instant $\,t\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» est colinéaire au vecteur rotation instantanée «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» du solide au même instant $\,t\;$
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,{\big [}$en effet, avec la base orthonormée $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}={\vec {u}}_{(\Delta _{p})}\right\rbrace \,$ de $\,W\;$, $\,\mathbb {R}$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien associé à l'espace physique, $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\right\rbrace \,$
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$étant les vecteurs unitaires orientant les deux autres axes principaux d'inertie, la matrice d'inertie du solide est diagonale selon «$\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{AX}&0&0\\0&J_{AY}&0\\0&0&J_{\Delta _{p}}\end{array}}\right]\;$»,
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;J_{\Delta _{p}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,(\Delta _{p})$ ; si les vecteurs rotation instantanée du solide $\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)\,$ à l'instant $\,t\;$ et
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta _{p}}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,\color {transparent}{(\Delta _{p})}$ ; si les vecteurs moment cinétique du solide en $\,A_{p}$, $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}\!\left(t\right)\,$ au même instant $\,t\;$
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta _{p}}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,\color {transparent}{(\Delta _{p})}$ ; si sont représentés par les matrices colonnes $\,\left[\Omega (t)\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\,$ et
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta _{p}}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,\color {transparent}{(\Delta _{p})}$ ; si sont représentés par les matrices colonnes $\,\left[\sigma _{\!A_{p}}(t)\right]=\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,X}(t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,Y}(t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,\Delta _{p}}(t)\end{array}}\right]$, le lien entre
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta _{p}}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,\color {transparent}{(\Delta _{p})}$ ; les matrices colonnes est «$\;\left[\sigma _{\!A_{p}}(t)\right]=\left[{\mathcal {J}}\right]\times \left[\Omega (t)\right]\;$» ou
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta _{p}}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,\color {transparent}{(\Delta _{p})}$ ; les matrices colonnes est «$\;\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,X}(t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,Y}(t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,\Delta _{p}}(t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{AX}&0&0\\0&J_{AY}&0\\0&0&J_{\Delta _{p}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;$»
     Expression du vecteur moment cinétique, $\,\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{J_{\Delta _{p}}}\;$» étant le moment principal d'inertie du solide relativement à $\,\color {transparent}{(\Delta _{p})}$ ; dont on déduit «$\;{\overline {\sigma }}_{\!A_{p},\,\Delta _{p}}(t)=J_{\Delta _{p}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» ou «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}\!\left(t\right)=J_{\Delta _{p}}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» C.Q.F.V. ${\big ]}$.

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie de ce dernier, fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,O_{p}\;$fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique en$\;O_{p}\;$appliqué à un système fermé de matière en
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique en$\;\color {transparent}{O_{p}}\;$appliqué rotation autour d'un de ses axes principaux
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique en$\;\color {transparent}{O_{p}}\;$appliqué d'inertie$\;\left(\Delta _{p}\right)\,$ passant par $\,O_{p}\;$, c.-à-d.
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O_{p},\,{\text{ext}}}(t)\;$» à l'instant $\,t$, le système tournant avec un vecteur
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant dynamique en$\;\color {transparent}{O_{p}}\;$appliqué rotation instantanée, à l'instant $\,t$, «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ,
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe «$\;J_{\Delta _{p}}({\text{syst}})\;$» et
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» du système
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée dans $\,{\mathcal {R}}\,$ au même instant $\,t$
      Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O_{p},\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta _{p}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» .

Fin du théorème

     Remarques : Dans ce paragraphe, le système fermé de matière étant en rotation autour d'un de ses axes avec un vecteur rotation instantanée ne dépendant que de $\,t\,$ est nécessairement indéformable ;
      Remarques : Dans ce paragraphe la disposition des points matériels ou des pseudo-points d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique restant la même au cours du temps,
      Remarques : Dans ce paragraphe le moment principal d'inertie du système par rapport à l'axe «$\;J_{\Delta _{p}}({\text{syst}})\;$» est constant $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O_{p}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[J_{\Delta _{p}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overrightarrow {\Omega }}\right]}{dt}}(t)=J_{\Delta _{p}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$».

Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »

     Nous avons établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » dans le paragraphe précité du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », applicabilité dans la mesure où l'origine de calcul des moments vectoriels est le C.D.I. $\;G\;$ du système étudié $\;{\big (}$qu'il soit discret ou continu de matière${\big )}\;$ et le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» quel que soit le mouvement de $\;G\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ;

     par contre, pour un système dont le mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen est la composition

• d'un mouvement de translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ et
• d'un mouvement de rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système et gardant une direction fixe, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$,

     le vecteur moment cinétique du système par rapport à $\;G\;$ s'exprime, dans le cas d'un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i},\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}$, selon «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=$ $J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$» avec $\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ moment d'inertie du système par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ ;

     l'explicitation du « taux de variation horaire du vecteur moment cinétique d'un système (discret ou) continu de matière en rotation autour d'un axe (fixe) » déjà exposée au paragraphe « application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre reste applicable car, ni le caractère « fixe » de l'axe, ni le caractère « continu » du système, n'interviennent dans le calcul d'où «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\left[\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]-{\overline {\Omega }}^{2}\!(t)\left[\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}(t)\right]\;$» et donc, a priori, «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}})}{dt}}(t)\neq J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» sauf si l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ est un des axes principaux d'inertie du solide issus du C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier car la condition pour que $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ soit axe principal d'inertie du solide s'écrit «$\;\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}={\vec {0}}\;$» dont on déduit, par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)$, «$\;\sum _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}={\vec {0}}\;$» .

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe principal d'inertie, de direction fixe, passant par le centre d'inertie G du système, mobile dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I. $\;G\;$ du système fermé de matière étudié, C.D.I. mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» appliqué à l'instant $\;t\;$ au système fermé de matière en rotation autour d'un des axes principaux d'inertie $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G\;$ et gardant une direction fixe est égal au produit du moment principal d'inertie du système par rapport à cet axe «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;$» et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ au même instant $\;t$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Rappel : Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le cas où ce dernier décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement circulaire d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen a été établi au paragraphe « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen où le point matériel étudié $\;M$, de masse $\;m$, a un mouvement circulaire d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et de rayon $\;R\;$ et prenant pour origine des moments l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ du cercle décrit par $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ des forces appliquées à $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» du point $\;M\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» de $\;M\;$ autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ au même instant $\;t$ $\;{\big [}$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le point $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire${\big ]}\;$ soit «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un « solide » en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen

« Rappel » de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen a été établi, dans le cadre d'un système discret de points matériels, au paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel galiléen » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et généralisé à un système continu de matière dans le paragraphe « généralisation (du théorème du moment cinétique scalaire) à un système continu fermé de matière » du même chapitre de la même leçon, il est rappelé ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ appliqué à l'instant $\;t\;$ à un système fermé de matière soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\left(\Delta \right)\;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» .

Fin du théorème

     Dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$, selon
     $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)\;$ et
     $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\sigma _{\!\Delta }(M_{i},\,t)\;$ ou, dans le cadre de la cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}$.

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$» et de « masse volumique $\;\mu (M)\;$», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$ $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$ selon
     $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité volumique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et
     $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» et de « masse surfacique $\;\sigma (M)\;$» , les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$ $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$ selon
     $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,dS_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité surfacique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et
     $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$» et de « masse linéique $\;\lambda (M)\;$», les scalaires moment résultant dynamique et moment cinétique du système par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sont respectivement définis, à l'instant $\;t$ $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;O\;$ un point fixe choisi quelconque sur $\;\left(\Delta \right){\big ]}\;$ selon
     $\;\succ \;$$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](M)\;$ dans lequel «$\;d{\vec {F}}_{{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$» ou encore $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {f}}_{{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;$ la densité linéique des forces extérieures appliquée en $\;M\;$» et
     $\;\succ \;$$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$», soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec «$\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Application au cas d'un « système fermé de matière en rotation » autour d'un axe Δ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen

     L'expression du théorème du moment cinétique scalaire, par rapport à un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe d'un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, appliqué à un système fermé de matière, discret ou continu d'expansion volumique, surfacique ou linéique, en rotation autour de cet axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, reste celle donnée au paragraphe précédent « rappel de l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière dans un référentiel d'étude galiléen »,

     il en est de même de la définition du moment résultant dynamique scalaire appliqué à ce système, cette dernière étant également déclinée, suivant la nature discrète ou continue du système, au paragraphe précédent,

     la seule particularité résultant du mouvement de rotation du système autour d'un axe fixe concernant l'expression du moment cinétique scalaire du système comme c'est rappelé ci-dessous :

     Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » puis
     Nous avons établi l'expression du moment cinétique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)$, en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe « quelconque » dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, l'axe origine de calcul du moment scalaire étant l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation du système, dans le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » du chap.$3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et
     Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$,

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec
«$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ le moment d'inertie du système par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» ;

     Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ $\;{\big [}$de masse volumique $\;\mu (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$,

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec
« le moment d'inertie du système par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» égal à
«$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}dm\;r^{2}\;$»
soit encore «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}$» .

     Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big [}$de masse surfacique $\;\sigma (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, est identique à celle donnée pour une expansion tridimensionnelle à condition de remplacer les intégrales volumiques par des intégrales surfaciques soit

«$\,\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec
« le moment d'inertie du système par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» égal à
«$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}dm\;r^{2}\,$»
soit encore «$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\sigma (M)\;r^{2}\;dS_{M}$»  ;

     Nous avons obtenu : $\;\succ \;$ pour un système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$ $\;{\big [}$de masse linéique $\;\lambda (M){\big ]}\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;\left(\Delta \right)\;$ du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vitesse angulaire instantanée de rotation du système $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t$, l'expression newtonienne du moment cinétique scalaire du système, évalué par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, est identique à celle donnée pour une expansion surfacique à condition de remplacer les intégrales surfaciques par des intégrales curvilignes soit

«$\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec
« le moment d'inertie du système par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» égal à
«$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dJ_{\Delta }(M)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}dm\;r^{2}\,$»
soit encore «$\,J_{\Delta }({\text{syst}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;r^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}$» .

     Taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe : $\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {d\left[J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\right]}{dt}}=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$ ou $\;{\big [}$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$${\big ]}\;$ les deux formes possibles du taux de variation horaire du moment cinétique scalaire d'un système discret ou continu de matière en rotation autour d'un axe fixe :

$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)$.

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen où le système fermé de matière a un mouvement de rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et prenant pour origine des moments l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ du système «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)\;$» à l'instant $\;t\;$ est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$» du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» du système autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ au même instant $\;t$ $\;{\big [}$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Complément, cas d'un solide dont le mouvement dans un référentiel d'étude galiléen est la « composition d'une translation de vecteur vitesse égal à celui de G (centre d'inertie du solide) et d'une rotation autour d'un axe Δ_G passant par G et de direction fixe dans le référentiel d'étude »

     Ayant établi, en complément, « l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système (discret) fermé de matière relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen » au chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big (}$rappelé ci-dessous${\big )}\;$

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$, de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de $\;G\;$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué à ce système à l'instant $\;t$, à savoir «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$», est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ au même instant $\;t$, soit «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$»

     et cette applicabilité étant valable pour tout mouvement du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen,

     et cette applicabilité l'est donc quand le système est en rotation autour de cet axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$, la 2^ème composante du mouvement du système étant, dans $\;{\mathcal {R}}$, une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$,

     et cette applicabilité le moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ de rotation à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, d'après le prolongement de l'expression adaptée à une rotation autour d'un axe fixe obtenue aux paragraphes « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » et « expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ » des chap.$2$ et $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas d'une rotation autour d'un axe de direction fixe passant par le C.D.I. du solide

«$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec
«$\;J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$ le moment d'inertie du solide relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$» et
«$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ la vitesse angulaire instantanée de rotation du solide au même instant $\;t\;$»,
$\;{\big [}$voir la justification de l'expression à la fin du paragraphe${\big ]}$,

     et cette applicabilité le taux horaire du moment cinétique scalaire du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ étant, à l'instant $\;t$, «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)=$ $J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» on en déduit l'énoncé ci-dessous :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)$, de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système de matière fermé, l'axe restant solidaire de $\;G\;$, système fermé de matière dont le mouvement à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ est « la composition d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ et d'une rotation de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ autour de $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué à ce système à l'instant $\;t$, à savoir «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$», est égal au produit du moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ soit «$\;J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$» et de la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée de ce dernier par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ au même instant $\;t$, soit «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$», ce qui, mathématiquement, s'écrit encore «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» avec $\;{\bigg [}\theta (t)\;$ l'abscisse angulaire instantanée repérant le solide dans sa rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$, la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ et $\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)={\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$ l'accélération angulaire instantanée du solide dans sa rotation propre${\bigg ]}$.

     Justification de l'expression du moment cinétique scalaire d'un solide dont le mouvement, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, est la composition d'une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$, avec $\;G\;$ C.D.I. du solide, et d'une rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G$, l'axe lui restant solidaire , et de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, l'origine du moment cinétique scalaire étant $\;\left(\Delta _{G}\right)$ :

     Justification Soit un système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» dont $\;G\;$ est le C.D.I. de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ l'axe issu de $\;G$, restant solidaire à ce dernier , de direction fixe, orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}$, autour duquel le système de points matériels tourne avec un vecteur rotation instantanée, à l'instant $\;t$, égal à $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$ dans lequel $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ est la vitesse angulaire instantanée au même instant $\;t$,
     Justification le moment cinétique scalaire du système de points matériels relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ se calcule selon «$\;\sigma _{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!G}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» dans lequel $\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}}(t)$, vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$, s'évalue selon «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$», $\;H_{i}\;$ étant le centre du cercle que décrit le point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ lié à $\;G\;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$ soit, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle d'une part puis de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle d'autre part,

$\;\sigma _{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}$ ;

• le 1^er terme du 2^ème membre «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» se réécrivant «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \left[m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{\!G}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» ou encore, par factorisations scalaire puis vectorielle à droite , «$\;\left\lbrace \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{\!G}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» dans lequel on reconnaît la définition du C.D.I. du système discret fermé «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}$ $=0\;$» et
• le 2^ème terme du 2^ème membre «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}\;$» dans lequel «$\;{\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$» étant le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}^{*}$ $\;{\big [}$c.-à-d. le référentiel lié à $\;G\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ à l'instant $\;t$, définit le moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, moment cinétique scalaire évalué, au même instant $\;t$, relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ soit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta _{G}}=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ avec $\;J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;[H_{i}M_{i}]^{2}=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$» d'où

«$\;\sigma _{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\!\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» C.Q.F.J. .

     Remarque : On peut, sans aucune restriction, substituer le système discret fermé de points matériels par un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$, surfacique $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ ou linéique $\;\left(\Gamma \right)$, la seule modification consistant à remplacer les sommes discrètes par des intégrales volumique , surfacique ou curviligne et chaque point matériel $\;M_{i}\;$ par un pseudo point centré en $\;M\;$ d'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique $\;\ldots$