Leçons de niveau 14

Mécanique du point en référentiel non galiléen/Changement de référentiel en cinématique newtonienne du point

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Changement de référentiel en cinématique newtonienne du point
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique du point en référentiel non galiléen
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Mécanique du point en référentiel non galiléen/Changement de référentiel en cinématique newtonienne du point
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Sommaire

Exposé du problème et terminologie[modifier | modifier le wikicode]

Exposé du problème[modifier | modifier le wikicode]

     Connaissant le mouvement d’un référentiel par rapport à un autre référentiel d’une part et
     Connaissant le mouvement d’un point dans d'autre part,
     on cherche à déterminer le mouvement de ce même point dans .

Terminologie[modifier | modifier le wikicode]

     De façon arbitraire on appelle :

  • « référentiel absolu », noté , le référentiel par rapport auquel on cherche le mouvement définitif de ,
  • « référentiel d’entraînement », noté , le référentiel par rapport auquel le mouvement de est connu.

     Signification de  : À chaque instant , passe par une position différente du référentiel d'entraînement et si nous supposons qu’à l’instant , laisse une empreinte dans empreinte évidemment fixe par rapport à ce référentiel, celle-ci matérialisera « point coïncident de à l’instant dans le référentiel d'entraînement ».

     Signification de M c, t : est donc un point fixe du référentiel d'entraînement , mais ce dernier se déplaçant par rapport au référentiel absolu , est mobile dans .

     Autres définitions : On appelle « mouvement absolu de », le mouvement de dans le référentiel absolu mouvement que l’on cherche,

     Autres définitions : On appelle « mouvement relatif de », le mouvement de dans le référentiel d'entraînement mouvement que l’on connaît et

     Autres définitions : On appelle « mouvement d'entraînement de », le mouvement absolu de c.-à-d. le mouvement du point coïncident de à l'instant dans le référentiel absolu .

Grandeurs vectorielles absolues et relatives[modifier | modifier le wikicode]

      étant un point fixe du référentiel absolu par exemple l’origine du repère associé à et

      étant un point fixe du référentiel d'entraînement par exemple l’origine du repère associé à ,

     on définit les grandeurs vectorielles absolues et relatives suivantes.

Grandeurs position, vitesse et accélération absolues[modifier | modifier le wikicode]

  • Vecteur position absolue de  : «» fonction de soit «»,
  • Vecteur vitesse absolue de  : «» fonction de défini par «» encore noté «» et
  • Vecteur accélération absolue de  : «» fonction de défini par «» encore noté «».

Grandeurs position, vitesse et accélération relatives[modifier | modifier le wikicode]

  • Vecteur position relative de  : «» fonction de soit «»,
  • Vecteur vitesse relative de  : «» fonction de défini par «» encore noté «» et
  • Vecteur accélération relative de  : «» fonction de défini par «» encore noté «».

Grandeurs position, vitesse et accélération d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Sachant que le mouvement d'entraînement de à un instant est le mouvement absolu de son point coïncident au même instant c.-à-d. le mouvement absolu de et que la notion de mouvement nécessite de faire varier selon la définition de dérivée temporelle, nous indexons l'instant de coïncidence par «» de façon à le distinguer de l'instant repérant celui permettant de dériver temporellement ainsi nous écrirons que
     Préliminaire : Sachant que « le mouvement d'entraînement de à un instant est le mouvement absolu de son point coïncident au même instant c.-à-d. le mouvement absolu de »,
     Préliminaire : Sachant que la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant définie à l'instant selon «».

  • Vecteur position « d'entraînement » de ou vecteur position absolue de [2] : «» fonction de soit «» étant un point fixe du référentiel d'entraînement , le vecteur position relative du point coïncident de à l'instant dans le référentiel d'entraînement «» est un vecteur constant donc sans intérêt pour décrire un mouvement,
  • Vecteur vitesse d'entraînement de  : «», fonction de , dont la valeur à l'instant est le vecteur vitesse absolue du point coïncident de à l'instant dans le référentiel d'entraînement c.-à-d. « tel que » [3] la valeur pouvant encore être notée «» et
  • Vecteur accélération d'entraînement de  : «» fonction de , dont la valeur à l'instant est le vecteur accélération absolue du point coïncident de à l'instant dans le référentiel d'entraînement c.-à-d. « tel que » [3] la valeur pouvant encore être notée «».

     Remarques : Comme est a priori ≠ de sauf dans le cas d'un entraînement de translation, éviter de l'écrire a priori même dans ce dernier cas

     Remarques : Pour définir le mouvement d’entraînement de , à une date , il convient de figer dans en la position qu’il y occupe à la date c.-à-d. de considérer l'empreinte de à cet instant dans , ce qui est le point coïncident , et de suivre, à partir de , dans , ce point fixe de , on obtient alors les vecteurs vitesse et accélération absolues de ce point fixe de .

Cas du référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Référentiel d'entraînement en translation quelconque par rapport au référentiel absolu avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement , étant l'origine du repère associé au référentiel absolu

     Le mouvement de translation du référentiel d'entraînement par rapport au référentiel absolu est caractérisé par celui d’un de ses points par exemple celui de l’origine du repère associé au référentiel d'entraînement , voir ci-contre et

     les vecteurs vitesse et accélération absolues de translation du référentiel d'entraînement sont notés au choix :

«»
et «» ;

     ces derniers représentent également les vecteurs vitesse et accélération d’entraînement de à l'instant , car le point coïncident de à la date dans le référentiel d'entraînement , à savoir , étant un point lié à , son mouvement absolu est celui de translation de d'où le mouvement d'entraînement de est le mouvement absolu de  :

«» [3] et
«» [3].

     Remarques : A priori la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle dépend du référentiel dans lequel est effectuée la dérivation mais cette propriété devient fausse si on effectue la dérivation dans deux référentiels en translation l'un par rapport à l'autre
     Remarques : en effet toute direction d'un référentiel en translation par rapport à un autre référentiel se déplace, dans ce dernier, parallèlement à elle-même et, en particulier, le trièdre des trois vecteurs de base lié à  ; ces derniers sont donc constants dans , et on les confondra le plus souvent avec les trois vecteurs de base liés à sur le schéma ci-dessus, cela n’a toutefois pas été fait ; quand on réalise l’identification entre la base de et celle de , une même grandeur vectorielle a donc les mêmes composantes dans les deux systèmes de bases et par suite a donc même dérivée temporelle dans les deux référentiels (C.Q.F.D.) [4].

     Remarques : Dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation par rapport au référentiel absolu , il est donc inutile de spécifier le référentiel de dérivation.

Lien entre vecteurs position absolue et relative[modifier | modifier le wikicode]

     Le lien entre le vecteur position absolue de à l'instant «» et son vecteur position relative au même instant «» est

«».

Lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour obtenir le lien entre le vecteur vitesse absolue de à l'instant «» et son vecteur vitesse relative au même instant «», il suffit de dériver temporellement la relation dans le référentiel absolu soit «» «» ou, étant donné que est en mouvement de translation par rapport à et que la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle est indépendante du référentiel dans lequel la dérivation s'effectue pourvu que les référentiels soient en translation l'un relativement à l'autre [5] «» et par suite

«».

Lien entre vecteurs accélération absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des accélérations)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour obtenir le lien entre le vecteur accélération absolue de à l'instant «» et son vecteur accélération relative au même instant «», il suffit de dériver temporellement la relation dans le référentiel absolu soit «» «» ou, étant donné que est en mouvement de translation par rapport à et que la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle est indépendante du référentiel dans lequel la dérivation s'effectue pourvu que les référentiels soient en translation l'un relativement à l'autre [5] «» et par suite

«».

Particularité[modifier | modifier le wikicode]

     Comme les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de à l'instant s'écrivent respectivement [3] dans le cas où le référentiel d'entraînement est en mouvement de translation relativement au référentiel absolu , nous en déduisons que les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de à l'instant sont indépendants du point considéré, le mouvement d'entraînement est donc, à un instant fixé, le même quel que soit le point considéré.

Cas du référentiel d'entraînement en rotation par rapport au référentiel absolu autour d'un axe fixe de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Référentiel d'entraînement en rotation quelconque par rapport au référentiel absolu avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement , étant l'origine du repère associé au référentiel absolu et l'axe fixe dans autour duquel tourne

     Le mouvement de rotation du référentiel d'entraînement par rapport au référentiel absolu , rotation autour de l'axe , fixe dans , est caractérisé par le vecteur rotation instantanée [6] noté, en absence d'ambiguïté, voir ci-contre ;

     le mouvement de rotation du référentiel d'entraînement par rapport au référentiel absolu autour de l'axe fixe de définit le mouvement absolu de , point coïncident de à l'instant et par suite le mouvement d'entraînement de , celui-ci étant donc un mouvement circulaire d'axe , de rayon dans lequel est le projeté orthogonal de sur c.-à-d. encore le centre du cercle décrit par et de vecteur rotation instantanée [6]  ;

     appelant un point fixe de l'axe , le vecteur vitesse absolue de , point coïncident de à l'instant , s'écrit, à l'instant , selon «» [7] le vecteur vitesse d'entraînement du point à l'instant s'obtient par

«» [3]
ou encore «» ;

           appelant A un point fixe de l'axe Δ, le vecteur accélération absolue de , point coïncident de à l'instant , s'écrit, à l'instant , selon «» [8] le vecteur accélération d'entraînement du point à l'instant s'obtient par

«» [3]
ou encore «».

     Remarques : Le plus souvent on choisit l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement sur l'axe et on identifie à , ce qui permet de réécrire les vecteurs vitesse et accélération d’entraînement de à l'instant avec projeté orthogonal de sur , selon «» et «» ;

     Remarques : De plus on peut choisir choix la direction du vecteur de base cartésienne du repère associé au référentiel absolu sur l’axe de rotation ,
                             Remarques : De plus on peut choisir le vecteur de base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement , confondu avec ,
                             Remarques : De plus on peut choisir l’origine du repère associé au référentiel absolu sur l’axe de rotation et
                             Remarques : De plus on peut choisir l’origine du repère associé au référentiel d'entraînement , confondue avec .

Lien entre vecteurs position absolue et relative[modifier | modifier le wikicode]

     Le lien entre le vecteur position absolue de à l'instant «» et son vecteur position relative au même instant «» est

«».

     Remarque : Avec le choix particulier [9], le lien entre le vecteur position absolue de à l'instant et son vecteur position relative au même instant s'écrit «».

Lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses)[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé de la loi de composition newtonienne des vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     On cherche donc à déterminer le vecteur vitesse absolue du point à l'instant «» en fonction du vecteur vitesse relative de au même instant «» et pour cela on part de la relation que l’on dérive par rapport à dans le référentiel absolu  ; on obtient

     «», relation dans laquelle il reste à expliciter le 2ème terme du 2ème membre et pour cela nous utilisons les composantes du vecteur position relative de à l'instant «» dans la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement d'où

     «» «» dans laquelle on reconnaît

  • en correspondant à «», le vecteur vitesse relative de à l'instant «» car ce regroupement de termes s'obtient par dérivation temporelle de en considérant comme des vecteurs constants, ce qui est réalisé lorsque la dérivation temporelle de est faite dans le référentiel d'entraînement
    «» et
  • en correspondant à «», la dérivée temporelle de en considérant figées à l'instant c.-à-d. ne variant pas lors de la dérivation par rapport au temps dans le référentiel absolu , ce qui est réalisé pour la dérivation temporelle dans du vecteur position relative «» du point coïncident de à l'instant soit
    «» ;

     reportant les deux interprétations de et dans la relation , on obtient «» [3] ou, en regroupant le 1er et 3ème termes du 2nd membre « » d'où finalement

«» [3].

     Sachant que est la valeur prise à l'instant par le vecteur vitesse d'entraînement du point à la date , «» [3] on en déduit l'expression du vecteur vitesse absolue du point à l'instant en fonction des vecteurs vitesse relative et vitesse d'entraînement de au même instant ,

«» ou encore
«»,
étant un point fixe de l'axe et
le vecteur rotation instantanée [6] de dans .

     Remarque : Cette démonstration utilisant la base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement semble être « non intrinsèque » [10] mais en fait
     Remarque : la décomposition de dans la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement n'a été introduite que pour mieux expliquer la façon de dériver une grandeur vectorielle par rapport au temps dans le référentiel absolu , le résultat étant «» [3], c.-à-d. que
     Remarque : pour dériver, par rapport au temps, une grandeur vectorielle dans le référentiel absolu , on fait la somme de la dérivée temporelle de cette grandeur dans le référentiel d'entraînement la mobilité de dans étant seule prise en compte et de la dérivée temporelle de la valeur de dans le référentiel absolu étant maintenant figé dans , la mobilité de son point coïncident à l'instant «» dans étant seule prise en compte soit «» [3] ;

     Remarque : ainsi, comme il aurait été possible d'exposer la démonstration sans aucune référence à une quelconque base, la démonstration peut être qualifiée d'« intrinsèque » son aspect « non intrinsèque » n'étant en fait qu'apparent.

Démonstration « purement » non intrinsèque[modifier | modifier le wikicode]

     Le début de la démonstration « purement » non intrinsèque est identique à celle qui précède, qualifiée d'« intrinsèque » l'aspect « non intrinsèque » de cette dernière n'étant qu'une apparence mais il est néanmoins rappelé pour plus de clarté :

     on part de la relation que l’on dérive par rapport à dans le référentiel absolu et on obtient

     «», relation dans laquelle il reste à expliciter le 2ème terme du 2ème membre et pour cela on utilise les composantes du vecteur position relative de à l'instant «» dans la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement d'où

     «» «» dans laquelle

  • on reconnaît en correspondant à «», le vecteur vitesse relative de à l'instant «» car ce regroupement de termes s'obtient par dérivation temporelle de en considérant comme des vecteurs constants, ce qui est réalisé lorsque la dérivation temporelle de est faite dans le référentiel d'entraînement
    «» et
Référentiel d'entraînement en rotation quelconque par rapport au référentiel absolu avec représentation de la trajectoire absolue de l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement , étant l'origine du repère associé au référentiel absolu et l'axe fixe dans autour duquel tourne, les 3èmes vecteurs de bases cartésiennes des repères associés aux référentiels d'entraînement et absolu étant choisis à de même sens orientant ce dernier
  • pour évaluer correspondant à «», on explicite les dérivées temporelles évaluées dans «» en particularisant les bases cartésiennes des repères associés aux référentiels d'entraînement et absolu pour faciliter l'exposé ce dernier orientant l'axe , l'angle orienté noté étant tel que voir schéma ci-contre :
    dans le repère associé au référentiel absolu , le vecteur unitaire est dans le plan fixe avec projeté orthogonal de sur l'axe , c'est une fonction de lequel est fonction de d'où, par dérivation de fonction composée, «» dans lequel « le 1er facteur du 2ème membre correspondant à la dérivée d'un vecteur unitaire du plan fixe de par rapport à l’angle qu’il fait avec une direction fixe de ce plan c.-à-d. est égal au vecteur unitaire de ce plan fixe directement au vecteur unitaire dérivé » [11] soit «» d'où « » ou encore, la base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement étant orthonormée directe, « est égal à » [12] «» soit, avec ,
    «» ;
    dans le repère associé au référentiel absolu , le vecteur unitaire est dans le plan fixe , c'est une fonction de lequel est fonction de d'où, par dérivation de fonction composée, «» dans lequel « le 1er facteur du 2ème membre correspondant à la dérivée d'un vecteur unitaire du plan fixe de par rapport à l’angle qu’il fait avec une direction fixe de ce plan c.-à-d. est égal au vecteur unitaire de ce plan fixe directement au vecteur unitaire dérivé » [11] soit «» d'où « » ou encore, la base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement étant orthonormée directe, « est égal à » [12] « » soit, avec ,
    «» ;
    enfin, avec le choix particulier des vecteurs de base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement , le vecteur unitaire ne dépend pas de «» d'une part, d'autre part et étant colinéaires «», on peut donc écrire, dans le cadre de ce choix, «» soit, en généralisant à toute base cartésienne du repère associé au référentiel d'entraînement ,
    «» ;
    reportant, dans , les évaluations précédemment déterminées de on obtient « » en factorisant vectoriellement à gauche par [13] soit finalement
    «» ;

     enfin, reportant les expressions de et de dans la relation on obtient «» ou, le point ayant un mouvement circulaire absolu d'axe et de vecteur rotation instantanée [6], on a «» [7] soit, en regroupant les 1er et 3ème termes du 2ème membre de l'expression de «», «