Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

**Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 15
Chap. préc. :	Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force
Chap. suiv. :	Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.

Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Entrevue une 1^ère fois $($ uniquement dans le cadre newtonien $)$ dans le paragraphe « Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Il s'agit de la 2^ème grandeur cinétique introduite dans la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
Il s'agit de la 1^ère l'ayant été dans le chap. $7$ , plus précisément dans le paragraphe « vecteur quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse » du chapitre précité et traduisant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité »^[1].

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point

L'énergie cinétique d'un point matériel $M$ de masse $($ inerte $)$ ^[2] $m$ en mouvement dans un référentiel d'étude $ℛ$ est la grandeur scalaire notée $K_{M} (t)$ définie à partir

de la grandeur cinématique vectorielle représentant le mouvement dans le référentiel d'étude $ℛ$ à savoir le « vecteur vitesse du point dans ce référentiel ${\vec{V}}_{M} (t)$ » et
de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse $($ inerte $)$ ^[2] $m$ du point »,

la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant « $K_{M} (t) = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ » et

la déf celle dans le cadre de la cinétique relativiste^[3] « $K_{M} (t) = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ »^[4] dans laquelle $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ est le facteur de Lorentz ^[5] du point $M$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $ℛ$ à l'instant $t$ et $c$ la célérité de la lumière dans le vide^[6] ;

l'énergie cinétique est exprimée en joules

[

symbole

J

avec

1 J = 1 k g \times {(1 m \cdot s^{- 1})}^{2}]

.

Remarque : L'énergie cinétique d'un point matériel traduit une « réserve de mouvement inertiel en intensité »^[7]^,^[8].

Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : nous nous plaçons dans le cas où « $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≪ c$ » ou, en introduisant le vecteur vitesse relative « ${\vec{β}}_{M} (t) = \frac{{\vec{V}}_{M} (t)}{c}$ » de norme notée $β_{M} (t)$ , nous nous plaçons dans le cas d'une vitesse relative « $β_{M} (t) ≪ 1$ »^[9], le facteur de Lorentz^[5] $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - β_{M}^{2} (t)}}$ $= {[1 - β_{M}^{2} (t)]}^{- \frac{1}{2}}$ ayant pour D.L^[10]. à l'ordre deux^[11] en l'infiniment petit $β_{M}^{2} (t)$ ^[12] « $γ_{M} (t) ≃ 1 - \frac{1}{2} [- β_{M}^{2} (t)] + \frac{3}{8} {[- β_{M}^{2} (t)]}^{2} = 1 + \frac{1}{2} β_{M}^{2} (t) + \frac{3}{8} β_{M}^{4} (t)$ »^[13] d'où l'énergie cinétique relativiste du point $M$ « $K_{M, relat} (t) = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2} ≃$ $[\frac{1}{2} β_{M}^{2} (t) + \frac{3}{8} β_{M}^{4} (t)] m c^{2}$ » ;

Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : tout d'abord on vérifie bien, en tronquant le D.L^[10]. de $K_{M, relat} (t)$ à l'ordre un en $β_{M}^{2} (t)$ , que l'énergie cinétique relativiste s'identifie à l'énergie cinétique newtonienne car « $K_{M, relat} (t) ≃ [\frac{1}{2} β_{M}^{2} (t)] m c^{2} = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t) = K_{M, newt} (t)$ » ;

Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut, à l'ordre deux en $β_{M}^{2} (t)$ ,
Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut $K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t) ≃ [\frac{3}{8} β_{M}^{4} (t)] m c^{2}$ c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre deux en $β_{M}^{2} (t)$ soit, en rapportant cette différence à l'énergie cinétique relativiste, un écart relatif de $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{K_{M, relat} (t)}$ dont on souhaite déterminer le D.L^[10]. à l'ordre un en $β_{M}^{2} (t)$ ${$ comme le numérateur est un infiniment petit d'ordre deux en $β_{M}^{2} (t)$ il suffit de prendre le D.L^[10]. du dénominateur à l'ordre un en $β_{M}^{2} (t)$ soit $K_{M, relat} (t) ≃ K_{M, newt} (t)}$ ^[14] d'où la réécriture de $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{K_{M, relat} (t)}$ en $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{K_{M, newt} (t)} ≃ \frac{[\frac{3}{8} β_{M}^{4} (t)] m c^{2}}{[\frac{1}{2} β_{M}^{2} (t)] m c^{2}}$ soit finalement « $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{K_{M, relat} (t)} ≃ \frac{3}{4} β_{M}^{2} (t)$ » ;

Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : l'énergie cinétique relativiste étant égale à l'énergie cinétique newtonienne à $1 %$ près si $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{K_{M, relat} (t)} ≲ 1 0^{- 2}$ on en déduit la condition sur la vitesse relative $\frac{3}{4} β_{M}^{2} (t) ≲ 1 0^{- 2}$ ou $β_{M} (t) ≲ \frac{2}{\sqrt{3}} 1 0^{- 1} ≃ 0, 115$ soit finalement « $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ \frac{c}{10} ≃ 30 000 k m \cdot s^{- 1}$ »^[15].

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point

L'énergie cinétique d'un point matériel $M$ de masse $($ inerte $)$ ^[2] $m$ en mouvement dans un référentiel d'étude $ℛ$ est la grandeur scalaire notée $K_{M} (t)$ définie à partir

de la grandeur cinétique vectorielle représentant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité »^[16] dans le référentiel d'étude $ℛ$ à savoir le « vecteur quantité de mouvement du point dans ce référentiel ${\vec{p}}_{M} (t)$ »^[17] et
de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse $($ inerte $)$ ^[2] $m$ du point »,

la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant « $K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m}$ » et

la déf celle dans le cadre de la cinétique relativiste^[3] « $K_{M} (t) = \sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}} - m c^{2}$ »^[4] dans laquelle $c$ est la célérité de la lumière dans le vide^[6] ;

l'énergie cinétique est exprimée en joules

[

symbole

J

avec

1 J = 1 k g \times {(1 m \cdot s^{- 1})}^{2}]

.

Remarque : Bien sûr dans cette nouvelle définition l'énergie cinétique d'un point matériel traduit toujours une « réserve de mouvement inertiel en intensité »^[7]^,^[8].

Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : nous avons vu que « l'énergie cinétique du point $M$ sous la forme newtonienne $K_{M} (t) = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ est applicable si $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 1 c ≃ 30 000 k m \cdot s^{- 1}$ » et que « le vecteur quantité de mouvement du même point $M$ sous la forme newtonienne ${\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t)$ ^[18] l'est si $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 14 c ≃$ $42 000 k m \cdot s^{- 1}$ »^[15], aussi, en nous plaçant « dans les conditions les plus restrictives d'application de ces formules à savoir $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 1 c ≃ 30 000 k m \cdot s^{- 1}$ » et en reportant ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ dans $K_{M} (t) = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ nous en déduisons « $K_{M} (t) = \frac{1}{2} m {[\frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}]}^{2} = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m}$ » c'est-à-dire la 2^ème définition de l'énergie cinétique newtonienne ;

Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : en nous plaçant « dans les conditions où $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 1 c ≃ 30 000 k m \cdot s^{- 1}$ », les formules ${\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t)$ et $K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m}$ étant applicables, le report de la 1^ère dans la 2^nde donne « $K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m} = \frac{{[m {\vec{V}}_{M} (t)]}^{2}}{2 m} = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ » c'est-à-dire établissant la réciproque d'où l'équivalence des deux définitions.

Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : partant de la 1^ère définition de l'énergie cinétique relativiste $K_{M} (t) = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz^[5] du point $M$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $ℛ$ à l'instant $t$ et sachant que le vecteur quantité de mouvement relativiste du même point au même instant est ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ ^[19], on en déduit la 2^ème définition de l'énergie cinétique relativiste en exprimant $γ_{M} (t)$ en fonction de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ ${$ sans que n'intervienne $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}$ et en reportant cette expression dans 1^ère définition de $K_{M} (t)$ ;

Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : de $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ on tire $γ_{M}^{2} (t) [1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}] = 1$ ou encore $γ_{M}^{2} (t) =$ $1 + {[\frac{γ_{M} (t) {\vec{V}}_{M} (t)}{c}]}^{2}$ dans le 2^ème membre duquel on remplace $γ_{M} (t) {\vec{V}}_{M} (t)$ par $\frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ d'où $γ_{M}^{2} (t) = 1 + {[\frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m c}]}^{2}$ et finalement l'expression du facteur de Lorentz^[5] du point en fonction du vecteur quantité de mouvement de ce dernier^[20] « $γ_{M} (t) = \frac{\sqrt{m^{2} c^{2} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t)}}{m c}$ » que l'on reporte dans $K_{M} (t) = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ $\Rightarrow$ « $K_{M} (t) = [\frac{\sqrt{m^{2} c^{2} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t)}}{m c} - 1] m c^{2} = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2}$ » c'est-à-dire la 2^ème définition de l'énergie cinétique relativiste ;

Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : la réciproque s'établit sans souci majeur à partir de $K_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2}$ et du lien entre $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ et $γ_{M} (t)$ obtenu précédemment à savoir $γ_{M}^{2} (t) = 1 + {[\frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m c}]}^{2}$ dont on tire ${\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} = m^{2} c^{4} [γ_{M}^{2} (t) - 1]$ que l'on reporte dans l'expression de $K_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2}$ soit « $K_{M} (t)$ $= \sqrt{m^{2} c^{4} + m^{2} c^{4} [γ_{M}^{2} (t) - 1]} - m c^{2} = m c^{2} γ_{M} (t) - m c^{2}$ » c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie cinétique relativiste d'où l'équivalence des deux définitions.

Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

La puissance cinétique d'un point matériel $M$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ est, dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste^[3], la dérivée temporelle de l'énergie cinétique du point $M$ au même instant $t$ dans le même référentiel $ℛ$ c'est-à-dire $\frac{d K_{M}}{d t} (t)$ $[$ comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance cinétique nous utiliserons la notation compacte ${\dot{K}}_{M} (t)]$ .

Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique newtonienne du point matériel $M$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ , expressions dont la validité présuppose que la vitesse du point soit telle que $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 1 c ≃ 30 000 k m \cdot s^{- 1}$ , nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique newtonienne du point $M$ à l'instant $t$ dans ce référentiel $ℛ$ ^[21] :

$K_{M} (t) = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ $\Rightarrow$ $\frac{d K_{M}}{d t} (t) = \frac{1}{2} m [2 {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)] = m {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ soit encore « ${\dot{K}}_{M} (t) = {\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ »^[18]
$K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m}$ $\Rightarrow$ $\frac{d K_{M}}{d t} (t) = \frac{1}{2 m} [2 {\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)] = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m} \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ soit encore « ${\dot{K}}_{M} (t) = {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ »^[18].

Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique relativiste^[3] du point matériel $M$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ , nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique relativiste^[3] du point $M$ à l'instant $t$ dans ce référentiel $ℛ$ ^[21] :

$K_{M} (t) = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ $\Rightarrow$ $\frac{d K_{M}}{d t} (t) = \frac{d γ_{M}}{d t} (t) m c^{2}$ avec $\frac{d γ_{M}}{d t} (t) = - \frac{1}{2} \frac{\frac{- 2 {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)}{c^{2}}}{{(1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{γ_{M}^{3} (t)}{c^{2}} {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ soit $\frac{d K_{M}}{d t} (t) =$ $γ_{M}^{2} (t) [γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)] \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ ou encore « ${\dot{K}}_{M} (t) = γ_{M}^{2} (t) {\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)}{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}$ »^[20]
$K_{M} (t) = \sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}} - m c^{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{d K_{M}}{d t} (t) = \frac{1}{2} \frac{2 {\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t) c^{2}}{\sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}}} = [\frac{{\vec{p}}_{M} (t) c^{2}}{\sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}}}] \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ ou, en faisant intervenir la vitesse dans le 1^er facteur de la multiplication scalaire, $\frac{d K_{M}}{d t} (t) = {\frac{γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t) c^{2}}{γ_{M} (t) m c^{2}}} \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ ^[20]^,^[22] soit finalement « ${\dot{K}}_{M} (t) = {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ »^[23].

Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d.

Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel

De façon symbolique tout théorème de la dynamique du point matériel doit s’exprimer selon l'énoncé suivant

« dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle d’une des grandeurs cinétiques d’un point matériel est égale à la somme des causes susceptibles de faire varier cette grandeur cinétique »^[24] ;

dans le cas de la r.f.d^[25]. la grandeur cinétique est le vecteur quantité de mouvement du point $M$ soit ${\vec{p}}_{M} (t)$ ^[17] et les causes susceptibles de le faire varier sont les forces appliquées sur le point $M$ à savoir $\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}$ , la r.f.d^[25]. s’énonçant alors dans un référentiel galiléen selon « $\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} = \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ »^[26].

Expression énergétique de la r.f.d.

L’expression énergétique de la r.f.d^[25]. nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point $M$ , c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point $M$ » et pour cela on utilisera la relation commune aux cadres newtonien et relativiste de la puissance cinétique du point $M$ à savoir « ${\dot{K}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t) \cdot {\vec{V}}_{M} (t)$ »^[23] ;

on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d^[25]. écrite sous la forme applicable en dynamique newtonienne et relativiste à savoir $\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} = \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ par ${\vec{V}}_{M} (t)$ pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point $M$ soit $[\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}] \cdot {\vec{V}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t) \cdot {\vec{V}}_{M} (t)$ ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle^[27] dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite, $\sum_{k} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} \cdot {\vec{V}}_{M} (t)] = {\dot{K}}_{M} (t)$ ;

dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les forces appliquées au point $M$ ^[28] et on en déduit que « les causes susceptibles de faire varier l’énergie cinétique d’un point sont les puissances développées par les forces qui lui sont appliquées $𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}]$ » ;

l’expression énergétique de la r.f.d^[25]. dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste s’écrit dans un référentiel galiléen selon « $\sum_{k} 𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}] = {\dot{K}}_{M} (t)$ ».

Énoncé du théorème de la puissance cinétique

Théorème de la puissance cinétique

Dans un référentiel galiléen

ℛ_{gal}

, la puissance cinétique d’un point matériel

M

à l'instant

t

est égale à la somme des puissances des forces appliquées au point

M

au même instant

t

soit «

\sum_{k} 𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = {\dot{K}}_{M} (t)

» ;

ce théorème^[29] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la puissance cinétique du point $M$ à l'instant $t$ dans $ℛ_{gal}$ s'évaluant par dérivation temporelle de son énergie cinétique $K_{M} (t)$ au même instant et dans le même référentiel^[21] avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes

en dynamique newtonienne « $K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m} = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ » et
en dynamique relativiste « $K_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2} = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ » où $γ_{M} (t) =$ $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ est le facteur de Lorentz^[5] de $M$ à l'instant $t$ dans $ℛ_{gal}$ .

Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d.

Pour démontrer le théorème de la puissance cinétique il suffit de partir de la forme de la r.f.d^[25]. écrite applicable en dynamiques newtonienne et relativiste à savoir « $\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} = \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ » puis de multiplier scalairement chaque membre de la r.f.d^[25]. par ${\vec{V}}_{M} (t)$ et enfin de reconnaître, dans chaque membre, les grandeurs adaptées $($ revoir le paragraphe « expression énergétique de la r.f.d. » plus haut dans ce chapitre $)$ .

Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique

Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale »

Une « forme locale de la dynamique » est un lien, écrit à un instant $t$ , entre la variation temporelle d'une grandeur cinétique et la cause ayant engendré cette variation ;

on connaît pour l'instant deux « formes locales de la dynamique »

$◯ 1$ la « r.f.d^[25]. » qui lie la variation temporelle du vecteur quantité de mouvement du point^[17] et les forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son vecteur quantité de mouvement et
$◯ 2$ le « théorème de la puissance cinétique » qui lie la variation temporelle de l'énergie cinétique du point^[30] et la puissance des forces qui lui sont appliquées^[28], causes de variation de son énergie cinétique ;

leur caractère local provient du fait qu'elles sont écrites pour une date précise $($ pouvant être quelconque $)$ $\Rightarrow$ leur application conduit à une équation différentielle du 2^ème ordre en la position du point.

En intégrant une fois par rapport au temps entre deux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ une forme locale de la dynamique, on aboutit à la « forme intégrée de la dynamique »^[31] associée à cette forme locale $($ écrite sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}])$ ;

on peut donc définir pour l'instant deux « formes intégrées de la dynamique » dont la plus connue $($ et la seule inscrite dans le programme de physique de P.C.S.I. $)$ est

celle associée à la forme locale $◯ 2$ « théorème de la puissance cinétique » donnant la forme intégrée $◯ 2$ « théorème de l'énergie cinétique » alors que
celle associée à la forme locale $◯ 1$ « r.f.d^[25]. » qui donne la forme intégrée $◯ 1$ « théorème de l'impulsion »^[32] est hors programme de physique de P.C.S.I^[33]..

Notion d’intégrale 1^ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique

Si on écrit la forme intégrée entre un instant initial $t_{0}$ et un instant $t$ quelconque, on obtient une équation différentielle du 1^er ordre en la position du point $M$ appelée « intégrale 1^ère du mouvement du point $M$ » ;

ainsi l'intégrale 1^ère du mouvement du point $M$ associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »^[34] n'est rien d'autre que l'application du « théorème de l'énergie cinétique » entre un instant initial $t_{0}$ et un instant $t$ quelconque^[35] $\dots$

Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »

Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué au point matériel $M$ à l'instant $t$ dans un référentiel galiléen « $\sum_{k} 𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = {\dot{K}}_{M} (t)$ »^[34],

on multiplie de part et d'autre par $d t$ d’où ${\sum_{k} 𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)]} d t = {\dot{K}}_{M} (t) d t$ ou « $\sum_{k} {𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] d t} = d K_{M}$ » qui s’écrit encore, en reconnaissant la définition du travail élémentaire de force dans chaque terme entre accolades du membre de gauche^[36], « $\sum_{k} δ W [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = d K_{M}$ » puis
on intègre sur $[t_{1}, t_{2}]$ d'où $\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\sum_{k} δ W [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)]} = K_{M} (t_{2}) - K_{M} (t_{1})$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales « $\sum_{k} \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ W [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] =$ $K_{M} (t_{2}) - K_{M} (t_{1})$ » soit enfin, le travail d'une force sur un intervalle de temps de durée finie étant la somme^[37] des travaux élémentaires de la force développés par chaque durée élémentaire de l'intervalle de temps, « $\sum_{k} W_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}] = K_{M} (t_{2}) - K_{M} (t_{1})$ » ;

ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation de l'énergie cinétique d'un point sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ ^[38] » sont les « travaux développés par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

Énoncé du « théorème de l’énergie cinétique »

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire

Dans un référentiel galiléen

ℛ_{gal}

, la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un point matériel

M

à l'instant

t

est égale à la somme des travaux élémentaires des forces appliquées au point

M

au même instant

t

^[36] soit «

\sum_{k} δ W [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = d K_{M}

» ;

ce théorème^[39] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation élémentaire de l'énergie cinétique du point $M$ à l'instant $t$ dans $ℛ_{gal}$ s'évaluant par différenciation de son énergie cinétique $K_{M} (t)$ au même instant et dans le même référentiel^[21] avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes

en dynamique newtonienne « $K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m} = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ » et
en dynamique relativiste « $K_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2} = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ » où $γ_{M} (t) =$ $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ est le facteur de Lorentz^[5] de $M$ à l'instant $t$ dans $ℛ_{gal}$ .

Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »^[34] bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de l'énergie cinétique évaluée à partir de l'instant $t$ est sa variation sur l'intervalle de temps $[t, t + d t]$ et que le travail élémentaire d'une force appliquée est aussi son travail sur le même intervalle de temps.

Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie

Théorème de l'énergie cinétique sous un intervalle de durée finie

Dans un référentiel galiléen

ℛ_{gal}

, la variation de l'énergie cinétique d’un point matériel

M

sur l'intervalle

[t_{1}, t_{2}]

est égale à la somme des travaux des forces appliquées au point

M

sur ce même intervalle

[t_{1}, t_{2}]

soit «

\sum_{k} W_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}] = Δ K_{M}

» où «

Δ K_{M} = K_{M} (t_{2}) - K_{M} (t_{1})

» ;

ce théorème^[39] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de l'énergie cinétique du point $M$ sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ dans $ℛ_{gal}$ s'évaluant par différence d'énergie cinétique $K_{M}$ aux instants extrêmes et dans le même référentiel^[21] avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes

en dynamique newtonienne « $K_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M}^{2} (t)}{2 m} = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t)$ » et
en dynamique relativiste « $K_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2} = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ » où $γ_{M} (t) =$ $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ est le facteur de Lorentz^[5] de $M$ à l'instant $t$ dans $ℛ_{gal}$ .

Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique

Pour démontrer le théorème de l'énergie cinétique il suffit de partir du théorème de la puissance cinétique^[34] $($ applicable en dynamiques newtonienne et relativiste $)$ à savoir « $\sum_{k} 𝒫 [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] =$ $\frac{d K_{M}}{d t} (t)$ » puis de multiplier chaque membre de ce théorème par $d t$ ce qui permet d'obtenir le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire « $\sum_{k} δ W [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = d K_{M}$ »^[40] puis

d'intégrer chaque membre sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ pour obtenir le théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie « $\sum_{k} W_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}] = Δ K_{M}$ »^[41] $($ revoir le paragraphe « recherche de la forme intégrée associée à la forme locale “théorème de la puissance cinétique” » plus haut dans ce chapitre $)$ .

Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique

Pour appliquer le théorème de l’énergie cinétique^[41], il faut bien sûr que le référentiel soit galiléen puis,

après avoir défini le système $($ c'est-à-dire le point matériel étudié $)$ et précisé les forces appliquées sur un schéma,

on indique nettement l’état initial ainsi que l’état final d’application du théorème de l’énergie cinétique ;

on doit penser au théorème de l’énergie cinétique quand on cherche des liens entre vitesses et positions sans référence aux dates …

Intégrale 1^ère du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque

Si le théorème de l'énergie cinétique^[41] est appliqué à un point matériel $M$ dans un référentiel galiléen $ℛ_{gal}$ entre un « état initial d'instant $t_{0}$ » et un « état final d'instant $t$ quelconque », on obtient une « équation différentielle du 1^er ordre en $\vec{O M} (t)$ »^[42] appelée « intégrale 1^ère du mouvement du point »^[43]^,^[44] ;

en dynamique newtonienne elle peut s'écrire « $\frac{1}{2} m {\vec{V}}_{M}^{2} (t) = \frac{1}{2} m {\vec{V}}_{0}^{2} + \sum_{k} W_{sur [t_{0}, t]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}]$ » où ${\vec{V}}_{0} = {\vec{V}}_{M} (t_{0})$ et
en dynamique relativiste elle peut s'écrire « $[γ_{M} (t) - 1] m c^{2} = [γ_{M, 0} - 1] m c^{2} + \sum_{k} W_{sur [t_{0}, t]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}]$ » où $γ_{M, 0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{0}^{2}}{c^{2}}}}$ est le facteur de Lorentz^[5] de l'état initial dans lequel ${\vec{V}}_{0} = {\vec{V}}_{M} (t_{0})$ et $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ celui de l'état quelconque, intégrale 1^ère du mouvement du point qui s'écrit, après simplification « $γ_{M} (t) = γ_{M, 0} + \frac{\sum_{k} W_{sur [t_{0}, t]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}]}{m c^{2}}$ ».

Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste on utilise le plus souvent la 2^ème définition équivalente de l'énergie cinétique du point^[45] et par suite
Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste l'intégrale 1^ère du mouvement du point s'écrit « $\sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} - m c^{2} = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{0}^{2} c^{2}} - m c^{2} + \sum_{k} W_{sur [t_{0}, t]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}]$ » avec ${\vec{p}}_{0} = {\vec{p}}_{M} (t_{0})$ ou, après simplification évidente, « $\sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2}} = \sqrt{m^{2} c^{4} + {\vec{p}}_{0}^{2} c^{2}} + \sum_{k} W_{sur [t_{0}, t]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}]$ ».

En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. »

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. »

Partant de la r.f.d^[25]. appliquée dans un référentiel galiléen $ℛ_{gal}$ au point matériel $M$ à l'instant $t$ sous la forme valide en dynamiques newtonienne et relativiste « $\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t) =$ $\frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ »^[26],

on multiplie de part et d'autre par $d t$ d’où $[\sum_{k} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] d t = \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t) d t$ ou « $\sum_{k} {[{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] d t} = d {\vec{p}}_{M}$ » dans laquelle « chaque terme entre accolades du membre de gauche $[{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] d t$ définit une grandeur élémentaire de force, appelée impulsion élémentaire de force et notée $δ \vec{I} [\vec{F}]$ »^[46] ${$ voir le paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus loin dans ce chapitre $}$ , soit « $\sum_{k} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = d {\vec{p}}_{M}$ » puis
on intègre sur $[t_{1}, t_{2}]$ d'où $\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\sum_{k} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)]} = {\vec{p}}_{M} (t_{2}) - {\vec{p}}_{M} (t_{1})$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales « $\sum_{k} \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] =$ ${\vec{p}}_{M} (t_{2}) - {\vec{p}}_{M} (t_{1})$ » dans laquelle « chaque terme de la somme discrète du membre de gauche $\int_{t_{1}}^{t_{2}} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] =$ $\int_{t_{1}}^{t_{2}} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] d t$ définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps $[t_{1}, t_{2}]$ appelée impulsion de force sur cet intervalle de temps $[t_{1}, t_{2}]$ et notée ${\vec{I}}_{sur [t_{1}, t_{2}]} [\vec{F}]$ » ${$ voir le paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre $}$ , permettant de réécrire la relation selon « $\sum_{k} {\vec{I}}_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})}] = {\vec{p}}_{M} (t_{2}) - {\vec{p}}_{M} (t_{1})$ » ;

ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation du vecteur quantité de mouvement d'un point^[17] sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ ^[47] » sont les « impulsions développées par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle^[48] », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

Notion d'impulsion de force

Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel

     L'impulsion élémentaire de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ ^[49] que le système $(Σ)$ exerce sur le point $M$ pendant la durée élémentaire $d t$ à partir de l'instant $t$
          L'impulsion élémentaire de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ est notée usuellement « $δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)]$ »^[46] et
          L'impulsion élémentaire de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ est définie selon « $δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)] = {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ », « l'unité d'impulsion étant le $N \cdot s$ ou encore le $k g \cdot m \cdot s^{- 1}$ »^[50].

Propriété : « Si la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ est de norme finie », « son impulsion élémentaire $δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)] \to \vec{0}$ quand $d t \to 0$ » d'où la propriété suivante

Propriété : « à l'ordre 0 en $d t$ , les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles »^[51].

Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie

     L'impulsion de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ ^[49] que le système $(Σ)$ exerce sur le point $M$ pendant la durée de l'intervalle de temps $[t_{1}, t_{2}]$
          L'impulsion de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ est notée usuellement « ${\vec{I}}_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)]$ » ${$ ou, avec $M_{1}$ et $M_{2}$ les positions de $M$ aux instants respectifs $t_{1}$ et $t_{2}$ sur sa trajectoire $(Γ)$ ,
          L'impulsion de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ est notée usuellement « ${\vec{I}}_{M_{1} \overset{(Γ)}{\to} M_{2}} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)]$ » $}$ et
          L'impulsion de la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ est définie selon « ${\vec{I}}_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ »^[52] ${$ ou « ${\vec{I}}_{M_{1} \overset{(Γ)}{\to} M_{2}} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)] = \int_{M_{1} \overset{(Γ)}{\to} M_{2}} {\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ »^[53]^,^[54] $}$ .

Propriété : « Si la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ reste de norme finie sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ » $[$ la force pouvant y être continue ou discontinue de 1^ère espèce^[55] $]$ ,
Propriété : « Si la force ${\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)$ reste de norme finie sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ » « son impulsion sur cet intervalle ${\vec{I}}_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ)} (t)]$ est également de norme finie^[56] ».

Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire

     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ avec un support solide $(Σ)$ , on dit que $(Σ)$ exerce sur $M$ une force « de collision » ${\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ s'identifiant à
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ $≻$ une force « nulle hors durée $δ t$ de la collision » $($ durée toujours très courte^[57] $)$ et
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ $≻$ une force « de direction fixée et de norme très grande pendant la très courte durée $δ t$ de la collision » ;

     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile^[58] ici étant « l'impulsion de la force de collision ${\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) = F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) \vec{u}$ ^[59]
           Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile ici étant « l'impulsion de la force de collision que $(Σ)$ exerce sur $M$ pendant la durée de la collision » définie selon
           Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile ici étant « ${\vec{I}}_{sur [t_{0}, t_{0} + δ t]} [{\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)] = \int_{t_{0}}^{t_{0} + δ t} {\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) d t$
           Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile ici étant « ${\vec{I}}_{sur [t_{0}, t_{0} + δ t]} [{\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)]$ $= [\int_{t_{0}}^{t_{0} + δ t} F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) d t] \vec{u}$ » et notée plus simplement
           Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile ici étant « ${\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ »^[60] $= I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) \vec{u}$ avec
                Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile ici étant « ${\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ » $=$ $I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t_{0} + δ t} F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ c'est-à-dire égale à
                 Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la grandeur utile ici étant « ${\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ » $=$ l'aire de la surface sous le pic du graphe de $F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ en fonction de $t$ ;

     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ la durée $δ t$ étant très petite simultanément à la norme de $F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ très grande pendant la collision et
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ compte-tenu de la signification géométrique de $I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ ^[61],
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modéliser la force réelle de collision « ${\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) = F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) \vec{u}$ »
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modéliser en utilisant le « pic de Dirac^[62] d'impulsion unité centré à l'instant $t_{0}$ à savoir $δ (t - t_{0})$ »^[63] conduisant à la
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modélisation de la force de collision en « ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t) = F_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t) \vec{u}$ » avec
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modélisation de la force de collision en « ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ « $F_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t) = I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) δ (t - t_{0})$ » $\Rightarrow$
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modélisation en utilisant la propriété du pic de Dirac^[62] d'impulsion unité « $\int_{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}} δ (t - t_{0}) d t = 1$ »^[64]^,^[63] on vérifie aisément
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modélisation « $\int_{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}} F_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t) d t = \int_{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}} I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t$ ^[64]
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modélisation « $\int_{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}} F_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ $= I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) [\int_{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}} δ (t - t_{0}) d t]$ ^[64]
     Lorsqu'un point $M$ subit une collision à un instant $t_{0}$ on peut modélisation « $\int_{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}} F_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ $= I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ » ce qui est en accord avec la signification de $I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ .

Conclusion : « une force de collision étant modélisée en utilisant un pic de Dirac^[62] d'impulsion unité^[63], est discontinue de 2^ème espèce^[65]^,^[66] »,

     Conclusion : « son impulsion^[67] sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision est une constante $I_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) \neq 0$ »,
           Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision c'est aussi son impulsion sur la durée élémentaire $δ t$ de collision^[68],
           Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision c'est aussi valeur non nulle à l'ordre zéro en l'infiniment petit $δ t$ ;

Conclusion : contrairement aux forces hors collision $($ continues ou discontinues de 1^ère espèce^[55] $)$ dont les impulsions élémentaires sont nulles à l'ordre zéro en l'infiniment petit de durée élémentaire,
Conclusion : contrairement les forces de collisions $($ discontinues de 2^ème espèce^[65]^,^[66] en l'instant de collision $)$ sont telles que leur impulsion sur la durée élémentaire $($ de collision $)$ ^[68] est non nulle à l'ordre zéro en cette durée élémentaire et ce sont les seules.

Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée)

Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire

Dans un référentiel galiléen $ℛ_{gal}$ , la variation élémentaire de quantité de mouvement d’un point matériel $M$ à l'instant $t$ ^[17] est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces appliquées au point $M$ au même instant $t$ ^[69] et pendant la même durée élémentaire $δ t$ ^[70] soit « $\sum_{k} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = d {\vec{p}}_{M}$ » ;

ce théorème^[71] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation élémentaire de la quantité de mouvement du point $M$ à l'instant $t$ dans $ℛ_{gal}$ ^[17] s'évaluant par différenciation de sa quantité de mouvement ${\vec{p}}_{M} (t)$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante dans $ℛ_{gal}$

en dynamique newtonienne « ${\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t)$ » et
en dynamique relativiste « ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ » avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz^[5] de $M$ à l'instant $t$ .

     Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d^[25]. » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car
     Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire la variation élémentaire de la quantité de mouvement évaluée à partir de l'instant $t$ ^[17] est sa variation sur l'intervalle de temps $[t, t + d t]$ et
     Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire l'impulsion élémentaire d'une force appliquée^[70] est aussi son impulsion sur le même intervalle de temps.

Application en absence de forces de collision et conséquence

     En absence de forces de collision^[72], toutes les forces appliquées à l'instant $t$ au point $M$ sont continues ou discontinues de 1^ère espèce^[55] et
          En absence de forces de collision, leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire $δ t$ considérée à partir de l'instant $t$ d'où
          En absence de forces de collision, « $\sum_{k} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] ≃ 0$ à l'ordre zéro en $δ t$ » $($ valable de dynamique newtonienne ou relativiste $)$ et
          En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire^[73] $\Rightarrow$ « $d {\vec{p}}_{M} ≃ 0$ à l'ordre zéro en $δ t$ » $($ en dynamique newtonienne ou relativiste $)$ soit
                En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ « ${\vec{p}}_{M} (t + δ t) ≃ {\vec{p}}_{M} (t)$ à l'ordre zéro en $δ t$ »^[74] c'est-à-dire finalement
                En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ la continuité de la quantité de mouvement ${\vec{p}}_{M} (t)$ pour tout $t$ hors collision^[74]^,^[75],
                En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ la continuité de la vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ en tout instant hors collision^[74]^,^[76] et par suite
                En absence de forces de collision, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ la continuité de la position $M$ pour tout $t$ hors collision^[74].

Application en présence d'une force de collision et conséquence

     En présence d'une force de collision^[72] ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ discontinue de 2^ème espèce à l'instant $t_{0}$ ^[65]^,^[66]
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ dont l'impulsion sur la durée élémentaire $δ t$ de collision est « ${\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ non nulle à l'ordre zéro en la durée élémentaire $δ t$ »
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ et, sachant que les autres forces appliquées à l'instant $t_{0}$ au point $M$ étant continues ou discontinues de 1^ère espèce^[55] en cet instant,
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ et, sachant que leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire $δ t$ à partir de l'instant $t_{0}$ ,
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ on en déduit que la somme des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées y compris la force de collision^[70] est égale à
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ on en déduit que « ${\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ non nulle à l'ordre zéro en $δ t$ » $($ valable de dynamique newtonienne ou relativiste $)$ , soit
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ on en déduit que « $\sum_{k} δ \vec{I} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] ≃ {\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ à l'ordre zéro en $δ t$ »^[74] et par application du
           En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire^[73] $\Rightarrow$ « $d {\vec{p}}_{M} ≃ {\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ à l'ordre zéro en $δ t$ »^[74] soit encore
                 En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ « ${\vec{p}}_{M} (t + δ t) - {\vec{p}}_{M} (t) ≃ {\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ à l'ordre zéro en $δ t$ »^[74] c'est-à-dire
                 En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ une discontinuité de la quantité de mouvement ${\vec{p}}_{M} (t)$ à l'instant de collision^[74]^,^[77]
                 En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ plus précisément « ${\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) = {\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ »^[74] ainsi que
                 En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ la discontinuité de 1^ère espèce de la vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ à l'instant de collision^[74]^,^[78] et
                 En présence d'une force de collision ${\vec{F}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t)$ théorème de l'impulsion sous forme élémentaire $\Rightarrow$ la continuité de la position $M$ à l'instant de collision^[74].

Théorème de l'impulsion sur une durée finie

Dans un référentiel galiléen

ℛ_{gal}

, la variation de quantité de mouvement d’un point matériel

M

^[17] sur l'intervalle

[t_{1}, t_{2}]

est égale à la somme des impulsions des forces appliquées au point

M

^[79] sur ce même intervalle

[t_{1}, t_{2}]

soit «

\sum_{k} {\vec{I}}_{sur [t_{1}, t_{2}]} [{\vec{F}}_{M \leftarrow (Σ_{k})} (t)] = Δ {\vec{p}}_{M}

» où «

Δ {\vec{p}}_{M} = {\vec{p}}_{M} (t_{2}) - {\vec{p}}_{M} (t_{1})

» ;

ce théorème^[71] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de la quantité de mouvement du point $M$ sur l'intervalle $[t_{1}, t_{2}]$ dans $ℛ_{gal}$ ^[17] s'évaluant par différence de sa quantité de mouvement ${\vec{p}}_{M} (t)$ aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante

en dynamique newtonienne « ${\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t)$ » et
en dynamique relativiste « ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ » avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz^[5] de $M$ à l'instant $t$ .

Discontinuité de la puissance d'une force de collision

Ayant modélisé la force de collision que $(Σ)$ exerce sur $M$ à l'instant $t_{0}$ de collision selon ${\vec{F}}_{collision M \leftarrow (Σ)} (t) = {\vec{I}}_{collision M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) δ (t - t_{0})$ ^[72] c'est-à-dire
Ayant modélisé la force de collision que $(Σ)$ exerce sur $M$ à l'instant $t_{0}$ de collision selon une force discontinue de 2^ème espèce à l'instant $t_{0}$ ^[65] et

Ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point $M$ ^[73], la discontinuité de 1^ère espèce^[55] de la quantité de mouvement de $M$ à l'instant $t_{0}$ ^[80] et par suite
Ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point $M$ , la discontinuité de 1^ère celle de la vitesse de $M$ au même instant $t_{0}$ ^[80],

on observe, à partir de la définition de la puissance de la force de collision « $𝒫 [{\vec{F}}_{collision M \leftarrow (Σ)} (t)] = {\vec{F}}_{collision M \leftarrow (Σ)} (t) \cdot {\vec{V}}_{M} (t)$ » ou encore, en supposant que la direction et le sens de la force de collision est identique à la direction et le sens du mouvement du point, « $𝒫 [{\vec{F}}_{collision M \leftarrow (Σ)} (t)] = I_{collision M \leftarrow (Σ)} (t_{0}) δ (t - t_{0}) V_{M} (t)$ », la propriété suivante

on observe la puissance de la force de collision est discontinue de 2^ème espèce^[65] car elle est le produit d'un facteur discontinu de 2^ème espèce^[65] et d'un facteur discontinu de 1^ère espèce^[55].

Notes et références

↑ On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour le vecteur quantité de mouvement car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 On ajoute le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
   bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont $($ à l'heure actuelle $)$ des mesures identiques à $1 0^{- 13}$ près $($ on a en effet vérifié à $1 0^{- 13}$ près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à $1 0^{- 13}$ près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à $1$ et d'identifier les deux masses $)$ ;
   des mesures plus poussées sont prévues $[$ lancement en avril $2016$ du satellite français « Microscope » $($ acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence $)$ pour une mission financée et pilotée par le CNES $]$ dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à $1 0^{- 15}$ près $[$ en décembre $2017$ de premiers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins $2 1 0^{- 14}$ près $\dots]$ ;
   l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en $1916$ $[$ Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en 1905, la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique $] \dots$
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 et ^3,4 La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant dans le paragraphe « approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique » du chap. $24$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il semble utile la connaître.
↑ ^4,0 et ^4,1
Dans le paragraphe « Applications actuelles » du chap.16 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » on a introduit la notion d'énergie de masse «E0= mc2» d'un point matériel M ainsi que celle d'énergie totale de ce point matériel «EM(t)=E0+KM(t)» dans le paragraphe « microscopie électronique » du même chapitre de la même leçon, on en déduit
- le lien entre l'énergie totale et la vitesse du point matériel $M$ à savoir « $E_{M} (t) = E^{0} + [γ_{M} (t) - 1] E^{0}$ » soit finalement « $E_{M} (t) = γ_{M} (t) E^{0}$ » ainsi que
- le lien entre l'énergie totale et la quantité de mouvement de $M$ à savoir « $E_{M} (t) = E^{0} + [\sqrt{{(E^{0})}^{2} + p_{M}^{2} (t) c^{2}} - E^{0}]$ » d'où « $E_{M} (t) = \sqrt{{(E^{0})}^{2} + p_{M}^{2} (t) c^{2}}$ » ;
dans les deux approches on constate que la substitution de l'énergie cinétique KM(t) du point matériel M par son énergie totale EM(t) simplifie leur relation avec la vitesse ‖V→M(t)‖ ou la quantité de mouvement ‖p→M(t)‖ [de plus ce n'est pas qu'un simple artifice mathématique mais aussi une réalité physique dans la mesure où de la masse (par son énergie de masse) peut être transformée en énergie cinétique et inversement].
↑ ^5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 et ^5,09 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $[$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier $]$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
   Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $[$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886]$ .
   Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\dots$
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ ^6,0 et ^6,1 Valeur maximale indépassable de la vitesse de tout point matériel par rapport à n'importe quel référentiel d'étude $($ dans le cadre de la cinématique relativiste $)$ .
↑ ^7,0 et ^7,1 On parle encore de « réserve de mouvement inertiel » pour l'énergie cinétique car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au carré scalaire du vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant uniquement en intensité car il s'agit d'une grandeur scalaire.
↑ ^8,0 et ^8,1 Bien sûr ce n'est pas la seule « réserve de mouvement inertiel en intensité » possible à introduire $[$ on aurait par exemple aussi $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖]$ mais c'est celle qui aura une utilisation importante dans la suite de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ $β_{M} (t)$ est donc un infiniment petit, voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 Développement Limité.
↑ On choisit l'ordre deux car l'ordre un ne permettrait que de retrouver la forme newtonienne de l'énergie cinétique à partir de sa forme relativiste alors que le but recherché est de déterminer la différence entre les deux pour écrire à quelle condition cette différence est inférieure à $1 %$ de l'énergie cinétique $\dots$
↑ Choisi comme infiniment petit d'ordre un.
↑ Voir le paragraphe « D.L. d'ordre 2 de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où l'on trouve le D.L. à l'ordre deux de $(1 + x)^{n}, n \in ℚ^{*}$ plus exactement ici $n = - \frac{1}{2}$ soit « $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε + \frac{n (n - 1)}{2} ε^{2}$ ».
↑ En effet on cherche le D.L. d'un quotient dont le numérateur $K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)$ est un infiniment petit d'ordre deux et dont le D.L. à l'ordre deux du dénominateur $K_{M, relat} (t)$ a pour terme prépondérant un infiniment petit ordre un ou, ce qui est équivalent après simplification haut et bas par un infiniment petit d'ordre un commun $α β_{M}^{2} (t)$ ,
En effet on cherche le D.L. d'un quotient dont le nouveau numérateur $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ est un infiniment petit d'ordre un et dont le D.L. à l'ordre un du nouveau dénominateur $\frac{K_{M, relat} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ a pour terme prépondérant un ordre zéro ;
or nous avons vu dans le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre p < n » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » la propriété suivante « pour déterminer le D.L. à l'ordre un d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre zéro » et comme le dénominateur ici est $\frac{K_{M, relat} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ , il suffit de se limiter au terme prépondérant d'ordre zéro $\frac{K_{M, newt} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ .
↑ ^15,0 et ^15,1 La condition pour utiliser une forme newtonienne de l'énergie cinétique est donc plus contraignante que celle pour une forme newtonienne de vecteur quantité de mouvement qui est $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 14 c ≃ 42 000 k m \cdot s^{- 1}$ $[$ revoir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .
↑ On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour une grandeur dépendant non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie, la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.
↑ ^17,0 ^17,1 ^17,2 ^17,3 ^17,4 ^17,5 ^17,6 ^17,7 et ^17,8 Voir les paragraphes « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne » et « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^18,0 ^18,1 et ^18,2 On rappelle l'expression newtonienne du vecteur quantité de mouvement du point $M$ à l'instant $t$ , « ${\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t) \Leftrightarrow {\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ ».
↑ Voir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^20,0 ^20,1 et ^20,2 On rappelle l'expression relativiste du vecteur quantité de mouvement du point $M$ à l'instant $t$ , « ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} m {\vec{V}}_{M} (t)$ », voir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^21,0 ^21,1 ^21,2 ^21,3 et ^21,4 Ces expressions de puissance cinétique doivent être retrouvées à partir de celles de l'énergie cinétique lesquelles sont à retenir.
↑ De $K_{M} (t) = \sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}} - m c^{2} = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ on déduit $\sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}} = γ_{M} (t) m c^{2}$ $[$ c'est d'ailleurs $E_{M} (t)$ « énergie totale du point matériel » définie comme la somme de son énergie cinétique $K_{M} (t)$ et de son énergie de masse $E^{0} = m c^{2}$ , notions respectivement introduites dans le paragraphe « Applications actuelles » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » pour l'énergie de masse « $E^{0} =$ $m c^{2}$ » d'un point matériel $M$ et dans le paragraphe « microscopie électronique » du même chapitre de la même leçon pour l'énergie totale de ce point matériel « $E_{M} (t) = E^{0} + K_{M} (t)$ » $]$ .
↑ ^23,0 et ^23,1 L'expression de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude faisant intervenir $\frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ et ${\vec{V}}_{M} (t)$ est la même dans la cinétique relativiste ou newtonienne, « avec ${\dot{K}}_{(M, newt)} (t) = {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ on a ${\dot{K}}_{(M, relat)} (t) = {\dot{K}}_{(M, newt)} (t)$ » alors que
celle de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude faisant intervenir $\frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ et ${\vec{p}}_{M} (t)$ est différente suivant la nature relativiste ou newtonienne de la cinétique, « avec ${\dot{K}}_{(M, newt)} (t) = {\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ on a ${\dot{K}}_{(M, relat)} (t) = γ_{M}^{2} (t) {\dot{K}}_{(M, newt)} (t)$ ».
↑ C'est la généralisation $($ admise $)$ de la forme symbolique du principe fondamental de la dynamique $($ p.f.d. $)$ vue dans le paragraphe « commentaires sur le p.f.d. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^25,00 ^25,01 ^25,02 ^25,03 ^25,04 ^25,05 ^25,06 ^25,07 ^25,08 ^25,09 et ^25,10 Relation Fondamentale de la Dynamique.
↑ ^26,0 et ^26,1 Voir le paragraphe « énoncé du p.f.d. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^28,0 et ^28,1 Voir le paragraphe « puissance d'une force » du chap. $14$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSO) ».
↑ C’est un théorème car il se démontre à partir de la r.f.d. $($ relation fondamentale de la dynamique $)$ laquelle est une loi incluse dans le p.f.d. $($ principe fondamental de la dynamique $)$ .
↑ C.-à-d. la puissance cinétique du point, voir le paragraphe « définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
↑ On pourra aussi remplacer cette expression par « forme intégrale de la dynamique ».
↑ Ou encore plus simplement « r.f.d. sous forme intégrée ».
↑ Mais qui sera néanmoins exposée en complément dans le paragraphe « en complément, “ forme intégrée ” associée à la forme locale “ r.f.d. ” » plus loin dans ce chapitre.
↑ ^34,0 ^34,1 ^34,2 et ^34,3 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de la puissance cinétique » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie » plus loin dans ce chapitre.
↑ ^36,0 et ^36,1 Voir le paragraphe « définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière » du chap. $14$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Le substantif « somme » est usuellement utilisé quand on ajoute un nombre fini de termes à variation discrète, ici il s'agit d'ajouter un nombre infini de termes à variation continue, c'est donc un abus de langage, la somme s'obtenant en écrivant une intégrale.
↑ C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation d'énergie cinétique $Δ K_{M} = K_{M} (t_{2}) - K_{M} (t_{1})$ .
↑ ^39,0 et ^39,1 C’est un théorème car il se démontre à partir du théorème de la puissance cinétique.
↑ Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^41,0 ^41,1 et ^41,2 Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie » plus haut dans ce chapitre.
↑ Toujours non linéaire car l’énergie cinétique est une forme « non linéaire de $\frac{d \vec{O M}}{d t} (t)$ ».
↑ Revoir le paragraphe « notion d'intégrale 1^ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique » plus haut dans ce chapitre.
↑ Cette intégrale 1^ère du mouvement du point $M$ étant non linéaire est rarement simple à intégrer, son utilisation n'a donc pas pour raison 1^ère d'être intégrée $\dots$
D'ailleurs on l'écrit le plus souvent sans remplacer ${\vec{V}}_{M} (t)$ par $\frac{d \vec{O M}}{d t} (t)$ .
↑ Voir le paragraphe « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point (dans le cadre de la cinétique relativiste) » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^46,0 et ^46,1 La notation historique $δ \vec{I}$ $($ comme celle du travail élémentaire $δ W)$ est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole $δ$ précédant une grandeur $ξ ($ définie à chaque instant $)$ dont la signification est « petite variation de la grandeur » c.-à-d. $δ ξ = ξ (t + δ t) - ξ (t)$ , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée $\vec{I} (t) \dots$
il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire ${\vec{I}}_{[t, t + d t]} [\vec{F} (M, t)]$ mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques $\dots$
↑ C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation de quantité de mouvement $Δ {\vec{p}}_{M} = {\vec{p}}_{M} (t_{2}) - {\vec{p}}_{M} (t_{1})$ .
↑ Voir le paragraphe « Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre.
↑ ^49,0 et ^49,1 Appellation usuelle pour vecteur force $\vec{F} (M, t)$ résultant d'un abus $\dots$
↑ c.-à-d. l'unité de quantité de mouvement.
↑ On peut ajouter que si les forces sont de norme finie non nulle leur impulsion élémentaire est d'ordre un en $d t$ .
↑ En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force $\vec{F}$ sera simplement noté « $\vec{I} [\vec{F}]$ » sans rappeler les bornes de l'intervalle de temps.
↑ Voir la notion d'intégrale curviligne introduite dans le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que la méthode de calcul d'une telle intégrale dans le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du même chapitre de la même leçon.
↑ En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force $\vec{F}$ sera simplement noté $\vec{I} [\vec{F}]$ sans rappeler la courbe suivie ni les bornes de la portion de courbe.
↑ ^55,0 ^55,1 ^55,2 ^55,3 ^55,4 et ^55,5 Voir les paragraphes « discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amlitude E » et « exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Qui peut néanmoins être nulle.
↑ C.-à-d. une durée d'échelle mésoscopique $[$ revoir le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ .
↑ C.-à-d. ayant une signification physique.
↑ $\vec{u}$ étant le vecteur unitaire de la direction fixe de la force de collision choisi dans le sens de celle-ci pendant la durée de la collision ;
$F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ étant donc la norme de la force de collision pendant la durée de la collision.
↑ En effet l'impulsion de la force de collision ${\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ est encore égale à $\int_{t_{1} < t_{0}}^{t_{2} > t_{0} + δ t} {\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ compte-tenu de la nullité de la force de collision hors durée de celle-ci, c'est donc essentiellement l'instant $t_{0}$ de début de collision qui importe et non sa durée qui est toujours très courte.
↑ C.-à-d. grandeur égale à l'aire de la surface sous le pic du graphe de $F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ en fonction de $t$ .
↑ ^62,0 ^62,1 et ^62,2 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $1933$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $($ connu sous le nom de mécanique ondulatoire $)$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $1933$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $1935$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique ;
   Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1932$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $($ connue sous le nom de mécanique matricielle $)$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $($ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont $∥$ et « para » où ils sont anti $∥$ , le dihydrogène ortho étant présent à $75 %$ à température élevée et sa proportion $↘$ quand sa température $↘)$ .
↑ ^63,0 ^63,1 et ^63,2 Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^64,0 ^64,1 et ^64,2 Intégrale au sens des distributions.
↑ ^65,0 ^65,1 ^65,2 ^65,3 ^65,4 et ^65,5 Revoir la définition dans le paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^66,0 ^66,1 et ^66,2 Plus exactement c'est son modèle qui est discontinu de 2^ème espèce.
↑ Plus exactement celle de son modèle discontinu de 2^ème espèce.
↑ ^68,0 et ^68,1 Une impulsion tendant vers une constante non nulle quand l'infiniment petit $δ t \to 0$ , n'est pas nommée « impulsion élémentaire » $($ qui sous-entendrait qu'elle tende vers zéro simultanément à $δ t)$ mais « impulsion sur la durée élémentaire $δ t$ », de plus elle n'est pas notée $δ \vec{I} [\vec{F}]$ mais ${\vec{I}}_{sur δ t} [\vec{F}]$ .
↑ Voir le paragraphe « implusion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^70,0 ^70,1 et ^70,2 Par abus et pour éviter la complication dans l'énoncé du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire, on parlera d'« impulsion élémentaire pour une force de collision » $($ ce qui est incorrect car elle ne tend pas vers zéro simultanément à la durée de collision $)$ et non d'« impulsion de la force de collision sur la durée élémentaire » $($ qui est l'appellation correcte $)$ et on la notera $δ \vec{I} [{\vec{F}}_{collision}]$ $($ normalement réservé aux impulsions tendant vers zéro simultanément à la durée élémentaire $)$ et non ${\vec{I}}_{sur δ t} [{\vec{F}}_{collision}]$ $($ notation correcte à utiliser pour les impulsions ne tendant pas vers zéro simultanément à la durée élémentaire $)$ .
↑ ^71,0 et ^71,1 C’est un théorème car il se démontre à partir de la relation fondamentale de la dynamique $($ r.f.d. $)$ .
↑ ^72,0 ^72,1 et ^72,2 Voir le paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^73,0 ^73,1 et ^73,2 Voir le paragraphe « théorème de l'impulsion sous forme élémentaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^74,00 ^74,01 ^74,02 ^74,03 ^74,04 ^74,05 ^74,06 ^74,07 ^74,08 ^74,09 et ^74,10 Valable en dynamique newtonienne ou relativiste.
↑ Ce résultat confirme ce que donnerait l'application de la r.f.d. sous forme locale : la somme de forces continues et discontinues de 1^ère espèce étant discontinue de 1^ère espèce il est de même de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement dont on peut induire la continuité de la quantité de mouvement.
↑ Dans le cadre de la cinétique newtonienne, de ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ et de la continuité de ${\vec{p}}_{M} (t)$ pour tout $t$ hors collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ ;
dans le cadre de la cinétique relativiste, de ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz de $M$ à l'instant $t$ et de la continuité de ${\vec{p}}_{M} (t)$ pour tout $t$ hors collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ ${$ en effet l'énergie totale du point s'écrivant $E_{M} (t) = γ_{M} (t) m c^{2}$ $($ voir la note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ on en déduit ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{E_{M} (t)}$ ou, l'énergie totale du point s'écrivant encore $E_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}$ $($ voir la même note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ , ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}}$ et par suite la continuité de ${\vec{p}}_{M} (t)$ $\Rightarrow$ celle de ${\vec{V}}_{M} (t)}$ .
↑ Ce résultat confirme ce que donnerait l'application de la r.f.d. sous forme locale : la somme de forces continues, discontinues de 1^ère et de 2^ème espèces étant discontinue de 2^ème espèce il est de même de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement dont on peut induire la discontinuité de 1^ère espèce de la quantité de mouvement.
↑ Dans le cadre de la cinétique newtonienne, de ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ et de la discontinuité de 1^ère espèce ${\vec{p}}_{M} (t)$ à l'instant de collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-})$ $= \frac{{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-})}{m} = \frac{{\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})}{m}$ » ;
dans le cadre de la cinétique relativiste, de ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz de $M$ à l'instant $t$ et de la discontinuité de 1^ère espèce de ${\vec{p}}_{M} (t)$ à l'instant de collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ ${$ en effet l'énergie totale du point s'écrivant $E_{M} (t) = γ_{M} (t) m c^{2}$ $($ voir la note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ on en déduit ${\vec{V}}_{M} (t) =$ $\frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{E_{M} (t)}$ ou, l'énergie totale du point s'écrivant encore $E_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}$ $($ voir la même note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ , ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}}$ et par suite la discontinuité de 1^ère espèce de ${\vec{p}}_{M} (t)$ $\Rightarrow$ celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ selon « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-}) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) c]}^{2}}} - \frac{{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) c]}^{2}}}$ » dans laquelle « ${\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) =$ ${\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) + {\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ » $}$ .
↑ Voir le paragraphe « implusion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^80,0 et ^80,1 Voir le paragraphe « application en présence d'une force de collision et conséquence » plus haut dans ce chapitre.

Mécanique 1 (PCSI)

Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Puissance et travail d'une force

Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Énerg. potent. et énerg. mécan.

[1] On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour le vecteur quantité de mouvement car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.

[masses_inerte_et_grave-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 et ^2,3 On ajoute le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont $($ à l'heure actuelle $)$ des mesures identiques à $1 0^{- 13}$ près $($ on a en effet vérifié à $1 0^{- 13}$ près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à $1 0^{- 13}$ près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à $1$ et d'identifier les deux masses $)$ ;
des mesures plus poussées sont prévues $[$ lancement en avril $2016$ du satellite français « Microscope » $($ acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence $)$ pour une mission financée et pilotée par le CNES $]$ dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à $1 0^{- 15}$ près $[$ en décembre $2017$ de premiers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins $2 1 0^{- 14}$ près $\dots]$ ;
l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en $1916$ $[$ Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en 1905, la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique $] \dots$

[définition_non_explicitement_dans_le_cadre_du_programme-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 et ^3,4 La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant dans le paragraphe « approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique » du chap. $24$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il semble utile la connaître.

[énergie_totale_d'un_point_matériel_isolé-4] 4,0 et ^4,1 Dans le paragraphe « Applications actuelles » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » on a introduit la notion d'énergie de masse « $E^{0} =$ $m c^{2}$ » d'un point matériel $M$ ainsi que celle d'énergie totale de ce point matériel « $E_{M} (t) = E^{0} + K_{M} (t)$ » dans le paragraphe « microscopie électronique » du même chapitre de la même leçon, on en déduit
le lien entre l'énergie totale et la vitesse du point matériel $M$ à savoir « $E_{M} (t) = E^{0} + [γ_{M} (t) - 1] E^{0}$ » soit finalement « $E_{M} (t) = γ_{M} (t) E^{0}$ » ainsi que

le lien entre l'énergie totale et la quantité de mouvement de $M$ à savoir « $E_{M} (t) = E^{0} + [\sqrt{{(E^{0})}^{2} + p_{M}^{2} (t) c^{2}} - E^{0}]$ » d'où « $E_{M} (t) = \sqrt{{(E^{0})}^{2} + p_{M}^{2} (t) c^{2}}$ » ;
dans les deux approches on constate que la substitution de l'énergie cinétique $K_{M} (t)$ du point matériel $M$ par son énergie totale $E_{M} (t)$ simplifie leur relation avec la vitesse $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖$ ou la quantité de mouvement $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ $[$ de plus ce n'est pas qu'un simple artifice mathématique mais aussi une réalité physique dans la mesure où de la masse $($ par son énergie de masse $)$ peut être transformée en énergie cinétique et inversement $]$ .

[5] tre l'énergie totale et la vitesse du point matériel $M$ à savoir « $E_{M} (t) = E^{0} + [γ_{M} (t) - 1] E^{0}$ » soit finalement « $E_{M} (t) = γ_{M} (t) E^{0}$ » ainsi que

[6] tre l'énergie totale et la quantité de mouvement de $M$ à savoir « $E_{M} (t) = E^{0} + [\sqrt{{(E^{0})}^{2} + p_{M}^{2} (t) c^{2}} - E^{0}]$ » d'où « $E_{M} (t) = \sqrt{{(E^{0})}^{2} + p_{M}^{2} (t) c^{2}}$ » ;

[Lorentz-5] 5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 et ^5,09 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $[$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier $]$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $[$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886]$ .
Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\dots$
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[valeur_maximale_de_vitesse-6] 6,0 et ^6,1 Valeur maximale indépassable de la vitesse de tout point matériel par rapport à n'importe quel référentiel d'étude $($ dans le cadre de la cinématique relativiste $)$ .

[réserve_de_mouvement_inertiel_en_intensité-7] 7,0 et ^7,1 On parle encore de « réserve de mouvement inertiel » pour l'énergie cinétique car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au carré scalaire du vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant uniquement en intensité car il s'agit d'une grandeur scalaire.

[non_unité_de_cette_réserve_de_mouvement_inertiel_en_intensité-8] 8,0 et ^8,1 Bien sûr ce n'est pas la seule « réserve de mouvement inertiel en intensité » possible à introduire $[$ on aurait par exemple aussi $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖]$ mais c'est celle qui aura une utilisation importante dans la suite de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[beta_infiniment_petit-9] $β_{M} (t)$ est donc un infiniment petit, voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[D.L.-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 et ^10,3 Développement Limité.

[choix_de_l'ordre_2_pour_le_D.L.-11] On choisit l'ordre deux car l'ordre un ne permettrait que de retrouver la forme newtonienne de l'énergie cinétique à partir de sa forme relativiste alors que le but recherché est de déterminer la différence entre les deux pour écrire à quelle condition cette différence est inférieure à $1 %$ de l'énergie cinétique $\dots$

[beta2_choisi_comme_infiniment_petit_d'ordre_un-12] Choisi comme infiniment petit d'ordre un.

[13] Voir le paragraphe « D.L. d'ordre 2 de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où l'on trouve le D.L. à l'ordre deux de $(1 + x)^{n}, n \in ℚ^{*}$ plus exactement ici $n = - \frac{1}{2}$ soit « $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε + \frac{n (n - 1)}{2} ε^{2}$ ».

[14] En effet on cherche le D.L. d'un quotient dont le numérateur $K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)$ est un infiniment petit d'ordre deux et dont le D.L. à l'ordre deux du dénominateur $K_{M, relat} (t)$ a pour terme prépondérant un infiniment petit ordre un ou, ce qui est équivalent après simplification haut et bas par un infiniment petit d'ordre un commun $α β_{M}^{2} (t)$ ,
En effet on cherche le D.L. d'un quotient dont le nouveau numérateur $\frac{K_{M, relat} (t) - K_{M, newt} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ est un infiniment petit d'ordre un et dont le D.L. à l'ordre un du nouveau dénominateur $\frac{K_{M, relat} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ a pour terme prépondérant un ordre zéro ;
or nous avons vu dans le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre p < n » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » la propriété suivante « pour déterminer le D.L. à l'ordre un d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre zéro » et comme le dénominateur ici est $\frac{K_{M, relat} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ , il suffit de se limiter au terme prépondérant d'ordre zéro $\frac{K_{M, newt} (t)}{α β_{M}^{2} (t)}$ .

[comparaison_des_conditions_de_vitesse_pour_appliquer_la_cinétique_newtonienne-15] 15,0 et ^15,1 La condition pour utiliser une forme newtonienne de l'énergie cinétique est donc plus contraignante que celle pour une forme newtonienne de vecteur quantité de mouvement qui est $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 14 c ≃ 42 000 k m \cdot s^{- 1}$ $[$ revoir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $]$ .

[réserve_de_mouvement_inertiel_en_direction,_sens_et_intensité-16] On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour une grandeur dépendant non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie, la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.

[quantité_de_mouvement-17] 17,0 ^17,1 ^17,2 ^17,3 ^17,4 ^17,5 ^17,6 ^17,7 et ^17,8 Voir les paragraphes « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne » et « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[quantité_de_mouvement_newtonienne-18] 18,0 ^18,1 et ^18,2 On rappelle l'expression newtonienne du vecteur quantité de mouvement du point $M$ à l'instant $t$ , « ${\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t) \Leftrightarrow {\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ ».

[quantité_de_mouvement_relativiste-19] Voir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[quantité_de_mouvement_relativiste_-_bis-20] 20,0 ^20,1 et ^20,2 On rappelle l'expression relativiste du vecteur quantité de mouvement du point $M$ à l'instant $t$ , « ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} m {\vec{V}}_{M} (t)$ », voir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[puissance_cinétique_à_retrouver-21] 21,0 ^21,1 ^21,2 ^21,3 et ^21,4 Ces expressions de puissance cinétique doivent être retrouvées à partir de celles de l'énergie cinétique lesquelles sont à retenir.

[22] De $K_{M} (t) = \sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}} - m c^{2} = [γ_{M} (t) - 1] m c^{2}$ on déduit $\sqrt{{\vec{p}}_{M}^{2} (t) c^{2} + m^{2} c^{4}} = γ_{M} (t) m c^{2}$ $[$ c'est d'ailleurs $E_{M} (t)$ « énergie totale du point matériel » définie comme la somme de son énergie cinétique $K_{M} (t)$ et de son énergie de masse $E^{0} = m c^{2}$ , notions respectivement introduites dans le paragraphe « Applications actuelles » du chap. $16$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » pour l'énergie de masse « $E^{0} =$ $m c^{2}$ » d'un point matériel $M$ et dans le paragraphe « microscopie électronique » du même chapitre de la même leçon pour l'énergie totale de ce point matériel « $E_{M} (t) = E^{0} + K_{M} (t)$ » $]$ .

[comparaison_des_formes_de_puissances_cinétiques_en_relativiste_et_newtonien-23] 23,0 et ^23,1 L'expression de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude faisant intervenir $\frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ et ${\vec{V}}_{M} (t)$ est la même dans la cinétique relativiste ou newtonienne, « avec ${\dot{K}}_{(M, newt)} (t) = {\vec{V}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ on a ${\dot{K}}_{(M, relat)} (t) = {\dot{K}}_{(M, newt)} (t)$ » alors que
celle de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude faisant intervenir $\frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ et ${\vec{p}}_{M} (t)$ est différente suivant la nature relativiste ou newtonienne de la cinétique, « avec ${\dot{K}}_{(M, newt)} (t) = {\vec{p}}_{M} (t) \cdot \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ on a ${\dot{K}}_{(M, relat)} (t) = γ_{M}^{2} (t) {\dot{K}}_{(M, newt)} (t)$ ».

[24] C'est la généralisation $($ admise $)$ de la forme symbolique du principe fondamental de la dynamique $($ p.f.d. $)$ vue dans le paragraphe « commentaires sur le p.f.d. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[r.f.d.-25] 25,00 ^25,01 ^25,02 ^25,03 ^25,04 ^25,05 ^25,06 ^25,07 ^25,08 ^25,09 et ^25,10 Relation Fondamentale de la Dynamique.

[énoncé_du_p.f.d."-26] 26,0 et ^26,1 Voir le paragraphe « énoncé du p.f.d. » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-27] Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[puissance_développée_par_une_force-28] 28,0 et ^28,1 Voir le paragraphe « puissance d'une force » du chap. $14$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSO) ».

[29] C’est un théorème car il se démontre à partir de la r.f.d. $($ relation fondamentale de la dynamique $)$ laquelle est une loi incluse dans le p.f.d. $($ principe fondamental de la dynamique $)$ .

[puissance_cinétique-30] C.-à-d. la puissance cinétique du point, voir le paragraphe « définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.

[intégrale-31] On pourra aussi remplacer cette expression par « forme intégrale de la dynamique ».

[théorème_de_l'impulsion-32] Ou encore plus simplement « r.f.d. sous forme intégrée ».

[33] Mais qui sera néanmoins exposée en complément dans le paragraphe « en complément, “ forme intégrée ” associée à la forme locale “ r.f.d. ” » plus loin dans ce chapitre.

[théorème_de_la_puissance_cinétique-34] 34,0 ^34,1 ^34,2 et ^34,3 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de la puissance cinétique » plus haut dans ce chapitre.

[théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_une_durée_finie-35] Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie » plus loin dans ce chapitre.

[travail_élémentaire_d'une_force-36] 36,0 et ^36,1 Voir le paragraphe « définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière » du chap. $14$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[signification_particulière_de_somme-37] Le substantif « somme » est usuellement utilisé quand on ajoute un nombre fini de termes à variation discrète, ici il s'agit d'ajouter un nombre infini de termes à variation continue, c'est donc un abus de langage, la somme s'obtenant en écrivant une intégrale.

[38] C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation d'énergie cinétique $Δ K_{M} = K_{M} (t_{2}) - K_{M} (t_{1})$ .

[théorème-39] 39,0 et ^39,1 C’est un théorème car il se démontre à partir du théorème de la puissance cinétique.

[théorème_de_l'énergie_cinétique_sous_forme_élémentaire-40] Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » plus haut dans ce chapitre.

[théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_une_durée_finie_-_bis-41] 41,0 ^41,1 et ^41,2 Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie » plus haut dans ce chapitre.

[42] Toujours non linéaire car l’énergie cinétique est une forme « non linéaire de $\frac{d \vec{O M}}{d t} (t)$ ».

[intégrale_1ère_du_mouvement_associée_à_une_forme_locale_de_la_dynamique-43] Revoir le paragraphe « notion d'intégrale 1^ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique » plus haut dans ce chapitre.

[44] Cette intégrale 1^ère du mouvement du point $M$ étant non linéaire est rarement simple à intégrer, son utilisation n'a donc pas pour raison 1^ère d'être intégrée $\dots$
D'ailleurs on l'écrit le plus souvent sans remplacer ${\vec{V}}_{M} (t)$ par $\frac{d \vec{O M}}{d t} (t)$ .

[2ème_définition_de_l'énergie_cinétique_relativiste-45] Voir le paragraphe « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point (dans le cadre de la cinétique relativiste) » plus haut dans ce chapitre.

[abus_pour_impulsion_élémentaire-46] 46,0 et ^46,1 La notation historique $δ \vec{I}$ $($ comme celle du travail élémentaire $δ W)$ est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole $δ$ précédant une grandeur $ξ ($ définie à chaque instant $)$ dont la signification est « petite variation de la grandeur » c.-à-d. $δ ξ = ξ (t + δ t) - ξ (t)$ , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée $\vec{I} (t) \dots$
il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire ${\vec{I}}_{[t, t + d t]} [\vec{F} (M, t)]$ mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques $\dots$

[47] C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation de quantité de mouvement $Δ {\vec{p}}_{M} = {\vec{p}}_{M} (t_{2}) - {\vec{p}}_{M} (t_{1})$ .

[48] Voir le paragraphe « Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre.

[abus_pour_force-49] 49,0 et ^49,1 Appellation usuelle pour vecteur force $\vec{F} (M, t)$ résultant d'un abus $\dots$

[unité_d'impulsion-50] .-à-d. l'unité de quantité de mouvement.

[impulsion_élémentaire_de_force_de_norme_finie_non_nulle-51] On peut ajouter que si les forces sont de norme finie non nulle leur impulsion élémentaire est d'ordre un en $d t$ .

[52] En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force $\vec{F}$ sera simplement noté « $\vec{I} [\vec{F}]$ » sans rappeler les bornes de l'intervalle de temps.

[intégrale_curviligne-53] Voir la notion d'intégrale curviligne introduite dans le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que la méthode de calcul d'une telle intégrale dans le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du même chapitre de la même leçon.

[54] En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force $\vec{F}$ sera simplement noté $\vec{I} [\vec{F}]$ sans rappeler la courbe suivie ni les bornes de la portion de courbe.

[discontinuité_de_1ère_espèce-55] 55,0 ^55,1 ^55,2 ^55,3 ^55,4 et ^55,5 Voir les paragraphes « discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amlitude E » et « exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[56] Qui peut néanmoins être nulle.

[57] C.-à-d. une durée d'échelle mésoscopique $[$ revoir le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $]$ .

[58] C.-à-d. ayant une signification physique.

[59] $\vec{u}$ étant le vecteur unitaire de la direction fixe de la force de collision choisi dans le sens de celle-ci pendant la durée de la collision ;
$F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ étant donc la norme de la force de collision pendant la durée de la collision.

[60] En effet l'impulsion de la force de collision ${\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ est encore égale à $\int_{t_{1} < t_{0}}^{t_{2} > t_{0} + δ t} {\vec{F}}_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t) d t$ compte-tenu de la nullité de la force de collision hors durée de celle-ci, c'est donc essentiellement l'instant $t_{0}$ de début de collision qui importe et non sa durée qui est toujours très courte.

[61] C.-à-d. grandeur égale à l'aire de la surface sous le pic du graphe de $F_{choc réel, M \leftarrow (Σ)} (t)$ en fonction de $t$ .

[Dirac-62] 62,0 ^62,1 et ^62,2 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $1933$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $($ connu sous le nom de mécanique ondulatoire $)$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $1933$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $1935$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique ;
Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $1932$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $($ connue sous le nom de mécanique matricielle $)$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $($ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont $∥$ et « para » où ils sont anti $∥$ , le dihydrogène ortho étant présent à $75 %$ à température élevée et sa proportion $↘$ quand sa température $↘)$ .

[pic_de_Dirac_d'impulsion_unité-63] 63,0 ^63,1 et ^63,2 Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[au_sens_des_distributions-64] 64,0 ^64,1 et ^64,2 Intégrale au sens des distributions.

[discontinuité_de_2ème_espèce-65] 65,0 ^65,1 ^65,2 ^65,3 ^65,4 et ^65,5 Revoir la définition dans le paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[modèle_et_non_force-66] 66,0 ^66,1 et ^66,2 Plus exactement c'est son modèle qui est discontinu de 2^ème espèce.

[67] Plus exactement celle de son modèle discontinu de 2^ème espèce.

[impulsion_sur_durée_élémentaire-68] 68,0 et ^68,1 Une impulsion tendant vers une constante non nulle quand l'infiniment petit $δ t \to 0$ , n'est pas nommée « impulsion élémentaire » $($ qui sous-entendrait qu'elle tende vers zéro simultanément à $δ t)$ mais « impulsion sur la durée élémentaire $δ t$ », de plus elle n'est pas notée $δ \vec{I} [\vec{F}]$ mais ${\vec{I}}_{sur δ t} [\vec{F}]$ .

[définition_de_l'impulsion_élémentaire_d'une_force-69] Voir le paragraphe « implusion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus haut dans ce chapitre.

[abus_relatif_aux_forces_de_collision-70] 70,0 ^70,1 et ^70,2 Par abus et pour éviter la complication dans l'énoncé du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire, on parlera d'« impulsion élémentaire pour une force de collision » $($ ce qui est incorrect car elle ne tend pas vers zéro simultanément à la durée de collision $)$ et non d'« impulsion de la force de collision sur la durée élémentaire » $($ qui est l'appellation correcte $)$ et on la notera $δ \vec{I} [{\vec{F}}_{collision}]$ $($ normalement réservé aux impulsions tendant vers zéro simultanément à la durée élémentaire $)$ et non ${\vec{I}}_{sur δ t} [{\vec{F}}_{collision}]$ $($ notation correcte à utiliser pour les impulsions ne tendant pas vers zéro simultanément à la durée élémentaire $)$ .

[théorème_-_bis-71] 71,0 et ^71,1 C’est un théorème car il se démontre à partir de la relation fondamentale de la dynamique $($ r.f.d. $)$ .

[force_de_collision-72] 72,0 ^72,1 et ^72,2 Voir le paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » plus haut dans ce chapitre.

[théorème_de_l'impulsion_sous_forme_élémentaire-73] 73,0 ^73,1 et ^73,2 Voir le paragraphe « théorème de l'impulsion sous forme élémentaire » plus haut dans ce chapitre.

[valable_en_dynamique_newtonienne_ou_relativiste-74] 74,00 ^74,01 ^74,02 ^74,03 ^74,04 ^74,05 ^74,06 ^74,07 ^74,08 ^74,09 et ^74,10 Valable en dynamique newtonienne ou relativiste.

[75] Ce résultat confirme ce que donnerait l'application de la r.f.d. sous forme locale : la somme de forces continues et discontinues de 1^ère espèce étant discontinue de 1^ère espèce il est de même de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement dont on peut induire la continuité de la quantité de mouvement.

[76] Dans le cadre de la cinétique newtonienne, de ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ et de la continuité de ${\vec{p}}_{M} (t)$ pour tout $t$ hors collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ ;
dans le cadre de la cinétique relativiste, de ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz de $M$ à l'instant $t$ et de la continuité de ${\vec{p}}_{M} (t)$ pour tout $t$ hors collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ ${$ en effet l'énergie totale du point s'écrivant $E_{M} (t) = γ_{M} (t) m c^{2}$ $($ voir la note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ on en déduit ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{E_{M} (t)}$ ou, l'énergie totale du point s'écrivant encore $E_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}$ $($ voir la même note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ , ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}}$ et par suite la continuité de ${\vec{p}}_{M} (t)$ $\Rightarrow$ celle de ${\vec{V}}_{M} (t)}$ .

[77] Ce résultat confirme ce que donnerait l'application de la r.f.d. sous forme locale : la somme de forces continues, discontinues de 1^ère et de 2^ème espèces étant discontinue de 2^ème espèce il est de même de la dérivée temporelle de la quantité de mouvement dont on peut induire la discontinuité de 1^ère espèce de la quantité de mouvement.

[78] Dans le cadre de la cinétique newtonienne, de ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t)}{m}$ et de la discontinuité de 1^ère espèce ${\vec{p}}_{M} (t)$ à l'instant de collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-})$ $= \frac{{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-})}{m} = \frac{{\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})}{m}$ » ;
dans le cadre de la cinétique relativiste, de ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)$ avec $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\vec{V}}_{M}^{2} (t)}{c^{2}}}}$ le facteur de Lorentz de $M$ à l'instant $t$ et de la discontinuité de 1^ère espèce de ${\vec{p}}_{M} (t)$ à l'instant de collision, on en déduit celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ ${$ en effet l'énergie totale du point s'écrivant $E_{M} (t) = γ_{M} (t) m c^{2}$ $($ voir la note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ on en déduit ${\vec{V}}_{M} (t) =$ $\frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{E_{M} (t)}$ ou, l'énergie totale du point s'écrivant encore $E_{M} (t) = \sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}$ $($ voir la même note « ⁴ » plus haut dans ce chapitre $)$ , ${\vec{V}}_{M} (t) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t) c]}^{2}}}$ et par suite la discontinuité de 1^ère espèce de ${\vec{p}}_{M} (t)$ $\Rightarrow$ celle de ${\vec{V}}_{M} (t)$ selon « ${\vec{V}}_{M} (t_{0}^{+}) - {\vec{V}}_{M} (t_{0}^{-}) = \frac{{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) c]}^{2}}} - \frac{{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) c}{\sqrt{m^{2} c^{4} + {[{\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) c]}^{2}}}$ » dans laquelle « ${\vec{p}}_{M} (t_{0}^{+}) =$ ${\vec{p}}_{M} (t_{0}^{-}) + {\vec{I}}_{collision, M \leftarrow (Σ)} (t_{0})$ » $}$ .

[définition_de_l'impulsion_d'une_force_pendant_une_durée_finie-79] Voir le paragraphe « implusion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus haut dans ce chapitre.

[conséquence_en_présence_d'une_force_de_collision-80] 80,0 et ^80,1 Voir le paragraphe « application en présence d'une force de collision et conséquence » plus haut dans ce chapitre.

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Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point

Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude

Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d.

Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel

Expression énergétique de la r.f.d.

Énoncé du théorème de la puissance cinétique

Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d.

Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique

Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale »

Notion d’intégrale 1ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique

Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »

Énoncé du « théorème de l’énergie cinétique »

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire

Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie

Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique

Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique

Intégrale 1ère du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque

En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. »

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. »

Notion d'impulsion de force

Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel

Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie

Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire

Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée)

Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire

Application en absence de forces de collision et conséquence

Application en présence d'une force de collision et conséquence

Théorème de l'impulsion sur une durée finie

Discontinuité de la puissance d'une force de collision

Notes et références

Notion d’intégrale 1^ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique

Intégrale 1^ère du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque