Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
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Chapitre no 15
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
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Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.

Sommaire

Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques[modifier | modifier le wikicode]

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Entrevue une 1ère fois (uniquement dans le cadre newtonien) dans le paragraphe « énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

......Il s'agit de la 2ème grandeur cinétique introduite dans la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
......Il s'agit de la 1ère l'ayant été dans le chap., plus précisément dans le paragraphe « vecteur quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse » du chapitre précité et traduisant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité » [1].

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie cinétique d'un point matériel de masse (inerte) en mouvement dans un référentiel d'étude est la grandeur scalaire notée définie à partir

  • de la grandeur cinématique vectorielle représentant le mouvement dans le référentiel d'étude à savoir le « vecteur vitesse du point dans ce référentiel » et
  • de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse (inerte) [2] du point »,

......la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant et

......la déf~celle dans le cadre de la cinétique relativiste [3] [4] dans laquelle est le facteur de Lorentz [5] du point dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude à l'instant et la célérité de la lumière dans le vide [6] ;

l'énergie cinétique est exprimée en joules [symbole avec .

......Remarque : L'énergie cinétique d'un point matériel traduit une « réserve de mouvement inertiel en intensité » [7], [8].

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : nous nous plaçons dans le cas où ou, en introduisant le vecteur vitesse relative de norme notée , nous nous plaçons dans le cas d'une vitesse relative , le facteur de Lorentz [5] ayant pour D.L. [9] à l'ordre deux [10] en l'infiniment petit [11] [12] d'où l'énergie cinétique relativiste du point s'écrivant  ;

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : tout d'abord on vérifie bien, en tronquant le D.L. de à l'ordre un en , que l'énergie cinétique relativiste s'identifie à l'énergie cinétique newtonienne car  ;

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut, à l'ordre deux en , c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre deux en soit, en rapportant cette différence à l'énergie cinétique relativiste, un écart relatif de dont on souhaite déterminer le D.L. à l'ordre un en et comme le numérateur est un infiniment petit d'ordre deux il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre un en soit [13] d'où la réécriture de en soit finalement  ;

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : l'énergie cinétique relativiste étant égale à l'énergie cinétique newtonienne à près si on en déduit la condition sur la vitesse relative ou soit finalement [14].

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie cinétique d'un point matériel de masse (inerte) en mouvement dans un référentiel d'étude est la grandeur scalaire notée définie à partir

  • de la grandeur cinétique vectorielle représentant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité » [15] dans le référentiel d'étude à savoir le « vecteur quantité de mouvement du point dans ce référentiel » et
  • de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse (inerte) [2] du point »,

......la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant et

......la déf~celle dans le cadre de la cinétique relativiste [3] [4] dans laquelle est la célérité de la lumière dans le vide [6] ;

l'énergie cinétique est exprimée en joules [symbole avec .

......Remarque : Bien sûr dans cette nouvelle définition l'énergie cinétique d'un point matériel traduit toujours une « réserve de mouvement inertiel en intensité » [7], [8].

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : nous avons vu que l'énergie cinétique du point sous la forme newtonienne est applicable si et que le vecteur quantité de mouvement du même point sous la forme newtonienne l'est si [14], aussi, en nous plaçant dans les conditions les plus restrictives d'application de ces formules à savoir et en reportant dans nous en déduisons c'est-à-dire la 2ème définition de l'énergie cinétique newtonienne ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : dans les conditions où la réciproque s'établit sans souci d'où l'équivalence des deux définitions.

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : partant de la 1ère définition de l'énergie cinétique relativiste dans laquelle est le facteur de Lorentz [5] du point dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude à l'instant et sachant que le vecteur quantité de mouvement relativiste du même point au même instant est [16], on en déduit la 2ème définition de l'énergie cinétique relativiste en exprimant en fonction de sans que n'intervienne et en reportant cette expression dans 1ère définition de  ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : de on tire ou encore dans le 2ème membre duquel on remplace par d'où et finalement l'expression du facteur de Lorentz [5] du point en fonction du vecteur quantité de mouvement de ce dernier  ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : reportant cette dernière expression dans on obtient c'est-à-dire la 2ème définition de l'énergie cinétique relativiste ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : la réciproque s'établit sans souci majeur à partir de et du lien entre et obtenu précédemment à savoir dont on tire que l'on reporte dans l'expression de soit c'est-à-dire la 1ère définition de l'énergie cinétique relativiste.

Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......La puissance cinétique d'un point matériel à l'instant dans le référentiel d'étude est, dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste [3], la dérivée temporelle de l'énergie cinétique du point au même instant dans le même référentiel c'est-à-dire [comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance cinétique nous utiliserons la notation compacte .

Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique newtonienne du point matériel à l'instant dans le référentiel d'étude , expressions dont la validité présuppose que la vitesse du point soit telle que , nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique newtonienne du point à l'instant dans ce référentiel [17] :

  • soit encore [18]
  • soit encore [18].

Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique relativiste [3] du point matériel à l'instant dans le référentiel d'étude , nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique relativiste [3] du point à l'instant dans ce référentiel [17] :

  • avec avec soit ou encore [19]
  • ou, en faisant intervenir la vitesse dans le 1er facteur de la multiplication scalaire [19], [20], soit finalement .

Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d.[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......De façon symbolique tout théorème de la dynamique du point matériel doit s’exprimer selon l'énoncé suivant

......« dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle d’une des grandeurs cinétiques d’un point matériel est égale à la somme des causes susceptibles de faire varier cette grandeur cinétique » [21] ;

......dans le cas de la r.f.d. [22] la grandeur cinétique est le vecteur quantité de mouvement du point soit et les causes susceptibles de le faire varier sont les forces appliquées sur le point à savoir , la r.f.d. s’énonçant alors dans un référentiel galiléen selon .

Expression énergétique de la r.f.d.[modifier | modifier le wikicode]

......L’expression énergétique de la r.f.d. [22] nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point , c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point » et pour cela on utilisera la relation commune aux cadres newtonien et relativiste de la puissance cinétique du point à savoir  ;

......on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d. [22] écrite sous la forme applicable en dynamique newtonienne et relativiste à savoir par pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point soit ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite,  ;

......dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les forces appliquées au point et on en déduit que « les causes susceptibles de faire varier l’énergie cinétique d’un point sont les puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » ;

......l’expression énergétique de la r.f.d. [22] dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste s’écrit dans un référentiel galiléen selon .

Énoncé du théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d.[modifier | modifier le wikicode]

......Pour démontrer le théorème de la puissance cinétique il suffit de partir de la forme de la r.f.d. [22] écrite applicable en dynamiques newtonienne et relativiste à savoir puis de multiplier scalairement chaque membre de la r.f.d. [22] par et enfin de reconnaître, dans chaque membre, les grandeurs adaptées (revoir le paragraphe « expression énergétique de la r.f.d. » plus haut dans ce chapitre).

Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale »[modifier | modifier le wikicode]

......Une « forme locale de la dynamique » est un lien, écrit à un instant , entre la variation temporelle d'une grandeur cinétique et la cause ayant engendré cette variation ;

......on connaît pour l'instant deux « formes locales de la dynamique »

  • la « r.f.d. [22] » qui lie la variation temporelle du vecteur quantité de mouvement du point et les forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son vecteur quantité de mouvement et
  • le « théorème de la puissance cinétique » qui lie la variation temporelle de l'énergie cinétique du point et la puissance des forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son énergie cinétique ;

......leur caractère local provient du fait qu'elles sont écrites pour une date précise (pouvant être quelconque) leur application conduit à une équation différentielle du 2ème ordre en la position du point.

......En intégrant une fois par rapport au temps entre deux instants et une forme locale de la dynamique, on aboutit à la « forme intégrée de la dynamique » [24] associée à cette forme locale (écrite sur l'intervalle  ;

......on peut donc définir pour l'instant deux « formes intégrées de la dynamique » dont la plus connue (et la seule inscrite dans le programme de physique de P.C.S.I.) est

  • celle associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » donnant la forme intégrée « théorème de l'énergie cinétique » alors que
  • celle associée à la forme locale « r.f.d. [22] » qui donne la forme intégrée « théorème de l'impulsion » [25] est hors programme de physique de P.C.S.I. [26].

Notion d’intégrale 1ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique[modifier | modifier le wikicode]

......Si on écrit la forme intégrée entre un instant initial et un instant quelconque, on obtient une équation différentielle du 1er ordre en la position du point appelée « intégrale 1ère du mouvement du point » ;

......ainsi l'intégrale 1ère du mouvement du point associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » n'est rien d'autre que l'application du « théorème de l'énergie cinétique » entre un instant initial et un instant quelconque …

Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »[modifier | modifier le wikicode]

......Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué au point matériel à l'instant dans un référentiel galiléen ,

  • on multiplie de part et d'autre par d’où ou qui s’écrit encore, en reconnaissant la définition du travail élémentaire de force dans chaque terme entre accolades du membre de gauche, puis
  • on intègre sur d'où ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales soit enfin, en reconnaissant la définition du travail de force sur une intervalle de durée finie dans chaque terme de la somme du membre de gauche,  ;

......ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation de l'énergie cinétique d'un point sur l'intervalle [27] » sont les « travaux développés par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

Énoncé du « théorème de l’énergie cinétique »[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

......Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de l'énergie cinétique évaluée à partir de l'instant est sa variation sur l'intervalle de temps et que le travail élémentaire d'une force appliquée est aussi son travail sur le même intervalle de temps.

Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]

......Pour démontrer le théorème de l'énergie cinétique il suffit de partir du théorème de la puissance cinétique (qui est applicable en dynamiques newtonienne et relativiste) à savoir puis de multiplier chaque membre de ce théorème par ce qui permet d'obtenir le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire puis

......d'intégrer chaque membre sur l'intervalle pour obtenir le théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie (revoir le paragraphe « recherche de la forme intégrée associée à la forme locale “théorème de la puissance cinétique” » plus haut dans ce chapitre).

Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

......Pour appliquer le théorème de l’énergie cinétique, il faut bien sûr que le référentiel soit galiléen puis,

......après avoir défini le système (c'est-à-dire le point matériel étudié) et précisé les forces appliquées sur un schéma,

......on indique nettement l’état initial ainsi que l’état final d’application du théorème de l’énergie cinétique ;

......on doit penser au théorème de l’énergie cinétique quand on cherche des liens entre vitesses et positions sans référence aux dates

Intégrale 1ère du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......Si le théorème de l'énergie cinétique est appliqué à un point matériel dans un référentiel galiléen entre un « état initial d'instant » et un « état final d'instant quelconque », on obtient une « équation différentielle du 1er ordre en » [29] appelée « intégrale 1ère du mouvement du point » [30], [31] ;

  • en dynamique newtonienne elle peut s'écrire et
  • en dynamique relativiste est le facteur de Lorentz [5] de l'état initial dans lequel et celui de l'état quelconque, intégrale 1ère du mouvement du point qui peut encore s'écrire, après simplification .

......Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste on utilise le plus souvent la 2ème définition équivalente de l'énergie cinétique du point et l'intégrale 1ère du mouvement du point peut s'écrire avec ou, après simplification évidente, .

En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

......Partant de la r.f.d. [22] appliquée dans un référentiel galiléen au point matériel à l'instant sous la forme valide en dynamiques newtonienne et relativiste ,

  • on multiplie de part et d'autre par d’où ou dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche définit une grandeur élémentaire de force appelée impulsion élémentaire de force et notée [32] voir paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus loin dans ce chapitre, puis
  • on intègre sur d'où ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales dans laquelle chaque terme de la somme discrète du membre de gauche à savoir définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps appelée impulsion de force sur cet intervalle de temps et notée voir paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre, permettant de réécrire la relation selon  ;

......ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation du vecteur quantité de mouvement d'un point sur l'intervalle [33] » sont les « impulsions développées par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle [34] », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

Notion d'impulsion de force[modifier | modifier le wikicode]

Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......L'impulsion élémentaire de la force [35] que le système exerce sur le point pendant la durée élémentaire à partir de l'instant est notée usuellement [32] et est définie selon

,
l'unité d'impulsion étant le ou encore le [36].

......Propriété : Si la force est de norme finie, son impulsion élémentaire quand d'où la propriété suivante

......Propriété : « à l'ordre zéro en , les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles » [37].

Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

......L'impulsion de la force [35] que le système exerce sur le point pendant la durée de l'intervalle de temps est notée usuellement ou, avec et les positions de aux instants respectifs et sur sa trajectoire , notée et est définie selon

[38] ou [39], [40].

......Propriété : Si la force reste de norme finie sur l'intervalle [la force pouvant y être continue ou discontinue de 1ère espèce [41]], son impulsion sur cet intervalle est également de norme finie [42].

Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

......Lorsqu'un point subit une collision à un instant avec un support solide , on dit que exerce sur une force « de collision » s'identifiant à

  • une force « nulle hors durée de la collision » (durée toujours très courte [43]) et
  • une force « de direction fixée et de norme très grande pendant la très courte durée de la collision » ;

......la grandeur utile [44] ici étant « l'impulsion de la force de collision [45] que exerce sur pendant la durée de la collision » définie selon et notée plus simplement [46] avec égale à l'aire de la surface sous le pic du graphe de en fonction de  ;

......la durée étant très petite simultanément à la norme de très grande pendant la collision et compte-tenu de la signification géométrique de , on peut modéliser la force réelle de collision en utilisant le pic de Dirac [47] d'impulsion unité centré à l'instant à savoir [48] conduisant à la modélisation de la force de collision en

avec ,

......à partir de laquelle et en utilisant la propriété du pic de Dirac [47] d'impulsion unité [49], [48] on vérifie aisément que ce qui est en accord avec la signification de .

......Conclusion : une force de collision étant modélisée en utilisant un pic de Dirac [47] d'impulsion unité, est discontinue de 2ème espèce [50], [51],

......Conclusion : son impulsion [52] sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision est une constante , c'est aussi son impulsion sur la durée élémentaire de collision [53], « valeur non nulle à l'ordre zéro en l'infiniment petit » ;

......Conclusion : contrairement aux forces hors collision (continues ou discontinues de 1ère espèce) dont les impulsions élémentaires sont nulles à l'ordre zéro en l'infiniment petit de durée élémentaire, les forces de collisions (discontinues de 2ème espèce [50], [51] en l'instant de collision) sont les seules forces dont l'impulsion sur la durée élémentaire (de collision) [53] est non nulle à l'ordre zéro en cette durée élémentaire.

Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

......Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. [22] » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de la quantité de mouvement évaluée à partir de l'instant est sa variation sur l'intervalle de temps et que l'impulsion élémentaire d'une force appliquée [54] est aussi son impulsion sur le même intervalle de temps.

Application en absence de forces de collision et conséquence[modifier | modifier le wikicode]

......En absence de forces de collision, toutes les forces appliquées à l'instant au point sont continues ou discontinues de 1ère espèce et leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire considérée à partir de l'instant , c'est-à-dire à l'ordre zéro en et par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire on en déduit à l'ordre zéro en soit encore à l'ordre zéro en c'est-à-dire finalement

la continuité de la quantité de mouvement en tout instant hors collision [56]
ainsi que la continuité de la vitesse en tout instant hors collision [57].
Application en présence d'une force de collision et conséquence[modifier | modifier le wikicode]

......En présence d'une force de collision discontinue de 2ème espèce à l'instant [50], [51] et dont l'impulsion sur la durée élémentaire de collision est non nulle à l'ordre zéro en la durée élémentaire et, sachant que les autres forces appliquées à l'instant au point étant continues ou discontinues de 1ère espèce en cet instant, leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre zéro en la durée élémentaire considérée à partir de l'instant , on en déduit que la somme des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées y compris la force de collision [54] est égale à non nulle à l'ordre zéro en , soit à l'ordre zéro en et par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire on en tire à l'ordre zéro en soit encore à l'ordre zéro en c'est-à-dire finalement

une discontinuité de la quantité de mouvement à l'instant de collision [58]
plus précisément
ainsi que la discontinuité de 1ère espèce de la vitesse à l'instant de collision [59].

Théorème de l'impulsion sur une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Discontinuité de la puissance d'une force de collision[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant modélisé la force de collision que exerce sur à l'instant de collision selon c'est-à-dire une force discontinue de 2ème espèce à l'instant [50] et

......ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point , la discontinuité de 1ère espèce de la quantité de mouvement de à l'instant et par suite celle de la vitesse de au même instant ,

......on définit la puissance de la force de collision par qui s'écrit encore, en supposant que la direction et le sens de la force de collision est identique à la direction et le sens du mouvement du point, et

......on en déduit la discontinuité de 2ème espèce de la puissance de la force de collision [50] comme produit d'un facteur discontinu de 2ème espèce [50] et d'un facteur discontinu de 1ère espèce.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour le vecteur quantité de mouvement car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.
  2. 2,0 et 2,1 On ajoute le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
    ...bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont (à l'heure actuelle) des mesures identiques à près (on a en effet vérifié à près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à 1 et d'identifier les deux masses) ;
    ...des mesures plus poussées sont prévues [lancement en avril du satellite français « Microscope » (acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence) pour une mission financée et pilotée par le CNES] dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à près [en décembre de premiers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins près  ;
    ...l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en [Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 et 3,4 La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant, sous forme d'approche documentaire, dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique [voir le chap. « mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »], il semble utile la connaître.
  4. 4,0 et 4,1 Dans le paragraphe « applications actuelles » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » on a introduit la notion d'énergie de masse d'un point matériel ainsi que celle d'énergie totale de ce point matériel dans le paragraphe « microscopie électronique » du même chapitre de la même leçon, on en déduit
    • le lien entre l'énergie totale et la vitesse du point matériel à savoir soit finalement ainsi que
    • le lien entre l'énergie totale et la quantité de mouvement de à savoir d'où  ;
    ...dans les deux approches on constate que la substitution de l'énergie cinétique du point matériel par son énergie totale simplifie leur relation avec la vitesse ou la quantité de mouvement [de plus ce n'est pas qu'un simple artifice mathématique mais aussi une réalité physique dans la mesure où de la masse (par son énergie de masse) peut être transformée en énergie cinétique et inversement].
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 et 5,9 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » [en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier], transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
    ...Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs [Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
    ...Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
    ...Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  6. 6,0 et 6,1 Valeur maximale indépassable de la vitesse de tout point matériel par rapport à n'importe quel référentiel d'étude (dans le cadre de la cinématique relativiste).
  7. 7,0 et 7,1 On parle encore de « réserve de mouvement inertiel » pour l'énergie cinétique car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au carré scalaire du vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant uniquement en intensité car il s'agit d'une grandeur scalaire.
  8. 8,0 et 8,1 Bien sûr ce n'est pas la seule « réserve de mouvement inertiel en intensité » possible à introduire [on aurait par exemple aussi mais c'est celle qui aura une utilisation importante dans la suite de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  9. Développement Limité.
  10. On choisit l'ordre deux car l'ordre un ne permettrait que de retrouver la forme newtonienne de l'énergie cinétique à partir de sa forme relativiste alors que le but recherché est de déterminer la différence entre les deux pour écrire à quelle condition cette différence est inférieure à de l'énergie cinétique …
  11. Choisi comme infiniment petit d'ordre un.
  12. Voir le paragraphe « D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où on trouve le D.L. à l'ordre deux de plus exactement ici soit .
  13. On cherche le D.L. d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre deux et dont le D.L. à l'ordre deux du dénominateur a pour terme prépondérant un ordre un, ou ce qui est équivalent après simplification haut et bas par un infiniment petit d'ordre un commun ,
    ...on cherche le D.L. d'un quotient dont le nouveau numérateur est un infiniment petit d'ordre un et dont le D.L. à l'ordre un du nouveau dénominateur a pour terme prépondérant un ordre zéro ;
    ...or nous avons vu dans le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de D.L. à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » la propriété suivante « pour déterminer le D.L. à l'ordre un d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre zéro » et comme le dénominateur ici est , de prendre .
  14. 14,0 et 14,1 La condition pour utiliser une forme newtonienne de l'énergie cinétique est donc plus contraignante que celle pour une forme newtonienne de vecteur quantité de mouvement qui est [revoir le paragraphe « définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »].
  15. On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour une grandeur dépendant non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie, la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.
  16. Voir le paragraphe « définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 et 17,4 Ces expressions de puissance cinétique doivent être retrouvées à partir de celles de l'énergie cinétique lesquelles sont à retenir.
  18. 18,0 et 18,1 On rappelle l'expression newtonienne du vecteur quantité de mouvement du point à l'instant , «».
  19. 19,0 et 19,1 On rappelle l'expression relativiste du vecteur quantité de mouvement du point à l'instant , «».
  20. De on déduit [c'est d'ailleurs « énergie totale du point matériel » définie comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie de masse .
  21. C'est la généralisation (admise) de la forme symbolique du principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) vue dans le paragraphe « commentaires sur le p.f.d. » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  22. 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 22,5 22,6 22,7 22,8 et 22,9 Relation Fondamentale de la Dynamique.
  23. C’est un théorème car il se démontre à partir de la r.f.d. (relation fondamentale de la dynamique) laquelle est une loi incluse dans le p.f.d. (principe fondamental de la dynamique).
  24. On pourra aussi remplacer cette expression par « forme intégrale de la dynamique ».
  25. Ou encore plus simplement « r.f.d. sous forme intégrée ».
  26. Mais qui sera néanmoins exposée en complément plus loin dans ce chapitre.
  27. C'est-à-dire les grandeurs qui créent la variation d'énergie cinétique .
  28. 28,0 et 28,1 C’est un théorème car il se démontre à partir du théorème de la puissance cinétique.
  29. Toujours non linéaire car l’énergie cinétique est une forme « non linéaire de ».
  30. Revoir le paragraphe « notion d'intégrale 1ère du mouvement associée à une forme locale de la dynamique » plus haut dans ce chapitre.
  31. Cette intégrale 1ère du mouvement du point étant non linéaire est rarement simple à intégrer, son utilisation n'a donc pas pour raison 1ère d'être intégrée …
    ...d'ailleurs on l'écrit le plus souvent sans remplacer par .
  32. 32,0 et 32,1 La notation historique (comme celle du travail élémentaire est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole précédant une grandeur définie à chaque instant) dont la signification est « petite variation de la grandeur » c'est-à-dire , or ici il n'y a pas de grandeur instantanée
    ...il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques …
  33. C'est-à-dire les grandeurs qui créent la variation de quantité de mouvement .
  34. Voir le paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre.
  35. 35,0 et 35,1 Appellation usuelle pour vecteur force résultant d'un abus …
  36. C'est-à-dire l'unité de quantité de mouvement.
  37. On peut ajouter que si les forces sont de norme finie non nulle leurs impulsions élémentaires sont d'ordre un en .
  38. En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force sera simplement noté sans rappeler les bornes de l'intervalle de temps.
  39. Voir la notion d'intégrale curviligne introduite dans le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que la méthode de calcul d'une telle intégrale dans le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du même chapitre de la même leçon.
  40. En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force sera simplement noté sans rappeler la courbe suivie ni les bornes de la portion de courbe.
  41. Voir le paragraphe « exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  42. Qui peut néanmoins être nulle.
  43. C'est-à-dire une durée d'échelle mésoscopique [revoir le paragraphe «