En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.
Un point matériel a un « mouvement conservatif » [1] dans un référentiel s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou si les éventuelles forces non conservatives [2] ne travaillent pas[3].
Intégrale 1ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif
Une conséquence de la définition d'un point matériel à mouvement conservatif [1] étudié dans un référentiel galiléen et utilisée dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique de ce point dans ce référentiel s'énonce selon :
dans un référentiel galiléen, « l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif [1] est conservée » [4], cet énoncé représente l'intégrale 1ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif [1].
En complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther
« À toute invariance des lois de la physique selon un groupe de symétries[6] est nécessairement associée une quantité conservée en toutes circonstances ».
Conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » dans un référentiel galiléen comme cas particulier du théorème d'Emmy Nœther
Pour tout instant d'étude d'un point matériel à mouvement conservatif [1] dans un référentiel galiléen, les lois de la physique appliquées à ce point doivent être « invariantes par translation de temps » [7] ;
d'après le théorème d'Emmy Nœther[5], il y a « conservation d'une grandeur cinétique du point matériel étudié dans un référentiel galiléen » traduisant, dans ce référentiel, l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations de temps » [8] et
d'après l'intégrale 1ère énergétique du point matériel à mouvement conservatif [1] dans un référentiel galiléen, « cette grandeur cinétique définie dans ce référentiel est l'énergie mécanique du point ».
Nécessité d'invariance des lois physiques par translation de temps pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sur l'« exemple d'un objet dans le champ de pesanteur terrestre uniforme »
L'invariance des lois physiques par translation de temps c.-à-d. l'indépendance du choix de l'origine des temps est nécessaire pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif [1] dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en effet :
si le poids dépendait de l'instant dans la journée par exemple plus faible à midi qu'à minuit, en montant à midi un objet au sommet d'une tour et en l'y déposant, on lui fournirait une certaine énergie potentielle de pesanteur [9] s'identifiant à l'énergie mécanique de l'objet une fois déposé mais qui dépendrait de l'instant de la journée où cette ascension est envisagé ;
si le poids était supposé plus grand à minuit qu'à midi, il en serait de même de l'« énergie potentielle de pesanteur dont il dérive avec choix d'une même référence » [10] et par suite l'énergie mécanique de l'objet déposé au sommet de la tour à midi deviendrait spontanément plus grande à minuit, ceci mettant en défaut la conservation de l'énergie mécanique d'un objet sans action extérieure travaillant
De plus, « la chute de l'objet à minuit restituerait une énergie plus grande qu'il n'aurait fallu en fournir pour monter l'objet à midi » [11] d'où un gain spontané d'énergie « gratuite et inépuisable », ce qui, malheureusement, n'est pas possible
Traité sur l'exemple d'un « pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) », l'axe du ressort étant choisi comme axe dirigé de l'extrémité fixe du ressort à celle reliée au point matériel et l'origine de cet axe étant la « position d'équilibre du point » [12] ;
le point matériel est soumis
à deux forces verticales non conservatives ou considérées comme telles le poids de et la réaction du support horizontal sur lequel repose [13],[14] « qui ne travaillent pas » [15] et
à une seule force horizontale conservative « la tension du ressort sur » selon la loi de Hooke [16],[17] s'écrivant encore, avec le choix de l'origine de l'axe horizontal en la « position d'équilibre du point » [12], dérivant de l'énergie potentielle élastique avec référence en la position à vide ;
nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif [1].
2ème exemple : chute libre sans vitesse initiale d’un objet supposé ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme
Traité en considérant le cas particulier , l'objet, supposé ponctuel et noté , a une trajectoire verticale choisie comme axe orienté dans le sens , l'origine de cet axe étant choisie en la position initiale ;
le point matériel n'est soumis qu'à une seule force verticale conservative « son poids » dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur avec référence en c.-à-d. à l'altitude de la position initiale ;
nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif [1].
3ème exemple : pendule pesant simple à un degré de liberté
Traité en considérant les C.I. [18] de lancement [19] du pendule pesant simple P.P.S.constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur , mobile autour de son extrémité fixe , l'autre extrémité étant liée à un point matériel dont on étudie le mouvement à savoir
on écarte le P.P.S. [20] de de sa position d'« équilibre stable » [21] et
on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude,
le mouvement du point matériel est plan, la trajectoire étant circulaire de centre dans le plan vertical de lancement, la position du point dans ce plan étant repérée en polaire de pôle et d'axe polaire vertical de ce plan, c.-à-d. par son abscisse angulaire ;
le point matériel est soumis
à une force conservative « son poids » vertical , dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur [22] avec référence en c.-à-d. à la cote de la position d'« équilibre stable » [21] et
à une force non conservative « la tension de la tige [23] s'exerçant sur » « qui ne travaille pas » [24] ;
nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif [1].
Étude énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif à une dimension sur l’exemple de la chute libre sans vitesse initiale, diagramme d’énergies potentielle et mécanique, présence d'un seul mur d'énergie potentielle (position de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) non bornée
Le point matériel de masse étant lâché sans vitesse initiale d'une position situé à l'altitude dans le champ de pesanteur terrestre uniforme , on choisit pour axe vertical orienté dans le sens l’axe passant par , l'origine de cet axe étant au niveau du sol ;
la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant également au niveau du sol, le point matériel , situé à l'altitude , possède, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie cinétique soit au total l'énergie mécanique
«» ;
l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de chute conservatif du point , s'écrit avec soit finalement, à l'instant ,
«».
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale avec précision du mur d'énergie potentielle et de la nature cinétiquement non bornée de la trajectoire
Diagramme d'énergie potentiellevoir ci-contre en bleu : tracé de la courbe d’énergie potentielle c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie potentielle en fonction du paramètre de position ; on note le point générique de cette courbe qui a pour abscisse et pour ordonnée ;
diagramme d'énergie mécaniquevoir ci-contre en rouge : tracé de la courbe d’énergie mécanique c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie mécanique en fonction du paramètre de position ; on note le point générique de cette courbe qui a pour abscisse et pour ordonnée ;
lorsqu'il y a « mouvement de à partir de ses C.I. [18] » [25], les points et se déplacent simultanément sur et dans des limites autorisées « à déterminer » et c’est l'étude de ces déplacements possibles que l'on cherche à trouver par étude graphique.
De la définition de , nous en déduisons représenté par soit «» [26],[27] et comme est, par définition, , « le point doit être au dessus de », ce qui interdit aux points génériques et d’être dans les zones correspondant à strictement au-dessus de ;
on définit ainsi « un (ou des) mur(s) d’énergie potentielle » défini(s) par une valeur constante du paramètre de position séparant une zone autorisée d'une zone interdite et représentés comme sur le schéma ci-dessus ;
quand les points génériques et sont confondus sur le mur d'énergie potentielle, l'énergie cinétique associée à cette situation étant nulle, ceci correspond à une position d’arrêt vitesse nulle du point ;
dans le cas présent il n’y a qu'un mur d’énergie potentielle , la zone située strictement à droite de ce mur étant interdite.
Présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée
Les C.I. [18] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d’énergie potentielle , la présence du mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [28], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle c.-à-d. vers la gauche
ces déplacements simultanés de et engendrant une continue de [26] se poursuivent indéfiniment hors présence d'obstacles la raison n'étant pas que soit en continue, mais que ne s'annule plus, c.-à-d. que et ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle ce qui a pour conséquence que « la trajectoire du point matérielà mouvement conservatif[1] est cinétiquement non bornée » [29]on dit encore d'un point matériel ayant une trajectoire cinétiquement non bornée qu'il est dans un état de diffusion.
Remarque 1 : dans le cas présent, le point matériel cessant d'être en chute libre quand il rencontre le sol, ce dernier représente une borne d'espace effective à la trajectoire de mais cette borne d'espace étant une limite du domaine d'application de la chute libre et non une conséquence de la chute tant que celle-ci reste libre, sa présence n'est pas incompatible avec la qualification de trajectoire cinétiquement non bornée ;
Remarque 1 : dans le cas présent, quand le point matériel en chute libre rencontre le sol, ce dernier exerce sur une « force de collision [30]force proportionnelle à un pic de Dirac [31] d'impulsion unité centré à l'instant de collision c.-à-d. [32]
donc discontinue de 2ème espèce [33] permettant l'arrêt du point » [34].
Remarque 2 : dans le cas présent, pour une chute sans vitesse initiale, l'abscisse du mur d'énergie potentielle est aussi l'altitude maximale possible de l'objet lors de sa chute, cette valeur maximale étant la valeur initiale.
Cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque
Non explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. mais ne soulevant aucune difficulté supplémentaire par rapport à la chute libre sans vitesse initiale d'où sa présentation
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale verticale , repérage du mur d'énergie potentielle et conséquence sur la nature (cinétiquement) non bornée de la trajectoire
L'intégrale 1ère énergétique du point matériel à chute libre conservative [1] reste la même qu'en absence de vitesse initiale «» avec la même référence d'énergie potentielle mais une énergie mécanique initiale modifiée en «» ;
le diagramme d’énergies potentielle et mécanique est tracé ci-contre, la courbe d'énergie potentielle , en bleu, étant la même qu'en absence de vitesse initiale et celle d'énergie mécanique , en rouge, translatée vers le haut relativement à celle du diagramme sans vitesse initiale de «» ;
on détecte l'existence d'« un et un seul mur d’énergie potentielle » déplacé vers la droite par rapport à celui du diagramme sans vitesse initiale :
initialement les points génériques et de et , respectivement en et tels que «[26]» se déplacent sur et vers la droite [35] «[26] jusqu'à ce que et rencontrent en le mur d'énergie potentielle sur lequel est au repos » mais
cette position « n'étant pas une position d'équilibre » [28] « ne peut rester constant et par suite et se déplacent sur et vers la gauche » ce qui correspond à un mouvement de chute libre de dans le sens des altitudes ces déplacements simultanés de et engendrant une croissance continue de se poursuivent indéfiniment [36], ce qu'on traduit par le fait que « a une trajectoire cinétiquement non bornée » [29],[37] est donc dans un état de diffusion ;
le mur d'énergie potentielle «» étant la valeur maximale de l'altitude possible du point matériel se calcule par intégrale 1ère énergétique du mouvement de soit «» ou «» [38] soit finalement «».
Retour sur l'étude de la chute libre d'un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme quand le point est lancé avec une vitesse initiale inclinée
Rappel des C.I.[18] : l'objet de C.D.I. [39] est lancé d'un endroit telle que la position de son C.D.I. [39] soit choisi comme origine du repère cartésien avec un mouvement de translation de vecteur vitesse initiale faisant l'angle avec l'axe horizontal du plan vertical de lancement tel que soit aigu, l'axe étant vertical et horizontal au plan vertical de lancement de façon à ce que le trièdre soit direct dans l'espace physique orienté à droite [40],[41], les angles du plan vertical de lancement étant orientés dans le sens trigonométrique direct ou sens anti-horaire par [42] ;
rappel des mouvements de, et[43] : « le mouvement du C.D.I. [39] se fait dans le plan vertical de lancement » d'où « immobile, confondu avec » [44],
rappel des mouvements de, et : « le mouvement de est rectiligne uniforme de vitesse » [44] et
rappel des mouvements de, et : « le mouvement de estrectiligne uniformément varié d'accélération et de vitesse initiale » [44], rappel des mouvements de, et : le mouvement étant d'abord ascendant dans la mesure où est , la trajectoire de admettant alors un sommet effectivement atteint et rappel des mouvements de, et : le vecteur vitesse de en ce sommet étant horizontal égal à ;
la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. [39] de ce dernier a un mouvement conservatif [1] » obéissant à l'« intégrale 1ère énergétique » ou la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. de ce dernier a un mouvement conservatif » obéissant à «» ;
la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, si est , on peut « déterminer l'altitude du sommet de la trajectoire du C.D.I. [39] par intégrale 1ère énergétique du mouvement de ce dernier » selon «» ou «» ou encore «» d'où
Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, isochronisme des oscillations
Avec l'axe horizontal du ressort choisi comme axe orienté de son extrémité fixe vers l'extrémité mobile où est lié le point matériel de masse , Avec le ressort étant idéal [47], à spires non jointives, de raideur et de longueur à vide , Avec l'origine de cet axe horizontal étant choisie à la position d'équilibre de [12], Avec le point est initialement écarté de de la « position d'équilibre du P.E.H.N.A. [48] » [12] et lâché sans vitesse initiale ;
le point , situé à l'abscisse , possède une « énergie potentielle élastique égale, avec choix d'une référence à la position d'équilibre du point [12], à [49] » et le point , situé à l'abscisse , possède une « énergie cinétique » soit le point , situé à l'abscisse , possède une « énergie mécanique » ;
« le point étant à mouvement conservatif [1] » la seule force travaillant étant la force exercée par le ressort, laquelle est conservative, « le point étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. [48], s'écrit « avec [50] » « le point étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. , soit finalement, à l'instant , «».
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.
L'étude d’un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'est pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I. [51], toutefois cette étude est intéressante car elle représente un autre exemple d'état lié que celui du pendule pesant simple non amorti P.P.S.N.A. traité à la suite du P.E.H.N.A. [48].
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal non amorti écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature cinétiquement bornée de la trajectoire
Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes
d'énergie potentielle en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une parabole [52] de concavité positive, de sommet et d'axe et
d'énergie mécanique en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une droite à l'axe des d'ordonnée .
Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée
On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que ,
l'un correspondant à position commune initiale des points génériques et d'abscisse et
l'autre correspond à position symétrique de par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse ;
ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines pour la variation de l'abscisse du P.E.H.N.A. [48] c.-à-d. que ce dernier a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse étant un intervalle à bornes finies à savoir on dit encore du P.E.H.N.A. [48] ayant une trajectoire cinétiquement bornée qu'il est dans un état liéce qui correspond à un déplacement possible des points génériques et des courbes et entre deux murs d'énergie potentielle ou, à un déplacement possible de ces points dans une cuvetteou puitsd'énergie potentielle.
Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H. « par diagramme énergétique »
La nature oscillatoire a déjà été établie dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à partir de l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A. [48],[53].
Les C.I. [18] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d'énergie potentielle de droite , la présence du mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [28], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite c.-à-d. vers la gauche
ces déplacements simultanés de et engendrant d'abord une continue de [26] jusqu'au passage de par puis une continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de gauche , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [28], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche c.-à-d. vers la droite
ces déplacements simultanés de et engendrant d'abord une continue de [26] jusqu'au nouveau passage de par puis une continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de droite , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de et se poursuivent indéfiniment en absence d'amortissements de façon identique
d'où, en conséquence, « la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.N.A. [48] ».
Détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H. en utilisant l'intégrale 1ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale
La nature périodique a déjà été établie simultanément à la nature oscillatoire dans le chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en résolvant l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A. [48],[53].
Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.H.N.A. [48] par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour » :
on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.E.H.N.A. [48] avec les mêmes C.I. [18] que précédemment [54]» soit on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique «» [55] et par suite on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique « la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'abscisse de » [56] s'écrit «» [57],[55] ;
on utilise dans un 2ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre et suivant le sens de déplacement des points et entre les deux murs d'énergie potentielle soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette ou puits d'énergie potentielle :
on utilise dans un 2ème temps pour le nème aller des points et de à , d'où correspondant à est «» [57], la durée totale on utilise dans un 2ème temps du nème aller s'obtenant alors par intégration selon «» [58] ;
on utilise dans un 2ème temps pour le nème retour des mêmes points de à , d'où correspondant à est «» [57], la durée totale on utilise dans un 2ème temps du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon «» [58] ;
on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation du point , «» soit finalement on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation «[58] indépendante de » on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes, on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. [48].
La période du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. [48] étant la durée d'un aller-retour des points et de à en passant par , s'obtient par l'intégrale suivante
Dans le cas présent du P.E.H.N.A. [48] qui est un oscillateur harmonique non amorti d'« équation différentielle normalisée où est la pulsation propre de l'oscillateur », la propriété d'isochronisme est évidente car la solution, avec les C.I. précédemment introduites, s'écrit
«» [53] d'« amplitude » et de « périodepropreindépendante de l'amplitude» [60] ;
toutefois, au regard de l'expression de la période sous forme intégrale «» [58],[61] faisant intervenir dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, on pourrait penser que « cette période [61] dépende de l'amplitude » est la propriété la plus vraisemblable mais il n'en est rien d'après l'expression de la période propre dans laquelle n'apparaît pas !
Pour vérifier l'« indépendance de [58],[61] relativement à », on « transforme l'intégrale généralisée [58] de façon à faire disparaître de la fonction à intégrer », ce qui entraînera aussi, comme il y a isochronisme des oscillations, la disparition de des bornes d'intégration :
pour cela « on met en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer » selon «» [58] soit, en posant «», l'expression de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable «» [58],[61] vérifiant effectivement la propriété d'« isochronisme des oscillations » [62] ;
parallèlement le calcul de l'intégrale généralisée [58] peut être achevé sachant que « admet pour primitive » [63] ce qui implique «» et par suite «» [61] C.Q.F.V. [64].
En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « oscillateur harmonique amorti »
La présence d'une « force de frottement fluide linéaire » non conservative agissant sur le point matériel d'un pendule élastique horizontal amorti P.E.H.A. et développant un travail, rend le mouvement du point matériel « non conservatif », ce qui nie l'existence d'une intégrale 1ère énergétique pour le P.E.H.A. [65], « l'énergie mécanique de ce dernier obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » « toujours » [66].
La courbe d'énergie potentielle reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. [48] c.-à-d. une parabole [52] de concavité positive, mais
la cocelle d'énergie mécanique n’est plus une droite à l'axe des ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de au point d'abscisse » soit « ou finalement » ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à au point générique d'abscisse : la courbe d'énergie mécanique elle est à l'axe des aux points et correspondant à à l'arrêt [67], ces points et étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle et d'énergie mécanique , la courbe d'énergie mécanique en tout autre point la pente de la tangente à y est , la courbe d'énergie mécanique en tout autre point elle est « positive quand le paramètre de position » c.-à-d. « quand se déplace vers la gauche » et la courbe d'énergie mécanique en tout autre point elle est « négative quand le paramètre de position » c.-à-d. « quand se déplace vers la droite », enfin la courbe d'énergie mécanique « la pente de la tangente à est extrémale aux points associés aux instants où la vitesse de est de valeur absolue maximale » c.-à-d. « là où l'énergie cinétique du P.E.H.A. [65] est maximale » cela correspond aussi aux instants tels que «[26] est maximal » [68] ; la courbe d'énergie mécanique « suivant la valeur plus ou moins grande de » ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement », « la valeur absolue de la pente de la tangente à est plus ou moins grande » :
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. [65] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement apériodique très amortiDiagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. [65] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement apériodique critique
« si est relativement grand » plus précisément « si est », « la courbe , partant de aboutira directement en », correspondant à un « régime apériodique ou apériodique critique de » voir les diagrammes d’énergies potentielle et mécanique ci-contre, avec C.I. [18] et cœfficients d'amortissement différents ou facteurs de qualité [69] différentsou à gauche et ou à droite ; dans les cas ci-contre, le retour à la position d'équilibre se fait, à partir de , avec une énergie cinétique faible dans ces deux cas, «[26] étant petit »et même très faible dans le cas à gauche ; si l'on compare les deux diagrammes d'énergies, c'est dans le cas d'un régime apériodique critique à droite que le retour à la position d'équilibre est le plus rapide il se fait à énergie cinétique plus grande, plus « écartée » de ;
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. [65] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amortiDiagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. [65] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique faiblement amorti
« si est relativement faible » c.-à-d. « si est », « la courbe , partant de rencontrera en » quand puis « repartira dans l'autre sens et rencontrera en » quand etc correspondant à un « régime pseudo-périodique de » ci-contre diagrammes d’énergies potentielle et mécanique avec C.I. [18] et cœfficients d'amortissement différents ou facteurs de qualité [69] différentsou à gauche et ou à droite ; dans les cas ci-contre « et partent d'un 1er mûr d'énergie potentielle en , butent sur un 2ème en puis un 3ème en , un 4ème en etc» chaque couple de murs d'énergie potentielle , , correspondant à une pseudo-oscillation de , « l'amplitude de ces pseudo oscillations [70] » ; remarque : « la durée pour aller de à via , de à via ou de à via est la même pour une même valeur de cœfficient d'amortissement » car chacune correspond à une pseudo-période avec la période propre du P.E.H.N.A. [48],[71], toutefois il est impossible de le montrer par simple étude du diagramme énergétique.
Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations
Le P.P.S. [20]constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur , mobile autour de son extrémité fixe , l'autre extrémité étant liée à un point matériel dont on étudie le mouvement est à un degré de liberté si les C.I. [18] de lancement sont les conditions [19]
à savoir « P.P.S. [20] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché sans vitesse initiale » ou
à savoir « P.P.S. [20] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vitesse initiale dans le plan vertical de lancement ».
Le point matériel étant lâché dans les C.I. [18], son mouvement est plan dans le plan vertical de lancement [72] ;
Schéma d'un P.P.S. [20] à mouvement circulaire d'axe passant par avec repérage polaire de pôle et d'axe du point du P.P.S. [20] et représentation des deux forces s'appliquant sur
on oriente l'axe vertical passant par dans le sens, l'origine de cet axe étant le point et le sens des angles du « plan vertical de lancement » tel que l'élongation angulaire initialesoit positive, permet de préciser l'orientation de l'« axe autour duquel le P.P.S. [20] tourne » [73] selon ;
on utilise le « repérage polaire de pôle et d'axe polaire pour repérer le point dans le plan de son mouvement c.-à-d le plan vertical de lancement », « ses coordonnées polaires étant » et « sa base polaire » avec «» d'une part et «» [74],[75] d'autre part ;
le point matériel étant soumis à son « poids » force conservative dérivant de l'« énergie potentielle de pesanteur » [22] avec référence en c.-à-d. à la cote de la position d'« équilibre stable » [21] et le point matériel étant soumis à une force non conservative « la tension de la tige s'exerçant sur » « qui ne travaille pas » [24],
le point matériel a un « mouvement conservatif » [1], caractérisé par l’intégrale 1ère énergétique « avec » et « d'après les C.I. [18]» soit, la cote du point étant liée à son abscisse angulaire par et son vecteur vitesse étant tangent à sa trajectoire circulaire avec , d'où le point matériel a un « mouvement conservatif », la réécriture de l'intégrale 1ère énergétique du point «» selon le point matériel a un « mouvement conservatif », « lancé sous C.I. [18][19] le point matériel a un « mouvement conservatif », et référence de l'énergie potentielle de pesanteur au passage par la “ position d'équilibre stable ” [21] ».
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) « 1a »
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle ainsi que de la nature cinétiquement bornée de la trajectoire
Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes
d'énergie potentielle en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une sinusoïde tracée sur une période de l'intervalle de variation de à savoir , de minimum nul pour et de maxima pour , la valeur moyenne étant obtenue pour et
d'énergie mécanique en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une droite à l'axe des d'ordonnée l'élongation angulaire initiale étant avec une vitesse angulaire initiale nulle.
Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée
On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'élongations angulaires interdites tels que ,
l'un correspondant à position commune initiale des points génériques et d'abscisse angulaire et
l'autre correspond à position symétrique de par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse angulaire ;
ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines pour la variation de l'abscisse angulaire du point matériel ceci entraînant que a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse angulaire étant un intervalle à bornes finies à savoir le point matériel est donc dans un état liéceci correspondant à un déplacement possible des points génériques et des courbes et entre les deux murs d'énergie potentielle ou, ce qui est équivalent, dans une cuvetteou puitsd'énergie potentielle.
Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté « par diagramme énergétique »
Préliminaire : La nature oscillatoire n'a pas été établie mais simplement vérifiée dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », Préliminaire : vérifications numérique par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A. [76],[77] ou Préliminaire : vérifications graphique par tracé de portraits de phase[78] correspondants [79], Préliminaire : nous nous proposons de la vérifier de nouveau graphiquement par diagramme d'énergies potentielle et mécanique tracé dans un paragraphe précédent.
Les C.I. [18] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d'énergie potentielle de droite , la présence du mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [28], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite c.-à-d. vers la gauche
ces déplacements simultanés engendrant d'abord une continue de [26] jusqu'au passage de par puis une continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de gauche , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;
or qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [28], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche c.-à-d. vers la droite
ces déplacements simultanés engendrant d'abord une continue de [26] jusqu'au nouveau passage de par puis une continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de droite , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de et se poursuivent à l'infini en absence d'amortissements de façon identique
d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S.N.A.[76].
Détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale
Préliminaire : La nature périodique n'a pas été établie mais simplement vérifiée simultanément à la nature oscillatoire dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » Préliminaire : par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A. [76],[77]par contre le tracé des portraits de phase[78] n'apporte aucune information [80], Préliminaire : nous nous proposons de l'établir en utilisant simultanément l'intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique.
Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A. [76] par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour » :
on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. [76] avec les mêmes C.I. [18] que précédemment [81]», «» [55] d'où on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique « la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point » s'écrit on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique « la durée élémentaire «» [82],[55] ;
on utilise dans un 2ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre et suivant le sens de déplacement des points et entre les deux murs d'énergie potentielle soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette ou puits d'énergie potentielle :
on utilise dans un 2ème temps pour le nème aller des points et de à , d'où correspondant à est «» [82], on utilise dans un 2ème temps la durée totale du nème aller s'obtenant alors par intégration selon «[58] ;
on utilise dans un 2ème temps pour le nème retour des mêmes points de à , d'où correspondant à est «» [82], on utilise dans un 2ème temps la durée totale du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon «» [58] ;
on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation du point , «» soit finalement on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation «[58] indépendante de » on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes, on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. [76].
La période du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. [76] étant la durée d'un aller-retour des points et de à en passant par , s'obtient par l'intégrale suivante
«» [58],[83] ou encore «» avec « la période des petites élongations angulaires [84] du P.P.S.N.A. [76],[85] ».
Remarque : L'intégrale généralisée n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul par exemple Scilab[86] pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur numérique de .
Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. [76] écrite sous forme intégrale «[58],[87] avec période des petites élongations angulaires [84],[85] du P.P.S.N.A. [76] » faisant intervenir dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. on ne peut affirmer que « cette période dépende effectivement de l'amplitude » car il pourrait y avoir un effet de compensation comme cela se produit dans l'expression de la période sous forme intégrale d'un P.E.H.N.A. [48][58],[61],[88] ;
pour pouvoir affirmer que « la période d'oscillation sous forme intégrale [58] d'un P.P.S.N.A. [76] dépend effectivement de l'amplitude », on choisit d'éliminer des bornes d'intégration en s'attendant à ce que reste dans la fonction à intégrer [89] et, si ceci se produit, cela démontre l'effective dépendance de la période d'oscillations avec l'amplitude ;
pour pouvoir affirmer la présence de la racine carrée de l'expression suggère de passer en angle moitié par utilisation de «» dont on déduit «» d'où «» dans laquelle «» dont une conséquence étant «» permet de choisir une « nouvelle variable telle que » d'où «» soit encore «» avec surtout « des valeurs de bornes d'intégration pour indépendantes de » car à «», d'où, étant aigu, la réécriture de l'expression «» ;
pour pouvoir affirmer pour poursuivre le changement de variable « on différencie l'expression » soit «» «» pour pouvoir affirmer expression dans laquelle il faut éliminer au profit de dans le membre de droite soit, étant aigu, «» d'où pour pouvoir affirmer l'expression finale de en fonction de , «» ;
pour pouvoir affirmer l'intégrale généralisée à transformer se réécrit donc «» [90] soit finalement l'expression de la période sous forme intégrale du P.P.S.N.A. [76] avec utilisation de la variable , «» avec « la période des petites élongations angulaires [84] du P.P.S.N.A. [76],[85] », expression intégrale de justifiant l'absence d'isochronisme des oscillations du P.P.S.N.A.[76] car « dépend effectivement de » [91].
En complément : évaluation numérique de la période et comparaison avec l'« expression approchée de de Borda »
«» dans laquelle « est la période propre des petites élongations angulaires » [84] et « l'amplitude des oscillations [93]a priori non petite exprimée en », celle-ci devant être à pour donner un résultat correct à près.
Le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A. [76] à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale et Le logiciel de calcul numérique utilisé pour la comparer à l'expression empirique de « de Borda » [92] Le logiciel de calcul numérique est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab » [94], le programme utilisé [95] ainsi que les commentaires immédiats sont donnés ci-dessous :
si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. [76] est dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité , pour une élongation angulaire initiale et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme en noir, les réponses de Scilaben rouge et mes commentaires entre parenthèses en bleu donnent :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667(période des petites élongations angulaires)
%theta1 = %pi/3 ;
function y = f(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta1/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction
Tb = T0*(1+(%theta1)^2/16) Tb = 2.1435603(expression approchée de de Borda)
(T1-Tb)/T1 ans = 0.0043265(soit 0,43 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda)[96] ;
si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. [76] est dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité , pour une élongation angulaire initiale et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme en noir, les réponses de Scilaben rouge et mes commentaires entre parenthèses en bleu donnent :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667(période des petites élongations angulaires)
%theta2 = 2*%pi/3 ;
function y = g(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta2/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction
Tb = T0*(1+(%theta2)^2/16) Tb = 2.5560413(expression approchée de de Borda)
(T2-Tb)/T2 ans = 0.0719107(soit 7,19 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda)[96] ;
si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. [76] est dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité , pour une élongation angulaire initiale et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme en noir, les réponses de Scilaben rouge et mes commentaires entre parenthèses en bleu donnent :
g = 9.81 ;
L = 1.0 ;
T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667(période des petites élongations angulaires)
%theta3 = 5*%pi/6 ;
function y = h(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta3/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction
T3 = integrate('h(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T3 = 3.5350982(période par calcul d’intégrale)
Tb = T0*(1+(%theta3)^2/16) Tb = 2.8654019(expression approchée de de Borda)
(T3-Tb)/T3 ans = 0.1894420(soit 18,94 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda)[96].
Retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en termes de diagramme d'énergies potentielle et mécanique
nous avons également vu une « 2èmedéfinition énergétique d’un oscillateur harmonique (équivalente à la 1ère) » au chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir nous avons également vu une « 2ème définition « un oscillateur harmonique est un système physique à un degré de liberté de paramètre d'état noté plongé dans un puits d'énergie potentielle parabolique en absence de grandeur de dissipation, le système physique est “ conservatif ” [98] et l'oscillateur n'est pas amorti» ;
il faut donc montrer que la courbe d'énergie potentielle se confond avec une parabole [52] dans l'hypothèse des petites oscillations [84] ;
il faut donc montrer dans le cas des petites élongations angulaires [84] obtenues dans les C.I. [18] où le pendule a été écarté initialement de sa position d'équilibre stable [21] d'un petit angle et lâché sans vitesse initiale, les oscillations de faible amplitude correspondant à , on peut donc effectuer un « D.L. [99] de au voisinage de à l'ordre deux en » [100] selon «» et en déduire le D.L. [99] au voisinage de au même ordre deux en de l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.S. [20] à savoir «» soit « à l'ordre deux en » la courbe d'énergie potentielle est, au voisinage de son minimum, localement parabolique ;
il faut donc montrer nous vérifions donc bien en terme énergétique que le P.P.S. [20] à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires [84] est un oscillateur harmonique, il faut donc montrer nous vérifions donc bien en terme énergétique que le P.P.S. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires étant localement parabolique. L'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires [84] est alors celle effectuée, plus haut dans ce chapitre, aux paragraphes référencés ci-dessous :
Dans ce paragraphe on considère les C.I. [18] de lancement [19] du P.P.S.N.A. [76]toujours constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur , mobile autour de son extrémité fixe , l'autre extrémité étant liée à un point matériel dont on étudie le mouvement à savoir
on écarte le P.P.S. [20] de de sa position d'« équilibre stable » [21] et
on le lâche avec un « vecteur vitesse initiale » de son point dans le « plan vertical de lancement » [101] du référentiel d'étude ;
le mouvement du point matériel est plan [72], la trajectoire étant circulaire de centre dans le « plan vertical de lancement » [101], la position du point dans ce plan étant repérée en polaire de pôle et d'axe polaire vertical de ce plan [102], par son abscisse angulaire [102] et le vecteur vitesse initiale correspond à une vitesse angulaire initiale [103].
En absence de force d'amortissement le mouvement du point matériel est encore « conservatif » et l'intégrale 1ère énergétique est toujours vérifiée à savoir
«» avec «» ;
le tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point est donc le même à l'exception du positionnement de la courbe d'énergie mécanique par rapport à celle d'énergie potentielle et par suite l'existence des murs d'énergie potentielle n'est plus assurée.
Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement [101] tel que l'énergie mécanique initiale soit au maximum de l'énergie potentielle avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature cinétiquement bornée de la trajectoire
La condition pour que le mouvement de soit « oscillatoire » est que les murs d'énergie potentielle existent [104], ce qui est réalisé si « l'énergie mécanique initiale est c.-à-d. strictement inférieure au maximum de l'énergie potentielle » soit finalement
«» ;
on peut en déduire une autre condition équivalente sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale , en effet «» soit finalement
«», voir diagramme ci-contre avec «» et «» [105] ;
« l’amplitude d'oscillation définie par et se détermine par » intégrale 1ère énergétique selon soit finalement
«[106] » et, sur l'exemple ci-contre,
«[106] » d'où « les deux murs d'énergie potentielle ».
Le mouvement oscillatoire du P.P.S.N.A. [76] lancé dans les C.I. [18] est périodique [107] comme celui du P.P.S.N.A. [76] lancé dans les C.I. [18], de période, sous forme intégrale, égale à «» [107] ou «» avec « la période des petites élongations angulaires [84] du P.P.S.N.A. » [76],[85], « étant l'amplitude des oscillations déterminée par [106]» [108] ;
bien entendu il y a toujours absence d'isochronisme pour la même raison que celle exposée au paragraphe « absence d'isochronisme des oscillationsle P.P.S. y étant lancé dans les C.I. [18] plus haut dans ce chapitre il suffit pour l'étendre aux C.I. [18] de remplacer par .
Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec dans le plan vertical de lancement [101] tel que l'énergie mécanique initiale soit au maximum de l'énergie potentielle avec précision de l'absence de murs d'énergie potentielle et de la nature révolutive du mouvement dans le sens initial de ce dernier
La condition pour que le mouvement de soit « révolutif » [109] est que les murs d'énergie potentielle n'existent pas, La condition pour que le mouvement de soit « révolutif » ceci nécessitant que « l'énergie mécanique initiale soit c.-à-d. strictement supérieure au maximum de l'énergie potentielle » soit finalement «» ;
on peut en déduire une autre condition équivalente sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale , en effet «» soit finalement
«», voir diagramme ci-contre avec «» et «» [110] ;
« si », les points et se déplaçant respectivement sur et simultanément .
Quel que soit le sens du mouvement révolutif [109] du P.P.S.N.A. [76], son énergie cinétique est :
« minimale pour » de valeur «» soit «» dans les C.I. [18] du diagramme ci-contre et et
« maximale pour » de valeur «» soit «» dans les mêmes C.I. [18] du diagramme ci-dessus et .
Le mouvement révolutif [109] du P.P.S.N.A. [76] lancé dans les C.I. [18] est périodique, la démonstration se faisant de façon analogue à celle du mouvement oscillatoire d'un P.P.S.N.A. [76] lancé dans les C.I. [18][111]on établit que la durée d'un tour est indépendante du nombre de tours effectués auparavant, cette durée définissant la période de révolution du P.P.S.N.A. [76] sous forme intégrale ;
Le mouvement révolutif nous supposerons « ce qui engendre un mouvement révolutif [109] dans le sens » [112] :
Le mouvement révolutif nous supposerons «on utilise d'abord l'« intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. [76] avec les C.I. [18] assurant un mouvement révolutif [109]» et l'énergie mécanique à l'instant «» d'où, « sans expliciter l'énergie mécanique initiale », «» [113] et par suite on peut exprimer « la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point » selon «» [114] ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «pour le 1er aller des points et de à , de à d'où correspondant à est et la durée totale du 1er tour s'obtient par intégration selon «» [115] ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «pour le nème aller de et de à , de à d'où correspondant à est et la durée totale du nème tour s'obtient par intégration selon «» [116] ou encore «» la fonction à intégrer étant -périodique et les bornes d'intégration différant respectivement d'un même multiple de [117] ;
Le mouvement révolutif nous supposerons «« la durée d'un tour étant indépendante du nombre de tours effectués auparavant », le mouvement révolutif [109] du P.P.S.N.A. [76] est périodique.
Le mouvement révolutif La période du mouvement révolutif [109] de étant la durée d'un aller des points et de à [118] elle s'écrit
«» [119] ou encore «» [120],[121] avec « la période des petites élongations angulaires [84] du P.P.S.N.A. » [76],[85] ou enfin, «» quel que soit le signe de [122] ceci établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » [123],[124].
Remarque : L'intégrale n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul par exemple Scilab pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur de l'énergie mécanique initiale ou de la quantité sans dimension permettant un mouvement révolutif [109] ;
Remarque : le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A. [76] à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale Remarque : le logiciel de calcul numérique est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab » [94], voir ci-dessous le programme utilisé [95] et les commentaires immédiats :
Remarque : si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. [76] est dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité , pour une élongation angulaire initiale et une vitesse angulaire initiale et , les lignes de programme en noir, les réponses de Scilaben rouge et mes commentaires entre parenthèses en bleu donnent :
Remarque : g = 9.81 ;
Remarque : L = 1.0 ;
Remarque : m = 1 ;
Remarque : T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667(période des petites élongations angulaires en s)
Remarque : %alpha1 = E1/(2*m*g*L) %alpha1 = 1.25(grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)
Remarque : function y = f(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha1-sin(%theta/2)^2) ; endfunction
Remarque : T1 = integrate('f(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T1 = 1.289174(période en s par calcul d'intégrale) ;
Remarque : si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. [76] est dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité , pour une élongation angulaire initiale et une vitesse angulaire initiale et , les lignes de programme en noir, les réponses de Scilaben rouge et mes commentaires entre parenthèses en bleu donnent :
Remarque : g = 9.81 ;
Remarque : L = 1.0 ;
Remarque : m = 1 ;
Remarque : T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667(période des petites élongations angulaires en s)
Remarque : U2 = m*g*L*(1 – cos(%theta2)) U2 = 14.715(énergie potentielle initiale en J)
Remarque : E2 = K2 + U2 E2 = 34.335(énergie mécanique initiale en J)
Remarque : %alpha2 = E2/(2*m*g*L) %alpha2 = 1.75(grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)
Remarque : function y = g(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha2-sin(%theta/2)^2) ; endfunction
Remarque : T2 = integrate('g(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T2 = 0.9267048(période en s par calcul d'intégrale) ;
Remarque : si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. [76] est dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité , pour une élongation angulaire initiale et une vitesse angulaire initiale et , les lignes de programme en noir, les réponses de Scilaben rouge et mes commentaires entre parenthèses en bleu donnent :
Remarque : g = 9.81 ;
Remarque : L = 1.0 ;
Remarque : m = 1 ;
Remarque : T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667(période des petites élongations angulaires en s)
Remarque : %alpha3 = E3/(2*m*g*L) %alpha3 = 1.00005(grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)
Remarque : function y = h(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha3-sin(%theta/2)^2) ; endfunction
Remarque : T3 = integrate('h(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T3 = 4.0471171(période en s par calcul d'intégrale).
Remarque : Commentaires : Plus l'énergie mécanique initiale est grande, plus la période est courte : Remarque : Commentaires : pour «», «», Remarque : Commentaires : pour «», «», Remarque : Commentaires : pour «», «» et enfin Remarque : Commentaires : quand «», «».
Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable
La condition pour que le mouvement de s'arrête en une « position d'équilibre [28] instable » [125] est que « les deux murs d'énergie potentielle coïncident avec » c.-à-d. que « l'énergie mécanique initiale soit égale au maximum de l'énergie potentielle[126]» soit la réécriture de la condition pour que le mouvement de s'arrête en une « position d'équilibre [28] instable » [125] «» ;
détermination de la condition équivalente sur la vitesse angulaire initiale : «» soit finalement
si «», les points et se déplacent respectivement sur et simultanément .
En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « pendule pesant simple amorti (P.P.S.A.) à un degré de liberté »
La présence d'une force de frottement fluide linéaire «» non conservative agissant sur le point matériel d'un pendule pesant simple amorti P.P.S.A. et développant un travail, rend le mouvement du point matériel « non conservatif » il n'existe pas d'intégrale 1ère énergétique pour le P.P.S.A. [128], « l'énergie mécanique de ce dernier obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » c.-à-d. « toujours » [66].
La courbe d'énergie potentielle reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] c.-à-d. une sinusoïde, mais
la cocelle d'énergie mécanique n’est plus une droite à l'axe des ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de au point d'abscisse angulaire » soit « ou finalement » ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à au point générique d'abscisse angulaire : la courbe d'énergie mécanique elle est à l'axe des aux éventuels points et correspondant à à l'arrêt [129], ces points et étant respectivement les éventuels points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle et d'énergie mécanique , la courbe d'énergie mécanique en tout autre point la pente de la tangente à y est , la courbe d'énergie mécanique en tout autre point elle est « positive quand le paramètre de position » c.-à-d. « quand se déplace vers la gauche » et la courbe d'énergie mécanique en tout autre point elle est « négative quand le paramètre de position » c.-à-d. « quand se déplace vers la droite », enfin la courbe d'énergie mécanique « la pente de la tangente à est extrémale aux points associés aux instants où la vitesse de est de valeur absolue maximale » c.-à-d. « là où l'énergie cinétique du P.P.S.A. [128] est maximale » cela correspond aussi aux instants tels que «[26] est maximal » [130] ; la courbe d'énergie mécanique « suivant la valeur plus ou moins grande de » ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement », « la valeur absolue de la pente de la tangente à est plus ou moins grande » mais dans les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique représentés ci-dessous, nous nous sommes systématiquement placés dans les cas de « faible amortissement » [131], , la longueur du P.P.S. étant et l'intensité de la pesanteur terrestre valant d'où une pulsation des petites oscillations [84] :
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. [20] faiblement amorti écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché sans vitesse initiale avec précision des murs d'énergie potentielle successifs de plus en plus resserrés justifiant la nature oscillatoire amortie du mouvement du P.P.S.A. [128]Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. [20] faiblement amorti écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vitesse initiale telle que le mouvement associé au diagramme soit révolutif [109] amorti sur le 1er tour puis oscillatoire amorti et celui associé au diagramme soit directement oscillatoire amorti
ci-contre, à gauche, le diagramme d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. [20]faiblement amorti à un degré de liberté lancé dans les C.I. [18]on constate que les murs successifs d'énergie potentielle se resserrent l'amplitude oscillatoire , les murs atteints étant respectivement à droite , , et à gauche , , étant le mur de gauche initial, ci-contre, à droite, la superposition de deux diagrammes d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. [20]faiblement amorti à un degré de liberté lancé dans les C.I. [18] soit diagramme avec P.P.S.A. [128] lancé dans les C.I. [18] d'où « une énergie cinétique initiale » et « une énergie mécanique initiale » c.-à-d. une énergie mécanique initiale permettant au P.P.S.A. [128] d'avoir un mouvement révolutif [109] amorti sur le 1er tour avant de poursuivre en mouvement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable [21] repéré par [132],
diagramme avec P.P.S.A. [128] lancé dans les C.I. [18] d'où « une énergie cinétique initiale » et « une énergie mécanique initiale » ce qui correspond à une énergie mécanique initiale insuffisante pour que le P.P.S.A. [128] ait un mouvement éventuellement révolutif [109] amorti sur le 1er tour, son mouvement étant directement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable [21] repéré par [133] ;
remarque : dans le cas où le P.P.S.A. [128] serait lancé dans l'autre sens avec la même valeur absolue de vitesse angulaire et à partir de la même position angulaire, c.-à-d. correspondant aux C.I. [18], donc avec la même valeur d'énergie mécanique initiale que celle du diagramme mais dans l'autre sens, on pourrait observer l'« absence de mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle » et par suite « un mouvement révolutif amorti [109] du P.P.S.A. [128] sur un 1er tour dans le sens », suivi d'« un mouvement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable [21] repérée par » [134].
1er additif : « trouver l'équation différentielle du 2ème ordre d'un P.P.S. à partir de considérations énergétiques »
Si le P.P.S. [20] est « non amorti » [135], il suffit, pour déterminer son équation différentielle du 2ème ordre en à partir de son « intégrale 1ère énergétique » dans laquelle « est l'énergie mécanique à l'instant » et « l'énergie mécanique initiale dépendant des C.I. [18][19] »,
Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, de « dériver cette intégrale 1ère énergétique par rapport à » avec «» et «» d'où «» puis
Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, de « simplifier par » [136] d’où «» et finalement la forme normalisée de l'équation différentielle du 2ème ordre en Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, de « simplifier par » d’où «».
En complément : si le P.P.S. [20] est « amorti » [137], il faut, pour déterminer son équation différentielle du 2ème ordre en à partir de considérations énergétiques,
En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, « expliciter le théorème de la puissance mécanique » dans lequel « est la résistance à l'avancement de dans le fluide entourant le P.P.S. [20], la puissance instantanée de cette dernière s'écrivant » et « la puissance mécanique du P.P.S.A. [128] restant la même que celle du P.P.S.N.A. [76] soit » d'où «» puis
En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, « simplifier par » [136] «» d'où l'équation différentielle normalisée du 2ème ordre en En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, « simplifier par » «».
2ème additif : « dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil »
Schéma d'un P.P.S.N.A. [76] à un degré de liberté lancé dans les C.I. [18][19], le point du P.P.S.N.A. [76] à fil idéal [138] supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe passant par avec repérage polaire de pôle et d'axe de et représentation des deux forces s'appliquant sur lui
Tout ce qui a été traité auparavant dans ce chapitre ou le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » concernant un P.P.S.N.A. [76] à un degré de liberté reste applicable à condition de vérifier que le fil idéal[138] remplaçant la tige rigide sans masse est effectivement tendu ;
le vecteur force « tension du fil » [139] exercé sur s'écrivant , « le fil idéal [138] sera tendu si la mesure algébrique de la composante radiale de est » si tel est le cas la tension du fil c.-à-d. la norme du vecteur « tension du fil » [139] et est usuellement notée ;
on obtient par projection, sur , de la r.f.d.n. [140] appliquée à dans le référentiel terrestre supposé galiléen «» avec le vecteur accélération de dans soit «», « étant l'accélération radiale de en mouvement circulaire de centre et de rayon égale à » [141] dont on tire «» ;
on exprime alors en fonction de et de l'énergie mécanique initiale par l'intégrale 1ère énergétique «» que l'on reporte dans l'expression de obtenue précédemment par utilisation de la r.f.d.n. [140] soit «» et finalement, après simplification et regroupement des termes
«» ;
« le fil reste tendu dans tout le mouvement si [142] est », ce qui est réalisé « si le maximum de est » mais, pour poursuivre, il convient d'introduire le domaine de variation de , ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. [76] suivant :
« le fil reste tendu « si est à [143] le mouvement du P.P.S.N.A. [76], dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif [109] », le domaine de variation de est «» mais la fonction [142] étant -périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de [142] soit, « le fil reste tendu « si est à avec , le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif [109] si « ou » [144] et, « le fil reste tendu « si est à avec , le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif si « ou » [144], « le fil reste tendu « si est à soit, la fonction [142] étant paire, une même condition indépendante du signe de , «» [144] ;
« le fil reste tendu « si est à «[142] étant une fonction sur », la condition «» [144] se réécrit « ou encore » soit d'où « le fil reste tendu « si est à la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. [76] à fil idéal [138] soit révolutif sans que le fil ne se détende : «» ;
« le fil reste tendu « si est à le mouvement du P.P.S.N.A. [76], dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire », le domaine de variation de est « avec [106] » [145] mais la fonction [142] étant -périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de [142], à savoir «» [146], « le fil reste tendu « si est à la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrit alors «» [146] ;
« le fil reste tendu « si est à «[142] étant une fonction sur », la condition «» [146] se réécrit « ou encore » soit, avec , «» d'où « le fil reste tendu « si est à la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. [76] à fil idéal [138] soit oscillatoire sans que le fil ne se détende : «».
En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. [76] à fil idéal [138] lancé dans les C.I. [18][19] dépend de la valeur de son énergie mécanique initiale En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. à fil idéal lancé dans les C.I. dépend de la valeur de «» et
En conclusion, pour «», le mouvement est oscillatoire d'amplitude aiguë, celle-ci étant déterminée par «[106] » [145], «»,
En conclusion, pour «», le mouvement débute de façon oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende, pour l'abscisse angulaire telle que soit «[106] » [147], variant de « pour » à «[106] pour »,
En conclusion pour «», il n'y a pas de position d'équilibre instable[125], le mouvement débutant de façon oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende, c.-à-d. pour l'abscisse angulaire «[106]» [147],
En conclusion pour «», le mouvement débute de façon révolutif [109] jusqu'à ce que le fil se détende, c.-à-d. pour l'abscisse angulaire telle que «[106] » [147], variant de «[106] pour » à
« pour » et
En conclusion pour «», le mouvement est révolutif[109].
Explication qualitative du lien entre « profil d'énergie potentielle » et portrait de phase d'un point matériel à mouvement conservatif
À partir du « profil d'énergie potentielle » [148] et À partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel à « mouvement conservatif » [1],[149] matérialisé par le diagramme d'énergies potentielle et mécanique, on peut en déduire
l'expression de l'énergie cinétique en fonction du paramètre de position, puis, de cette dernière
la valeur absolue de la vitesse en fonction du même paramètre de position,
le signe de la vitesse pour un sens de variation du paramètre de position à partir d'une valeur de ce dernier d'après « la connaissance du sens de déplacement du point générique de » obtenu sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique [150],[151] et enfin,
la vitesse en fonction du paramètre de position et de son sens de variation, cette connaissance permettant de tracer le portrait de phase[78] associé au profil d'énergie potentielle [148] du point matériel à « mouvement conservatif » [1].
Exemple de la chute libre d'un point matériel sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale avec précision du mur d'énergie potentielle et de la nature cinétiquement non bornée de la trajectoirePortrait de phase[78] d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale à partir d'une altitude tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I. [18]
on établit, à partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel en chute libre sans vitesse initiale à partir de l'altitude , l'« équation du portrait de phase[78]» [154] c.-à-d. une demi-parabole[155] ayant pour axe, l'axe des et de concavité tournée vers la gauche, ainsi que On établit, la « pente du portrait de phase[78]» [156], fonction , « de valeur pour », « si ».
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale verticale , repérage du mur d'énergie potentielle et conséquence sur la nature (cinétiquement) non bornée de la trajectoirePortrait de phase[78] d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale verticale à partir d'une altitude h tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I. [18]
En complément, nous utilisons le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre dans le cas où ce dernier est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position quelconque dans un champ de pesanteur uniforme » [157] rappelé ci-contre à gauche En complément, nous utilisons pour en déduire le « portrait de phase » [78],[153] associé ci-contre à droite ; En complément, on établit, à partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel en chute libre avec une vitesse initiale verticale à partir de l'altitude , l'« équation du portrait de phase[78]» [158] c.-à-d. une portion de parabole[155] ayant pour axe, l'axe des , de concavité tournée vers la gauche avec , En complément, on détermine aussi la « pente du portrait de phase[78] de valeur absolue » [159], la pente étant « une fonction et quand de jusqu'à où sa valeur absolue devient » puis la pente étant « une fonction et quand à partir de ».
Remarque : dans les deux exemples présentés ci-dessus, le diagramme d'énergies potentielle et mécanique est celui d'un point matériel dans un « état de diffusion » présence d'un seul mur d'énergie potentielle et le portrait de phase[78] est une « courbe ouverte » possibilité cinétique que le paramètre de position tende vers l'infini avec le point générique du portrait de phase[78] « tournant dans le sens horaire » portrait de phase[78] à l'axe des avec dans la zone et dans la zone .
Exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension « P.E.H. »
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. [48] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature cinétiquement bornée de la trajectoire
L'étude d'un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'étant pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I. [51], il en est de même du lien entre le profil d'énergie potentielle [148] d'un oscillateur harmonique et son portrait de phase[78], toutefois l'exposé de cette relation est intéressant car il présente un exemple de corrélation entre un « état lié » de diagramme d'énergies potentielle et mécanique et le « sens d'évolution du point générique du portrait de phase[78] correspondant ainsi que la fermeture de ce dernier » autre que celui du P.P.S.N.A. [76] traité dans le paragraphe « exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) » plus loin dans ce chapitre.
Portrait de phase[78] d'un P.E.H.N.A. [48] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I. [18]
on établit, à partir de l'intégrale 1ère énergétique du point matériel du P.E.H.N.A. [48] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, l'« équation implicite du portrait de phase[78]» [162] définissant une ellipse[163] dont les axes sont l'axe des et des et dont le centre est le point d'intersection des axes c.-à-d. le point représentatif de l'équilibre de dans le diagramme de phase [164] ;
commentaire : quand et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique sont en c.-à-d. sur le mur d’énergie potentielle initiale, ils ne peuvent se déplacer que vers la gauche,
Conclusion : La présence de deux murs d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. [48] se traduisant par « le P.E.H.N.A. [48] est dans un état lié » se concrétise, dans son portrait de phase[78], par la fermeture et la description dans le sens horaire de ce dernier.
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. [65] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti
Remarque : Bien que le programme de physique de PCSI stipule de présenter le lien entre profil d'énergie potentielle [148] et portrait de phase[78] d'un point matériel à mouvement conservatif [1] et qu'un P.E.H.A. [65] correspond à un point matériel à mouvement non conservatif, nous allons néanmoins le faire pour ce dernier dans le cas faiblement amorti plus précisément avec un cœfficient d'amortissement ;
Portrait de phase[78] d'un P.E.H.A. [65] écarté de de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti
Remarque : le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. [65] introduit plus haut dans ce chapitre [166] est rappelé, dans le cas où , ci-contre à gauche et
Remarque : vous êtes invités à vérifier le lien entre le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.A. [65] ci-contre à gauche et le portrait de phase[78] du même P.E.H.A. [65] ci-contre à droite, en particulier préciser la correspondance entre les points et d'une part et et d'autre part
Exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté « P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) »
Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement [101] tel que l'énergie mécanique initiale soit au maximum de l'énergie potentielle avec précision de l'absence de murs d'énergie potentielle et de la nature révolutive du mouvement dans le sens initial de ce dernierDiagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché sans vitesse initiale tel que l'énergie mécanique initiale la présence de deux murs d'énergie potentielle et la nature cinétiquement bornée de la trajectoire
Nous allons d'abord utiliser le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] en mouvement révolutif [109],[168]lancé sous C.I. [18] «», «» [169] rappelé ci-contre à gauche ainsi que Nous allons d'abord utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] à un degré de liberté dans les C.I. conduisant à un mouvement oscillatoire » [170]lancé sous C.I. [18] «» et «» [169] rappelé ci-contre à droite
Portraits de phase[78]en vert d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement [101] tel que l'énergie mécanique initiale permette le mouvement révolutif [109] du P.P.S. [20], « dans le sens pour le portrait de phase[78] noté » et « dans le sens pour celui noté », figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase[78]en magenta du P.P.S. [20] lâché de la même position initiale sans vitesse
on notera que l'absence de mur d'énergie potentielle sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76]en mouvement révolutif[109]ci-dessus à gauche se traduit par l'ouverture des portraits de phase[78] de ce dernier en vert ci-contre, chaque courbe étant situé d'un même côté de l'axe des élongations angulaires se développant sur la droite pour un portrait situé au-dessus et sur la gauche pour un portrait situé au-dessous, de plus les diagrammes et les portraits de phase[78] sont tous deux -périodiques et
on notera que la présence de deux murs d'énergie potentielle sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76]en mouvement oscillatoireci-dessus à droite se traduit par la fermeture du portrait de phase[78] de ce dernier en magenta ci-contre, la courbe étant décrite dans le sens horairede plus cette courbe admet pour axes, l'axe des et des et pour centre le point d'intersection des axes c.-à-d. un point représentatif de l'équilibre stable [21] de dans le diagramme de phase [164].
Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement [101] tel que l'énergie mécanique initiale soit au maximum de l'énergie potentielle conduisant à l'arrêt du P.P.S.N.A. [76] en une position d'équilibre instable [125] de ce dernier
Pour terminer il reste à lier les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. [76]ci-contre à gauche Pour terminer il reste à lier avec les portraits de phase[78] associés quand l'énergie mécanique initiale du pendule est portraits de phase[78] dont l'un, celui du P.P.S.N.A. [76] lancé dans les C.I. [18] «» et «» [169], s'arrêtant dans une position d'équilibre instable [125], est représenté en vert ci-dessous à droite [174] ;
Portraits de phase[78]en vert d'un P.P.S.N.A. [76] écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec un vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement [101] tel que l'énergie mécanique initiale soit à conduisant à l'arrêt du P.P.S.N.A. [76] en une position d'équilibre instable [125] de ce dernier, figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase[78]en magenta du P.P.S. [20] lâché de la même position initiale sans vitesse
« si pour », l'arrêt du P.P.S.N.A. [76] se fait en la position d'équilibre instable [125] repérée par mais pratiquement cet arrêt n'est pas définitif car il suffit d'une très faible perturbation extérieure pour que le pendule quitte cet équilibre instable [125], par exemple « à partir de la position repérée par », « les points et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable [125] repérée par » « le point du portrait de phase[78] poursuit au-dessus de l'axe des jusqu'à la position repérée par », autre position d'équilibre instable [125] ou, « à partir de la position repérée par », « les points et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable [125] repérée par » « le point du portrait de phase[78] poursuit au-dessous de l'axe des jusqu'à la position repérée par », autre position d'équilibre instable [125] ; « à partir de la position repérée par », « les points et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable [125] repérée par » « le point du portrait de phase[78] poursuit au-dessus de l'axe des jusqu'à la position repérée par », autre position d'équilibre instable [125] ou, « à partir de la position repérée par », « les points et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable [125] repérée par \;» « le point du portrait de phase[78] poursuit au-dessous de l'axe des jusqu'à la position repérée par », autre position d'équilibre instable [125].
Diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule pesant simple faiblement amorti écarté de de sa position d'équilibre stable [21] et lâché avec vitesse initiale telle que le mouvement associé au diagramme soit révolutif [109] amorti sur le 1er tour puis oscillatoire amorti et celui associé au diagramme soit directement oscillatoire amortiTracé de deux portraits de phase[78] d'un P.P.S.A. [128] lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif [109] amorti avant d'être oscillatoire amorti
↑ Ou conservatives dont on n'introduit pas l'énergie potentielle dont chacune dérive.
↑ Il faut préciser le référentiel d'étude car le travail des forces, donc des éventuelles forces non conservatives, en dépend.
↑ La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » est une propriété nécessitant que le référentiel soit galiléen alors que la définition de l'énergie mécanique est valable dans n'importe quel référentielmême si, dans la pratique, il ne viendrait à l'idée de personne d'introduire cette notion dans un référentiel non galiléen car cela n'aurait aucun intérêt.
↑ 5,0 et 5,1Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en et publié en dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ; Albert Einstein (1879 - 1955)physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».
↑ L'ensemble de symétries envisagées « translations d'espace », « rotations », « translations de temps » étant les trois principales symétries de la mécanique devant constituer un « groupe » au sens mathématique du terme à savoir : ne pas être vide avec définition d'une loi de composition interne
associative,
possédant un élément neutre et
telle qu'elle associe un élément symétrique à tout élément .
↑ On suppose que le temps est homogènec.-à-d. que les propriétés du temps sont indépendantes de l'instant considéré, si aucune action non conservative s'exerçant sur le point matériel ne travaille dans un référentiel galiléen, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel « à mouvement conservatif » dans ce référentiel ne découlent que des propriétés du temps et, ce dernier étant supposé homogène, les lois de la physique appliquées doivent être les mêmes si on fait une translation de l'évènement dans le temps : on traduit cela en disant que « les lois de la physique s'appliquant à un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sont invariantes par translation de temps ».
↑ L'ensemble des translations de temps de déplacement temporel constitue effectivement un groupe avec la loi de composition « addition des déplacements temporels translatant » si on compose deux déplacements temporels, le 1er de valeur et le 2nd de valeur , on obtient un déplacement temporel de valeur
associative,
d'élément neutre « la translation de déplacement temporel nul » et
associant « la translation de déplacement temporel » à « celle de déplacement temporel » comme translation « symétrique ».
↑ Jusqu'à présent nous n'avons considéré le caractère conservatif d'une force que si elle ne dépendait pas explicitement du temps, en considérant le poids dépendant de l'instant de la journée nous ne sommes plus dans ce cadre dans lequel nous avons défini l'énergie potentielle de pesanteur dont dérive le poids ; pour pouvoir néanmoins considérer le cas d'un poids dépendant de l'instant de la journée, il nous faut figer le temps et maintenir toutes les définitions dans ce nouveau cadre, ainsi, dans le cas où l'intensité de la pesanteur terrestre uniforme dépendrait du temps selon , l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet considéré s'écrirait avec choix d'un axe vertical et de la référence de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau .
↑ Il suffit d'écrire la définition de l'énergie potentielle de pesanteur par rapport au poids pour s'en convaincre.
↑ En effet l'énergie restituée serait la différence d'énergie potentielle de pesanteur définie à minuit entre le sommet et la base de la tour alors que l'énergie dépensée à midi aurait été la différence d'énergie potentielle de pesanteur définie à midi entre les mêmes endroits, l'énergie restituée serait donc effectivement plus grande que l'énergie dépensée.
↑ En absence de frottement solide étant au support horizontal est effectivement verticale.
↑ Ces deux forces verticales ne pouvant agir sur en mouvement horizontal se compensent, c'est la raison pour laquelle nous n'avons pas introduit ces deux forces dans le chap. « oscillateur harmonique » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ La 2ème étant effectivement non conservative et la 1ère conservative mais comme cette dernière ne travaille pas il est inutile d'utiliser son caractère conservatif.
↑Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
↑ dépend alors du temps mais, souhaitant tirer des informations du diagramme d'énergies potentielle et mécanique nous supposerons ne rien connaître de cette dépendance.
↑ 26,0026,0126,0226,0326,0426,0526,0626,0726,0826,09 et 26,10 La signification de étant « est représenté par ou représente» l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique.
↑ Ceci étant indépendant du diagramme d’énergies potentielle et mécanique tracé.
↑ 29,0 et 29,1 Pour que la trajectoire soit cinétiquement non bornée, il faut et il suffit qu'il y ait un et un seul mur d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique.
↑Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantiqueconnu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger. Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique. Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en pour la création d'une forme de mécanique quantiqueconnue sous le nom de mécanique matricielle, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue.
↑ Pour déterminer le lien entre la force de collision que le sol exerce sur le point matériel et l'énergie cinétique que ce dernier avait acquise à la fin de sa chute libre, on peut appliquer la théorème de la variation d'énergie mécanique sur la durée élémentaire entourant l'instant de collision voir le paragraphe « énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservatives(s) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; à l'instant l'énergie mécanique vaut «» et à l'instant , l'énergie potentielle de pesanteur étant continue par continuité de la position de , son énergie mécanique vaut «» car , l'objet étant à l'arrêt ; le théorème de la variation d'énergie mécanique à sur conduit à «» soit «» ou «» d'où, avec la modélisation de la force de collision par un pic de Dirac d'impulsion centré sur l'instant de collision voir le paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », «» on vérifie la valeur de l'impulsion élémentaire de la force de collision définie sur , «», étant le pic de Dirac d'impulsion unité vérifiant l'impulsion étant qualifiée d'élémentaire bien que de norme finie car la durée est élémentaire, d'où «» ou, avec «» et «» dans lesquelles « est une constante » et « quasi-instantanément jusqu'à » en fait on modélise cette variation finie et quasi instantanée par une discontinuité de 1ère espèce, voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », soit «» d'où la relation suivante par application du théorème de la variation d'énergie mécanique
«» ;
pour vérifier cette relation « on évalue pour par intégration de la r.f.d.n. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne appliquée à », à savoir «» ou, en projetant sur , «» ce qui s'intègre au sens des distributions entre et , étant la dérivée temporelle au sens des distributions de l'échelon unité voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », selon «» soit, en négligeant le 1er terme du 1er membre qui est un infiniment petit de même ordre que la durée de la collision et avec , on en déduit « discontinue de 1ère espèce », toutefois l'absence de définition de pour pose un problème pour l'« évaluation de », le résultat attendu si était défini étant «» ; pour vérifier cette relation « on évalue pour pour résoudre ce problème « on prolonge la définition de pour selon » d'où «» en effet la conservation de l'énergie mécanique entre les instants et donne «» ou «» d'où «» car ; finalement la réécriture de la relation conduit à «» ou, «», soit encore «» d'où « en accord avec le résultat que l'on obtiendrait par théorème de l'impulsion sur une durée élémentaire » voir le paragraphe « application (du théorème de l'impulsion) en présence d'une force de collision et conséquence » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » donné en complément ce qui donnerait «».
↑ On rappelle que la raison de la poursuite sans limite dans le temps, du déplacement et sur et n'est pas que soit en croissance continue, mais que ne s'annule plus, c.-à-d. que et ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle.
↑ On peut s'étonner de la condition pour la détermination de l'altitude maximale atteinte puisque son expression ne dépend pas du signe de mais si la valeur de est la même pour et , l'instant où passe par le sommet de la trajectoire n'est postérieur à l'instant de lancement que si est en effet le sommet se caractérise par soit d'où qui n'est que si est
↑ Ce qui est, de loin, la méthode la plus rapide pour déterminer l'altitude maximale atteinte
↑ L'allongement total s'écrivant encore, compte-tenu de « et de », selon «» d'où la réécriture de l'expression de l'« énergie potentielle élastique définie par ».
↑ On rappelle que l'abscisse est toujours continue condition pour que la vitesse ne soit jamais infinie d'où et On rappelle qu'en absence de forces de collision, la vitesse est continue .
↑ 51,0 et 51,1 La raison probable de son absence étant qu'on peut traiter entièrement l'oscillateur harmonique par r.f.d.n. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne et intégrale 1ère énergétique sans que l'utilité du diagramme d'énergies potentielle et mécanique ne se fasse sentir.
↑ Mais tout ce qui suit est indépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale
↑ 55,055,155,2 et 55,3 Le choix entre et dépend du sens de variation de la variable de position ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de et sur et .
↑ étant encore l'allongement du ressort ou élongation du P.E.H.N.A..
↑ 57,057,1 et 57,2 Cette expression n'étant définie que si , dans le cas où est égale à la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle, la levée de la forme indéterminée conduisant à une valeur infiniment petite à .
↑ Ce résultat étant indépendant des C.I., par exemple si celle-ci sont « et », l'« amplitude atteinte à peut se déterminer par intégrale 1ère énergétique avec » d'où l'« amplitude ou encore », la « période propre quant à elle gardant la même valeur reste donc indépendante de ».
↑ Ce n'est a priori pas au passage par la position d'équilibre on le vérifie aisément sur les « portraits de phase en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient_d'amortissement » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le fait que le pendule élastique amorti soit vertical au lieu d'horizontal dans le chapitre précité ne changeant rien à cette observation ; on peut vérifier que les instants à énergie cinétique maximale sont approximativement confondus avec ceux de passage par la position d'équilibre si le cœfficient d'amortissement défini par avec pulsation propre du P.E.H.A., est tel que c.-à-d. dans le cas où le mouvement du P.E.H.A. est pseudo-périodique très faiblement amorti les portraits de phase en élongation d'un tel P.E.H.A. spiralent autour du point caractéristique de l'équilibre du P.E.H.A. mais en se fermant quasiment sur eux-mêmes sous forme de quasi-ellipses dont les axes sont les axes du repère.
↑ 69,0 et 69,1 On rappelle le lien entre facteur de qualité et cœfficient d'amortissement , à savoir «».
↑ En accord avec à un resserrement progressif des murs d'énergie potentielle.
↑ Mais tout ce qui suit est indépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale pourvu que celle-ci reste à la valeur maximale de l'énergie potentielle de pesanteur.
↑ 82,082,1 et 82,2 Cette expression n'étant définie que si , dans le cas où est égale à la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle, la levée de la forme indéterminée conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à .
↑ On aurait aussi pu choisir d'éliminer de la fonction à intégrer en s'attendant à ce que reste présent dans les bornes d'intégration.
↑ Ce changement de variable a transformé une intégrale généralisée ou impropre en une intégrale propre, la fonction à intégrer, à savoir , étant maintenant définie pour toute valeur du domaine de variation de à savoir .
↑ La fonction à intégrer en dépendant mais les bornes en étant indépendantes.
↑ 92,0 et 92,1 En hommage à Jean-Charles de Borda (1733 – 1799) mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de , a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec Charles-Augustin Coulomb(1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés, d’étudier la longueur du pendule battant la seconde pour cette occasion Étienne Lenoir (1744 - 1832), ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de , de masse , et accrochée à un fil de fer de de long un pied de l’époque valait , la période d'oscillations était de puis, entre et , avec deux astronomes français Pierre Méchain (1744 - 1804) et Jean-Baptiste Delambre (1749 - 1822)également membres de l’Académie des Sciences il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone.
↑ 94,0 et 94,1 La version utilisée étant Scilab, Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.
↑ 95,0 et 95,1 Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel
↑ 96,096,1 et 96,2 On vérifie effectivement que l'expression empirique de de Borda n'est pas applicable pour des amplitudes trop grandes moins de nécessitant une amplitude inférieure à .
↑ S'il s'agit d'un point matériel, celui-ci est « à mouvement conservatif » ; s'il s’agit d'un système de points matériels, les forces extérieures et intérieures doivent être toutes conservatives ou s'il y a des forces non conservatives elles ne doivent pas travailler il s’agit donc nécessairement d'un solide et dans ce cas on parle de « système conservatif » ; s'il s'agit d'un système non mécanique comme un série court-circuité, étant initialement chargé, il ne doit pas y avoir d'éléments dissipatifs comme les conducteurs ohmiques, le système étant encore qualifié de « conservatif ».
↑ La justification, à partir du diagramme d'énergies mécanique et potentielle du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. , de sa nature oscillatoire est la même que celle donnée au paragraphe « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique » plus haut dans ce chapitre avec un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. à l'exception du début : pour , déplacements simultanés de et vers la droite flèche rouge sur le diagramme engendrant une continue de jusqu'à point commun du mur d'énergie potentielle de droite où , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » mais n'étant pas une position d'équilibre, déplacements simultanés de et vers la gauche, la suite étant la même que celle du « paragraphe précité » ; pour , déplacements simultanés de et vers la gauche flèche rouge sur le diagramme engendrant d'abord une continue de jusqu'au passage de par où est maximale puis une continue de jusqu'à point commun du mur d'énergie potentielle de gauche où , la présence de ce mur interdisant la de , nous en déduisons que « reste constant ou » mais n'étant pas une position d'équilibre, déplacements simultanés de et vers la droite, la suite étant la même que celle du « paragraphe précité ».
↑ Effectivement tel que «», l'énergie cinétique initiale valant alors «» et l'énergie mécanique initiale «» effectivement « à ».
↑ 109,00109,01109,02109,03109,04109,05109,06109,07109,08109,09109,10109,11109,12109,13109,14109,15109,16109,17109,18109,19 et 109,20 C.-à-d. que le mouvement de rotation se fait toujours dans le même sens que celui impulsé initialement sans possibilité d'arrêt ; quand le paramètre de position d'un point peut tendre vers l'infini on dit que ce point est dans un « état de diffusion », toutefois ceci est usuellement réservé au paramètre de position linéairenécessitant la possibilité d'une distance infinie entre et un point fixe ; ici le paramètre de position angulaire pouvant tendre effectivement vers l'infini, on pourrait dire que le P.P.S.N.A. est dans un « état de diffusion rotatoire» sous-entendant que le paramètre de position angulaire peut tendre vers l'infini sans que ne s'éloigne à l'infini du point fixe , mais ce vocabulaire n'est pas d'usage On parle simplement de mouvement « révolutif ».
↑ Effectivement tel que «», l'énergie cinétique initiale valant alors «» et l'énergie mécanique initiale «» effectivement « à ».
↑ Pour , la période du mouvement révolutif de est la durée d'un aller des points et de à .
↑ Pour , la période se réécrit encore suivant l'expression intégrale .
↑ En effet la fonction à intégrer dépendant de est -périodique on a .
↑ Pour , la période se réécrit car la fonction à intégrer dépendant de est -périodique .
↑ En effet pour , mais la fonction à intégrer étant -périodique on peut retirer une même période aux bornes d'intégration sans modifier le résultat de l'intégrale d'où en effet l'aire sous la fonction à intégrer entre et est la même que celle entre et et par suite ; En effet pour , ou, en ajoutant simultanément une même période de la fonction à intégrer aux deux bornes de l'intégration, et par suite, en faisant le même traitement que celui fait pour , la même simplification de l'expression finale.
↑ En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.
↑ Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée.
↑ En effet la vitesse angulaire de y est nulle d'où .
↑ Ce n'est a priori pas au passage par une position d'équilibre stable repérée par on aurait pu le vérifier sur les « portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » si certains d'entre eux avaient été tracés avec un cœfficient d'amortissement défini par avec pulsation propre des petites oscillations du P.P.S.A., plus grand ; par contre on peut vérifier que les instants à énergie cinétique maximale sont approximativement confondus avec ceux de passage par la position d'équilibre stable car les tracés correspondent à un cœfficient d'amortissement c.-à-d. dans le cas où le mouvement du P.P.S.A. est très faiblement amorti les portraits de phase en élongation d'un tel P.P.S.A. finissent par spiraler autour d'un point caractéristique d'un équilibre stable du P.P.S.A. mais en se fermant quasiment sur eux-mêmes sous forme de quasi-ellipses dont les axes sont les axes du repère.
↑ Car ce sont les cas qui sont observés en pratique, par exemple un P.P.S.A. dans l'air.
↑ « Les points et ne rencontrent pas de mur d'énergie potentielle sur l'intervalle , le P.P.S.A. ayant encore de l'énergie cinétique au 1er passage par la position d'équilibre instable repérée par d'où un mouvement révolutif amorti sur un 1er tour » mais ensuite « ils rencontrent un mur d'énergie potentielle de droite puis un mur d'énergie potentielle de gauche » et ainsi de suite, « les murs d'énergie potentielle successifs étant de plus en plus resserrés la de l'amplitude des oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par ».
↑ « Les points et rencontrent un mur d'énergie potentielle à droite sur l'intervalle bien que l'énergie mécanique initiale soit à l'énergie mécanique limite au-dessus de laquelle un P.P.S.N.A. a un mouvement révolutif, la de l'énergie mécanique du P.P.S.A. fait qu'elle n'est plus assez grande pour permettre un 1er passage par la position d'équilibre instable repérée par d'où l'existence d'un 1er mur d'énergie potentielle sur l'intervalle , par contre, sur l'exemple du diagramme , l'énergie mécanique initiale plus grande que celle du diagramme , avait permis au P.P.S.A. de garder un peu d'énergie cinétique pour un 1er passage par la position d'équilibre instable repérée par d'où un mouvement révolutif amorti sur un 1er tour, puis « Les points et rencontrent un mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle » et ainsi de suite, « Les points et rencontrent« les murs d'énergie potentielle successifs étant de plus en plus resserrés la de l'amplitude des oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par ».
↑ La raison de ce comportement différent alors que l'énergie mécanique initiale est la même étant que l'écart angulaire entre la position initiale et la 1ère position d'équilibre instable repérée par n'est que de alors que celui qui existait dans le diagramme entre la même position initiale et la 1ère position d'équilibre instable repérée par était de c.-à-d. cinq fois plus grand autorisant une perte d'énergie mécanique cinq fois plus grande dans le cas du P.P.S.A. du diagramme d'où un comportement différent.
↑ Rappelons que c'est nécessaire pour que le point matériel du P.P.S. soit « à mouvement conservatif », de plus c'est le seul cas de P.P.S. explicité dans le programme de physique de P.C.S.I.
↑ 136,0 et 136,1 D'une part cette expression ne peut pas être identiquement nulle avec une C.I. et d'autre part si la C.I. est du type elle ne peut non plus être identiquement nulle car étant ne repère pas une position d'équilibre ce qui serait indispensable pour avoir .
↑ Rappelons que le point matériel du P.P.S.A. est « à mouvement non conservatif », il n'y a donc pas d'intégrale 1ère énergétique
↑ 142,0142,1142,2142,3142,4142,5142,6 et 142,7 Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique mais non toléré en mathématiques consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, étant la valeur de la fonction composante radiale du vecteur tension du fil de la variable composée avec la fonction loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable est identifié, en physique, à mais cette même valeur serait notée en mathématiques ou faisant la distinction entre la fonction de la variable et de la variable ; cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.
↑ Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type c.-à-d. que est .
↑ 144,0144,1144,2 et 144,3 Car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de à ou .
↑ 146,0146,1 et 146,2 La fonction étant paire, toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant son intervalle de définition à ou .
↑ 147,0147,1 et 147,2 Une fois le fil détendu, le mouvement de est un mouvement de chute dans le champ de pesanteur terrestre uniforme de vecteur vitesse initiale égal à celui atteint pour en effet les forces appliquées étant continues, les vecteurs accélération, vitesse et position de le sont c.-à-d. « faisant l'angle avec l'horizontale » et « de norme égale à » défini à l'aide de l'intégrale 1ère énergétique du P.P.S.N.A. «» ou, avec «», l'équation suivante d'où «» ; cette phase de chute libre de s'achève lorsque le fil se retend, c.-à-d. quand la distance entre et reprend la valeur à l'instant où le fil se retend, il y a, de façon évidente, discontinuité de 1ère espèce du vecteur vitesse voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » engendrée par une discontinuité de 2ème espèce du vecteur tension du fil voir le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dont l'impulsion est liée au saut de vecteur vitesse par le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire en présence d'un vecteur force discontinu de 2ème espèce voir le paragraphe « application en présence d'une force de collision et conséquence » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; dans le cas , la norme de la vitesse de à l'instant de détente du fil est égale à , ceci entraînant la poursuite du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. sans phase intermédiaire de chute libre ; dans le cas , la norme de la vitesse de à l'instant de détente du fil est égale à , d'où une phase de chute libre de jusqu'à ce que le fil se retende ; dans le cas , la norme de la vitesse de à l'instant de détente du fil est égale à , ceci entraînant la poursuite du mouvement révolutif du P.P.S.N.A. sans phase intermédiaire de chute libre.
↑ 148,0148,1148,2 et 148,3 Autre nom du diagramme d'énergie potentielle c.-à-d. de la courbe de l'énergie potentielle en fonction du paramètre de position.
↑ Tout ce qui suit est réservé aux points à « mouvement conservatif », on néglige donc tout frottement.
↑ Sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de point matériel dans un état lié, la connaissance de la valeur du paramètre de position ne suffit pas pour en déduire le signe de la vitesse, ce dernier dépendant du sens de variation du paramètre de position autour de cette valeur par exemple le passage par la position d'équilibre d'un oscillateur harmonique correspond alternativement à une vitesse positive puis négative.
↑ En effet on connaît la vitesse initiale s'il y en a une, donc le sens de déplacement de sur correspondant à cet instant et ce sens est conservé donc le signe de la vitesse aussi tant que la vitesse ne s'annule pas ; si cette dernière s'annule c'est que rencontre un mur d'énergie potentielle et par suite le sens de déplacement de est inversé donc le signe de la vitesse aussi ; s'il n’y a pas de vitesse initiale, est sur un mur d'énergie potentielle et le sens de déplacement ultérieur de sur est connu donc le signe ultérieur de la vitesse aussi.
↑ En effet l'intégrale 1ère énergétique s'écrit avec et d'où et par suite l'équation du portrait de phase compte-tenu du caractère négatif de la vitesse.
↑ En effet l'intégrale 1ère énergétique s'écrit avec et d'où et par suite l'équation du portrait de phase dans la phase de montée de et son équation dans la phase de descente du point matériel.
↑ Obtenue en dérivant l'équation du portrait de phase par rapport à avec dans la phase montante de et dans sa phase , ce qui donne .
↑ En effet l'intégrale 1ère énergétique s'écrit avec et dont on déduit aisément ou soit encore d'où l'équation implicite du portrait de phase en reconnaissant dans la pulsation propre du P.E.H..
↑ On peut dupliquer le commentaire pour et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique en c.-à-d. sur le 2ème mur d’énergie potentielle, ces deux points ne peuvent se déplacer que vers la droite, On peut dupliquer le commentaire parallèlement du portrait de phase est en c.-à-d. la position extrême du portrait de phase sur l'axe des sur la gauche (non représenté) et ne peut que , ce qui nécessite d'où le déplacement de sur le portrait de phase à partir de dans le sens horaire
↑ La forme des portraits de phase est la même que le pendule élastique amorti soit vertical ou horizontal dans la mesure où on repère le point par rapport à sa position d'équilibre.
↑ Voir auparavant le paragraphe intégrale 1ère du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », cette intégrale 1ère trouvée en intégrant une fois la r.f.d.n. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne projetée sur s'identifie à l'intégrale 1ère énergétique introduite dans le présent chapitre.
↑ Cette équation implicite peut aussi se retrouver par utilisation de l'intégrale 1ère énergétique du P.P.S. dans laquelle et dont on déduit d'où l'équation implicite du portrait de phase du P.P.S.N.A..
↑ Pour comparer on y a aussi reproduit, en magenta, le portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. et , d'énergie mécanique initiale correspondant à un mouvement oscillatoire.
![{\displaystyle \;{\vec {T}}=-k\;\Delta l\;{\vec {u}}_{x}=-k\left[l-l_{0}\right]{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7d2e39fd6e5ce0c41887ff37b979b1c8bb7d95)
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![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[V_{G,\,x}^{\,2}+V_{G,\,z}^{\,2}\right]+m\;g\,z_{G}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68c0d8e101fd1bd128f415503568e50259acd8a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[V_{0}^{\,2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;{\cancel {+V_{S,\,z}^{\,2}}}\right]+m\;g\,z_{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377efb2405795d6ad50de7044249997d5616f3cb)
![{\displaystyle \;m\;g\,z_{G}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\left[1-\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03d21fdd21bb43a6f7ea36583de537a1bd726e7)
![{\displaystyle \;x=0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e2c155b223eebe034f810ff0c7b0f7e9296a03)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac282bd7811b17ba7c61670320eea9e05046162f)
![{\displaystyle \;\left[{x'}_{0}=-x_{0}\;,\;x_{0}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795b108903845d5a30bc514ed313eea39a82869c)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c3d7025b909a7ea0c2918eb8a91f6954ae68)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c17bbbe1135a9a3017525adf4a4cdba7a1040e)
![{\displaystyle \;{\dot {x}}(t)={\dfrac {dx}{dt}}(t)=\pm {\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c159e5501feed86e5bafa4712ed1ffb66e9b220)
![{\displaystyle \;dt=\pm {\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287ebb4db9ce796c5f4d1aafc4d3d9f7e3e728b1)
![{\displaystyle \;dt=-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b83e6c1bfc6d6ba71733a2c573264f82a0d80ca)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}=\displaystyle \int _{x_{0}}^{-x_{0}}-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9f826eb5ceb046f8839b67c09f92e0cd7da28f)
![{\displaystyle \;dt={\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda75598ccabf3d461b12e5e1f2ee58fb5402a43)
![{\displaystyle \;\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869e2c25c5e25ae5ea232119418b621f7352710c)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1323f60f51bf3221debb75f7409e5c71161a7368)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46143b11490f0e9793cc27b6ca31061ff379f6f1)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ace401d2b9ce2594c850629111e054a7fa2320)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}=\left[\arcsin(u)\right]_{0}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ff75ecf8f91e21b5affe2d372a923fd7602b5b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\!\left[{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\right]\!\!(t)=\left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7af034e204f684942929af2def100dc3e18b76a)
![{\displaystyle \,\left.V(0)=0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc3ccf12c2bfebe85df20dfbd2ab36240be5718)
![{\displaystyle \;(\Gamma _{u}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca642af9996e69ac64310b487ee72131578acf5)
![{\displaystyle \;x\searrow {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f510f5b44e35e0d4ea7bf6e701c2361089fe66b)
![{\displaystyle \;x\nearrow {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9249efcf4a1ea729b75d0f94a05a51401c6a17)
![{\displaystyle \;\left[x(0)=a\,,\,V(0)=0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211f0a3189506a36a4a660e06c6dd072bc062bc8)
![{\displaystyle \;M{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee29e700212816b70e22cc23ed37656d4fe18f3)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}\!(t)+m\;g\left[l-z(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b35de25510e429f7ce98869f0f149d123fbdce)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;l\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1cbe3eb77b000f6a0a7b7228522ada5349358e)
![{\displaystyle m\;g\;l\left[1-\cos(\theta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964ac41efe5d7ece865c208d7c32c64121a73303)
![{\displaystyle \;\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3c1390f4b91cb960c617e67c29d986f900739a)
![{\displaystyle \pm {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9969c255b49569b64658ec535930f7c39deca7b6)
![{\displaystyle E_{m,\,0}=m\;g\;l\left[1-\cos(\theta _{0})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e731c9e52a260884951041004c0ce3f1d0f6c1)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;\left[{\theta '}_{0}=-\theta _{0}\;,\;\theta _{0}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f19105e563c4218ccb89fda073167053a2a4d2)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ce1b97579cecd44f0090ca3e12626cdb62d307)
![{\displaystyle m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6381b65a8e39058c728850f1efa8b9b1010395)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81790beda064f106140fc2effb1ccd9465c4aed)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd273930e211427b3eef2ac0fc6bee1c9b088a00)
![{\displaystyle \pm {\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f09643ce73b1eededee64ba26a29002b0d3da46)
![{\displaystyle \;dt=\pm {\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c99f5a2734feaa5f6c03f95f48e6c3540b3e30)
![{\displaystyle \;dt=-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd60b049c1a050607d34d014998a553f75ac32d7)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5686d5d445fcc2ae46ddf375aafbcd954311b4e)
![{\displaystyle \;dt={\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cf506e379466064af5c86254223037e0e4b03e)
![{\displaystyle \;\Delta t_{{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4f8bf478e1cf9dbac1d40c28c50380dba0a05c)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab279def5777da6d7c84e7b5a50ab66f81f49a8d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905035277143aa02f690d40d95d1d0f2a29fe9bd)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6b5f8dc217504848ef390239ce798e93bbbcd1)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d5f18fda79d0c59b0d236e919c9b8f005a2c66)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4284152a20246b7728411091cea299e62b812f)
![{\displaystyle =2\left[\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b082edb4e3e894171a01bc4680bd53440deb53)
![{\displaystyle \;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;{\sqrt {\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf2e654a0558b494e2039ad3c1f79bee1c43f06)
![{\displaystyle \;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5a85a0578f9c6bfc295ac1f80625be6a6b81f8)
![{\displaystyle \;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7097c8ab65f1f4b188456440e0f4953b2f27d7c)
![{\displaystyle \;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097b752960c4acf84d7cb87719cdf805cc0ee29c)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {{\dfrac {2\;\sin \left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;du}{2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}}=\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {du}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc437ae6f1fc79b43be3066593d0a48ddeb2ed7e)
![{\displaystyle \;U_{\text{pes}}(\theta )=m\;g\;l\left[1-\cos(\theta )\right]\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1213a16f2de68db987f74ec58d99246815fc3dea)
![{\displaystyle m\;g\;l\left[1-\left(1-{\dfrac {\theta ^{\,2}}{2}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c435a5a5e507e5695c140e4bdfec4378c9e9a5c4)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b575ca4a07fa25792294c43c312720011c0a9bee)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f35a2cfb1afccd863a3ac3defedfdbb96a41012)
![{\displaystyle \;<\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=U_{\text{pes}}(\pm \pi )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7756ae2c6a9203c93e26c844a06802bba56fa136)
![{\displaystyle m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963e0c57acc3655ef928b9612f4fe3bcd5cf6313)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]<2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a33392d2883f9db795bbc94b71e759b13be939)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}_{0}^{2}<2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e87289d437700f2c715b639930cd3c95570ef7)
![{\displaystyle \;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert <{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fe5249ab0206236c388633256d0cc8ba756ed7)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}(t_{m})=0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f806f35b6e4a9ef64c297d7b4695a69ecf45e83)
![{\displaystyle {\cancel {{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{m})}}\;+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{m})\right]=E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e42e966437f8b7faa36a2b222d61b2c0abf3e0)
![{\displaystyle \;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9574709646513d6764cd5b4588d2d42ab7b6fd94)
![{\displaystyle \;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {3}{2}}\right]=\arccos \!\left[-{\dfrac {1}{2}}\right]={\dfrac {2\,\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d3eb663fca0fbb4e498e413ffa5e0b8e5241d5)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899506667619872c89cddac94a07a64e9400d433)
![{\displaystyle ={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebb0b212ab119905286d4153cf2e3e8fcf8ee89)
![{\displaystyle \arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fc2afd01fcdf3dea879869914cfb216f192ffe)
![{\displaystyle =\arccos \!\left[\cos(\theta _{0})-{\dfrac {l}{2\;g}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b0779afb993a9cb168b2271922eb2e59e11cd6)
![{\displaystyle \;(1.{\mathfrak {a}}){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe3788f076f9abb4723ddc1fe5fa1c37428a769)
![{\displaystyle \;\theta _{m}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25174f18d37c9d0911ac53b1076274d7e7dd50ee)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33ec9edc8f837e9b21d0809ae559d7f1caec9e8)
![{\displaystyle \;>\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=U_{\text{pes}}(\pm \pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e170c8c4ce1fe9ac93dce3094e46b8087089a31d)
![{\displaystyle =m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c890a154144e5fc5b234bc2516933ec599bd8ff3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]>2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd964dae48262dcea6156ae21301221d6147440)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}_{0}^{2}>2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa7f3266ab9ec7ef0874a0315966fa978a80bd2)
![{\displaystyle \;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b83c19ad6b944b0e2c9802d27c418b415eab9e7)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{\,2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd5f2980d2929e1aeafc715b0b630525b23f4f6)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31842531f69ed8a9cd2b06485c516f2e06b6234a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5266f582d23028dcf5b502b7bc267f11f20a72)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328a6c903df58ff7b864d3496c307b0338a9925b)
![{\displaystyle ={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b372c2a3a4a1c117c5e145ea4b895fe77fbed9)
![{\displaystyle \;dt={\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5df5ceb01b6fd0755d462fcb7942c7d87d99b9)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bda06f7e40d89387e2c4058add7ddf45826a60)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}+2\,(n-1)\,\pi }^{\theta _{0}+2\,n\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6a2cc414af39200cb285deef5eddde51d22e37)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P1}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}={\sqrt {\dfrac {l}{2\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-\left[1-\cos(\theta )\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87c5d05d566a4315d53de0a3d14f05c98915621)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981160e9292ac626a505f106b9bc9fd1d559ce7a)
![{\displaystyle U_{\text{pes}}(\pm \pi )=m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31249aa0e33d1a39a242d7bd7b3b6c384589ab20)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]=2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db23d9697860032b3e0f4634d87cfdce7c9bc51)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}_{0}^{2}=2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10eff04ffd9ad8e54a381d46d9ccd339df19e3c4)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa09fd8f005155cc767ed172f7adbf1a9f1f9c6d)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b774cdfc9151cef3a3aa0eaf10a0b3dc3fb5f12)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\!\left[{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\right]\!\!(t)=\left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59930049e0b63b05b1cfbf0678874788cd55fa0d)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\,\left[1,28\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right]^{2}\simeq 0,82\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e0c54fb48b6b7f5eba228598e504bbeb2f3df9)
![{\displaystyle 0,82\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left(-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\simeq 2,32\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679ad288707995e7074c9c19d7f2a5bea7764b79)
![{\displaystyle \;K_{0}({\mathfrak {2}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\,\left[1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right]^{2}\simeq 0,73\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188ecaaeb4a5dc2e8a6256209ce53c07eb971f38)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}({\mathfrak {2}})=K_{0}({\mathfrak {2}})+U_{\text{pes}}(\theta _{0})\simeq 0,73\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left(-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95911f60583321caa9eeab731eeb1bdfc9fd095a)
![{\displaystyle \;\left]-\pi \,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599033f3dc8572ad91059f26540a9c9e1cf13c2d)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}\!(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6abc7631bffc7199e62383ba2a8a4afbd56d85)
![{\displaystyle \left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e61fcbf6f54588c46acb3a6f15f56b68a92e82)
![{\displaystyle \;\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc886e3b32a9e992e1b059fb1bfab5ff2c2136ec)
![{\displaystyle \;l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0541709fe445abc1a8f8a7815b2087f8d419b1cb)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57cb162822ece76088eb42363e503b3e8674db66)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649b0dd931ec2e50123f0af4ba303d54690bc09c)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\right]={\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;{\overset {\ldots }{=}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c7506176e8218741aaabc0f4e03e8e6d651be3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)=\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74296cd886e21620e9fcea27ab96a7d1d43b99a8)
![{\displaystyle \;\left\lbrace m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,l\;{\dot {\theta }}(t)=\left\lbrace -h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,l\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9264cf536ab598be7f70962fd6f263072d503fea)
![{\displaystyle \;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1c179dd68481a7575db79e9970d57350eb9e3d)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a703a8563fa353fd64eeda22c1169eee69ec25)
![{\displaystyle \;T{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12a00201985dd98228fdab24ee4281445d0de09)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{M,\,r}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd2536e2c1b8f7613e65bba02d2d4dae6d7edb5)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(t)=-m\,\left\lbrace l\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78aa61574c79fb855305f116da914d09ff0cf61a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2708d60d4a1249dba95b12cbc7c58accd29cfe)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;l^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d965df3f5ab4ffbdb1a20f2f66502e8b42c682)
![{\displaystyle -m\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;l}}-2\;g\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f4668a8f5d8ca3c2390a3e4965a40e791b4fbf)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(t)=-m\;g\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99dbb1b8ed1fb3b21089c4baf84005fab1a5eba)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\theta _{0}\,,\,+\infty \right[\;{\text{pour }}{\dot {\theta }}_{0}>0\\\left]-\infty \,,\,\theta _{0}\right]\;{\text{pour }}{\dot {\theta }}_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb25c7d4889785136cb0972bf7078a725d4c857)
![{\displaystyle \;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa4cd8974c7e3f3ae724685d1b718e37242566f)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[\theta _{0}\,,\,\theta _{0}+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bea602f4e1f2471d4a376160ffd83c717fe24b)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5babfebb13bfca121f670a21897d8abf2a8790c0)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[\theta _{0}-\pi \,,\,\theta _{0}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04cdd7b88297376cfbbdfc54dc29921e3431be6)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,0\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2bae50e1b49fe54804ed31aa3171495a5396cf)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57bcdf5f70c880e81a5a749afafc8589690a77e)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(+\pi )<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2977e41447cd4a5be07609b916a86bd989104e96)
![{\displaystyle \;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\pi )\right]<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a2880b71f697b313dc095e135eed5db37bea2e)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdd4780a635cf50091ad48751b1510a9466017b)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9da6d88dab74743f07fea1800f73f259ef13da)
![{\displaystyle \;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(\theta _{m})<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c65b9948f5b818a66792681c2186a3c475cac3)
![{\displaystyle \;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta _{m})\right]<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64038cef64397349abc1aeb75a27396e6c757812)
![{\displaystyle \;{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36cd8936dcb6cadd845b8decc334d3c6c1a9405)
![{\displaystyle \;\theta _{m}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858e770556dc34df7c5d9216ee0c811ca527f8e4)
![{\displaystyle \;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta _{\text{détente}})\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9722c57c884a703ea4b5620273390bf38f7a126e)
![{\displaystyle \;\theta _{\text{détente}}=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ce4e532da3f73060bbe35a67963424fb9b57c2)
![{\displaystyle \;\theta _{\text{détente}}\rightarrow \left\lbrace \arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\right\rbrace ^{-}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d374759d7eace61950cad39d7bd3419d88886e)
![{\displaystyle =\arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a011faf76a30e2428b9772377e7977089d5ac9d)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}\in \left]2\;m\;g\;l\,,\,{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426ab1ed600c6131f6c757e27c025d6213c3e551)
![{\displaystyle =\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d592047b05c5f36be9157b21263fc4b643359ae3)
![{\displaystyle \;\theta _{\text{détente}}\rightarrow \left\lbrace \arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\right\rbrace ^{+}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a600175ea3fef86d05bb0c748c98501f1b062969)
![{\displaystyle \;{\dot {z}}<0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739a5321815802c9064cf1029a80d918c366370e)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle {\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd12eeda25b4f84215eb22f6eb4b601ebb74c7f)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef85be1fac4986edd3d4793a8fdc921df323e652)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
![{\displaystyle \;\left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4217374f05b8053e319017e68463ef16a121db6e)
\;dt'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22d6ac1b044238caa2e4c4f7a0cc0e1d9693c3b)
\cdot {\vec {V}}_{M}(t')\;dt'=-m\;g\;h\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afac14d051a091255de3091734d0f04d39e2506f)
={\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\delta (t'-t_{\text{collis}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd0ac953b81a7449ef21a29b699252f61ee4555)
![{\displaystyle \;\left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc7c897a60f048fc76ff66d380ff6bea9f5b452)
\;dt'=\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}{\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'={\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'={\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ac674051e29c5a4ca1369117b621b112e2a9d5)
![{\displaystyle \;t'\in \left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6204dde95803b1803bfc9a05771b68ff643a40)
![{\displaystyle \;-m\;g\left(t'-t_{\text{collis}}^{\,-}\right)+I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\left[Y(t''-t_{\text{collis}})\right]_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723ad043d9da7d6eeb84b3e77b0405a39448b3d6)
![{\displaystyle =m\,\left[V_{M,\,z}(t')-V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86680982d43b3cd14589e9a0d0c7f8590ae640a2)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{t'\in \left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0ea595a360fe569a047b967e30f32f130201ce)
![{\displaystyle \;<0{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbee835c55268d5f980172269a46d50a042f706)
![{\displaystyle \;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\left[-{\sqrt {2\;g\;h}}+{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{2\;m}}\right]=-m\;g\;h\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb61a9a88cd518b9922f24e758ce91d9a52a8a0)
![{\displaystyle \;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}=m\,\left[V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,+})-V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})\right]=m\,\left[0-\left(-{\sqrt {2\;g\;h}}\right)\right]=m\;{\sqrt {2\;g\;h}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d2f5bed7aa9ee5c0809428c64fc6a5cb4d7ed4)
![{\displaystyle \;(\Gamma _{m}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9b6e0fdb397011506c948a26c49baa4f1a0398)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{0}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c03229a785f5f7fccc2ee337b6f718eced27a1)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053795a2617c5e23cc7a453853334c7ef7bea3c)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{0}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a838f16d33995240e4d803123c652c89ad03b36)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6de42459971a02db777db6b2fdb525883687e45)
![{\displaystyle \;2\,s{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eeb4b88f8e6f3c025093a997ea8d7e479ef1c75)
![{\displaystyle \;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert <{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011750e7b9f64817dae7f81037998ab79bb9bb8)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]={\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7faee7462afc690ad03d455b7d8b20bd3111fe)
![{\displaystyle \;{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}={\dfrac {l}{2\;g}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5a217c95e00f10e1db606d7e4ce514a0f84d24)
![{\displaystyle \;O{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6d2e8421ffaeb862d52b1faa430ab5f2d5a24d)
![{\displaystyle \;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9c2d4e719f1c34d9bbc1dbedb4d838697023b0)
![{\displaystyle m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6ce9801855506e284031b5ac86eb145dfc37e9)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=-{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe105f4b1e4f9873df2b2aba7cf05d4b754d230)
![{\displaystyle \;dt=-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3979c251ccc38f597f8b25a169a1d7c948a5dc9)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096be7dda524577f85593be0177e0cf3db6b2ea0)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}-2\,(n-1)\,\pi }^{\theta _{0}-2\,n\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7e51b80ba79fde76fe567f8a2a1d425b3dabbe)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P1}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836e1843b3b45798bb63dabf21ceaaf6b6fba8ef)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {l}{2\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-\left[1-\cos(\theta )\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d0793df7e54c2be0ecb2c306de730482ad6594)
![{\displaystyle \;\theta _{0}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57e20194a7f7e4e67df5079de9cd99aa2192113)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]}}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left(1+{\dfrac {-1}{2}}\right)}}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a705410ceda2b34f46932bff7730fbe29542b6)
![{\displaystyle ={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-{\dfrac {-1}{2}}\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+{\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l=2\;m\;g\;l\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c34ef4caf63973b4d824cc4ec5b76a4dd05047f)
![{\displaystyle \;\theta _{3}\in \left]+2\;\pi \,,\,+3\,\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0506c13a90412f2e9913960b15af1b31e7cb2648)
![{\displaystyle \;\theta _{4}\in \left]+\pi \,,\,+2\,\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46d9aeea9d49be41100944454a65d6990861a25)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6524ef24a8428149b9587955c9262f01a4eef29e)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,+\pi \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58617e99ece8c8b813faa3324ca3ef2bf37027eb)
![{\displaystyle \;f\!\left[g(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed8541cd03b4a2e5cd4eb4a89c4095348907605)
![{\displaystyle \;\left[-\pi \,,\,0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6553a2bcf1253a1c2c51097f9e6c4a212db163)
![{\displaystyle \;\left[-\theta _{m}\,,\,0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff49a3ddca45c84803a16419ad3bdedded6bbe29)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{\text{détente}}^{\,2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{\text{détente}})\right]=E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39b67db8f6fef30136608f592817cd725d6fbb3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{\text{détente}}^{\,2}+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0816c770fad9d82d00195ac8f7de7f454ba515f)
![{\displaystyle 2\;g\,\left[h-z(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2930bf8686062673d8efb3d9dfe8f80877a16df)
![{\displaystyle V_{0}^{2}+2\;g\,\left[h-z(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b41b3bb47130b046ba01234a8f481d9f6d2ab7)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da603f5ebcf572e9be50a065b45c6bcf015869e7)
![{\displaystyle {\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8d33a4b4404fd3ae2d486942f99191ce246d32)
