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Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels
Chapitre no 3
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec pour système discret de points matériels dans lequel [1] ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de points matériels dans le système, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert ».
Cinétique d'un système discret de points matériels
Le centre d'inertie ou centre de masse du système discret de points matériels «» dans lequel «»[1] est le barycentre des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant[2]
« tel que » est donc un point fictif.
Propriété : avec représentant une position quelconque, « est tel que »[3] «» de par la définition, est indépendant de .
Propriété : Justification : introduisant la position dans la définition, on obtient «» ou «» «» ou encore «».
Résultante cinétique du système discret de points matériels
La résultante cinétique du système discret de points matériels «» dans lequel «»[1] en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant soit, en notant la quantité de mouvement du point dans le référentiel à cet instant ,
«»[4] ou encore, ; «»[5],[6] avec le vecteur vitesse du point à l'instant dans .
Remarque : Si le système est fermé, c'est-à-dire si , l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;
Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée , pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :
Remarque : si le système est ouvert, par entrée ou sortie de points matériels accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et ou
Remarque : si le système est ouvert, par modification du mouvement des points initialement présents.
Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : La résultante cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1], définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I[7]. du système au même instant dans le même référentiel selon
«»[5] dans lequel est la masse du système et le vecteur vitesse de à l'instant dans .
Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : Démonstration : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I[7]. du système de points matériels fermé est tel que ;
Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [8] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, , le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de points matériels, C.Q.F.D[9].
Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : La résultante cinétiquedu système discret fermé de points matériels «» avec «»[1], définie à l'instant dans le référentiel , est donc, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I.[7] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.
Moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels par rapport à un point O
Le vecteur moment cinétique du système discret de points matériels «» avec «»[1] dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[10] est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [11] soit encore
«»[4],[12] avec « le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant », soit encore «»[5],[12] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels
Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante
«»[4] dans laquelle «» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .
Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles[13] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[14] soit dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [15] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D[16].
Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I[7]. du système discret est le plus couramment utilisé à savoir «»[4] ;
Remarque : le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I[7]. du système dans le même référentiel , «» et Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».
Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude
Considérant le système discret de points matériels «» avec «»[1] en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, «» dans lequel « où, d'une part «» et d'autre part «» puis, par factorisation vectorielle à droite[15] «» par définition du C.D.I[7]. du système soit
Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [17] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C
Soit un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel avec centre du cercle décrit par dans le référentiel avec le vecteur rotation instantanée , le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté est défini par
y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [17], à savoir [18],[19], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel[20] soit avec par utilisation de la relation de Chasles[13] ou encore, en notant le vecteur unitaire de , on peut écrire car est à , d'où , soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matérielen mouvement circulaire de centre, de rayon et de vecteur rotation instantanée[17] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un pointde l'axe de rotation du centre du cercle
Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret fermé de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ
Système discret fermé de points matériels {Mi, (mi)} en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)
Le système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique du point dans par rapport à sous la forme [21],[5], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point ; on en déduit donc ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,
en notant «» exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1re étant sa masse et
repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [22],
le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon
Pour tout , point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude et passant par , on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation , orthogonales entre elles, telles que
« soit à l'axe de rotation » du système c'est-à-dire telles que «»[24] avec le projeté orthogonal de sur , «»[5] avec «» dans laquelle , définissant un « axe principal d'inertie du système issu de »[25], étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par ».
Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point quelconque, «», en rotation autour d'un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, « soit au vecteur rotation instantanée », c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine[26] mais
Remarque : un axe quelconque peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points c'est-à-dire que le 2ème terme du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée , à savoir «», peut être non nul pour tous les points [27].
Exemples d'axes principaux d'inertie : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système discret fermé de points matériels ayant un axe de symétrie de révolution autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point quelconque de , on vérifie la relation «» avec «» dans laquelle établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «» car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en
, au point matériel correspond un point matériel unique symétrique de par rapport à c'est-à-dire tel que «» d'où la propriété énoncée en faisant la somme sur utilisant une seule fois tous les points du plan de section droite coupant l'axe en [28] puis sur pour décrire toutes les sections droites.
Moment cinétique scalaire du système discret de points matériels par rapport à un axe Δ
Le moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] par rapport à l'axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un pointquelconque de l'axe soit
Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectifc'est-à-dire en vérifiant la propriété «» ;
Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels[30] entre et soit «»[4] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[31] «»[32] R.Q.F.D[16]. ;
Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.
Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels «» avec «»[1] en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «»[33] dans lequel « d'où Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par «» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[34] ou, en notant le projeté orthogonal de sur l'axe «» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par les coordonnées cylindro-polaires de sont avec pour base cylindro-polaire liée à , [22] et par suite «» ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant [4],
Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels «» avec «»[1] en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «»[36],[5],[23] dans lequel «» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par «» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[31] ainsi que à , l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué
«» que l'axe soit principal d'inertie[37] ou non[5].
Énergie cinétique du système discret de points matériels
L'énergie cinétique, à l'instant , du système discret de points matériels «» avec «»[1] dans le référentiel d'étude est la somme des énergies cinétiques de tous les points matériels, définies au même instant , dans le référentiel [38] soit encore
«»[4],[39] ou «»[5] avec « le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant », et « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant , du système discret de points matériels «» avec «»[1] en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que , s'évaluant selon «» soit, en factorisant par et reconnaissant dans l'autre facteur
Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système discret de points matériels «» avec «»[1] en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant dans le référentiel d'étude c'est-à-dire tel que avec [19], s'évaluant selon «»[38],[23] ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[34] «» soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur
«»[5] ou «»[5] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de ou encore, avec [5], étant le moment d'inertie du système relativement à , «»[5].
Référentiel barycentrique d'un système discret fermé de points matériels et cinétique associée
Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système discret fermé de points matériels
Le référentiel barycentriqueou du centre de massedu système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]est le référentiel lié au C.D.I.[7] du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».
Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .
Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude en la considérant comme composée de deux mouvements :
Intérêt de son introduction : un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant , à , ce mouvement considérant le système à l'instant comme un solide et
Intérêt de son introduction : un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide lié au C.D.I[7]. ;
Intérêt de son introduction : le solide s'identifie au référentiel barycentrique , ce dernier étant lié à , en translation de vecteur vitesse relativement au référentiel d'étude ;
Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à
Intérêt de son introduction : celle du mouvement du C.D.I[7]. dans le référentiel d’étude et
Intérêt de son introduction : celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.
Grandeurs cinétiques barycentriques du système discret fermé de points matériels
Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les points matériels du système soit
Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] évalué en un point quelconque «» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les points matériels du système par rapport au même point au même instant soit
Propriété : «» est indépendant du point origine et simplement noté «»[5] en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points et distincts on obtient «»[4] avec [5] d'où «»[5].
Énergie cinétique barycentrique du système discret fermé de points matériels
Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant , du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] «» est la somme des énergies cinétiques barycentriques de tous les points matériels du système au même instant soit
Les théorèmes de Kœnig ou König[40] permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes discrets fermés de points matériels.
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
Le moment cinétique vectoriel du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] évalué à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un point quelconque «» est la somme
du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «»[41] évalué à l'instant et
du moment cinétique vectoriel du C.D.I[7]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même point en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude[30] et l'appliquant entre un point quelconque et le C.D.I[7]. du système, on peut donc écrire «»[5] dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude ;
il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig[40], à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I.[7] du système, à l'instant , dans le référentiel d'étude, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant , c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant , dans le référentiel barycentrique , lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I[7]. du système, soit encore à établir «» ;
pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[42], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[43], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit «»[42] puis, en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[14] dans le membre de droite «», enfin en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant vectoriellement à droite par [15]» par définition du C.D.I[7]. du système discret fermé de points matériels d'où finalement «» R.Q.F.D[16].
Application à un système discret fermé de points matériels indéformable (solide au sens de la mécanique)
Le mouvement général d'un système discret fermé de points matériels «» avec «»[1]indéformablec'est-à-dire un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé
d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[7]. du système et
d'une rotation[44] autour de son C.D.I[7]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide ;
l'application du 1er théorème de Kœnig[40] à nous conduit à «» dans lequel
provient du mouvement de translation de relativement à cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point fixe dans , dans ce cas on parlerait de moment cinétique orbital et
, dû à la rotation propre de autour de , dépend de selon «» dans lequel « est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation [45] passant par » avec , étant le projeté orthogonal de sur , le dernier terme de n'étant nul que si l'axe de rotationest axe principal d'inertie du solide[37], on peut alors écrire «».
Remarque : Dans le cas général où l'axe de rotation propre n'est pas nécessairement un axe principal d'inertie du solide[37], on peut appliquer la version du 1er théorème de Kœnig[40] projetée sur ou de même direction que mais passant par , et on obtient «».
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
L'énergie cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] évalué à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme
de l'énergie cinétique barycentrique du système «» évalué à l'instant et
de l'énergie cinétique du C.D.I[7]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
L'énergie cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] étant définie,
à l'instant , dans le référentiel d'étude , selon «»[5] et,
dans le référentiel barycentrique , au même instant , selon «»,
nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[42], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[43], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit «»[42] puis, en formant le carré scalaire multiplié par de chaque membre et en développant le membre de droite «», enfin en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant scalairement par [46]» par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système discret fermé de points matériels et le « 3ème terme, en factorisant par , » d'où finalement «» R.Q.F.D[16].
Application à un système discret fermé de points matériels indéformable (solide au sens de la mécanique)
Le mouvement général d'un système discret fermé de points matériels «» avec «»[1]indéformablec'est-à-dire un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude étant un mouvement composé
d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[7]. du système et
d'une rotation[44] autour de son C.D.I[7]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide ;
l'application du 2ème théorème de Kœnig[40] à nous conduit à «» dans lequel
provient du mouvement de translation de relativement à cela pourrait être une translation circulaire autour d'un point fixe dans , dans ce cas on parlerait d'énergie cinétique orbitale et
, due à la rotation propre de autour de , dépend de selon «» dans lequel « est le moment d'inertie de relativement à l'axe de rotation [45] passant par » avec , étant le projeté orthogonal de sur .
Notions de systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels et leurs propriétés associées
Comme dans la partie « cinétique » d'un système discret de points matériels, ce dernier est envisagé sous la forme «» dans lequel «»[1], si, de plus, son contenu reste inchangé aucune entrée ou sortie de points matériels dans le système, le système est « fermé » sinon, il est « ouvert ».
Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste une force devant être invariante par changement de référentiel ainsi que toutes les autres notions associées « résultante, moments résultants vectoriel et scalaire, puissance, travaux élémentaire et fini, caractère conservatif d'une force et énergie potentielle associée ».
Résultante des systèmes de forces appliqués à un système discret fermé de points matériels
Nous nous limitons aux systèmes discrets fermés de points matériels pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un point matériel qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Remarque : Nous avons vu dans le paragraphe « exemples (de forces appliquées sur un système discret fermé de points matériels) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » qu'il existe Remarque : deux types de forces s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels, les « forces de champ » et les « forces de contact », Remarque : deux types de forces sans différence formelle entre les deux dans le cas d'un système discret fermé de matière si ce n'est que les 1ères s'exercent sur tous les points alors que les 2ndes n'agissent que sur les points situés en périphérie du système d'où Remarque : l'absence de distinction entre « forces de champ » et « forces de contact » dans ce qui suit
Résultante du système de forces extérieures (ou résultante dynamique) appliqué(e) à un système discret fermé de points matériels
Une force extérieure est une force que l'extérieur du système discret fermé de points matériels «» exerce sur un point de ce système ; le système des forces extérieures est alors défini comme l'ensemble des forces que chaque système de exerce sur chaque point de ou encore [47].
Définition de la résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels
Résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels
La résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points soit encore
avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur .
Résultante du système de forces intérieures appliqué à un système discret de points matériels
Une force intérieure est une force qu'un point du système discret fermé de points matériels «» exerce sur un autre point de ce système ; le système des forces intérieures est alors défini comme l'ensemble des forces que chaque point de exerce sur chaque point de .
Remarques : Bien sûr, la distinction entre « forces extérieures » et « forces intérieures » impose de commencer par définir, sans ambiguïté, le système , c'est aussi la raison pour laquelle nous nous limitons aux systèmes fermés.
Remarques : Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que exerce sur mais aussi l’action que exerce sur avec ; on parle alors d’interactions entre les deux points et si l’une est appelée arbitrairement « action », l’autre est alors nommée « réaction ». Newton[48] a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3ème brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n[49]. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton[48].
Rappel du principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Principe des actions réciproques (ou 3ème loi de Newton)
Pour deux points matériels et en interaction telle que décrive l'action de sur [50] et l'action de sur [50], on a à tout instant et quels que soient les mouvements de et :
Commentaires : En « dynamique newtonienne »[52] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel[53] ;
Commentaires : la 2ème relation peut s'écrire encore, en utilisant la 1re relation, , ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun , la 1re relation ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.
Définition de la résultante du système des forces intérieures appliqué à un système discret de points matériels et propriété
Résultante du système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
La résultante du système des forces intérieures appliqué à un système discret de points matériels «» fermé avec «»[1] est la somme de toutes les forces qu'un point quelconque du systèmeexerce sur un autre point quelconque du système, distinct du 1er soit encore
avec la force que exerce sur .
Propriété[54] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système discret de points matériels fermé en dynamique newtonienne » soit
«», ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé[55].
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures selon et , se réécrit alors et d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d’où la propriété énoncée .
Moment résultant vectoriel des systèmes de forces appliqués à un système discret fermé de points matériels
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante de systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels nous nous limitons aux systèmes discrets fermés de points matériels pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un point matériel qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique vectoriel) appliqué à un système discret fermé de points matériels
Moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine quelconque[56] appliqué à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est le vecteur moment résultant des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points relativement au point soit encore
avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur .
Définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels et propriété
Moment résultant vectoriel du système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le vecteur moment résultant du système des forces intérieures relativement au point origine quelconque[56] appliqué à un système discret de points matériels «» fermé avec «»[1] est la somme de tous les moments de forces relativement au pointqu'un point quelconque du systèmeexerce sur un autre point quelconque du système, distinct du 1er soit encore
avec la force que exerce sur et .
Propriété[57] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret de points matériels fermé en dynamique newtonienne » soit
«», ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé[55].
Propriété Démonstration : on peut coupler les forces intérieures selon et , se réécrit alors ; Propriété Démonstration : d’après la 1re relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a soit, en substituant par et en factorisant vectoriellement à droite par [15] «», Propriété Démonstration : enfin, d’après la 2ème relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d'où la propriété énoncée .
Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels a une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nulsen effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine , il l'est par rapport à tout autre point origine car la résultante l'est aussi[58] ;
toutefois, dans le cas général, le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels n'est pas équivalent à un système de forces nulen particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels déformable n’est pas nul[59], alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment.
Moment résultant scalaire des systèmes de forces appliqués à un système discret fermé de points matériels
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante et de moment résultant vectoriel de systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels nous nous limitons aux systèmes discrets fermés de points matériels pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un point matériel qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci
Le moment scalaire d'une force par rapport à l'axe , noté est le projeté, sur l'axe orienté par , du moment vectoriel de cette force par rapport à un point quelconque de l'axe [60] soit
Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système discret fermé de points matériels
Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe quelconque[56] appliqué à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est le moment résultant scalaire des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points relativement à l'axe orienté par soit encore
, avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur .
Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels et propriété
Moment résultant scalaire du système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le moment résultant scalaire du système des forces intérieures relativement à l'axe quelconque[56] appliqué à un système discret de points matériels «» fermé avec «»[1] est la somme de tous les moments de forces relativement à l'axe orienté par qu'un point quelconque du systèmeexerce sur un autre point quelconque du système, distinct du 1er soit encore
avec la force que exerce sur et .
Propriété[62] : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret de points matériels fermé en dynamique newtonienne » soit
«», ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé[55].
Comme lors de l'introduction de la notion de résultante, de moments résultants vectoriel et scalaire de systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels nous nous limitons aux systèmes discrets fermés de points matériels pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un point matériel qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Puissance développée par le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude
Puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Dans le référentiel d'étude , la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué, à l'instant , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la somme des puissances développées dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures s'exerçant, au même instant , sur chaque point matériel soit
«»[63] avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur et le vecteur vitesse du point à l'instant dans .
1er cas particulier, système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] en translation de vecteur vitesse à l'instant par rapport au référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit de factoriser scalairement[46] par dans l'expression définissant «»[63], on obtient ainsi «», le facteur entre crochets s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à à l'instant [64] R.Q.F.D[16].
2ème cas particulier, système discret fermé indéformable de points matériels «» dans lequel «»[1] en rotation de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant autour d'un axe fixe du référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par » ;
2ème cas particulier, démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée [17] autour de avec [65] «» «» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[34], nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la force relativement au point dans le facteur entre crochets «» puis, en factorisant scalairement[46] par , «» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à et enfin, en explicitant en fonction de la vitesse angulaire de rotation de à l'instant autour de «», on obtient «»[66] R.Q.F.D[16].
3ème cas particulier, système discret fermé indéformable de points matériels «» avec «»[1] en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant », « le vecteur vitesse du C.D.I[7]. de à l'instant dans le référentiel d'étude », « le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à par rapport au C.D.I[7]. de à l'instant » et « le vecteur rotation instantanée[17], à l'instant , de autour de l'axe [45] dans le référentiel barycentrique du solide » ou dans le référentiel d'étude , les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre ;
3ème cas particulier, démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « application à un système fermé de points matériels indéformable (solide au sens de la mécanique) » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système discret fermé de points matériels «» indéformable c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique dans le référentiel d'étude est un mouvement composé 3ème cas particulier, démonstration : d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant , « relativement à » dans lequel est le C.D.I[7]. du système et 3ème cas particulier, démonstration : d'une rotation[44] autour de son C.D.I[7]. de vecteur rotation instantanée à l'instant dans le référentiel barycentrique du solide d'où 3ème cas particulier, démonstration : le vecteur vitesse du point à l'instant dans , «» dont on déduit l'expression de la puissance développée par la force extérieure agissant sur à l'instant , «» et, en ajoutant ces relations, la puissance cherchée «» ce qui donne 3ème cas particulier, démonstration : dans le 1er terme, après factorisation scalaire[46] par , «» et 3ème cas particulier, démonstration : dans le 2ème terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire[34], «» puis la factorisation scalaire[46] par , «» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à à l'instant par rapport à d'où 3ème cas particulier, démonstration : «» R.Q.F.D[16].
Puissance développée par le système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude
Puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
La puissance développée, à l'instant , dans le référentiel d'étude , par le système des forces intérieures, , appliqué à un système discret fermé de points matériels «» avec «»[1] est la somme de toutes les puissances développées par les forces qu'un point quelconque du systèmeexerce sur un autre point quelconque du système, distinct du 1er, au même instant , dans le référentiel , soit encore
«»[67] avec «» la puissance développée à l'instant par la force que exerce sur dans , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions[68] : la 1re découle du regroupement par couple des termes de la double somme avec utilisation de [69]on obtient alors termes dans la nouvelle double somme et de l'introduction du référentiel lié au point en translation par rapport au référentiel d'étude , Autres expressions : la 2nde est obtenue à partir de la 1re mais sans la restriction permettant de ne pas compter deux fois chaque couple par exemple «ou » sans cette restriction on obtient alors termes dans la double somme d'où le facteur pour compenser :
Autres expressions : «» avec «» la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude ;
Autres expressions : «» dans lesquelles «» c'est-à-dire la puissance développée, à l'instant , par la force que exerce sur dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude ;
Autres expressions : démonstration de la 1re autre expression de : en regroupant les termes de la double somme par couples on obtient «» puis Autres expressions : démonstration : en utilisant la 1re relation introduite dans le principe des actions réciproques[69] à savoir «» pour factoriser scalairement[46] le terme entre crochets par «», ce qui donne «» ou encore,
Autres expressions : démonstration : en évaluant dans le référentiel d'étude la grandeur vectorielle «» on obtient «» cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles[13], c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans , du « vecteur position relative de relativement à à l'instant » ou, « vecteur position de à l'instant dans le référentiel lié à en translation par rapport à », ou encore, avec en translation par rapport à «»[70] cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant de dans noté » soit finalement «» et par suite
Autres expressions : démonstration : «» R.Q.F.D[16].
1re conséquence : «» ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels et non de leur origine , a même valeur dans tout référentiel en translation par rapport aux , en particulier dans le référentiel d'étude et le référentiel barycentrique du système discret fermé de points matériels .
2ème conséquence : Dans le cas général «» est «» car dépendant des vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres et celles-ci sont non nulles si le système discret fermé de points matériels est déformable.
3ème conséquence : Si le système discret fermé de points matérielsest indéformablec'est-à-dire si c'est un solide au sens de la mécanique, «» car «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[69] et la composante sur de étant avec d'où «».
Travail développé par des systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude
Comme lors de l'introduction de la notion de puissance développée par les systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels nous nous limitons aux systèmes discrets fermés de points matériels pour garder une présentation simple, en effet
dans le cas d'un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un point matériel qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail élémentaire d'un système de forces correspondant à une durée élémentaire d'action du système de forces développant une puissance instantanée sera «»[71] et Dans ce qui suit notre point de départ pour définir le travail d'un système de forces correspondant à un intervalle de temps d'action du système de forces développant une puissance instantanée sera «»[72].
Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude
Définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude
Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est le produit de la puissance développée par le système des forces extérieures à l'instant dans le même référentiel d'étude , par la durée élémentaire de l'action, soit
«» avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur et la puissance développée par à l'instant dans , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Remarque : «» dans laquelle est le vecteur déplacement élémentaire du point sur l'intervalle de temps dans ; «» étant aussi le travail élémentaire développé par la force appliqué à sur l'intervalle de temps dans [73], nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.
Définition équivalente du travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la somme des travaux élémentaires développés dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures s'exerçant, pendant le même intervalle de temps , sur chaque point matériel soit
«»[73] avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur et le vecteur déplacement élémentaire du point sur l'intervalle de temps dans .
1er cas particulier, système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] en translation d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée à à l'instant » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «»[74], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. »[16].
2ème cas particulier, système discret fermé indéformable de points matériels «» dans lequel «»[1] en rotation d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » ;
2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser avec «» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à par rapport à l'axe de rotation à l'instant » et « la vitesse angulaire de rotation, à l'instant , de autour de l'axe orienté par »[75], on obtient ainsi «» ou encore, «» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. »[16].
Travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Définition du travail développé par le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la somme continue[72] de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces extérieures sur l'intervalle de temps dans le même référentiel d'étude soit
«» avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur et la puissance développée par à l'instant dans , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Remarque : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « définition du travail élémentaire développé par le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre «» avec le vecteur déplacement élémentaire du point sur l'intervalle de temps dans «» dans laquelle chaque point décrivant une trajectoire spécifique a une position paramétrée par avec une position initiale notée et une finale notée d'où Remarque : en permutant l'addition discrète et l'addition continue[72], conséquence de la linéarité de ces opérations «» et Remarque : en reconnaissant dans le terme entre crochets la paramétrisation d'une intégrale curviligne «»[76], Remarque : nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.
Définition équivalente du travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces extérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la somme de tous les travaux développés dans le même référentiel d'étude , par les forces extérieures s'exerçant, pendant le même intervalle de temps , sur chaque point matériel soit
«» avec [47] la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur et «»[76] le travail développé par quand le point se déplace sur de à dans .
1er cas particulier, système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] en translation telle qu'un point quelconque , lié à , suit la trajectoire de à dans le référentiel d'étude sur l'intervalle de temps :
«»[76] dans laquelle « est la résultante dynamique appliquée en en une position générique de » et « le vecteur déplacement élémentaire du point sur » ;
1er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[76],[77] dans laquelle est égal à au point d'application près, suivant se déduisant de par translation de vecteur d'où, en permutant l'addition discrète et l'addition continue[72], conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant par «» ou encore, après factorisation scalaire[46] par dans la fonction à intégrer «» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. »[16].
2ème cas particulier, système discret fermé indéformable de points matériels «» dans lequel «»[1] en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude telle qu'un point quelconque , lié à mais , tourne de à autour du , le projeté orthogonal de sur , l'abscisse angulaire de dans le plan de sa trajectoire variant de à sur l'intervalle de temps :
«» dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en en une position générique du cercle décrit » et « la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique » ;
2ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «»[76],[77] dans laquelle est le cercle suivi par avec , son vecteur déplacement élémentaire le long de ou, en utilisant «», le point se déplaçant sur un cercle[78], on obtient «» dans laquelle est égal à au point d'application près, suivant se déduisant de par composition d'une homothétie de centre , le projeté orthogonal de sur l'axe , d'une translation de vecteur , étant le projeté orthogonal de sur l'axe et d'une rotation autour de d'un angle d'où, en permutant l'addition discrète et l'addition continue[72], conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant par «» ou «» en factorisant par la fonction à intégrer, soit finalement «» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. »[16].
Travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude
Diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude
Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels
Dans le référentiel d'étude , le travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est le produit de la puissance développée par le système des forces intérieures à l'instant dans le même référentiel d'étude , par la durée élémentaire de l'action, soit
«» avec «»[67] la puissance développée à l'instant par la force que exerce sur dans , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions[79] : la 1re découle de la 1re autre expression de obtenue par regroupement en couple des termes de la double somme avec utilisation de [69]on obtient alors termes dans la nouvelle double somme et introduction du référentiel lié au point en translation par rapport au référentiel d'étude , 1re autre expression de s'écrivant «» avec «» la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude dont on déduit, en multipliant les deux membres par ,
«» avec «»[80] le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude ;
Autres expressions : la 2nde découle de la 2nde autre expression de obtenue à partir de la 1re mais sans la restriction permettant de ne pas compter deux fois chaque couple par exemple «ou » sans cette restriction on obtient alors termes dans la double somme d'où le facteur pour compenser, 2nde autre expression de s'écrivant «» avec «» la puissance développée, à l'instant , par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude dont on déduit, en multipliant les deux membres par ,
«» avec «»[80] le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps par la force que le point exerce sur le point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude .
Avec un repérage sphérique du point[81]dans le repère associé au référentiel : les coordonnées sphériques du point dans le repère associé au référentiel étant «» et la base locale sphérique associée «», on en déduit l'explicitation de «» par 2ème relation du principe des actions réciproques[69] et celle de «»[82] «» et par suite
«» ou «».
Avec un repérage sphérique du point Mi dans le repère associé au référentiel Rj : Remarques : Si la force d'interaction entre et est « attractive », « est » et Avec un repérage sphérique du point Mi dans le repère associé au référentiel Rj : Remarques : si la force d'interaction entre Mj et Mi elle est « répulsive », « est ». Avec un repérage sphérique du point Mi dans le repère associé au référentiel Rj : Remarques : De l'explicitation du travail élémentaire du système des forces intérieures appliqué au système discret fermé de points matériels précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à utilisant le repérage sphérique du point [81] dans le repère associé au référentiel soit
«» ou «».
Avec un repérage sphérique du point Mi dans le repère associé au référentiel Rj : Remarques : De ces expressions appliquées à indéformable on vérifie que «» et Avec un repérage sphérique du point Mi dans le repère associé au référentiel Rj : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que «».
Diverses expressions du travail développé par le système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels sur une durée finie dans le référentiel d'étude
Travail développé par le système des forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels sur une durée finie
Dans le référentiel d'étude , le travail développé par le système des forces intérieures appliqué sur l'intervalle de temps , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] est la somme continue[72] de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces intérieures sur l'intervalle de temps dans le même référentiel d'étude soit
« » avec «»[67] la puissance développée à l'instant par la force que exerce sur dans , étant le vecteur vitesse de au même instant dans .
Autres expressions : la 1re autre expression «» dans laquelle «» en utilisant le repérage sphérique du point [81] dans le repère associé au référentiel , cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double somme discrète et de la somme continue[72], à l'aide d'une intégrale curviligne[76] selon
«» avec la trajectoire du point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude et
Autres expressions : la 2ème autre expression «» dans laquelle «» en utilisant le repérage sphérique du point [81] dans le repère associé au référentiel , cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la double somme discrète et de la somme continue[72], à l'aide d'une intégrale curviligne[76] selon
«» avec la trajectoire du point dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude .
Systèmes de forces conservatifs appliqués à un système discret fermé de points matériels et énergies potentielles associées du système discret de points matériels
Préliminaires : Le caractère conservatif d'un système de forces n'est introduit que pour un système de forces ne dépendant pas explicitement du tempsil est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons.
Préliminaires : Comme lors de l'introduction de la notion de travail élémentaire développée par les systèmes de forces appliqués à un système discret de points matériels nous nous limitons aux systèmes discrets fermés de points matériels pour garder une présentation simple, en effet
Préliminaires : dans le cas d'un système ouvert de points matériels défini comme le contenu intérieur à une surface fermée fixe dite de contrôle , un point matériel qui est situé d'un côté de à un instant peut être situé de l'autre côté à un instant , ce qui fait qu'il peut être extérieur à à un instant et à à un instant
Système de forces extérieures conservatif appliqué à un système discret fermé de points matériels et énergie potentielle du système discret de points matériels dans ce champ de forces extérieures conservatif
Système de forces extérieur conservatif appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le système de forces extérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] et résultant de l'action du système extérieur à à savoir «» est conservatif ssi son travail élémentaire «» est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées du système des points[83] ou,
ne dépendant pas des points distincts de les formes différentielles «»[84] sont indépendantes les unes des autres, le système de forces extérieures est conservatif ssi chaque forme différentielle «»[84]est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées du point [83].
Énergie potentielle d'un système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif
L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» résultant de l'action du système extérieur à est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées du système des points, notée «»telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire du système de forces extérieures conservatif dont elle « dérive »[86] soit mathématiquement
«» ou,
ne dépendant pas des points distincts de , les formes différentielles «»[84] définissant le travail élémentaire sont indépendantes les unes des autres et l'énergie potentielle du système discret fermé de points matérielsdans le champ du système de forces extérieures conservatif peut être définie à une constante additive près comme la somme desénergies potentielles «» dont dérive chaque force conservative soit mathématiquement
Remarque : L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de l'énergie potentielle » c'est-à-dire préciser la valeur des coordonnées des points pour laquelle l'énergie potentielle est choisie nulle.
Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif
L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]dans le champ du système de forces extérieures conservatif «» résultant de l'action du système extérieur à est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées du système des points, notée «»telle que l'opposé de son gradient[87] est égal au champ du système de forces extérieures conservatif dont elle « dérive »[88] soit mathématiquement
ne dépendant pas des points distincts de , les formes différentielles «»[84] définissant le travail élémentaire sont indépendantes les unes des autres et l'énergie potentielle du système discret fermé de points matérielsdans le champ du système de forces extérieures conservatif peut être définie à une constante additive près comme la somme desénergies potentielles «» dont dérive chaque force conservative soit mathématiquement
1er cas particulier, système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] en translation d'un vecteur déplacement élémentaire sur l'intervalle de temps par rapport au référentiel d'étude pour lequel le système de forces extérieures «» appliqué à et résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[90] est une différentielle de fonction scalaire avec « la résultante du système des forces extérieures », ce travail élémentaire s'écrivant encore « avec un point quelconque lié à » s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle dedans le champ du système des forces extérieures notée fonction des coordonnées du point selon
«» «» dans laquelle « est la résultante du système des forces extérieures » ;
1er cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en translation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[91] près ne dépend pas du choix du point lié au système usuellement on choisit pour le C.D.I[7]. de
2ème cas particulier, système discret fermé (indéformable) de points matériels «» dans lequel «»[1] en rotation d'un angle élémentaire sur l'intervalle de temps autour d'un axe fixe du référentiel d'étude pour lequel le système de forces extérieures «» appliqué à et résultant de l'action du système extérieur à est conservatif c'est-à-dire tel que «»[92] est une différentielle de fonction scalaire avec « le moment résultant scalaire du système des forces extérieures par rapport à l'axe », ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle dedans le champ du système des forces extérieures notée fonction de l'abscisse angulaire de rotation selon
«» «» dans laquelle « est le moment résultant scalaire du système des forces extérieures » ;
2ème cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système en rotation dans le champ du système des forces extérieures au choix de la référence[91] près ne dépend pas du choix de la direction, liée au système , par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation
Système de forces intérieures conservatif appliqué à un système discret fermé de points matériels et énergie potentielle du système discret de points matériels dans ce champ de forces intérieures conservatif (ou énergie potentielle d'interaction du système de points)
Système de forces intérieur conservatif appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] et correspondant à « une interaction entre points de »[93] à savoir «» est conservatif ssi son travail élémentaire «[94]avec le référentiel lié au point en translation relativement au référentiel d'étude » est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées des « points dans les référentiels »[83] ou,
ne dépendant pas des couples de points distincts de les formes différentielles «»[84] sont indépendantes les unes des autres, le système de forces intérieures correspondant à l'interaction de type [93]est conservatif ssi chaque forme différentielle «»[84]est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées du point dans le référentiel [83].
Définition équivalente d'un système de forces intérieur conservatif appliqué à un système discret fermé de points matériels
Le système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] et correspondant à « une interaction entre points de »[93] à savoir «» est conservatif ssi son travail élémentaire «avec la coordonnée radiale de dans le repère associé à , le référentiel lié au point en translation relativement au référentiel d'étude et la seule composante radiale de appliquée à dans le repère associé à est une différentielle de fonction scalaire des coordonnées radiales des « points dans les référentiels »[83] ou,
ne dépendant pas des couples de points distincts de les formes différentielles «»[84] sont indépendantes les unes des autres, le système de forces intérieures correspondant à l'interaction de type [93]est conservatif ssi chaque forme différentielle «»[84]est une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale du point dans le référentiel [83].
Énergie potentielle d'un système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif
L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]dans le champ du système de forces intérieures conservatif «» correspondant à « une interaction entre points de »[93]est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées radiales des points dans les référentiels , notée «» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire du système de forces intérieures conservatif dont elle « dérive »[86] soit mathématiquement
«» ou,
ne dépendant pas des couples de points distincts de les formes différentielles «»[84] définissant le travail élémentaire sont indépendantes les unes des autres et l'énergie potentielle du système discret fermé de points matérielsdans le champ du système de forces intérieures conservatif peut être définie à une constante additive près comme la somme desénergies potentielles «» dont dérive chaque force conservative soit mathématiquement
Remarques : L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de cette énergie potentielle »[91] : usuellement « la référence de» est choisie pour les points du systèmeéloignés à l'infini les uns des autres c'est-à-dire « pour ».
Remarques : L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif ne dépendant que des distances mutuelles séparant les différents points du système entre eux et celles-ci étant indépendantes du référentiel dans lesquelles elles sont définies, on en déduit que «est invariante par changement de référentiel ».
Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif
L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]dans le champ du système de forces intérieures conservatif «» correspondant à « une interaction entre points de »[93]est la fonction scalairedéfinie à une constante additive près des coordonnées radiales des points dans les référentiels , notée «» telle que l'opposé de son gradient[87] est égal au champ du système de forces intérieures conservatif dont elle « dérive »[88] soit mathématiquement
ne dépendant pas des couples de points distincts de les formes différentielles «»[84] définissant le travail élémentaire sont indépendantes les unes des autres et l'énergie potentielle du système discret fermé de points matérielsdans le champ du système de forces intérieures conservatif peut être définie à une constante additive près comme la somme desénergies potentielles «» dont dérive chaque force conservative soit mathématiquement
Remarques : L'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif peut se réécrire en remplaçant la restriction par celle mais alors chaque couple étant compté deux fois il convient de multiplier par le facteur d'où la réécriture de sa définition
«» avec «» définie de la même façon c'est-à-dire telle que «»[81].
Remarques : Avec le choix de « référence pour »[91] «», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système discret fermé de points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif si chaque composante radiale de force est de même variation monotone à savoir Remarques : si les forces d'interaction de type sont « purement attractives »[96] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » «» et Remarques : si les forces d'interaction de type sont « purement répulsives »[96] « est » étant quand jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où « est » «».
Exemples d'énergie potentielle d'interaction d'un système fermé de charges ponctuelles
Dans un système fermé de charges ponctuelles «» dans lequel «»[1], existe, entre les charges, une interaction électrique suivant la « loi d'interaction de Coulomb[97] »[98] dont l'énoncé est rappelé ci-après :
Début d’un théorème
Loi d'interaction de Coulomb entre charges ponctuelles
Entre deux charges ponctuelles et s'exerce une « interaction électrostatique » telle que
la force que exerce sur dans le vide s’écrive «» avec et respectivement la coordonnée radiale[99] et le vecteur unitaire radial du point [100] dans le repérage sphérique de pôle [81] et
la force que exerce sur est l'opposée de la précédente à savoir «» ou encore «» avec et respectivement la coordonnée radiale[99] et le vecteur unitaire radial du point [101] dans le repérage sphérique de pôle [81] ;
ces forces électrostatiques sont appelées « forces d'interaction de Coulomb[97] », « étant la permittivité diélectrique du vide »[102] de valeur telle que [103].
Fin du théorème
Remarque : L'interaction électrostatique est « attractive si est » et « répulsive si est ».
Propriétés : L'énergie potentielle d'interaction de Coulomb[97] d'un système fermé de charges ponctuelles «» dans lequel «»[1] écrite sous la forme symétrisée «» peut être réécrite en utilisant la notion de potentiel électrostatique dont « dérive » un champ électrostatique un champ électrostatique étant un champ à circulation conservative[106]c'est-à-dire tel que sa circulation élémentaire «» est une différentielle de fonction scalaire, il « dérive » d'un potentiel électrostatique défini à une constante additive près, d'où la nécessité de préciser la référence du potentiel[107] par «»[108] ou par «»[109], une charge ponctuelle dans un champ électrostatique est soumise à une force électrostatique «» conservative « dérivant » de l'énergie potentielle électrostatique «» avec les références de l'énergie potentielle[91] et du potentiel[107] au même endroit avec « le potentiel électrostatique créé par la charge ponctuelle au point noté » et « le potentiel électrostatique créé par le système des charges ponctuelles à l'exception de au point noté » d'où «», forme qui a l'avantage d'effectuer une évaluation méthodique permettant d'éviter l'oubli de termes.
Positionnement du noyau et des deux électrons d'un atome d'Hélium dans le cadre de la mécanique newtonienne
Nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'un atome d'Hélium «» modélisé en un système de charges ponctuelles représentant la charge élémentaire :
un noyau noté ou “ ” sur le schéma ci-contre de charge «», respectivement de coordonnées radiales dans le repérage sphérique[81] du référentiel lié à l'électron “ ” et dans le repérage sphérique[81] du référentiel lié à l'électron “ ” ainsi que
deux électrons notés respectivement “ ” et “ ” sur le schéma ci-contre de charge «», l'électron “ ” étant de coordonnée radiale dans le repérage sphérique[81] du référentiel lié à l'électron “ ” et l'électron “ ” de même coordonnée radiale dans le repérage sphérique[81] du référentiel lié à l'électron “ ” ;
pour cela nous utilisons l'expression «»[110] soit, en explicitant tous les termes, «», les termes entre les deux 1ers crochets correspondant à l'énergie potentielle électrostatique de l'électron “ ” dans le champ électrique de l'électron “ ” et du noyau “ ”, le terme entre les deux derniers crochets à l'énergie potentielle électrostatique de l'électron “ ” dans le champ électrique du noyau “ ”, soit
«» et
«» d'où
«»,
les deux 1ers termes correspondant à l'interaction attractive entre le noyau et chaque électron, le 3ème à l'interaction répulsive entre les deux électrons.
Préliminaire : Voir ci-contre la représentation du modèle du cristal ionique de chlorure de sodium, les deux types d'ions et étant positionné chacun aux nœuds d'une maille d'une structure cubique à faces centrées, plus précisément
Préliminaire : les ions sont aux nœuds d'une structure cubique à faces centrées dont les sommets s'identifient à la maille de la structure cubique ionique du chlorure de sodium et
Préliminaire : les ions aux nœuds d'une autre structure cubique à faces centrées décalée d'« une demi-arête de »[111] suivant l'une des trois directions de la structure cubique ;
Préliminaire : pour obtenir un ordre de grandeur de l'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une paire d'ions de chlorure de sodium[112]«», on adopte une modélisation linéaire du cristal ionique de permettant d'aborder l'évaluation de «» de façon élémentaire, le cristal linéaire ionique s'étendant à l'infini suivant la direction unique du cristal.
Énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une maille du modèle linéaire du chlorure de sodium supposé d'expansion infinie
Représentation du modèle linéaire du cristal ionique du chlorure de sodium
Modélisation linéaire du cristal ionique de : voir ci-contre, chaque type d'ions se succédant sur une droite en étant distant de ses deux voisins les plus proches de «»[111], nous supposons qu'il y a au total « anions » et « cations » avec « suffisamment grand pour qu'il puisse être assimilé à l'infini » ; Modélisation linéaire du cristal ionique de NaCl : pour évaluer l'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une maille du modèle linéaire du chlorure de sodium «», on considère un couple « anion - cation voisins » noté respectivement choisi en position centrale de la chaîne de façon à ce que les ions des extrémités de celle-ci aient une action négligeable sur les ions centraux, «» étant alors l'énergie potentielle d'interaction des ions situés de part et d'autre du couple sur le couple lui-même[113] avec utilisation de l'invariance du réseau linéaire par translation de longueur le long de la chaîne ;
considérant l'anion au nœud “”, l'énergie potentielle d'interaction électrostatique de cet ion dans le champ de tous les autres ions notée «» peut se déterminer sous la forme «»[114] soit «»[115], chaque somme pouvant être simplifiée en tenant compte de la symétrie du réseau selon , la somme des deux sommes se réécrivant «» «» ;
considérant le cation au nœud “”, l'énergie potentielle d'interaction électrostatique de cet ion dans le champ de tous les autres ions notée «» peut se déterminer sous la forme «»[114] soit «»[115], chaque somme pouvant être simplifiée en tenant compte de la symétrie du réseau selon , la somme des deux sommes se réécrivant «» «» ;
Modélisation linéaire du cristal ionique de NaCl : finalement nous en déduisons l'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une maille du modèle linéaire du chlorure de sodium supposé d'expansion infinie «» la série de terme général «» et de 1er terme «» définit une « série harmoniquealternée », la somme « est convergente de limite égale à » voir la démonstration ci-dessous.
' Limite de la somme des 1ers termes d'une série harmonique alternée'
Soit la « série harmoniquealternée » de 1er terme «» et de terme général «», on définit la somme des 1ers termes de cette série selon «» ou, en explicitant la somme «» puis on transforme chaque terme de la somme en utilisant «» en effet d'où «» dans laquelle le facteur entre accolades définissant la fonction à intégrer est la somme des 1ers de la suite géométrique de 1er terme et de raison soit «»[116] dont on tire «» ou encore
«» ;
or étant à on en déduit et par suite, « quand , » d'où
«» ou «».
Modélisation linéaire du cristal ionique de NaCl : En conclusion l'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une maille du modèle linéaire du chlorure de sodium d'expansion infinie s'exprime selon
«», le signe «» traduisant le fait que l’interaction est « globalement attractive » par influence prépondérante des ions voisins.
Modélisation linéaire du cristal ionique de NaCl : L'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une maille du cristal ionique de chlorure de sodium dans sa modélisation linéaire d'expansion infinie peut s'écrire «» avec «constante de Madelung[117] »[118] valant, dans le cadre de la modélisation linéaire d'expansion infinie de , «».
Modélisation linéaire du cristal ionique de «», A.N.[119] : Avec les valeurs «», «»[103], «»[111] et «»[120], on trouve « en » ou « en »[120] soit «»[120] ;
Modélisation linéaire du cristal ionique de « NaCl », A.N. : on en déduit l'énergie potentielle molaire d'interaction électrostatique du modèle linéaire du cristal ionique de chlorure de sodium en multipliant le résultat précédent par la constante d'Avogadro[121] «» « en » soit «».
Énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une paire d'ions du cristal ionique de chlorure de sodium à structure cubique d'expansion infinie
Extension à la structure cubique du cristal ionique de «» : On admet que l'énergie potentielle d'interaction électrostatique d'une paire d'ions du cristal ionique de chlorure de sodium à structure cubique d'expansion infinie[112] peut s'écrire «» avec «constante de Madelung[117] »[118] valant théoriquement résultat admis «» ;
Extension à la structure cubique du cristal ionique de « NaCl » : numériquement on obtient soit «» ;
Extension à la structure cubique du cristal ionique de « NaCl » : on en déduit l'énergie potentielle molaire d'interaction électrostatique du cristal ionique de chlorure de sodium à structure cubique en multipliant le résultat précédent par la constante d'Avogadro[121] «» « en » soit «».
Nécessité d'une autre interaction entre ions du cristal ionique de chlorure de sodium (à modélisation linéaire ou à structure cubique) pour expliquer l'équilibre stable d'une maille
Remarque : L'interaction électrostatique entre ions du cristal de étant « globalement attractive » par prédominance de l'influence des ions les plus proches d'un ion quelconque étudié et ceci quelle que soit la distance séparant ce dernier de ses plus proches voisins, on devrait observer un effondrement du cristal vers un équilibre correspondant à , Remarque : comme ce n'est évidemment pas le cas, il y a nécessairement une autre interaction « globalement répulsive » dont l'influence devient prédominante aux faibles valeurs de , il s'agit de la répulsion entre nuages électroniques de deux ions voisins quand la distance les séparant devient si faible que ces nuages s'interpénètrent.
Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : ainsi l'énergie potentielle d'interaction électrostatique globale d'une paire d'ions du cristal ionique de à modélisation linéaire ou à structure cubique[112] «» est-elle la somme de deux termes,
l'autre « globalement répulsif » « choisi sous la forme « avec et » assurant le caractère répulsif de l'interaction et que l'énergie associée devienne , aux faibles valeurs de , à la valeur absolue de l'autre énergie variant en une énergie globale correspondant à un caractère globalement répulsif aux faibles valeurs de ,
Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : soit, en notant la distance séparant deux ions voisins, «» expression devant être minimale pour la position d'équilibre stable de la maille[122],[123] ce qui permet de déterminer les valeurs possibles de et de en fonction de et de ;
Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : on écrit donc «» avec d'où «» on vérifierait que le lien de stationnarité de pour correspond effectivement à un minimum d'où
Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : l'énergie potentielle d'interaction électrostatique globale d'une maille du cristal de à l'équilibre s'écrit
«» restant à adapter aux résultats expérimentaux.
Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : L'énergie potentielle molaire d'interaction électrostatique du cristal ionique de à structure cubique ayant été évaluée par calcul à «», Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : L'énergie potentielle celle d'interaction électrostatique globale du même cristal ionique de à structure cubique ayant été mesurée à «» et étant égale à «» nous en déduisons Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : «» soit «» que l'on arrondit à «» valeur qui est vérifiée par l'étude de la compressibilité des cristaux de ;
Modification tenant compte de l'interaction entre nuages électroniques d'ions voisins : en conclusion, la force d'interaction électrostatique entre nuages électroniques d'ions voisins « dérivant » de l'énergie potentielle «» est d'intensité « donc effectivement répulsive ».
Énergie réticulaire du cristal ionique deà structure cubique : On appelle « énergie réticulaire du cristal ionique de à structure cubique», l’énergie minimale à fournir au cristal ionique, par mole de solide, pour que les ions et se retrouvent tous à l'infini les uns des autres sous phase gazeuse[124] ; elle vaut donc
Comme dans la partie « cinétique » d'un système discret de points matériels, ce dernier est envisagé sous la forme «» dans lequel «»[1], de plus, pour que les théorèmes de la dynamique newtonienne soient applicables au système sous les formes énoncées, le contenu de ce dernier doit rester inchangé aucune entrée ou sortie de points matériels dans le système, le système doit donc être « fermé »[125].
Dans ce paragraphe, le référentiel d'étude de la dynamique newtonienne du système est exclusivement « galiléen ».
Théorème de la résultante cinétique et celui du mouvement du centre d'inertie (ou simplement du centre d'inertie)
Théorème de la résultante cinétique d'un système discret fermé de points matériels
« Dans un référentiel galiléen, la résultante dynamique appliquée, à l'instant , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]est égale à la dérivée temporelle de sa résultante cinétique au même instant » soit
.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermédéformable ou non de points matériels mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [126],[127].
Démonstration[128] : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer, à chaque point matériel du système discret fermé de points matériels , la r.f.d.[129] soit
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne ou ,
le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels,
le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit et
le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système discret fermé de points matériels soit d'où
pour un système discret fermé de points matériels dans un référentiel galiléen, ou (C.Q.F.D.)[9], applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.
Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système discret fermé de points matériels (cadre de la dynamique newtonienne)
« Dans un référentiel galiléen et dans le cadre de la dynamique newtonienne, la résultante dynamique appliquée, à l'instant , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1]est égale au produit de la masseinertedu système par le vecteur accélération de son C.D.I.[7]au même instant » soit
.
Fin du théorème
Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermédéformable ou non de points matériels Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [126] car, le théorème de la résultante cinétique dont il découle ne s'applique pas à un système ouvert
Démonstration[131] : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , du théorème de la résultante cinétique au système discret fermé de points matériels soumis, à l'instant , à la résultante dynamique soit dans laquelle est la résultante cinétique du système au même instant et, Démonstration : Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique , la masse inerte et le vecteur vitesse du C.D.I[7]. du système à savoir dont on déduit, Démonstration : , la masse de tout système fermé étant constante, soit, Démonstration : par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, (C.Q.F.D.)[9].
Préliminaire : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système discret fermé de points matériels sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique
Début d’un théorème
Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne ou relativiste)
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétiqued'un système discret fermé de points matériels isolé «» dans lequel «»[1]est conservée au cours du temps du référentiel », ce référentiel étant qualifié de « galiléen ou inertiel».
Fin du théorème
Démonstration : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un point matériel quelconque de postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à le système étant isolé «» d'où, en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir ainsi que la définition de la résultante cinétique , on établit soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé[132].
Début d’un théorème
Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)
« Il existe au moins un référentiel d'espace-temps dans lequel le C.D.I.[7]d'un système discret fermé de points matériels isolé «» dans lequel «»[1]est animé d'un mouvement rectiligne uniforme », ce référentiel étant qualifié de « galiléen ou inertiel».
Fin du théorème
Démonstration : Appliquant le théorème de l'inertie au système discret fermé isolé on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps dans lequel la résultante cinétique de est conservée au cours du temps puis, comme avec pour un système fermé, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[7]. du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de .
Conséquence du théorème de la résultante cinétique[133] : Si le système discret fermé de points matériels est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,
« la conservation de la résultante cinétique du système »[134] soit ; cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.
Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie[135] : Si le système discret fermé de points matériels est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème du mouvement du C.D.I[7]. au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,
« la conservation du vecteur vitesse du C.D.I[7]. du système »[136] soit ; cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.
Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point fixe dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans par rapport au même point , au même instant , «» soit
«».
Fin du théorème
Démonstration : Considérant le système discret fermé de points matériels «» étudié dans le référentiel galiléen et un point fixe dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point fixe dans [137], s'écrivant «»,
Démonstration : on fait la somme de ces relations «» et on reconnaît dans
« le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
« le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point à l'instant «»[138] et
« le 2ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[139], à «» c'est-à-dire la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point au même instant .
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermédéformable ou non de points matériels mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [126],[140].
Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels par rapport à un point fixe dans le référentiel d'étude galiléen à savoir «» si le vecteur moment résultant dynamique en appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système discret fermé de points matériels en un point fixe dans un référentiel galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «» ;
le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport au point fixe dans galiléen peut être nul par
« absence de forces extérieures » c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé, « des forces extérieures toutes centrales par rapport au point fixe»[141] ou « des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe se compensent »[142].
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude
Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen n'est pas à mémoriser quand le point origine a un mouvement quelconque relativement au système dans car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[7]. du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas où le point origine A d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , à un système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel à l'instant » soit
«».
Fin du théorème
Commentaires : ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermédéformable ou non de points matériels.
Commentaires : En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système discret fermé de points matériels est lié à la vitesse du C.D.I. du système et à la masse de ce dernier par voir le paragraphe « résultante cinétique du système discret de points matériels (propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé) » plus haut dans ce chapitre, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «» ; Commentaires : par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique d'un système discret fermé de points matériels et le mouvement du C.D.I. du système[143] d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.
Considérant le système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] étudié dans le référentiel galiléen et un point mobile dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;
exprimons d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point mobile dans [144], en écrivant ce théorème relativement à un point origine fixe dans soit «» puis on effectue le changement d'origine selon «» que l'on reporte dans la relation après dérivation de la dernière expression selon «», ce qui donne, après factorisation vectorielle[15] partielle à gauche par dans le 2ème terme
«»,
ou encore, en appliquant la r.f.d.n[145]. à «» d'où la réécriture de la relation «»
soit, enfin en ajoutant les relations, «» et on reconnaît dans
« le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
« le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point à l'instant «»[138],
« le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[139], à «» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point au même instant et enfin
« le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par [15] «» reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système de points matériels «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;
finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point mobile dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est.
Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système discret fermé de points matériels) dans le référentiel d'étude
C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen car le C.D.I[7]. du système est mobile le seul cas où y serait fixe est « isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale » :
le prolongement du théorème dans lequel on utilise «» voir le paragraphe « résultante cinétique du système discret de points matériels (propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé) » plus haut dans ce chapitre, conduit donc à «» d'où l'énoncé :
Début d’un théorème
Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. G du système dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I[7]. du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] étudié dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système «» «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce système par rapport au C.D.I[7]. au même instant «» soit
«».
Fin du théorème
Remarque : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I[7]. du système , le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude galiléen et non dans le référentiel barycentrique , lequel est en général non galiléen[146].
Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe fixe dans , le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué, à l'instant , au système discret fermé de points matériels «» dans lequel «»[1] «» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans par rapport au même axe , au même instant , «» soit
«».
Fin du théorème
Démonstration : Considérant le système discret fermé de points matériels «» étudié dans le référentiel galiléen et un axe fixe dans par rapport auquel on détermine les moments scalaires, l'axe étant orienté par le vecteur unitaire ,
Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point quelconque, fixe sur dans [147], s'écrivant «»,
Démonstration : on multiplie scalairement chaque membre par «» et on reconnaît
dans « le 1er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels évalué par rapport à l'axe à l'instant «» et
dans « le 2ème membre » se transformant en «» compte-tenu de la constance de , la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe au même instant , «».
Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermédéformable ou non de points matériels mais Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [126],[148].
Cas d'un solide en rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans le référentiel d'étude
Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen
Dans un référentiel galiléen où le système discret fermé de points matériels «[1]» a un mouvement de rotation autour de l'axe fixe dans et prenant pour origine des moments l'axe de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à du système à l'instant «» est égal au produit du moment d'inertie «» du système par rapport à l'axe de rotation [149] par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «» du système autour de l'axe au même instant la vitesse angulaire instantanée étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée [150] repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel soit
Commentaire : sous cette forme, ce théorème applicable en dynamique newtonienne à un système fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste[152].
Ayant rappelé, dans le paragraphe « moment cinétique scalaire du système discret de points matériels par rapport à un axe Δ (cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre, le lien entre le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe de rotation , la vitesse angulaire de rotation et le moment d'inertie à savoir «» et appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système sous sa forme la plus générale «», il suffit alors d'expliciter la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire dans le cas où le système est en rotation en tenant compte du fait que le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation est une constante, soit «» et par suite «» R.Q.F.D[16].
Sachant voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans ce chapitre que «» dans laquelle «» sont les coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas du point la base cylindro-polaire liée à étant notée [22], le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation [149], le vecteur rotation instantanée du système à l'instant et la vitesse angulaire de rotation du système au même instant , nous constatons que, dans le cas général, «» «» d'où le théorème du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit «» avec «» dans le cas général où l'axen'est pas un axe principal d'inertie du système[153] ;
par contre, dans le cas particulier où l'axe, fixe dans le référentiel d'étude galiléen, est un axe principal d'inertie[153]du système discret fermé de points matériels autour duquel il est en rotation, le théorème du moment cinétique vectoriel du système en rotation autour de s'écrit «», étant un point quelconque de .
Si le moment résultant dynamique scalaire du système discret fermé de points matériels en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen est nul c'est-à-dire si «», le système tourne à vitesse angulaire conservée dans le temps c'est-à-dire «».
Prolongement, solide en rotation autour d'un axe (Δ) de direction fixe dans le référentiel d'étude
Le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen ce qui a pour conséquence que le vecteur unitaire orientant est un vecteur constant dans n'est pas à mémoriser car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;
il se déduit du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à en un point origine mobile dans le référentiel d'étude galiléen[154], étant choisi sur de façon à ce que soit «» dans laquelle « est la résultante cinétique du système » et « le vecteur vitesse du point dans » définis tous deux à l'instant «» dans laquelle on reconnaît
dans le 1er membre, le moment résultant dynamique scalaire du système relativement à l'axe soit «»,
dans le 1er terme du 2ème membre, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe car «» compte-tenu du fait que soit «» et
dans le 2ème terme du 2ème membre, un produit mixte «
![{\displaystyle \;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac6c2a2ba03b46a8d25cd0913caf273619cec47)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27f5c4f75bd9d2a033132ebc2044bedea19aa81)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\right]{\overrightarrow {OG}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a25167fc97468584260e7b90aed7db093855c29)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c75d5e628d875ef749e02ee59338bf6fcc659)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\right]\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {O'M_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7e4ffd2eb6ad646823dd5828f6ee85ba8b83c4)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]={\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd92d5e1e05d4ddf491645bc1c2e4958d58c433)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbac4aa9a975a12b53621b71217e09680be6327)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a81429c837aa3d7c054e29f52496b88463f2b7)
![{\displaystyle {\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ac38bffc31d0dd3043d346a922aba2b73acf7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aeba8a9388415d503ddd6b67e061e60f5fa441)
![{\displaystyle \;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e4b5bc5430f03324868799c3be8783aa66f558)
![{\displaystyle \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1fb7402663e0e4cec47e59b44341162f9d3639)
![{\displaystyle \,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8967767ed9b6ed52dfa7c297f16560e04afadc7)
![{\displaystyle \;m_{\text{syst}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e47d51305be5d18cbc9e79c1f0f263e0d52983)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230f5fcb077a1c30feb2cec37ac0e73340c1aae6)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f197dd294b6e43ca91b26efedf2403d5d7b61bf0)
![{\displaystyle \;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\perp \left(\Delta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de4e8e639c23a56f0840047783b9af02c264ae5)
![{\displaystyle \;m_{j,\,k_{j}}\;{\overline {AH_{j}}}\left[{\overrightarrow {H_{j}M_{j,\,k_{j}}}}(t)+{\overrightarrow {H_{j}{M'}_{j,\,k_{j}}}}(t)\right]={\vec {0}},\;\;\forall \;k_{j},\;\;\forall \;j\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38413d8df65620d75cb33fe4e4ab9273e0c8bbe0)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec4427c198450a7fb3c2b7e752a59a8ba899ae)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df5a05f43885563a8190956b6cc9cc29b189c71)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a360b780c05cb48ba24e28afbd17d17ede4bab5)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a6d6b1cf625ba9764f6264a106ef421b2d9330)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d68f933c3eb2d052e5ad8848db3752ad38bfa24)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a11d0d1d4b4fc087c6f418a11b6796e4a3523b4)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b9fd22e8b371b538adb03ea9d65666f580d410)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t),\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78191556b25d70d67ddd9f7f25bd057b550b511e)
![{\displaystyle \;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da758876cb96f358d26566abafcb28918c6ccc9)
![{\displaystyle \;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034e881f8a43a30b43baf400a264b6feb341ebf8)
![{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa939aa0687b1dd89233895639e862259379bd)
![{\displaystyle \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{i}}}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9010f2434823fd2d9903331e739a4dcd756fc2eb)
![{\displaystyle \;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda60285746595f87ad7ac324ddab6d02db8952a)
![{\displaystyle \;{\mathcal {S}}=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734244c64e6cbd61a449201edff09d8ce0c4ce7d)
![{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)-{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {GH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f77f830c9e2cd7f42890c33f5d937fc67ab621)
![{\displaystyle \;O{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6d2e8421ffaeb862d52b1faa430ab5f2d5a24d)
![{\displaystyle \;\sigma _{\!\Delta _{O}}\!({\mathcal {S}},\,t)=J_{\Delta _{G}(t)}({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}_{\,/{\mathcal {R}}^{*}}({\mathcal {S}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\mathcal {S}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta _{O}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24484e7cefd3537dffc4901f59379bffdc1a8060)
![{\displaystyle \;K^{*}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\,\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{\!2}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca71bd74f9a5fe4e1ae786ac72e6c37e92acf01)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad791a21b1ecc95b4b1fb99944a6d601d4ce594)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e585561132c222fafa7d6ceb9bccc89a11646c8)
![{\displaystyle \;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85709d6ecc3148e759ddf3e4a6ae262cf237246c)
![{\displaystyle \;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\right]{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=K(G,\,t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2058e1d29b91618367ce82351597458e1905ba16)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dbbea3c7aa02e9f134a6f61dcf50bbfc54150d9)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db3e4157a67f7fc42520ee586ed7c44b6f31a77)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f711d9b0576fdb3121cce44e75ab3b34a939c607)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\begin{array}{l}i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\\j\,\in \,\left[\left[1\,,\,i-1\right]\right]\,\cup \,\left[\left[i+1\,,\,N\right]\right]\end{array}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f144254cb6d999d7d5e51ba4ac11b7ee6097d75)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2540173a62fd4653f1cc879c9795ec82cf56d741)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def190a568a4bd796fa4c73b7624bb94bfe8574e)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b14e6d4f7aad4146b86af6549816177e9197d8)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fc387858442d1d1fb6c6fd429ee97cd36b22d0)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa3d330a1f0f50c1081762c8d861f0efa579f06)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee61aa9f06acc5a71bebef32de88182db8b2a942)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55b50e7f4fdc3df8080160f626159d1bc50c8a1)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left({\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}+{\overrightarrow {OM_{j}}}\wedge {\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19124c255053f9b8cad9936f725ea2aa75eef9d5)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OM_{j}}}\right]\wedge \;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}\wedge \;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd5e940da8b7f4d5ce4e3132eb7e4271da37058)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2809745b2adfa98b4cc5c0be6508430bea0602)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0633f8aee7ac554395ddd3963435aafe967006)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eade1980be06c6fd19fa0723a31f2bab443acbdb)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef040b2626603aa7ab61618f0a93b78041ebe06)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5471bfa799089aa060daa2d9560b83138b21cfe4)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8e552bea8e042254b59b809814003e05d82f12)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d1db5963aaf4120a272fea3bf24dd53827732e)
![{\displaystyle \left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4848a9e348e87fd756d13553d8c49279956e41)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc166a67afe8d06895b82c9770a36ac4d3ddc7e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2c5205338f452234dc6b75b3bc1b4ed96a7701)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace ={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995fb7512955b77f50ec2c42c7e029c39d874fd6)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\overline {\Omega }}(t)\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]={\overline {\Omega }}(t)\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644c1f1d0e6f7aea8702c68f760a557c35e0d038)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a5637fe3943cca7b98e24ef0b818ae9b90f962)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\right]+\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e0754ecbb1a3a9e034515ccb69a468a968ce69)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc148451634eae5ac56a25dc7707b290bc4ba86a)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77e715dc4f6a7ffe9f1945b5d18dca33a9046d3)
![{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace ={\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6e24be882357e76adb47e4ff7ccf4a080a75e0)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3986b8c83c96b8c87132a980da65d9672a83a16)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7975e13fc148e48e02ac2c4afb5f6f65a7778060)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc583673a736bfeb8de8630a9cfcfe0f65fa7df)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91df3bd82445814f791057534df2689e288f57b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left(\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \right)={\dfrac {1}{2}}\left(\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d4fbe912677085a06bc238f75519ee3ac33afb)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)+{\vec {F}}_{j\,\leftarrow \,i}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013cd6bad1e89692e2ecb64b306f66dd63d18f7e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0310931aaaab2fbcfe6a1c0cfe146c100a74e963)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)-{\vec {V}}_{M_{j}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{j}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5308178c91abea5807629de8881b260ab541fd4d)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {d\,[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OM_{j}}}]}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4300b2f30be1ede5ab5b4f1ce577243c86e7a112)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7dc1ce4fa706973590233a934e5e5842871c11)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}(t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd72ba0cff27ccbe72462f45a311ade6352462e2)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4f4527a6506168b344be7870bcb922ccd902aa)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01364e592cf8fc618cb041adf6633f5764b1757e)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur }}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}(t)\times dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c17363a5efde3034c70b5e11dfdb674b0ea345)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e4b97dd1cd97238b8a13399f73bd05c6a90f01)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148fba205d96e47187966fbc1b89686d6a676a14)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531fbf76e4d6bc0cc4a30b2492b96cf5cc81eed0)
![{\displaystyle \delta W_{\text{ext}}(t)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right\rbrace dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;dt\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9ec353d1bf47c9b58b23004def778807fae924)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c47511ca837e2cb016cfa099d0b0d321cb9dde)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18118ac6b96ec494d5f2ef8ddfb7a111644d6127)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaa54be35d69c7135c1814d3648c1e991e77b65)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left[{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413811109c02dec140587ea0401a8762dd7cb036)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\right]={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d548694a082d94d5a9771e6f824c3235140ce0)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4097c0b317dff1a9618db4a994e3dd2934dad7ee)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\,\left[{\overline {\Omega }}(t)\;dt\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb75966cb735401979276ec1b2d2a620e8eb781)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb34a734b500c583bf27e0272048e540458ba588)
![{\displaystyle \;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88bd69e4eff9a9ddf155072432e1dfb533d6a08)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t'\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aea620b9ebae3b674e89ac4e76f1eb424da59b2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e082f64ff5bf1878535d06e9a221d5e8b73fc05)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}(t')\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023051444b9fb55a2969a4056ba9eb9e5309489a)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}(t')\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1d0600cdda967cbbbfbf968b799bf5ea080aea)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25f17db6ad8f3f25d6a3d919d9f103a950951fe)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {(\Gamma _{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f6f5a22196a58b73e2864d5b43ed08e270eeac)
![{\displaystyle \;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abf530cf6b22c6e22e9a69b5948b65893262927)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {(\Gamma _{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8eab8f0685b1cec0eb6036e10e7eb926a2b392a)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dA}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689c8b93ae4e1eea56e7b299a61b243ff2691558)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\overrightarrow {dA}}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdcbba0b8a5416e2f8a449afc7c20cf81d16e2b)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efe7c85e443abc5c002e382a4a1ab5259773b71)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {({\mathcal {C}}_{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c893e891ee791ce877f0dc577cf104458d46ac)
![{\displaystyle \,\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {({\mathcal {C}}_{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=\displaystyle \int _{\theta _{i,\,0}}^{\theta _{i,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{i}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c12f6645b05aa6f900c113598ce272ff9c2c7cd)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\displaystyle \int _{\theta _{i,\,0}}^{\theta _{i,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{i}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69ceab3863fe224ad691578a21f93fbd9b91bc3)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d\theta _{i}\,,\,\theta _{i}\in \left[\theta _{i,\,0}\,,\,\theta _{i,\,f}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3407f6f0428dbb522e35a105447dd8e7a4a04dc0)
![{\displaystyle \;\left\lbrace d\theta _{A}\,,\,\theta _{A}\in \left[\theta _{A,\,0}\,,\,\theta _{A,\,f}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329de5d80f6504d314791311e76f4586b7d3acb5)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]d\theta _{A}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a90e1fa934a1e4ed13330ab30a38ee7dd240e7)
![{\displaystyle \;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace d\theta _{A}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b07a1538e5ed9b0a425a955e606eec9c4ee70fe)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right)\right]\right\rbrace dt=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right)\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7ebfbbca6d265067bf0faa458bf6a0d160a41b)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,i+1\,..\,N}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b2912f6acef9869dff72578cc3d0ffd54c4976)
![{\displaystyle \;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ba312a14cbf773e2e2389a17c2a55d7a3f15d8)
![{\displaystyle \;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4a513effb59feda86daf2f534c6a2431e2eb5c)
![{\displaystyle \;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}(t)={\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;dr_{j,\,i}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eeb89ac18ad3d8ff6fc04cc73a34ae777dca268)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f1f4190286b6782d895e5d1313822267d307e4)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right)\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc45098f5e7c109339d27d35cc7c56c2493e56e)
![{\displaystyle \;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right)\right]\right\rbrace dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1e41ffd066a83303a53b1c2e9753d96277cc65)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,i+1\,..\,N}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad9c295cea09bd7a585b2f487cef2534dd17112)
![{\displaystyle \;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}(t)={\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;dr_{j,\,i}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa427747f888438e23e4e1786dee276c0de141aa)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{i,\,f}}{\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;d{r'}_{j,\,i}\right]\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,i+1\,..\,N}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{i,\,f}}{\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;d{r'}_{j,\,i}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522bc0aa115c355da639160ea40468d433d6cd0b)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9090b541770bcbca7c9635dc78c3b64db6708a)
![{\displaystyle \;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{i,\,f}}{\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;d{r'}_{j,\,i}\right]\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,i-1}^{j\,=\,i+1\,..\,N}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{i,\,f}}{\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;d{r'}_{j,\,i}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cb9b77f5a32300288166d3edcce27c6a04fd8f)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}=\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ff6db5a5762e473c8f62d91492a6aa76eb6b6f)
![{\displaystyle \;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,..,\,M_{i},\,..,\,M_{N}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07172e5b5eb2e63afa836723c1e3f63d2121ef1d)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,..,\,M_{i},\,..,\,M_{N}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15476e6fbc87ce7f8aee9555780ed36dccdcbe91)
![{\displaystyle \;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f46d7fa5b8ab8771b7a482cde7348adcde487a)
![{\displaystyle \;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,..,\,M_{i},\,..,\,M_{N}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab3672e3efdaff10087eaf3712abf38b0351a7)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=-dU_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d643d5cf0182cedb1111f5c82a99597a909fb534)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{M_{1},\,..\,M_{i-1},\,M_{i+1},\,..M_{N}}\!\left[U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\right]\!\left(M_{1},\,..,\,M_{i},\,..,\,M_{N}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e89c0283a3993793f99ea44c2fc4926ad3e80ee)
![{\displaystyle \;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd9c6186c432ac30a303dc314ceafc26da9acb7)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b0243c3db81d4c1c68935e6dcc2fff82270cb1)
![{\displaystyle \;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da9b08467c58a6e79f07bb75a00dfcdedc71d5f)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00f06ecdd33749c4c8915ea5a25ccd8e0029ca8)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a6ba4121de44914fc397c3c581e604be61287)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039ac689aabf0cd33c4e03735f2c6bf54a72ae75)
![{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa5c00f8f865d3cef6015b5ce3da6d3b7737579)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7657c07f2bc6899bb8a1809f6fa1e94c8ecb7518)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0b4dc8ee79133c723d722fba297c4a0ab6b5c5)
![{\displaystyle =\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}(t)\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4384e098a2c8f51165479b03fb0ed03d890b1806)
![{\displaystyle \;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}={\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\;dr_{j,\,i}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9208383de72b0e4b2c21fcdc7a37761d8b8b1903)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4db936e38a965e5fb5301ac4e390c69f76872ca)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\;dr_{j,\,i}\right\rbrace =-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d52e9f0a7746324cdc646cf1afcd23a0179cf38)
![{\displaystyle \;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}}\!\left[r_{j,\,i}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496416d97a40e055aee956f5df59a1a843275306)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i}\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}}\!\left[r_{j,\,i}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129aaafc517f6bc1e0869686fe5d3e23f303d3a9)
![{\displaystyle \;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\;dr_{j,\,i}=-dU_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}}\!\left[r_{j,\,i}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf562a5f0862311208c66ff785fde2de2c2f3c8)
![{\displaystyle \;r_{j,\,i}=\infty \;\;\forall \;\left(i,\,j\neq i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476e2055588b02f664657c0168796edaa8ec5fbb)
![{\displaystyle \;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{\left\lbrace r_{q,\,p}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}p\,\in \,\left[\left[1\,..\,N\right]\right]\,/\,\left\lbrace i\right\rbrace \\q\,\in \,\left[\left[i+1\,..\,N\right]\right]\,/\,\left\lbrace j\right\rbrace \end{array}}{\bigg \rceil }}}\!\left[U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\right]\!\left(\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee25c161b31ecdc5faa27d478f93d7ca17eea415)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77bf4742f113c0a6e55d34a24af0b105de9e2050)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]={\dfrac {1}{2}}\,\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}}\!\left(r_{j,\,i}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862acd91098b2f7153f1b4fe7b7491821aa3d276)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a66f795ed2a9df1c472f3627669450c469ca9a)
![{\displaystyle \;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae301b068e4ace8daac6a9a9bcbf2b20eb60008e)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(q_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62a9651bd11b5a4ea5c5001815cb33f79c1f441)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M_{2}\,\leftarrow \,M_{1}}\right]={\vec {F}}_{M_{2}\,\leftarrow \,M_{1}}\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{1}\;q_{2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;dr_{1,\,2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8c25c6fe14f61e7652a55aa64da10f7d855c95)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8d3fd8cdc20577d5760fd5d2f833042ebf1fda)
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M_{2}\,\leftarrow \,M_{1}}\right]=-d{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}}\,\leftarrow \,M_{1}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2b2e86b29102e01148d7c33eaebe6dea232979)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect. de}}\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}\!\left(r_{j,\,i}\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{i}\;q_{j}}{r_{j,\,i}}}\right]\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}q_{i}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{j}}{r_{j,\,i}}}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bf3751989b7a083f882b7dc0e4f9ce0a5d5f55)
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151478acaf1f25b58b2f4c2e6dc6b7d83ab7c08c)
![{\displaystyle {\big )}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf798176e8d0243e867578e70c5e195918f134e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect. de}}\,\left({\mathcal {S}}\right)}\!\left[\left\lbrace r_{j,\,i}\right\rbrace _{{\bigg \lfloor }{\begin{array}{l}i\,=\,1\,..\,N\\j\,=\,i+1\,..\,N\end{array}}{\bigg \rceil }}\right]={\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}q_{i}\;V_{({\mathcal {S}})/\left\lbrace q_{i}\right\rbrace }(M_{i})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d93910cd975e0c2c968666b2b6f87be45c6b9e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,He}(r_{1,\,2},\;r_{1\,3},\;r_{2,\,3})=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,3}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}^{j\,<\,i}\;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}}\,i\,\leftrightarrow \,j}\!\left(r_{j,\,i}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981d0b133623104a8ca8fb18c61a642470151235)
![{\displaystyle =\left[{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}}\,1\,\leftrightarrow \,2}\!\left(r_{1,\,2}\right)+{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}}\,1\,\leftrightarrow \,3}\!\left(r_{1,\,3}\right)\right]+\left[{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}}\,2\,\leftrightarrow \,3}\!\left(r_{2,\,3}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d47f2ec32f97817ebac5de4daf813fcb8b856d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,He}=-{\dfrac {2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\left[{\dfrac {1}{r_{1}}}+{\dfrac {1}{r_{2}}}\right]+{\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {1}{r_{1,\,2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415286df28478392eb9cee59ff731ebebb95eb69)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,Cl^{-}\,=\,{\text{“}}\,0\,{\text{”}}\;{\text{lin.}}}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;(-e)\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\left[\sum \limits _{i\,=\,-\infty \,..\,-1}^{i\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {-e}{r_{{\text{“}}\,i\,{\text{”}},\,{\text{“}}\,0\,{\text{”}}}}}+\sum \limits _{j'\,=\,-\infty \,..\,-1}^{j'\,=\,0\,..\,+\infty }{\dfrac {+e}{r_{{\text{“}}\,j'\,{\text{”}},\,{\text{“}}\,0\,{\text{”}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8beee07c830e731cd496a0c301c43355f8354b42)
![{\displaystyle ={\dfrac {2\;e}{\mathfrak {a}}}\left[\sum \limits _{n\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {(-1)^{(n-1)}}{n}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a69c8e2cb1a64e41da45b8fa2972e245b3dd49e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,Cl^{-}\,=\,{\text{“}}\,0\,{\text{”}}\;{\text{lin.}}}\simeq {\dfrac {-e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;{\mathfrak {a}}}}\left[\sum \limits _{n\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {(-1)^{(n-1)}}{n}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e06b2e79a0178ee1486c26739fcf1ad1253d16)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,Na^{+}\,=\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}\;{\text{lin.}}}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;(+e)\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\left[\sum \limits _{i'\,=\,-\infty \,..\,-1}^{i'\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {+e}{r_{{\text{“}}\,i'\,{\text{”}},\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}}}}+\sum \limits _{j\,=\,-\infty \,..\,0}^{j\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {-e}{r_{{\text{“}}\,j\,{\text{”}},\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e3fc830e40f5a196afa52b96926b16a8d554af)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i'\,=\,-\infty \,..\,-1}^{i'\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {+e}{r_{{\text{“}}\,i'\,{\text{”}},\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}}}}+\sum \limits _{j\,=\,-\infty \,..\,0}^{j\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {-e}{r_{{\text{“}}\,j\,{\text{”}},\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}}}}={\dfrac {2\;e}{\mathfrak {a}}}\left[\sum \limits _{n\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{n}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68a5a028a8c55cfb6f660572e2e03a4ee0bd57)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,Na^{+}\,=\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}\;{\text{lin.}}}\simeq {\dfrac {e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;{\mathfrak {a}}}}\left[\sum \limits _{n\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{n}}\right]={\dfrac {-e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;{\mathfrak {a}}}}\left[\sum \limits _{n\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {(-1)^{(n-1)}}{n}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa498c9ed26c18c46472f585dea8888a35b843c5)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,NaCl\;{\text{lin.}}}={\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,Cl^{-}\,=\,{\text{“}}\,0\,{\text{”}}\;{\text{lin.}}}+{\mathcal {E}}_{{\text{pot. élect.}},\,Na^{+}\,=\,{\text{“}}\,0'\,{\text{”}}\;{\text{lin.}}}\simeq {\dfrac {-2\;e^{2}}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;{\mathfrak {a}}}}\left[\sum \limits _{n\,=\,1\,..\,+\infty }{\dfrac {(-1)^{(n-1)}}{n}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696e67c171bd3e180353a7517cdf0458dffbce0c)
![{\displaystyle {\big )}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d98a9eb1d9d126ce2aec3b9e693605609a3c461)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{1}\left(-t\right)^{(k-1)}\;dt=\left[-{\dfrac {\left(-t\right)^{k}}{k}}\right]_{0}^{1}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735b54cbe5b720fd160f2f5d3d8533e3ec7d85ef)
![{\displaystyle \;S_{n}=\sum \limits _{k\,=\,1}^{k\,=\,n}\left[\displaystyle \int _{0}^{1}\left(-t\right)^{(k-1)}\;dt\right]=\displaystyle \int _{0}^{1}\left\lbrace \sum \limits _{k\,=\,1}^{k\,=\,n}\left[\left(-t\right)^{(k-1)}\right]\right\rbrace dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd0366936af9958050717abc3546bf398f19810)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{k\,=\,1}^{k\,=\,n}\left[\left(-t\right)^{(k-1)}\right]={\dfrac {1-\left(-t\right)^{n}}{1-\left(-t\right)}}={\dfrac {1-\left(-t\right)^{n}}{1+t}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61977d5a5522285cf8ec73a4b8a6ddc3dd5d375)
![{\displaystyle \;S_{n}=\displaystyle \int _{0}^{1}\left[{\dfrac {1-\left(-t\right)^{n}}{1+t}}\right]dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bee61252ac2acae082277ad841b9557c20ded5a)
![{\displaystyle \;S_{n}=\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {dt}{1+t}}+(-1)^{(n+1)}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {t^{\,n}}{1+t}}\;dt=\left[\ln(1+t)\right]_{0}^{1}+(-1)^{(n+1)}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {t^{\,n}}{1+t}}\;dt=\ln(2)+(-1)^{(n+1)}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {t^{\,n}}{1+t}}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c94c7916d8e66c0ccf964cad5017bf36b95c984)
![{\displaystyle \;t^{\,n},\;\;\forall \;t\;\in \;\left[0\,,\,1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb708c4f436ce1d9658b94e0b19783193c165b6)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {t^{\,n}}{1+t}}\;dt<\displaystyle \int _{0}^{1}t^{\,n}\;dt=\left[{\dfrac {t^{(n+1)}}{n+1}}\right]_{0}^{1}={\dfrac {1}{n+1}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2cafe7164b20813851bb20efba69c851fa90c3)
![{\displaystyle \;\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }S_{n}=\ln(2)+\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }\left[(-1)^{(n+1)}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {t^{\,n}}{1+t}}\;dt\right]=\ln(2)+0=\ln(2)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75a8d1da4d7c3fb7737c182980e676d9c7f3bf3)
![{\displaystyle \;\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }\left[\sum \limits _{k\,=\,1}^{k\,=\,n}{\dfrac {(-1)^{(k-1)}}{k}}\right]=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }\left[1-{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {1}{4}}\;\ldots \;+{\dfrac {(-1)^{(k-1)}}{k}}\;\cdots \;+{\dfrac {(-1)^{(n-1)}}{n}}\right]=\ln(2)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19499491ffc6c373a40943ac81c6666e885a0281)
![{\displaystyle \;{\mathfrak {a}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fca343266f920623120388b16865d5d729012a)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4193bffc6092d0f67928edc0d5ff32e96fc45f)
![{\displaystyle \left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9ea1c6c4b1834858d515d29b5594ebd243cb05)
+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5b5d8c53792285e0a3672662373af077ab6e6e)
+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cd22235e6dfd92d3759afc47f373894d49e6b5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b021f17e8cf4ccf59653105ca0a1d76950d1618)
+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i})}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362bbc79456673f2747af94d65b5579e802d8366)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i})\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce90ebe7a5c70e1f357ec181037848ccbdc3a8df)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace +\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addc020ac2a4317ea151360df3d7cb593bbd4b40)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0414c0cc477ba4f60744c6f37a6b904c9f007e5)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4349682a6371e1b401984202a220b382ca6beda3)
+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1365b333f4e09fa3b50494e1630d2bbdbc32c475)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d002de86e0d68083f4b0b05e8953aab7c6520d4)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4ebeae0ac4321c3b812282506266563489ce2d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;{\cancel {+\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0c5205b234d2c5078bbeda9505906ab35616df)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdff36a604e03df40a4ac995b197b70cc698230)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b828377fdfa4ffec078a22b674ae9014ec58d58)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9deb54e145cd1dee3f999f80c98757c40699d0a5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}\right]}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be84faded1908d9fa190aed2c973d0057fe8e979)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9eeffd3db6786fe4ab9ab0f28df64fb104884e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcda4c9e34350ba30f39948446f6d99ed12c8c8)
