Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels

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     Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec pour système discret de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ dans lequel $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ ; de plus si le contenu du système reste inchangé $\;{\big (}$aucune entrée ou sortie de points matériels dans le système${\big )}$, le système est dit « fermé » $\;{\big (}$sinon, il est dit « ouvert »${\big )}$.

Cinétique d'un système discret de points matériels

     Dans le cas général le système discret de points matériels est déformable et

     dans le cas où il est fermé et « indéformable » il définit un « solide $\;{\big (}$au sens de la mécanique${\big )}\;$».

Masse du système discret de points matériels

     La masse du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» est une grandeur scalaire $\;>0\;$ caractérisant l'inertie du système et définie selon

«$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;$».

     Remarque : Si le système est fermé, $\;N\;$ étant constant, la masse du système ne varie pas c'est-à-dire «$\;m_{\text{syst}}=cste\;$».

Centre d'inertie (ou centre de masse) du système discret de points matériels

     Le centre d'inertie $\;{\big (}$ou centre de masse${\big )}\;$ du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» est le barycentre $\;G\;$ des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant

«$\;G\;$ tel que $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;$» $\;{\big (}G\;$ est donc un point fictif${\big )}$.

     Propriété : avec $\;O\;$ représentant une position quelconque, «$\;G\;$ est tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}\;$» $\;{\big (}$de par la définition, $\;G\;$ est indépendant de $\;O{\big )}$.

     Propriété : Justification : introduisant la position $\;O\;$ dans la définition, on obtient «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{m_{\text{syst}}}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}}}\;$».

Résultante cinétique du système discret de points matériels

     La résultante cinétique du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est notée, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$ $\;{\big [}$ou, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {P}}(t){\big ]}\;$ et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant $\;t\;$ soit, en notant $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ la quantité de mouvement du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$» ou encore, ;
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : Si le système est fermé, c'est-à-dire si $\;N=cste$, l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;

     Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée $\;(\Sigma )$, $\;N\;$ pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :

     Remarque : si le système est ouvert, $\;\succ \;$par entrée ou sortie de points matériels accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et $\;{\big (}$ou${\big )}$

     Remarque : si le système est ouvert, $\;\succ \;$par modification du mouvement des points initialement présents.

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est liée au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans lequel
$\;m_{\text{syst}}\;$ est la masse du système et
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : Démonstration : Choisissant un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système de points matériels fermé $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ est tel que $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)$ ;

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient $\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)\;$ ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$, le 2^ème membre définissant la résultante cinétique du système de points matériels, C.Q.F.D..

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est donc, au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels par rapport à un point O

Définition du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels par rapport à un point O

     Le vecteur moment cinétique du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un point $\;O$ $\;{\big (}$a priori quelconque${\big )}\;$ est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à ce même point $\;O\;$ soit encore

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
soit encore «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels

     Soit $\;\left(O\,,\,O'\right)\;$ deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ suit la relation suivante

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$.

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {OM_{i}}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\;$ et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit $\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\right]\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {O'M_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme $\;{\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)\;$ et on factorise vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OO'}}\;$ dans le 1^er terme $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]={\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'où la R.Q.F.D..

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque $\;O\;$ et le C.D.I. $\;G\;$ du système discret est le plus couramment utilisé à savoir «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels, à l'instant $\;t$, par rapport à un point $\;O\;$ quelconque dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant $\;t$, par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à $\;O$, du point fictif $\;G\;$ de quantité de mouvement $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$».

Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude

     Considérant le système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]{\big \}}$, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ vaut, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\\{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ où, d'une part «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» et d'autre part «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» puis, par factorisation vectorielle à droite «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» et
«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ $\;={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$».

Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude

Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle

Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ imposé, avec précision du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C

     Soit $\;A\;$ un point quelconque de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ du point matériel $\;M\;$ avec $\;A\neq C\;$ centre du cercle décrit par $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ avec le vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, le vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au point $\;A\neq C\;$ de son axe de rotation, noté $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)\;$ est défini par

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M}(t)\;$» ou «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» ;

     y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$, à savoir $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$, on obtient $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {AM}}(t)\wedge m\,\left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$ nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel soit $\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\right]{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {AC}}(t)+{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ par utilisation de la relation de Chasles ou encore, en notant $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire de $\;\Delta$, on peut écrire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\quad {\text{ainsi que}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)={\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }+{\overrightarrow {CM}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\cancel {+\;{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }}}\\{\overrightarrow {AM}}(t)\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)=\;{\cancel {{\overline {AC}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\cdot {\overrightarrow {CM}}(t)\;+}}\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ car $\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où $\;{\dfrac {{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)}{m}}={\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {AC}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overrightarrow {CM}}(t)$, soit encore, en notant $\;R\;$ le rayon du cercle $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\!\!(t)=R^{2}\;\;\forall \;t$, l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel $\;M\;$en mouvement circulaire de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point $\;A\;$ de l'axe de rotation $\;\neq \;$ du centre $\;C\;$ du cercle

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(M,\,t)=m\;R^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AC}}\;{\overrightarrow {CM}}(t)\;$».

Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret fermé de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ

Système discret fermé de points matériels {M_i, (m_i)} en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire, au même instant $\;t$, le vecteur moment cinétique du point $\;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ $m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$, avec $\;H_{i}\;$ centre de rotation de $\;M_{i}\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;r_{i}\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M_{i}$, le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point $\;M_{i}$ ; on en déduit donc $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$ ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1^er ou 2^ème terme,

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]$» ;

     en notant «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$» exprimée en $\;kg\cdot m^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$ $\;{\big [}$il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^re étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et

     repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big [}$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$,

     le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$».

Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système discret fermé de points matériels est « axe principal d'inertie du système »

     Pour tout $\;A$, point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et passant par $\;A$,
     on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation $\;\left\lbrace \left(\Delta _{p,\,k}\right)\right\rbrace _{k\,=\,1\,..\,3}$, orthogonales entre elles, telles que

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)\;$ soit $\;\parallel \;$ à l'axe de rotation $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$» du système c'est-à-dire telles que
«$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i,\,k}}}\;{\overrightarrow {H_{i,\,k}M_{i}}}(t)={\vec {0}}\;$» avec $\;H_{i,\,k}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)$,
$\Downarrow$
«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta _{p,\,k}\right)}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{p,\,k}}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta _{p,\,k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i,\,k}^{\,2}\;$» dans laquelle $\;r_{i,\,k}=H_{i,\,k}M_{i}$,
$\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$ définissant un « axe principal d'inertie du système issu de $\;A\;$»,
$\;J_{\Delta _{p,\,k}}\;$ étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie $\;\left(\Delta _{p,\,k}\right)\;$ passant par $\;A\;$».

     Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux $\;\perp$, d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$», en rotation autour d'un axe issu de $\;A\;$ ayant l'une des trois directions précédentes, « soit $\;\parallel \;$ au vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$», c'est-à-dire qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point $\;A$, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine $\;A\;$ mais $\;\ldots$

     Remarque : un axe quelconque $\;\left(\Delta \right)\;$ peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points $\;A\;$ c'est-à-dire que le 2^ème terme du vecteur moment cinétique $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)\;$ du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, à savoir «$\;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\perp \left(\Delta \right)\;$», peut être non nul pour tous les points $\;A\in \left(\Delta \right)\;$.

     Exemples d'axes principaux d'inertie : Pour plus de détails voir le paragraphe « complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;

     Exemples d'axes principaux d'inertie : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système discret fermé de points matériels ayant un axe de symétrie de révolution $\;\left(\Delta \right)\;$ autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on vérifie la relation «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\left(\Delta \right)}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{\,2}\;$» dans laquelle $\;r_{i}=H_{i}M_{i}\;$ établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)={\vec {0}}\;$» car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en $\;H_{j}$, au point matériel $\;M_{j,\,k_{j}}\left(m_{j,\,k_{j}}\right)\;$ correspond un point matériel unique $\;{M'}_{j,\,k_{j}}\left(m_{j,\,k_{j}}\right)\;$ symétrique de $\;M_{j,\,k_{j}}\;$ par rapport à $\;H_{j}\;$ c'est-à-dire tel que $\;{\overrightarrow {H_{j}{M'}_{j,\,k_{j}}}}(t)=-{\overrightarrow {H_{j}M_{j,\,k_{j}}}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;m_{j,\,k_{j}}\;{\overline {AH_{j}}}\left[{\overrightarrow {H_{j}M_{j,\,k_{j}}}}(t)+{\overrightarrow {H_{j}{M'}_{j,\,k_{j}}}}(t)\right]={\vec {0}},\;\;\forall \;k_{j},\;\;\forall \;j\;$» d'où la propriété énoncée en faisant la somme sur $\;k_{j}\;$ utilisant $\;{\big (}$une seule fois${\big )}\;$ tous les points du plan de section droite coupant l'axe en $\;H_{j}\;$ puis sur $\;j\;$ pour décrire toutes les sections droites.

Moment cinétique scalaire du système discret de points matériels par rapport à un axe Δ

     Le moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» par rapport à l'axe $\;\Delta$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant $\;t$, dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de l'axe soit

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\;t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\;t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;\forall \;A\;\in \;\Delta$.

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c'est-à-dire en vérifiant la propriété «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels entre $\;A\;$ et $\;A'\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» et on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;$» R.Q.F.D. ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts $\;A\;$ et $\;A'\;$ quelconques sur l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous pouvons poser $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque d'un axe $\;\Delta$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\;{\cancel {{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;+}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ d'où
     Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire ou, en notant $\;H_{G}\;$ le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle $\;A\;$ et d'axe orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ les coordonnées cylindro-polaires de $\;G\;$ sont $\;\left(r_{G}\,,\,\theta _{G}\,,\,z_{G}\right)$ $\;{\big [}$avec pour base cylindro-polaire liée à $\;G$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)=r_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ et par suite «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;$» ou, en notant $\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t$,

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$.

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$, $\;H_{i}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe et $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où
     Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de rotation orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}}\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ainsi que $\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;M_{i}$, l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit principal d'inertie ou non.

Énergie cinétique du système discret de points matériels

     L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme des énergies cinétiques de tous les points matériels, définies au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit encore

«$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}K_{M_{i}}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,2}}{2\;m_{i}}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
et $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]{\big \}}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}}\;$ et reconnaissant $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}=m_{\text{syst}}\;$ dans l'autre facteur

«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$»
ou encore, avec $\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$».

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système discret de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$» avec «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t),\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta {\big \}}\;$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\;$» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$ et en reconnaissant dans l'autre facteur $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$

«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ est la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$
ou encore, avec $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$, $\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ étant le moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta \right)$,
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {\sigma _{\!\Delta }^{\,2}({\text{syst. en rot.}})}{2\;J_{\Delta }}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$».

Référentiel barycentrique d'un système discret fermé de points matériels et cinétique associée

Notion de référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système discret fermé de points matériels

Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système discret fermé de points matériels

     Le référentiel barycentrique $\;{\big (}$ou du centre de masse${\big )}\;$ ${\mathcal {R}}^{*}\;$ du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» est le référentiel lié au C.D.I. $\;G\;$ du système en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarques : $\;G\;$ étant immobile dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, le vecteur vitesse de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ y est nul soit «$\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» noté plus succinctement «$\;{\vec {V}}^{\,*}\!(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ le point $\;G$.

     Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en la considérant comme composée de deux mouvements :

        Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant $\;t$, à $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)$, ce mouvement considérant le système à l'instant $\;t\;$ comme un solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ et

        Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ lié au C.D.I. $\;G$ ;

     Intérêt de son introduction : le solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ s'identifie au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, ce dernier étant lié à $\;G$, en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;

     Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à

        Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$celle du mouvement du C.D.I. $\;G\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et

        Intérêt de son introduction : $\;\succ \;$celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

Grandeurs cinétiques barycentriques du système discret fermé de points matériels

Résultante cinétique barycentrique du système discret fermé de points matériels

     Définition : La résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)$, à l'instant $\;t$, du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les points matériels du système soit

«$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\;$» ou encore «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\;$».

     Propriété : «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» car «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)\;$» d'une part et «$\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'autre part ; on en déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Moment cinétique barycentrique vectoriel du système discret fermé de points matériels évalué en un point O quelconque

     Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant $\;t$, du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» évalué en un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les points matériels du système par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t\;$ soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{i},\,t)\;$» ou encore «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\;$».

     Propriété : «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est indépendant du point origine $\;O\;$ et simplement noté «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points $\;O\;$ et $\;O'\;$ distincts on obtient «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}^{\,*}\!(t)\;$» avec $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}}\;$ d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t),\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;\left\lbrace O\,,\,O'\right\rbrace \;$».

Énergie cinétique barycentrique du système discret fermé de points matériels

     Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant $\;t$, du système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$» dans lequel «$\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,/\,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$» «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme des énergies cinétiques barycentriques de tous les points matériels du système au même instant $\;t\;$ soit

«$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}K^{\,*}\!(M_{i},\,t)\;$» ou encore «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{i}}}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)}{2}}\;$