En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.
Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique
Les problèmes de mécanique à base de système discret fermé de points matériels ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas «»,
au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » [1], le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ;
mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » [2] assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand [3] et il est nécessaire de réaliser des schématisations :
soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques [4] ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul [5],
soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » [6] : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies par exemple lors de la définition de la masse «» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires [2] occupant un volume , on remplace «» par «» où «[7] est la masse volumique en » supposée « variant continûment avec » correspondant à une « modélisation volumique » [8],[9]
Ainsi pour passer d’un système discret de points matériels, dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul [10], Ainsi pour passer à un système continu d’expansion tridimensionnelle c.-à-d. faire une « modélisation volumique », Ainsi pour passer on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel Ainsi pour passer on remplace par l'intégrale volumique «» [11],[12],[13].
Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu
un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante
c.-à-d. «» ;
si le volume de l'expansion tridimensionnelle contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne de ce dernier reste constante si le volume de l'expansion tridimensionnelle contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, le plus vraisemblablement par ne variant pas par rapport au temps .
La masse d'un système continu de matière, d'expansion surfacique , de « masse surfacique », est définie par
un système continu de matière d'expansion surfacique est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante
c.-à-d. «» ;
si l'aire de l'expansion surfacique contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne de ce dernier reste constante si l'aire de l'expansion surfacique contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, le plus vraisemblablement par ne variant pas par rapport au temps .
La masse d'un système continu de matière, d'expansion linéique , de « masse linéique », est définie par
un système continu de matière d'expansion linéique est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante
c.-à-d. «» ;
si la longueur de l'expansion linéique contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne de ce dernier reste constante si la longueur de l'expansion linéique contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, le plus vraisemblablement par ne variant pas par rapport au temps .
Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », la masse du système peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant considéré c.-à-d. «» :
Remarque : si de la matière sort de l'espace intérieur à sans qu'il y ait d'entrée il y a donc fuite de matière, quand ,
Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à sans qu'il y ait de sortie il y a donc apport de matière, quand ,
Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique cela correspond à un régime stationnaire de matière, Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique quand .
Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu
Le centre d'inertie C.D.I.[16] du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » [17] c.-à-d.
le point tel que «» [11] où est le volume élémentaire défini au point générique dans ;
avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation «» [11]la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [19] d'où [11] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .
Le centre d'inertie C.D.I.[16] du système continu de matière fermé d'expansion surfacique est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » [20] c.-à-d.
le point tel que «» [14] où est l'aire élémentaire définie au point générique dans ;
avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation «» [14]la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [19] d'où [14] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .
Le centre d'inertie C.D.I.[16] du système continu de matière fermé d'expansion linéique est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » [21] c.-à-d.
le point tel que «» [15] où est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans ;
avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation «» [15]la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [19] d'où [15] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .
« Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne)
La résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle
«» [11],[23],[24] dans laquelle « est la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;
en cinétique classique[22], la résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit
«» [11],[23],[24] dans laquelle « est le vecteur vitesse en à l'instant dans » et « la masse volumique du milieu continu en » [25] ;
en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle :
en cinétique classique [22] «» [27],[28] avec « le vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] du système à l'instant dans le référentiel ».
La résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle
«» [14],[29] dans laquelle « est la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;
en cinétique classique[22], la résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit
«» [14],[29] dans laquelle « est le vecteur vitesse en à l'instant dans » et « la masse surfacique du milieu continu en » [30] ;
en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière d'expansion surfacique :
en cinétique classique [22] «» [31] avec « le vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] du système à l'instant dans le référentiel ».
La résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle
«» [15],[32] dans laquelle « est la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;
en cinétique classique[22], la résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit
«» [15],[32] dans laquelle « est le vecteur vitesse en à l'instant dans » et « la masse linéique du milieu continu en » [33] ;
en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière d'expansion linéique :
en cinétique classique [22] «» [34] avec « le vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] du système à l'instant dans le référentiel ».
Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude
Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant
«» [11],[24] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste, à l'instant , «» où « est le facteur de Lorentz [35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans » et « la masse volumique de la matière en »,
on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,
«» [11],[24] avec « le facteur de Lorentz [35] du milieu en à l'instant ».
Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle quelconque, pas d'expression de Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle quelconque, en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.[26],[16]du système en effet, Remarques : pour si [11] s'établit en dérivant [11] par rapport à [36] pour un système fermé [37], Remarques : pour on n'en déduit rien sur [11] dans la mesure où dépend effectivement de ;
Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous ses points ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de [11],[24] du système continu de matière fermé en translation, Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] du système par la relation Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de «» [38],[39].
Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant
«» [14],[29] avec « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste, à l'instant , «» où « est le facteur de Lorentz [35] de l'élément de matière centré en , de masse à l'instant dans » et « la masse surfacique de la matière en »,
on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,
«» [14],[29] avec « le facteur de Lorentz [35] du milieu en à l'instant ».
Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion surfacique quelconque, pas d'expression de Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion surfacique quelconque, en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.[26],[16]du système en effet, Remarques : pour si [14] s'établit en dérivant [14] par rapport à [36] pour un système fermé [40], Remarques : pour on n'en déduit rien sur [14] dans la mesure où dépend effectivement de ;
Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion surfacique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion surfacique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion surfacique est en translation, tous ses points ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de [14],[29] du système continu de matière fermé en translation, Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] du système par la relation Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de «» [38],[41].
Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant
«» [15],[32] avec « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste, à l'instant , «» où « est le facteur de Lorentz [35] de l'élément de matière centré en , de masse à l'instant dans » et « la masse linéique de la matière en »,
on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,
«» [15],[32] avec « le facteur de Lorentz [35] du milieu en à l'instant ».
Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion linéique quelconque, pas d'expression de Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion linéique quelconque, en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.[26],[16]du système en effet, Remarques : pour si [15] s'établit en dérivant [15] par rapport à [36] pour un système fermé [42], Remarques : pour on n'en déduit rien sur [15] dans la mesure où dépend effectivement de ;
Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion linéique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion linéique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion linéique est en translation, tous ses points ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de [15],[32] du système continu de matière fermé en translation, Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] du système par la relation Remarques : si le pouvant factoriser par dans l'expression de «» [38],[43].
Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A »
Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A
Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A
Le vecteur moment cinétique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , dans le référentiel d'étude , par rapport au point [44] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , dans le référentiel , selon
«» [11],[45],[24] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ; soit, en cinétique classique [22], «» [11],[24] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A
Le vecteur moment cinétique du système continu fermé d'expansion surfacique , de masse surfacique , dans le référentiel d'étude , par rapport au point [46] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , dans le référentiel , selon
«» [14],[47],[29] avec « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ; soit, en cinétique classique [22], «» [14],[48],[29] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A
Le vecteur moment cinétique du système continu fermé d'expansion linéique , de masse linéique , dans le référentiel d'étude , par rapport au point [49] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , dans le référentiel , selon
«» [15],[50],[32] avec « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ; soit, en cinétique classique [22], [15],[32] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Remarque : , le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à , est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile
Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A
Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude , de masse volumique , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation tous les points ont même vecteur vitesse à un instant , dans , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation tous les points ont même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système fermé , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation « chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation « cinétique classique[22], pour vecteur quantité de mouvement Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement » Dans un système continu le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, Dans un système continu le vecteur moment cinétique pour un système en translation dans , «» [11],[24], on « factorise Dans un système continu le vecteur moment cinétique vectoriellement par à droite » [51] ce qui donne «» [11] et Dans un système continu le vecteur moment cinétique le 1er facteur du 2nd membre « s'identifiant à » on en déduit « Dans un système continu le vecteur moment cinétique » [52] ;
Dans un système continu le vecteur moment cinétique « en choisissant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique Dans un système continu le vecteur moment cinétique « du système en translation dans , on en déduit » [53] ;
Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière étant lié à sa masse et Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié au vecteur vitesse de son C.D.I. [26],[16] Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié par la relation «» [55], on peut écrire, Dans un système continu le vecteur résultante cinétique pour un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique[22],
Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation dans le référentiel d'étude , de masse surfacique , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation tous les points ont même vecteur vitesse à un instant , dans , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation tous les points ont même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système fermé , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation « chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation « cinétique classique[22], pour vecteur quantité de mouvement Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement » Dans un système continu le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, Dans un système continu le vecteur moment cinétique pour un système en translation dans , «» [14],[29], on « factorise Dans un système continu le vecteur moment cinétique vectoriellement par à droite » [51] ce qui donne «» [14] et Dans un système continu le vecteur moment cinétique le 1er facteur du 2nd membre « s'identifiant à » on en déduit « Dans un système continu le vecteur moment cinétique » [56] ;
Dans un système continu le vecteur moment cinétique « en choisissant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique Dans un système continu le vecteur moment cinétique « du système en translation dans , on en déduit » [57] ;
Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière étant lié à sa masse et Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié au vecteur vitesse de son C.D.I. [26],[16] Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié par la relation «» [55], on peut écrire, Dans un système continu le vecteur résultante cinétique pour un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique[22],
Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation dans le référentiel d'étude , de masse linéique , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation tous les points ont même vecteur vitesse à un instant , dans , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation tous les points ont même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système fermé , Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation « chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation « cinétique classique[22], pour vecteur quantité de mouvement Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement » Dans un système continu le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, Dans un système continu le vecteur moment cinétique pour un système en translation dans , «» [15],[32], on « factorise Dans un système continu le vecteur moment cinétique vectoriellement par à droite » [51] ce qui donne «» [15] et Dans un système continu le vecteur moment cinétique le 1er facteur du 2nd membre « s'identifiant à » on en déduit « Dans un système continu le vecteur moment cinétique » [58] ;
Dans un système continu le vecteur moment cinétique « en choisissant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique Dans un système continu le vecteur moment cinétique « du système en translation dans , on en déduit » [59] ;
Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière étant lié à sa masse et Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié au vecteur vitesse de son C.D.I. [26],[16] Dans un système continu le vecteur résultante cinétique d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié par la relation «» [55], on peut écrire, Dans un système continu le vecteur résultante cinétique pour un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique[22],
Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A
Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine , du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude , s'écrivant
«» [11],[24] dans laquelle «[60] est la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ; soit encore, «» [11],[24] avec « la masse volumique du milieu en », « le vecteur vitesse de dans au même instant » et « le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans ».
Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle quelconque, pas d'expression deen fonction des grandeurs Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle quelconque, cinématiques caractérisant le C.D.I. [26],[16]du système continu fermé Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle quelconque, à savoir , au même instant, dans le même référentiel, Remarques : pour en effet, si [11] s'établit en dérivant [11] par rapport à [36] pour un système fermé [37] Remarques : pour en effet, si pouvant se réécrire [11], que la cinétique soit classique [22] ou relativiste, Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «» [11] des expressions Remarques : pour en effet, s'il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «[11] » valables en cinétique classique [22] ou relativiste ;
Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous ses points ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, Remarques : si le factorisant par et vectoriellement à droite par [51], dans l'expression de «» [11] nous en déduisons Remarques : si le factorisant par et vectoriellement à droite par «» [11] ou encore Remarques : si le par propriété du C.D.I. [26],[16] du système fermé «» [11], l'expression de en fonction des grandeurs Remarques : si le par propriété du C.D.I. du système fermé «» cinématiques caractérisant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé Remarques : si le par propriété du C.D.I. du système fermé «» à savoir , au même instant, dans le même référentiel, Remarques : si le système continu de matière fermé«» [61],[39],[62] dans laquelle « est le facteur Remarques : si le système continu de matière ferméde Lorentz [35] du système en translation » ;
Remarques : si le système continu de matière fermé« en choisissant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique Remarques : si le système continu de matière fermé « relativiste du système en translation dans , on en déduit «» [63] ;
Remarques : pour un système continu « quelconque » [64] de matière en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , «» [65] pour ce système en translation Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , «» [63] et Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , son cas particulier «» [63].
Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine , du système continu fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude , s'écrivant
«» [14],[29] dans laquelle «[66] est la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ; soit encore, «» [14],[29] avec « la masse surfacique du milieu en », « le vecteur vitesse de dans au même instant » et « le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans ».
Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion surfacique quelconque, pas d'expression deen fonction des grandeurs Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion surfacique quelconque, cinématiques caractérisant le C.D.I. [26],[16]du système continu fermé Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion surfacique quelconque, à savoir , au même instant, dans le même référentiel, Remarques : pour en effet, si [14] s'établit en dérivant [14] par rapport à [36] pour un système fermé [40] Remarques : pour en effet, si pouvant se réécrire [14], que la cinétique soit classique [22] ou relativiste, Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «» [14] des expressions Remarques : pour en effet, s'il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «[14] » valables en cinétique classique [22] ou relativiste ;
Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion surfacique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion surfacique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion surfacique est en translation, tous ses points ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, Remarques : si le factorisant par et vectoriellement à droite par [51], dans l'expression de «» [14] nous en déduisons Remarques : si le factorisant par et vectoriellement à droite par «» [14] ou encore Remarques : si le par propriété du C.D.I. [26],[16] du système fermé «» [14], l'expression de en fonction des grandeurs Remarques : si le par propriété du C.D.I. du système fermé «» cinématiques caractérisant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé Remarques : si le par propriété du C.D.I. du système fermé «» à savoir , au même instant, dans le même référentiel, Remarques : si le système continu de matière fermé«» [61],[41],[67] dans laquelle « est le facteur Remarques : si le système continu de matière ferméde Lorentz [35] du système en translation » ;
Remarques : si le système continu de matière fermé« en choisissant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique Remarques : si le système continu de matière fermé « relativiste du système en translation dans , on en déduit «» [68] ;
Remarques : pour un système continu « quelconque » [64] de matière en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , «» [69] pour ce système en translation Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , «» [68] et Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , son cas particulier «» [68].
Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine , du système continu fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude , s'écrivant
«» [15],[32] dans laquelle «[70] est la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ; soit encore, «» [15],[32] avec « la masse linéique du milieu en », « le vecteur vitesse de dans au même instant » et « le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans ».
Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion linéique quelconque, pas d'expression deen fonction des grandeurs Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion linéique quelconque, cinématiques caractérisant le C.D.I. [26],[16]du système continu fermé Remarques : pour un mouvement du système continu de matière fermé d'expansion linéique quelconque, à savoir , au même instant, dans le même référentiel, Remarques : pour en effet, si [15] s'établit en dérivant [15] par rapport à [36] pour un système fermé [42] Remarques : pour en effet, si pouvant se réécrire [15], que la cinétique soit classique [22] ou relativiste, Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «» [15] des expressions Remarques : pour en effet, s'il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «[15] » valables en cinétique classique [22] ou relativiste ;
Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion linéique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26],[16] du système Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion linéique est en translation, tous ses points ayant un même vecteur vitesse égal à Remarques : si le système continu de matière fermé d'expansion linéique est en translation, tous ses points ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, Remarques : si le factorisant par et vectoriellement à droite par [51], dans l'expression de «» [15] nous en déduisons Remarques : si le factorisant par et vectoriellement à droite par «» [15] ou encore Remarques : si le par propriété du C.D.I. [26],[16] du système fermé «» [15], l'expression de en fonction des grandeurs Remarques : si le par propriété du C.D.I. du système fermé «» cinématiques caractérisant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé Remarques : si le par propriété du C.D.I. du système fermé «» à savoir , au même instant, dans le même référentiel, Remarques : si le système continu de matière fermé«» [61],[43],[71] dans laquelle « est le facteur Remarques : si le système continu de matière ferméde Lorentz [35] du système en translation » ;
Remarques : si le système continu de matière fermé« en choisissant le C.D.I. [26],[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique Remarques : si le système continu de matière fermé « relativiste du système en translation dans , on en déduit «» [72] ;
Remarques : pour un système continu « quelconque » [64] de matière en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , «» [73] pour ce système en translation Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , «» [72] et Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel , son cas particulier «» [72].
Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière
Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté
Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude
Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, d'expansion tridimensionnelle , dans le référentiel d’étude , par rapport au point origine étant défini selon «» [11],[74] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », ou encore, selon «» [11] c.-à-d. « la somme continue » [75] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [76] et
Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point [76] s’écrivant, avec nouvelle origine Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, d'évaluation des moments vectoriels, selon «» [77], on obtient, en Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, en faisant « la somme continue » [75], [11] puis, Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, en faisant une « factorisation vectorielle par à gauche » [51] dans le 2ème terme du 2nd membre, avec Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, le 1er terme du 2nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique du système par rapport à et Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, le 1er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique du système par rapport à , Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, «» [11] soit enfin, Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «» dans le 2ème facteur du produit vectoriel du 2ème membre Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, «» [78],[79].
Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne
Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d’étude Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, la formule «» [79], Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle « sont le moment cinétique vectoriel du système par rapport à » et Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle « la résultante cinétique du système » ;
Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique [22] la résultante cinétique du système étant liée au vecteur vitesse de son C.D.I. [26],[16] selon Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique «» [28], Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique vectoriel du système donne Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique «» [53].
Cas particulier : Avec le C.D.I. [26],[16] du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu fermé de matière, Cas particulier : Avec le C.D.I. du système comme 1er point origine de calcul le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2ème point origine suivra la relation Cas particulier : Avec le C.D.I. du système comme 1er point origine de calcul «» [80], somme de deux termes dont Cas particulier : Avec le C.D.I. du système comme 1er point origine de calcul « le 2ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. [26],[16]point fictif de masse et de quantité Cas particulier : Avec le C.D.I. du système comme 1er point origine de calcul « le 2ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. de mouvement Cas particulier : Avec le C.D.I. du système comme 1er point origine de calcul « le 2ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. à l'instant dans le référentiel par rapport à Cas particulier : Avec le C.D.I. du système comme 1er point origine de calcul « et le 1er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant dans le référentiel par rapport à . Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière [80] par rapport à à l'instant dans le référentiel d’étude est Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à C.D.I. [26],[16] du système au même instant dans et Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme du vecteur moment cinétique de par rapport à au même instant dans ».
Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste
Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu « quelconque » [64] de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d’étude Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste [81] selon «» [79], avec Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « les moments cinétiques [82] relativistes du système par rapport à » Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste et «[60] la densité volumique Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » [83], Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « le vecteur résultante cinétique relativiste du système étant « Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « » [11],[84],[85] mais Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si le mouvement du système continu « quelconque » [64] de matière n'est pas une translation, Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si a priori, aucune simplification de » [11][86].
Cas d'un système continu « quelconque » [64] de matière en translation dans le référentiel d'étude : Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points [76] ayant même vecteur vitesse vecteur vitesse du C.D.I. [26],[16] Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points ayant même vecteur vitesse vecteur vitesse du système fermé», Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points ont aussi « même facteur de Lorentz [35] Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points ont aussi « même facteur de Lorentz » d'où Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points l'expression simplifiée de obtenue précédemment [87], Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points l'expression simplifiée de «» [38],[39],[88] Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points avec « facteur de Lorentz [35] du système en translation » [89] ; Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation le report de l'expression de dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation relativiste, à l'instant , du système continu « quelconque » [64] de matière en translation dans le référentiel d’étude nous conduit à Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation «» [67].
Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. [26],[16] du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : relativiste d’un système continu fermé de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : évalué relativement à un 2ème point origine s'obtient par Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : «» [67], Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : le 2ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. [26],[16] à l'instant dans le référentiel Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à , avec point fictif de masse et de vecteur quantité de mouvement relativiste Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à , avec point fictif de masse et de .
Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe
Expression du vecteur moment cinétique d'un « système continu fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ
Préliminaire : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points [90] et la façon de réaliser une « somme continue » [91]
Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point quelconque de l'axe
Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant [92] et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut, en cinétique classique[22], écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en [76] dans par rapport à selon
» [93], avec « centre de rotation de autour de » et « le rayon du cercle décrit par »,
le vecteur moment cinétique du système par rapport à , le vecteur moment cinétique du système étant la « somme continue » [75] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en [76] le vecteur moment cinétique du système «» [11] ou, le vecteur moment cinétique du système après distribution de la « somme continue » [75] sur chaque terme de l'expression entre crochets puis le vecteur moment cinétique du système après factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme, le vecteur moment cinétique du système «» [11] ;
définissant le moment d'inertiedu système relativement à l'axe de rotation comme la grandeur scalaire «» [94],[11] exprimée en il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et
repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires «» de pôle et d'axe orienté par [95], la base cylindro-polaire liée à étant notée [96],
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel , le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation de vecteur rotation instantanée à l'instant [92] dans , le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation «» [11],[97] ;
le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour de l'axe fixe dans , le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation de vecteur rotation instantanée à l'instant [92] dans , le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation évalué au même instant par rapport à point quelconque de le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation est donc la somme de deux termes : le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation le 1er «» porté par l'axe de rotation en étant à la vitesse angulaire et le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation le 2ème «» [11] à l'axe de rotation le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation en étant à la vitesse angulaire et le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation en tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière
Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide[98] : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe étant à coup sûr un solide [99],[100], Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie[98], tenseur d'ordre [101]contravariant[102],[103], Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par une matrice carrée[104] appelée matrice d'inertie du solide[105], Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer «» [105],[11] ; Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients les éléments diagonaux [11] « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe », Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients les éléments diagonaux [11] « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe », Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients les éléments diagonaux [11] « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe », Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients l'opposé des éléments non [11] « produit d'inertie du solide dans le plan », Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients l'opposé des éléments non [11] « produit d'inertie du solide dans le plan », Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients l'opposé des éléments non [11] « produit d'inertie du solide dans le plan », Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «» ; Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant le point origine de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant l'axe orienté par comme axe , les axes et respectivement orientés par et étant choisis à Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant tels que la base soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à [96], Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant la matrice d'inertie du solide se réécrit «» ; on peut alors vérifier que Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne[104] représentant le vecteur moment cinétique Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne dans le référentiel » avec « un vecteur rotation instantanée [92] représenté par la matrice colonne[104] Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne » s'obtient en multipliant matriciellement «» [106] soit Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne «» soit finalement Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant « la matrice colonne «» [11] ; Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on retrouve les deux termes du vecteur moment cinétique précédemment déterminés directement à savoir Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : «» [11] Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : «porté par l'axe de rotation et Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : « Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : «[11]obtenu après factorisation par soit Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : «» [11] à l'axe de rotation.
Complément : vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste
Préliminaire : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points [107] et la façon de réaliser une « somme continue » [91]
Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , à l'instant dans , évalué par rapport au point origine , se détermine selon Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé «» [11],[108],[24] Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé avec «[60],[109] Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ; Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore «» [11],[24] Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore avec « la masse volumique du milieu en », Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore avec « « le vecteur vitesse de dans au même instant » et Le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé soit encore avec « le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans ».
Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point [76] «» du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point «» du système continu fermé en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point «» du système continu fermé en rotation de vecteur rotation instantanée à l'instant [92], Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point «» par rapport à un point quelconque de s'écrit Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point «» en effet Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point «» en effet soit Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point «» [93] avec Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point « centre de rotation de autour de », « le rayon du cercle décrit par » et Le vecteur moment cinétique relativiste du pseudo-point « le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans » d'où
le vecteur moment cinétique relativiste «» de ce système continu fermé en rotation autour de l'axe fixe dans , évalué par rapport à , le vecteur moment cinétique relativiste «» de ce système continu fermé en rotation de vecteur rotation instantanée à l'instant [92], le vecteur moment cinétique relativiste «» de ce système continu fermé en rotation s'obtient par « somme continue » [75] des «» soit le vecteur moment cinétique relativiste «» [11] ou le vecteur moment cinétique relativiste «» [11] ; le vecteur moment cinétique relativiste comme en cinétique classique [22], ce dernier est la somme de deux termes : le vecteur moment cinétique relativiste comme le 1er «» [11],[110] porté par l'axe de rotation et le vecteur moment cinétique relativiste comme le 2nd «» [11] à l'axe de rotation.
le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant le point origine de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant l'axe orienté par comme axe , les axes et respectivement orientés par et étant choisis à le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant tels que la base soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à [96], le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : choisissant le point ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par , «», le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : le vecteur moment cinétique relativiste du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée [92] dans , le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : le vecteur moment cinétique relativiste du système en rotation calculé par rapport à point quelconque de , se réécrit selon le vecteur moment cinétique relativiste Remarque : «» [11].
Complément : notion d'axes principaux d'inertie d'un « système continu de matière »
Préliminaire : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points [90] et la façon de réaliser une « somme continue » [91]
Pour tout pointorigine de calcul de vecteur moment cinétique classique[111] du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe «», Pour tout pointorigine de calcul de vecteur moment cinétique classique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , il existe au moins trois directions de l'axe de rotation, deux à deux, telles que « soit à l'axe de rotation du système » propriété admise c.-à-d. il existe au moins trois directions de l'axe de rotation, deux à deux, vérifiant «» [11],[112] avec « projeté orthogonal de sur », il existe au moins trois directions de l'axe de rotation, deux à deux, «» avec «[11] où », il existe au moins trois directions de l'axe de rotation, deux à deux, définissant un axe principal d'inertie du système issu de [113], il existe au moins trois directions de l'axe de rotation, deux à deux, étant le moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par .
Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir telles que « le vecteur moment cinétique du système évalué par rapport à un point quelconque, Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir telles que « en rotation autour d'un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir telles que « soit au vecteur rotation instantanée [92] », c.-à-d. Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point, ou encore Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine[114] Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, on peut mais un axe quelconque de rotationpeut ne jamais être principal d'inertie pour un de ses points Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, c.-à-d. que le 2ème terme du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, c.-à-d. que le 2ème terme du vecteur moment cinétique de vecteur rotation instantanée [92], à savoir Remarque : Pour un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle indéformable, c.-à-d. que le 2ème terme «», peut être [115].
Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes
Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique et leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
« Boule[116], homogène », de rayon , de centre et de « masse » [117], « tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie », « Boule , homogène », de rayon , de centre et de « masse », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
« Cylindre de révolution[118], homogène », de rayon , de longueur , de centre et de « masse » [119], « Cylindre de révolution , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « Cylindre de révolution , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et « Cylindre de révolution , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « Cylindre de révolution , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie
Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique et leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
« Sphère[116], homogène », de rayon , de centre et de « masse » [120], « tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie », « Sphère , homogène », de rayon , de centre et de « masse », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
« Tuyau cylindrique de révolution[118], homogène », de rayon , de longueur , de centre et de « masse » [121], « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
« Disque[122], homogène », de rayon , de centre et de « masse » [123], « Disque , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie », « Disque , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et « Disque , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe du disque c.-à-d. tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie », « Disque , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie
Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique et leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
« Cercle[122], homogène », de rayon , de centre et de « masse », « Cercle , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie », « Cercle , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et « Cercle , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe du cercle c.-à-d. tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie », « Cercle , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
« Tige rectiligne, homogène », de longueur , de centre d'inertie et de « masse », « Tige rectiligne , homogène », « l'axe passant par son centre d'inertie et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie si toutefois le moment « Tige rectiligne , homogène », « l'axe passant par son centre d'inertie et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré principal d'inertie correspondant était non nul » mais « Tige rectiligne , homogène », «» la valeur nulle de fait qu'en pratique l'axe n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de et « Tige rectiligne , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe de la tige c.-à-d. tout support de médiatrice est axe principal d'inertie », « Tige rectiligne , homogène », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
Le « théorème de Huygens[124] » encore appelé « théorème de Steiner[125] » [126] ou « théorème de transport » ou encore « théorème des axes parallèles » Le « théorème de Huygens » évalue le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe connaissant celui par rapport à l'axe à passant par , C.D.I. [26],[16] du solide, Le « théorème de Huygens » évalue le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe connaissant la distance orthogonale entre et ainsi que Le « théorème de Huygens » évalue le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe connaissant la masse du solide.
Début d’un théorème
Théorème de Huygens
Soient un solide [127], de masse , de C.D.I. [26],[16] et Soient un axe quelconque, « le moment d'inertie de [127] par rapport à , à savoir [128], vérifie la relation « le moment d'inertie de par rapport à , à savoir » « le moment d'inertie de par rapport à , avec « moment d'inertie de [127] par rapport à axe à « le moment d'inertie de par rapport à , avec « moment d'inertie de par rapport à passant par » et « le moment d'inertie de par rapport à , avec « la distance orthogonale entre et ».
Fin du théorème
Démonstration[129] : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe étant défini par » [11] avec « projeté orthogonal de sur » et Démonstration : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe étant défini par » avec « la masse volumique du solide », Démonstration : « celui par rapport à l'axe à passant par le C.D.I. [26],[16] du solide, » [11] avec « projeté orthogonal de sur », Démonstration : on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles [19] «» puis, Démonstration : on passe de l'un à l'autre en multipliant chaque membre par «» et en intégrant membre à membre, Démonstration : on passe de l'un à l'autre «» [11],[130] soit Démonstration : on passe de l'un à l'autre «» [131] Démonstration : on passe de l'un à l'autre «» [132] C.Q.F.D. [133].
Exemples d'applicationliste non exhaustive : « Boule[116], homogène », de rayon , de centre , de « masse » [117] et Exemples d'application liste non exhaustive : « Boule , homogène », un « axe tangent en à la sphère limitant », Exemples d'application liste non exhaustive : « Boule , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «[134] Exemples d'application liste non exhaustive : « Boule , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» très peu utilisé. Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution[118], homogène », de rayon , de longueur , de centre , de « masse » [119] et Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », un « axe confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant », Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «[135] Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «peu utilisé, ou Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », un « axe passant par le centre d'une des bases limitant et à l'axe de révolution » Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », le moment d'inertie de par rapport à «[136] Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », le moment d'inertie de par rapport à « d'où Exemples d'application liste non exhaustive : « Cylindre de révolution , homogène », le moment d'inertie de par rapport à «» peu utilisé. Exemples d'application liste non exhaustive : « Sphère[116], homogène », de rayon , de centre , de « masse » [120] et Exemples d'application liste non exhaustive : « Sphère , homogène », un « axe tangent à la sphère en », Exemples d'application liste non exhaustive : « Sphère , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «[134] Exemples d'application liste non exhaustive : « Sphère , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» très peu utilisé. Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution[118], homogène », de rayon , de longueur , de centre , ouvert aux deux extrémités, Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », de rayon , de longueur , de centre , de « masse » [121] et Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », un « axe confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique » Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », le moment d'inertie de par rapport à «[137] Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », le moment d'inertie de par rapport à «» Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », le moment d'inertie de par rapport à «peu utilisé, ou Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », un « axe passant par le centre d'un des cercles limitant et Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », un « axe passant par le centre d'un des cercles limitant à l'axe de révolution » Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », le moment d'inertie de «[136] Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », le moment d'inertie de « d'où Exemples d'application liste non exhaustive : « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », le moment d'inertie de «» très peu utilisé. Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque[122], homogène », de rayon , de centre , de « masse » [123] et Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque , homogène », un « axe passant par un point du cercle limitant le disque et à l'axe du disque », Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque , homogène », le moment d'inertie de relativement à est « Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» peu utilisé ou Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque , homogène », un « axe tangent en un point du cercle limitant le disque », Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «[138] Exemples d'application liste non exhaustive : « Disque , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» peu utilisé. Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle[122], homogène », de rayon , de centre , de « masse » et Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle , homogène », un « axe passant par un point du cercle et à l'axe de ce dernier », Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle , homogène », le moment d'inertie de relativement à est « Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» peu utilisé ou Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle , homogène », un « axe tangent en un point du cercle », Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle , homogène », le moment d'inertie du cercle relativement à est «[138] Exemples d'application liste non exhaustive : « Cercle , homogène », le moment d'inertie du cercle relativement à est «» peu utilisé. Exemples d'application liste non exhaustive : « Tige rectiligne, homogène », de longueur , de centre d'inertie , de « masse » et Exemples d'application liste non exhaustive : « Tige rectiligne , homogène », un « axe passant par , une extrémité de la tige et à l'axe de cette dernière », Exemples d'application liste non exhaustive : « Tige rectiligne , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «[139] Exemples d'application liste non exhaustive : « Tige rectiligne , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «» Exemples d'application liste non exhaustive : « Tige rectiligne , homogène », le moment d'inertie de relativement à est «assez fréquemment utilisé.
Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière par rapport à un axe « Δ »
Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'aborderons l'équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique que nous laissons au lecteur le soin d'établir, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points [90] et la façon de réaliser une « somme continue » [91]
Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système continu (fermé) de matière » dans le référentiel d’étude
Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière, Pour démontrer on utilise la « formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude » établie plus haut dans ce chapitre Pour démontrer on utilise la «» [79] avec « la résultante cinétique du système » puis Pour démontrer on multiplie scalairement les deux membres par d'où Pour démontrer on utilise la «» ou, la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle [142], Pour démontrer on utilise la «» [143] Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continuferméde matière dans le référentiel d'étude[144].
Remarques : On pouvait aussi utiliser l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un point matériel [145] en la transposant à celle de pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle [76] Remarques : On pouvait aussi utiliser «» puis, Remarques : On pouvait aussi utiliser la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en et en selon «» [11] et enfin Remarques : On pouvait aussi faire la « somme continue » [75] des relations d'équiprojectivité pour les pseudo-points [76] du système et Remarques : On pouvait aussi factoriser scalairement chaque membre par [146], l'autre facteur étant le vecteur moment cinétique du système évalué en pour le membre de gauche et Remarques : On pouvait aussi factoriser scalairement chaque membre par , l'autre facteur étant le vecteur moment cinétique du système évalué en pour le membre de droite C.Q.F.D. [133].
Remarques : On pouvait aussi utiliser la notion hors programme de physique de P.C.S.I. de torseur[147] et plus particulièrement de torseur cinétique[148], Remarques : On pouvait aussi le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à «» Remarques : On pouvait aussi le vecteur moment cinétique du système étant le moment du torseur cinétique «» de ce système, Remarques : On pouvait aussi le vecteur moment cinétique du système étant le moment du torseur cinétique d'éléments de réduction en [149] «», Remarques : le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel par rapport à » Remarques : le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système étant une conséquence de la définition du moment d'un torseur[147] comme « champ de vecteurs équiprojectif » [150].
Conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »
Préliminaire : Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle et laissons le lecteur généraliser aux cas où l'expansion serait surfacique ou linéique, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points [90] et la façon de réaliser une « somme continue » [91]
Soient un axe quelconque et deux points quelconques , l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière dans le référentiel Soient un axe quelconque et deux points quelconques , «» [151] ou, Soient un axe quelconque et deux points quelconques , en orientant l'axe par et en simplifiant par , Soient un axe quelconque et deux points quelconques , «» [152], Soient un axe quelconque et deux points quelconques , cette valeur constante sur définissant le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière dans Soient un axe quelconque et deux points quelconques , le référentiel d'étude par rapport à l'axe .
Remarque : cette définition est valable en cinétique classique [22] ou relativiste, elle s'étend aux systèmes continus ouverts de matière dans le cadre classique [22] ou relativiste.
Moment cinétique (scalaire) d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à Δ
Le moment cinétique scalaire du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude Le moment cinétique scalairepar rapport à l'axe est la grandeur scalaire, définie à l'instant , selon Le moment cinétique scalaire«» avec Le moment cinétique scalaire« un vecteur unitaire orientant » et Le moment cinétique scalaire « le vecteur moment cinétique du système dans Le moment cinétique scalaire « évalué en un point quelconque de au même instant », soit encore, Le moment cinétique scalaire«» [11] avec Le moment cinétique scalaire« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant ».
Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à l'axe , Commentaire : cette grand, elle tient compte de l'inertie d'une part par l'intermédiaire de la masse de chaque pseudo-point [76] et Commentaire : cette grand, elle tient compte de la composante de la vitesse de chaque pseudo-point [76] dans un plan à ainsi que Commentaire : cette grand, elle tient compte de la disposition du point par rapport à cet axe d'autre part, Commentaire : cette grand, elle dépend donc bien du référentiel .
Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe
Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'expliciterons le moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique que nous laissons au lecteur le soin d'établir, sachant que les seuls changements sont la nature des pseudo-points [90] et la façon de réaliser une « somme continue » [91]
Expression du moment cinétique scalaire d’un système continu fermé de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l’axe Δ
Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant [92], Le système continu fermé son vecteur moment cinétique évalué en un point quelconque de s'écrit, en cinétique classique[22], selon Le système continu fermé son vecteur moment cinétique «» [11],[153] avec Le système continu fermé son vecteur moment cinétique «» vecteur unitaire orientant et vitesse angulaire de rotation du système autour de , Le système continu fermé son vecteur moment cinétique « étant le projeté orthogonal de sur l'axe » et Le système continu fermé son vecteur moment cinétique «[11] le moment d'inertie du système relativement à dans laquelle » [154] ; Le système continu fermé le moment cinétique scalaire par rapport à de ce système étant le produit scalaire du vecteur moment cinétique du système évalué par rapport à par , Le système continu fermé « Le système continu fermé «» par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle [142], Le système continu fermé «expression dans laquelle le 2ème terme est nul, «[11] étant à » [155] d'où, Le système continu fermé dans le cadre de la cinétique classique [22], «» [97] avec « le moment d'inertie du système relativement à » et Le système continu fermé dans le cadre de la cinétique classique, «» avec « vitesse angulaire de rotation du système autour de ».
Remarque : On notera que est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système de matière cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non[156] alors que Remarque : On notera que nécessite que l'axe soit « principal d’inertie » [156]
Complément : expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe « Δ »
Le système continu de matière d'expansion tridimensionnelle étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant [92], Le système continu son vecteur moment cinétique évalué en un point quelconque de s'écrit, en cinétique relativiste, selon Le système continu son vecteur moment cinétique «» [11],[157] avec Le système continu son vecteur moment cinétique « le projeté orthogonal de sur l'axe », « la distance orthogonale de à », Le système continu son vecteur moment cinétique « la vitesse angulaire de rotation du système autour de » et Le système continu son vecteur moment cinétique « le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans », Le système continu le moment cinétique scalaire par rapport à de ce système étant le produit scalaire du vecteur moment cinétique du système évalué par rapport à par , Le système continu «[11] Le système continu «» [11] par distributivité de la multiplication scalaire Le système continu «» par rapport à l'addition vectorielle [142], Le système continu «expression dans laquelle le 2ème terme est nul, «[11] étant à » [155] d'où, Le système continu dans le cadre de la cinétique relativiste, «[11] ou, avec la vitesse angulaire de rotation autour de , Le système continu dans le cadre de la cinétique relativiste, «» [11],[97].
Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste par rapport à l'axe de rotation orienté par , le vecteur rotation instantanée à l'instant étant [92], s'écrit Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste «[11] » [97],[158],[159] avec, à l'instant dans , Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste « le facteur de Lorentz [35] du point », Conclusion : le moment cinétique scalaire relativiste « le rayon du cercle décrit par » et « la vitesse angulaire de rotation du système autour de ».
Lien entre grandeurs cinétique, cinématique et d’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe
Rappel de l'analogie entre cinétique de mouvement quelconque et celle de rotation d'un point matériel :
Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide :
en cinétique classique [22] d'un solide en translation, le lien entre la grandeur cinétique « la résultante cinétique », la grandeur cinématique « le vecteur vitesse d'entraînement » étant le C.D.I. [26],[16] et la grandeur d’inertie « la masse du solide » est «» ;
en cinétique classique [22] d’un solide en rotation autour d’un axe fixe , le lien entre la grandeur cinétique « le moment cinétique scalaire relativement à l'axe », la grandeur cinématique « la vitesse angulaire de rotation » et la grandeur d’inertie « le moment d’inertie du solide relativement à l’axe » est «» ;
Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide : même analogie entre solide en translation et solide en rotation autour d’un axe que Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide : même celle entre point matériel en mouvement quelconque et point matériel en rotation autour d’un axe :
Signification physique du moment d’inertie d’un solide relativement à un axe
Pour un « moment cinétique scalaire du solide en rotation fixé » [160], plus le moment d'inertie du solide relativement à cet axe est grand, plus la vitesse angulaire est faiblepar exemple : un patineur sur glace tournant sur lui-même ralentit dès lors qu'il écarte les bras, pour le moment cinétique scalaire qu'il possède, il fait croître son moment d’inertie sa vitesse angulaire de rotation diminue ;
parallèlement un solide ayant une vitesse angulaire autour de son axe de rotation fixée, aura un moment cinétique scalaire par rapport à cet axec.-à-d. une réserve cinétique en rotationd’autant plus grand que son moment d’inertie relativement à cet axe sera grandpar exemple le volant d’inertie d’un « gyrobus » [161] lancé avant le départ du bus avec une vitesse angulaire fixée possède un grand moment d’inertie permettant d’avoir un grand moment cinétique scalaire, ce dernier restitué progressivement fournissant une plus grande autonomie au gyrobus sans avoir besoin de relancer le volant d’inertie.
Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe sur la répartition des masses à l’intérieur du solide, Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe en comparant le résultat de cette mesure Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe en comparant à celui que l’on aurait trouvé pour un solide homogène et de même forme ;
Remarque : par exemple des mesures astronomiques du moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe [162] «», « et masse et rayon de la Terre» Remarque : alors que si la Terre était homogène on trouverait «» d'où la présence d’une couche profonde près de l’axe de rotation plus dense que la couche superficielle, Remarque : alors que si la Terre était homogène on trouverait «» d'où la présence d’une couche profonde définissant le noyau de la Terre ; Remarque : par exemple la dimension du noyau de la Terre ayant été déterminée par ondes sismiques soit , on en a déduit Remarque : par exemple celle de l’ensemble « manteau - croûte » comme complément à soit ; Remarque : par exemple la densité des couches superficielles constituant l’ensemble « manteau - croûte » étant par ailleurs déterminée entre « et pour la croûte d’épaisseur maximale » Remarque : par exemple la densité des couches superficielles constituant l’ensemble « manteau - croûte » étant par ailleurs déterminée et « pour le manteau » [163] Remarque : par exemple associée à la détermination expérimentale du moment d’inertie de la Terre relativement à son axe [162] Remarque : par exemple un ordre de grandeur de la « densité du noyau » [164],[165] correspondant à celle du fer à haute pression, d'où la conjecture d'un noyau essentiellement composé de fer
↑ C.-à-d. ne dépassant pas une centaine on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points.
↑ 2,0 et 2,1 C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions
↑ Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires réparties sur une surface d'aire , par «» où «en est la masse surfacique en » supposée « variant continûment avec » voir exemple dans le paragraphe « modélisation en distribution continue surfacique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant charge par masse.
↑ Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur , par «» où «en est la masse linéique en » supposée « variant continûment avec » voir exemple dans le paragraphe « modélisation en distribution continue linéique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant charge par masse.
↑ Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul
↑ Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de points matériels par un système continu de surface , on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «».
↑ Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de points matériels par un système continu de courbe , on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «».
↑ 18,018,1 et 18,2 étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était serait le vecteur position de mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe
↑ 24,0024,0124,0224,0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924,10 et 24,11 Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser
↑ Voir le paragraphe « démonstration du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ 28,0 et 28,1 Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé revoir la « démonstration » en restant néanmoins applicable pour Ce lien nécessite queun système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation les points entrant ou sortant sur l'intervalle étant de vecteur vitesse égal à .
↑ 29,0029,0129,0229,0329,0429,0529,0629,0729,08 et 29,09 Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , seuls les points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser
↑ Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé revoir la « démonstration » en restant néanmoins applicable pour Ce lien nécessite queun système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , pourvu qu'il soit en translation les points entrant ou sortant sur l'intervalle étant de vecteur vitesse égal à .
↑ 32,0032,0132,0232,0332,0432,0532,0632,0732,08 et 32,09 Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , seuls les points présents à l'instant entre et sont à comptabiliser
↑ Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé revoir la « démonstration » en restant néanmoins applicable pour Ce lien nécessite queun système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , pourvu qu'il soit en translation les points entrant ou sortant sur l'intervalle étant de vecteur vitesse égal à .
↑ 36,036,136,236,336,4 et 36,5 La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points
↑ 37,0 et 37,1 Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants et , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de est aussi considérée comme constante, le vecteur vitesse du C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation avec égal au contenu de à l'instant est rendue applicable aux systèmes ouverts
↑ 38,038,138,2 et 38,3 On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «».
↑ 39,039,1 et 39,2 Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant voir la note « 37 » plus haut dans le chapitre
↑ 40,0 et 40,1 Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants et , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de est aussi considérée comme constante, le vecteur vitesse du C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation avec égal au contenu de à l'instant est rendue applicable aux systèmes ouverts
↑ 41,0 et 41,1 Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant voir la note « 40 » plus haut dans le chapitre
↑ 42,0 et 42,1 Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants et , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de est aussi considérée comme constante, le vecteur vitesse du C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation avec égal au contenu situé entre et à l'instant est rendue applicable aux systèmes ouverts
↑ 43,0 et 43,1 Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant voir la note « 42 » plus haut dans le chapitre
↑ Ou « moment cinétique vectoriel du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.
↑ Ou « moment cinétique vectoriel du système continu fermé d'expansion surfacique en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.
↑ Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice
↑ Ou « moment cinétique vectoriel du système continu fermé d'expansion linéique en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.
↑ Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans par rapport au point origine est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » en effet tous les points présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse égal à le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant , on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » l'application de cette méthode conduisant à «» soit «», le facteur entre crochets ayant pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
↑ 53,053,153,2 et 53,3 Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 52 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 55,055,1 et 55,2 On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation revoir la note « 28 » plus haut dans le chapitre.
↑ Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans par rapport au point origine est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » en effet tous les points présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse égal à le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant , on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » l'application de cette méthode conduisant à «» soit «», le facteur entre crochets ayant pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
↑ 57,057,1 et 57,2 Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 56 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans par rapport au point origine est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » en effet tous les points présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse égal à le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant , on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » l'application de cette méthode conduisant à «» soit «», le facteur entre crochets ayant pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
↑ 59,059,1 et 59,2 Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 58 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 60,060,1 et 60,2 Avec la masse volumique du milieu en , le vecteur vitesse de à l'instant dans et le facteur de Lorentz du point au même instant dans le même référentiel .
↑ 61,061,1 et 61,2 On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine selon
«».
↑ Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «» où « est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant », on définit c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de selon , le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par et vectorielle à droite par l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la réécriture de l'expression de selon soit finalement «», le facteur entre crochets ayant le 1er terme pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
↑ 63,063,1 et 63,2 Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et « 62 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 64,064,164,264,364,464,5 et 64,6 C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation sauf si c'est précisé plus loin
↑ On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation revoir les notes « 31 » et « 41 » plus haut dans le chapitre.
↑ Avec la masse surfacique du milieu en , le vecteur vitesse de à l'instant dans et le facteur de Lorentz du point au même instant dans le même référentiel .
↑ 67,067,1 et 67,2 Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «» où « est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant », on définit c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de selon , le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par et vectorielle à droite par l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la réécriture de l'expression de selon soit finalement «», le facteur entre crochets ayant le 1er terme pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
↑ 68,068,1 et 68,2 Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et « 67 » plus haut dans ce chapitre.
↑ On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation revoir les notes « 28 » et « 39 » plus haut dans le chapitre.
↑ Avec la masse linéique du milieu en , le vecteur vitesse de à l'instant dans et le facteur de Lorentz du point au même instant dans le même référentiel .
↑ Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «» où « est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant », on définit c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de selon , le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par et vectorielle à droite par l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la réécriture de l'expression de selon soit au final «», le facteur entre crochets ayant le 1er terme pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
↑ 72,072,1 et 72,2 Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et « 71 » plus haut dans ce chapitre.
↑ On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation revoir les notes « 28 » et « 39 » plus haut dans le chapitre.
↑ 76,0076,0176,0276,0376,0476,0576,0676,0776,08 et 76,09 Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume , sa masse est donc «», son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel «», son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel «» et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine «»
↑ Pour un système continu fermé d'expansion surfacique , et , le changement d'origine, avec , s'écrit «» ; pour un système continu fermé d'expansion linéique , et , le changement d'origine, avec , s'écrit «»
↑ 79,079,179,2 et 79,3 Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique newtonienne ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière non nécessairement en translation « ouvert »
↑ 80,0 et 80,1 Également applicable à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 52 » plus haut dans ce chapitre, dans ce cas est le C.D.I. du système ouvert en translation et la masse de ce dernier dépendant a priori de mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas
↑ Pour un système continu « quelconque » voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre de matière d'expansion surfacique dans le référentiel d'étude , le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant , de ce système continu dans s'écrit de la même façon en utilisant « la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ; pour un système continu « quelconque » voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre de matière d'expansion linéique dans le référentiel d'étude , le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant , de ce système continu dans s'écrit de la même façon en utilisant « la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans ».
↑ Pour un système continu « quelconque » voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre de matière d'expansion surfacique dans le référentiel d'étude revoir la note « 83 » plus haut dans ce chapitre, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «» ; pour un système continu « quelconque » voir la note « 64 » plus haut dans ce chapitre de matière d'expansion linéique dans le référentiel d'étude revoir la note « 83 » plus haut dans ce chapitre, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «».
↑ Ou aucune simplification de «» ou Ou aucune simplification de «».
↑ Voir la note « 21 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».
↑ Pour un système continu de matière d'expansion surfacique en translation dans le référentiel d'étude , les pseudo-points à considérer sont revoir la note « 76 » plus haut dans ce chapitre dans laquelle doit être remplacé par et par , la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; pour un système continu de matière d'expansion linéique en translation dans le référentiel d'étude , les pseudo-points à considérer sont revoir la note « 76 » plus haut dans ce chapitre dans laquelle doit être remplacé par et par , la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.
↑ 90,090,190,290,3 et 90,4 Un pseudo-point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , sa masse est donc «» étant sa masse surfacique en , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel «», son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel «» et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine «» ; un pseudo-point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , sa masse est donc «» étant sa masse linéique en , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel «», son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel «» et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine «».
↑ 91,091,191,291,391,4 et 91,5 Par intégrale surfacique si l'expansion est surfacique et par intégrale curviligne si l'expansion est linéique
↑ « étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point » c.-à-d. de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et de volume .
↑ Le sens de étant a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.
↑ 97,097,197,2 et 97,3 Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée , applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe fixe étant
premièrement que le contenu à l'instant le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et
deuxièmement que le voisinage extérieur de à l'instant le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de entre et aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de impliquant que les points en sortant entre et ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent,
on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus sauf avis contraire de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe , une 2ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à , lequel dépend a priori de mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend pas
↑ Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « indéformable ».
↑ Chaque pseudo-point décrivant un cercle d'axe reste donc à une distance constante de , ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.
↑ Un pseudo-point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , sa masse est donc «» étant sa masse surfacique en , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel «» où est le facteur de Lorentz du pseudo-point, son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel «» où et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine «» ; un pseudo-point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , sa masse est donc «» étant sa masse linéique en , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel «» où est le facteur de Lorentz du pseudo-point, son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel «» où et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine «».
↑ On pourrait appeler mais usuellement cela n'est pas fait la grandeur «» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe » et la noter «», d'où le 1er terme «»
↑ Ou, en choisissant le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système comme origine du repère et l'axe orienté par comme axe et repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par la base cylindro-polaire liée à étant choisie directe ou indirecte « au sens de la physique » suivant l'orientation de l'espace voir la note « 96 » plus haut dans ce chapitre, c.-à-d. «», la réécriture de la condition selon
«».
↑ Il y a donc au moins trois axes principaux d'inertie d'un système continu fermé par point origine de calcul de moment cinétique vectoriel du système lors de la rotation de ce dernier autour de l'axe choisi dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne
↑ Les trois axes principaux d'inertie du système issus de définissent, avec ce dernier, le « repère principal d'inertie du système ».
↑ Et s'il existe un point tel que «», pour les autres points mais on a «», sauf cas très particulier, ce qui signifie que est axe principal d'inertie uniquement si le point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système est le point .
↑ 116,0116,1116,2 et 116,3 On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».
↑ 118,0118,1118,2 et 118,3 En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.
↑ 122,0122,1122,2 et 122,3 On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.
↑Christian Huygens (1629 – 1695) [ou Huyghens] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
↑Jakob Steiner (1796 - 1863) mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis Apollonius de Pergegéomètre et astronome grec, né dans la 2nde moitié du IIIème siècle avant J.C. vers à Pergeactuellement en Turquie, disparu au début du IIème siècle avant J.C. non connu avec précision cela pourrait être de à , ayant vécu à Alexandrieactuellement en Égypte, surtout célèbre pour ses écrits sur les sections coniquesintersection d'un cône par un plan.
↑ 127,0127,1 et 127,2 Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique
↑ Exposée sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle , celles sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion surfacique ou linéique s'en déduisent aisément en adaptant la notion de pseudo-point voir la note « 90 » plus haut dans ce chapitre et celle de somme continue voir la note « 91 » plus haut dans ce chapitre.
↑ ne dépendant pas de peut être sorti de la 1ère intégrale du 2ème membre, il en est de même de pour la 3ème intégrale du 2ème membre car, si et dépendent de , la direction, le sens et la norme de n'en dépendent pas
↑ étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement à génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à .
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]d{\mathcal {V}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb9c4c262bf9a384772b4b4e3b27c61fbeb6c20)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iiint \limits _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left[\displaystyle \iiint _{M\in \left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {OG}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca237085c431e0a0d93d6b0dbd0039c46b81ed1)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]dS_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9389c2fc985684ca10de72ffabd0f312f324236)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;dS_{M}=\left[\displaystyle \iint _{M\in \left(S\right)}\sigma (M)\;dS_{M}\right]{\overrightarrow {OG}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed1f549a6d53579049d3bff6922b917ecd6c248)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left[{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OG}}\right]d{\mathit {l}}_{M}={\vec {0}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4c626bff88fa435d52c81f20889ef1a318d64b)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int \limits _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {OM}}\;d{\mathit {l}}_{M}=\left[\displaystyle \int _{M\in \left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]{\overrightarrow {OG}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1d4e2a632b2dd7869ea72e22e198a8d9cc2e22)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6751efb1acf2724ce970fec1e7588a4dd541a0d)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]dS_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e07b761656fc12d3aa8325bc97499bcaad6dd26)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]d{\mathit {l}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b429b58e165426e86b3584c5ee9bfac8a8fa0acb)
![{\displaystyle \left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2df15ca2e6ded23c1c10ead9be59b1e3c9e9f4)
![{\displaystyle m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\overrightarrow {AG}}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28f0c6251c64926d365d28fcb557f9bfa916ccf)
![{\displaystyle \left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5609c89abb4ac9d5a507c359ff5defb24e3f85d)
![{\displaystyle \left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b658c264e8dd784d0015eb6dfc0c8696a394579)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010043272839ad12746c2db0554d9c5754816668)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493c20145301dfcd91762211ea92443bb1c89f52)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7f5225684003bceed73101a5fbe6ca9ef48c45)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3774f1e87c4588c77840a09641b3c4b56e93dc)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge \left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\vec {p}}_{M}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26423fba2ebeed72a79b4afdbe6833629ecbf19)
![{\displaystyle \;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}_{\text{syst}}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97781e963730c3910a9cc1744f9440d3894183cf)
![{\displaystyle \;\gamma _{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}_{{\text{relativ.}},\,{\text{syst. en transl.}}}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae25e371b2c7afcbb0b428ffac7abc33f1ff785)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=\!\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[r^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8b4e2a0f5be2225b660d89dd6298aee717b42c)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4de6522301e72cf945b446a9b56990acc9cff1d)
![{\displaystyle \;m_{\text{syst}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e47d51305be5d18cbc9e79c1f0f263e0d52983)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f6dd4fc724a79deeaa7897419db3f2ba945f7c)
![{\displaystyle \;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;z\;r\;{\vec {u}}_{r}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92405d56b03a8bedc68e6c7ef04838e907f33a77)
![{\displaystyle \;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb09df3f4b3e6dd76b8aceef8f2740cea4f2595)
![{\displaystyle \;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3ed4049a084defe291050c7b2c1461d98ff984)
![{\displaystyle \;\left[J\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a491eafaacf6322e12fef07fee1290f7929dbb2)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Ay}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e68e6969e684a389d96a6bef3b308103ee9556d)
![{\displaystyle \;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6e5456d3519a6cf02a847a4ea1771233716ced)
![{\displaystyle \left[\Omega (t)\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8115f6b99d72c6efae493b719ed58d72ad08ab)
![{\displaystyle \;\left[\sigma _{\!A}({\text{syst}},\,t)\right]=\left[J\right]\times \left[\Omega (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45de6eb126633728215323eb55979cac3d4ae9b)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\overline {\sigma }}_{\!A,\,x}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,y}({\text{syst}},\,t)\\{\overline {\sigma }}_{\!A,\,\Delta }({\text{syst}},\,t)\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ax}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Ay}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{\Delta }\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\{\overline {\Omega }}(t)\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6152a50bd52471acb5f0243465ea4276b08af328)
![{\displaystyle \;{\overline {\Omega }}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3467dd5da73ee297605d7fc4da4d53272097eb)
![{\displaystyle =\gamma _{M}(t)\;d{\vec {p}}_{\text{newton}}(M,\,t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838f1b8af9ea6a6247e3e5c5b90053eabeb60092)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}(M,\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857d9b1af2c65bb03460f415f75842028e07ba67)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;{\overline {AH}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb8189b45d7986a410bf95a53474a8b67dcedd2)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)=\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6188a959ce568eef0cbdf07723fa10a68d1c975c)
![{\displaystyle \;-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]=-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;{\overline {AH}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e90d445f68599460f8b7d818aecc43c107124cf)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;z\;r}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\vec {u}}_{r}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16038a73296939d0ef5e4eafe3c6453d69e0f02a)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d37d803076686f21067cd3c5d0ee84f4d26d0d)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;G{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bd08928d03cc78a096859adb61d9ddf0e69a55)
![{\displaystyle \;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+m\;\left[d\left(\Delta \,,\,\Delta _{Gz}\right)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb5bf476d73765741e0485b879664764859fe7d)
![{\displaystyle \;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+m\,\left[d\left(\Delta '\,,\,{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}\right)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd8bbcc2109165dbf1999f149bdb1fc0f463867)
![{\displaystyle =\left[{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\right]+m\;{\dfrac {H^{2}}{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9026fc2f7691d9d5334a1a27e36a753fde37888)
![{\displaystyle \;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+m\,\left[d\left(\Delta \,,\,\Delta _{Gz}\right)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c491bcffaf4e87b0040e68c29d12cf5301df939)
![{\displaystyle \;J_{\Delta '}\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+m\,\left[d\left(\Delta '\,,\,{\Delta '}_{G,\,\perp \,Gz}\right)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c397fa16cccc488788eb23d92dd5ea29198a403)
![{\displaystyle =\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\right]+m\;{\dfrac {H^{2}}{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cc56e852ace4f14682f33f5735e5db56e2e544)
![{\displaystyle \;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}=\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d26da278992046553eaa6bd9742bf0c79ed55b)
![{\displaystyle \;\forall \;\left(A\,,\,A'\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A'}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}\left({\text{syst}},\,t\right)\cdot {\overrightarrow {A'A}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {A'A}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb74033add8637f2f09479f63f588df17ecd7682)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,({\mathcal {V}})}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;A\in \Delta \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff6b68ebdabeb1d12d63d8eb063c76a94bf252c)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18b203d75098feef8479f1861f720b9bf265f28)
![{\displaystyle \;\left(\Delta \right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ec88538a93e73185c50e3f0c669068084f37ac)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf9a163d153202f504ed46666e8c7552e03d551)
![{\displaystyle =J_{\Delta }\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\,{\overline {AH}}\,{\overrightarrow {HM}}(t)\,d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea82a0267108462472a6874fc01849196b185aa)
![{\displaystyle \;\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67cf4cf6d44a6b592fe63697838112048c5c28b)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A\,\in \,\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace \left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;{\overline {AH}}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef4f23d12f0c680b44d15a4c060f198958b12ed)
![{\displaystyle =\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2032f692ac6d8f890dac2c3c7849e74290d3fb87)
![{\displaystyle \color {transparent}{=\left[\;\displaystyle \iiint \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-{\overline {\Omega }}(t)\left[\;\displaystyle \iiint \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2e996328a126d4298cd4e7f3e64c3f72a1aeb1)
![{\displaystyle \;\left[\;\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\overline {AH}}\;{\overrightarrow {HM}}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388ebd59af0b29405d63c624b5fd8068e9aebb87)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3c2157e36de9c211d79427dda6d46196561617)
![{\displaystyle =\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]{\overline {\Omega }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39842cb799df21176faf0f24885e4d99f58f458b)
![{\displaystyle \;\sigma _{\Delta ,\,{\text{relativ}}}({\text{syst. en rot.}},\,t)=\left[\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]{\overline {\Omega }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73352495ffa201748d3defd8ec64dcde36d4e9e2)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]d{\mathcal {V}}_{M}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b103a525039a371ff02d8cc7d1506441df47f7)
![{\displaystyle \;\left[t\,,\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c47511ca837e2cb016cfa099d0b0d321cb9dde)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}=d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\sigma (M)\;dS_{M}\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]dS_{M}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8206a3ec4827e5dfd54a51b1078226c47a923154)
![{\displaystyle \;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}=d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]d{\mathit {l}}_{M}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8f893f6e10833ac52b298026823f439e30a0e6)
![{\displaystyle \;1886{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e51e0d0a20f4454591deaeae4338684f8138c52)
![{\displaystyle \displaystyle \iiint \limits _{{\text{de}}\,(\Sigma )}^{M\,\in \,{\text{int.}}}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathcal {V}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathcal {V}}\;-\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathcal {V}}\;\left({\begin{array}{c}{\text{en régime}}\\{\text{stationnaire}}\end{array}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2f6f71334e9500192ae351dda09f8a27d2d5d3)
![{\displaystyle \left[\displaystyle \iiint \limits _{{\text{de}}\,(\Sigma )}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\;-\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b948e08980b34c2e339e5869afde70f92620c0)
![{\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{{\text{de}}\,({\mathcal {C}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS\;+\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS\;-\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS\;\left({\begin{array}{c}{\text{en régime}}\\{\text{stationnaire}}\end{array}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa66fdc810d9d70833d076842ee7a1d7f10ce14)
![{\displaystyle \left[\displaystyle \iint \limits _{{\text{de}}\,({\mathcal {C}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS\;+\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS\;-\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317403b975417966bd0d7875e847617b631fcebf)
![{\displaystyle \displaystyle \int \limits _{{\text{de}}\,({\overset {\frown }{BC}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathit {l}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathit {l}}\;-\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathit {l}}\;\left({\begin{array}{c}{\text{en régime}}\\{\text{stationnaire}}\end{array}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421eb99516524ba15b5d8c93a455711dd233863c)
![{\displaystyle \left[\displaystyle \int \limits _{{\text{de}}\,({\overset {\frown }{BC}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\!\!\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!\!\!\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}\;-\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!\!\!\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879eca14b71dddcb1c283950e63747759f778883)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{{\text{de}}\,(\Sigma )}^{M\,\in \,{\text{int.}}}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathcal {V}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathcal {V}}\;-\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathcal {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60749e88a2552f924f19e2163de4b79ebab4bb1)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iiint \limits _{{\text{de}}\,(\Sigma )}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\;-\!\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left(\Sigma \right)}\!\!\!\mu (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathcal {V}}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43f17b85d2047a74da3111cba9efd22b5fa2d56)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{{\text{de}}\,({\mathcal {C}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS\;+\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS\;-\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1315ce6c7de8198a5e57700c41bcb83a4a601820)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \iint \limits _{{\text{de}}\,({\mathcal {C}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS\;+\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS\;-\!\!\!\!\displaystyle \iint \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\mathcal {C}}\right)}\!\!\!\sigma (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;dS\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b691a823e42ef5aefbda1e245bbe799a1118655)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{{\text{de}}\,({\overset {\frown }{BC}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathit {l}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathit {l}}\;-\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \gamma _{M}(t)\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;d{\mathit {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d75ebe381fff59201e1c94e8ebe870101418b42)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{relativ.}}}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\gamma _{G}(t)\left[\displaystyle \int \limits _{{\text{de}}\,({\overset {\frown }{BC}})}^{M\,\in \,{\text{int.}}}\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}\;+\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{entr. ds }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}\;-\!\!\!\!\displaystyle \int \limits _{{\text{sur }}\left[\,t\,,\,t+dt\,\right]}^{M\,{\text{sort. de }}\left({\overset {\frown }{BC}}\right)}\!\!\!\lambda (M)\;{\overrightarrow {AM}}(t)\;d{\mathit {l}}\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e20ad507329b042d8048c721e4d4621e31a676b)
![{\displaystyle \;\sigma (M){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc843d40831f2ea650f5d002e59d4d9122542633)
![{\displaystyle \;\lambda (M){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9e50d3ba53d3c1a8163bcbd31014566d16c1d5)
![{\displaystyle \;M{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee29e700212816b70e22cc23ed37656d4fe18f3)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161c621bc0e1a876434871ab7727c25ab74897ed)
![{\displaystyle \;\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\gamma _{M}(t)\;dm\;r^{2}\right]=\left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\dfrac {\mu (M)\;r^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {r^{2}\;{\Big \Vert }{\overrightarrow {\Omega }}(t){\Big \Vert }^{\,2}}{c^{2}}}}}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a92354c7d1c9a02c79458a283d684683d60e66)
![{\displaystyle {\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58173aa89bd742cddd3b7fbde02d5a0db86dec8)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;K{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216afc59ce5fdd9c0e45800b18e327ac33deaf31)
![{\displaystyle \;\left[d\left(\Delta \,,\,\Delta _{Gz}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22403e800d02b5a10703b01e7dddd4889153e1e)
