Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe

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Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe
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Chapitre no 3
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Moments de force
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe
Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.

Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d’inertie et (vecteur) résultante cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     Les problèmes de mécanique à base de système discret fermé de points matériels ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas «»,

     au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré »[1], le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ;

     mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires »[2] assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand[3] et il est nécessaire de réaliser des schématisations :

  • soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques[4] ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul[5],
  • soit se placer dans l'« approximation des milieux continus »[6] : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies par exemple lors de la définition de la masse «» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires[2] occupant un volume , on remplace «» par «» où «[7] est la masse volumique en » supposée « variant continûment avec » correspondant à une « modélisation volumique »[8],[9]

     Ainsi pour passer d’un système discret de points matériels, dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul[10],
     Ainsi pour passer à un système continu d’expansion tridimensionnelle c'est-à-dire faire une « modélisation volumique »,
     Ainsi pour passer on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel
     Ainsi pour passer on remplace par l'intégrale volumique «»[11],[12],[13].

Masse d’un système continu de masse volumique « µ(M) »[modifier | modifier le wikicode]

     La masse d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle , de « masse volumique », est définie par

«»[11] ;

          un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c'est-à-dire

«» ;

          si le volume de l'expansion tridimensionnelle contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à ne variant pas par rapport au temps .

     La masse d'un système continu de matière, d'expansion surfacique , de « masse surfacique », est définie par

«»[14] ;

          un système continu de matière d'expansion surfacique est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c'est-à-dire

«» ;

         si l'aire de l'expansion surfacique contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à ne variant pas par rapport au temps .

     La masse d'un système continu de matière, d'expansion linéique , de « masse linéique », est définie par

«»[15] ;

         un système continu de matière d'expansion linéique est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c'est-à-dire

«» ;

         si la longueur de l'expansion linéique contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à ne variant pas par rapport au temps .

     Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, la masse du système peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant considéré c'est-à-dire «» :

     Remarque : si de la matière sort de l'espace intérieur à sans qu'il y ait d'entrée il y a donc fuite de matière, quand ,

     Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à sans qu'il y ait de sortie il y a donc apport de matière, quand ,

     Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique cela correspond à un régime stationnaire de matière, quand .

Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)[modifier | modifier le wikicode]

     Le centre d'inertie C.D.I.[16] du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point »[17] c'est-à-dire

le point tel que «»[11] où est le volume élémentaire défini au point générique dans  ;

          avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation «»[11] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles[19] d'où [11] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

     Le centre d'inertie C.D.I.[16] du système continu de matière fermé d'expansion surfacique est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point »[20] c'est-à-dire

le point tel que «»[14] où est l'aire élémentaire définie au point générique dans  ;

          avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation «»[14] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles[19] d'où [14] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

     Le centre d'inertie C.D.I.[16] du système continu de matière fermé d'expansion linéique est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point »[21] c'est-à-dire

le point tel que «»[15] où est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans  ;

          avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation «»[15] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles[19] d'où [15] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

« Vecteur résultante cinétique » d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne)[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique[22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle

«»[11],[23],[24] dans laquelle « est
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;

          en cinétique classique[22], la résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit

«»[11],[23],[24] dans laquelle
« est le vecteur vitesse en à l'instant dans »
et « la masse volumique du milieu continu en »[25] ;

                 en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle  :

en cinétique classique[22] «»[27],[28] avec
« le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système à l'instant dans le référentiel ».

     La résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique[22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle

«»[14],[29] dans laquelle « est
la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;

          en cinétique classique[22], la résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit

«»[14],[29] dans laquelle
« est le vecteur vitesse en à l'instant dans »
et « la masse surfacique du milieu continu en »[30] ;

                 en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière d'expansion surfacique  :

en cinétique classique[22] «»[31] avec
« le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système à l'instant dans le référentiel ».

     La résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique[22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle

«»[15],[32] dans laquelle « est
la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;

          en cinétique classique[22], la résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit

«»[15],[32] dans laquelle
« est le vecteur vitesse en à l'instant dans »
et « la masse linéique du milieu continu en »[33] ;

                 en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière d'expansion linéique  :

en cinétique classique[22] «»[34] avec
« le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système à l'instant dans le référentiel ».

Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant

« »[11],[24] avec «
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans »
dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste, à l'instant ,
« » où
« est le facteur de Lorentz[35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans » et
« la masse volumique de la matière en »,

          on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,

«»[11],[24] avec
« le facteur de Lorentz[35] du milieu en à l'instant ».

          Remarques : quand le mouvement du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle est quelconque, il n'y a pas d'expression de en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.[26],[16] du système car, si [11] s'établit aisément à partir de [11] par dérivation par rapport à [36] dans le cas d'un système fermé[37], on n'en déduit rien sur [11] dans la mesure où dépend effectivement de  ;

          Remarques : dans le cas où le système continu de matièreferméd'expansion tridimensionnelle est en translation, tous les points ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I[26].,[16] du système ont même facteur de Lorentz[35] et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste [11],[24] du système continu de matière fermé d'expansion tridimensionnelle en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système par la relation

«»[38],[39].

     Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant

« »[14],[29] avec «
la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans »
dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste
«» à l'instant , où
« est le facteur de Lorentz[35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans » et
« la masse surfacique de la matière en »,

          on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion surfacique en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,

«»[14],[29] avec
« le facteur de Lorentz[35] du milieu en à l'instant ».

          Remarques : quand le mouvement du système continu de matière fermé d'expansion surfacique est quelconque, il n'y a pas d'expression de en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.[26],[16] du système car, si [14] s'établit aisément à partir de [14] par dérivation par rapport à [36] dans le cas d'un système fermé[40], on n'en déduit rien sur [14] dans la mesure où dépend effectivement de  ;

          Remarques : dans le cas où le système continu de matièreferméd'expansion surfacique est en translation, tous les points ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I[26].,[16] du système ont même facteur de Lorentz[35] et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste [14],[29] du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système par

«»[38],[41].

     Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant

« »[15],[32] avec «
la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans »
dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste
«» à l'instant , où
« est le facteur de Lorentz[35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans » et
« la masse linéique de la matière en »,

          on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière fermé d'expansion linéique en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,

«»[15],[32] avec
« le facteur de Lorentz[35] du milieu en à l'instant ».

          Remarques : quand le mouvement du système continu de matière fermé d'expansion linéique est quelconque, il n'y a pas d'expression de en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.[26],[16] du système car, si [15] s'établit aisément à partir de [15] par dérivation par rapport à [36] dans le cas d'un système fermé[42], on n'en déduit rien sur [15] dans la mesure où dépend effectivement de  ;

          Remarques : dans le cas où le système continu de matièreferméd'expansion linéique est en translation, tous les points ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I[26].,[16] du système ont même facteur de Lorentz[35] et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste [15],[32] du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système par

«»[38],[43].

Vecteur moment cinétique d’un système continu de matière par rapport à un point « A »[modifier | modifier le wikicode]

Définition du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A
     Le vecteur moment cinétique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , dans le référentiel d'étude , par rapport au point [44] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , dans le référentiel , selon
«»[11],[45],[24] avec
«
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;
soit, en cinétique classique[22], «»[11],[24] avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A
     Le vecteur moment cinétique du système continu fermé d'expansion surfacique , de masse surfacique , dans le référentiel d'étude , par rapport au point [46] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , dans le référentiel , selon
«»[14],[47],[29] avec
«
la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;
soit, en cinétique classique[22], «»[14],[48],[29] avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».
Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A
     Le vecteur moment cinétique du système continu fermé d'expansion linéique , de masse linéique , dans le référentiel d'étude , par rapport au point [49] est la grandeur vectorielle, définie à l'instant , dans le référentiel , selon
«»[15],[50],[32] avec
«
la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans » ;
soit, en cinétique classique[22], [15],[32] avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Remarque : , le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à , est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile

Cas d’un système continu de matière en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

     Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel d'étude , de masse volumique , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I[26].,[16] du système fermé , « chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la cinétique classique[22], pour vecteur quantité de mouvement » et par suite
          Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle en translation le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , « »[11], on peut « factoriser vectoriellement par à droite »[51] ce qui donne « »[11] et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «» soit « »[52] ;

          « en choisissant le C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit »[53] ;

          dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque »[54] de matière, « le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I[26].,[16] par la relation »[55], on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique[22],

«»[53] et
son cas particulier «»[53].

     Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation dans le référentiel d'étude , de masse surfacique , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I[26].,[16] du système fermé , « chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la cinétique classique[22], pour vecteur quantité de mouvement » et par suite
          Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique en translation le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , «»[14], on peut « factoriser vectoriellement par à droite »[51] ce qui donne « »[14] et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «» soit « »[56] ;

          « en choisissant le C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit »[57] ;

          dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque »[54] de matière, « le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I[26].,[16] par la relation »[55], on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique[22],

«»[57] et
son cas particulier «»[57].

     Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation dans le référentiel d'étude , de masse linéique , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I[26].,[16] du système fermé , « chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la cinétique classique[22], pour vecteur quantité de mouvement » et par suite
          Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique en translation le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , «»[15], on peut « factoriser vectoriellement par à droite »[51] ce qui donne « »[15] et on reconnaît dans le 1er facteur du 2nd membre «» soit « »[58] ;

          « en choisissant le C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit »[59] ;

          dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque »[54] de matière, « le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I[26].,[16] par la relation »[55], on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique[22],

«»[59] et
son cas particulier «»[59].

Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique relativiste, le moment cinétique du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude évalué relativement au point origine reste défini selon

«»[11],[24] dans laquelle
«[60] est
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ;
soit encore, «»[11],[24] avec
« la masse volumique du milieu en »,
« le vecteur vitesse de dans au même instant » et
« le facteur de Lorentz[35] du point à l'instant dans ».

          Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I[26].,[16] d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en cinétique relativiste selon «»[11] et
          Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon « »[11] «»[11],
          Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant ou , correspondant à [11] ou [11], l'expression «»[11] explicitant le moment cinétique relativiste du système[61] et par suite
          Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle évalué au point origine à l'instant dans le référentiel et les grandeurs caractérisant le C.D.I.[26],[16] du système fermé à savoir , au même instant, dans le même référentiel

          Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel  : « tous les éléments de matière centrés en ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé », « ont même facteur de Lorentz[35] » et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «»[11] du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle , en translation, évalué en selon «»[11] dans laquelle pour tout point d'où, par factorisation vectorielle à droite par [51], « »[11] soit encore, par propriété du C.D.I[26].,[16] du système fermé « »[11], l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à «» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier ainsi que le vecteur positionnant son C.D.I[26].,[16]

«»[62],[39],[63] dans laquelle
« est le facteur de Lorentz[35] du système en translation » ;

          Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en translation « en choisissant le C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans », on en déduit «»[64] ;

          Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en translation dans le cas d’un système continu « quelconque »[65] de matière en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation étant lié à sa masse , à son facteur de Lorentz[35] et à son vecteur vitesse de translation par la relation « »[66], on peut écrire, pour un système en translation,

«»[64] et
son cas particulier «»[64].

     En cinétique relativiste, le moment cinétique du système continu fermé d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude évalué relativement au point origine reste défini selon

«»[14],[29] dans laquelle
«[67] est
la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ;
soit encore, «»[14],[29] avec
« la masse surfacique du milieu en »,
« le vecteur vitesse de dans au même instant » et
« le facteur de Lorentz[35] du point à l'instant dans ».

          Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I[26].,[16] d'un système continu fermé d'expansion surfacique en cinétique relativiste selon «»[14] et
          Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon « »[14] «»[14],
          Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant ou , correspondant à [14] ou [14], l'expression «»[14] explicitant le moment cinétique relativiste du système[68] et par suite
          Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste du système continu fermé d'expansion surfacique évalué au point origine à l'instant dans le référentiel et les grandeurs caractérisant le C.D.I.[26],[16] du système fermé à savoir , au même instant, dans le même référentiel

          Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique en translation dans le référentiel  : « tous les éléments de matière centrés en ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé », « ont même facteur de Lorentz[35] » et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «»[14] du système continu, fermé, d'expansion surfacique , en translation, évalué en selon «»[14] dans laquelle pour tout point d'où, par factorisation vectorielle à droite par [51], « »[14] soit encore, par propriété du C.D.I[26].,[16] du système fermé « »[14], l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à «» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier ainsi que le vecteur positionnant son C.D.I[26].,[16]

«»[62],[39],[69] dans laquelle
« est le facteur de Lorentz[35] du système en translation » ;

          Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique en translation « en choisissant le C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans », on en déduit «»[70] ;

          Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique en translation dans le cas d’un système continu « quelconque »[65] de matière en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation étant lié à sa masse , à son facteur de Lorentz[35] et à son vecteur vitesse de translation par la relation « »[71], on peut écrire, pour un système en translation,

«»[70] et
son cas particulier «»[70].

     En cinétique relativiste, le moment cinétique du système continu fermé d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude évalué relativement au point origine reste défini selon

«»[15],[32] dans laquelle
«[72] est
la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ;
soit encore, «»[15],[32] avec
« la masse linéique du milieu en »,
« le vecteur vitesse de dans au même instant » et
« le facteur de Lorentz[35] du point à l'instant dans ».

          Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I[26].,[16] d'un système continu fermé d'expansion linéique en cinétique relativiste selon «»[15] et           Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon « »[15],
          Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre des relations explicitant ou , correspondant à [15] ou [15], l'expression «»[15] explicitant le moment cinétique relativiste du système[73] et par suite
          Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste du système continu fermé d'expansion linéique évalué au point origine à l'instant dans le référentiel et les grandeurs caractérisant le C.D.I.[26],[16] du système fermé à savoir , au même instant, dans le même référentiel

          Cas d'un système continu fermé d'expansion linéique en translation dans le référentiel  : « tous les éléments de matière centrés en ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé », « ont même facteur de Lorentz[35] » et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «»[15] du système continu, fermé, d'expansion linéique , en translation, évalué en selon «»[15] dans laquelle pour tout point d'où, par factorisation vectorielle à droite par [51], « »[15] soit encore, par propriété du C.D.I[26].,[16] du système fermé « »[15], l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à «» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier ainsi que le vecteur positionnant son C.D.I[26].,[16]

«»[62],[39],[74] dans laquelle
« est le facteur de Lorentz[35] du système en translation » ;

          Cas d'un système continu fermé d'expansion linéique en translation « en choisissant le C.D.I[26].,[16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans », on en déduit «»[75] ;

          Cas d'un système continu fermé d'expansion linéique en translation dans le cas d’un système continu « quelconque »[65] de points en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation étant lié à sa masse , à son facteur de Lorentz[35] et à son vecteur vitesse de translation par la relation « [76], on peut écrire, pour un système en translation,

«»[75] et
son cas particulier «»[75].

Changement d’origine de calcul du moment cinétique vectoriel d’un système continu de matière[modifier | modifier le wikicode]

     Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté

Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, d'expansion tridimensionnelle , dans le référentiel d’étude , par rapport au point origine étant défini selon « »[11] avec « la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans », ou encore, selon « »[11] c'est-à-dire « la somme continue »[77] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle [78] et

     Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point[78] s’écrivant, avec nouvelle origine d'évaluation des moments vectoriels, selon « »[79],
     Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, on obtient, en en faisant « la somme continue »[77],

[11] ou,

     Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, on obtient, en faisant une « factorisation vectorielle par à gauche »[51] dans le 2ème terme du 2nd membre et en reconnaissant dans le 1er terme du 2nd membre le vecteur moment cinétique du système par rapport à ainsi que dans le 1er membre le vecteur moment cinétique du système par rapport à , « »[11] soit enfin,
     Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière, on obtient, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «» dans le 2ème facteur du produit vectoriel du 2ème membre

«»[80].

Changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

     Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d’étude suivant, dans le cadre de la cinétique classique[22] ou relativiste, la formule

«»[80], dans laquelle
« sont le moment cinétique vectoriel du système par rapport à »
et « la résultante cinétique du système » ;

     dans le cadre de la cinétique classique[22] la résultante cinétique du système étant liée au vecteur vitesse de son C.D.I[26].,[16] selon «»[28], son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique vectoriel du système donne

«»[53].

     Cas particulier : Si on choisit le C.D.I[26].,[16] du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu fermé de matière, le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2ème point origine suivra la relation

«»[81],

     Cas particulier : que l'on peut interpréter en remarquant que le 2ème terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du C.D.I[26].,[16] considéré comme point fictif de masse et de quantité de mouvement à l'instant dans le référentiel par rapport à alors que le 1er terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du système au même instant dans le même référentiel par rapport à

     Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière[81] par rapport à à l'instant dans le référentiel d’étude est la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à C.D.I[26].,[16] du système au même instant dans et du vecteur moment cinétique de par rapport à au même instant dans ».

Complément : changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons vu au paragraphe précédent que le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant , du système continu « quelconque »[65] de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d’étude reste applicable en cinétique relativiste sous la forme

«»[80], dans laquelle
« sont le moment cinétique vectoriel relativiste du système par rapport à » et
avec «[60]
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans »,
« le vecteur résultante cinétique relativiste du système se calcule par
»[11] mais

     si le mouvement du système continu « quelconque »[65] de matière n'est pas une translation, il n'y a, a priori, aucune simplification de »[11]

     Cas d'un système continu « quelconque »[65] de matière en translation dans le référentiel d'étude  : « tous les pseudo-points [78] ayant même vecteur vitesse c'est-à-dire le vecteur vitesse du C.D.I[26].,[16] du système fermé », « ont aussi même facteur de Lorentz[35] » et par suite, nous avons déduit une expression simplifiée de dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre, cette expression étant

«»[38],[39],[82] dans laquelle
« est le facteur de Lorentz[35] du système en translation » ;

            Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel d'étude  : le report de cette expression dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant , du système continu « quelconque »[65] de matière en translation dans le référentiel d’étude nous conduit à

«»[64].

     Cas particulier : Si on choisit le C.D.I[26].,[16] du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste d’un système continu fermé de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué relativement à un 2ème point origine s'obtient par

«»[64],

     Cas particulier : que l'on interprète en remarquant que le 2ème membre est le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I[26].,[16] considéré comme point fictif de masse et de quantité de mouvement relativiste à l'instant dans le référentiel par rapport à

Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe[modifier | modifier le wikicode]

Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ[modifier | modifier le wikicode]

Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point quelconque de l'axe

     Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut, en cinétique classique[22], écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en [78] dans par rapport à sous la forme

»[83], avec
« centre de rotation de autour de » et « le rayon du cercle décrit par »,

     le vecteur moment cinétique du système par rapport à , étant la « somme continue »[77] des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en [78], soit

«»[11] ou,

     après distribution de la « somme continue »[77] sur chaque terme de l'expression entre crochets puis
     après factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,

«»[11] ;

     définissant le moment d'inertiedu système relativement à l'axe de rotation comme la grandeur scalaire « »[84],[11] exprimée en il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et

     repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [85],

     le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

«»[11],[86] ;

     le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de est donc la somme de deux termes,

  • le 1er «» porté par l'axe de rotation en étant à la vitesse angulaire et
  • le 2ème «»[11] à l'axe de rotation en étant à la vitesse angulaire et tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : rappelons tout d'abord qu'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe est nécessairement un solide[87], il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) »[88] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ;
     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice [89] appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous :

«»[11] ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
         [11] « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe »,
         [11] « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe » et
         [11] « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
         [11] « produit d'inertie du solide dans le plan »,
         [11] « produit d'inertie du solide dans le plan » et
         [11] « produit d'inertie du solide dans le plan »,

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «» ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant le point origine de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe orienté par comme axe , les axes et respectivement orientés par et étant choisis à tels que la base soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à [85], la matrice d'inertie du solide se réécrit « » ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut alors vérifier que « la matrice colonne représentant le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel » avec « un vecteur rotation instantanée représenté par la matrice colonne » s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «»[90] ou «» soit finalement

«»[11] ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique précédemment déterminés directement à savoir

  • «»[11] porté par l'axe de rotation et
  • «[11] obtenu après factorisation par soit finalement »[11] à l'axe de rotation.

Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , à l'instant dans , évalué par rapport au point origine , se détermine selon

«»[11],[24] avec
«[60]
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans » ;
soit encore, «»[11],[24] avec
« la masse volumique du milieu en »,
« le vecteur vitesse de dans au même instant » et
« le facteur de Lorentz[35] du point à l'instant dans ».

     le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point quelconque de , on peut écrire le moment cinétique vectoriel relativiste de tout pseudo-point centré en [78] dans par rapport à selon

«»[83],
avec « centre de rotation de autour de », « le rayon du cercle décrit par » et
« le facteur de Lorentz[35] du point à l'instant dans » puis

     en déduire le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé en rotation autour de l'axe fixe évalué par rapport au point origine quelconque sur l'axe,

«»[11]
ou «»[11] ;

     comme en cinétique classique[22], le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé en rotation autour de l'axe fixe évalué par rapport au point origine quelconque sur l'axe est la somme de deux termes

  • le 1er «»[11],[91] porté par l'axe de rotation et
  • le 2ème «»[11] à l'axe de rotation

     Choisissant le point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe orienté par comme axe , les axes et respectivement orientés par et étant choisis à tels que la base soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à [85], le point ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par , «», l'expression relativiste du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée dans , calculé par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

«»[11].

Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière »[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point »[78] ou[92] ou[93]

Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes[modifier | modifier le wikicode]

     Déjà introduits dans le paragraphe « axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité :

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • « Boule[94] , homogène », de rayon , de centre et de « masse »[95], « tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
  • « Cylindre de révolution[96] , homogène », de rayon , de longueur , de centre et de « masse »[97],
         « Cylindre de révolution , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et
         « Cylindre de révolution , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • « Sphère[94] , homogène », de rayon , de centre et de « masse »[98], « tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
  • « Tuyau cylindrique de révolution[96] , homogène », de rayon , de longueur , de centre , ouvert aux deux extrémités et de « masse »[99],
         « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et
         « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».
  • « Disque[100] , homogène », de rayon , de centre et de « masse »[101],
           « Disque , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et
           « Disque , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe du disque c'est-à-dire tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant ».

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • « Cercle[100] , homogène », de rayon , de centre et de « masse »,
           « Cercle , homogène », « l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant » et
           « Cercle , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe du cercle c'est-à-dire tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant ».
  • « Tige rectiligne , homogène », de longueur , de centre d'inertie et de « masse »,
    « Tige rectiligne , homogène », « l'axe passant par son centre d'inertie et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «» la valeur nulle de fait qu'en pratique l'axe n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de et
    « Tige rectiligne , homogène », « tout axe passant par son centre et à l'axe de la tige c'est-à-dire tout support de médiatrice est axe principal d'inertie », « le moment principal d'inertie correspondant étant ».

Complément : « théorème de Huygens »[modifier | modifier le wikicode]

     Le « théorème de Huygens[102] » encore appelé « théorème de Steiner[103] »[104] ou « théorème des axes parallèles » permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe connaissant celui relativement à l'axe axe à passant par , C.D.I[26].,[16] du solide, la distance orthogonale entre et ainsi que la masse du solide.

Début d’un théorème
Théorème de Huygens
     Soit un solide [105], de masse , de C.D.I[26].,[16] et un axe quelconque, « le moment d'inertie de [105] par rapport à , à savoir [106], est égal à
» dans laquelle
« est le moment d'inertie de [105] par rapport à axe à passant par »
et « la distance orthogonale entre et ».
Fin du théorème

     Démonstration faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle  : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe étant défini par »[11] avec « le projeté orthogonal de sur » et « la masse volumique du solide »,
         Démonstration faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle  : « le moment d'inertie « celui par rapport à l'axe à passant par le C.D.I[26].,[16] du solide, par »[11] avec « le projeté orthogonal de sur »,
     Démonstration faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle  : on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles[19] « » puis,
     Démonstration faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle  : on passe de l'un à l'autre en multipliant chaque membre par «» et
     Démonstration faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle  : on passe de l'un à l'autre en intégrant membre à membre, « »[11],[107] d'où, en reconnaissant « dans le 1er membre », « dans la 2ème intégrale du 2ème membre », « dans le 1er terme du 2ème membre » en effet et [11] et « dans le 3ème terme du 2ème membre » en effet, selon une propriété du C.D.I[26].,[16] du solide[108] [11], la simplification suivante

«»[109] C.Q.F.D.[110].

     Exemples d'application, ci-dessous liste non exhaustive :

  • « Boule[94] , homogène », de rayon , de centre , de « masse »[95] et un « axe tangent en à la sphère limitant », le moment d'inertie de relativement à est « [111] » très peu utilisé.
  • « Cylindre de révolution[96] , homogène », de rayon , de longueur , de centre , de « masse »[97] et
         « Cylindre de révolution , homogène », un « axe confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant », le moment d'inertie de relativement à est « [112] » peu utilisé, ou
         « Cylindre de révolution , homogène », un « axe passant par le centre d'une des bases limitant et à l'axe de révolution », le moment d'inertie de relativement à est « [113] » d'où finalement « » peu utilisé.
  • « Sphère[94] , homogène », de rayon , de centre , de « masse »[98] et un « axe tangent à la sphère en », le moment d'inertie de relativement à est « [111] » très peu utilisé.
  • « Tuyau cylindrique de révolution[96] , homogène », de rayon , de longueur , de centre , ouvert aux deux extrémités, de « masse »[99] et
         « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », un « axe confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de relativement à est « [114] » peu utilisé, ou
         « Tuyau cylindrique de révolution , homogène », un « axe passant par le centre d'un des cercles limitant et à l'axe de révolution », le moment d'inertie de relativement à est « [113] » d'où finalement « » très peu utilisé.
  • « Disque[100] , homogène », de rayon , de centre , de « masse »[101] et
           « Disque , homogène », un « axe passant par un point du cercle limitant le disque et à l'axe du disque », le moment d'inertie de relativement à est « » peu utilisé ou
           « Disque , homogène », un « axe tangent en un point du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de relativement à est « [115] » peu utilisé.
  • « Cercle[100] , homogène », de rayon , de centre , de « masse » et
           « Cercle , homogène », un « axe passant par un point du cercle et à l'axe de ce dernier », le moment d'inertie de relativement à est « » peu utilisé ou
           « Cercle , homogène », un « axe tangent en un point du cercle », le moment d'inertie du cercle relativement à se calcule par « [115] » peu utilisé.
  • « Tige rectiligne , homogène », de longueur , de centre d'inertie , de « masse » et un « axe passant par , une extrémité de la tige et à l'axe de cette dernière », le moment d'inertie relativement à est «[116] » soit finalement «» assez fréquemment utilisé.

Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière par rapport à un axe « Δ »[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit de transposer aux systèmes continus fermés de matière ce qui a été établi dans le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude et conséquence : notion de moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

     Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'aborderons l'équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique la différence n'intervenant que dans la nature des intégrales mais celle-ci n'apparaissant pas ci-dessous sauf dans le contenu des remarques, il n'y a donc aucune différence

Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système continu (fermé) de matière » dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     La « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » introduite au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » est d'abord rappelée ci-dessous dans le but de la tester sur la notion de moment cinétique vectoriel d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle[117] en un point origine quelconque :

un champ de vecteurs défini en [118] est « équiprojectif » si
«».

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière, on utilise la « formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude » établie plus haut dans ce chapitre soit

«»[80] avec
« la résultante cinétique du système » puis

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière, on multiplie scalairement les deux membres par d'où

«» ou,

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière, la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle[119],

«»[120],

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière, ce qui établit l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude[121].

     Remarques : On pouvait aussi utiliser l'équiprojectivite du vecteur moment cinétique d'un point matériel établie dans le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » en la transposant à celle de pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle[78]

«» puis,

     Remarques : On pouvait aussi utiliser la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en et en selon «»[11],
     Remarques : il suffit de faire la « somme continue »[77] des relations d'équiprojectivité pour les pseudo-points[78] du système et de factoriser scalairement par [122] dans chaque membre en reconnaissant dans l'autre facteur le moment cinétique vectoriel du système évalué en pour le membre de gauche et en pour le membre de droite C.Q.F.D.[110].

     Remarques : En utilisant la notion hors programme de physique de P.C.S.I. de « torseur » introduite dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment cinétique vectoriel du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à «» étant le moment du torseur cinétique «» du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle d'éléments de réduction en «» et
     Remarques : En utilisant le fait que le « moment d'un torseur au point » est par définition un « champ de vecteurs équiprojectif »[123]
     Remarques : nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel par rapport à ».

Conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un axe quelconque et deux points quelconques distincts de cet axe , nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière dans le référentiel la relation

«»[124] ou,
     en orientant l'axe par et en simplifiant par ,
«»[125],

     cette valeur constante sur définissant le moment cinétique scalaire du système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe cette définition est valable en cinétique classique[22] ou relativiste, elle s'étend aux systèmes continus ouverts de matière dans le cadre classique[22] ou relativiste.

Moment cinétique (scalaire) d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude par rapport à Δ
     Le moment cinétique scalaire du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe est la grandeur scalaire, définie à l'instant , selon
«» avec
« un vecteur unitaire orientant » et
« le vecteur moment cinétique du système dans
évalué en un point quelconque de au même instant », soit encore,
«» avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant ».

     Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle par rapport à l'axe , elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse de chaque pseudo-point [78] dans un plan à ainsi que de la disposition du point par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel .

Moment cinétique (scalaire) d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe[modifier | modifier le wikicode]

     Là encore, compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, nous n'expliciterons le moment cinétique scalaire d'un système continu de matière que dans le cas d'une modélisation volumique, les autres modélisations surfacique ou linéique correspondant à un traitement identique à la différence de la nature des intégrales

Expression du moment cinétique scalaire d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l’axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe , orienté par , avec un vecteur rotation instantanée , étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de ,
     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation nous choisissons un point quelconque de cet axe de rotation et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique[22] du système par rapport à établie dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ » plus haut dans le chapitre à savoir

«»[11], avec
« étant le projeté orthogonal de sur l'axe » et
«[11] le moment d'inertie du système relativement à dans laquelle », puis

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation nous multiplions les deux membres de l'expression de scalairement par ,

«
                                      »
                                                       par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle[126] puis,

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation nous remarquons la nullité du 2ème terme du 2ème membre après constatation que «[11] est à », le 1er terme du 2ème membre se simplifiant selon «» et le 1er membre définissant le moment cinétique scalaire du système relativement à « si ».

     Finalement le moment cinétique scalaire classique[22] du système continu de matière en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel avec un vecteur rotation instantanée , moment évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par , s'écrit

«»[86],[127] avec
« le moment d'inertie du système relativement à » et
« la vitesse angulaire de rotation du système autour de ».

Complément : expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude par rapport à l’axe « Δ »[modifier | modifier le wikicode]

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe , orienté par , avec un vecteur rotation instantanée , étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de ,
     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation nous choisissons un point quelconque de cet axe de rotation et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique relativiste du système par rapport à établie dans le paragraphe « complément, vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste » plus haut dans le chapitre à savoir

« »[11], avec
« le projeté orthogonal de sur l'axe », « la distance orthogonale de à » et
« le facteur de Lorentz[35] du point à l'instant dans », puis

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation nous multiplions scalairement par les deux membres de l'expression de ,

«[11]
                                                               [11] »
                                    par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle[126] puis,

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation nous remarquons la nullité du 2ème terme du 2ème membre due au fait que les deux facteurs vectoriels «[11] et sont », le 1er terme du 2ème membre se simplifiant selon « [11] » et le 1er membre définissant le moment cinétique scalaire relativiste du système relativement à « si ».

     Finalement le moment cinétique scalaire relativiste du système continu de matière en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel avec un vecteur rotation instantanée , moment évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par , s'écrit

«[11] »[86],[128],[129] avec, à l'instant dans ,
« le facteur de Lorentz[35] du point »,
« le rayon du cercle décrit par » et « la vitesse angulaire de rotation du système autour de ».

Lien entre grandeurs cinétique, cinématique et d’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe[modifier | modifier le wikicode]

     Il s'agit d'étendre « l'analogie entre la cinétique d'un point matériel en mouvement quelconque et celle d'un point matériel en mouvement de rotation autour d'un axe Δ dans le cadre classique[22]» établie dans le chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » au cas de système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique.

     Rappel de l'analogie entre cinétique de mouvement quelconque et celle de rotation d'un point matériel :

     Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide :

  • en cinétique classique[22] d'un solide en translation, le lien entre la grandeur cinétique « la résultante cinétique », la grandeur cinématique « le vecteur vitesse d'entraînement » étant le C.D.I[26].,[16] et la grandeur d’inertie « la masse du solide » est «» ;
  • en cinétique classique[22] d’un solide en rotation autour d’un axe fixe , le lien entre la grandeur cinétique « le moment cinétique scalaire relativement à l'axe », la grandeur cinématique « la vitesse angulaire de rotation » et la grandeur d’inertie « le moment d’inertie du solide relativement à l’axe » est «» ;

     Rappel des résultats concernant la cinétique de translation et celle de rotation d'un solide : on a donc la même analogie entre solide en translation et solide en rotation autour d’un axe qu’entre point matériel en mouvement quelconque et point matériel en rotation autour d’un axe à savoir

Signification physique du moment d’inertie d’un solide relativement à un axe[modifier | modifier le wikicode]

     Pour un « moment cinétique scalaire du solide en rotation fixé »[130], plus le moment d'inertie du solide relativement à cet axe est grand, plus la vitesse angulaire est faible par exemple : un patineur sur glace tournant sur lui-même ralentit dès lors qu'il écarte les bras, pour le moment cinétique scalaire qu'il possède, il fait croître son moment d’inertie sa vitesse angulaire de rotation diminue ;

     parallèlement un solide ayant une vitesse angulaire autour de son axe de rotation fixée, aura un moment cinétique scalaire par rapport à cet axe c'est-à-dire une réserve cinétique en rotation d’autant plus grand que son moment d’inertie relativement à cet axe sera grand par exemple le volant d’inertie d’un « gyrobus »[131] lancé avant le départ du bus avec une vitesse angulaire fixée possède un grand moment d’inertie permettant d’avoir un grand moment cinétique scalaire, ce dernier restitué progressivement fournissant une plus grande autonomie au gyrobus sans avoir besoin de relancer le volant d’inertie.

     Remarque : La détermination expérimentale du moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe nous informe sur la répartition des masses à l’intérieur du solide, en comparant le résultat de cette mesure à celui que l’on aurait trouvé pour un solide homogène et de même forme ;

     Remarque : par exemple des mesures astronomiques du moment d’inertie de la Terre par rapport à son axe [132] donnent « » où « et sont respectivement la masse et le rayon de la Terre » alors que
     Remarque : par exemple si la Terre était homogène on trouverait « » ;
     Remarque : par exemple on en déduit donc la présence d’une couche profonde près de l’axe de rotation plus dense que la couche superficielle, la première définissant le noyau de la Terre ;

     Remarque : par exemple la dimension du noyau de la Terre ayant été déterminée par ondes sismiques soit , on en a déduit
                  Remarque : par exemple celle de l’ensemble « manteau - croûte » comme complément à soit  ;
     Remarque : par exemple la densité des couches superficielles constituant l’ensemble « manteau - croûte » étant par ailleurs déterminée entre « et pour la croûte d’épaisseur maximale » et « pour le manteau »[133], associée à
     Remarque : par exemple la détermination expérimentale du moment d’inertie de la Terre relativement à son axe [132] permettent de
     Remarque : par exemple déduire l’ordre de grandeur de la « densité du noyau »[134],[135] laquelle, correspondant à celle du fer à haute pression, permet de conjecturer que le noyau est essentiellement composé de fer

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. ↑ C.-à-d. ne dépassant pas une centaine on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points.
  2. ↑ 2,0 et 2,1 C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions
  3. ↑ Par exemple d'eau contient molécules.
  4. ↑ C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».
  5. ↑ Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas
  6. ↑ Voir le paragraphe « approximation des milieux continus » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  7. ↑ en .
  8. ↑ Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c'est-à-dire en remplaçant «», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires réparties sur une surface d'aire , par «» où « en est la masse surfacique en » supposée « variant continûment avec » voir exemple dans le paragraphe « modélisation en distribution continue surfacique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant charge par masse.
  9. ↑ Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c'est-à-dire en remplaçant «», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur , par «» où « en est la masse linéique en » supposée « variant continûment avec » voir exemple dans le paragraphe « modélisation en distribution continue linéique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant charge par masse.
  10. ↑ Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul
  11. ↑ 11,00 11,01 11,02 11,03 11,04 11,05 11,06 11,07 11,08 11,09 11,10 11,11 11,12 11,13 11,14 11,15 11,16 11,17 11,18 11,19 11,20 11,21 11,22 11,23 11,24 11,25 11,26 11,27 11,28 11,29 11,30 11,31 11,32 11,33 11,34 11,35 11,36 11,37 11,38 11,39 11,40 11,41 11,42 11,43 11,44 11,45 11,46 11,47 11,48 11,49 11,50 11,51 11,52 11,53 11,54 11,55 11,56 11,57 11,58 11,59 11,60 11,61 11,62 11,63 11,64 11,65 11,66 11,67 11,68 11,69 11,70 11,71 et 11,72 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. ↑ Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de points matériels par un système continu de surface , on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «».
  13. ↑ Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de points matériels par un système continu de courbe , on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «».
  14. ↑ 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 14,13 14,14 14,15 14,16 14,17 14,18 14,19 14,20 14,21 14,22 14,23 14,24 14,25 14,26 et 14,27 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. ↑ 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 15,10 15,11 15,12 15,13 15,14 15,15 15,16 15,17 15,18 15,19 15,20 15,21 15,22 15,23 15,24 15,25 et 15,26 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. ↑ 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 16,11 16,12 16,13 16,14 16,15 16,16 16,17 16,18 16,19 16,20 16,21 16,22 16,23 16,24 16,25 16,26 16,27 16,28 16,29 16,30 16,31 16,32 16,33 16,34 16,35 16,36 16,37 16,38 16,39 16,40 16,41 16,42 16,43 16,44 16,45 16,46 16,47 16,48 16,49 16,50 16,51 16,52 16,53 16,54 16,55 16,56 16,57 16,58 et 16,59 Ou centre de masse
  17. ↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. ↑ 18,0 18,1 et 18,2 étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était serait le vecteur position de mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe
  19. ↑ 19,0 19,1 19,2 et 19,3 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  20. ↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. ↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. ↑ 22,00 22,01 22,02 22,03 22,04 22,05 22,06 22,07 22,08 22,09 22,10 22,11 22,12 22,13 22,14 22,15 22,16 22,17 22,18 22,19 22,20 22,21 22,22 22,23 22,24 22,25 22,26 22,27 et 22,28 Ou newtonien(ne).
  23. ↑ 23,0 et 23,1 Déjà introduit au paragraphe « définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1ère grandeur cinétique associée au système » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  24. ↑ 24,00 24,01 24,02 24,03 24,04 24,05 24,06 24,07 24,08 24,09 et 24,10 Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser
  25. ↑ En effet
  26. ↑ 26,00 26,01 26,02 26,03 26,04 26,05 26,06 26,07 26,08 26,09 26,10 26,11 26,12 26,13 26,14 26,15 26,16 26,17 26,18 26,19 26,20 26,21 26,22 26,23 26,24 26,25 26,26 26,27 26,28 26,29 26,30 26,31 26,32 26,33 26,34 26,35 26,36 26,37 26,38 26,39 26,40 26,41 26,42 26,43 26,44 26,45 26,46 26,47 26,48 26,49 26,50 26,51 26,52 26,53 26,54 26,55 et 26,56 Centre D'Inertie.
  27. ↑ Voir le paragraphe « démonstration du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  28. ↑ 28,0 et 28,1 Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé revoir la « démonstration » en restant néanmoins applicable pour
                         Ce lien nécessite queun système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation les points entrant ou sortant sur l'intervalle étant de vecteur vitesse égal à .
  29. ↑ 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 29,5 29,6 29,7 et 29,8 Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , seuls les points présents à l'instant à l'intérieur de sont à comptabiliser
  30. ↑ En effet
  31. ↑ Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé revoir la « démonstration » en restant néanmoins applicable pour
       Ce lien nécessite queun système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , pourvu qu'il soit en translation les points entrant ou sortant sur l'intervalle étant de vecteur vitesse égal à .
  32. ↑ 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 32,5 32,6 32,7 et 32,8 Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , seuls les points présents à l'instant entre et sont à comptabiliser
  33. ↑ En effet
  34. ↑ Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé revoir la « démonstration » en restant néanmoins applicable pour
       Ce lien nécessite queun système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , pourvu qu'il soit en translation les points entrant ou sortant sur l'intervalle étant de vecteur vitesse égal à .
  35. ↑ 35,00 35,01 35,02 35,03 35,04 35,05 35,06 35,07 35,08 35,09 35,10 35,11 35,12 35,13 35,14 35,15 35,16 35,17 35,18 35,19 35,20 35,21 35,22 35,23 35,24 35,25 et 35,26 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  36. ↑ 36,0 36,1 et 36,2 La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points
  37. ↑ Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants et , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de est aussi considérée comme constante, le vecteur vitesse du C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation avec égal au contenu de à l'instant est rendue applicable aux systèmes ouverts
  38. ↑ 38,0 38,1 38,2 et 38,3 On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «».
  39. ↑ 39,0 39,1 39,2 39,3 et 39,4 Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant voir la note « 37 » plus haut dans le chapitre
  40. ↑ Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants et , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de est aussi considérée comme constante, le vecteur vitesse du C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation avec égal au contenu de à l'instant est rendue applicable aux systèmes ouverts
  41. ↑ Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant voir la note « 40 » plus haut dans le chapitre
  42. ↑ Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants et , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de est aussi considérée comme constante, le vecteur vitesse du C.D.I. du système ouvert à l'instant étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation avec égal au contenu situé entre et à l'instant est rendue applicable aux systèmes ouverts
  43. ↑ Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , le C.D.I. du système ouvert à l'instant étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant voir la note « 42 » plus haut dans le chapitre
  44. ↑ Ou « moment cinétique vectoriel du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.
  45. ↑ Voir le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en , de masse , de vecteur quantité de mouvement soit ou encore .
  46. ↑ Ou « moment cinétique vectoriel du système continu fermé d'expansion surfacique en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.
  47. ↑ Voir le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en , de masse , de vecteur quantité de mouvement soit ou encore .
  48. ↑ Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice
  49. ↑ Ou « moment cinétique vectoriel du système continu fermé d'expansion linéique en » en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.
  50. ↑ Voir le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en , de masse , de vecteur quantité de mouvement soit ou encore .
  51. ↑ 51,0 51,1 51,2 51,3 51,4 51,5 et 51,6 Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  52. ↑ Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans par rapport au point origine est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » en effet
       tous les points présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse égal à le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant , on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » l'application de cette méthode conduisant à
       « » soit «», le facteur entre crochets ayant pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
  53. ↑ 53,0 53,1 53,2 et 53,3 Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 52 » plus haut dans ce chapitre.
  54. ↑ 54,0 54,1 et 54,2 C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».
  55. ↑ 55,0 55,1 et 55,2 On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation revoir la note « 28 » plus haut dans le chapitre.
  56. ↑ Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans par rapport au point origine est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle fermée, indéformable et fixe, tracée sur , voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » en effet
       tous les points présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse égal à le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant , on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » l'application de cette méthode conduisant à
       « » soit «», le facteur entre crochets ayant pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
  57. ↑ 57,0 57,1 et 57,2 Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 56 » plus haut dans ce chapitre.
  58. ↑ Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans par rapport au point origine est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu situé entre les bornes de contrôle et , fixes, positionnées sur , voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » en effet
       tous les points présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse égal à le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant , on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » l'application de cette méthode conduisant à
       « » soit «», le facteur entre crochets ayant pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
  59. ↑ 59,0 59,1 et 59,2 Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique ou newtonienne, à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 58 » plus haut dans ce chapitre.
  60. ↑ 60,0 60,1 et 60,2 Avec la masse volumique du milieu en , le vecteur vitesse de à l'instant dans et le facteur de Lorentz du point au même instant dans le même référentiel .
  61. ↑ Dans le cas général, les éléments de matière n'ayant pas même vitesse à l'instant , leur facteur de Lorentz diffère d'un point à l'autre, de plus
       Dans le cas général, les éléments de matière n'étant pas positionnés au même endroit diffère aussi d'un point à l'autre et par suite
       Dans le cas général, aucune mise en facteur scalaire ou vectorielle de ne pourra conduire à l'utilisation du 2nd membre des relations explicitant ou
  62. ↑ 62,0 62,1 et 62,2 On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine selon
    «».
  63. ↑ Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «» où « est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant », on définit c'est-à-dire le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme
       le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de selon , le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par et vectorielle à droite par l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la réécriture de l'expression de selon soit finalement « », le facteur entre crochets ayant le 1er terme pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
  64. ↑ 64,0 64,1 64,2 64,3 et 64,4 Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et « 63 » plus haut dans ce chapitre.
  65. ↑ 65,0 65,1 65,2 65,3 65,4 65,5 et 65,6 C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation sauf si c'est précisé plus loin
  66. ↑ On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation revoir les notes « 28 » et « 39 » plus haut dans le chapitre.
  67. ↑ Avec la masse surfacique du milieu en , le vecteur vitesse de à l'instant dans et le facteur de Lorentz du point au même instant dans le même référentiel .
  68. ↑ Dans le cas général, les éléments de matière n'ayant pas même vitesse à l'instant , leur facteur de Lorentz diffère d'un point à l'autre, de plus
       Dans le cas général, les éléments de matière n'étant pas positionnés au même endroit diffère aussi d'un point à l'autre et par suite
       Dans le cas général, aucune mise en facteur scalaire ou vectorielle de ne pourra conduire à l'utilisation du 2nd membre des relations explicitant ou
  69. ↑ Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «» où « est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant », on définit c'est-à-dire le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme
       le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de selon , le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par et vectorielle à droite par l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la réécriture de l'expression de selon soit finalement « », le facteur entre crochets ayant le 1er terme pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
  70. ↑ 70,0 70,1 et 70,2 Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et « 69 » plus haut dans ce chapitre.
  71. ↑ On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation revoir les notes « 31 » et « 41 » plus haut dans le chapitre.
  72. ↑ Avec la masse linéique du milieu en , le vecteur vitesse de à l'instant dans et le facteur de Lorentz du point au même instant dans le même référentiel .
  73. ↑ Dans le cas général, les éléments de matière n'ayant pas même vitesse à l'instant , leur facteur de Lorentz diffère d'un point à l'autre, de plus
       Dans le cas général, les éléments de matière n'étant pas positionnés au même endroit diffère aussi d'un point à l'autre et par suite
       Dans le cas général, aucune mise en facteur scalaire ou vectorielle de ne pourra conduire à l'utilisation du 2nd membre des relations explicitant ou
  74. ↑ Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant ainsi que ceux entrant ou sortant entre et ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «» où « est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant », on définit c'est-à-dire le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme
       le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre et , système fermé s'identifiant, à l'instant avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre et voir la méthode d'étude dans le paragraphe « méthode d'étude d'un système ouvert » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de selon , le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par et vectorielle à droite par l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la réécriture de l'expression de selon soit au final « », le facteur entre crochets ayant le 1er terme pour terme principal les deux autres tendant vers quand lequel caractérise le centre d'inertie du système ouvert à l'instant d'où le terme entre crochets égal à
  75. ↑ 75,0 75,1 et 75,2 Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et « 74 » plus haut dans ce chapitre.
  76. ↑ On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation revoir les notes « 34 » et « 43 » plus haut dans le chapitre.
  77. ↑ 77,0 77,1 77,2 77,3 et 77,4 Par intégrale volumique
  78. ↑ 78,00 78,01 78,02 78,03 78,04 78,05 78,06 78,07 78,08 et 78,09 Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume , sa masse est donc « », son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel «», son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel « » et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine «»
  79. ↑ Voir le paragraphe « formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  80. ↑ 80,0 80,1 80,2 et 80,3 Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique newtonienne ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière non nécessairement en translation « ouvert »
  81. ↑ 81,0 et 81,1 Également applicable à un système ouvert en translation voir les notes « 20 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « 52 » plus haut dans ce chapitre, dans ce cas est le C.D.I. du système ouvert en translation et la masse de ce dernier dépendant a priori de mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas
  82. ↑ Voir la note « 21 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».
  83. ↑ 83,0 et 83,1 Voir le paragraphe « évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  84. ↑ « étant le moment d'inertie par rapport à du pseudo-point » c'est-à-dire de l'élément de matière centré en à la distance orthogonale de l'axe et de volume .
  85. ↑ 85,0 85,1 et 85,2 Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « 12 » de ce même chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
                                           elle est choisie indirecte au sens de la physique dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « préliminaire du paragraphe précédent », cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « 14 » de ce même chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  86. ↑ 86,0 86,1 et 86,2 Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée , applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes
       La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant , comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe fixe étant
    • premièrement que le contenu à l'instant le soit c'est-à-dire que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et
    • deuxièmement que le voisinage extérieur de à l'instant le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c'est-à-dire que les points entrant à l'intérieur de entre et aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de impliquant que les points en sortant entre et ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent,
       on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus sauf avis contraire de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe , une 2ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à , lequel dépend a priori de mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend pas
  87. ↑ Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « indéformable ».
  88. ↑ Cette définition utilise la notion de tenseur contravariant d'ordre introduit dans le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  89. ↑ Voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  90. ↑ Voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  91. ↑ On pourrait appeler mais usuellement cela n'est pas fait la grandeur «» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe » et la noter «», d'où le 1er terme «»
  92. ↑ Un pseudo-point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , sa masse est donc , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel ,, son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine ,
  93. ↑ Un pseudo-point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , sa masse est donc , son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel ,, son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , et son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine ,
  94. ↑ 94,0 94,1 94,2 et 94,3 On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».
  95. ↑ 95,0 et 95,1 Le volume d'une boule de rayon étant , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  96. ↑ 96,0 96,1 96,2 et 96,3 En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.
  97. ↑ 97,0 et 97,1 Le volume d'un cylindre de révolution de rayon et de longueur étant , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  98. ↑ 98,0 et 98,1 L'aire de la surface d'une sphère de rayon étant , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  99. ↑ 99,0 et 99,1 L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon et de longueur étant , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  100. ↑ 100,0 100,1 100,2 et 100,3 On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.
  101. ↑ 101,0 et 101,1 L'aire de la surface d'un disque de rayon étant , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  102. ↑ Huygens|Christian Huygens (1629 – 1695) [ou Huyghens] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
  103. ↑ Jakob Steiner (1796 - 1863) mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis Apollonius de Perge géomètre et astronome grec, né dans la 2nde moitié du IIIème siècle avant J.C. vers à Perge actuellement en Turquie, disparu au début du IIème siècle avant J.C. non connu avec précision cela pourrait être de à , ayant vécu à Alexandrie actuellement en Égypte, surtout célèbre pour ses écrits sur les sections coniques intersection d'un cône par un plan.
  104. ↑ Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner
  105. ↑ 105,0 105,1 et 105,2 Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique
  106. ↑ Simplement noté en absence d'ambiguïté.
  107. ↑ ne dépendant pas de peut être sorti de la 1ère intégrale du 2ème membre, il en est de même de pour la 3ème intégrale du 2ème membre car, si et dépendent de , la direction, le sens et la norme de n'en dépendent pas
  108. ↑ Voir le paragraphe « centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) » plus haut dans ce chapitre en remplaçant par
  109. ↑ D'une part est à la direction commune de et et
       d'autre part ainsi que appartiennent tous deux à la direction de est
       d'où est à .
  110. ↑ 110,0 et 110,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  111. ↑ 111,0 et 111,1 On choisit l'axe à .
  112. ↑ étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement à génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à .
  113. ↑ 113,0 et 113,1 étant l'axe passant par , à l'axe de révolution et choisi à , est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à .
  114. ↑ étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement à génératrice de ce dernier et la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à .
  115. ↑ 115,0 et 115,1 L'axe est choisi à passant par , c'est donc aussi le support du diamètre à .
  116. ↑ L'axe étant l'axe passant par , à l'axe de la tige et choisi à c'est aussi le support de médiatrice de la tige à , est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à .
  117. ↑ La vérification pour une expansion surfacique ou linéique se traitant de la même façon, voir « introduction du paragraphe moment cinétique (scalaire) d'un système continu de matièe par rapport à un axe Δ » plus haut dans ce chapitre.
  118. ↑ Ou sous-ensemble de , le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
  119. ↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  120. ↑ En effet on reconnaît dans le 2ème terme du 2ème membre un produit mixte de trois vecteurs coplanaires voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  121. ↑ Comme cela est indiqué dans la note « 80 » de ce chapitre, le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel de système écrit sous la forme étant applicable que le système soit fermé ou ouvert dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste et la multiplication scalaire n'en dépendant pas, on en déduit que l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel est valable pour un système fermé ou ouvert dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste.
  122. ↑ Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  123. ↑ Voir le paragraphe « définition d'un torseur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  124. ↑ Il s'agit aussi d'un invariant du torseur cinétique voir la notion d'invariants de torseur dans le paragraphe « invariants d'un torseur » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  125. ↑ On peut aussi le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine «» et en multipliant scalairement par , on obtient alors, par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés de la multiplication scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'égalité cherchée car «» dans la mesure où étant à le produit mixte est nul voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  126. ↑ 126,0 et 126,1 Voir le paragraphe « autres propriétés de la multiplication scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  127. ↑ On notera que est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système de matière cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non.
  128. ↑ On notera que est valable quel que soit l’axe de rotation pour le système continu de matière cet axe pouvant être « principal d’inertie » ou non.
  129. ↑ Comme cela a déjà été remarqué, on pourrait appeler mais usuellement cela n'est pas fait la grandeur «» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe » et la noter «», l'expression du moment cinétique scalaire relativiste du système en rotation s'écrirait alors «»
  130. ↑ Nous verrons que la réserve cinétique du solide en rotation provient du positionnement des forces motrices et de leur action antérieure sera étudié dans le chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » intitulé « loi du moment cinétique : Moments de force »
  131. ↑ Le Gyrobus était propulsé par un moteur électrique, dont l'énergie était fournie par une grande roue lancée à grande vitesse ; le moteur alimentant le volant de stockage d'énergie était réversible ; une fois le volant en acier de , lancé à , le moteur se transformait en générateur électrique et alimentait les moteurs permettant la propulsion du véhicule ; la recharge du volant s'effectuait lors des montées et descentes des passagers, au moyen d'une perche placée sur le véhicule ; la recharge du volant prenait de à , en fonction de la tension électrique appliquée aux bornes du moteur ; complètement chargé, un Gyrobus était autonome sur une distance de environ, à une vitesse d'environ à selon le type de véhicule et la charge de ces derniers ; ces derniers ont été opérationnels vers les années à sur très peu de lignes et ont été rapidement abandonnés car le volant était beaucoup trop lourd
  132. ↑ 132,0 et 132,1 Passant par son centre et de direction « pôle Sud - pôle Nord ».
  133. ↑ Correspondant à une profondeur moyenne de .
  134. ↑ En fait il existe deux noyaux, l’un externe liquide d'épaisseur et l’autre interne solide de rayon , la cristallisation à partir d’une certaine profondeur correspondant à un accroissement de pression tel que la température de fusion du matériau constituant le noyau c'est-à-dire essentiellement le fer croît plus rapidement que la température du noyau elle-même et à partir d’une certaine profondeur la température du noyau est devenue inférieure à la température de fusion du matériau constituant le noyau ; la densité du noyau liquide est approximativement et celle du noyau solide approximativement
  135. ↑ La densité moyenne de la Terre c'est-à-dire constituée de « manteau - croûte » et du (ou des) noyau(x) étant .


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