En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [1] positionné en un point de l'espace,
cette orientation à droite induisant la « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction[2] de l'espace physique affine à trois dimensions » [3] telle que le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] et cette orientation à droite induisant le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires , et de l'espace vectoriel direction[2] de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] » [5]et cette orientation à droite induisant le « caractère négatif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires , et de l'espace vectoriel direction[2] de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre est indirect c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [6] » [5].
Remarque : si l'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [7] positionné en un point de l'espace, Remarque : le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé [8] de même que Remarque : le produit mixte de trois vecteurs serait changé en son opposé [9].
Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté [10], est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en à la surface , Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté , est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires et selon Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté«» [11],[12].
Remarque : une condition nécessaire C.N. pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point de la surface considérée Remarque : une condition nécessaire C.N.est qu'il existe en ce point un plan tangent à la surface , ce qui nécessite Remarque : une condition nécessaire C.N. est que soit un « point régulier de la surface » si la surface est définie par une équation sous forme implicite, Remarque : une condition nécessaire C.N. est que soit un « point régulier de la surface » la fonction doit être continûment dérivable en pour que soit un point régulier de Remarque : une condition nécessaire C.N. est que soit un « point régulier de la surface » c.-à-d. que y soit de classe ; Remarque : par la suite « sera toujours un point régulier de la surface »
De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, est normal à la surface en [13] et on peut écrire De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «» avec un vecteur unitaire à en , De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «» avec définissant l'aire élémentaire de en .
Le plus souvent, il existe un repérage de tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe [14] sont dans le plan tangent à en ; dans ces conditions, appelant et ces deux vecteurs de la base orthonormée directe [14], dans ces conditions, les déplacements élémentaires de dans le plan tangent s'écrivant alors «» «» [15] avec «» [16].
Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de en est de Si tel est le cas, rechercher quel vecteur de base est à en , Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c.-à-d. que le produit s'exprime bien en
Autres aires élémentaires : si la surface est plane à , « orientée par », «» avec «» [18], Autres aires élémentaires : si la surface est plane à , « orientée par », «» avec «» [19].
Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation[modifier | modifier le wikicode]
Dans une intégrale surfacique[30] on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ; Dans une intégrale surfacique la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est «» [31] où est l'aire élémentaire en sur [32] et Dans une intégrale surfacique la contributionusuellement celle d'une fonction vectorielle est «» [33] avec vecteur élément de surface en sur c.-à-d. Dans une intégrale surfacique la contribution usuellement celle d'une fonction vectorielle estle flux élémentaire du champ vectoriel à travers [34] ;
les intégrales surfaciques[30] s'écrivent alors, en notant la courbe fermée limitant la portion de surface , «» [35] ou les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant la courbe fermée limitant la portion de surface , «» définissant les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant la courbe fermée limitant la portion de surface , « le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface [36] ;
après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , paramètres notés «» [37], après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , l'évaluation de l'intégrale surfacique[30] revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle : après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on fige un des paramètres par exemple et après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on intègre sur l'autre entre les bornes qui dépendent en général du 1er paramètre figé , après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , le résultat de cette 1ère intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé , puis après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on libère ce paramètre et après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales de la portion de surface ; après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si les bornes de la 1ère intégrale sur le paramètre dépendent du paramètre figé , les deux intégrales sont dites « emboîtées », après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , le calcul de la 2ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1ère[38] et après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si l'ordre d'intervention des paramètres conduit à une 1ère intégration n'aboutissant pas [39], la 2ème ne peut être faite mais après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , il existe un « théorème de Fubini » [40] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [41], après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on fige d'abord le paramètre et on intègre sur l'autre paramètre entre les bornes dépendant de , après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si cette 1ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2ème sur entre des bornes qui dépendent des limites spatiales après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si cette 1ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2ème sur entre des bornes qui de la portion de surface [42].
Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle[modifier | modifier le wikicode]
On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon et de centre , On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde étant à la distance du centre [43] c.-à-d. On souhaite calculer l'intégrale surfacique[30] «» [44]voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé :
choix du « paramétrage de la surface »[45] : repérage polaire de pôle , centre du cercle, l'axe polaire étant porté par la médiatrice de la corde, choix du « paramétrage de la surface » : repérage polaire de pôle , centre du cercle, l'axe polaire étant orienté de la corde vers l'arc, d'où choix du « paramétrage de la surface » : «» [46] et «»,
figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on fige et on intègre sur de à [47], figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : étant l'angle polaire du point d'intersection du cercle de rayon soit figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : [48],[49] puis figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on intègre sur de à d'où la succession d'intégrales emboîtées «» ; figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : la 1ère intégration sur ne présente aucune difficulté [48] figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : d'où la réécriture de l'intégrale surfacique[30] suivant «», figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé [50] figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ; figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on fige et on intègre sur de à , figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : étant la distance séparant du point de la corde d'angle polaire voir schéma ci-dessus soit figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : [51] puis figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on intègre sur de à d'où la succession d'intégrales emboîtées «» ; figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : la 1ère intégration sur se résout aisément d'où figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : la réécriture de l'intégrale surfacique[30] suivant «» figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : le calcul ne posant a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de est d'où figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : avec figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : se déterminant dans le triangle rectangle où est l'extrémité supérieure de la corde et figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : se déterminant dans le triangle rectangle où le projeté orthogonal de sur cette dernière soit figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : [48] et [52] soit finalement figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : «» [53].
Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique[30] de la fonction scalaire sur la portion de surface dont on cherche l'aire [54] ; Préliminaire : les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation [55].
À retenir Aire de surfaces classiques
Aire d'un disque de rayon : «», Aire intérieure d'une ellipse de demi-axes et : «», Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution[21] de rayon et de hauteur : Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution «» [56], Aire d'une sphère[24] de rayon : «» [57].
Établissement de l'aire d'un disque de rayon : on utilise le repérage polaire avec suivant «» [46], « variant de à » et « de à » Établissement de l'aire d'un disque de rayon : on utilise le repérage polaire avec suivant «», « variant de à » et les intégrales sont indépendantes, Établissement de l'aire d'un disque de rayon : l'aire est donc le produit de deux intégrales sur un intervalle C.Q.F.D. [58].
Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse [60]voir schéma ci-contre, de paramètre Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : , abscisse angulaire de , point générique du cercle de centre Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : dont l'image par affinité d'axe , de direction et de rapport [59] est l'ellipse étudiée, Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : cette abscisse angulaire « variant de à » et Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : la coordonnée radiale « du point générique du disque de à » ; Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : les coordonnées de , point générique de l'ellipse étant, quant à elles, Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : les coordonnées de , avec « variant de à », Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : le point générique de l'intérieur de l'ellipse à figé figé étant Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : d'ordonnée avec « variant de à », l'aire élémentaire de la surface intérieure Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : à l'ellipse s'écrit alors «» [61] Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : « Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : «» [62] ou Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : «» [63] soit «» C.Q.F.D. [58].
Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution[21] de rayonet de hauteur : on utilise le repérage cylindro-polaire avec suivant «» [64], Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : « variant de à » et « de à » les intégrales sont indépendantes, Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : « Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : «» C.Q.F.D. [58].
Établissement de l'aire d'une sphère[24] de rayon : on utilise le repérage sphérique avec suivant «» [65], « variant de à » et « de à » Établissement de l'aire d'une sphère de rayon : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle Établissement de l'aire d'une sphère de rayon : «» C.Q.F.D. [58].
Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône » et Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : on utilise le repérage sphérique d'axe « l'axe de révolution du cône Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : on utilise le repérage sphérique d'axe « orienté du sommet vers la base » [66] avec Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : suivant «» [67], « variant de à » et Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : suivant «», « de à » [68] Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit sur un intervalle Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : « Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : « Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : «» [69].
Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface[modifier | modifier le wikicode]
Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » [70],[71] associé au transport de la puissance lumineuse solaire ; l'« onde lumineuse émise par le soleil » [72] est de nature vectorielle c'est une onde électromagnétique «» définie en chaque point de l'espace et à chaque instant , l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle c'est une onde électromagnétique «» constituée d'une multitude de composantes monochromatiques, l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle elle se propage dans le vide à la célérité de façon isotrope [73] ; à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , on associe un vecteur d'onde «», à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , la direction de correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , la direction de étant au champ électromagnétique[74] ; à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » [71] défini à partir des composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » défini selon «» [75], lequel est colinéaire à [74], c.-à-d. à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ; à une composante monochromatique la norme du vecteur de Poynting[71] d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse transportée par unité d'aire de section droite et à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de la norme du vecteur de Poynting[71] de cette composante » mais aussi à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de l'orientation du vecteur de Poynting[71] relativement à la surface » [76], d'où à une composante monochromatique la définition de la puissance instantanée reçue par la surface comme le « flux du vecteur de Poynting[71] à travers cette surface orientée » [36] à une composante monochromatique la définition de la puissance instantanée reçue par la surface comme le «» [77].
Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés[modifier | modifier le wikicode]
compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le point de la calotte sphérique étant de coordonnées sphériques compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le point de la calotte sphérique étant de avec « variant de à » et « de à », compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le vecteur élément de surface au point étant «» [65] et compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le champ vectoriel ayant pour composantes sphériques dans la base locale de , compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le champ vectoriel «» ;
le flux du champ vectoriel à travers [36] étant défini par «» se réécrit le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» [79] soit encore, le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» [80], cette intégrale se calculant, entre autres, par linéarisation [81] selon le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» soit finalement le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» à l'aide de formule trigonométrique de duplication.
Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » [82] peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :
quand la fonction à intégrer sur une sphère[24] de rayon ne dépend pas de la longitudemais dépend de la colatitude, on peut envisager une « couronne élémentaire de sphère comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment prochesetcomme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «» [83] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [84] ; l'intégrale surfacique «» [85],[86] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» ou encore l'intégrale surfacique «» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» [87] ;
quand la fonction à intégrer sur la surface latérale d'un cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet ne dépend pas de la longitudemais dépend du rayon polaire, on peut envisager une « couronne élémentaire de cône comprise entre les deux rayons polaires infiniment prochesetcomme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «» [88] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [84] ; l'intégrale surfacique «» [89] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» ou encore l'intégrale surfacique «» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» [90] ;
quand la fonction à intégrer sur un tuyau cylindrique de révolution[21] d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend pas de l'abscisse angulairemais dépend de la cote, on peut envisager un « tuyau cylindrique de révolution[21] élémentaire compris entre les deux cotes infiniment prochesetcomme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «» [91] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [92] ; l'intégrale surfacique «» [93] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» ou encore l'intégrale surfacique «» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» [94].
Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)[modifier | modifier le wikicode]
L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » [95], noté [96], est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en , L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » , noté , est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires , et selon L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » , noté «» [97],[98],[12].
Soient une base orthonormée « directe » [14] de l'expansion tridimensionnelle [95] et les déplacements élémentaires de construits le long de chaque , Soient une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle et les déplacements élémentaires de «», Soient une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle on en déduit l'élément de volume en «» soit, Soient une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle avec «» [99], «».
Dans une intégrale volumique on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » [95] usuellement limitée par « une surface continue fermée » ; Dans une intégrale volumique la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est «» où est le volume élémentaire en de et Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique est «» avec le volume élémentaire en de et Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique effectivement la densité volumique du champ vectoriel car ;
les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle [95], «» ou les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , «» champ vectoriel de les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , « cette portion d'expansion tridimensionnelle [95] ou les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , «» avec les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , « la densité volumique du champ vectoriel ;
après choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle [95], paramètres notés [104], après choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, après choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle méthode identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique[30] rappelée au paragraphe suivant.
Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle [95] par , et , on procède comme suit on fige deux des paramètres par exemple et et Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit on intègre sur le dernier entre les bornes dépendant, a priori, de et , Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit le résultat de cette 1ère intégration dépendant, dans ce cas, de ces deux derniers et , puis Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit on libère un seul des deux paramètres par exemple et Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit on intègre sur entre les bornes dépendant, a priori, du dernier paramètre figé , Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit le résultat de cette 2ème intégration dépendant, dans ce cas, du dernier paramètre figé , enfin Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit on libère le dernier paramètre et Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit on intègre sur entre les bornes dépendant des limites spatiales de sur de la portion Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit on intègre sur entre les bornes dépendant des d'expansion tridimensionnelle [95] ; Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit si les bornes de la 1ère intégration sur le paramètre dépendent au moins d'un des paramètres Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit figés et , les trois intégrales sont dites « emboîtées », le calcul des deux autres intégrales Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit revenant à un calcul d'intégrale surfacique nécessitant de connaître le résultat de la 1ère[105] et Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit si l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduit à une 1ère intégration n'aboutissant pas [39], Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit les deux autres ne peuvent être faites mais Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit il existe un « théorème de Fubini » [40] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [41], Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation réussie, Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit ce qui a été exposé pour la 1ère intégration peut être répété pour la 2nde en adaptant le paragraphe Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation () » Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par , et , on procède comme suit « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes plus haut dans ce chapitre
Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]
On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », mais en une intégrale surfacique[30] suivie d'une intégrale sur un intervalle, en effet On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple , parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres, sur l'exemple , c.-à-d. On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple , parmi les trois aboutit à une intégrale surfacique[30], cela peut donc être plus rapide si, On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple , parmi les trois aboutit pour l'intégrale surfacique[30], on connaît déjà le résultat connu, On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple , parmi les trois aboutit dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante : On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique[30] de résultat connu correspondant donc à une intégration sur On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat les deux autres paramètres laissés libres, puis On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.
Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle [95] est une intégrale volumique de la fonction scalaire sur l'expansion tridimensionnelle [95] dont on cherche le volume [106] ; Préliminaire : les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.
À retenir Volume d'expansions tridimensionnelles classiques
Volume d'un cône de révolution de hauteur dont la base est de rayon : «» ou Volume d'un cône de révolution de hauteur dont la base est de rayon : «» [108],
Établissement du volume d'un cylindre de révolution[21] de rayonet de hauteur : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour axe l'axe de révolution du cylindre et Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayonet de hauteur : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour pôle le centre de la base inférieure, Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayonet de hauteur : le volume élémentaire étant «» [110], « variant de à », « de à » et Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayonet de hauteur : le volume élémentaire étant «» « de à » les intégrales sont indépendantes, Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayonet de hauteur : le volume est donc le produit de trois intégrales sur un intervalle Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayonet de hauteur : « Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayonet de hauteur : «» [111] C.Q.F.D. [58].
Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône » et Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : on utilise le repérage sphérique d'axe « l'axe de révolution orienté vers la base du cône » [112], Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : le volume élémentaire étant «» [113] avec les trois intégrales sur un intervalle Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : le volume élémentaire étant «» avec les trois partiellement emboîtées ;
Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : on fige et , on intègre sur « de à » [114] puis
Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : on libère en laissant figé et on intègre sur « de à » [115] et enfin Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : on intègre sur « de à » [116],[117] d'où Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : le volume est donc le produit de deux intégrales emboîtées et d'une intégrale sur un intervalle
Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : « Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : « Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : « Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : «[118][119] Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteuret dont la base est de rayon : «» en utilisant «» C.Q.F.D. [58].
Établissement du volume d'une boule[24] de rayon : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule[24]», le volume élémentaire étant «» [113], Établissement du volume d'une boule de rayon : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule », « variant de à », « de à » et « de à » Établissement du volume d'une boule de rayon : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule », « variant de à », les intégrales sont indépendantes, Établissement du volume d'une boule de rayon : le volume est le produit de trois intégrales sur un intervalle « Établissement du volume d'une boule de rayon : le volume est le produit de trois intégrales sur un intervalle «» [120] C.Q.F.D. [58].
La liste des exemples est évidemment non exhaustive.
« peut être une grandeur scalaire volumique » comme la masse volumique « en » ou la charge volumique « en », « peut être une grandeur scalaire volumique » permettant de calculer la masse de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «» ou « peut être une grandeur scalaire volumique » permettant de calculer la charge de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «» ;
« peut être une grandeur vectorielle volumique » comme le poids volumique « en » ou « peut être une grandeur vectorielle volumique » comme la force électrique volumique « en », « peut être une grandeur vectorielle volumique » permettant de calculer le poids de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «» [121] ou « peut être une grandeur vectorielle volumique » permettant de calculer la force électrique s'exerçant sur l'expansion volumique «» [122].
Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » [123] peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :
quand la fonction à intégrer sur une boule[24] de rayon ne dépend ni de la longitude,ni de la colatitudemais dépend de la rayon polaire, on peut envisager le « volume de la couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment prochesetcomme volume élémentaire semi intégré » soit «» [124] résultant des intégrations sur « de à » et sur « de à » du volume élémentaire [113],[125] ; l'intégrale volumique «» [126] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «» ou encore l'intégrale volumique «» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «» [87] ;
quand la fonction à intégrer sur un cylindre de révolution[21] d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend ni du rayon polaireni de l'abscisse angulairemais est dépendant de la cote, on peut envisager le « volume de la tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment prochesetcomme volume élémentaire semi intégré » soit l'expression «» [127] résultant de l'intégration sur « de à » et sur « de à » du volume élémentaire [113],[128] ; l'intégrale volumique «» [129] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «» ou encore l'intégrale volumique «» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «» [130] ;
quand la fonction à intégrer sur un cylindre de révolution[21] d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend ni de la coteni de l'angle polairemais dépend du rayon polaire, on peut envisager le « volume de la couche cylindrique élémentaire de hauteurcomprise entre les deux rayons polaires infiniment prochesetcomme volume élémentaire semi intégré » soit «» [131] résultant de l'intégration sur « de à » et sur « de à » du volume élémentaire [113],[132] ; l'intégrale volumique «» [133] peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «» ou encore l'intégrale volumique «» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «» [134].
Remarque : tout ce qui vient d'être exposé avec une fonction scalaire peut être répété sans restriction avec une fonction vectorielle de densité volumique .
Soit à calculer le volume d'un cône de révolution de hauteur et dont la base est de rayon Soit à calculer le volume d'un cône de révolution en utilisant le « repérage cylindro-polaire » [135] de pôle , le sommet du cône de révolution et Soit à calculer le volume d'un cône de révolution en utilisant le « repérage cylindro-polaire » d'axe orienté du sommet vers la base ; l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par étant « indépendante de » [136] soit l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par étant «» avec le l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par étant demi-angle au sommet du cône et la fonction à intégrer étant de valeur pour tout point d'angle polaire respectant c.-à-d. la fonction à intégrer étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte , de rayon et d'épaisseur » [137] il est donc possible de la fonction à intégrer étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume de la tranche cylindrique élémentaire de côte , de rayon et la fonction à intégrer étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume de la tranche cylindrique élémentaire d'épaisseur » comme la fonction à intégrer étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume semi-intégré » [138] d'où l'intégrale volumique exprimant le volume du cône de révolution de hauteur et dont la base est de rayon «» se réécrit selon l'intégrale volumique «» ou, avec «», l'intégrale volumique «» C.Q.F.V. [139].
↑ Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ; James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ 2,02,1 et 2,2 La direction d'un espace affine étant l'espace vectoriel à partir duquel l'espace affine est défini à l'aide de l'application qui, à chaque bipoint , associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :
«» relation de Chasles,
«» existence et unicité d'un translaté.
Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
↑ 4,0 et 4,1 Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « direct au sens de la physique» dans un espace orienté à gauche est dite « règle de la main droite » levant le pouce de la main droite dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droiteceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier » ; il existe d'autres règles équivalentes :
« règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras droit étant dans le sens de , la poigne de la main droite courbée dans le sens de , le pouce est alors levé dans le sens de , « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant de vers , il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de , « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur , ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de , il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de , et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer. James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur. André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
↑ Règle de la main gauche pour déterminer le caractère « indirect » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « indirect au sens de la physique» dans un espace orienté à gauche : « levant le pouce de la main gauche dans le sens de 1er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2nd, le sens du 3ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » pouvant encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher » ; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes
↑ Le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon.
↑ 12,0 et 12,1 Il faut préciser l'orientation de l'espace « à droite ou à gauche », pour tout le chapitre nous avons imposé l'orientation « à droite » ; en règle générale, si le choix n'est pas rappelé, c'est que l'espace est orienté à droite.
↑ C.-à-d. au plan tangent de la surface en , et étant deux déplacements élémentaires du plan tangent.
↑ L'aire élémentaire de en étant le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base et au vecteur unitaire normal à en , «».
↑ 24,024,124,224,324,424,524,624,7 et 24,8 Le français a résolu ses lacunes dans ce cas en utilisant des termes différents pour désigner une surface et son intérieur tridimensionnel, ici la surface est appelée sphère et son intérieur tridimensionnel boule, même si, dans la vie courante certains parlent encore de sphère creusece qui constitue un pléonasme et de sphère pleinece qui constitue un oxymore.
↑ 29,0 et 29,1 Une intégrale curviligne ajoute les contributions élémentaires d'une fonction d'un point générique se déplaçant sur une courbe d'un point à un point ; si on paramètre à l'aide d'un paramètre scalaire il suffit que toute valeur de d'un intervalle à préciser permette de décrire la courbe si on paramètre à l'aide d'un paramètre scalaire il suffit que toute valeur de telle qu'il n'existe qu'une seule position de correspondant à une valeur de , si on paramètre à l'aide d'un paramètre scalaire l'intégrale curviligne devient une intégrale sur un intervalle si on paramètre à l'aide d'un paramètre scalaire usuellement le paramètre est l'abscisse curviligne du point ou le temps dans le cas d'un mouvement sur la courbe.
↑ Théoriquement la contribution élémentaire d'une fonction scalaire pourrait aussi être avec le vecteur élément de surface en , mais cette notion qui se prolongerait en définissant l'intégrale surfacique vectorielle de sur la portion orientée de surface limitée par la courbe fermée selon n'étant introduite dans aucune grandeur physique nous ne la traiterons pas.
↑ Pour une fonction vectorielle mais dans de rares cas, la contribution élémentaire de cette fonction vectorielle sur la surface peut être «» avec l'aire élémentaire en sur et « densité surfacique du champ vectoriel sur » en effet est telle que , la contribution élémentaire de la fonction vectorielle restant, dans ces rares cas, vectorielle ; Pour une fonction vectorielle le plus souvent la contribution élémentaire de sur la surface est définie comme le flux élémentaire de à travers «» avec le vecteur élément de surface en , la contribution élémentaire de la fonction vectorielle devenant, dans ces cas nettement plus fréquents, scalaire.
↑ Théoriquement la contribution élémentaire d'une fonction vectorielle pourrait aussi être avec le vecteur élément de surface en , mais cette notion qui se prolongerait en définissant l'intégrale surfacique vectorielle de sur la portion orientée de surface limitée par la courbe fermée selon n'apparaissant dans aucune grandeur physique nous ne la traiterons pas.
↑ Pour une fonction vectorielle dans les rares cas correspondant à ceux introduits dans la note « 32 » plus haut dans ce chapitre, l'intégrale surfacique s'écrit «» avec « densité surfacique du champ vectoriel sur », en effet est définie par , l'intégrale surfacique de la fonction vectorielle restant, dans ces rares cas, vectorielle ; Pour une fonction vectorielle dans les cas nettement plus fréquents introduits dans la note « 32 » plus haut dans ce chapitre, l'intégrale surfacique s'écrit «» définie comme le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface , l'intégrale surfacique de la fonction vectorielle devenant, dans ces cas nettement plus fréquents, scalaire.
↑ En effet la portion de surface étant un espace à deux dimensions nécessite deux paramètres qui peuvent être « et en repérage cartésien du plan » ou « et en repérage polaire du même plan » ou bien d'autres choix possibles Nous les notons et quand nous ne souhaitons pas préciser le type de repérage.
↑ En physique c'est très rarement le cas, les bornes d'intégration sur l'un des paramètres choisis au hasard étant indépendantes de l'autre paramètre figé, dans ce cas les intégrales sont indépendantes et l'intégrale surfacique revient simplement à un produit d'intégrales sur un intervalle, l'ordre d'intégration étant alors quelconque.
↑ 39,0 et 39,1 Par exemple parce que nécessitant des connaissances de primitives non encore acquises.
↑ 40,0 et 40,1Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
↑ 41,0 et 41,1 Sous conditions dans lesquelles nous ne rentrerons pas car toujours réalisées en physique.
↑ Ce qui délimite deux portions de disque, celle dont on souhaite déterminer l'aire étant la plus petite.
↑ Dans le cas d'un calcul d'aire, la fonction scalaire est «» ; de plus pour que l'aire soit il faut intégrer sur les paramètres choisis dans le sens de leur variation pour que soit toujours .
↑ Souvent imposé par la forme de la courbe limitant la surface.
↑ En effet en appelant le point d'intersection du cercle de rayon et de la corde, le projeté orthogonal de sur la corde, dans le triangle rectangle , est l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle d'où .
«» on aboutit à un résultat mais par une intégration qui n'est tout de même pas simple.
↑ En effet en appelant le point de la corde d'abscisse angulaire et le projeté orthogonal de sur la corde, dans le triangle rectangle , est l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle d'où .
↑ On vérifie l'homogénéité du résultat à une aire, étant sans dimension physique.
↑ Une « aire de portion de surface » sans autre qualificatif est en général non algébrisée dans le cas contraire on l'appellera « aire algébrisée de portion de surface » ; la méthode de calcul d'une aire de portion de surface donc non algébrisée introduisant une aire de surface élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une aire positive, de faire varier les paramètres choisis dans le sens de leur variation.
↑ À l'exception de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de demi-angle au sommet et de hauteur dont l'utilisation est trop rare pour nécessiter de retenir le résultat, par contre la méthode pour l'établir doit être connue.
↑ Produit de la périphérie de la base par la hauteur.
↑ Souhaitant obtenir une aire , il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand de à car est ainsi que Souhaitant obtenir une aire , il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand de à car d'où et Souhaitant obtenir une aire , il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand de à car est et est ainsi que Souhaitant obtenir une aire , il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand de à car d'où .
↑ La 2ème intégrale étant nulle car la fonction à intégrer est -périodique et l'intervalle d'intégration correspondant à deux périodes de la fonction à intégrer.
↑ En effet la coupe par un demi-plan méridien est un triangle rectangle où est le projeté orthogonal du sommet sur la base et l'extrémité de la génératrice, est le côté adjacent de l'angle et l'hypoténuse d'où
↑ L'aire peut s'exprimer en utilisant le « rayon de la base » à la place du demi-angle au sommet sachant que et d'où «», c.-à-d. « fois le rayon de la base fois la longueur de l'apothème» l'apothème du cône de révolution est le rayon du secteur de disque utilisé dans le patron de la face latérale du cône de révolution, le secteur de disque correspondant à un angle au centre tel que .
↑ Lumineuse au sens large correspondant au visible ainsi qu'à son voisinage les « IR et UV » mais ce qui est dit reste valable pour tout le spectre électromagnétique.
↑ C.-à-d. que la célérité dans le vide est indépendante de la direction de propagation.
↑ 74,0 et 74,1 L'onde étant transversale dans le vide.
↑ Pour que la puissance solaire reçue par la surface soit maximale il faut que le vecteur de Poynting soit à cette surface, et si au contraire, les rayons solaires sont quasi-rasants relativement à cette surface, la puissance solaire reçue est quasi nulle.
↑ La puissance instantanée est sans intérêt à l'échelle de temps macroscopique ou mésoscopique voir le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » car elle varie à la fréquence avec fréquence de l'onde monochromatique, la raison du facteur étant que le produit vectoriel de et sinusoïdaux de fréquence est sinusoïdal de fréquence comme sur l'exemple du produit de fonctions scalaires et étant très grande, la puissance lumineuse perçue à cette échelle de temps est la moyenne temporelle de la puissance instantanée c.-à-d. le « flux du vecteur de Poynting moyen à travers la surface orientée » «» le symbole signifiant moyenne temporelle de ; ayant défini au chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » l'« éclairement au point M transporté par l'onde lumineuse en ce point », nous constatons qu'il est aussi à la norme du vecteur de Poynting moyen soit «» car, si on appelle l'angle que fait le vecteur de Poynting avec la normale à l'élément de surface , la puissance lumineuse moyenne reçue par s'obtient par l'une ou l'autre des méthodes .
↑ C.-à-d. la portion de sphère résultant de l'intersection de la sphère de centre et de rayon avec l'expansion volumique limitée par le cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet , le centre de la calotte sphérique étant le « pôle Nord de la sphère ».
↑ C'est une appellation personnelle pour traduire que la surface élémentaire qui est, a priori, un produit de deux infiniment petits d'ordre un, a été partiellement intégrée pour devenir un infiniment petit d'ordre un.
↑ Longueur du parallèle de colatitude , le rayon du parallèle étant multipliée par la largeur de la couronne .
↑ 84,0 et 84,1 ne dépendant pas de peut être sorti de l'intégrale sur d'où la justification de l'intégration de l'aire élémentaire sur , ce qui revient au remplacement de par pour passer de l'aire élémentaire à l'aire élémentaire semi intégrée.
↑ La surface d'intégration étant fermée on intègre sur la sphère complète on note l'intégrale surfacique en ajoutant un sur l'intégrale double «» la notation est identique pour une intégrale curviligne sur une courbe fermée «».
↑ ne dépendant pas de ne dépend que de est constante sur un parallèle d'où l'expression de l'intégrale surfacique.
↑ 87,0 et 87,1 Assez fréquemment utilisé mais si on n'y pense pas, on ne perd que peu de temps.
↑ Longueur du parallèle de colatitude , le rayon du parallèle étant multipliée par , la largeur de la couronne de cône.
↑ ne dépendant pas de ne dépend que de est constante sur un parallèle d'où l'expression de l'intégrale surfacique.
↑ ne dépendant pas de peut être sorti de l'intégrale sur d'où la justification de l'intégration de l'aire élémentaire sur , ce qui revient au remplacement de par pour passer de l'aire élémentaire à l'aire élémentaire semi intégrée.
↑ ne dépendant pas de ne dépend que de est constante sur un contour de tuyau d'où l'expression de l'intégrale surfacique.
↑ Encore plus fréquemment utilisé que dans le cas d'une sphère donc à utiliser sans hésitation.
↑ 95,0095,0195,0295,0395,0495,0595,0695,0795,0895,09 et 95,10 Alors qu'il existe deux termes en français pour distinguer l'expansion spatiale à deux dimensions que l'on nomme « surface », de la mesure de cette expansion que l'on nomme « aire », pour l'expansion spatiale à trois dimensions et sa mesure il n'y a qu'un seul terme le « volume », c'est là l'une des rares insuffisances de la langue française ! Pour éviter cela, on peut réserver le terme « volume » à la mesure et parler d'« expansion tridimensionnelle ou volumique» pour l'ensemble de points et c'est ce qui sera fait autant que possible.
↑ En effet la portion d'expansion tridimensionnelle étant un espace à trois dimensions nécessite trois paramètres qui peuvent être , et en repérage cartésien ou , et en repérage cylindro-polaire ou , et en repérage sphérique Nous les notons , et quand nous ne souhaitons pas préciser le type de repérage.
↑ En physique c'est très rarement le cas, les bornes d'intégration sur l'un des paramètres choisis au hasard étant indépendantes des deux autres paramètres figés, dans ce cas les intégrales sont indépendantes et l'intégrale volumique revient simplement à un produit d'intégrales sur un intervalle, l'ordre d'intégration étant alors quelconque.
↑ Un « volume d'expansion tridimensionnelle » est toujours non algébrisé ; la méthode de calcul d'un volume d'expansion tridimensionnelle donc non algébrisé introduisant un volume élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir un volume positif, de faire varier les paramètres choisis dans le sens de leur variation.
↑ Attention mathématiquement une « sphère » est une surface fermée, l'intérieur de cette surface définit une « boule » ; parler du volume d'une sphère n'a donc aucun sens
↑ Voir aussi l'utilisation d'un volume élémentaire semi-intégré dans le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré quand la fonction à intégrer sur le cylindre de révolution ne dépend ni du rayon polaire ni de l'abscisse angulaire) » plus bas dans ce chapitre.
↑ Car c'était le meilleur repérage pour calculer l'aire de la surface latérale du cône de révolution dans le cas du calcul du volume ce repérage est toujours possible mais l'utilisation simultanée du repérage cylindro-polaire et de la notion de volume élémentaire semi-intégré est de calcul plus simple voir le paragraphe « application d'une des formes de volume élémentaire semi-intégré au calcul du volume d'un cône de révolution » plus bas dans ce chapitre ; nous commençons néanmoins par le repérage sphérique.
↑ Cette 1ère intégrale ne dépend pas des paramètres figés.
↑ En effet où est le point d'intersection avec la base du cône de révolution de la sécante issue du sommet et inclinée d'un angle par rapport à l'axe de révolution d'où
↑ Remarque : l'aire de la sphère limitant la boule «» voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (4ème aire à retenir) » plus haut dans ce chapitre est la dérivée par rapport à du volume de la boule «».
↑ Il s'agit ici d'une répartition volumique de force de champ de pesanteur où le champ de pesanteur étant uniforme peut être sorti de l'intégrale volumique ce qui fait que la résultante des forces de pesanteur peut s'écrire « masse totale du système champ de pesanteur ».
↑ Il s'agit ici d'une répartition volumique de force de champ électrique où le champ électrique dépendant a priori du point d'application ne peut être sorti de l'intégrale volumique ce qui fait que la résultante des forces électriques ne fait pas apparaître explicitement la charge totale du système.
↑ C'est une appellation personnelle pour traduire que le volume élémentaire qui est, a priori, un produit de trois infiniment petits d'ordre un, a été partiellement intégré pour devenir un infiniment petit d'ordre un.
↑ « Aire de la couche sphérique de rayon , » multipliée par l'« épaisseur de la couronne sphérique élémentaire ».
↑ ne dépendant ni de ni de peut être sorti des intégrales emboîtées sur et d'où la justification de l'intégration du volume élémentaire sur et , ce qui revient au remplacement de par et de par pour passer du volume élémentaire au volume élémentaire semi intégré.
↑ ne dépendant pas de ni de ne dépend que de , sauf cas particulier, est constante sur toute couronne sphérique élémentaire d'où l'expression de l'intégrale volumique.
↑ « Aire de la base de la tranche cylindrique » multipliée par l'«épaisseur de la tranche cylindrique ».
↑ ne dépendant ni de ni de peut être sorti des intégrales sur et sur d'où la justification de l'intégration du volume élémentaire sur et sur , ce qui revient au remplacement de par et de par pour passer du volume élémentaire au volume élémentaire semi intégré.
↑ ne dépendant ni de ni de ne dépend que de , sauf cas particulier, est constante sur une tranche cylindrique de cote d'où l'expression de l'intégrale volumique.
↑ Aussi fréquemment utilisé que dans le cas précédent d'une boule.
↑ « Aire de la surface latérale de la couche cylindrique » multipliée par l'« épaisseur de la couche cylindrique ».
↑ ne dépendant pas de ni de peut être sorti des intégrales sur et sur d'où la justification de l'intégration du volume élémentaire sur et sur , ce qui revient au remplacement de par et de par pour passer du volume élémentaire au volume élémentaire semi intégré.
↑ ne dépendant ni de ni de ne dépend que de , sauf cas particulier, est constante sur une couche cylindrique de rayon d'où l'expression de l'intégrale volumique.
↑ Aussi fréquemment utilisé que dans les cas précédents d'une boule ou d'un cylindre de révolution en considérant des tranches d'épaisseur .
↑ Compte-tenu de la plus grande rapidité d'obtention par ce repérage que celle obtenue par repérage sphérique utilisé précédemment, il s'agit de la méthode efficace à utiliser pour obtenir le volume d'un cône de révolution.
↑ Ce qui est une condition nécessaire C.N. pour une expansion tridimensionnelle de révolution.
↑ Plus précisément constante sur une tranche tronconique mais le volume de celle-ci peut être assimilé, à l'ordre un en , au volume d'une tranche cylindrique de même épaisseur et dont la base est de rayon car l'« écart entre les deux volumes est un infiniment petit d'ordre deux » en effet cet écart est à mais aussi à la « différence des rayons des bases situées aux cotes et » soit «» d'où un écart à et par suite négligé à l'ordre un en .
↑ Voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 2ème cas) » plus haut dans ce chapitre.