Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

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     Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » $\;{\big (}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}$,

     cette orientation à droite induisant la « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions » telle que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace \;$ est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite et

     cette orientation à droite induisant le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\right\rbrace \;$ est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite » $\;{\big \{}$et le « caractère négatif si le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\right\rbrace \;$ est indirect c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche »${\big \}}$.

     Remarque : si l'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}$,

     Remarque : le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé de même que le produit mixte de trois vecteurs changé en son opposé.

Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface

Définition

     Le vecteur élément de surface en un point $\;M\;$ de la surface $\;(S)$, noté $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$, est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en $\;M\;$ à la surface $\;(S)$, $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ selon

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}={\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\;$.

     Remarque : une condition nécessaire $\;{\big (}$C.N.${\big )}\;$ pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point $\;M\;$ de la surface $\;(S)\;$ considérée est qu'il existe en ce point $\;M\;$ un plan tangent à la surface $\;(S)$, ce qui nécessite que $\;M\;$ soit un « point régulier de la surface $\;(S)\;$» $\;{\Big [}$si la surface $\;(S)\;$ est définie par une équation sous forme implicite $\;f(M)=0$, la fonction $\;f\;$ doit être continûment dérivable en $\;M\;$ pour que ce dernier soit un point régulier de $\;(S)\;$ c.-à-d. que $\;f\;$ y soit de classe $\;C^{\,1}{\Big ]}$ ; par la suite «$\;M\;$ sera toujours un point régulier de la surface $\;(S)\;$» $\;\ldots$

Propriété

     De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et celle du vecteur surface élémentaire, $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ est normal à la surface $\;(S)\;$ en $\;M\;$ et on peut écrire

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{M}\;$ avec 
$\;{\vec {n}}_{M}\;$ un vecteur unitaire $\;\perp \;$ à $\;(S)\;$ en $\;M$,
$\;dS_{M}\;$ définissant l'aire élémentaire de $\;(S)\;$ en $\;M$.

Pratique courante

     Le plus souvent, il existe un repérage de $\;M\;$ tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe sont dans le plan tangent à $\;(S)\;$ en $\;M$ ;
     dans ces conditions, appelant $\;{\vec {u}}_{1}\;$ et $\;{\vec {u}}_{2}\;$ ces deux vecteurs de la base orthonormée directe $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$, les déplacements élémentaires de $\;M\;$ dans le plan tangent s'écrivant alors $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}=dM_{1}\,{\vec {u}}_{1}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}=dM_{2}\,{\vec {u}}_{2}$, on en déduit

$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{3}\;$ avec $\;dS_{M}=dM_{1}\;dM_{2}\;$.

     Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de $\;(S)\;$ en $\;M\;$ est de rechercher quel vecteur de base est $\;\perp \;$ à $\;(S)\;$ en $\;M$, l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base $\;{\big (}$on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c.-à-d. que le produit s'exprime bien en $\;m^{2}{\big )}\;$ $\ldots$

Orientation des angles du plan tangent à la surface en M

     Dans le cas où l'une des longueurs élémentaires $\;dM_{1}\;$ ou $\;dM_{2}\;$ du plan tangent à $\;(S)\;$ en $\;M\;$ seraient définies à partir d'un angle élémentaire de ce plan, le sens $\;+\;$ des angles de ce dernier est défini à partir du vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{3}\;$ qui lui est $\;\perp \;$ selon la règle suivante dite de « l'auto-stoppeur droitier » pour un espace orienté à droite :

     « Le pouce de l'auto-stoppeur droitier étant le long de $\;{\vec {u}}_{3}\;$, ce dernier dirigé vers l'extrémité du pouce, l'auto-stoppeur ferme le poing en courbant la paume, le sens $\;+\;$ des angles du plan est donné par la courbure de la paume ».

Expressions en paramétrage cartésien

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire du plan $\;xOy\;$ repéré en cartésien

     Si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec «$\;dS_{M}=dx\;dy\;$».

Expressions en paramétrage cylindro-polaire

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire du plan $\;xOy\;$ repéré en cylindro-polaire

     Si la surface est plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;$» avec «$\;dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;$».

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;a\;$ repéré en cylindro-polaire

     Si la surface est la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;a$, laquelle est « orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» avec «$\;dS_{M}=a\;d\theta \;dz\;$».

Expressions en paramétrage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire d'une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ repérée en sphérique

     Si la surface est une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, « orientée par $\;{\vec {u}}_{r}\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}\;$» avec «$\;dS_{M}=a^{2}\,\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$».

À retenir $\rightsquigarrow$ aire élémentaire de la surface latérale d'un cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha \;$ repéré en sphérique

     Si la surface est la surface latérale d'un cône de révolution de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha$, laquelle est « orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$»,

«$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» avec «$\;dS_{M}=r\,\sin(\alpha )\;d\varphi \;dr\;$».

Notions d'intégrale surfacique

     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » vue au chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », mais dans les intégrales surfaciques le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.

Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation

     Dans une intégrale surfacique $\;{\big (}$ou de surface${\big )}\;$ on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction $-$ scalaire ou vectorielle $-$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » $\;(S)\;$ usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;

          la contribution élémentaire d'une fonction scalaire $\;f(M)\;$ est «$\;f(M)\;dS_{M}\;$» où $\;dS_{M}\;$ est l'aire élémentaire en $\;M\;$ sur $\;(S)\;$ et

  la contribution élémentairecelle d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ est le flux élémentaire du champ vectoriel «$\;\delta \Phi \!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» où $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ est le vecteur surface élémentaire en $\;M\;$ sur $\;(S)$ ;

          les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant $\;(\Gamma )\;$ la courbe fermée limitant la portion de surface sur $\;(S)$, respectivement :

«$\;\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}f(M)\;dS_{M}\;$» ou «$\;\Phi _{(S)_{(\Gamma )}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$» définissant le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface ;

          après le choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}$, paramètres notés «$\;(p,\,q)\;$», l'évaluation de l'intégrale surfacique revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :

               on fige alors un des paramètres par exemple $\;p\;$ et on intègre sur l'autre $\;q\;$ entre les bornes qui dépendent en général du premier paramètre figé $\;p$, le résultat de cette première intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé $\;p$, puis

               on libère ce paramètre $\;p\;$ et on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales $\;(\Gamma )\;$ de la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}$ ;

          dans le cas où la 1^ère intégrale sur le paramètre $\;q\;$ se fait entre des bornes qui dépendent du paramètre figé $\;p$, les deux intégrales sont dites « emboîtées », le calcul de la 2^ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1^ère $\;\ldots$

          et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une 1^ère intégration n'aboutissant pas, la 2^ème ne peut être faite mais $\;\ldots$
               il existe un « théorème de Fubini » précisant qu'il est possible de permuter les intégrations, la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant $\;{\big [}$on fige d'abord le paramètre $\;q\;$ et on intègre sur l'autre paramètre $\;p\;$ entre les bornes dépendant de $\;q$, si cette 1^ère intégration aboutit, on peut alors intégrer sur $\;q\;$ entre des bornes qui dépendent des limites spatiales $\;(\Gamma )\;$ de la portion de surface $\;(S)_{(\Gamma )}{\big ]}$.

Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle

Schéma précisant la portion de disque $\;{\big (}$entre corde et arc de cercle${\big )}\;$ dont on calcule l'aire

     On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon $\;R\;$ et de centre $\;O$, la corde étant à la distance $\;a\;$ de ce dernier c.-à-d. calculer l'intégrale surfacique «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}dS_{M}\;$» $\;{\big (}$voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé${\big )}$ :

• choix du « paramétrage de la surface » : repérage polaire de pôle $\;O$, centre du cercle, l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant porté par la médiatrice de la corde, orienté de la corde vers l'arc, d'où «$\;dS_{M}=\rho \,d\rho \,d\theta \;$» et «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=$ $\displaystyle \iint _{(S)_{(\Gamma )}}\rho \,d\rho \,d\theta \;$»,
• figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé :

          $\succ$ on fige $\;\rho \;$ et on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;-\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$ à $\;+\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$, $\;\theta _{\text{lim}}(\rho )\;$ étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et du cercle de rayon $\;\rho \;$ soit $\;\theta _{\text{lim}}(\rho )=\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)\;$ puis
                                   on intègre sur $\;\rho \;$ de $\;a\;$ à $\;R\;$ 
               d'où la succession d'intégrales emboîtées «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{a}^{R}{\rho \left[\displaystyle \int _{-\theta _{\text{lim}}(\rho )}^{+\theta _{\text{lim}}(\rho )}d\theta \right]d\rho }\;$» ;

               la 1^ère intégration sur $\;\theta \;$ ne présentant aucune difficulté on obtient «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{a}^{R}\rho \left[2\,\theta _{\text{lim}}(\rho )\right]d\rho =\displaystyle \int _{a}^{R}2\,\rho \,\arccos \!\left({\dfrac {a}{\rho }}\right)d\rho \;$», le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé, on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;

          $\succ$ on fige $\;\theta \;$ et on intègre sur $\;\rho \;$ de $\;\rho (\theta )\;$ à $\;R$, $\;\rho (\theta )\;$ étant la distance séparant $\;O\;$ du point de la corde d'angle polaire $\;\theta$ $\;{\big (}$voir schéma ci-dessus${\big )}\;$ soit $\;\rho (\theta )={\dfrac {a}{cos(\theta )}}\;$ puis
                                   on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;-\alpha \;$ à $\;+\alpha \;$ 
               d'où la succession d'intégrales emboîtées «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left[\displaystyle \int _{\rho (\theta )}^{R}\rho \;d\rho \right]d\theta }\;$» ;

               la 1^ère intégration sur $\;\rho \;$ ne présentant aucune difficulté on obtient «$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left\lbrace \left[{\dfrac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{\rho (\theta )}^{R}\right\rbrace d\theta }=$ $\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left\lbrace {\dfrac {R^{2}-\left[\rho (\theta )\right]^{2}}{2}}\right\rbrace d\theta }\;$» conduisant à la 2^ème intégrale $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=$ $\displaystyle \int _{-\alpha }^{+\alpha }{\left[{\dfrac {R^{2}}{2}}-{\dfrac {a^{2}}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\right]d\theta }\;$ dont le calcul ne pose a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\theta )}}\;$ est $\;\tan(\theta )\;$ d'où $\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=\left[{\dfrac {R^{2}}{2}}\,\theta -{\dfrac {a^{2}}{2}}\,\tan(\theta )\right]_{-\alpha }^{+\alpha }=R^{2}\,\alpha -a^{2}\,\tan(\alpha )\;$ avec $\;\alpha \;$ se déterminant dans le triangle rectangle $\;OHA\;$ où $\;A\;$ est l'extrémité supérieure de la corde et $\;H\;$ le projeté orthogonal de $\;O\;$ sur cette dernière soit $\;\alpha =\arccos \!\left({\dfrac {a}{R}}\right)\;$ et $\;\tan(\alpha )={\dfrac {HA}{OH}}=$ ${\dfrac {\sqrt {OA^{2}-OH^{2}}}{OH}}={\dfrac {\sqrt {R^{2}-a^{2}}}{a}}\;$ soit finalement

«$\;{\mathcal {A}}_{(S)_{(\Gamma )}}=R^{2}\,\arccos \!\left({\dfrac {a}{R}}\right)-a\,{\sqrt {R^{2}-a^{2}}}\;$».

Exemples d'aire de surface classique

     Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la portion de surface dont on cherche l'aire ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.

À retenir $\rightsquigarrow$ Aire de surfaces classiques

     Aire d'un disque de rayon $\;R\;$ :           «$\;{\mathcal {A}}_{\text{disque}}=\pi \,R^{2}\;$»,
     Aire intérieure d'une ellipse de demi-axes $\;a\;$ et $\;b\;$ :
                Aire d'un disque de rayon ~R~«$\;{\mathcal {A}}_{\text{int. d'une ellipse}}=\pi \,a\,b\;$»,
     Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H\;$ :
                Aire d'un disque de rayon ~R~«$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}=2\,\pi \,R\,H\;$»,
     Aire d'une sphère de rayon $\;R\;$ :        «$\;{\mathcal {A}}_{\text{sphère}}=4\,\pi \,R^{2}\;$».

     Établissement de l'aire d'un disque de rayon R : on utilise le repérage polaire, $\;\theta \;$ variant de 0 à $\;2\,\pi \;$ et $\;\rho \;$ de 0 à $\;R\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon $\;{\mathcal {A}}_{\text{disque}}=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,d\rho \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta$.

Présentation de l'affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;{\dfrac {b}{a}}\;$ transformant le cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ en ellipse de même centre $\;O$, de grand axe $\;Ox\;$ et de petit axe $\;Oy$

     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes a et b : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse, $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, introduit au paragraphe « conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy (justification) » du chap.$11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », $\;\theta \;={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{c}}}\right)}}$, l'abscisse angulaire de $\;M_{c}$, point générique du cercle de centre $\;O\;$ dont l'image par affinité d'axe $\;Ox$, de direction $\;Oy\;$ et de rapport $\;{\dfrac {b}{a}}\;$ est l'ellipse étudiée, cette abscisse angulaire variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ et la coordonnée radiale du point générique du disque de $\;0\;$ à $\;a$ ;
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes a et b : les coordonnées de $\;M$, point générique de l'ellipse étant, quant à elles, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=b\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\theta \;={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{c}}}\right)}}\;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi$, le point générique de l'intérieur de l'ellipse à $\;\theta \;$ figé $\;{\big [}$donc à $\;x=a\;\cos(\theta )\;$ figé${\big ]}\;$ étant d'ordonnée $\;\lambda \;\sin(\theta )\;$ avec $\;\lambda \;$ variant de $\;0\;$ à $\;b$, l'aire élémentaire de l'intérieur de l'ellipse s'écrit alors «$\;dS=\left[\sin(\theta )\;d\lambda \right]\times \left[-dx\right]=\left[\sin(\theta )\;d\lambda \right]\times \left\lbrace -d\!\left[a\;\cos(\theta )\right]\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}=$ $\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }\left[\displaystyle \int _{\lambda \,=\,0}^{\lambda \,=\,b}\sin(\theta )\;d\lambda \right]d\!\left[-a\;\cos(\theta )\right]=\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }\left[b\;\sin(\theta )\right]a\;d\!\left[-\cos(\theta )\right]=a\;b\;\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }\sin ^{2}(\theta )\;d\theta =a\;b\;\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }{\dfrac {1-\cos(2\;\theta )}{2}}\;d\theta \;$» soit encore «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}$ $=a\;b\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\cancel {-\;\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,2\,\pi }{\dfrac {\cos(2\;\theta )\;d\theta }{2}}}}\right\rbrace \;$» soit finalement «$\;{\mathcal {A}}_{\,{\text{int. de l'ellipse}}}=\pi \;a\;b\;$».

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H : on utilise le repérage cylindro-polaire, $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ étant suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, «$\;dS=dM_{\theta }\,dM_{z}=R\,d\theta \,dz\;$», $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ et $\;z\;$ de $\;0\;$ à $\;H\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon «$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{H}dz\times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\,d\theta \;$».

     Établissement de l'aire d'une sphère de rayon R : on utilise le repérage sphérique, $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ étant suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, «$\;dS=dM_{\theta }\,dM_{\varphi }=R^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$», $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\pi \;$ et $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon «$\;{\mathcal {A}}_{\text{sphère}}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R^{2}\,d\varphi =$ $\left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\pi }\times \left(2\,\pi \,R^{2}\right)$ $=2\times \left(2\,\pi \,R^{2}\right)\;$».

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur H et de demi-angle au sommet α : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône $\;O\;$» et d'axe « l'axe de révolution du cône $\;Oz\;$ orienté du sommet vers la base », $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ étant suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, «$\;dS=$ $dM_{r}\,dM_{\varphi }=$ $r\,\sin(\alpha )\,dr\,d\varphi \;$», $\;\varphi \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ et $\;r\;$ de $\;0\;$ à $\;{\dfrac {H}{\cos(\alpha )}}\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon «$\;{\mathcal {A}}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{\frac {H}{\cos(\alpha )}}r\,dr\times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\sin(\alpha )\,d\varphi =\left[{\dfrac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac {H}{\cos(\alpha )}}\times \left[2\,\pi \,\sin(\alpha )\right]$ $={\dfrac {H^{2}}{\cos ^{2}(\alpha )}}\times \pi \,\sin(\alpha )=\pi \,H^{2}\,{\dfrac {\tan(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\;$».

Exemple de calcul de flux de champ vectoriel

Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface

     Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
     l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle $\;{\big [}$c'est une onde électromagnétique «$\;({\vec {E}}\,,\,{\vec {B}})\;$» définie en chaque point $\;M\;$ de l'espace et à chaque instant $\;t$, constituée d'une multitude de composantes monochromatiques${\big ]}$, elle se propage dans le vide à la célérité $\;c\;$ de façon isotrope ;

     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ se propageant dans la direction $\;{\vec {u}}$, on associe un vecteur d'onde «$\;{\vec {k}}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{0}}}\,{\vec {u}}\;$», la direction de ce dernier correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et étant $\;\perp \;$ à $\;({\vec {E}},\,{\vec {B}})\;$ ;

     la puissance lumineuse associée à son transport est caractérisée par un vecteur « le vecteur de Poynting » défini à partir des deux composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde selon «$\;{\vec {\Pi }}=$ ${\dfrac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\;$», lequel $-$ l'onde dans le vide étant transversale $-$ est colinéaire à $\;{\vec {k}}$, c.-à-d. porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;

     la norme du vecteur de Poynting d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse que cette composante transporte par unité de surface de section droite et si on souhaite « définir la puissance correspondante reçue par une surface » il convient qu'elle soit définie « à partir du vecteur de Poynting de cette composante » mais aussi « à partir de son orientation relativement à la surface », d'où

la définition de la puissance $\;{\big (}$instantanée${\big )}\;$ reçue par la surface $\;(S)\;$ comme
« flux du vecteur de Poynting à travers cette surface (S) orientée » «$\;\Phi _{(S)}\!\left({\vec {\Pi }},\,t\right)=\displaystyle \iint _{(S)}\left[{\vec {\Pi }}(M,\,t)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{M}\right]\;$».

Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés

     On se propose de calculer le flux du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\;$ à travers « une calotte sphérique » $\;(S)_{\text{calotte}}\;$ de demi-angle d'ouverture $\;\alpha \;$ d'une sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R\;$ ;

     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;Oz\;$» s'impose, le point $\;M\;$ de la calotte étant de coordonnées sphériques $\;(R,\,\theta ,\,\varphi )\;$ avec $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$ et $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi$, le vecteur surface élémentaire au point $\;M\;$ étant «$\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=$ $R^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \,{\vec {u}}_{r}\;$» et le champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ ayant pour composantes sphériques dans la base locale de $\;M$, «$\;{\vec {A}}(M)=$ $A_{0}\,{\vec {u}}_{z}=A_{0}\,\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{r}-A_{0}\,\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\;$» ;

     le flux de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers $\;(S)_{\text{calotte}}\;$ étant défini par «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\!\cdot {\overrightarrow {dS}}_{M}=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,{\vec {u}}_{z}\!\cdot \left[R^{2}\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \,{\vec {u}}_{r}\right]\;$» se réécrit «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=\displaystyle \iint \limits _{(S)_{\text{calotte}}}A_{0}\,\cos(\theta )\,R^{2}\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi$ $=\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\left\lbrace A_{0}\,R^{2}\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\left[\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi \right]d\theta \right\rbrace \;$» soit encore, l'intégrale sur $\;\varphi \;$ valant $\;2\,\pi$, «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }2\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\,d\theta \;$», cette dernière intégrale pouvant se calculer entre autres par linéarisation selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{\alpha }2\,\cos(\theta )\,\sin(\theta )\,d\theta =\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(2\,\theta )\,d\theta =\left[{\dfrac {-\cos(2\,\theta )}{2}}\right]_{0}^{\alpha }={\dfrac {1-\cos(2\,\alpha )}{2}}\;$» soit «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,{\dfrac {1-\cos(2\,\alpha )}{2}}\;$» que l'on peut encore écrire, à l'aide de formule trigonométrique «$\;\Phi _{(S)_{\text{calotte}}}({\vec {A}})=A_{0}\,\pi \,R^{2}\,\sin ^{2}(\alpha )$».

Notion de surface élémentaire semi-intégrée

     Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :

• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur une sphère $\;(S)\;$ de rayon $R\;$ ne dépend pas de la longitude $\;\varphi$ $\;{\big (}$mais dépend de la colatitude $\;\theta {\big )}$, on peut envisager une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «$\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=2\,\pi \,R\,\sin(\theta )\,R\,d\theta \;$» résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=R\,\sin(\theta )\,d\varphi \,R\,d\theta \;$ ; «$\left.{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint _{(S)}f(\theta )\,dS\\\\\end{array}}\right.\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
  «$\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\theta )\,dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}\;$» ou encore «$\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\theta )\,2\,\pi \,R\,\sin(\theta )\,R\,d\theta \;$» ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur la surface latérale d'un cône de révolution $\;(K)\;$ de sommet $\;O$, d'axe $\;Oz\;$ et de demi-angle au sommet $\;\alpha \;$ ne dépend pas de la longitude $\;\varphi$ $\;{\big (}$mais dépend du rayon polaire $\;r{\big )}$, on peut envisager une « couronne tronconique élémentaire comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «$\;dS_{{\text{couronne tronconique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=$ $2\,\pi \,r\,\sin(\alpha )\,dr\;$» résultant de l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=r\,\sin(\alpha )\,d\varphi \,dr\;$ ; «$\;\displaystyle \iint _{(K)}f(r)\,dS\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
  «$\;\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}}f(r)\,dS_{{\text{couronne troncon. sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$» ou encore «$\;\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}}f(r)\,2\,\pi \,r\,\sin(\alpha )\,dr\;$» ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur un tuyau cylindrique de révolution $\;(T)\;$ d'axe $\;Oz$, de rayon $R\;$ et de hauteur $H\;$ ne dépend pas de l'abscisse angulaire $\;\theta$ $\;{\big (}$mais dépend de la cote $\;z{\big )}$, on peut envisager un « tuyau cylindrique élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ comme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «$\;dS_{{\text{tuyau cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=$ $2\,\pi \,R\,dz\;$» résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ de l'aire élémentaire $\;dS=R\,d\theta \,dz\;$ ; «$\;\displaystyle \iint _{(T)}f(z)\,dS\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée
  «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,dS_{{\text{tuyau cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}\;$» ou encore «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,2\,\pi \,R\,dz\;$».

Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)

Définition

     L'élément de volume en un point $\;M\;$ de l'« expansion tridimensionnelle » $\;({\mathcal {V}})$, noté $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$, est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en $\;M\;$ de cette expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})$, $\;{\overrightarrow {dM_{1}}}$, $\;{\overrightarrow {dM_{2}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM_{3}}}\;$ selon

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{1}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{2}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{3}}}\;$».

Propriété

     Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{2}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{3}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{1}}}\\{\text{ou encore}}\\d{\mathcal {V}}_{M}=\left({\overrightarrow {dM_{3}}}\wedge {\overrightarrow {dM_{1}}}\right)\!\cdot {\overrightarrow {dM_{2}}}\end{array}}\right.$.

Pratique courante

     À partir d'une base orthonormée « directe » $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ de l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})$, on considère le plus souvent les déplacements élémentaires de $\;M\;$ de cette expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ construits le long de chacun des vecteurs de base, soit $\;{\overrightarrow {dM}}_{1}=dM_{1}\,{\vec {u}}_{1}$, $\;{\overrightarrow {dM}}_{2}=dM_{2}\,{\vec {u}}_{2}$, $\;{\overrightarrow {dM}}_{3}=dM_{3}\,{\vec {u}}_{3}\;$ et on en déduit l'élément de volume en $\;M$, $\;d{\mathcal {V}}_{M}=dM_{1}\,dM_{2}\,dM_{3}\left({\vec {u}}_{1}\wedge {\vec {u}}_{2}\right)\!\cdot {\vec {u}}_{3}\;$ soit encore, avec $\;\left({\vec {u}}_{1}\wedge {\vec {u}}_{2}\right)\!\cdot {\vec {u}}_{3}=1\;$,

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dM_{1}\,dM_{2}\,dM_{3}\;$».

Expression en paramétrage cartésien

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en cartésien

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz\;$».

Expression en paramétrage cylindro-polaire

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en cylindro-polaire

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\;$».

Expression en paramétrage sphérique

À retenir $\rightsquigarrow$ volume élémentaire en sphérique

«$\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;dr\;d\theta \;d\varphi \;$».

Notions d'intégrale volumique

     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou « celle des intégrales surfaciques » vue ci-dessus dans ce chapitre mais dans les intégrales volumiques, le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle au lieu de se déplacer sur une courbe ou une surface.

Les deux types d'intégrales volumiques

     Dans une intégrale volumique $\;{\big (}$ou de volume${\big )}\;$ on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction $-$ scalaire ou vectorielle $-$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » $\;({\mathcal {V}})\;$ usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;

          la contribution élémentaire d'une fonction scalaire $\;f(M)$ est «$\;f(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» où $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est le volume élémentaire en $\;M\;$ de $\;({\mathcal {V}})\;$ et

  la contribution élémentairecelle d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ est «$\;\delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {A}}_{V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» où $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ est toujours le volume élémentaire en $\;M\;$ de $\;({\mathcal {V}})$ ;

          les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant $\;(\Sigma )\;$ la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})$, respectivement :

«$\;\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}f(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou «$\;{\vec {\mathcal {A}}}\!\left[({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\right]=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}}{\vec {A}}_{V}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» définissant le champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}\;$ de cette portion d'expansion tridimensionnelle
                                                                                                                                                           dont le champ vectoriel $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ est la densité volumique ;

          après le choix d'un paramétrage de $\;M\;$ dans la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}$, paramètres notés $\;(p_{1},\,p_{2},\,p_{3})\;$, l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, la méthode étant identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique et rappelée au paragraphe suivant.

Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique

Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle

     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}\;$ par $\;p_{1}$, $\;p_{2}\;$ et $\;p_{3}$, on procède comme suit :

          on fige deux des paramètres par exemple $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}\;$ et on intègre sur le dernier $\;p_{3}\;$ entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, des deux 1^ers paramètres figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, le résultat de cette 1^ère intégration dépendant, dans ce cas, de ces deux paramètres figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, puis

          on libère un seul des deux paramètres par exemple $\;p_{2}\;$ et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent, sauf cas particulier, du dernier paramètre figé $\;p_{1}$, le résultat de cette 2^ème intégration dépendant dans ce cas du dernier paramètre figé $\;p_{1}$, enfin

          on libère le dernier paramètre $\;p_{1}\;$ et on intègre sur lui entre les bornes qui dépendent des limites spatiales de $\;p_{1}\;$ sur $\;(\Sigma )\;$ de la portion d'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})_{(\Sigma )}$ ;

     dans le cas où la 1^ère intégrale sur le paramètre $\;p_{3}\;$ se fait entre des bornes qui dépendent au moins d'un des paramètres figés $\;p_{1}\;$ et $\;p_{2}$, les trois intégrales sont dites « emboîtées », le calcul des deux autres intégrales nécessitant de connaître le résultat de la 1^ère $\;\ldots$

     et, dans le cas où l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduirait à une 1^ère intégration n'aboutissant pas, les deux autres ne peuvent être faites mais $\;\ldots$
          il existe un « théorème de Fubini » précisant qu'il est possible de permuter les intégrations, la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant.

Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle

     On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales sur un intervalle successives mais en une intégrale surfacique suivie d'un intégrale sur un intervalle, en effet figer un paramètre parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres paramètres, c.-à-d. à une intégrale surfacique, cela peut donc être plus rapide si, dans l'intégrale surfacique, on reconnaît une intégrale de résultat connu, dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante :

          figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat connu $\;{\big (}$correspondant donc à une intégration sur les deux autres paramètres laissés libres${\big )}$, puis

          libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation.

Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique

     Préliminaire : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle est une intégrale volumique de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la portion d'expansion tridimensionnelle dont on cherche le volume ; les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation.

À retenir $\rightsquigarrow$ Volume d'expansions tridimensionnelles classiques

     Volume d'un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H$ :
                                             Volume d'une boule de rayon ~R~«$\;{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}=\pi \,R^{2}\,H\;$»,

     Volume d'un cône de révolution de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$ :
                                             Volume d'une boule de rayon ~R~«$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {\pi \,R^{2}\,H}{3}}\;$» ou
                                             Volume d'une boule de rayon ~R~«$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {1}{3}}\,{\mathcal {V}}_{{\text{cylindre de révol. de }}{\hat {\text{m}}}{\text{ param.}}}\;$»,

     Volume d'une boule de rayon $\;R$ :                                        «$\;{\mathcal {V}}_{\text{boule}}={\dfrac {4}{3}}\,\pi \,R^{3}\;$».

     Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de hauteur $\;H$ : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ l'axe de révolution du cylindre et pour pôle $\;O\;$ le centre de la base inférieure, le volume élémentaire étant «$\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=\rho \,d\rho \,d\theta \,dz\;$» avec $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi$, $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$ et $\;z\;$ de $\;0\;$ à $\;H\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cylindre de révol.}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{R}\rho \,d\rho \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{H}dz\;$».

     Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône $\;O\;$» et d'axe « l'axe de révolution $\;Oz\;$ orienté vers la base du cône », le volume élémentaire étant «$\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$», toutefois les intégrales seront partiellement emboîtées ;
          on fige $\;r\;$ et $\;\theta$, on intègre sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ puis
          on libère $\;r\;$ en laissant $\;\theta \;$ figé et on intègre sur $\;r\;$ de $\;0\;$ à $\;r_{\text{max}}(\theta )\;$ et enfin
          on intègre sur $\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$, soit
          «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}=\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\left[\displaystyle \int _{0}^{r_{\text{max}}(\theta )}r^{2}\,dr\right]d\theta \right\rbrace \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi =2\,\pi \,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\,{\dfrac {\left[r_{\text{max}}(\theta )\right]^{3}}{3}}\,d\theta ={\dfrac {2\,\pi }{3}}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\sin(\theta )\,{\dfrac {H^{3}}{\cos ^{3}(\theta )}}\,d\theta =$ ${\dfrac {2\,\pi \,H^{3}}{3}}\,\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\dfrac {d\left[-\cos(\theta )\right]}{\cos ^{3}(\theta )}}={\dfrac {2\,\pi \,H^{3}}{3}}\left[{\dfrac {1}{2\,\cos ^{2}(\theta )}}\right]_{0}^{\alpha }\;$» ou encore «$\;{\mathcal {V}}_{\text{cône de révol.}}={\dfrac {\pi \,H^{3}}{3}}\left[{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}-1\right]={\dfrac {\pi \,H^{3}}{3}}\,\tan ^{2}(\alpha )\;$» soit finalement, en éliminant «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{H}}\;$» le résultat énoncé.

     Établissement du volume d'une boule de rayon $\;R$ : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule $\;O\;$», le volume élémentaire étant «$\;d{\mathcal {V}}_{M}$ $=r^{2}\,dr\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$», $\;\varphi \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi$, $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\pi \;$ et $\;r\;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$ $\Rightarrow$ les intégrales sont indépendantes selon «$\;{\mathcal {V}}_{\text{boule}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{R}r^{2}\,dr\times \displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\,d\theta \times \displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }d\varphi ={\dfrac {R^{3}}{3}}\times \left[-\cos(\theta )\right]_{0}^{\pi }\times 2\,\pi ={\dfrac {R^{3}}{3}}\times 2\times 2\,\pi \;$».

Autres exemples d'intégrale volumique

     $\;f(M)\;$ peut être une grandeur scalaire volumique comme la masse volumique «$\;\mu (M)={\dfrac {dm}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» ou la charge volumique «$\;\rho (M)={\dfrac {dq}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» s'exprimant respectivement en $\;kg\!\cdot \!m^{-3}\;$ ou en $\;C\!\cdot \!m^{-3}$, permettant de calculer la masse ou la charge de l'expansion volumique respectivement par l'intégrale volumique «$\;m_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou «$\;q_{({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ;

     $\;{\vec {A}}_{V}(M)\;$ peut être une grandeur vectorielle volumique comme le poids volumique «$\;\mu (M)\,{\vec {g}}={\dfrac {dm\,{\vec {g}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» ou la force électrique volumique «$\;\rho (M)\,{\vec {E}}={\dfrac {dq\,{\vec {E}}}{d{\mathcal {V}}}}(M)\;$» s'exprimant en $\;N\!\cdot \!m^{-3}$, permettant de calculer le poids de l'expansion volumique ou la force électrique s'exerçant sur elle respectivement par l'intégrale volumique «$\;m_{({\mathcal {V}})}\,{\vec {g}}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\mu (M)\,{\vec {g}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$» ou «$\;{\vec {F}}_{{\text{élec sur }}({\mathcal {V}})}=\displaystyle \iiint _{({\mathcal {V}})}\rho (M)\,{\vec {E}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$».

Notion de volume élémentaire semi-intégré

Présentation

     Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré » peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples :

• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur une boule $\;(B)\;$ de rayon $R\;$ ne dépend ni de la longitude $\;\varphi$, ni de la colatitude $\;\theta$ $\;{\big (}$mais dépend de la rayon polaire $\;r{\big )}$, on peut envisager une « couche sphérique élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ comme volume élémentaire semi intégré », de volume «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{couche sphérique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=4\,\pi \,r^{2}\,dr\;$» résultant des intégrations sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ et sur $\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;\pi \;$ du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=r\,\sin(\theta )\,d\varphi \,r\,d\theta \;dr\;$ ; «$\;\displaystyle \iiint _{(B)}f(r)\,d{\mathcal {V}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
  «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{couche sphérique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$» ou encore «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,4\,\pi \,r^{2}\,dr\;$» ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur un cylindre de révolution $\;(C)\;$ d'axe $\;Oz$, de rayon $R\;$ et de hauteur $H\;$ ne dépend ni du rayon polaire $\;\rho \;$ ni de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ $\;{\big (}$mais dépend de la cote $\;z{\big )}$, on peut envisager une « tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ comme volume élémentaire semi intégré », de volume «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=\pi \,R^{2}\,dz\;$» résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ et sur $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$ du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=\rho \,d\theta \,d\rho \,dz\;$ ; «$\;\displaystyle \iiint _{(C)}f(z)\,d{\mathcal {V}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
  «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylind. sur }}\left[z,\,z+dz\right]}\;$» ou encore «$\;\displaystyle \int _{0}^{H}f(z)\,\pi \,R^{2}\,dz\;$» ;
• quand la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ sur un cylindre de révolution $\;(C)\;$ d'axe $\;Oz$, de rayon $R\;$ et de hauteur $H\;$ ne dépend ni de la cote $\;z\;$ ni de l'angle polaire $\;\theta \;$ $\;{\big (}$mais dépend du rayon polaire $\;r{\big )}$, on peut envisager une « couche cylindrique élémentaire de hauteur${\underline {\;H\;}}$comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ comme volume élémentaire semi intégré », de volume «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{couche cylindrique sur }}\left[r,\,r+dr\right]}=$ $2\,\pi \,r\,H\,dr\;$» résultant de l'intégration sur $\;\theta \;$ de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ et sur $\;z\;$ de $\;0\;$ à $\;H\;$ du volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}=\rho \,d\theta \,d\rho \,dz\;$ ; «$\;\displaystyle \iiint _{(C)}f(r)\,d{\mathcal {V}}\;$» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré
  «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,d{\mathcal {V}}_{{\text{couche cylind. sur }}\left[r,\,r+dr\right]}\;$» ou encore «$\;\displaystyle \int _{0}^{R}f(r)\,2\,\pi \,r\,H\,dr\;$».

Application au calcul du volume d'un cône de révolution

Demi-coupe d'un cône de révolution avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume

     Soit à calculer le volume d'un cône de révolution $\;(K)\;$ de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$ en utilisant le « repérage cylindro-polaire » de pôle $\;O$, le sommet du cône et d'axe $\;Oz$, l'axe de révolution orienté du sommet vers la base ;
     l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par $\;\theta \;$ étant « indépendante de $\;\theta \;$» plus précisément valant «$\;\rho (z)=z\;\tan(\alpha )\;$» où $\;\alpha \;$ est le demi-angle au sommet du cône et
     la fonction à intégrer $\;f(M)\;$ étant de valeur $\;1\;$ pour tout point $\;M\;$ d'angle polaire $\;\theta _{M}\;$ respectant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho _{M}\leqslant \rho (z)\\z_{M}=z\end{array}}\right.\;$ c.-à-d. étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte $\;z$, de rayon $\;\rho (z)\;$ et d'épaisseur $\;dz\;$»,
     il est possible de considérer la « tranche cylindrique élémentaire de côte $\;z$, de rayon $\;\rho (z)\;$ et d'épaisseur $\;dz\;$» comme « volume semi-intégré » de volume «$\;d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=$ $\pi \,\left[\rho (z)\right]^{2}\,dz\;$» d'où l'expression du volume du cône de révolution $\;(K)\;$ de hauteur $\;H\;$ et dont la base est de rayon $\;R\;$

«$\;{\mathcal {V}}_{(K)}=\displaystyle \iiint _{(K)}d{\mathcal {V}}=\displaystyle \int _{0}^{H}d{\mathcal {V}}_{{\text{tranche cylindrique sur }}\left[z,\,z+dz\right]}=\displaystyle \int _{0}^{H}\pi \,\left[\rho (z)\right]^{2}\,dz=$ $\pi \,\tan ^{2}(\alpha )\,\displaystyle \int _{0}^{H}z^{2}\,dz=\pi \,\tan ^{2}(\alpha )\,{\dfrac {H^{3}}{3}}\;$»
ou, en éliminant «$\;\tan(\alpha )={\dfrac {R}{H}}\;$»,
«$\;{\mathcal {V}}_{(K)}={\dfrac {1}{3}}\,\pi \,R^{2}\,H\;$».