Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

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     La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un point fixe

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen

     Partant de la r.f.d.n. appliquée au point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, «$\;\sum _{k}{\vec {F}}_{k}={\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» dans laquelle $\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ est la quantité de mouvement du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \;$ l'ensemble des forces appliquées au point $\;M$, on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$ $\;{\big [}$dans lequel $\;O\;$ est, pour l'instant, un point quelconque de $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» qui se réécrit, compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ;

     dans la mesure où $\;O\;$ est choisi fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, on vérifie que le 2^nd membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$», est aussi la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» avec $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ en effet :

          dans la mesure où O est choisi fixe dans R,$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle, $\;O\;$ étant un point fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ est le vecteur position de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et par suite «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» le vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$» de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «$\;{\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)=$ ${\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)={\vec {0}}\;$» soit «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» ;

     on vérifie que le 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}\;$» est égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}=$ $\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» ;

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sous la forme

«$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$ si $\;O\;$ est un point fixe de $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ».

Causes de modification du vecteur moment cinétique du point matériel M par rapport à un point origine O fixe dans le référentiel d’étude

     D'après l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point $\;O\;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen

«$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$»

     et d’après l'expression symbolique de tout théorème de la dynamique d'un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen

$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la cause de modification de toute}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la dérivée temporelle}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace$,

     on en déduit que

les moments vectoriels des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ calculés par rapport au point origine $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»
sont les causes de modification
du moment cinétique vectoriel du point $\;M\;$ par rapport à ce même point origine $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left(M,\,t\right)\;$».

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen

     La relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ du paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre étant établie pour $\;O\;$ quelconque est donc valable sous cette forme en remplaçant $\;O\;$ par $\;A\;$ mobile dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen soit

«$\;{\begin{array}{c}\sum _{k}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\\{\text{dans laquelle}}\;A\;{\text{est un point mobile de}}\;{\mathcal {R}}\end{array}}\;$» ;

     toutefois, avec $\;A\;$ mobile dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» est a priori «$\;\neq \;$ de $\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\;$» en effet :

          toutefois, avec A mobile dans le référentiel R,$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ avec $\;{\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)-{\overrightarrow {OA}}(t)$ $\;{\big [}$dans laquelle $\;O$, point fixe de $\;{\mathcal {R}}$, sert d'origine aux vecteurs position${\big ]}\;$ par utilisation de la relation de Chasles $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OA}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{\!M}(t)-{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ encore égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «$\;{\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}-{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)=\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}-{\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)=-{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» ;

     comme «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}\;$» est encore égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à $\;M\;$ par rapport à $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}=\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»,

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sous la forme

«$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)-{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\;$
     si $\;A\;$ est un point mobile de $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen »                              si $\;A\;$ est un point mobile de $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ».

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel

Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant par rapport à $\;O\;$ des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M,\,t)\;$» soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Voir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de centre « C », de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné

     Ayant établi au paragraphe « réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l'expression du vecteur moment cinétique d'un point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)$, moment par rapport au centre $\;C\;$ de la trajectoire, selon

$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}\!\left(M,\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ avec
$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ le moment d'inertie de $\;M$ $\;{\big (}$de masse $\;m{\big )}\;$ relativement à l'axe de rotation $\;\Delta$,

     on en déduit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}(M)}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)$, le moment d'inertie de $\;M\;$ relativement à $\;\Delta \;$ étant une constante, puis
     on en déduit dans la mesure où le centre $\;C\;$ du cercle est nécessairement fixe et
     on en déduit dans la mesure où le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen,
     on en déduit l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel au point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de centre $\;C$, de rayon $\;R\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en prenant comme point origine des moments le centre $\;C\;$ du cercle, soit

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen où le point matériel étudié $\;M$, de masse $\;m$, a un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R\;$ et prenant pour origine des vecteurs moments le centre $\;C\;$ du cercle décrit par $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant par rapport à $\;C\;$ des forces appliquées à $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }(M)$ $=m\;R^{2}\;$» du point $\;M\;$ relativement à l'axe de rotation $\;\Delta \;$ par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «$\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» de $\;M\;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t\;$ soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

Complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant le point $\;A$, origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel $\;M$ $\;{\big (}$forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant par rapport à $\;A\;$ des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point $\;A\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$» et du produit vectoriel «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ dans lequel $\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur quantité de mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$» soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$».

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement au point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)=$ ${\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;$»,

     on fait la somme de ces $\;N\;$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• « le 2^ème terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$» et
• « le 2^ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle », à «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t$.

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;O\;$ appliqué au système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» à l'instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière

     Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre $\;{\big (}$c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique, surfacique ou curviligne${\big )}$, le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine $\;O\;$ d'évaluation des moments est fixe se généralise aisément :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;O\;$ appliqué à l'instant $\;t\;$ à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)\;$», «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$» ou «$\;\left(\Gamma \right)\;$ de masse linéique $\;\lambda (M)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)\;$», les vecteurs

• moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ du système ou $\;{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=$ $\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des densités volumiques de forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion volumique du système et
• moment cinétique du système se calcule par rapport à $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit, en cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$», les vecteurs

• moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}\;$ avec $\;d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,dS_{M}\right)\;$ du système ou $\;{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=$ $\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des densités surfaciques de forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion surfacique du système et
• moment cinétique du système se calcule par rapport à $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit, en cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$ avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$ de masse linéique $\;\lambda (M)\;$», les vecteurs

• moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$ du système ou $\;{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=$ $\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des densités linéiques de forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion linéique du système et
• moment cinétique du système se calcule par rapport à $\;O\;$ selon $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit, en cinétique newtonienne, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Justification $\;{\big (}$exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle${\big )}$ :
     Justification $\;\succ \;$ on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$, les vecteurs moments ayant pour point origine $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)=$ ${\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{dt}}(t)\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique $\;M$, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)\right\rbrace \;$ $\;=\;$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\dfrac {\partial {\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{\partial t}}\right\rbrace _{\!M}(t)\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ le 1^er terme du 1^er membre définissant le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;O\;$ appliqué au système de matière à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ le 2^ème terme du 1^er membre définissant le vecteur moment résultant des forces intérieures par rapport à $\;O\;$ appliqué au système de matière à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ le 2^ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique $\;M\;$ et de la dérivation temporelle », en «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace }{dt}}(t)\;$», l'intégrale volumique définissant alors le vecteur moment cinétique du système de matière par rapport au point origine $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ soit $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]={\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)$ : C.Q.F.J.

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point mobile $\;A\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen vue, plus haut dans le chapitre, au paragraphe « complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen » à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement au point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)=$ ${\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$»,

     on les ajoute «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• « le 2^ème terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$»,
• « le 1^er terme du 2^ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle », à «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point $\;A\;$ au même instant $\;t\;$ et enfin
• « le 2^ème terme du 2^ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» reconnaissant dans le 2^ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système de points matériels «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où la réécriture de ce terme selon «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;

     finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, prend la forme «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où l'énoncé $\;{\big (}$qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;A\;$ appliqué à un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ à l'instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point $\;A\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» et du produit vectoriel «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ dans lequel $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$».

     Remarque : Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre $\;{\big (}$c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique, surfacique ou curviligne${\big )}$, l'adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine $\;A\;$ d'évaluation des moments y est mobile se généralise sans modification $\;{\Big [}$à l'exception des définitions du vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;A\;$ appliqué au système continu fermé de matière «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$», du vecteur moment cinétique par rapport à $\;A\;$ du système étudié «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$» et du vecteur résultante cinétique du système considéré «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$», lesquelles résultent du remplacement de la somme discrète des grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique, surfacique ou curviligne des grandeurs associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique${\Big ]}$.

Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen

     D'après le paragraphe précédent, le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels sous la forme «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» est donc, a priori, inapplicable si le point origine $\;A\;$ du calcul des vecteurs moments est mobile dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen car le théorème adapté à utiliser est «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» $\;{\big (}$non à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ $\;\ldots$

     toutefois sachant qu'en cinétique newtonienne «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» dans laquelle «$\;G\;$ est le C.D.I. du système discret fermé de points matériels », on en déduit que si le point origine $\;A\;$ se déplace parallèlement au C.D.I. du système $\;{\big \{}$c'est-à-dire si $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {V}}_{\!G}(t){\big \}}$, le théorème du moment cinétique vectoriel est encore applicable à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec A mobile sous la forme «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\\{\text{dans la mesure où }}\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;\propto \;{\vec {V}}_{\!G}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$», le cas particulier le plus fréquent étant celui où le point origine $\;A\;$ est le C.D.I. $\;G\;$ du système étudié d'où l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour point origine de calcul des moments, le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big (}$complément à savoir justifier si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I. $\;G\;$ du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ étudié, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ appliqué à ce système à l'instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma _{G}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$»

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un axe fixe

     Nous cherchons à trouver l'expression de la r.f.d.n. $\;{\big [}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel qui en est une conséquence${\big ]}\;$ appliqué(e) à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ fixe.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen

     Choisissant un point origine $\;O\;$ fixe sur l'axe fixe $\;\Delta \;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, on peut appliquer au point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ le théorème du moment cinétique vectoriel $\;{\big \{}$qui n'est, rappelons-le, que l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point origine $\;O\;$ fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen${\big \}}\;$ soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» dans laquelle $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M,\,t)\;$ est le moment cinétique vectoriel du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \;$ l'ensemble des forces appliquées au point $\;M$, on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta \;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace \sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» qui se réécrit, compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle utilisée dans le membre de gauche et du caractère constant de $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ utilisée dans le membre de droite «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace ={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;

     dans la mesure où $\;O\;$ est choisi sur $\;\Delta$, on vérifie que le 2^nd membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, «$\;{\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$», est aussi la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de $\;M\;$ par rapport à $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit «$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{\!\Delta }(M,\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\\{\text{si }}\;O\;\in \;\Delta \end{array}}\right\rbrace \;$ ;

     on vérifie que le 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$» est égal à la somme des moments scalaires des forces appliquées à $\;M\;$ par rapport à $\;\Delta \;$ soit «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =$ $\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» ;

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n. $\;{\big [}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel${\big ]}\;$ appliqué(e) à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sous la forme

«$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$ si $\;\Delta \;$ est un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen ».

Causes de modification du moment cinétique scalaire du point matériel M par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d’étude

     D'après l'expression de la r.f.d.n. $\;{\big [}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel${\big ]}\;$ appliqué(e) à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen

«$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$

     et d’après l'expression symbolique de tout théorème de la dynamique d'un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen

$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la cause de modification de toute}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la dérivée temporelle}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace$,

     on en déduit que

les moments scalaires des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ calculés par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»
sont les causes de modification
du moment cinétique scalaire du point $\;M\;$ par rapport à ce même axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }(M,\,t)\;$».

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Soit un axe $\;\Delta$, mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et un point quelconque $\;A\;$ sur $\;\Delta$, choisi comme origine des moments vectoriels, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel $\;M\;$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ avec $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen » ;

     orientant l'axe $\;\Delta$, de mouvement quelconque dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous multiplions scalairement par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ la relation $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ membre à membre $\Rightarrow$ «$\;\left[\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ ${\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er membre », après avoir utilisé la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, la somme des moments scalaires des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ relativement à l'axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;\left[\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\sum _{k}\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]$ $=\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»,
• « le 1^er terme du 2^ème membre » égal, dans la mesure où Δ garde une direction constante $\;{\big [}$c'est-à-dire où le mouvement de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ est une translation${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$», à «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ ${\dfrac {d\!\left[{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du point matériel $\;M\;$ par rapport au même axe $\;\Delta$ $\;{\big (}$en translation dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ au même instant $\;t\;$ et enfin
• « le 2^ème terme du 2^ème membre » encore égal, par invariance du produit mixte par permutation circulaire, à «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» ou, en notant $\;{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\;$ la vitesse de translation de $\;\Delta \;$ perpendiculairement à sa direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)={\vec {V}}_{\!\Delta }(t)+{\vec {V}}_{{\text{gliss. de }}A\,{\text{sur }}\Delta }(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)$ $={\vec {u}}_{\Delta }\wedge \left[{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)+{\vec {V}}_{{\text{gliss. de }}A\,{\text{sur }}\Delta }(t)\right]={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\;{\cancel {+\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{{\text{gliss. de }}A\,{\text{sur }}\Delta }(t)}}\;$ par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle d'une part et par nullité du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires d'autre part, « ce 2^ème terme du 2^ème membre » s'écrit encore «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$», terme nul si le mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ se fait dans le plan $\;\left\lbrace \Pi _{\Delta }(t)\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right\rbrace \;$ et non nul si le mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ a une composante $\;\perp \;$ au plan $\;\left\lbrace \Pi _{\Delta }(t)\right\rbrace \;$,

     d'où la forme de la r.f.d.n. $\;{\big (}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel${\big )}\;$ appliqué(e) à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe mobile $\;\Delta \;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\;{\big (}$forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment scalaire des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ relativement à $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }(M,\,t)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\Delta }\!\left(M,\,t\right)\;$» et de la grandeur vectorielle définie par le produit mixte «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» dans lequel $\;{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\;$ est le vecteur vitesse de translation de l'axe $\;\Delta \;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$en absence de glissement parallèlement à lui-même${\big )}\;$ et $\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ le vecteur quantité de mouvement du point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }(M,\,t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left(M\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$».

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel

Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$» soit «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Voir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée

     Ayant établi au paragraphe « évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ du cercle » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l'expression du moment cinétique scalaire d'un point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de rayon $\;R\;$ et de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)$, moment par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de la trajectoire circulaire, selon

$\;\sigma _{\Delta }\!\left(M,\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ avec
$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ le moment d'inertie de $\;M$ $\;{\big (}$de masse $\;m{\big )}\;$ relativement à l'axe de rotation $\;\Delta$,

     on en déduit $\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)$, le moment d'inertie de $\;M\;$ relativement à $\;\Delta \;$ étant une constante, puis
     on en déduit dans la mesure où l'axe $\;Delta\;$ du cercle est nécessairement fixe et
     on en déduit dans la mesure où le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est galiléen,
     on en déduit l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel $\;M\;$ en mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de rayon $\;R\;$ et de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en prenant comme axe origine des moments l'axe $\;\Delta \;$ du cercle, soit

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen où le point matériel étudié $\;M$, de masse $\;m$, a un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et de rayon $\;R\;$ et prenant pour origine des moments l'axe $\;\Delta \;$ du cercle décrit par $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ des forces appliquées à $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» du point $\;M\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\Delta \;$ par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» de $\;M\;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$ $\;{\big [}$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le point $\;M\;$ sur sa trajectoire circulaire${\big ]}\;$ soit «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$».

Fin du théorème

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant l'axe $\;\Delta$, origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au point matériel $\;M$ $\;{\big (}$forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ des forces appliquées à un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$» et du produit mixte «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» dans lequel $\;{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\;$ est le vecteur vitesse de translation de l'axe $\;\Delta \;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$en absence de glissement parallèlement à lui-même${\big )}\;$ et $\;{\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ le vecteur quantité de mouvement du point $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ au même instant $\;t\;$ soit «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$».

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments scalaires ;

     le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, s'écrivant «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)$ $={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)\;$»,

     on fait la somme de ces $\;N\;$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er terme du 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• « le 2^ème terme du 1^er membre » le moment résultant scalaire des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels relativement au même axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}(t)$ $={\vec {0}}\;$» et
• « le 2^ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle », à «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\sigma _{\Delta }(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$.

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué au système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» à l'instant $\;t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière

     Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre $\;{\big (}$c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique, surfacique ou curviligne${\big )}$, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe origine $\;\Delta \;$ d'évaluation des moments est fixe se généralise aisément :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué à l'instant $\;t\;$ à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique à savoir «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)\;$», «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$» ou «$\;\left(\Gamma \right)\;$ de masse linéique $\;\lambda (M)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de masse volumique $\;\mu (M)\;$», les grandeurs scalaires $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta {\big ]}\;$

• moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à $\;\Delta \;$ selon $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ du système ou $\;{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=$ $\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des densités volumiques de forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion volumique du système et
• moment cinétique du système se calcule par rapport à $\;\Delta \;$ selon l'intégrale $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)$ $={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\;$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$», les grandeurs scalaires $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta {\big ]}\;$

• moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à $\;\Delta \;$ selon $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec $\;d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,dS_{M}\right)\;$ du système ou $\;{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=$ $\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des densités surfaciques de forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion surfacique du système et
• moment cinétique du système se calcule par rapport à $\;\Delta \;$ selon l'intégrale $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\;$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\;$ de masse linéique $\;\lambda (M)\;$», les grandeurs scalaires $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta {\big ]}\;$

• moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à $\;\Delta \;$ selon $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]=$ $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$ du système ou $\;{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=$ $\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\;$ la somme des densités linéiques de forces que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce en chaque point $\;M\;$ de l'expansion linéique du système et
• moment cinétique du système se calcule par rapport à $\;\Delta \;$ selon l'intégrale $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\;$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, soit, en cinétique newtonienne, $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

     Justification $\;{\big (}$exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle${\big )}$ :
     Justification $\;\succ \;$ on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque pseudo point $\;\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$, les moments scalaires ayant pour axe origine $\;\Delta \;$ axe fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)=$ ${\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{dt}}(t)\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique $\;M$, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)\right\rbrace \;$ $\;=\;$ $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\dfrac {\partial \sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{\partial t}}\right\rbrace _{\!M}(t)\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ le 1^er terme du 1^er membre définissant le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué au système de matière à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ le 2^ème terme du 1^er membre définissant le moment résultant scalaire des forces intérieures par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué au système de matière à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}(t)=0\;$»,

     Justification $\;\succ \;$ le 2^ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique $\;M\;$ et de la dérivation temporelle », en «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace }{dt}}(t)\;$», l'intégrale volumique définissant alors le moment cinétique scalaire du système de matière par rapport à l'axe origine $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ soit $\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]=\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)$ : C.Q.F.J.

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe mobile $\;\Delta \;$ en translation dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen vue, plus haut dans le chapitre, au paragraphe « complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen » à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un axe $\;\Delta \;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments scalaires $\;{\big [}\Delta \;$ étant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big ]}$ ;

     la forme du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à l'axe $\;\Delta \;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, s'écrivant «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)=$ ${\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$», $\;{\vec {V}}_{\Delta }(t)\;$ étant le vecteur vitesse de translation de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$en absence de glissement le long de $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\;$ et $\;{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$ le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ au même instant $\;t$ ;

     on les ajoute «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er terme du 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• « le 2^ème terme du 1^er membre » le moment résultant scalaires des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels par rapport au même axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}(t)$ $=0\;$»,
• « le 1^er terme du 2^ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle », à «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\sigma _{\Delta }(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t\;$ et enfin
• « le 2^ème terme du 2^ème membre » dans lequel on effectue une factorisation scalaire à gauche par le vecteur commun à tous les termes à savoir $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right\rbrace \;$» reconnaissant dans le 2^ème facteur du produit scalaire le vecteur résultante cinétique du système de points matériels «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où la réécriture de ce terme selon «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;

     finalement le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à un axe $\;\Delta \;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, prend la forme «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où l'énoncé $\;{\big (}$qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ en translation dans $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\big [}$l'axe $\;\Delta \;$ étant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big ]}$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ appliqué à un système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ à l'instant $\;t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» et du produit mixte «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ dans lequel $\;{\vec {V}}_{\Delta }(t)\;$ est le vecteur vitesse de translation de $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big (}$en absence de glissement le long de $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\;$ et $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ au même instant $\;t\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$».

     Remarque : Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre $\;{\big (}$c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique, surfacique ou curviligne${\big )}$, l'adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe $\;\Delta \;$ d'évaluation des moments y est en translation se généralise sans modification $\;{\Big [}$à l'exception des définitions du moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué au système continu fermé de matière «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$», du moment cinétique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ du système étudié «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)\;$» et du vecteur résultante cinétique du système considéré «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$», lesquelles résultent du remplacement de la somme discrète des grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique, surfacique ou curviligne des grandeurs associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique${\Big ]}$.

Applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     D'après le paragraphe précédent, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels sous la forme «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» est donc, a priori, inapplicable si l'axe origine $\;\Delta$ $\;{\big (}$orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\;$ du calcul des moments scalaires est en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\Delta }(t)$ $\;{\big (}$en absence de glissement le long de $\;{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen car le théorème adapté à utiliser est «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» $\;{\big (}$non à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$ $\;\ldots$

     toutefois sachant qu'en cinétique newtonienne «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» dans laquelle «$\;G\;$ est le C.D.I. du système discret fermé de points matériels », on en déduit que si l'axe $\;\Delta \;$ se translate parallèlement au plan $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {V}}_{G}(t)\right\rbrace \;$ ${\Big [}$c'est-à-dire si $\;{\vec {V}}_{\Delta }(t)\;$ est coplanaire à $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {V}}_{G}(t)\right\rbrace {\Big ]}$, le théorème du moment cinétique scalaire est encore applicable à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec Δ en translation sous la forme «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\\{\text{si }}\;\left[{\vec {V}}_{\Delta }(t),\;{\vec {u}}_{\Delta },\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\;{\text{coplanaires}}\end{array}}\right\rbrace \;$», le cas particulier le plus fréquent étant celui où l'axe $\;\Delta \;$ en translation passe par le C.D.I. $\;G\;$ du système étudié en lui restant solidaire $\;{\big (}$d'où $\;\Delta \;$ noté $\;\Delta _{G}\;$ par la suite${\big )}\;$ ce qui implique $\;{\vec {V}}_{\Delta }(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ d'où l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour axe en translation origine de calcul des moments, l'axe $\;\Delta _{G}\;$ solidaire du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big (}$complément à savoir justifier si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe $\;\Delta _{G}$, de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système discret fermé de points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ étudié, l'axe restant solidaire de $\;G\;$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta _{G}\;$ appliqué à ce système à l'instant $\;t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à $\;\Delta _{G}\;$ au même instant $\;t$ «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$»

Différents cas de conservation du moment cinétique vectoriel ou scalaire d'un système discret fermé de points matériels

Conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» si le vecteur moment résultant dynamique en $\;O\;$ appliqué au système est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système fermé de matière en un point $\;O\;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre conduit à $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t$ ;

     le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport au point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen peut être nul par :

• absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé,
• des forces extérieures toutes « centrales par rapport au point fixe $\;O\;$» ou
• des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe $\;O\;$ se compensent.

Conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$» si le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué au système est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)=0,\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique scalaire au système fermé de matière par rapport à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre conduit à $\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, $\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t$ ;

     le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen peut être nul par :

• absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé,
• des forces extérieures « parallèles à ou de support coupant l'axe $\;\Delta \;$» ou enfin
• des forces extérieures dont les moments scalaires par rapport à l'axe fixe $\;\Delta \;$ se compensent.

Complément, conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) G dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son C.D.I. $\;G\;$ quel que soit le mouvement de ce dernier dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)$ $={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» si le vecteur moment résultant dynamique en $\;G\;$ appliqué au système est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système fermé de matière par rapport au C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\;{\big (}$un complément${\big )}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)$ $={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre conduit à $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t$ ;

     le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport au C.D.I. $\;G\;$ de ce dernier quel que soit le mouvement de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen peut être nul par :

• absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé $\;{\big [}$dans le cadre de la dynamique newtonienne $\;G\;$ a alors un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I.${\big ]}$,
• des forces extérieures toutes « centrales par rapport au C.D.I. $\;G\;$» ou
• des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au C.D.I. $\;G\;$ se compensent.

Complément, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe $\;\Delta _{G}\;$ de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système, l'axe restant solidaire du C.D.I. $\;G\;$, à savoir «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$» si le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta _{G}\;$ appliqué au système est nul à tout instant $\;t\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)$ $=0,\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application, dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, du théorème du moment cinétique scalaire au système fermé de matière par rapport à un axe $\;\Delta _{G}$, de direction fixe, solidaire du C.D.I. $\;G\;$ du système par lequel il passe $\;{\big (}$exposé en complément et à savoir justifier${\big )}\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)$ $={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre conduit à $\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, $\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t$ ;

     le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière par rapport à l'axe $\;\Delta _{G}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen peut être nul par :

• absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé, $\;{\big [}$dans le cadre de la dynamique newtonienne $\;G\;$ a alors un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I.${\big ]}$,
• des forces extérieures « parallèles à ou de support coupant l'axe $\;\Delta _{G}\;$» ou enfin
• des forces extérieures dont les moments scalaires par rapport à l'axe $\;\Delta _{G}\;$ se compensent.