Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

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     La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un point fixe

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen

     Partant de la r.f.d.n. appliquée au point matériel $\,M\,$ de masse $\,m\,$ dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen,
         Partant de la r.f.d.n. «$\;\sum _{k}{\vec {F}}_{k}={\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» dans laquelle $\,{\vec {p}}_{\!M}(t)\,$ est la quantité de mouvement du point matériel $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ et
             Partant de la r.f.d.n. «$\;\color {transparent}{\sum _{k}{\vec {F}}_{k}={\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» dans laquelle $\,\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \,$ l'ensemble des forces appliquées au point $\,M$,
         Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par $\,{\overrightarrow {OM}}(t)$ $\,{\big [}O\,$ étant, pour l'instant, un point quelconque de $\,{\mathcal {R}}{\big ]}\,$
         Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \left[\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\right]={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» qui se réécrit
         Partant de la r.f.d.n. on multiplie vectoriellement à gauche $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» par distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle  ;
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\left({\mathfrak {a}}\right)$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» est la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de $\,M\,$ par rapport à $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$,
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» avec $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ en effet :
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\,$ où $\,O\,$ étant un point fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\,$ est le vecteur position de $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ et par suite
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\,$ est le vecteur vitesse $\,{\vec {V}}_{\!M}(t)\,$ de $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ égal à $\,{\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}\;$» en
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)}\,$ est le vecteur vitesse $\,\color {transparent}{{\vec {V}}_{\!M}(t)}\,$ de $\,\color {transparent}{M}\,$ à l'instant $\,\color {transparent}{t}\,$ dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ cinétique newtonienne
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est « d'où «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)={\vec {0}}\;$» et par suite
         Partant de la r.f.d.n. avec $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}$, le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)}\;$» est «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$»  ;
         Partant de la r.f.d.n. le 1^er membre de la relation $\,\left({\mathfrak {a}}\right)$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}\;$» étant égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à $\,M\,$ par rapport à $\,O\,$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» $\Rightarrow$
         Partant de la r.f.d.n. l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\,M\,$ relativement à un point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen selon «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$
             Partant de la r.f.d.n. l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ relativement à un point $\,\color {transparent}{O}\,$ fixe dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen selon « si $\;O\;$ est un point fixe de $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen ».

Causes de modification du vecteur moment cinétique du point matériel M par rapport à un point origine O fixe dans le référentiel d’étude

     D'après l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\;M\;$ relativement à un point $\;O\;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» et
     D'après l'expression de tout théorème de la dynamique d'un point matériel $\,M\,$ dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la cause de modification de toute}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la dérivée temporelle}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinétique vectorielle}}\end{array}}\right\rbrace$ ,

     nous pouvons affirmer que « les moments vectoriels des forces appliquées au point matériel $\,M\,$ calculés par rapport au point origine $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ à savoir $\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» sont
     nous pouvons affirmer que « les causes de modification du moment cinétique vectoriel du point $\,M\,$ par rapport à ce même point origine $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ à savoir $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left(M,\,t\right)\;$» .

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen

     La relation $\,\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ étant établie pour $\,O\,$ quelconque est donc valable sous cette forme pour $\,O\,$ mobile dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;{\begin{array}{c}\sum _{k}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\\{\text{dans laquelle}}\;O\;{\text{est un point mobile de}}\;{\mathcal {R}}\end{array}}\;$»  ;

             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque remarque : dans la suite, pour distinguer plus nettement le cas d'un point origine fixe ou mobile dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, nous noterons
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque remarque : dans la suite, le point origine «$\;A\,$ quand ce dernier est mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ », réservant la notation «$\;O\,$ quand ce dernier y est fixe » d'où
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque remarque : dans la suite, «$\;{\begin{array}{c}\sum _{k}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\\{\text{dans laquelle}}\;A\;{\text{est mobile dans}}\;{\mathcal {R}}\;{\text{galilé}}\!{\text{en}}\end{array}}\;$»  ;

             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, avec $\,A\,$ mobile dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» est a priori «$\;\neq \,$ de $\,{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\;$» en effet :
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, $\,{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\,$ $\Rightarrow$ $\,{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\,$ avec
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, $\,\color {transparent}{{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=}$ ${\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)-{\overrightarrow {OA}}(t)\;$ par relation de Chasles $\Rightarrow$ $\,{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OA}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{\!M}(t)-{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$
                     La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, $\,\color {transparent}{{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=}$ $\color {transparent}{{\overrightarrow {AM}}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)-{\overrightarrow {OA}}(t)}\;$ par relation de Chasles $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\,\color {transparent}{{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)}$ $={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}-{\vec {V}}_{\!A}(t)\,$ en cinétique newtonienne ,
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, $\,\color {transparent}{{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=}$ d'où «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)=\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}(t)}{m}}-{\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)=-{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» soit
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, $\,\color {transparent}{{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=}$ d'où «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)=-{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)+{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» dont on déduit
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque toutefois, $\,\color {transparent}{{\vec {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)=}$ d'où «$\;{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{\!M}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$»  ;

             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}\;$» étant la somme des vecteurs moments des forces appliquées à $\,M\,$ par rapport à $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen c.-à-d.
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {F}}_{k}=\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» , on en déduit
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque l'expression de la r.f.d.n. appliquée à un point matériel $\,M\,$ relativement à un point $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen sous la forme
             La relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {a}}\right)}\;$ étant établie pour $\,\color {transparent}{O}\,$ quelconque «$\;{\begin{array}{c}\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\\{\text{si}}\;A\;{\text{est un point mobile de}}\;{\mathcal {R}}\;{\text{galilé}}\!{\text{en}}\end{array}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\begin{array}{c}\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)-{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\\{\text{si}}\;A\;{\text{est un point mobile de}}\;{\mathcal {R}}\;{\text{galilé}}\!{\text{en}}\end{array}}\;$» .

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel

Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant par rapport à $\,O\,$ des forces appliquées à un point matériel $\,M\,$ à l'instant $\,t$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de $\,M\,$ ${\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M,\,t)$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;\color {transparent}{\sum {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)}\;$» est égal à la dérivée temporelle par rapport au même point $\,O\,$ au même instant $\,t$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;\color {transparent}{\sum {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)}\;$» est égal à «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» soit mathématiquement «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\,$ si $\,O\,$ est fixe dans $\;{\mathcal {R}}\,$ galiléen » .

Fin du théorème

     Démonstration : Revoir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude
     Démonstration : Revoir le paragraphe « galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de centre « C », de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné

     Le vecteur moment cinétique d'un point matériel $\,M\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\Delta$, de centre $\,C$, de rayon $\,R\,$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\,$ à l'instant $\,t\;$, moment évalué par rapport à $\,C$,
     Le vecteur moment cinétique d'un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\color {transparent}{\Delta }$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}\!\left(M,\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec $\,J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\,$ le moment d'inertie de $\,M$ $\,{\big (}$masse $\,m{\big )}\,$
                  Le vecteur moment cinétique d'un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\color {transparent}{\Delta }$, s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}\!\left(M,\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)}\;$» avec $\,\color {transparent}{J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}}\,$ le relativement à l'axe de rotation $\,\Delta$,
     l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point $\,M\,$ en mouvement circulaire de centre $\,C$, de rayon $\,R\,$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\,$ à l'instant $\,t\;$, avec
     l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire les moments évalués par rapport à $\,C\,$ et le moment d'inertie de $\,M\,$ relativement à $\,\Delta \,$ étant constant $\Rightarrow$
     l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}(M)}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» $\,{\big (}$le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ étant galiléen et
        l'application du théorème du moment cinétique vectoriel à ce point $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire «$\;\color {transparent}{d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!C}(M)(t)=J_{\Delta }(M)\;d{\overrightarrow {\Omega }}(t)}\;$» $\,\color {transparent}{\big (}$le centre $\,C\,$ du cercle nécessairement fixe ${\big )}$, s'énonce selon :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire de centre C dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen où le point matériel $\,M$, de masse $\,m$, a un mouvement circulaire d'axe $\,\Delta$, de centre $\,C\,$ et de rayon $\,R$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen prenant pour origine des vecteurs moments le centre $\,C\,$ du cercle décrit par $\,M\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant par rapport à $\,C\,$ des forces appliquées à $\,M\,$ à l'instant $\,t$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le vecteur moment résultant par rapport à $\,\color {transparent}{C}\,$ des forces appliquées à $\,\color {transparent}{M}\,$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» de $\,M\,$ relativement à l'axe de rotation $\,\Delta \,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «$\,{\overrightarrow {\Omega }}(t)\,$» de $\,M\,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle du vecteur autour de l'axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t\;$ soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!C}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant le point$\;A$, origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen, le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel$\;M$ $\,{\big (}$de masse $\,m{\big )}$, prend la forme
     Considérant le point$\;\color {transparent}{A}$, origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, le théorème du moment cinétique vectoriel découlant de la dérivée temporelle du moment cinétique vectoriel
     Considérant le point$\;\color {transparent}{A}$, origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, le théorème du moment cinétique vectoriel découlant de la de $\,M\,$ par rapport à $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\;$ :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,A\;$mobile dans $\,{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant par rapport à $\,A\,$ des forces appliquées à un point matériel $\,M\,$ à l'instant $\,t$ «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point $\,A\,$ au même instant $\,t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)\;$» et du produit vectoriel «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ dans lequel $\,{\vec {p}}_{\!M}(t)\,$ est le vecteur quantité de mouvement du point $\,M\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t\,$» soit «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» .

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Soit le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et
     Soit un point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,
     on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque point matériel $\,M_{i}\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, moments évalués relativement au point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ $\Rightarrow$
     on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque point matériel $\,\color {transparent}{M_{i}}\,$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;$» puis
     on fait la somme de ces $\,N\,$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;$»,
     on reconnaît dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
     on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^ème terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$
     on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^ème terme du 1^er membre » «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$» et
     on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^ème membre » égal à, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle » , «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})\right]}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» c.-à-d.
     on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^ème membre » égal à, la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point $\,O\,$ au même instant $\,t$.

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,O\,$ appliqué au système discret fermé de points matériels
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,\color {transparent}{O}\,$ appliqué «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$»
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,\color {transparent}{O}\,$ appliqué à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans $\,{\mathcal {R}}$, par eapport au même point $\,O$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})(t)\;$» au même instant $\,t\;$, c.-à-d. «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\,$ si $\,O\,$ est fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen » .

Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière

     Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement des sommes discrètes du 1^er par
     Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement des sommes continues du 2^nd ,
     le théorème du moment cinétique vectoriel s'applique à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine $\;O\;$ d'évaluation des moments est fixe selon l'énoncé ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,O\,$ appliqué au système continu fermé de matière d'expansion
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,\color {transparent}{O}\,$ appliqué tridimensionnelle $\left({\mathcal {V}}\right)$ de masse volumique $\mu (M)$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,\color {transparent}{O}\,$ appliqué surfacique $\,\left({\mathcal {S}}\right)\,$ de masse surfacique $\,\sigma (M)\,$ ou
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,\color {transparent}{O}\,$ appliqué linéique $\,\left(\Gamma \right)\,$ de masse linéique $\,\lambda (M)$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le vecteur moment résultant dynamique en $\,\color {transparent}{O}\,$ appliqué à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans $\,{\mathcal {R}}$, par rapport au même point $\,O$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})(t)\;$» au même instant $\,t\;$, c.-à-d. «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\,$ si $\,O\,$ est fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen » .

Fin du théorème

     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\,$ de masse volumique $\,\mu (M)\;$» du système continu fermé de matière,
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\bullet \;$moment résultant dynamique en $\,O\,$ appliqué au système salculé selon $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\;$
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\,d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ la somme des forces que
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ du système,
          Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{=\displaystyle \iiint {\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}}\;$ avec $\,{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ étant la somme des densités volumiques
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\,M\,$ de l'expansion volumique du système et
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\bullet \;$moment cinétique du système en $\,O\;$ calculé selon $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$\,{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\,$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, soit,
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\,{\vec {V}}_{M}(t)\,$ « le vecteur vitesse de $\,M\,$ dans
          Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint {\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathcal {V}}_{M}}\;$ avec $\,\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\,$ « $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t\;$».

     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\,$ de masse surfacique $\,\sigma (M)\;$» du système continu fermé de matière,
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\bullet \;$moment résultant dynamique en $\,O\,$ appliqué au système salculé selon $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\;$
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}\;$ avec $\,d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ la somme des forces que
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,dS_{M}\right)\;$ du système,
          Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{=\displaystyle \iint {\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;dS_{M}}\;$ avec $\,{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ étant la somme des densités surfaciques
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\,M\,$ de l'expansion surfacique du système et
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\bullet \;$moment cinétique du système en $\,O\;$ calculé selon $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}\;$ avec
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$\,{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\,$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, soit,
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}\;$ avec $\,{\vec {V}}_{M}(t)\,$ « le vecteur vitesse de $\,M\,$ dans
                     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint {\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;dS_{M}}\;$ avec $\,\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\,$ « $({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t\;$».

     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\,$ de masse linéique $\,\lambda (M)\,$» du système continu fermé de matière,
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\bullet \;$moment résultant dynamique en $\,O\,$ appliqué au système salculé selon $\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\;$
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\,d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ la somme des forces que
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$ du système,
          Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{=\displaystyle \int {\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\;d{\mathit {l}}_{M}}\;$ avec $\,{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ étant la somme des densités linéiques
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\,M\,$ de l'expansion linéique du système et
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\bullet \;$moment cinétique du système en $\,O\;$ calculé selon $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$$\,{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\,$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, soit,
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\,{\vec {V}}_{M}(t)\,$ « le vecteur vitesse de $\,M\,$ dans
                Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les vecteurs $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\color {transparent}{{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int {\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;d{\mathit {l}}_{M}}\;$ avec $\,\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(t)}\,$ « $({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t\;$».

     Justification$\;{\big (}$exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle${\big )}$ :
     Justification $\succ \;$on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$, les vecteurs moments ayant pour point origine $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{dt}}(t)\;$» puis
     Justification $\succ \;$on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)\,$ du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique $\,M$,
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\dfrac {\partial {\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{\partial t}}\right\rbrace _{\!M}(t)\;$» ,
     Justification $\succ \;$le 1^er terme du 1^er membre définissant le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,O\,$ appliqué au système de matière à l'instant $\,t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
     Justification $\succ \;$le 2^ème terme du 1^er membre définissant le vecteur moment résultant des forces intérieures par rapport à $\,O\,$ appliqué au système de matière à l'instant $\,t\,$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$» ,
     Justification $\succ \;$le 2^ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique $\,M\,$ et de la dérivation temporelle » ,
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre se transformant, en «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace }{dt}}(t)\;$» , l'intégrale volumique $\,\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\,$ définissant le vecteur moment cinétique du système
                    Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre se transformant, en «$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace (t)}\;$», l'intégrale volumique $\,\color {transparent}{\displaystyle \iiint {\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}\,$ définissant de matière en $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ c.-à-d.
                    Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre se transformant, en «$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace (t)}\;$», l'intégrale volumique $\,\color {transparent}{\displaystyle \iiint {\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}\,$ définissant ${\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)\,$ d'où
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre égal à $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\,$ : C.Q.F.J. .

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel relativement à un point origine $\,A\,$ mobile dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen appliqué à un point matériel $\,M\;$
     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel relativement à un point origine $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile dans le référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen

     Soit le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et
     Soit un point $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, appliqué à chaque point matériel $\,M_{i}\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}$
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$» ,
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on ajoute ces $\,N\,$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace$
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on ajoute ces $\,\color {transparent}{N}\,$ relations $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» et
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 1^er membre » système discret fermé de points matériels en $\,A\,$
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 1^er membre » à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» ,
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^nd terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 1^er membre » appliquées au système discret fermé de points
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 1^er membre » matériels en $\,A\,$ à l'instant $\,t\,$ c.-à-d.
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 1^er membre » «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$» ,
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 2^nd membre » se réécrivant «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» après
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle » , c.-à-d.
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^nd membre » s'identifiant à «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{A}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» $\,{\big \{}$dérivée
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« matériels en $\,A\,$ à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}({\text{syst}})(t)\;$» ${\big \}}\,$ et enfin
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^nd terme du 2^nd membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« à gauche par $\,{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» reconnaissant dans le
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^nd facteur du produit vectoriel $\,{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\,$ ${\big \{}$vecteur résultante cinétique du
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« 2^nd facteur du produit vectoriel $\,\color {transparent}{{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)}\,$ $\color {transparent}{\big \{}$système de points matériels ${\big \}}\,$ $\Rightarrow$
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^nd membre » «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile ainsi le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile ainsi dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, moments évalués relativement à un point $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}$,
     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{A}\,$ mobile ainsi prend la forme «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où l'énoncé  :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\,A\;$mobile dans $\,{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,A\,$ appliqué à un système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ à l'instant $\,t$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point $\,A\,$ au même instant $\,t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» et du produit vectoriel «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ dans lequel $\,{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\,$ est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t\,$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» .

     Remarque : Sachant que les relations d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique se déduisent de celles d'un système discret fermé de points matériels
     Remarque : en remplaçant les sommes discrètes du 2^nd par des sommes continues du 1^er $\,{\big (}$c.-à-d. mettant en œuvre dans le 1^er une intégrale volumique , surfacique ou curviligne ${\big )}$,
     Remarque : l'adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen avec point origine$\;A\;$d'évaluation des moments mobile
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;{\Big [}$les définitions du vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\,A\,$ appliqué au système continu fermé de matière «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» ,
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions du vecteur moment cinétique par rapport à $\,A\,$ du système étudié «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)\;$» et
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions du vecteur résultante cinétique du système considéré «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» résultent du remplacement de la somme discrète des
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique , surfacique ou curviligne des grandeurs
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique ${\Big ]}$.

Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen

     Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels selon$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$est inapplicable si$\;A\;$est mobile dans le référentiel$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen ,
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels selon$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)=d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)(t)}\;$est inapplicable sauf pour $\,A\,$ tel que $\,{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}}$,
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels le théorème adapté à utiliser étant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$»  :
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» avec «$\;G\;$ le C.D.I. du système discret
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)}\;$» avec « fermé de points matériels » $\Rightarrow$
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, si le point origine $\,A\,$ se déplace parallèlement au C.D.I. du système
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, ${\big \{}$c.-à-d. pour $\,{\vec {V}}_{\!A}(t)\,$ colinéaire à $\,{\vec {V}}_{\!G}(t){\big \}}$ $\,{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}}\,$ d'où
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, le théorème du moment cinétique vectoriel s'applique à un système discret
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec$\;A\;$mobile selon
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\\{\text{dans la mesure où }}\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;\propto \;{\vec {V}}_{\!G}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$», le cas particulier le plus
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, fréquent étant celui où $\,A\,$ est le C.D.I. $\,G\,$ du système étudié d'où
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen quand
      Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, le point origine de calcul des moments est le C.D.I. $\,G\,$ du système  :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I. $\,G\,$ du système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ étudié, le vecteur moment résultant dynamique par rapport au C.D.I. $\,G\,$ du système appliqué à ce dernier à l'instant $\,t$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système par rapport rapport au C.D.I. $\,G\,$ de ce dernier au même instant $\,t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma _{G}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» .

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un axe fixe

     Nous cherchons à trouver l'expression de la r.f.d.n. $\,{\big [}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel qui en est une conséquence${\big ]}\,$ appliqué(e) à un point matériel $\,M\,$ relativement à un axe $\,\Delta \,$ fixe.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen

     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\,M$, de masse $\,m$, le point origine des moments étant un point $\,O\,$ choisi fixe sur l'axe $\,\Delta \,$ fixe du référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\;$» avec $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M,\,t)\,$ le moment cinétique vectoriel de $\,M\,$ en $\,O\,$ à l'instant $\,t\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ et
           Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]=d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)(t)}\;$» avec $\,\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace \,$ l'ensemble des forces appliquées au point $\;M$, le vecteur moment en $\,O$, à l'instant $\,t$,
           Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]=d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)(t)}\;$» avec $\,\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {F}}_{k}\right\rbrace }\,$ l'ensemble des forces appliquées au point $\;\color {transparent}{M}$, de chaque force étant $\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]$,
           Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]=d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)(t)}\;$» on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ le vecteur unitaire orientant l'axe $\,\Delta \,$ $\Rightarrow$
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\left\lbrace \sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, avec la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle $\Rightarrow$
       Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\left\lbrace \sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}\;$» ou, avec la distributivité $\left\lbrace \sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \,$ et
       Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\left\lbrace \sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}\;$» ou, avec le caractère constant de $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ $\Rightarrow$ $\,{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace ={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ; le point $\,O\,$ étant un point quelconque de $\,\Delta$, on reconnaît dans
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\bullet \;$le 2^nd membre de la relation $\,\left({\mathfrak {b}}\right)$, «$\;{\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$» la dérivée temporelle du
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}$, « moment cinétique scalaire de $\,M\,$ par rapport à $\,\Delta \,$
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}$, à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, $\;\sigma _{\!\Delta }(M,\,t)\;$» c.-à-d.
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$le 2^nd membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}$, «$\;{\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$» et dans
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\bullet \;$le 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, «$\;\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace \;$» la somme des
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$le 1^er membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}$, « moments scalaires des forces appliquées à $\,M\,$ par
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$le 1^er membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}$, « rapport à $\,\Delta$, de moment individuel $\,{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)$
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel «$\;\color {transparent}{\sum _{k}\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{k},\,t\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace =d\!\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right](t)\;\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$» ; $\color {transparent}{\bullet }\;$le 1^er membre de la relation $\,\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}$, « à l'instant $\,t\;$ » c.-à-d. «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»
     Partant du théorème du moment cinétique vectoriel d'où l'expression de la r.f.d.n. $\,{\big [}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel${\big ]}\,$ appliqué(e) à un point matériel $\,M\,$ relativement à un axe $\,\Delta \,$ fixe
         Partant du théorème du moment cinétique vectoriel d'où l'expression de la r.f.d.n. $\,\color {transparent}{\big [}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel$\color {transparent}{\big ]}\,$ appliqué(e) à un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen :
           Partant du théorème du moment cinétique vectoriel d'où l'expression de la r.f.d.n. «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$ si $\,\Delta \,$ est un axe fixe de $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen ».

Causes de modification du moment cinétique scalaire du point matériel M par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d’étude

     D'après l'expression de la r.f.d.n. $\,{\big [}$ou celle du théorème du moment cinétique vectoriel${\big ]}\,$ appliquée à un point matériel $\;M\;$ relativement à un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen
         D'après l'expression de la r.f.d.n. $\,\color {transparent}{\big [}$ou celle du théorème du moment cinétique vectoriel$\color {transparent}{\big ]}\,$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$» et
     D'après l'expression de tout théorème de la dynamique d'un point matériel $\,M\,$ dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la cause de modification de toute}}\\{\text{grandeur cinétique scalaire}}\end{array}}\right\rbrace =\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{la dérivée temporelle}}\;{\dfrac {d}{dt}}\;{\text{de cette}}\\{\text{grandeur cinétique scalaire}}\end{array}}\right\rbrace$ ,

     nous pouvons affirmer que « les moments scalaires des forces appliquées au point matériel $\,M\,$ calculés par rapport à l'axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ à savoir $\,{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» sont
     nous pouvons affirmer que « les causes de modification du moment cinétique scalaire du point $\,M\,$ par rapport à ce même axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ à savoir $\,\sigma _{\!\Delta }(M,\,t)\;$» .

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Soit un axe $\,\Delta \,$ mobile dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et un point quelconque $\,A\,$ sur $\,\Delta \,$ choisi comme origine des moments vectoriels,
        Soit l'axe $\,\Delta$ $\,{\big (}$a priori de mouvement quelconque dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen${\big )}\,$ étant orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }$,
     le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel $\,M\,$ en $\,A\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen s'écrivant selon «$\;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ ,
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous multiplions scalairement la relation $\,\left({\mathfrak {c}}\right)\,$ membre à membre par $\,{\vec {u}}_{\Delta }\,$ $\Rightarrow$ «$\;\left[\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\bullet \;$« le 1^er membre », après avoir utilisé la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ,
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er membre », la somme des moments scalaires des forces appliquées au point matériel $\;M\;$ relativement à l'axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er membre », «$\;\left[\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\sum _{k}\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]$ $=\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» ,
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\Delta \;$garde une direction constante$\;{\big [}$c.-à-d. si le mouvement de $\,\Delta \,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ est une translation${\big ]}\,$
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\color {transparent}{\Delta }\;$garde une direction constante $\Rightarrow$ «$\;{\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$» et par suite
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\color {transparent}{\Delta }\;$garde une direction constante «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\!\left[{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)$
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\color {transparent}{\Delta }\;$garde une direction constante «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{\!A}(M)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }}$ $={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$» c.-à-d.
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\color {transparent}{\Delta }\;$garde une direction constante « la dérivée temporelle de $\sigma _{\Delta }(M,\,t)$ moment cinétique scalaire
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\color {transparent}{\Delta }\;$garde une direction constante « de $\,M\,$ par rapport à l'axe $\,\Delta$ $\,{\big (}$en translation dans$\;{\mathcal {R}}{\big )}$,
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^ème membre » si$\;\color {transparent}{\Delta }\;$garde une direction constante « de $\,\color {transparent}{M}\,$ au même instant $\,t\;$ et enfin dans
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\bullet \;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, par invariance du produit mixte par permutation circulaire ,
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» ou, en notant $\,{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\,$ la vitesse de translation de l'axe $\,\perp \,$ à $\,{\vec {u}}_{\Delta }$
     le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à «$\;\color {transparent}{\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)}\;$» ou, $\Rightarrow$ $\,{\vec {V}}_{\!A}(t)={\vec {V}}_{\!\Delta }(t)+{\vec {V}}_{{\text{gliss. de }}A\,{\text{sur }}\Delta }(t)\,$ d'où
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)={\vec {u}}_{\Delta }\wedge \left[{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)+{\vec {V}}_{{\text{gliss. de }}A\,{\text{sur }}\Delta }(t)\right]\,$ soit, par distributivité de la
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)}$ multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)}$ $={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\;{\cancel {+\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{{\text{gliss. de }}A\,{\text{sur }}\Delta }(t)}}\;$ par nullité du produit
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 2^ème membre » égal, à « $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)}$ vectoriel de deux vecteurs colinéaires , d'où
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« ce 2^nd terme du 2^ème membre » égal à «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» , terme
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« ce 2^nd terme du 2^ème membre » égal à « nul pour un mouvement de $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans le plan $\,\left\lbrace \Pi _{\Delta }(t)\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right\rbrace \;$,
      le théorème du moment cinétique vectoriel nous reconnaissons dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« ce 2^nd terme du 2^ème membre » égal à « non nul pour un mouvement de $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ à composante $\,\perp \,$ au plan $\,\left\lbrace \Pi _{\Delta }(t)\right\rbrace \,$,
     le théorème du moment cinétique vectoriel d'où la forme de la r.f.d.n. $\,{\big (}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel${\big )}\,$ appliqué(e) à un point matériel $\,M\,$ par rapport à un axe mobile $\,\Delta \;$de direction fixe
         le théorème du moment cinétique vectoriel d'où la forme de la r.f.d.n. $\,\color {transparent}{\big (}$ou du théorème du moment cinétique vectoriel$\color {transparent}{\big )}\,$ appliqué(e) à un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen  :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\,\Delta \,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\;$en translation dans $\,{\mathcal {R}}$, le moment scalaire résultant par rapport à $\,Delta\,$ des forces appliquées à un point matériel $\,M\,$ à l'instant $\,t$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t$ «$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$» et de la grandeur scalaire définie par le produit mixte «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$ dans lequel $\,{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\,$ est le vecteur vitesse de translation de l'axe $\,\Delta \,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t$ $\,{\big (}$en absence de glissement parallèlement à lui-même${\big )}\,$ et $\,{\vec {p}}_{\!M}(t)\,$ le vecteur quantité de mouvement du point $\,M\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t\,$» soit «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left(M\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» .

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel

Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant scalaire par rapport à $\,\Delta \,$ des forces appliquées à un point matériel $\,M\,$ à l'instant $\,t$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique de $\,M\,$ $\sigma _{\Delta }(M,\,t)$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;\color {transparent}{\sum {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)}\;$» est égal à la dérivée temporelle par rapport au même axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen «$\;\color {transparent}{\sum {\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)}\;$» est égal à «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)\;$» soit mathématiquement «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)\,$ si $\,\Delta \,$ est fixe dans $\;{\mathcal {R}}\,$ galiléen » .

Fin du théorème

     Démonstration : Revoir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement
     Démonstration : Revoir le paragraphe « à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée

     Le moment cinétique scalaire d'un point matériel $\,M\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\Delta$, de centre $\,C$, de rayon $\,R\,$ et de vitesse angulaire instantanée $\,{\overline {\Omega }}(t)$, moment évalué par rapport à $\,\Delta$,
     Le moment cinétique scalaire d'un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\color {transparent}{\Delta }$, s'écrivant «$\;\sigma _{\Delta }\!\left(M,\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec $\,J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\,$ le moment d'inertie de $\,M$ $\,{\big (}$masse $\,m{\big )}\,$
                  Le moment cinétique scalaire d'un point matériel $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\color {transparent}{\Delta }$, s'écrivant «$\;\color {transparent}{\sigma _{\Delta }\!\left(M,\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)}\;$» avec $\,\color {transparent}{J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}}\,$ le relativement à l'axe de rotation $\,\Delta$,
     l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point $\,M\,$ en mouvement circulaire d'axe $\,\Delta$, de centre $\,C$, de rayon $\,R\,$ et de vitesse angulaire instantanée $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ à l'instant $\,t$, avec
     l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire les moments évalués par rapport à $\,\Delta \,$ et le moment d'inertie de $\,M\,$ relativement à $\,\Delta \,$ étant constant $\Rightarrow$
     l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» $\,{\big (}$le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ étant galiléen et
        l'application du théorème du moment cinétique scalaire à ce point $\,\color {transparent}{M}\,$ en mouvement circulaire «$\;\color {transparent}{d\sigma _{\Delta }(M)(t)=J_{\Delta }(M)\;d{\overline {\Omega }}(t)}\;$» $\,\color {transparent}{\big (}$l'axe $\,\Delta \,$ du cercle nécessairement fixe ${\big )}$, s'énonce selon :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M en mouvement circulaire d'axe Δ dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen où le point matériel $\,M$, de masse $\,m$, a un mouvement circulaire d'axe $\,\Delta$, de centre $\,C\,$ et de rayon $\,R$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen prenant pour origine des moments l'axe $\,Delta\,$ du cercle décrit par $\,M\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le moment résultant scalaire par rapport à $\,\Delta \,$ des forces appliquées à $\,M\,$ à l'instant $\,t$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen le moment résultant scalaire par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ des forces appliquées à $\,\color {transparent}{M}\,$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$»
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$» de $\,M\,$ relativement à l'axe de rotation $\,\Delta \,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» de $\,M\,$
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la dérivée temporelle de la autour de l'axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t$ $\,{\big [}$la vitesse
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la angulaire instantanée $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la angulaire instantanée $\,\theta (t)\,$ repérant $\,M\,$ sur sa trajectoire circulaire $\Rightarrow$ la dérivée
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la temporelle de $\,{\overline {\Omega }}(t)\,$ est la dérivée temporelle 2^nde de $\,\theta (t)\,$ c.-à-d. l'accélération
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen est égal au produit par la angulaire de $\,M\;$ sur sa trajectoire circulaire${\big ]}\,$ soit mathématiquement «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }(M)\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Considérant l'axe$\;\Delta$, origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel$\;M$ $\,{\big (}$de masse $\,m{\big )}$, prend la forme
     Considérant l'axe$\;\color {transparent}{\Delta }$, origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, le théorème du moment cinétique scalaire découlant de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire
     Considérant l'axe$\;\color {transparent}{\Delta }$, origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$galiléen, le théorème du moment cinétique scalaire découlant de de $\,M\,$ par rapport à $\,\Delta \,$ en translation dans $\,{\mathcal {R}}\;$ :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\,\Delta \,$ orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }\;$en translation dans $\,{\mathcal {R}}$, le moment résultant scalaire par rapport à $\,\Delta \,$ des forces appliquées à un point matériel $\,M\,$ à l'instant $\,t$ «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t$ «$\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$» et du produit mixte «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» dans lequel $\,{\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\,$ est le vecteur vitesse de translation de l'axe $\,\Delta \,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t$ $\,{\big (}$en absence de glissement parallèlement à lui-même${\big )}\;$ et $\,{\vec {p}}_{\!M}(t)\,$ le vecteur quantité de mouvement du point $\,M\,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ au même instant $\,t\,$ soit «$\;\sum _{k}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {F}}_{k},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M}(t)\;$» .

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Soit le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et
     Soit un axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ par rapport auquel on détermine les moments scalaires,
     on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque point matériel $\,M_{i}\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, moments évalués relativement à l'axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ $\Rightarrow$
     on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque point matériel $\,\color {transparent}{M_{i}}\,$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)\;$» puis
     on fait la somme de ces $\,N\,$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)\;$»,
     on reconnaît dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels par rapport à l'axe $\,\Delta \,$ à l'instant $\,t\,$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
     on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^ème terme du 1^er membre » le moment résultant scalaire des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels relativement au même axe $\,\Delta \,$ à l'instant $\,t\,$
     on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^ème terme du 1^er membre » «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}(t)=0\;$» et
     on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^ème membre » égal à, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle » , «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\sigma _{\Delta }(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c.-à-d.
     on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^ème membre » égal à, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t$.

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\Delta \,$ appliqué au système discret fermé de points matériels
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ appliqué «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$»
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ appliqué à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans $\,{\mathcal {R}}$, par eapport au même axe $\,\Delta$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$» au même instant $\,t\;$, c.-à-d. «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$ si $\,\Delta \,$ est fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen » .

Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière

     Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement des sommes discrètes du 1^er par
     Passant d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par remplacement des sommes continues du 2^nd
     le théorème du moment cinétique scalaire s'applique à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe origine $\;\Delta \;$ d'évaluation des moments est fixe selon l'énoncé ci-dessous :

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\Delta \,$ appliqué au système continu fermé de matière d'expansion
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ appliqué tridimensionnelle $\left({\mathcal {V}}\right)$ de masse volumique $\mu (M)$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ appliqué surfacique $\,\left({\mathcal {S}}\right)\,$ de masse surfacique $\,\sigma (M)\,$ ou
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ appliqué linéique $\,\left(\Gamma \right)\,$ de masse linéique $\,\lambda (M)$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen le moment résultant dynamique scalaire en $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ appliqué à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans $\,{\mathcal {R}}$, par rapport au même axe $\,\Delta$,
     Dans un référentiel $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen la dérivée temporelle du «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}})(t)\;$» au même instant $\,t\;$, c.-à-d. «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$ si $\,\Delta \,$ est fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen » .

Fin du théorème

     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\left({\mathcal {V}}\right)\,$ de masse volumique $\,\mu (M)\;$» du système continu fermé de matière,
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\bullet \;$moment résultant dynamique en $\,\Delta \,$ appliqué au système salculé selon $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\;$
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$$=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\,d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!V,\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ la somme
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$ du système,
          Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{=\displaystyle \iiint \left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}}\;$ avec $\,{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!V,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ étant la somme des densités
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$volumiques de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\,M\,$ de l'expansion volumique du système et
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\bullet \;$moment cinétique du système en $\,\Delta \;$ calculé selon $\,\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\,{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathcal {V}}}}(M,\,t)\,$ la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, soit,
     Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ avec $\,{\vec {V}}_{M}(t)\,$ le vecteur vitesse de $\,M\,$
            Rappels : Pour une expansion tridimensionnelle «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {V}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\color {transparent}{\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iiint \left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathcal {V}}_{M}}\;$ avec dans $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t$.
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\,$ de masse surfacique $\,\sigma (M)\;$» du système continu fermé de matière,
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\bullet \;$moment résultant dynamique en $\,\Delta \,$ appliqué au système salculé selon $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\;$
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$$=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec $\,d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!S,\,\left\lbrace M,\,dS_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ la somme
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,dS_{M}\right)\;$ du système,
          Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{=\displaystyle \iint \left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}}\;$ avec $\,{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!S,\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ étant la somme des densités
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$surfaciques de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\,M\,$ de l'expansion surfacique du système et
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\bullet \;$moment cinétique du système en $\,\Delta \;$ calculé selon $\,\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\,{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{dS}}(M,\,t)\,$ la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, soit,
     Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {S}}\right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}\;$ avec $\,{\vec {V}}_{M}(t)\,$ le vecteur vitesse de $\,M\,$
            Rappels : Pour une expansion surfacique «$\;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\color {transparent}{\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \iint \left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;dS_{M}}\;$ avec dans $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t$.
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\left(\Gamma \right)\,$ de masse linéique $\,\lambda (M)\;$» du système continu fermé de matière,
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\bullet \;$moment résultant dynamique en $\,\Delta \,$ appliqué au système salculé selon $\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\;$
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$$=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\,d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}d{\vec {F}}_{\!{\mathit {l}},\,\left\lbrace M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ la somme
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$des forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce sur chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathit {l}}_{M}\right)\;$ du système,
              Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{=\displaystyle \int \left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}}\;$ avec $\,{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}}(M)=\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{\!{\mathit {l}},\,M\,\leftarrow \,{\text{ext}}_{k}}(M)\,$ étant la somme des densités
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$linéiques de forces que chaque système $\,(\Sigma _{k})\,$ extérieur exerce en chaque point $\,M\,$ de l'expansion linéique du système et
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\bullet \;$moment cinétique du système en $\,\Delta \;$ calculé selon $\,\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\,{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)={\dfrac {d{\vec {p}}}{d{\mathit {l}}}}(M,\,t)\,$ la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\,M\,$ à l'instant $\,t\,$ dans $\,{\mathcal {R}}$, soit,
     Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ avec $\,{\vec {V}}_{M}(t)\,$ le vecteur vitesse de $\,M\,$
                 Rappels : Pour une expansion linéique «$\;\color {transparent}{\left(\Gamma \right)}\,$ les scalaires $\color {transparent}{\bullet }\;$en cinétique newtonienne, $\,\color {transparent}{\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)=\displaystyle \int \left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d{\mathit {l}}_{M}}\;$ avec dans $\,({\mathcal {R}})\,$ au même instant $\,t$.

     Justification$\;{\big (}$exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle${\big )}$ :
     Justification $\succ \;$on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque pseudo point $\,\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\;$, les moments scalaires ayant pour axe origine $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\!\!\!\displaystyle \iiint \limits _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{dt}}(t)\;$» puis
     Justification $\succ \;$on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle $\,\left({\mathcal {V}}\right)\,$ du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique $\,M$,
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M'\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[d^{2}{\vec {F}}_{V\,\left\lbrace M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right\rbrace \,\leftarrow \,\left\lbrace M',\,d{\mathcal {V}}_{M'}\right\rbrace \,}\right]\!(t)\right\rbrace =\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\left\lbrace {\dfrac {\partial \sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}{\partial t}}\right\rbrace _{\!M}(t)\;$» ,
     Justification $\succ \;$le 1^er terme du 1^er membre définissant le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\,\Delta \,$ appliqué au système de matière à l'instant $\,t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
     Justification $\succ \;$le 2^ème terme du 1^er membre définissant le moment résultant scalaire des forces intérieures par rapport à $\,\Delta \,$ appliqué au système de matière à l'instant $\,t\,$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}(t)=0\;$» ,
     Justification $\succ \;$le 2^ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique $\,M\,$ et de la dérivation temporelle » ,
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre se transformant, en «$\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace }{dt}}(t)\;$» , l'intégrale volumique $\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\,$ définissant le moment cinétique scalaire du
                 Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre se transformant, en «$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace }\;$», l'intégrale volumique $\,\color {transparent}{\displaystyle \iiint \sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}\,$ définissant système de matière en $\,\Delta \,$ à l'instant $\,t\,$ c.-à-d.
                 Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre se transformant, en «$\;\color {transparent}{d\!\left\lbrace \displaystyle \iiint _{M\,\in \ \left({\mathcal {V}}\right)}\sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]\right\rbrace }\;$», l'intégrale volumique $\,\color {transparent}{\displaystyle \iiint \sigma _{\Delta }\!\left[\left(M,\,d{\mathcal {V}}_{M}\right)\right]}\,$ définissant $\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\,$ d'où
     Justification $\color {transparent}{\succ }\;$le 2^ème membre égal à $\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\,$ : C.Q.F.J. .

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique scalaire relativement à un axe $\,\Delta \,$ en translation dans le référentiel d'étude $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen appliqué à un point matériel $\,M\;$
     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique scalaire relativement à un axe $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation dans le référentiel d'étude $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ galiléen à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Soit le système discret fermé de points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ avec $\,N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$» étudié dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen et
     Soit un axe $\,\Delta \,$ en translation dans $\,{\mathcal {R}}\,$ par rapport auquel on détermine les moments scalaires ;

     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\Delta \,$ en translation dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, appliqué à chaque point matériel $\,M_{i}\,$ dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ s'écrivant selon
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$» ,
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation «$\;{\vec {V}}_{\Delta }(t)\,$ étant le vecteur vitesse de translation de $\,\Delta \,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t$ $\,{\big (}$en absence de glissement
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{\Delta }(t)}\,$ étant le vecteur vitesse de translation de $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ dans $\,\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,\color {transparent}{t}$ $\,\color {transparent}{\big (}$le long de $\,{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\,$ et
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation «$\;{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$ le vecteur quantité de mouvement de $\,M_{i}\,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ au même instant $\,t$,
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on ajoute ces $\,N\,$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace$
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on ajoute ces $\,\color {transparent}{N}\,$ relations $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {d\sigma _{\Delta }(M_{i})}{dt}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$» et
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 1^er membre » système discret fermé de points matériels en $\,\Delta \,$
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 1^er membre » à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» ,
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^nd terme du 1^er membre » le moment résultant scalaire des forces intérieures
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 1^er membre » appliquées au système discret fermé de points
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 1^er membre » matériels en $\,\Delta \,$ à l'instant $\,t\,$ c.-à-d.
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 2^nd terme du 1^er membre » «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{int}}}(t)=0\;$» ,
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\bullet \;$« le 1^er terme du 2^nd membre » se réécrivant «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\sigma _{\Delta }(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» après
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle » , c.-à-d.
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er terme du 2^nd membre » s'identifiant à «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» $\,{\big \{}$dérivée
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« matériels en $\,\Delta \,$ à l'instant $\,t\,$ c.-à-d. «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}})(t)\;$» ${\big \}}\,$ et enfin
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\bullet \;$« le 2^nd terme du 2^nd membre » dans lequel on effectue une factorisation scalaire
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« à gauche par $\,{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right\rbrace \;$»
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« reconnaissant dans le 3^ème facteur du produit mixte $\,{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\,$ ${\big \{}$vecteur résultante
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« reconnaissant dans le 3^ème facteur cinétique du système de points matériels ${\big \}}\,$ $\Rightarrow$
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation on reconnaît dans $\color {transparent}{\bullet }\;$« reconnaissant dans le 3^ème facteur «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation ainsi le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation ainsi dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen, moments évalués relativement à un axe $\,\Delta \,$ en translation dans $\,{\mathcal {R}}$,
     le théorème du moment cinétique scalaire avec moments évalués par rapport à $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ en translation ainsi prend la forme «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où l'énoncé  :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\,\Delta \;$en translation dans $\,{\mathcal {R}}$, $\;{\big [}$l'axe $\,\Delta \,$ étant orienté par le vecteur unitaire $\,{\vec {u}}_{\Delta }{\big ]}$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe $\,\Delta \,$ appliqué à un système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ à l'instant $\,t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe $\,\Delta \,$ au même instant $\,t$ «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» et du produit mixte «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ dans lequel $\,{\vec {V}}_{\Delta }(t)\,$ est le vecteur vitesse de translation de $\,\Delta \,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ à l'instant $\,t$ $\,{\big (}$en absence de glissement le long de $\,{\vec {u}}_{\Delta }{\big )}\,$ et $\,{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\,$ le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ au même instant $\,t\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» .

     Remarque : Sachant que les relations d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique se déduisent de celles d'un système discret fermé de points matériels
     Remarque : en remplaçant les sommes discrètes du 2^nd par des sommes continues du 1^er $\,{\big (}$c.-à-d. mettant en œuvre dans le 1^er une intégrale volumique , surfacique ou curviligne ${\big )}$,
     Remarque : l'adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe$\;\Delta \;$d'évaluation des moments y est en translation
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;{\Big [}$les définitions du moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\,\Delta \,$ appliqué au système continu fermé de matière «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» ,
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions du moment cinétique scalaire par rapport à $\,\Delta \,$ du système étudié «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)\;$» et
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions du vecteur résultante cinétique du système considéré «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» résultent du remplacement de la somme discrète des
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique , surfacique ou curviligne des grandeurs
     Remarque : l'adaptation se généralise sans modification$\;\color {transparent}{\Big [}$les définitions associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle , surfacique ou linéique ${\Big ]}$.

Applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$est inapplicable pour$\;\Delta \;$mobile dans le référentiel$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen ,
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)(t)}\;$est sauf pour $\,\Delta \;$en translation dans$\;{\mathcal {R}}\;$ ${\big \{}$le vecteur unitaire
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)(t)}\;$est sauf pour $\,\color {transparent}{\Delta }\;$en translation dans$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ $\color {transparent}{\big \{}$l'orientant $\,{\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\text{cste}}}{\big \}}$
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels selon$\;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)(t)}\;$est sauf pour $\,\color {transparent}{\Delta }\;$ en tel que $\,\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=0$,
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels le théorème adapté à utiliser dans le cas où $\,\Delta \,$ est en translation dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen étant
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels }e théorème adapté à utiliser «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$»  :
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» avec «$\;G\;$ le C.D.I. du système discret
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, «$\;\color {transparent}{{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)}\;$» avec « fermé de points matériels » $\Rightarrow$
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, si l'axe $\,\Delta \,$ se translate parallèlement au plan $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {V}}_{G}(t)\right\rbrace \,$ ${\Big [}$c.-à-d.
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, si ${\vec {V}}_{\Delta }(t)\,$ coplanaire au plan $\,\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {V}}_{G}(t)\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{\Delta }\,,\,{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right\rbrace {\Big ]}$ $\Rightarrow$
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, si l'axe $\,\color {transparent}{\Delta }\,$ se translate parallèlement $\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta }(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=0\;$
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, le théorème du moment cinétique scalaire s'applique à un système discret
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec$\;\Delta \;$en translation
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\\{\text{si }}\;\left[{\vec {V}}_{\Delta }(t),\;{\vec {u}}_{\Delta },\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]\;{\text{coplanaires}}\end{array}}\right\rbrace \;$», le cas particulier
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, le plus fréquent étant celui où $\,\Delta \,$ se translate en passant par le C.D.I.
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, $G\,$ du système étudié en lui restant solidaire , $\,{\big \{}\Delta \,$ alors noté $\,\Delta _{G}{\big \}}$, $\Rightarrow$
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, le plus fréquent étant ${\vec {V}}_{\Delta }(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ d'où l'énoncé du théorème du
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour axe origine de
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, calcul des moments, l'axe $\,\Delta _{G}\,$ en translation dans $\,{\mathcal {R}}\,$ et
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, calcul des moments, l'axe $\,\color {transparent}{\Delta _{G}}\,$ solidaire du C.D.I. $\,G\,$ du système
      Le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels or, en cinétique newtonienne, ${\big (}$complément non à retenir mais à savoir justifier si besoin est${\big )}$ :

Dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\;$galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe $\,\Delta _{G}$, de direction fixée, passant par le C.D.I. $\,G\,$ du système discret fermé de points matériels $\,\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]}\,$ étudié, l'axe restant solidaire de $\,G\;$, le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système à l'instant $\,t\,$ en $\,\Delta _{G}\,$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système par rapport à $\,\Delta _{G}\,$ au même instant $\,t\,$ «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» .

Différents cas de conservation du moment cinétique vectoriel ou scalaire d'un système discret fermé de points matériels

Conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point$\;O\;$fixe dans le référentiel d'étude$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$»
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique en$\;O\;$appliqué au système est nul à tout instant$\;t\;$ c.-à-d. si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$»,
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système fermé de matière en un point $\,O\,$ fixe dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen soit
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre $\Rightarrow$ celle du 2^nd membre soit
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» ;
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport au point $\,O\,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\bullet \;$absence de forces extérieures c.-à-d. si le système fermé de matière est isolé,
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures toutes « centrales par rapport au point fixe$\;O\;$» ou
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures à vecteurs moments par rapport au point fixe$\;O\;$se compensant .

Conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe$\;\Delta \;$fixe dans le référentiel d'étude$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen à savoir «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$»
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire en$\;\Delta \;$appliqué au système est nul à tout instant$\;t\;$ c.-à-d. si «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)=0,\;\;\forall \;t\;$»,
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire appliqué au système fermé de matière en un axe $\,\Delta \,$ fixe dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen soit
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire propriété résultant du «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre $\Rightarrow$ celle du 2^nd membre soit
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire propriété résultant du «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;\sigma _{\Delta }\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$» ;
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière par rapport à l'axe $\,\Delta \,$ fixe dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\bullet \;$absence de forces extérieures c.-à-d. si le système fermé de matière est isolé,
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures «$\;\parallel \;$à ou de support coupant l'axe fixe$\;\Delta \;$» ou
     Il y a conservation du moment cinétique scalaire si le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures à moments scalaires par rapport à l'axe fixe$\;\Delta \;$se compensant .

Complément, conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) G dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son C.D.I. $\;G\;$quel que soit le mouvement de ce dernier dans le référentiel d'étude$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen à savoir
           Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$quel que soit le mouvement de ce dernier «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$»
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique en$\;G\;$appliqué au système est nul à tout instant$\;t\;$ c.-à-d. si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$»,
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système fermé de matière en $\,G\,$ mobile dans un référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen soit
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant du «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{G,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre $\Rightarrow$ celle du 2^nd membre
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel propriété résultant soit $\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{G}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» ;
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport à son C.D.I. $\,G\,$ mobile dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen,
                         Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport à son C.D.I. quel que soit son mouvement dans $\,{\mathcal {R}}$
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\bullet \;$absence de forces extérieures c.-à-d. si le système fermé de matière est isolé,
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big [}$dans le cadre de la dynamique newtonienne, $\,G\,$ a alors un mouvement rectiligne uniforme
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\big [}$dans le référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I. ${\big ]}$,
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures toutes « centrales par rapport au C.D.I. $\;G\;$» ou
     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel si le vecteur moment résultant dynamique peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures à vecteurs moments par rapport au C.D.I. $\;G\;$se compensant.

Complément, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ_G passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système en translation dans le référentiel d'étude galiléen

     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;{\mathcal {R}}\;$galiléen, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe$\;\Delta _{G}\;$de direction fixée, passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système,
         Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à l'axe restant solidaire du C.D.I. $\;G\;$, c.-à-d.
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$» si le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta _{G}\;$appliqué au système est nul à tout instant$\;t\;$ $\Leftrightarrow$
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, «$\;\color {transparent}{\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t}\;$» si «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)=0,\;\;\forall \;t\;$»,
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire applqué, dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, au système fermé de matière
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire applqué, par rapport à un axe $\,\Delta _{G}$, de direction fixe, solidaire du C.D.I. $\,G\,$ du système
           Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, propriété résultant du théorème du moment cinétique scalaire applqué, par rapport à un axe $\,\color {transparent}{\Delta _{G}}$, de direction fixe, solidaire du C.D.I. par lequel il passe
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, propriété résultant du «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{G},\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre $\Rightarrow$ celle du 2^nd membre
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, propriété résultant du soit $\,{\dfrac {d\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}}\right)}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;\sigma _{\Delta _{G}}\!\left({\text{syst. fermé}},\,t\right)={\text{cste}},\;\;\forall \;t\;$» ;
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière par rapport à l'axe $\,\Delta _{G}\,$ dans $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\bullet \;$absence de forces extérieures c.-à-d. si le système fermé de matière est isolé,
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\color {transparent}{\bullet }\;$${\big [}$dans le cadre de la dynamique newtonienne $\,G\,$ a un mouvement rectiligne uniforme dans le
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\color {transparent}{\bullet }\;$$\color {transparent}{\big [}$référentiel $\,{\mathcal {R}}\,$ galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I. ${\big ]}$,
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures «$\;\parallel \;$à ou de support coupant l'axe$\;\Delta _{G}\;$» ou enfin
     Il y a, dans le référentiel d'étude$\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\,$galiléen, le moment résultant dynamique scalaire peut être nul par $\bullet \;$des forces extérieures dont les moments scalaires par rapport à l'axe$\;\Delta _{G}\;$se compensant.