Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement

**Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 7
Chap. préc. :	Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques
Chap. suiv. :	Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse

Bien que nous devrions parler de « vecteur quantité de mouvement », l'usage suggère de dire simplement « quantité de mouvement ».

1^ère grandeur d'inertie d'un point matériel, la masse du point matériel

La 1^ère grandeur d'inertie^[1] d'un point matériel est « sa masse » notée $m$ , grandeur scalaire $> 0$ et exprimée en $k g$ ;
cette grandeur dépend de la nature et de la quantité de matière de l'objet modélisé par le point^[2].

Signification physique : Deux points distincts qui ont le même mouvement mais des masses différentes ne doivent pas être considérés comme équivalents du point de vue de la mécanique car ils n'ont pas les mêmes « réserves », il est en effet « plus difficile de dévier le point ayant la plus grande masse »^[3] ;

Signification physique : on en déduit la nécessité d'introduire, pour caractériser ces comportements différents du point, des grandeurs « cinétiques associées au point »^[4] et qui décrivent simultanément le « mouvement »^[5] et l'« inertie »^[6].

La masse « d'inertie » caractérise le point et « garde la même valeur par changement de référentiel », on dit que « la masse inerte est invariante par changement de référentiel »^[7].

1^ère grandeur cinétique d'un point matériel, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel

Le $($ vecteur $)$ quantité de mouvement du point matériel $M (m)$ est usuellement noté ${\vec{p}}_{M} (t)$ $[$ ou $\vec{p} (M)$ sans rappeler l'instant de définition ou encore $\vec{p} (t)$ quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le point $]$ , il est défini dans le référentiel d'étude cinématique où le point possède, à l'instant $t$ , un vecteur vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ .

Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne

En cinétique newtonienne $[$ c'est-à-dire si le point $M$ étudié est de vecteur vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ de norme petite relativement à $c$ , la vitesse de la lumière dans le vide, soit $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≪ c$ ou, en pratique et approximativement, $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ \frac{c}{10}$ en travaillant à $1 %$ près^[8] $]$ , le $($ vecteur $)$ quantité de mouvement du point matériel $M$ de masse $($ inerte $)$ $m$ et de vecteur vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude, est la grandeur vectorielle

«

{\vec{p}}_{M} (t) = m {\vec{V}}_{M} (t)

» ;

En cinétique newtonienne on peut donc dire que cette grandeur traduit une « réserve de mouvement inertiel »^[9] dans la mesure où elle tient compte de l'inertie d'une part $[$ elle est $\propto$ à la masse d'inertie du point $]$ et du mouvement d'autre part $[$ elle est $\propto$ au vecteur vitesse du point c'est-à-dire qu'elle a la même direction, le même sens $($ le cœfficient de proportionnalité étant $> 0)$ et que sa norme est $\propto$ à celle du vecteur vitesse du point $]$ .

Le $($ vecteur $)$ quantité de mouvement de $M$ dépend, comme son vecteur vitesse, du référentiel d'étude^[10] ;
ses composantes $($ et sa norme $)$ s'expriment en $k g \cdot m \cdot s^{- 1}$ ;

en cinétique newtonienne, cette grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » est liée à la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » et à la grandeur d'inertie scalaire « masse » selon

«

{\begin{matrix} grandeur cinétique \\ vectorielle \end{matrix}} = {\begin{matrix} grandeur d'inertie \\ scalaire \end{matrix}} \times {\begin{matrix} grandeur cinématique \\ vectorielle \end{matrix}}

».

Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste

Préliminaire : La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant, sous forme d'approche documentaire, dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique^[11], il semble utile la connaître.

Exposé : Si la cinétique newtonienne ne s'applique pas $[$ c'est-à-dire si le point $M$ étudié est de vecteur vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ de norme non petite relativement à $c$ , la vitesse de la lumière dans le vide, soit $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≪̸ c$ ou, en pratique et approximativement, $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≴ \frac{c}{10}$ en travaillant à $1 %$ près^[12] $]$ , on définit, dans le cadre de la cinétique relativiste, le $($ vecteur $)$ quantité de mouvement du point matériel $M$ de masse $($ inerte $)$ $m$ et de vecteur vitesse ${\vec{V}}_{M} (t)$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ , comme la grandeur vectorielle

«

{\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m {\vec{V}}_{M} (t)

» dans laquelle «

γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c})}^{2}}}

»
est appelé « facteur de Lorentz »^[13] du point

M

dans son mouvement dans le référentiel

ℛ

;

     Exposé : en cinétique relativiste, la grandeur cinétique vectorielle « quantité de mouvement » peut toujours être considérée
     Exposé : en cinétique relativiste, comme le produit de la grandeur cinématique vectorielle « vitesse » par une grandeur d'inertie scalaire « $γ_{M} (t) m$ » nommée « masse apparente » mais
     Exposé : en cinétique relativiste, la « masse apparente » est non invariante par changement de référentiel^[14] en effet « $m_{app} (t) = γ_{M} (t) m = \frac{m}{\sqrt{1 - {(\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c})}^{2}}} ↗$ quand $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ↗$ »^[15],
     Exposé : en cinétique relativiste, la masse apparente devenant $\infty$ quand $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ \to c$ , vitesse de la lumière dans le vide^[16].

     Établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable^[17] : si la particule est non relativiste c'est-à-dire si $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≪ c$ ,
     Établissement de la condition de vitesse on peut alors définir $\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c} ≪ 1$ comme infiniment petit d'ordre un^[18] et
     Établissement de la condition de vitesse on peut développer le facteur de Lorentz^[13] $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c})}^{2}}}$ relativement à cet infiniment petit soit
     Établissement de la condition de vitesse on peut $γ_{M} (t) = {[1 - {(\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c})}^{2}]}^{- \frac{1}{2}} ≃ 1 - (- \frac{1}{2}) {(\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c})}^{2}$ à l'ordre un en ${(\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c})}^{2}$ ^[19] ou à l'ordre deux en $\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c}$ ou encore
     Établissement de la condition de vitesse on peut « $γ_{M} (t) ≃ 1 + \frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖^{2}}{2 c^{2}}$ à l'ordre deux en l'infiniment petit d'ordre un $\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c}$ » d'où
     Établissement de la condition de vitesse on peut « $γ_{M} (t) ≃ 1$ à $1 0^{- 2}$ près si $\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖^{2}}{2 c^{2}} < 1 0^{- 2}$ » soit finalement si « $\frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c} ≲ \sqrt{2} 1 0^{- 1} ≃ 0, 14$ ».

Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 14 c$ » ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon $β_{M} (t) = \frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c}$ ^[20]
Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $β_{M} (t) ≲ 0, 14$ » la cinétique newtonienne est applicable à moins de $1 %$ près d'où « ${\vec{p}}_{M} (t) ≃ m {\vec{V}}_{M} (t)$ »,

     Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≴ 0, 14 c$ » ou, en introduisant la notion relativiste de vitesse relative définie selon $β_{M} (t) = \frac{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}{c}$ ^[20]
     Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $β_{M} (t) ≴ 0, 14$ » la cinétique relativiste doit être utilisée^[21] d'où « ${\vec{p}}_{M} (t) = γ_{M} (t) m [β_{M} (t) c {\vec{τ}}_{M} (t)]$ »^[22] avec
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $β_{M} (t) ≴ 0, 14$ » la cinétique relativiste doit être utilisée « ${\vec{τ}}_{M} (t) = \frac{{\vec{V}}_{M} (t)}{‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖}$ vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire »,
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $β_{M} (t) ≴ 0, 14$ » la cinétique relativiste doit être utilisée « $β_{M} (t) c = ‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≳ 0, 14 c$ la norme de la vitesse » et
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $β_{M} (t) ≴ 0, 14$ » la cinétique relativiste doit être utilisée « $γ_{M} (t)$ le facteur de Lorentz^[13] s'écrivant avec la vitesse relative $β (t)$ ^[20]
          Établissement de la condition de vitesse En conclusion : $≻$ « si $β_{M} (t) ≴ 0, 14$ » la cinétique relativiste doit être utilisée selon $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - β_{M}^{2} (t)}}$ toujours $> 1, 01$ ^[23] ».

     Cinétique ultra relativiste c'est-à-dire quand la norme du vecteur vitesse $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖$ est voisine de sa valeur maximale $c$ $[$ ou quand sa vitesse relative $β_{M} (t)$ est voisine de $1]$ :
     Cinétique ultra relativiste la notion de vitesse instantanée n'a plus réellement de sens car une $↗$ notable de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ entraîne une $↗$ infime de $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖$ ^[24] et par suite
     Cinétique ultra relativiste la $↗$ notable de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖ = m_{app} (t) ‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖$ ne peut se manifester que par une $↗$ importante de la masse apparente $($ c'est-à-dire de l'inertie $)$ ;

     Cinétique ultra relativiste vérifions cela quantitativement en posant « $β_{M} (t) = 1 - ε_{M} (t)$ »^[25] avec « $ε_{M} (t) ≪ 1$ définissant un infiniment petit d'ordre un^[18] » et
     Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz^[13] $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - β_{M}^{2} (t)}}$ en fonction de $ε (t)$ soit $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - {[1 - ε_{M} (t)]}^{2}}}$ ou,
            Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz en prenant le D.L^[26]. de ${[1 - ε_{M} (t)]}^{2}$ à l'ordre un en $ε (t)$ , « ${[1 - ε_{M} (t)]}^{2} ≃ 1 - 2 ε_{M} (t)$ »^[27] dont on déduit
            Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz « $\frac{1}{γ_{M}^{2} (t)} = 1 - {[1 - ε_{M} (t)]}^{2} ≃ 2 ε_{M} (t)$ » $\Rightarrow$ « $γ_{M} (t) ≃ \frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}}$ » c._à_d. un infiniment grand et par suite
            Cinétique ultra relativiste exprimons le facteur de Lorentz la masse apparente définie selon « $m_{app} (t) = γ_{M} (t) m$ devient $≃ \frac{m}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}}$ » c._à_d. également un infiniment grand ;
     Cinétique ultra relativiste on en déduit « $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖ = m_{app} (t) β_{M} (t) c ≃ \frac{m}{\sqrt{2 ε (t)}} [1 - ε (t)] c ≃ \frac{m c}{\sqrt{2 ε (t)}} - \frac{m c \sqrt{ε (t)}}{\sqrt{2}}$ »^[28] soit finalement
     Cinétique ultra relativiste on en déduit « $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖ ≃ \frac{m}{\sqrt{2 ε (t)}} c \to \infty$ » avec « $ε (t) = 1 - β_{M} (t) ≪ 1$ » ${$ « $\frac{m}{\sqrt{2 ε (t)}} \to \infty$ étant le D.L^[26]. de $m_{app} = \frac{m}{\sqrt{1 - β_{M}^{2} (t)}} \to \infty$ »^[29] $}$ .

Résultante cinétique d'un système de points matériels, définition

Le programme de physique de PCSI parle de « quantité de mouvement » d'un système de points matériels au lieu de « résultante cinétique »^[30].

Masse d'un système de points matériels (définie comme 1^ère grandeur d'inertie associée au système)

La masse $m_{syst}$ d'un système de points matériels ${M_{i} (m_{i})}_{i = 1 .. N}$ est définie comme la somme des masses des points matériels le constituant c'est-à-dire « $m_{syst} = \sum_{i = 1 .. N} m_{i}$ » ;

si le système est fermé, c'est-à-dire si $N = c s t e$ , sa masse est constante ;

     si le système est ouvert, étant défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $(Σ)$ , $N$ pouvant varier, il en est de même de la masse du système :
     si le système est ouvert, $≻$ $m_{syst} ↗$ s'il y a entrée de points matériels à l'intérieur de $(Σ)$ ,
     si le système est ouvert, $≻$ $m_{syst} ↘$ s'il y a sortie de points matériels à l'intérieur de $(Σ)$ et
     si le système est ouvert, $≻$ $m_{syst}$ restant constante s'il y a écoulement stationnaire à travers $(Σ)$ , la masse des points entrant étant égale à la masse des points sortant pendant la même durée^[31].

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ ^[32], la masse d'un système fermé $m_{(𝒮)}$ reste conservée mais
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système ouvert $m_{(𝒮)}$ varie comme celle d'un système discret de points matériels ouvert :
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système ouvert $≻$ $m_{(𝒮)} ↗$ s'il y a globalement entrée de matière à l'intérieur de $(Σ)$ ,
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système ouvert $≻$ $m_{(𝒮)} ↘$ s'il y a globalement sortie de matière de l'intérieur de $(Σ)$ et
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système ouvert $≻$ $m_{(𝒮)} = c s t e$ pour des entrées de matière à l'intérieur de $(Σ)$
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système ouvert $≻$ $m_{(𝒮)} = c s t e$ pour globalement compensées par
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système ouvert $≻$ $m_{(𝒮)} = c s t e$ pour des sorties de matière de l'intérieur de $(Σ)$ ;

           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système continu de matière fermé limité par la surface $(Σ)$ est définie par
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système continu de matière fermé « $m_{(𝒮)} = \underset{int de (𝒮)_{t}}{∭} ρ (M, t) d 𝒱$ »^[33] avec « $ρ (M, t)$
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système continu de matière fermé la masse volumique au point $M$ et à l'instant $t$ »^[34] ;

           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ un système continu de matière fermé indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , a une masse se définissant selon
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ un système continu de matière fermé indéformable « $m_{(𝒮)} = \underset{int de (𝒮)}{∭} ρ (M) d 𝒱$ »^[33] avec « $ρ (M)$
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ un système continu de matière fermé indéformable la masse volumique au point $M$ ne dépendant pas de $t$
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ un système continu de matière fermé indéformable et la surface $(Σ)$ limitant le système non plus ;

           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système continu de matière ouvert de surface de contrôle $(Σ)$ est définie, à l'instant $t$ par
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système continu de matière ouvert « $m_{(𝒮)} (t) = \underset{int de (𝒮)_{t}}{∭} ρ (M, t) d 𝒱$ »^[33] avec « $ρ (M, t)$
           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ la masse d'un système continu de matière ouvert la masse volumique au point $M$ et à l'instant $t$ »^[35].

Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle $($ c'est-à-dire surfacique $)$ ou
Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion unidimensionnelle $($ c'est-à-dire curviligne $)$ ;

Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $(𝒮)$ limité par la courbe $(𝒞)$ ^[36] a une masse $m_{(𝒮)}$ définie par « $m_{(𝒮)} = \iint_{int de (𝒮)_{t}} σ (M, t) d S$ »^[37] avec « $σ (M, t)$
Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $(𝒮)$ limité par la courbe $(𝒞)$ a une masse $m_{(𝒮)}$ définie par la masse surfacique au point $M$ et à l'instant $t$ »^[38] ;

Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $(𝒮)$ limité par les points $(A, B)$ ^[39] a une masse $m_{(𝒮)}$ définie par « $m_{(𝒮)} = \int_{int de (\overset{⌢}{A B})_{t}} λ (M, t) d 𝑙$ »^[40] avec « $λ (M, t)$
Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $(𝒮)$ limité par les points $(A, B)$ a une masse $m_{(𝒮)}$ définie par la masse linéique au point $M$ et à l'instant $t$ »^[41].

Définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système

     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ d'un système de points matériels ${M_{i} (m_{i})}_{i = 1 .. N}$ en mouvement dans le référentiel $ℛ$ , chaque point $M_{i}$ étant de quantité de mouvement ${\vec{p}}_{M_{i}} (t)$ à l'instant $t$
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ est définie, à cet instant $t$ , par la somme des quantités de mouvement au même instant $t$ des points matériels le constituant c'est-à-dire
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ est définie, à cet instant $t$ , par « ${\vec{P}}_{syst} (t) = \sum_{i = 1 .. N} {\vec{p}}_{M_{i}} (t)$ » applicable en cinétiques newtonienne ou relativiste ;
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit « ${\vec{P}}_{syst} (t) = \sum_{i = 1 .. N} m_{i} {\vec{V}}_{M_{i}} (t)$ » avec
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit « ${\vec{V}}_{M_{i}} (t)$ le vecteur vitesse du point $M_{i}$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ » ;
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit « ${\vec{P}}_{syst} (t) = \sum_{i = 1 .. N} γ_{M_{i}} (t) m_{i} {\vec{V}}_{M_{i}} (t)$ »^[42] avec
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit « ${\vec{V}}_{M_{i}} (t)$ le vecteur vitesse du point $M_{i}$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ » et
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ en cinétique relativiste la résultante cinétique se réécrit « $γ_{M_{i}} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{‖ {\vec{V}}_{M_{i}} (t) ‖}{c})}^{2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_{i}$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ » ;

La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ si le système est fermé, c'est-à-dire si $N = c s t e$ , sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;

     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle $(Σ)$ , $N$ pouvant varier,
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier : $≻$ par entrée ou sortie de la quantité de mouvement des points matériels entrant ou sortant et $($ ou $)$
     La résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ si le système est ouvert, sa résultante cinétique peut varier : $≻$ par modification de la quantité de mouvement des points initialement présents.

Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ limité par la surface $(Σ)$ ^[32], la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ peut varier comme celle d'un système discret de points matériels :

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ la résultante cinétique d'un système fermé limité par la surface $(Σ)$ est définie par « ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t) = \underset{int de (𝒮)_{t}}{∭} {\vec{P}}_{volum} (M, t) d 𝒱$ »^[33] avec
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ la résultante cinétique d'un système « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = \frac{d \vec{p}}{d 𝒱} (M, t)$ la quantité de mouvement volumique en $M$ , à l'instant $t$ »^[43]^,^[44] ;
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ un système continu de matière fermé indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , a une résultante cinétique se définissant selon
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ un système continu de matière fermé indéformable « ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t) = \underset{int de (𝒮)}{∭} {\vec{P}}_{volum} (M, t) d 𝒱$ »^[33] avec « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = \frac{d \vec{p}}{d 𝒱} (M, t)$
                           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ un système continu de matière fermé indéformable la quantité de mouvement volumique en $M$ , à l'instant $t$ »,
                           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ un système continu de matière fermé indéformable la surface $(Σ)$ limitant $(𝒮)$ ne dépendant pas de $t$ ainsi que
                           Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ un système continu de matière fermé indéformable la masse volumique au point $M$ notée $ρ (M)$ ^[45] ;

     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ la résultante cinétique d'un système ouvert de surface de contrôle $(Σ)$ est définie, à l'instant $t$ par
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ la résultante cinétique d'un système ouvert « ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t) = \underset{int de (𝒮)_{t}}{∭} {\vec{P}}_{volum} (M, t) d 𝒱$ »^[33] avec « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = \frac{d \vec{p}}{d 𝒱} (M, t)$
     Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière $(𝒮)$ la résultante cinétique d'un système ouvert la quantité de mouvement volumique au point $M$ et à l'instant $t$ »^[46]^,^[47].

Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion bidimensionnelle $($ c'est-à-dire surfacique $)$ ou
Remarque : Les systèmes continus de matière étudiés ci-dessus étaient d'expansion tridimensionnelle mais ils peuvent aussi être d'expansion unidimensionnelle $($ c'est-à-dire curviligne $)$ ;

Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $(𝒮)$ limité par la courbe $(𝒞)$ ^[36] est de résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ telle que « ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t) = \iint_{int de (𝒮)_{t}} {\vec{P}}_{surf} (M, t) d S$ »^[37]^,^[48]
Remarque : un système continu de matière d'expansion bidimensionnelle $(𝒮)$ limité par la courbe $(𝒞)$ avec « ${\vec{P}}_{surf} (M, t) = \frac{d \vec{p}}{d S} (M, t)$ la quantité de mouvement surfacique en $M$ , à $t$ »^[49] ;

Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $(𝒮)$ limité par $(A, B)$ ^[39] est de résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ telle que « ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t) = \int_{int de (\overset{⌢}{A B})_{t}} {\vec{P}}_{lin} (M, t) d 𝑙$ »^[40]^,^[50]
Remarque : un système continu de matière d'expansion unidimensionnelle $(𝒮)$ limité par $(A, B)$ avec « ${\vec{P}}_{lin} (M, t) = \frac{d \vec{p}}{d 𝑙} (M, t)$ la quantité de mouvement linéique en $M$ , à $t$ »^[51].

Lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé

Le programme de physique de PCSI n'exige la démonstration de ce lien que pour un système de deux points matériels, mais
celle-ci n'étant pas plus compliquée pour un système de

N

points avec

N > 2

, nous n'utiliserons pas cette restriction.

Énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé

     Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ d'un système de points matériels fermé définie à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$
     Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ est liée au vecteur vitesse du C.D.I^[52]. $G$ du système au même instant $t$ dans le même référentiel $ℛ$
     Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ par « ${\vec{P}}_{syst} (t) = m_{syst} {\vec{V}}_{G} (t)$ »^[53]^,^[54].

Démonstration

$O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , le vecteur position du C.D.I^[52]. $G$ du système de points matériels fermé ${M_{i} (m_{i})}_{i = 1 .. N}$
$O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , le vecteur position du C.D.I. $G$ est tel que « $m_{syst} \vec{O G} (t) = \sum_{i = 1 .. N} m_{i} \vec{O M_{i}} (t)$ »^[55] ;

      $O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , dérivant cette relation par rapport à $t$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation
      $O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{syst} \frac{d \vec{O G}}{d t} (t) = \sum_{i = 1 .. N} m_{i} \frac{d \vec{O M_{i}}}{d t} (t)$ »^[56] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
      $O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{syst} {\vec{V}}_{G} (t) = \sum_{i = 1 .. N} m_{i} {\vec{V}}_{M_{i}} (t)$ »,
      $O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient le 2^ème membre définissant la résultante cinétique ${\vec{P}}_{syst} (t)$ du système de points matériels fermé
      $O$ étant un point fixe du référentiel d'étude $ℛ$ , dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient le 2^ème membre définissant en cinétique newtonienne, la propriété énoncée est donc démontrée.

Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , le vecteur position du C.D.I^[52]. $G$ du système $(𝒮)$ d'expansion tridimensionnelle $(𝒱)$
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , le vecteur position du C.D.I. est tel que « $m_{(𝒮)} \vec{O G} (t) = \underset{(𝒱)}{∭} ρ (M) \vec{O M} (t) d 𝒱$ »^[33]^,^[57]^,^[58] ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation^[59]
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{(𝒮)} \frac{d \vec{O G}}{d t} (t) = \underset{(𝒱)}{∭} ρ (M) \frac{d \vec{O M}}{d t} (t) d 𝒱$ »^[33]^,^[60] ou,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{(𝒮)} {\vec{V}}_{G} (t) = \underset{(𝒱)}{∭} ρ (M) {\vec{V}}_{M} (t) d 𝒱$ »^[33], le 2^ème membre étant
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ du système continu de matière fermé et
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ indéformable en cinétique newtonienne ;

Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , le vecteur position du C.D.I^[52]. $G$ du système bidimensionnel $(𝒮)$ de surface $(S)$
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , le vecteur position du C.D.I. est tel que « $m_{(𝒮)} \vec{O G} (t) = \iint_{(S)} σ (M) \vec{O M} (t) d S$ »^[37]^,^[61]^,^[62] ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation^[59]
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{(𝒮)} \frac{d \vec{O G}}{d t} (t) = \iint_{(S)} σ (M) \frac{d \vec{O M}}{d t} (t) d S$ »^[37]^,^[63] ou,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{(𝒮)} {\vec{V}}_{G} (t) = \iint_{(S)} σ (M) {\vec{V}}_{M} (t) d S$ »^[37], le 2^ème membre étant
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ du système continu de matière fermé et
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ indéformable en cinétique newtonienne ;

Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , le vecteur position du C.D.I^[52]. $G$ du système unidimensionnel $(𝒮)$ de courbe $(Γ)$
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable $($ c'est-à-dire un solide $)$ , le vecteur position du C.D.I. est tel que « $m_{(𝒮)} \vec{O G} (t) = \int_{(Γ)} λ (M) \vec{O M} (t) d 𝑙$ »^[40]^,^[64]^,^[65] ;

     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation^[59]
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{(𝒮)} \frac{d \vec{O G}}{d t} (t) = \int_{(Γ)} λ (M) \frac{d \vec{O M}}{d t} (t) d 𝑙$ »^[40]^,^[66] ou,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ en utilisant la définition des vecteurs vitesse,
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient « $m_{(𝒮)} {\vec{V}}_{G} (t) = \int_{(Γ)} λ (M) {\vec{V}}_{M} (t) d 𝑙$ »^[40], le 2^ème membre étant
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ du système continu de matière fermé et
     Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable dérivant cette relation par rapport à $t$ on obtient la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ indéformable en cinétique newtonienne ;

Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : la résultante cinétique ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t)$ du système continu de matière $(𝒮)$ fermé et indéformable s'écrit,
Remarque : considérant un système continu de matière fermé et indéformable conclusion : à l'instant $t$ et dans le référentiel $ℛ$ , selon « ${\vec{P}}_{(𝒮)} (t) = m_{(𝒮)} {\vec{V}}_{G} (t)$ » en cinétique newtonienne.

Notes et références

↑ Les grandeurs d'inertie d'un point étant des grandeurs caractérisant le point dans sa possibilité de s'opposer à son mouvement, plus une grandeur d'inertie sera grande, plus le mouvement du point sera difficile à modifier.
↑ Bien que la notion de quantité de matière nécessite une certaine étendue de l'objet de façon à pouvoir dénombrer $($ en théorie $)$ les entités le constituant, cela n'interdit pas que ce dernier soit modélisé par un point dans une étude particulière, en effet la modélisation est considérée comme possible si la taille de l'objet est petite relativement aux autres longueurs intervenant dans le problème, par exemple la Terre peut être assimilée à un point matériel si on étudie son déplacement dans le système solaire.
↑ La difficulté de modifier le mouvement d'un point définit son « inertie », plus c'est difficile pour un mouvement donné plus l'inertie du point est grande ;
   on peut d'ailleurs ajouter le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
   bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont $($ à l'heure actuelle $)$ des mesures identiques à $1 0^{- 13}$ près $($ on a en effet vérifié à $1 0^{- 13}$ près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à $1 0^{- 13}$ près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à $1$ et d'identifier les deux masses $)$ ;
   des mesures plus poussées ont été prévues $[$ placement en orbite héliosynchrone le $25 avril 2016$ du satellite français « Microscope » $($ acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence $)$ pour une mission financée et pilotée par le CNES $($ Centre national d'études spatiales $)]$ dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à $1 0^{- 15}$ près $[$ en décembre $2017$ de 1^ers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins $2 1 0^{- 14}$ près $\dots]$ ;
   l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en $1916$ $[$ Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique $] \dots$
↑ Vous en connaissez déjà une « l'énergie cinétique » vue dans les paragraphes « énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « analogie électromécanique en terme de puissance et d'énergie entre le pendule élastique vertical amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » concernant l'oscillateur harmonique $($ amorti ou non $)$ .
↑ Mouvement défini grâce à une grandeur cinématique comme « le vecteur-vitesse », sa norme intervenant effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».
↑ Inertie définie grâce à une grandeur d'inertie comme « la masse $($ inerte $)$ » qui intervient effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».
↑ Cela reste vrai en cinétique relativiste $($ contrairement à ce qu'on entend parfois disant que la masse $↗$ avec la vitesse mais ceci est faux, la masse dépend de la quantité de matière et celle-ci reste la même quel que soit le référentiel choisi $)$ .
↑ Plus précisément $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 14 c ≃ 42 000 k m \cdot s^{- 1}$ pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste soit inférieure à $1 %$ , justification au paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » plus loin de ce chapitre.
↑ C'est encore le cas en cinétique relativiste avec une dépendance au mouvement différente.
↑ La dépendance de la quantité de mouvement relativement au changement de référentiel résulte de l'indépendance de la masse inerte et de la dépendance du vecteur vitesse $\dots$
↑ Voir le paragraphe « approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique » du chap. $24$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Plus précisément $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≴ 0, 14 c ≃ 42 000 k m \cdot s^{- 1}$ pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste ne soit pas inférieure à $1 %$ , justification ci-dessous dans ce paragraphe.
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $[$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier $]$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
   Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $[$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886]$ .
   Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\dots$
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Par contre on rappelle que la masse d'inertie $m$ est invariante par changement de référentiel.
↑ Mais notez bien que ce n'est absolument pas la masse d'un objet qui croît avec la norme du vecteur vitesse de ce dernier car sa masse d'inertie garde une valeur constante quelle que soit la vitesse de l'objet $\dots$
↑ Dans toutes les situations la masse apparente d'un objet est supérieure ou égale à sa masse d'inertie.
↑ À la quantité de mouvement et à moins de $1 %$ près.
↑ ^18,0 et ^18,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordre successif » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε$ à l'ordre un en $ε$ avec $n = - \frac{1}{2}$ .
↑ ^20,0 ^20,1 et ^20,2 C.-à-d. la mesure de la vitesse exprimée en unité $c$ $($ utilisée exclusivement en cinématique relativiste $)$ .
↑ L'utilisation de la cinétique newtonienne à mauvais escient entraînant une erreur de plus de $1 %$ .
↑ Pouvant encore s'écrire « ${\vec{p}}_{M} (t) = m_{app} (t) [β_{M} (t) c {\vec{τ}}_{M} (t)]$ » avec « $m_{app} (t) = γ_{M} (t) m$ » la “ masse apparente ” », « $β_{M} (t) c {\vec{τ}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse », « $β_{M} (t) c$ étant la vitesse instantanée » et « $β_{M} (t)$ la vitesse relative c.-à-d. la mesure de la vitesse instantanée en unité $c$ ».
↑ En effet $β_{M} (t) ≳ 0, 14$ $\Rightarrow$ $β_{M}^{2} (t) ≳ 0, 02$ $\Rightarrow$ $1 - β_{M}^{2} (t) ≲ 0, 98$ $\Rightarrow$ $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - β_{M}^{2} (t)}} ≳ \frac{1}{\sqrt{0, 98}} ≃ 1, 01$ valeur par défaut.
↑ La vitesse instantanée ayant pratiquement atteint sa valeur limite ne peut $↗$ que d'une quantité très petite.
↑ $ε_{M} (t)$ étant évidemment $> 0$ .
↑ ^26,0 et ^26,1 Développement Limité.
↑ Voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε$ à l'ordre un en $ε$ avec $n = 2$ et $ε$ changé en son opposé.
↑ Quand on fait des développements limités $($ D.L. $)$ successifs, il faut toujours s'assurer que l'on n'a pas supprimé auparavant des infiniment petits de même ordre ou d'ordre inférieur à ceux qui apparaissent à cet instant, ainsi dans le cas présent, ;
si on garde $β_{M}^{2} (t) = {[1 - ε_{M} (t)]}^{2} = 1 - 2 ε_{M} (t) + ε_{M}^{2} (t)$ $\Rightarrow$ $1 - β_{M}^{2} (t) = 2 ε_{M} (t) - ε_{M}^{2} (t) = 2 ε_{M} (t) [1 - \frac{ε_{M} (t)}{2}]$ d'où $γ_{M} (t) = {[1 - β_{M}^{2} (t)]}^{- \frac{1}{2}}$ se réécrit $γ_{M} (t) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}} {[1 - \frac{ε_{M} (t)}{2}]}^{- \frac{1}{2}} ≃ \frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}} [1 + \frac{ε_{M} (t)}{4}]$ ${$ utilisant le D.L. de ${[1 - \frac{ε_{M} (t)}{2}]}^{- \frac{1}{2}}$ à l'ordre un en $\frac{ε_{M} (t)}{2}$ voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε$ à l'ordre un en $ε$ avec $n = - \frac{1}{2}$ et $ε$ remplacé par $- \frac{ε_{M} (t)}{2}}$ soit finalement $γ_{M} (t) ≃$ $\frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}} + \frac{\sqrt{ε_{M} (t)}}{4 \sqrt{2}}$ , ce dernier terme $\frac{\sqrt{ε_{M} (t)}}{4 \sqrt{2}}$ supprimé dans le D.L. de $γ_{M} (t)$ étant de même ordre que le 2^ème terme $- \frac{m c \sqrt{ε_{M} (t)}}{\sqrt{2}}$ qui apparaît dans le D.L. de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ , il est impératif de supprimer ce 2^ème terme $- \frac{m c \sqrt{ε_{M} (t)}}{\sqrt{2}}$ du D.L. de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ sous peine d'erreurs dans le D.L. final de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ concernant cet ordre $\dots$
↑ En cinétique ultra relativiste, pratiquement seule la masse apparente varie, la vitesse restant quasiment constante n'a plus aucun intérêt ;
En cinétique ultra relativiste, une $↗$ notable de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ s’accompagne d'une stagnation de la vitesse et d'une $↗$ importante de l'inertie.
↑ L'avantage de l'emploi du terme « résultante cinétique » est de rappeler qu'il s'agit d'une somme des quantités de mouvement de chaque point matériel ;
toutefois, le programme rend licite l'emploi de « quantité de mouvement d'un système de points matériels » même si je ne partage pas ce point de vue.
↑ On peut également définir l'écoulement stationnaire comme un écoulement tel que le débit massique entrant $D_{m, ent} = \frac{δ m_{ent}}{δ t}$ est égal au débit massique sortant $D_{m, sort} = \frac{δ m_{sort}}{δ t}$ $($ les deux s'exprimant en $k g \cdot s^{- 1})$ , $δ m_{ent}$ et $δ m_{ent}$ étant respectivement les masses entrante et sortante pendant la durée $δ t$ .
↑ ^32,0 et ^32,1 Celle-ci étant la surface limitant l'expansion tridimensionnelle d'un système fermé ou la surface de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.
↑ ^33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 ^33,5 ^33,6 ^33,7 et ^33,8 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La surface limite $(Σ)$ devant aussi dépendre de $t$ si la masse volumique en dépend car la masse d'un système fermé doit rester constante,
par exemple le système constitué d'un ballon de baudruche contenant de l'air et montant dans l'atmosphère a son enveloppe se dilatant simultanément à la masse volumique de l'air intérieur au ballon diminuant pendant l'ascension de ce dernier, la surface limitant son contenu devant évidemment croître de façon à assurer la constance de la masse d'air.
↑ La surface de contrôle $(Σ)$ étant fixe ne dépend pas de $t$ mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, le système continu de matière ouvert dépend de $t$ d'où la notation $(𝒮)_{t}$ et la masse volumique au point $M$ en dépend aussi ;
s'il y a entrée de matière $m_{(𝒮)_{t}} ↗$ , s'il y a sortie de matière $m_{(𝒮)_{t}} ↘$ et en cas d'écoulement stationnaire $m_{(𝒮)_{t}}$ reste constante.
↑ ^36,0 et ^36,1 Celle-ci étant la courbe limitant l'expansion bidimensionnelle d'un système fermé ou la courbe de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.
↑ ^37,0 ^37,1 ^37,2 ^37,3 et ^37,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La courbe limite $(𝒞)$ d'un système fermé devant aussi dépendre de $t$ si la masse surfacique en dépend car sa masse doit rester constante,
par contre, pour un système ouvert, la courbe limite $(𝒞)$ ne dépend pas de $t$ mais le plus souvent la masse surfacique en dépend ce qui entraîne que la masse du système ouvert en dépend aussi.
↑ ^39,0 et ^39,1 Celui-ci étant le couple d'extrémités limitant l'expansion unidimensionnelle d'un système fermé ou le couple d'extrémités de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.
↑ ^40,0 ^40,1 ^40,2 ^40,3 et ^40,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le couple de points $(A, B)$ d'un système fermé devant aussi dépendre de $t$ si la masse linéique en dépend car sa masse doit rester constante,
par contre, pour un système ouvert, le couple de points $(A, B)$ est fixe donc ne dépend pas de $t$ mais le plus souvent la masse linéique en dépend ce qui entraîne que la masse du système ouvert en dépend aussi.
↑ Cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste $[$ pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel $($ ou non $)$ et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est $≪̸ c]$ , la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique $[$ en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération ${\vec{a}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ est $\propto$ à la résultante dynamique ${\vec{F}}_{ext} (t)$ alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération ${\vec{a}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ est a priori $\propto̸$ à la résultante dynamique ${\vec{F}}_{ext} (t)$ , cette dernière étant $\propto$ à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement $\frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique $]$ .
↑ La surface limite $(Σ)$ dépendant de $t$ si le volume du système fermé varie.
↑ La quantité de mouvement volumique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = ρ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ » où « $ρ (M, t)$ est la masse volumique du milieu au point $M$ et à l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse du point $M$ au même instant $t$ ».
↑ Une conséquence est que la quantité de mouvement volumique s'écrit, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = ρ (M) {\vec{V}}_{M} (t)$ » mais cette dernière dépend a priori de $t$ dans la mesure où ${\vec{V}}_{M} (t)$ en dépend.
↑ La surface de contrôle $(Σ)$ étant fixe ne dépend pas de $t$ mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, la quantité de mouvement volumique au point $M$ doit, quant à elle et à l'exception de cas très particuliers, dépendre de $t$ .
↑ En cinétique newtonienne la quantité de mouvement volumique s'écrit « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = ρ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ », avec la masse volumique $ρ (M, t)$ au point $M$ devant dépendre de $t$ dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière.
↑ La courbe limite $(𝒞)$ d'un système fermé pouvant dépendre de $t$ est la raison pour laquelle le domaine d'intégration est noté $int de (𝒮)_{t}$ ,
par contre, pour un système ouvert, la courbe limite $(𝒞)$ ne dépend pas de $t$ mais l'intérieur du système a priori en dépend d'où cette même notation $int de (𝒮)_{t}$ .
↑ La quantité de mouvement surfacique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{surf} (M, t) = σ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ » où « $σ (M, t)$ est la masse surfacique du milieu au point $M$ et à l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse du point $M$ au même instant $t$ ».
↑ Le couple de points $(A, B)$ limitant un système fermé pouvant dépendre de $t$ est la raison pour laquelle le domaine d'intégration est noté $int de (\overset{⌢}{A B})_{t}$ ,
par contre, pour un système ouvert, le couple de points $(A, B)$ limitant le système ouvert ne dépend pas de $t$ mais l'intérieur du système a priori en dépend d'où cette même notation $int de (𝒮)_{t}$ .
↑ La quantité de mouvement linéique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{lin} (M, t) = λ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ » où « $λ (M, t)$ est la masse linéique du milieu au point $M$ et à l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse du point $M$ au même instant $t$ ».
↑ ^52,0 ^52,1 ^52,2 ^52,3 et ^52,4 Centre D'Inertie.
↑ C'est aussi la quantité de mouvement à l'instant $t$ et dans le référentiel $ℛ$ du point fictif $G$ affecté du cœfficient « masse du système $m_{syst}$ ».
↑ Pour que cette propriété soit encore applicable à un système continu de matière fermé, celui-ci doit être aussi indéformable.
↑ Voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels (propriété) » du chap. $5$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ $m_{syst} = c s t e$ pour un système fermé, la dérivée temporelle de $m_{syst} \vec{O G} (t)$ est donc $m_{syst}$ que multiplie la dérivée temporelle de $\vec{O G} (t)$ mais ce serait faux pour un système ouvert, c'est donc la raison pour laquelle le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du C.D.I. n'est applicable que pour un système fermé.
↑ La masse volumique $ρ (M)$ au point $M$ est indépendante de $t$ car le système est supposé indéformable.
↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^59,0 ^59,1 et ^59,2 Encore applicable envers les opérations d'intégration.
↑ Le système continu de matière étant fermé sa masse $m_{(𝒮)}$ est constante et le système étant indéformable sa masse volumique au point générique $M$ est indépendante de $t$ d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.
↑ La masse surfacique $σ (M)$ au point $M$ est indépendante de $t$ car le système est supposé indéformable.
↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le système continu de matière étant fermé sa masse $m_{(𝒮)}$ est constante et le système étant indéformable sa masse surfacique au point générique $M$ est indépendante de $t$ d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.
↑ La masse linéique $λ (M)$ au point $M$ est indépendante de $t$ car le système est supposé indéformable.
↑ Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le système continu de matière étant fermé sa masse $m_{(𝒮)}$ est constante et le système étant indéformable sa masse linéique au point générique $M$ est indépendante de $t$ d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.

Mécanique 1 (PCSI)

Loi de la quantité de mouv. : Forces, principe des actions réciproques

Loi de la quantité de mouv. : Principe de l'inertie et réf. galiléens

[1] Les grandeurs d'inertie d'un point étant des grandeurs caractérisant le point dans sa possibilité de s'opposer à son mouvement, plus une grandeur d'inertie sera grande, plus le mouvement du point sera difficile à modifier.

[2] Bien que la notion de quantité de matière nécessite une certaine étendue de l'objet de façon à pouvoir dénombrer $($ en théorie $)$ les entités le constituant, cela n'interdit pas que ce dernier soit modélisé par un point dans une étude particulière, en effet la modélisation est considérée comme possible si la taille de l'objet est petite relativement aux autres longueurs intervenant dans le problème, par exemple la Terre peut être assimilée à un point matériel si on étudie son déplacement dans le système solaire.

[3] La difficulté de modifier le mouvement d'un point définit son « inertie », plus c'est difficile pour un mouvement donné plus l'inertie du point est grande ;
on peut d'ailleurs ajouter le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont $($ à l'heure actuelle $)$ des mesures identiques à $1 0^{- 13}$ près $($ on a en effet vérifié à $1 0^{- 13}$ près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à $1 0^{- 13}$ près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à $1$ et d'identifier les deux masses $)$ ;
des mesures plus poussées ont été prévues $[$ placement en orbite héliosynchrone le $25 avril 2016$ du satellite français « Microscope » $($ acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence $)$ pour une mission financée et pilotée par le CNES $($ Centre national d'études spatiales $)]$ dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à $1 0^{- 15}$ près $[$ en décembre $2017$ de 1^ers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins $2 1 0^{- 14}$ près $\dots]$ ;
l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en $1916$ $[$ Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique $] \dots$

[4] Vous en connaissez déjà une « l'énergie cinétique » vue dans les paragraphes « énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « analogie électromécanique en terme de puissance et d'énergie entre le pendule élastique vertical amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » concernant l'oscillateur harmonique $($ amorti ou non $)$ .

[5] Mouvement défini grâce à une grandeur cinématique comme « le vecteur-vitesse », sa norme intervenant effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».

[6] Inertie définie grâce à une grandeur d'inertie comme « la masse $($ inerte $)$ » qui intervient effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'« énergie cinétique ».

[7] Cela reste vrai en cinétique relativiste $($ contrairement à ce qu'on entend parfois disant que la masse $↗$ avec la vitesse mais ceci est faux, la masse dépend de la quantité de matière et celle-ci reste la même quel que soit le référentiel choisi $)$ .

[8] Plus précisément $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≲ 0, 14 c ≃ 42 000 k m \cdot s^{- 1}$ pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste soit inférieure à $1 %$ , justification au paragraphe « définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » plus loin de ce chapitre.

[9] C'est encore le cas en cinétique relativiste avec une dépendance au mouvement différente.

[10] La dépendance de la quantité de mouvement relativement au changement de référentiel résulte de l'indépendance de la masse inerte et de la dépendance du vecteur vitesse $\dots$

[11] Voir le paragraphe « approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique » du chap. $24$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[12] Plus précisément $‖ {\vec{V}}_{M} (t) ‖ ≴ 0, 14 c ≃ 42 000 k m \cdot s^{- 1}$ pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste ne soit pas inférieure à $1 %$ , justification ci-dessous dans ce paragraphe.

[Lorentz-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $[$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier $]$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $[$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886]$ .
Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\dots$
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[14] Par contre on rappelle que la masse d'inertie $m$ est invariante par changement de référentiel.

[15] Mais notez bien que ce n'est absolument pas la masse d'un objet qui croît avec la norme du vecteur vitesse de ce dernier car sa masse d'inertie garde une valeur constante quelle que soit la vitesse de l'objet $\dots$

[16] Dans toutes les situations la masse apparente d'un objet est supérieure ou égale à sa masse d'inertie.

[17] À la quantité de mouvement et à moins de $1 %$ près.

[infiniment_petits_d'ordre_successif-18] 18,0 et ^18,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordre successif » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[19] Voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε$ à l'ordre un en $ε$ avec $n = - \frac{1}{2}$ .

[vitesse_relative-20] 20,0 ^20,1 et ^20,2 C.-à-d. la mesure de la vitesse exprimée en unité $c$ $($ utilisée exclusivement en cinématique relativiste $)$ .

[21] L'utilisation de la cinétique newtonienne à mauvais escient entraînant une erreur de plus de $1 %$ .

[22] Pouvant encore s'écrire « ${\vec{p}}_{M} (t) = m_{app} (t) [β_{M} (t) c {\vec{τ}}_{M} (t)]$ » avec « $m_{app} (t) = γ_{M} (t) m$ » la “ masse apparente ” », « $β_{M} (t) c {\vec{τ}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse », « $β_{M} (t) c$ étant la vitesse instantanée » et « $β_{M} (t)$ la vitesse relative c.-à-d. la mesure de la vitesse instantanée en unité $c$ ».

[23] En effet $β_{M} (t) ≳ 0, 14$ $\Rightarrow$ $β_{M}^{2} (t) ≳ 0, 02$ $\Rightarrow$ $1 - β_{M}^{2} (t) ≲ 0, 98$ $\Rightarrow$ $γ_{M} (t) = \frac{1}{\sqrt{1 - β_{M}^{2} (t)}} ≳ \frac{1}{\sqrt{0, 98}} ≃ 1, 01$ valeur par défaut.

[24] La vitesse instantanée ayant pratiquement atteint sa valeur limite ne peut $↗$ que d'une quantité très petite.

[25] $ε_{M} (t)$ étant évidemment $> 0$ .

[D.L.-26] 26,0 et ^26,1 Développement Limité.

[27] Voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε$ à l'ordre un en $ε$ avec $n = 2$ et $ε$ changé en son opposé.

[28] Quand on fait des développements limités $($ D.L. $)$ successifs, il faut toujours s'assurer que l'on n'a pas supprimé auparavant des infiniment petits de même ordre ou d'ordre inférieur à ceux qui apparaissent à cet instant, ainsi dans le cas présent, ;
si on garde $β_{M}^{2} (t) = {[1 - ε_{M} (t)]}^{2} = 1 - 2 ε_{M} (t) + ε_{M}^{2} (t)$ $\Rightarrow$ $1 - β_{M}^{2} (t) = 2 ε_{M} (t) - ε_{M}^{2} (t) = 2 ε_{M} (t) [1 - \frac{ε_{M} (t)}{2}]$ d'où $γ_{M} (t) = {[1 - β_{M}^{2} (t)]}^{- \frac{1}{2}}$ se réécrit $γ_{M} (t) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}} {[1 - \frac{ε_{M} (t)}{2}]}^{- \frac{1}{2}} ≃ \frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}} [1 + \frac{ε_{M} (t)}{4}]$ ${$ utilisant le D.L. de ${[1 - \frac{ε_{M} (t)}{2}]}^{- \frac{1}{2}}$ à l'ordre un en $\frac{ε_{M} (t)}{2}$ voir « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » utilisé ici pour $(1 + ε)^{n} ≃ 1 + n ε$ à l'ordre un en $ε$ avec $n = - \frac{1}{2}$ et $ε$ remplacé par $- \frac{ε_{M} (t)}{2}}$ soit finalement $γ_{M} (t) ≃$ $\frac{1}{\sqrt{2 ε_{M} (t)}} + \frac{\sqrt{ε_{M} (t)}}{4 \sqrt{2}}$ , ce dernier terme $\frac{\sqrt{ε_{M} (t)}}{4 \sqrt{2}}$ supprimé dans le D.L. de $γ_{M} (t)$ étant de même ordre que le 2^ème terme $- \frac{m c \sqrt{ε_{M} (t)}}{\sqrt{2}}$ qui apparaît dans le D.L. de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ , il est impératif de supprimer ce 2^ème terme $- \frac{m c \sqrt{ε_{M} (t)}}{\sqrt{2}}$ du D.L. de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ sous peine d'erreurs dans le D.L. final de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ concernant cet ordre $\dots$

[29] En cinétique ultra relativiste, pratiquement seule la masse apparente varie, la vitesse restant quasiment constante n'a plus aucun intérêt ;
En cinétique ultra relativiste, une $↗$ notable de $‖ {\vec{p}}_{M} (t) ‖$ s’accompagne d'une stagnation de la vitesse et d'une $↗$ importante de l'inertie.

[30] L'avantage de l'emploi du terme « résultante cinétique » est de rappeler qu'il s'agit d'une somme des quantités de mouvement de chaque point matériel ;
toutefois, le programme rend licite l'emploi de « quantité de mouvement d'un système de points matériels » même si je ne partage pas ce point de vue.

[31] On peut également définir l'écoulement stationnaire comme un écoulement tel que le débit massique entrant $D_{m, ent} = \frac{δ m_{ent}}{δ t}$ est égal au débit massique sortant $D_{m, sort} = \frac{δ m_{sort}}{δ t}$ $($ les deux s'exprimant en $k g \cdot s^{- 1})$ , $δ m_{ent}$ et $δ m_{ent}$ étant respectivement les masses entrante et sortante pendant la durée $δ t$ .

[surface_limitante_ou_de_contrôle-32] 32,0 et ^32,1 Celle-ci étant la surface limitant l'expansion tridimensionnelle d'un système fermé ou la surface de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.

[intégrale_volumique-33] 33,0 ^33,1 ^33,2 ^33,3 ^33,4 ^33,5 ^33,6 ^33,7 et ^33,8 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[34] La surface limite $(Σ)$ devant aussi dépendre de $t$ si la masse volumique en dépend car la masse d'un système fermé doit rester constante,
par exemple le système constitué d'un ballon de baudruche contenant de l'air et montant dans l'atmosphère a son enveloppe se dilatant simultanément à la masse volumique de l'air intérieur au ballon diminuant pendant l'ascension de ce dernier, la surface limitant son contenu devant évidemment croître de façon à assurer la constance de la masse d'air.

[35] La surface de contrôle $(Σ)$ étant fixe ne dépend pas de $t$ mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, le système continu de matière ouvert dépend de $t$ d'où la notation $(𝒮)_{t}$ et la masse volumique au point $M$ en dépend aussi ;
s'il y a entrée de matière $m_{(𝒮)_{t}} ↗$ , s'il y a sortie de matière $m_{(𝒮)_{t}} ↘$ et en cas d'écoulement stationnaire $m_{(𝒮)_{t}}$ reste constante.

[courbe_limitante_ou_de_contrôle-36] 36,0 et ^36,1 Celle-ci étant la courbe limitant l'expansion bidimensionnelle d'un système fermé ou la courbe de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.

[intégrale_surfacique-37] 37,0 ^37,1 ^37,2 ^37,3 et ^37,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[38] La courbe limite $(𝒞)$ d'un système fermé devant aussi dépendre de $t$ si la masse surfacique en dépend car sa masse doit rester constante,
par contre, pour un système ouvert, la courbe limite $(𝒞)$ ne dépend pas de $t$ mais le plus souvent la masse surfacique en dépend ce qui entraîne que la masse du système ouvert en dépend aussi.

[couple_de_points_limitant_ou_de_contrôle-39] 39,0 et ^39,1 Celui-ci étant le couple d'extrémités limitant l'expansion unidimensionnelle d'un système fermé ou le couple d'extrémités de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.

[intégrale_curviligne-40] 40,0 ^40,1 ^40,2 ^40,3 et ^40,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[41] Le couple de points $(A, B)$ d'un système fermé devant aussi dépendre de $t$ si la masse linéique en dépend car sa masse doit rester constante,
par contre, pour un système ouvert, le couple de points $(A, B)$ est fixe donc ne dépend pas de $t$ mais le plus souvent la masse linéique en dépend ce qui entraîne que la masse du système ouvert en dépend aussi.

[42] Cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste $[$ pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel $($ ou non $)$ et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est $≪̸ c]$ , la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique $[$ en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération ${\vec{a}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ est $\propto$ à la résultante dynamique ${\vec{F}}_{ext} (t)$ alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération ${\vec{a}}_{M} (t) = \frac{d {\vec{V}}_{M}}{d t} (t)$ est a priori $\propto̸$ à la résultante dynamique ${\vec{F}}_{ext} (t)$ , cette dernière étant $\propto$ à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement $\frac{d {\vec{p}}_{M}}{d t} (t)$ d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique $]$ .

[43] La surface limite $(Σ)$ dépendant de $t$ si le volume du système fermé varie.

[44] La quantité de mouvement volumique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = ρ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ » où « $ρ (M, t)$ est la masse volumique du milieu au point $M$ et à l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse du point $M$ au même instant $t$ ».

[45] Une conséquence est que la quantité de mouvement volumique s'écrit, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = ρ (M) {\vec{V}}_{M} (t)$ » mais cette dernière dépend a priori de $t$ dans la mesure où ${\vec{V}}_{M} (t)$ en dépend.

[46] La surface de contrôle $(Σ)$ étant fixe ne dépend pas de $t$ mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, la quantité de mouvement volumique au point $M$ doit, quant à elle et à l'exception de cas très particuliers, dépendre de $t$ .

[47] En cinétique newtonienne la quantité de mouvement volumique s'écrit « ${\vec{P}}_{volum} (M, t) = ρ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ », avec la masse volumique $ρ (M, t)$ au point $M$ devant dépendre de $t$ dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière.

[48] La courbe limite $(𝒞)$ d'un système fermé pouvant dépendre de $t$ est la raison pour laquelle le domaine d'intégration est noté $int de (𝒮)_{t}$ ,
par contre, pour un système ouvert, la courbe limite $(𝒞)$ ne dépend pas de $t$ mais l'intérieur du système a priori en dépend d'où cette même notation $int de (𝒮)_{t}$ .

[49] La quantité de mouvement surfacique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{surf} (M, t) = σ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ » où « $σ (M, t)$ est la masse surfacique du milieu au point $M$ et à l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse du point $M$ au même instant $t$ ».

[50] Le couple de points $(A, B)$ limitant un système fermé pouvant dépendre de $t$ est la raison pour laquelle le domaine d'intégration est noté $int de (\overset{⌢}{A B})_{t}$ ,
par contre, pour un système ouvert, le couple de points $(A, B)$ limitant le système ouvert ne dépend pas de $t$ mais l'intérieur du système a priori en dépend d'où cette même notation $int de (𝒮)_{t}$ .

[51] La quantité de mouvement linéique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, « ${\vec{P}}_{lin} (M, t) = λ (M, t) {\vec{V}}_{M} (t)$ » où « $λ (M, t)$ est la masse linéique du milieu au point $M$ et à l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{M} (t)$ le vecteur vitesse du point $M$ au même instant $t$ ».

[C.D.I.-52] 52,0 ^52,1 ^52,2 ^52,3 et ^52,4 Centre D'Inertie.

[53] C'est aussi la quantité de mouvement à l'instant $t$ et dans le référentiel $ℛ$ du point fictif $G$ affecté du cœfficient « masse du système $m_{syst}$ ».

[Lien_entre_résultante_cinétique_et_vitesse_du_CDI_pour_un_système_continu_de_matière-54] Pour que cette propriété soit encore applicable à un système continu de matière fermé, celui-ci doit être aussi indéformable.

[centre_d'inertie-55] Voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels (propriété) » du chap. $5$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[56] $m_{syst} = c s t e$ pour un système fermé, la dérivée temporelle de $m_{syst} \vec{O G} (t)$ est donc $m_{syst}$ que multiplie la dérivée temporelle de $\vec{O G} (t)$ mais ce serait faux pour un système ouvert, c'est donc la raison pour laquelle le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du C.D.I. n'est applicable que pour un système fermé.

[57] La masse volumique $ρ (M)$ au point $M$ est indépendante de $t$ car le système est supposé indéformable.

[58] Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[encore_applicable_envers_les_intégrations-59] 59,0 ^59,1 et ^59,2 Encore applicable envers les opérations d'intégration.

[60] Le système continu de matière étant fermé sa masse $m_{(𝒮)}$ est constante et le système étant indéformable sa masse volumique au point générique $M$ est indépendante de $t$ d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.

[61] La masse surfacique $σ (M)$ au point $M$ est indépendante de $t$ car le système est supposé indéformable.

[62] Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[63] Le système continu de matière étant fermé sa masse $m_{(𝒮)}$ est constante et le système étant indéformable sa masse surfacique au point générique $M$ est indépendante de $t$ d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.

[64] La masse linéique $λ (M)$ au point $M$ est indépendante de $t$ car le système est supposé indéformable.

[65] Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux » du chap. $24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[66] Le système continu de matière étant fermé sa masse $m_{(𝒮)}$ est constante et le système étant indéformable sa masse linéique au point générique $M$ est indépendante de $t$ d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.

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