Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     Les changements de référentiels apparaissent dans le domaine physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi lors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que dans d'autres domaines dont la S.I.[1], ceci étant la raison partielle pour laquelle ce chapitre est classé dans le leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'autre raison partielle étant l'aspect fortement mathématique des démonstrations.

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un 1er référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un 2ème référentiel d'espace [2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles dépendant du temps selon .

     Préliminaire : le temps étant absolu c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace, la dérivée temporelle d'une grandeur scalaire , non spécifique d'un référentiel[3],[4] et dépendant du temps selon , reste invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet, que ce soit dans ou , la dérivée temporelle se définit selon avec les valeurs ainsi que indépendantes des référentiels[3],[4] de même que

     Préliminaire : le temps étant absolu c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace, par contre la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle et dépendant du temps selon , dépend a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après : soit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » [5] noté plus simplement  ;
     Préliminaire : le temps étant absolu c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace, par contre considérons tout d'abord comme 1er référentiel la Terre et le repère cartésien lui étant lié tel que le 3ème vecteur de base soit vertical ascendant, dans ce référentiel la dérivée temporelle de est nulle c'est-à-dire  ;
     Préliminaire : le temps étant absolu c'est-à-dire indépendant du référentiel d'espace, par contre considérons maintenant comme 2ème référentiel un référentiel tournant relativement à à vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal et le repère cartésien lié à tel que le 3ème vecteur de base soit initialement vertical ascendant, dans ce référentiel la dérivée temporelle de n'est plus nulle c'est-à-dire , la composante suivant le 3ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement avec une fréquence égale à la fréquence de rotation du référentiel dans le référentiel et une amplitude égale à [6].

     Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle connaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement relativement au référentiel absolu en restreignant volontairement cette étude aux entraînements de translation et à ceux de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,

     et pour commencer, nous étudierons l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.

Cas d'un entraînement de translation[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un autre référentiel d'espace [2] en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ;

     dans le cas d'un entraînement de translation on a les propriétés suivantes :

  • « les vecteurs de base cartésienne du repère lié à peuvent être identifiés aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à » car le 1er étant en translation par rapport au 2nd, toute direction de garde la même direction dans et
  • « dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle dans est équivalent à dériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle dans » la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :
     notant la base cartésienne commune des repères liés à et , le champ vectoriel a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit et « sa dérivation par rapport à revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes », les vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères

     D'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit

la valeur commune étant simplement notée .

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

     Notant l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on obtient, par loi de Chasles[7], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile ,

«» et,

     la dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à

«»,

     on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans de et de ainsi que celle du vecteur vitesse dans de , à savoir :

  • « vecteur vitesse absolue de encore noté »,
  • « vecteur vitesse absolue de encore noté » et
  • « vecteur vitesse relative de encore noté »,

     on en déduit, la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation «» ou, noté plus simplement

«»[8],[9],[10].

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre[modifier | modifier le wikicode]

     Dérivant par rapport à la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation «» on obtient, dans la mesure où la dérivation temporelle est indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,

«»,

     on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans de et de ainsi que celle du vecteur accélération dans de , à savoir :

  • « vecteur accélération absolue de encore noté »,
  • « vecteur accélération absolue de encore noté » et
  • « vecteur accélération relative de encore noté »,

     on en déduit, la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation «» ou, noté plus simplement

«»[11],[9],[12].

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

     Si le référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel , les vecteurs de base cartésienne du repère lié à ne peuvent plus être identifiés aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à car, dans , les 1ers tournent relativement aux 2nds lesquels y sont fixes, ceci entraînant que « la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle dans est différente de celle de cette même grandeur vectorielle dans »[13], la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :

     notant la base cartésienne du repère lié à et décomposant le champ vectoriel dans cette base liée à soit « »,
     « la dérivation par rapport à dans revient à dériver temporellement uniquement ses composantes cartésiennes », les vecteurs de base cartésienne étant constants dans le repère lié à soit « » alors que
     « la dérivation par rapport à dans nécessite, en plus de la dérivation temporelle de ses composantes, de dériver temporellement les vecteurs de base du repère lié à » non constants dans soit «»
     ce qui permet d'affirmer que «»

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel[modifier | modifier le wikicode]

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation d'un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe Δ fixe du référentiel absolu avec le vecteur rotation instantanée , le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement étant choisi sur Δ identique au 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu

     Le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu , la rotation de relativement à se faisant avec le vecteur rotation instantanée le plus souvent constant c'est-à-dire correspondant à un entraînement de rotation uniforme mais qui peut, sur certains exemples, dépendre de  ;

     pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu porté par l'axe ainsi que le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement égal au précédent à savoir «»[14] ;

     notant l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on obtient, par loi de Chasles[7], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile ,

«» et,

     effectuant la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point on obtient «»,
     « le 1er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine du repère lié au référentiel d'entraînement soit encore noté », il reste à analyser
     « le 2ème vecteur »[15] et pour cela nous décomposons le vecteur position du point défini dans le référentiel d'entraînement sur la base cartésienne de ce dernier soit «» puis
           « le 2ème vecteur » et pour cela nous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu et nous obtenons

«» ;

           « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons

  • dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point dans la mesure où les vecteurs de base du repère lié au référentiel d'entraînement y sont supposé constants, c'est-à-dire « encore noté » et,
  • dans les trois derniers termes du 2ème membre la dérivée temporelle du vecteur effectuée dans le référentiel absolu avec le point coïncident[9] de à l'instant dans la mesure où les composantes de dans la base cartésienne du repère lié à y sont supposées constantes soit « encore noté » ;

     finalement la relation se réécrit «» soit, après simplification,

     finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation » ou noté plus simplement

«»[16],[17] ;

     dans le cas de en rotation autour de l'axe fixe dans , le mouvement absolu de étant un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée , on en déduit le vecteur vitesse absolue de par son expression intrinsèque[18]

«, avec point fixe quelconque de l'axe »,

     d'où le vecteur vitesse d'entraînement du point [17] s'écrivant

«»[19] ;

     la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

« avec ».

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement dans le référentiel absolu à savoir « respectivement ou » et pour cela
     on définit un « point fixe de par » que l'on dérive par rapport à dans le référentiel absolu d'où
     « » par utilisation de la relation de Chasles[7] simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore
     «» par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses aux deux points fixes et de et finalement
     avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement «» suivie de
     avec la factorisation vectorielle à gauche par [20] et d'une nouvelle utilisation de la relation de Chasles[7] «» soit enfin,
     par définition du point , la relation[21] «» «respectivement ou [22]».

     Remarque : il est aussi possible de déterminer « respectivement ou » sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation[23] ;
     Remarque : cet établissement est facilité avec le choix de [24] portés par l'axe de rotation voir figure ci-dessus, choix plaçant les deux 1ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à dans un même plan à que les deux 1ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à , ce qui permet de définir l'angle instantané de rotation de relativement à « » et par suite le vecteur rotation instantanée de par rapport à «» ;
     Remarque : on peut alors en déduire «» dans lequel on peut affirmer «»[25] d'où «» soit enfin, comme «», la réécriture de la dérivée cherchée selon «» C.Q.F.D[26]. ;
     Remarque : on peut aussi écrire « » dans lequel on peut affirmer «[25] d'où » soit enfin, comme «», la réécriture de la dérivée cherchée selon «» C.Q.F.D[26]..

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

     Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu , des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement comme cela a été exposé dans le paragraphe « détermination des dérivées temporlles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement (remarque) » plus haut dans ce chapitre c'est-à-dire sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation à savoir «, et »[27] ;

     avec l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on a obtenu, par loi de Chasles[7], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile , à savoir « » et, après avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point cela a donné

«» ;

     décomposant le vecteur position du point défini dans le référentiel d'entraînement sur la base cartésienne de ce dernier soit « » puis effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu , nous obtenons

«» ;
  • on reconnaît dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point , c'est-à-dire «» et
  • on reporte dans les trois derniers termes du 2ème membre les expressions des dérivées temporelles des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement, dérivation effectuée dans le référentiel absolu, c'est-à-dire « » en factorisant vectoriellement à gauche par [20] soit encore «» ;

     finalement, en ajoutant les deux contributions de à , on obtient «» dans lequel
     finalement, le vecteur vitesse absolue du point correspondant à un mouvement circulaire d'axe , de vecteur rotation instantanée est donné par son expression intrinsèque « »[18], son report conduisant à
     finalement, «» en factorisant vectoriellement à gauche par [20] et, au final,
     finalement, par utilisation de la relation de Chasles[7]

«» dans lequel « est le vecteur vitesse d'entraînement du point »,
cette loi « constituant la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation ».

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel[modifier | modifier le wikicode]

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel[modifier | modifier le wikicode]

     La méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement «» dans laquelle « , étant un point fixe quelconque de l'axe de rotation »[28] ;
     dérivant temporellement dans on obtient

«» dans laquelle
« le 1er membre est le vecteur accélération absolue du point à savoir » ;

     aucun terme du 2ème membre ne pouvant être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément :

  • tout d'abord «» peut être transformé en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses « après avoir posé » «» ou,
    après utilisation de la relation de Chasles[7] et de la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle «» puis,
    par définition des vecteurs vitesses absolues des points et , «» ensuite,
    par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses appliquée aux points et [29], «», enfin,
    en utilisant les expressions des vecteurs vitesses d'entraînement «» et
    en factorisant vectoriellement à gauche par [20], «» soit,
    en revenant à la définition du point , «» ou,
    en reconnaissant dans le 1er terme du 2ème membre le vecteur accélération relative du point , l'expression définitive
    «» ;
  • ensuite « que l'on explicite en dérivant temporellement dans » ce qui donne,
    par dérivation d'un produit vectoriel, « »[30] ;
    utilisant maintenant la loi de composition des vecteurs vitesses on en déduit «» ou,
    en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[31] et en réinjectant l'expression du vecteur vitesse d'entraînement du point on obtient « »[32] ;
    l'ensemble des deux 1ers termes du 2ème membre «» ne dépendant que de la position du point et non de son mouvement relatif dans , il est assimilable, en tout ou pour partie, au « vecteur accélération d'entraînement du point à l'instant »[33] lequel prend pour valeur le vecteur accélération absolue du point coïncident de à l'instant [9] ; or le mouvement absolu du point coïncident étant un mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée , son vecteur accélération absolue est donné par son expression intrinsèque « [34] avec le projeté de sur c'est-à-dire le centre du cercle décrit par dans le référentiel absolu » ; on vérifie aisément que cet ensemble des deux termes « prenant pour valeur » s'identifie au « vecteur accélération d'entraînement » ;
    finalement «»[35] ;

     ajoutant les deux transformations de «» et de «» pour obtenir «» on aboutit à
     « »,
     « ce dernier vecteur accélération » étant appelé « vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis[36] du point » et étant « noté », c'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de autour d'un axe fixe de  ;

     la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

«» avec
«»[37] le vecteur accélération d'entraînement de
dans lequel « est le projeté de sur , étant un point quelconque de » et
«» le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis[36] du point .

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement[modifier | modifier le wikicode]

     Si cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure[38]

     Partant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation «» dans lequel le vecteur vitesse d'entraînement de s'écrit « » ou,
     par utilisation de la relation de Chasles[7] et de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[31] «» soit encore,
     en reconnaissant dans le dernier terme du 2nd membre l'expression intrinsèque du vecteur vitesse absolue de l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement soit « »[39], «»,
     cette dernière expression reportée dans la loi de composition des vecteurs vitesses permettant d'écrire la dite loi sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative du point et sa dérivée temporelle effectuée dans à l'exception du 1er terme soit

«» et

     cette dernière expression reportée dans la loi de composition des vecteurs vitesses permettant de l'exprimer, avec utilisation des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement , vecteurs que nous noterons ainsi que les composantes du vecteur position relative du point que nous noterons dans le but de simplifier l'exposé, selon

«» ;

     effectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu , nous obtenons

«» soit,

     en reportant «»[40], la réécriture du vecteur accélération absolue du point selon

«» ou,

     grâce à la factorisation vectorielle à gauche par [20]

«» et,

     en reconnaissant les grandeurs relatives suivantes «», «» et «»,

«» soit encore,

     en utilisant une forme de l'expression intrinsèque du vecteur accélération absolue du point en mouvement circulaire autour de l'axe de vecteur rotation instantanée [41] à savoir « » et en regroupant les termes identiques ou semblables

«» soit finalement,

     en factorisant vectoriellement à gauche par [20] dans la 1ère expression entre accolades du 2nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles[7] et
     en factorisant vectoriellement à gauche par le 1er puis le 2nd dans la 2ème expression entre accolades du 2nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles[7]

«» ;

     le dernier terme de la relation ci-dessus pouvant être réécrit en utilisant une formule du double produit vectoriel selon «» avec « le projeté orthogonal de sur l'axe »[42] c'est-à-dire que l'on reconnaît dans les deux termes « le vecteur accélération d'entraînement du point » ;

     finalement on obtient pour « loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation »

«» avec
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis[36] du point égal à «» et
le vecteur accélération d'entraînement du point égal à «» dans lequel
est un point fixe de et le projeté orthogonal de sur l'axe .

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas très fréquent où la rotation d'entraînement est uniforme c'est-à-dire telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté , « la loi de composition des accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme » se réécrit donc sous la forme

«» avec
« le vecteur accélération d'entraînement de » dans lequel est le projeté de sur et
« le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis[36] du point ».

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour[modifier | modifier le wikicode]

Position du problème[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un 1er référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un 2ème référentiel d'espace [2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles dépendant du temps selon , c'est-à-dire de trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de effectuée dans et celle effectuée dans connaissant le mouvement d'entraînement de dans , toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels avec le vecteur rotation instantanée [43].

Formule de Bour[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé de la formule de Bour[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels[modifier | modifier le wikicode]

     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle dans le référentiel absolu et
     pour cela on définit un point par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement «» que l'on dérive par rapport à dans le référentiel absolu d'où
     «» par utilisation de la relation de Chasles[7] simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore
     «» ou, en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses aux points et «»[47] et finalement
     «» en utilisant l'expression des vecteurs vitesses d'entraînement des points et puis,
     «» après factorisation vectorielle à gauche par [20] dans les deux derniers termes, suivi de
     «» après une nouvelle utilisation de la relation de Chasles[7] soit enfin,
     par définition du point , la relation « » C.Q.F.D[26]..

     Remarques : on peut utiliser la formule de Bour à l'évaluation de la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement en mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée autour d'un axe fixe dans le référentiel absolu , on obtient alors

«»
respectivement «» et
s'il est nécessaire d'évaluer la dernière dérivée parce qu'elle n'est pas nulle[48]
«»[49].

     Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée d'entraînement de rotation de autour de l'axe fixe de nous conduit à

«» vérifiant qu'il est inutile de préciser le référentiel dans lequel est effectuée la dérivation temporelle.

     Remarques : Enfin pour terminer, dans la mesure où la formule de Bour a été démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, il ne faut pas l'utiliser pour établir cette dernière[50].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Science Industrielle ou Science de l'Ingénieur.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 et 2,5 Nous nous plaçons dans l'hypothèse newtonienne de séparation de l'espace et du temps le temps étant alors qualifié d'« absolu », tout ce qui suit devenant faux en relativité restreinte et encore plus en relativité générale.
  3. 3,0 et 3,1 Il faut bien sûr que la fonction scalaire ne décrive pas une propriété spécifique d'un référentiel comme par exemple le nombre de points matériels présents à un instant dans une boule centrée sur l'origine du repère lié au référentiel et de rayon fixé, sa valeur serait évidemment différente en prenant l'autre référentiel.
  4. 4,0 et 4,1 La non spécificité relativement à un référentiel est évidemment le cas quasi-général d'une fonction scalaire, c'est la raison pour laquelle cette condition n'est quasi jamais indiquée.
  5. On considère le champ de pesanteur terrestre en un point fixe relativement à la Terre, sa dépendance éventuelle relativement au temps nécessitera de définir le référentiel dans lequel on étudie sa variation.
  6. Il en est d'ailleurs de même de la composante suivant le vecteur de base cartésienne initialement horizontal et perpendiculaire à l'axe de rotation, la composante suivant le vecteur de base cartésienne horizontal parallèle à l'axe de rotation restant quant à elle toujours nulle
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 et 7,11 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  8. Si on choisit un point fixe dans c'est-à-dire tel que on retrouve que a le même vecteur vitesse absolue que l'origine du repère lié à car , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de relativement à .
  9. 9,0 9,1 9,2 et 9,3 On appelle « point coïncident deà l'instant» le point lié à c'est-à-dire n'ayant aucun mouvement propre dans on peut aussi dire qu'il y est fixe et dont le mouvement dans est celui d'entraînement de relativement à dont la position à l'instant dans est la même que celle de au même instant on peut aussi dire que est l'empreinte que laisse dans à l'instant , cette empreinte garde la même position dans pour tout alors que change de position relativement à en particulier à un instant le point laissera une empreinte dans en une position différente.
  10. On définit le mouvement d'entraînement du point à l'instant comme le mouvement absolu du point coïncident de à l'instant , le vecteur vitesse d'entraînement de à l'instant étant donc le vecteur vitesse absolue de point coïncident de à l'instant , soit «» ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel ;
       dans le cas de en translation relativement à , tous les points fixes de ayant le même mouvement dans , celui de l'origine du repère lié à , on en déduit « » ;
       la loi de composition des vecteurs vitesses se réécrit donc sous la forme «» nous montrerons que cette forme est en fait indépendante du mouvement d'entraînement du point avec toutefois le vecteur vitesse d'entraînement de à l'instant prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si n'est pas en translation relativement à a priori on aura .
  11. Si on choisit un point fixe dans c'est-à-dire tel que on retrouve que a le même vecteur accélération absolue que l'origine du repère lié à car , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de relativement à .
  12. Ayant défini le mouvement d'entraînement du point à l'instant comme le mouvement absolu du point coïncident de à l'instant , le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant étant donc le vecteur accélération absolu de point coïncident de à l'instant , soit «» ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel ;
       dans le cas de en translation relativement à , tous les points fixes de ayant le même mouvement dans , celui de l'origine du repère lié à , on en déduit « » ;
       la loi de composition des vecteurs accélérations se réécrit donc sous la forme «» mais si les deux vecteurs accélérations du 2ème membre se retrouve quel que soit le mouvement d'entraînement du point avec toutefois le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si n'est pas en translation relativement à a priori on aura «», cette forme n'est toutefois pas indépendante du mouvement d'entraînement du point car, dès que l'entraînement contient une rotation il faut ajouter un 3ème vecteur accélération appelé « accélération complémentaire ou de Coriolis » ;
       Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
  13. Il devient alors indispensable de préciser dans quel référentiel on effectue la dérivation temporelle car n'a alors plus aucun sens dans la mesure où il peut s'agir de ou de avec si le référentiel est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel .
  14. Ce choix n'est pas indispensable mais pratique, la rotation d'un point fixe dans se faisant alors dans un plan à , ses vecteurs vitesse et accélération absolues n'ont que deux composantes sur et sur  ;
       Ce choix n'est pas indispensable mais pratique, dans le cas où est en mouvement dans , c'est son point coïncident à l'instant qui a un mouvement de rotation dans un plan à , ainsi les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de qui prennent pour valeur les vecteurs vitesse et accélération absolues de son point coïncident à l'instant considéré n'ont que deux composantes sur et sur mais bien sûr les vecteurs vitesse et accélération relative de peuvent avoir des composantes sur les trois vecteurs de base , et .
  15. Qui aurait été le vecteur vitesse relative du point si la dérivation avait été effectuée dans le référentiel d'entraînement mais cela n'a pas été le cas !
  16. Si on choisit un point fixe dans c'est-à-dire tel que on retrouve que a le même vecteur vitesse absolue que son point coïncident au même instant car , ce qui est en accord avec la définition du point coïncident.
  17. 17,0 et 17,1 Ayant défini le mouvement d'entraînement du point à l'instant comme le mouvement absolu du point coïncident de à l'instant , le vecteur vitesse d'entraînement de à l'instant a donc pour valeur le vecteur vitesse absolue de point coïncident de à l'instant , soit «».
  18. 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  19. On définit le champ des vecteurs vitesses d'entraînement relativement au point , ce champ prenant pour valeur le vecteur vitesse absolue du point coïncident de à l'instant mais attention il faut distinguer le champ de sa valeur et ceci en particulier quand on dérive temporellement :
       en effet dériver temporellement dans , le point y étant fixe « » alors que
       en effet effectuer la dérivation temporelle de dans conduit à « » par définition de et par suite
       en effet on peut affirmer qu'a priori «».
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 20,4 20,5 et 20,6 Opération inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Applicable aux trois vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement quand ce dernier est en rotation de vecteur rotation instantanée dans le référentiel absolu .
  22. Cette dernière dérivée est nulle si le vecteur a été choisi sur l'axe comme sur le cas de la figure mais ce choix, même s'il est très souvent fait, n'est pas indispensable.
  23. Cette façon de procéder rend les résultats indépendants de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation et donc
       Cette façon de procéder autorise l'utilisation de ces résultats pour établir la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un tel entraînement, démonstration non intrinsèque traitée dans le paragraphe « autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus loin dans ce chapitre.
  24. Ce qui a pour 1ère conséquence .
  25. 25,0 et 25,1 Selon la propriété suivante « la dérivée d'un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan est le vecteur unitaire du plan qui se déduit du vecteur unitaire dérivé par rotation de » vue au paragraphe « dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de Mxy dans le référentiel d'étude (plus précisément la propriété énoncée dans l'encadré à retenir) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  26. 26,0 26,1 et 26,2 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  27. Dérivée nulle dans le cas où on choisit porté par l'axe de rotation ce qui est fréquent mais non indispensable.
  28. Cette démonstration peut être qualifiée d'« intrinsèque » car elle est faite sans intervention d'une quelconque base liée à l'un ou l'autre référentiel.
  29. étant fixe dans on a évidemment et par suite .
  30. étant un point fixe de peut aussi être utilisé comme origine du vecteur position de dans et par suite sa dérivée temporelle est effectivement le vecteur vitesse absolue de .
  31. 31,0 et 31,1 Voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  32. Le 2ème terme du 2ème membre se transforme aisément par utilisation d'une formule du double produit vectoriel selon avec le projeté de sur voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  33. L'hypothèse « ou pour partie » car il pourrait y avoir une partie du vecteur accélération d'entraînement qui ne serait pas dans ces deux termes
  34. Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       cette expression se détermine à partir de par utilisation d'une formule du double produit vectoriel introduite au paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à savoir «».
  35. On notera que «» la raison ayant déjà été donnée à la note « 19 » de ce chapitre, « prenant pour valeur ».
  36. 36,0 36,1 36,2 et 36,3 Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
  37. La dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée gardant la même valeur dans le référentiel d'entraînement il devient inutile d'indiquer le référentiel dans lequel la dérivation est effectuée d'où «» que nous noterons simplement «», voir justification ci-dessous :
       introduisant un « point tel que », l'évaluation de la dérivée temporelle « se réécrit alors » par utilisation de la relation de Chasles et de la linéarité de la dérivation temporelle, définissant ainsi la différence entre le vecteur vitesse absolue du point et celui du point c'est-à-dire «» ;
       on y applique la loi de composition des vecteurs vitesses soit «» avec
       on y applique «» d'une part et
       on y applique «» par utilisation de la relation de Chasles puis par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou encore « » d'autre part,
       on y applique soit finalement «».
  38. La principale embûche de la méthode intrinsèque est d'écrire égal à alors que ce dernier prenant pour valeur doit être identifié à et non à d'où l'introduction possible dès le début d'une erreur, la méthode intrinsèque ne peut donc pas être utilisée sans réflexion contrairement à la méthode non intrinsèque exposée ci-après de pratique plus automatique.
  39. point fixe de décrivant dans un mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée d'où l'expression intrinsèque de son vecteur vitesse absolue voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  40. Voir le paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus haut dans ce chapitre.
  41. Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  42. Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à savoir «» ainsi que
       Voir l'application de cette formule au cas présent dans le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t (plus particulièrement avec choix d'un point de l'axe autre que le centre du cercle) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  43. Bien que la formule que nous établirons soit indépendante de cette limitation.
  44. Jacques Edmond Émile Bour (1832 - 1866) est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de ans.
  45. La formule de Bour est encore connue sous le nom de « formule de dérivation vectorielle ».
  46. Cette formule est encore applicable pour un entraînement de translation car dans ce cas et par suite est indépendant du référentiel,
       Cette formule est encore applicable pour un entraînement de rotation instantanée autour d'un axe non fixe dans et
       Cette formule est encore applicable pour un entraînement quelconque se décomposant en une translation instantanée de vecteur vitesse et une rotation instantanée autour d'un axe passant par non fixe dans
  47. étant un point fixe de , .
  48. Parce qu'on aurait choisi non porté par l'axe de rotation.
  49. Bien entendu, dans la mesure où on a démontré la formule de Bour par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, si on utilise «» ainsi que les deux autres relations analogues pour démontrer la loi de composition des vecteurs vitesses, il est ABSOLUMENT NÉCESSAIRE de démontrer autrement ainsi que les deux autres relations analogues comme cela a été proposé dans la remarque du paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement » plus haut dans ce chapitre
  50. Ce qui serait pourtant bien tentant, la seule condition pour l'utiliser serait de démontrer la formule de Bour autrement
       Si la formule de Bour avait été démontrée autrement on définirait alors les vecteurs positions dans et à partir d'un point fixe dans les deux, par exemple point fixe de l'axe fixe et on obtiendrait, en appliquant la formule de Bour à , la relation vectorielle suivante « » soit «» ce dernier terme s'identifiant à «» mais cette démonstration ne peut être acceptée que si la formule de Bour n'est pas démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses