Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels

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     Les changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi
     Les changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que
     Les changements de référentiels sont utilisés dans d'autres domaines comme celui de la S.I. , d'où
     Les changements de référentiels sont utilisés en physique le classement de ce chapitre dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
     Les changements de référentiels sont utilisés en physique d'autant plus que les démonstrations des propriétés ont un aspect fortement mathématique.

Position du problème

     Soit un 1^er référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et
     Soit un 2^ème référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement »,
     Soit nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\;{\vec {C}}()\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$.

     Préliminaire : le temps $\;t\;$ étant absolu , une grandeur scalaire$\;f()$, non spécifique d'un référentiel et
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f()}$, dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;f(t)$,
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f()}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f()}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel que ce soit dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}_{e}$, la dérivée temporelle se définit
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f()}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel selon $\;{\dfrac {df}{dt}}(t)=\lim \limits _{\delta t\,\rightarrow \,0}{\dfrac {f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}}\;$ avec les valeurs
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f()}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel $f(t+\delta t)\;$ et $\;f(t)\;$ indépendantes des référentiels
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur scalaire$\;\color {transparent}{f()}$, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel $\color {transparent}{f(t+\delta t)}\;$ et $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de même que $\;\delta t\;\ldots \;$ Par contre
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;{\vec {C}}()\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$,
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ a une dérivée temporelle dépendant a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après :
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ soit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » $\;{\vec {g}}(M_{0})\;$ noté plus simplement $\;{\vec {g}}_{0}\;$ ;
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons d'abord comme 1^er référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ la Terre et le repère cartésien lui étant lié avec le 3^ème vecteur de base vertical $\;\uparrow$,
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons d'abord comme 1^er référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ la dérivée temporelle de $\;{\vec {g}}_{0}\;$ y est nulle c.-à-d. $\;\left[{\dfrac {d{\vec {g}}_{0}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {0}}$ ;
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ un référentiel tournant relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un référentiel tournant à vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal
     Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme et le repère cartésien lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ avec le 3^ème vecteur de base initialement vertical $\;\uparrow$,
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ la dérivée temporelle de $\;{\vec {g}}_{0}\;$ n'y est plus nulle c.-à-d. $\;\left[{\dfrac {d{\vec {g}}_{0}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}(t)\neq {\vec {0}}$,
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ la composante sur le 3^ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ avec une fréquence égale à la fréquence de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et
         Préliminaire : le temps $\;\color {transparent}{t}\;$ étant absolu, une grandeur vectorielle$\;\color {transparent}{{\vec {C}}()}\;$ considérons maintenant comme 2^ème référentiel $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ avec une amplitude égale à $\;\Vert {\vec {g}}_{0}\Vert \;$.

     Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$
     Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace connaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$
     Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace en restreignant cette étude aux entraînements de translation et de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,
 Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace et en commençant par l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.

Cas d'un entraînement de translation

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de translation

     Soit un référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et
     Soit un autre référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ;
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\Rightarrow$ les propriétés suivantes :
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\bullet \;$« les vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ identifiables aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$» car
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« le 1^er étant en translation par rapport au 2^nd, toute direction de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ garde la même direction dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\bullet \;$« dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est équivalent à
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« dériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$»,
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien $\;{\big (}$avec utilisation de la 1^ère propriété${\big )}\;$ mais
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« la raison restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« notant $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ la base cartésienne commune des repères liés à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{a}$,
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)\;$ a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)=C_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+C_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+C_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« sa dérivation par rapport à $\;t\;$ revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes,
     Soit un autre référentiel d'espace $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ un entraînement de translation $\color {transparent}{\Rightarrow }$$\color {transparent}{\bullet }\;$« sa dérivation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ les vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères $\;\ldots$

     D'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit

$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$ la valeur commune étant simplement notée $\;{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}(t)$.

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

     Notant $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on obtient, par loi de Chasles , le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$,

«$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et,

     la dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à

«$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}(t)\;$»,

     on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de $\;M\;$ et de $\;O_{e}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$»,
     on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ et de $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse absolue de $\;O_{e}\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», ainsi que
on en déduit, avec les définitionscelle du vecteur vitesse dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ de $\;M$,                      $\bullet \;$«$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}(t)\;$ vecteur vitesse relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»,
     on en déduit, la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation

«$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» ou, noté plus simplement
«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» .                                  

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre

     Dérivant par rapport à $\;t\;$ la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» on obtient,
     Dérivant par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ la dérivation temporelle étant indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,

«$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}}{dt}}(t)\;$»,

     on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ de $\;M\;$ et de $\;O_{e}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$»,
     on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ de $\;\color {transparent}{M}\;$ et de $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ $\bullet \;$«$\;{\vec {a}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération absolue de $\;O_{e}\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», ainsi que
on en déduit, avec les définitionscelle du vecteur accélération dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ de $\;M$,                      $\bullet \;$«$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}}{dt}}(t)\;$ vecteur accélération relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$»,
     on en déduit, la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation

«$\;{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {a}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {a}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$» ou, noté plus simplement
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)\;$» .                                

Cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

Présentation du changement de référentiels lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe

     Soit le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$,
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, les 1^ers tournent relativement aux 2^nds lesquels y sont fixes $\Rightarrow$
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « les dérivées temporelles d'une grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ $\neq \;$» ,
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « la raison restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque :
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « notant $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ la base cartésienne du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ et
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « décomposant le champ vectoriel $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans cette base liée à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ soit
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, décomposant le champ vectoriel «$\;{\vec {C}}(t)=C_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+C_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+C_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ la dérivation par rapport à $\;t\;$ n'agit que sur les composantes cartésiennes,
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ ${\big |}$les vecteurs de base cartésienne y étant constants${\big ]}\;$ soit
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)={\dfrac {dC_{x}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dC_{y}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dC_{z}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» alors que
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ la dérivation par rapport à $\;t\;$ agit sur les composantes cartésiennes mais aussi
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ la dérivation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ agit sur les vecteurs de base du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ la dérivation par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ agit sur ${\big [}$non constants dans $\;{\mathcal {R}}_{a}{\big ]}\;$ soit
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {dC_{x}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dC_{y}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dC_{z}}{dt}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots$
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ «$\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=}$ $C_{x}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+C_{y}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\cdots$
                              Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ «$\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=}$ $\color {transparent}{C_{x}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+}$ $C_{z}(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» d'où
     Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ et à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ ne peuvent pas être identifiés en effet, « l'affirmation «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\neq \left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$».

Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

Schéma de situation d'un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}$, le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ étant choisi sur $\;\Delta \;$ identique au 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$

     Le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$,
     Le référentiel d'entraînement $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ est en rotation avec $\;{\vec {\Omega }}\;$ pour vecteur rotation instantanée ${\big [}$le plus souvent constant mais
     Le référentiel d'entraînement $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ est en rotation avec $\;\color {transparent}{\vec {\Omega }}\;$ pour vecteur rotation instantanée $\color {transparent}{\big [}$pouvant, a priori, dépendre de $\;t{\big ]}$ ;

     pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$
     pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3^ème vecteur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z_{a}}}\;$ porté par l'axe $\;\Delta \;$ ainsi que
     pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
     pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3^ème vecteur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ égal au précédent à savoir «$\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$»  ;

     notant $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et
     notant $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$,
     notant $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ on obtient, par loi de Chasles , le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$,

«$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et,

     la dérivation temporelle dans le repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ définissant dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ $\Rightarrow$

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;\;({\mathfrak {b}})\;$»,

     « le 1^er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine $\;O_{e}\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement soit $\;{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$», il reste à analyser
     « le 2^ème vecteur $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et pour cela nous décomposons le vecteur position du point $\;M\;$ défini dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ sur la base cartésienne de ce dernier soit
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous décomposons «$\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous obtenons «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\bullet \;$dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;M\;$ ${\big [}$les vecteurs de base du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\color {transparent}{\big [}$y étant supposés constants${\big ]}$, c.-à-d.
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre «$\;{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)\;$ encore noté
              « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre «$\;\color {transparent}{{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}=\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)=}$ $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et,
            « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\bullet \;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre la dérivée temporelle du vecteur $\;{\overrightarrow {O_{e}M_{c,\,t}}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ avec
           « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre $M_{c,\,t}\;$ le point coïncident de $\;M\;$ à la date $\;t\;$ ${\big [}$les composantes de $\;{\overrightarrow {O_{e}M}}\;$                 « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ le point coïncident de $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\big [}$dans la base cartésienne du
                « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ le point coïncident de $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\big [}$repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ y étant
                « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ le point coïncident de $\;\color {transparent}{M}\;$ à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\big [}$supposées constantes${\big ]}\;$ $\Rightarrow$
           « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$
           « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre «$\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M_{c,\,t}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$
           « le 2^ème vecteur $\;\color {transparent}{\left[d{\overrightarrow {O_{e}M}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» et pour cela nous y reconnaissons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre «${\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)-{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$ encore noté $\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ;

     finalement la relation $\;({\mathfrak {b}})\;$ se réécrit «$\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)+{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+\left[{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)-{\vec {V}}_{O_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\right]={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$» soit,

     finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation $\;{\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)={\vec {V}}_{M\,/\,{\mathcal {R}}_{e}}(t)+{\vec {V}}_{M_{c,\,t}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$» ou noté plus simplement
   finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$»  ;

     finalement ${\mathcal {R}}_{e}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, le mouvement absolu de $\;M_{c,\,t}\;$ est un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}\;$ $\Rightarrow$
     finalement $\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, le vecteur vitesse absolue de $\;M_{c,\,t_{0}}\;$ a pour expression intrinsèque «$\;{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t_{0}}}}(t)$, avec
          finalement $\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, le vecteur vitesse absolue de $\;\color {transparent}{M_{c,\,t_{0}}}\;$ a pour expression intrinsèque «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M_{c,\,t_{0}}}(t)=}$ $\;A\;$ point fixe quelconque de l'axe $\;\Delta \;$» d'où

     finalement $\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ étant en rotation autour de l'axe $\;\color {transparent}{\Delta }\;$ fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ s'écrivant «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ,

     finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation » se réécrit selon «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ avec $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$».

Détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ à savoir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et pour cela
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses on définit un « point $\;I\;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ par $\;{\overrightarrow {O_{e}I}}={\vec {u}}_{x}\;$» que l'on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}I}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}I}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$, soit encore
           On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$ $={\vec {V}}_{a,\,I}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)={\vec {V}}_{e,\,I}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$ et finalement
           On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$ avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {V}}_{e,\,I}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}\\{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}\end{array}}\right\rbrace \;$
           On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}={\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AI}}-{\overrightarrow {AO_{e}}}\right]\;$ par factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$
           On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {u}}_{x}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\overrightarrow {O_{e}I}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AI}}-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}}\;$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}I}}\;$ $={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» par définition du point $\;I$ ;
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$», de même $\;{\big (}$la démonstration étant la même${\big )}$,
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» ou
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» .

     Remarque : il est aussi possible de déterminer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation  ;
     Remarque : cet établissement est facilité avec le choix de $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$ portés par l'axe $\;\Delta \;$ de rotation $\;{\big (}$voir figure plus haut de ce chapitre${\big )}$,
     Remarque : cet établissement est facilité avec le choix plaçant les deux 1^ers vecteurs de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)\;$ du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
     Remarque : cet établissement est facilité avec le choix plaçant dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{z_{a}}\;$ que les deux 1^ers vecteurs de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y_{a}}\right)\;$ du repère lié à $\;{\mathcal {R}}_{a}$,
     Remarque : cet établissement est facilité avec le ce qui permet de définir l'angle instantané de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\theta (t)={\widehat {\left({\vec {u}}_{x_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{x}\right)}}(t)={\widehat {\left({\vec {u}}_{y_{a}}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}}(t)\;$» et par suite
     Remarque : cet établissement est facilité avec le ce qui permet de définir le vecteur rotation instantanée de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ par rapport à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z_{a}}\;$» ;
     Remarque : on peut alors en déduire «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}(\theta )\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel on peut affirmer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{d\theta }}(\theta )={\vec {u}}_{y}\;$» d'où «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit enfin, comme «$\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\;$»,
     Remarque : on peut alors en déduire la réécriture de la dérivée cherchée selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$» C.Q.F.D.  ;
     Remarque : on peut aussi écrire «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}(\theta )\times {\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans lequel on peut affirmer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{d\theta }}(\theta )=-{\vec {u}}_{x}\;$ d'où $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$» soit enfin, comme «$\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}=-{\vec {u}}_{x}\;$»,
     Remarque : on peut alors en déduire la réécriture de la dérivée cherchée selon «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» C.Q.F.D. .

Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

     Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, des vecteurs de base cartésienne $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
     Supposant l'évaluation directe voir le paragraphe « détermination des dérivées temporelles, dans le référentiel absolu, des vecteurs de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement
     Supposant l'évaluation directe voir le paragraphe « (remarque) » plus haut dans ce chapitre $\;{\big (}$c.-à-d. sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation${\big )}\;$ à savoir
     Supposant l'évaluation directe des dérivées temporelles, «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}$, $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$ et $\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$»  ;

     avec $\;O_{a}\;$ l'origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ et $\;O_{e}\;$ celle du repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{e}$, on a obtenu, par loi de Chasles , le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile $\;M$, à savoir
         avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, par loi de Chasles, «$\;{\overrightarrow {O_{a}M}}(t)={\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» et,
     avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, après avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$
     avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, pour définir, dans le membre de gauche, le vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ $\Rightarrow$
     avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ soit encore
     avec $\;\color {transparent}{O_{a}}\;$ l'origine du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ et $\;\color {transparent}{O_{e}}\;$ celle du repère associé à $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}$, on a obtenu, «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;

     décomposant le vecteur position du point $\;M\;$ défini dans le référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ sur la base cartésienne de ce dernier soit «$\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)=$ $x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous obtenons «$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}+x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ;
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\bullet \;$dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre le vecteur vitesse relative du point $\;M$, c.-à-d.
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois 1^ers termes du 2^ème membre «$\;{\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\bullet \;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre les expressions des dérivées temporelles de $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)$, vecteurs de
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}$,
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre dérivation effectuée dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, c.-à-d.
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\\\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre « $x(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\right]+y(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\right]+z(t)\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\right]=$
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre « ${\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$» en factorisant vectoriellement
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes du 2^ème membre « $\color {transparent}{{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\right]}\;$» à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\color {transparent}{\bullet }\;$dans les trois derniers termes «$\;x(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+y(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+z(t)\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» soit
     effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}$, nous obtenons $\bullet \;$«$\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» ;

     finalement, en ajoutant $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ à $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ pour obtenir le vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ soit «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» dans lequel
     finalement, le vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ du point $\;O_{e}\;$ correspondant à un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$, s'écrit «$\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» d'où
     finalement, la réécriture du vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)$
     finalement, la réécriture du vecteur vitesse absolue $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)}$ $={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\;$» en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ ou encore,
     finalement, la réécriture du vecteur vitesse absolue $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)}\;$ du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» par utilisation de la relation de Chasles  ;
     finalement, reconnaissant dans «$\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$ le vecteur vitesse d'entraînement $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$», nous retrouvons

la loi de composition des vecteurs vitesses «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ lors d'un entraînement de rotation avec $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$».

Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel

     La méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation
     La méthode la plus rapide consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement
     La méthode la plus rapide consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ avec $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$»,
     La méthode la plus rapide consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{e,\,M}(t)=}$$A\;$ étant un point fixe quelconque de l'axe $\;\Delta \;$ de rotation ;
     La méthode la plus rapide consiste à dérivant temporellement dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ on obtient «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» dans laquelle
          La méthode la plus rapide consiste à dérivant temporellement dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ on obtient « le 1^er membre est le vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$» ;
          La méthode la plus rapide consiste à dérivant temporellement dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{a}}\;$ on obtient aucun des termes du 2^ème membre ne peut être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément :      La méthode la plus rapide $\bullet \;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» on pose $\;{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» ou encore,
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» soit
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» ensuite,
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}\right]-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$» enfin,
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)-{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» et
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}(t)-{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]\;$» en factorisant vectoriellement
                La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}(t)-{\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]}\;$» à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ ou,
                La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}P}}(t)\;$ soit,
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» avec la définition de $\;P\;$ ou,
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le 1^er terme du 2^ème membre étant le vecteur accélération relative du point $\;M\;$ $\Rightarrow$
             La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{r,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}\;$» on pose $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» ;

     La méthode la plus rapide $\bullet \;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» on explicite $\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$ selon $\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$ avant de le dériver temporellement dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où, par dérivation d'un produit vectoriel,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\dfrac {d{\overrightarrow {AM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{a,\,M}(t)\;$» ou encore,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]\;$» par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses soit,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» par distributivité de la multiplication vectorielle
           La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{e,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$» par distributivité relativement à l'addition vectorielle ou encore,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» utilisant, dans le 2^ème terme, l'expression du
           La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {V}}_{e,\,M}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)}\;$» utilisant, vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M\;$ ;
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» ne dépendant que de la position de $\;M\;$ et
        La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]}\;$» non de son mouvement relatif dans $\;{\mathcal {R}}_{e}$,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre peut être assimilé au « vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$» lequel
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre peut être assimilé au « a pour valeur le vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ du point $\;M_{c,\,t}\;$ coïncident
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre peut être assimilé au « a pour valeur le vecteur accélération absolue $\;\color {transparent}{{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)}\;$ de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ ;
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre or le mouvement absolu du point coïncident $\;M_{c,\,t}\;$ étant un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ et
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre or le mouvement absolu du point coïncident $\;\color {transparent}{M_{c,\,t}}\;$ étant un de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre or son vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$ est donné par son expression intrinsèque
   La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre or son vecteur accélération absolue «$\;{\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)\;$
   La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer l'ensemble des deux 1^ers termes du 2^ème membre or son vecteur accélération absolue avec $\;C_{M_{c,\,t}}\;$ le projeté de $\;M_{c,\,t}\;$ sur $\;\Delta \;$ » ; on vérifie aisément que
La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer cet ensemble des deux termes «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ prenant pour valeur
La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer cet ensemble des deux termes «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)\;$» s'identifie au « vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$
   La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer cet ensemble des deux termes «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {\Omega }}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{c,\,t}}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M_{c,\,t}}M_{c,\,t}}}(t)={\vec {a}}_{a,\,M_{c,\,t}}(t)}\;$» s'identifie au « du point $\;M\;$» ; finalement
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$pour transformer «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»  ;

     La méthode la plus rapide $\bullet \;$ajoutant les deux transformations de «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{r,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et de «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{e,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» pour obtenir «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {V}}_{a,\,M}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$» on aboutit à
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)=\left[{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]+\left[{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\right]={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$»,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$« ce dernier vecteur accélération $\;2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» étant appelé « vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$» et étant « noté $\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$»,
     La méthode la plus rapide $\color {transparent}{\bullet }\;$« c'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ autour d'un axe fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}$.

     Conclusion : la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation se réécrit donc sous la forme

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{c,\,M}(t)\;$» avec
«$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{\!{\cancel {{\mathcal {R}}_{a}}}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$» le vecteur accélération d'entraînement de $\;M$
dans lequel «$\;C_{M}\;$ est le projeté de $\;M\;$ sur $\;\Delta$, $\;A\;$ étant un point quelconque de $\;\Delta \;$» et
«$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M$.

Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement

     Si cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure $\;\ldots$

     Partant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation «$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {V}}_{e,\,M}(t)\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\;$» ou,
     par utilisation de la relation de Chasles et
     par utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$» soit encore,
     en reconnaissant dans le dernier terme du 2^nd membre $\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\;$ l'expression intrinsèque du vecteur vitesse absolue $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ de $\;O_{e}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{e,\,M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$» d'où
     la réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative $\;{\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$ du point $\;M\;$ et
     la réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que sa dérivée temporelle $\;{\vec {V}}_{r,\,M}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
     la réécriture de la loi de composition des vecteurs vitesses sous une forme ne faisant intervenir que à l'exception des grandeurs ne dépendant pas de $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ et $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ soit

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}M}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\;$» ;

     introduisant les vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}$, vecteurs notés $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{1}\\{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{2}\\{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{3}\end{array}}\right\rbrace \;$ ainsi que
     introduisant les composantes du vecteur position relative du point $\;M\;$ notées $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(t)=x_{1}(t)\\y(t)=x_{2}(t()\\z(t)=x_{3}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$, le vecteur vitesse absolue du point $\;M\;$ se réécrit

«$\;{\vec {V}}_{a,\,M}(t)={\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]\;$» ;

     effectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$, nous obtenons

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\right\rbrace \;$» soit,

     effectuant la dérivation temporelle en reportant «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{i}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\;$» , la réécriture du vecteur accélération absolue du point $\;M\;$ selon

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;\left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{i}\right]\right\rbrace \;$» ou,

     effectuant la dérivation temporelle grâce à la factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ dans le 2^ème terme et le facteur entre accolades du 5^ème terme,

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}\right]\right\rbrace \;$» et,

     effectuant la dérivation temporelle en reconnaissant les grandeurs relatives suivantes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\ddot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\vec {a}}_{r,\,M}(t)\\\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\dot {x}}_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\vec {V}}_{r,\,M}(t)\\\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}(t)\;{\vec {u}}_{i}={\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$»,

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)+{\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\;$» soit encore,

     effectuant la dérivation temporelle $O_{e}\;$ ayant, dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$, un mouvement circulaire autour de $\;\Delta$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)$, «$\;{\vec {a}}_{a,\,O_{e}}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]\;$» ,
     effectuant la dérivation temporelle la réécriture du vecteur accélération absolue $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ en regroupant les termes identiques ou semblables

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+\left\lbrace {\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right\rbrace +\left\lbrace {\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}(t)\right]+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}M}}(t)\right]\right\rbrace \;$» soit finalement,

     effectuant la dérivation temporelle en factorisant vectoriellement à gauche par $\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\;$ dans la 1^ère expression entre accolades du 2^nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles et
     effectuant la dérivation temporelle en factorisant vectoriellement à gauche doublement par $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ dans la 2^ème expression entre accolades du 2^nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]\;$» $\Rightarrow$
«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)+{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$» dans laquelle      
l'ensemble des deux derniers termes s'identifie au vecteur accélération d'entraînement $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$» soit
«$\;{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)+{\vec {\Omega }}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)\right]={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)={\vec {a}}_{e,\,M}(t)$ ;

     effectuant la dérivation temporelle finalement on obtient pour « loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation »

«$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)\;$» avec
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$ égal à «$\;{\vec {a}}_{c,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$» et
le vecteur accélération d'entraînement du point $\;M\;$ égal à «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)={\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AM}}(t)-{\vec {\Omega }}^{2}\!(t)\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$» dans lequel
$\;A\;$ est un point fixe de $\;\Delta \;$ et $\;C_{M}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;\Delta$.

Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu

     Dans le cas $\;{\big (}$très fréquent${\big )}\;$ où la rotation d'entraînement est uniforme c.-à-d. telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté $\;{\vec {\Omega }}_{0}$,
     Dans le cas $\;\color {transparent}{\big (}$très fréquent$\color {transparent}{\big )}\;$ « la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme » se réécrit sous la forme «$\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t)={\vec {a}}_{r,\,M}(t)+{\vec {a}}_{e,\,M}(t)+{\vec {a}}_{C,\,M}(t)\;$» avec
     Dans le cas $\;\color {transparent}{\big (}$très fréquent$\color {transparent}{\big )}\;$ « la loi de composition des vecteurs accélérations «$\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t)=-{\vec {\Omega }}_{0}^{2}\;{\overrightarrow {C_{M}M}}(t)\;$ le vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$» où $\;C_{M}\;$ est le projeté de $\;M\;$ sur $\;\Delta \;$ et
     Dans le cas $\;\color {transparent}{\big (}$très fréquent$\color {transparent}{\big )}\;$ « la loi de composition des vecteurs accélérations «$\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)=2\;{\vec {\Omega }}_{0}\wedge {\vec {V}}_{r,\,M}(t)\;$ le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis du point $\;M\;$».

Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour

Position du problème

     Considérant un 1^er référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ appelé « référentiel absolu » et
     Considérant un 2^ème référentiel d'espace $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement »,
     nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles $\;{\vec {C}}()\;$ dépendant du temps $\;t\;$ selon $\;{\vec {C}}(t)$, c.-à-d.
     nous nous proposons de trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de $\;{\vec {C}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$» et
     nous nous proposons de trouver le lien existant entre celle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$» connaissant le mouvement d'entraînement de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{a}$,
     nous nous proposons de trouver le lien ${\big [}$toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans les deux référentiels
     nous nous proposons de trouver le lien $\color {transparent}{\big [}$toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation avec le vecteur rotation instantanée ${\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}(t)\;$${\big ]}$.

Formule de Bour

Énoncé de la formule de Bour

Début d’un théorème

Formule de Bour

     Soient une grandeur vectorielle dépendant du temps $\;{\vec {C}}(t)\;$ et
     Soient deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, plus précisément
     Soient un référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ en mouvement de rotation autour d'un axe $\;\Delta \;$ fixe dans un référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$
     Soient un référentiel d'entraînement $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}_{e}}\;$ en mouvement de rotation avec le vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)$,
     le lien existant entre la dérivée temporelle de $\;{\vec {C}}(t)\;$ effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;$» et
     le lien existant entre celle effectuée dans $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$»
     le lien existant est donné par la formule de Bour  : «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\vec {C}}(t)\;$» .

Fin du théorème

Démonstration dans le cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels

     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle $\;{\vec {C}}(t)\;$ dans le référentiel absolu $\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ et
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;P\;$ par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement «$\;{\overrightarrow {O_{e}P}}(t)={\vec {C}}(t)\;$»
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position que l'on dérive par rapport à $\;t\;$ dans le référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ d'où
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{a}O_{e}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$ ou
       On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;={\vec {V}}_{a,\,P}(t)-{\vec {V}}_{a,\,O_{e}}(t)\;$ ou encore,
       On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {V}}_{e,\,P}(t)-{\vec {V}}_{e,\,O_{e}}(t)\;$ et finalement
       On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;={\vec {V}}_{r,\,P}(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}-{\vec {\Omega }}(t)_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {AO_{e}}}\;$ ou
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position après factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {\Omega }}(t)_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\;$
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position après factorisation vectorielle à gauche dans les deux derniers termes,
       On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge \left[{\overrightarrow {AP}}-{\overrightarrow {AO_{e}}}\right]\;$ puis,
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position après une nouvelle utilisation de la relation de Chasles
       On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\color {transparent}{\left[d{\vec {C}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)}$ $\;=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {O_{e}P}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\overrightarrow {O_{e}P}}\;$» soit enfin,
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position par définition du point $\;P$, la relation cherchée finale
     On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour cela on définit un point $\;\color {transparent}{P}\;$ par son vecteur position «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=$ $\left[{\dfrac {d{\vec {C}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)+{\vec {\Omega }}_{{\mathcal {R}}_{e}\,/\,{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)\wedge {\vec {C}}(t)\;$» C.Q.F.D. .

     Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$
          Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère en mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$
          Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère en mouvement de rotation autour d'un axe fixe $\;\Delta \;$
          Remarques : On peut utiliser la formule de Bour pour évaluer la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère en mouvement de rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu $\;{\mathcal {R}}_{a}$,
     Remarques : on obtient alors «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{x}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{x}\;$», «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{y}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{y}\;$» et «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)={\cancel {\left[{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;+}}\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {u}}_{z}\;$» .

     Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ d'entraînement de rotation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ autour de l'axe $\;\Delta \;$ fixe de $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$
          Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;\color {transparent}{{\vec {\Omega }}(t)}\;$ nous conduit à «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{a}}\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {\Omega }}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{e}}\!(t)\;{\cancel {+\;{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {\Omega }}(t)}}\;$» $\Rightarrow$
          Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée $\;\color {transparent}{{\vec {\Omega }}(t)}\;$ nous conduit à « il est inutile de préciser le référentiel dans lequel est effectuée la dérivation temporelle.

     Remarques : Enfin, la formule de Bour ayant été démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels,
     Remarques : Enfin, il ne faut pas utiliser la formule de Bour pour établir la loi de composition des vecteurs vitesses .