Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux vecteurs et d'un espace vectoriel à trois ou deux dimensions représentés au même point de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » [2] du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

     Avec , on en déduit ainsi que d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque du produit scalaire de et , .


Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensions[modifier | modifier le wikicode]

     La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois ou deux rend l'espace vectoriel euclidien de même que l'espace affine dont cet espace vectoriel est la direction [1], le caractère euclidien de l'espace affine permettant de définir la distance entre deux points de l'espace affine [3].

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     Lorsque ou est nul,  ;

     lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais , d'où  ;

     dans tous les autres cas en étant si est aigu et si est obtus.

Autres propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d. [4].

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. [5].

Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel à trois dimensions [7] ainsi que la décomposition de et dans cette base  ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle on obtient :

      soit finalement, en utilisant le caractère normé des vecteurs de base .

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée , supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. et cherchons à déterminer  ;
     pour cela on peut exprimer le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : donnant expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par et d'où

.

Produit vectoriel de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [9], ce que nous admettrons ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [9] et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de

  • « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [10] positionné en un point de l'espace ou
  • « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [11] positionné en un point de l'espace.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite » par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite » nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche ».

Base directe d'un espace orienté à droite[modifier | modifier le wikicode]

Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct
Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

     Soit une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite », la base est

  • « directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de , l'index pointant dans le sens de , « le sens de est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » [12] voir schémas [13] ci-contre à gauche ou
  • « indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de , l'index pointant dans le sens de , « le sens de est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » « règle de la main gauche » [14] voir schémas [15] ci-contre à droite.

Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche », la notion de base « directe au sens de la physique» doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et
     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche »,       celle de base « indirecte au sens de la physique» doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet,
     Préliminaire : « en mathématiques, une base est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace à savoir, pour un espace « orienté à gauche » la « règle de la main gauche » [14] et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » [12] pour un espace « orienté à gauche » la base est, en mathématiques, « indirecte » alors que
     Préliminaire : « en physique, une base sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main droite » [12] que l'espace soit « orienté à droite » ou « à gauche » et bien sûr, si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la « règle de la main gauche » [14] pour un espace « orienté à droite » ou « à gauche » la base sera dite « indirecte au sens de la physique» ;

     Préliminaire : la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet [17] avec un espace image [18],
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » avec choix d'une base « directe » orientant l'axe optique principal [19] dans le sens de propagation de la lumière, et étant au miroir obtenue par la « règle de la main droite » [12], il est physiquement souhaitable que
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan l'espace image correspondant sachant que l'image d'un objet par un miroir plan est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir soit « orienté à gauche » avec choix d'une base symétrique par rapport au miroir de la base définie dans l'espace objet orientant l'axe optique principal [19] dans le sens de propagation de la lumière réfléchie sur le miroir, et étant au miroir, la base choisie dans l'espace image « orienté à gauche » étant définie par la « règle de la main gauche » [14] ;
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image, la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais, en physique, elle est qualifiée d'« indirecte » car,
     Préliminaire : la raison du choix fait en physique un miroir plan ce qui importe le plus en physique c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile de qualifier simultanément de « directe » comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques la base de l'espace objet obtenue par la « règle de la main droite » [12] et celle de l'espace image obtenue par la « règle de la main gauche » [14]

     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » [6] de l'espace vectoriel, direction [1] de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche » l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » [14], la base est qualifiée, en physique, de

  • « directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » [12] ou
  • « indirecte » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main gauche » [14].

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d.  ;

     la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. .

Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     [23]      [24]      .

     Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs et étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect au sens de la physique de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace » le produit vectoriel de ces deux vecteurs et dans un espace orienté à gauche avec une base indirecte au sens de la physique est opposé à celui de et dans un espace orienté à droite avec une base directe en effet

     Remarque : appelant la base « directe dans un espace orienté à droite » et la base « indirecte au sens de la physique dans le même espace orienté à gauche »,
     Remarque : les composantes de dans étant , dans elles sont , de même
     Remarque : les composantes de dans étant , dans elles sont , nous en déduisons que
     Remarque : les composantes de dans sont «» et
     Remarque : les composantes de              dans «» d'où

     Remarque : exprimé dans et dans ayant une même 1ère composante et un couple de 2ème, 3ème composante opposée sont des vecteurs opposés,

     Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs.

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée[modifier | modifier le wikicode]

     On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :

[26] soit enfin
ou en ordonnant
.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

     Notant l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de s'écrit

ou,
avec ,
soit encore
l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs et [27].


Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux vecteurs non nuls et de l'espace à trois dimensions orienté dans lequel on définit la base orthonormée [28], supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. et cherchons à déterminer [29] ;


     pour cela on peut exprimer la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque d'une part et en utilisant leurs composantes d'autre part soit : donnant expression dans laquelle on peut éliminer les normes des vecteurs par et d'où

.

Itération de la multiplication vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » [30] c.-à-d., avec trois vecteurs , et quelconques, on vérifie qu'en général [31] il est indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » [32] a priori différents, la non associativité de la multiplication vectorielle rendant l'expression sans aucune signification [33].

Formules du double produit vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

     Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée [28], voir le paragraphe « en complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre pour les sceptiques

  • le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 1er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir [34] ;
  • le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir et , le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs pour le produit scalaire est et pour c'est avec un signe devant le 2ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche à savoir [35].

     Remarque : La 1ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2nde et vice versa par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [36] en effet par utilisation de la 2ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement c.-à-d. la 1ère formule du double produit vectoriel ;
     Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2nde formule du double produit vectoriel

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directe[modifier | modifier le wikicode]

On note la base orthonormée cartésienne [28].

     À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. [37] des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais que l'on a oublié où doit être positionné le signe

     Formant un 1er produit vectoriel donnant et formant avec ce dernier le produit vectoriel donnant la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat c.-à-d. que l'on doit vérifier «» ;

     si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. [37] de et vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche, devant quel vecteur faut-il positionner le signe  ?

     Le résultat final étant le signe doit donc être devant et le signe devant le selon la formule suivante « » [38].

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre[modifier | modifier le wikicode]

     Nous nous proposons de démontrer la 2nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «» en déterminant les composantes cartésiennes du 1er membre et en retrouvant celles du 2nd soit :

      soit, en factorisant autrement chaque composante

      puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

  • pour la 1ère composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    pour la 1ère composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme ,
  • pour la 2ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    pour la 2ème composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme et
  • pour la 3ème composante on ajoute permettant d'obtenir comme 1er terme et
    pour la 3ème composante on retranche permettant d'obtenir pour 2ème terme  ;

     finalement on obtient établissant la formule du double produit vectoriel .

Produit mixte de trois vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orientable [9] ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] étant orientable [9] a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir

  • une « orientation à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [10] positionné en un point de l'espace ou
  • une « orientation à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [11] positionné en un point de l'espace.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] « orienté à droite » par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] est orienté à droite » nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction [1] orienté à gauche ».

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » [42] alors que
     Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en est indépendant, nous en déduisons que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace :

le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite ».

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que «» ;

     par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le troisième en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

         par contre «» résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel ou

         par contre «» résultant d'une première permutation circulaire mettant en troisième position selon suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel ;

     dans un espace « orienté à droite », le produit mixte « est » [43] alors que
          dans un espace « orienté à gauche », le produit mixte« est » [43].

Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple pour montrer que «» on part de dans laquelle, après des factorisations partielles en , et , on obtient

avec
les composantes ordonnées du produit vectoriel

Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique du produit mixte

     L'espace étant « orienté à droite » et appelant un vecteur unitaire normal au plan formé par et tel que soit direct, nous pouvons écrire «» avec « représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de et » ;
     d'autre part la définition du produit scalaire nous conduit à «» avec «» [44] « » où « représente la hauteur du parallélépipède relativement à la base formée du parallélogramme construit à partir de et » d'où

c.-à-d.
le volume du parallélépipède construit à partir de , et [45].


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 et 1,15 La direction d'un espace affine étant l'espace vectoriel à partir duquel l'espace affine est défini à l'aide de l'application qui, à chaque bipoint , associe un élément de noté vérifiant les deux propriétés suivantes :
    • «» relation de Chasles,
    • «» existence et unicité d'un translaté.
       Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  2. Une définition est dite intrinsèque si elle est donnée sans référence à une quelconque base de l'espace.
  3. Avec les notations introduites dans la note « 1 » plus haut dans ce chapitre, la distance entre les points et de l'espace affine de direction , notée «», est la norme euclidienne de soit «» où « encore noté est la norme euclidienne de » ;
       un espace vectoriel euclidien c.-à-d. sur lequel est définie la multiplication scalaire est normé, la norme application de dans possède les propriétés
    • de séparation c.-à-d. « »,
    • d'absolue homogénéité de degré c.-à-d. «» et
    • de sous-additivité c.-à-d. «» encore appelée inégalité triangulaire ;
       conséquence des propriétés précédentes « une norme est toujours positive » en effet
    « d'où ».
  4. Cela se déduit de la 2ème forme de la définition intrinsèque du produit scalaire et du fait que le cosinus d'un angle est égal au cosinus de l'angle opposé c'est en effet ce qu'on obtient en permutant les deux vecteurs si on définit comme l'angle orienté entre le 1er vecteur et le 2nd.
  5. Cela se déduit de la 1ère forme de la définition intrinsèque du produit scalaire et du fait que le projeté de la somme de deux vecteurs sur une direction orientée est la somme des projetés de chaque vecteur sur cette même direction orientée par exemple le projeté de sur la direction de est la somme du projeté de sur la direction de et du projeté de sur la direction de
  6. 6,0 6,1 et 6,2 Vecteurs unitaires et orthogonaux deux à deux.
  7. La base étant orthonormée on a , , , , et .
  8. Signifiant que le produit scalaire des deux vecteurs reste inchangé par changement de base.
  9. 9,0 9,1 9,2 et 9,3 C.-à-d. que tout déplacement continu d'un objet chiral non superposable à son image dans un miroir plan dans l'espace aboutit, lors du retour au point de départ, à la superposition de l'image obtenue par déplacement et de l'objet antécédent.
  10. 10,0 et 10,1 Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ;
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
  11. 11,0 et 11,1 Le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher, plaçant un bouchon en un point de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point , elle est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon.
  12. 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 et 12,5 Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite est dite « règle de la main droite » ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier » ; il existe d'autres règles équivalentes :
       « règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras droit étant dans le sens de , la poigne de la main droite courbée dans le sens de , le pouce est alors levé dans le sens de ,
       « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant de vers , il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de ,
       « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur , ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de , il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de ,
       et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
  13. Sur le schéma en perspective, pour traduire que l'axe vient vers le lecteur on peut donner un effet au trait en lui donnant une épaisseur d'autant plus grande que l'endroit considéré est éloigné du plan de front ;
       sur le schéma projeté on traduit le sens de l'axe perpendiculaire au plan de front et venant vers l'observateur par un cercle dans lequel on place un point.
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 et 14,6 Pouvant encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher » ; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes
  15. Sur le schéma en perspective, pour traduire que l'axe s'éloigne du lecteur on peut donner un effet au trait en le remplaçant par des hachures d'autant moins larges que l'endroit considéré est éloigné du plan de front ;
       sur le schéma projeté on traduit le sens de l'axe perpendiculaire au plan de front et s'éloignant de l'observateur par un cercle dans lequel on place une croix.
  16. On passe de la base