Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

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Produit scalaire de deux vecteurs

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs

     Soient deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ d'un espace vectoriel à trois $\;{\big (}$ou deux${\big )}\;$ dimensions représentés au même point $\;M\;$ de l'espace physique affine dont l'espace vectoriel est la direction  ; nous commençons par donner une « définition intrinsèque » du produit scalaire avant de poursuivre avec une définition équivalente utilisant une base de l'espace.

Définition intrinsèque

Définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs

     Le produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$, noté $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}$,
     Le produit scalaire des vecteurs est le scalaire égal au
     Le produit de la norme d'un des vecteurs par la mesure algébrique du projeté du 2^ème vecteur sur la direction orientée du 1^er soit encore

$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times {\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {u}}\,\mathrm {de} \,{\vec {v}}}}\;$
ou
$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {v}}\Vert \times {\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {v}}\,\mathrm {de} \,{\vec {u}}}}$.

     Avec $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}$, on en déduit $\;{\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {u}}\,\mathrm {de} \,{\vec {v}}}}={\overline {MK}}=\Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )\;$ ainsi que
     Avec $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}}$, on en déduit $\;{\overline {\mathrm {proj.sur} \,{\vec {v}}\,\mathrm {de} \,{\vec {u}}}}={\overline {MH}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \cos(\alpha )\;$ d'où, en utilisant l'une ou l'autre forme de la définition intrinsèque du produit scalaire de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$,
     Avec $\;\color {transparent}{\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}}$, on en déduit $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )$.

Autre forme de la définition intrinsèque

     Le produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$, noté $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}$, est le scalaire égal au
     Le produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle formé entre les deux vecteurs $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}\;$ soit encore

$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )$.

Conséquence de la définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel à trois (ou deux) dimensions

     La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois $\;{\big (}$ou deux${\big )}\;$ dimensions rend l'espace vectoriel euclidien de même
                 La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois $\;\color {transparent}{\big (}$ou deux$\color {transparent}{\big )}\;$ elle rend euclidien l'espace affine dont cet espace vectoriel est la direction ,
           La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois $\;\color {transparent}{\big (}$ou deux$\color {transparent}{\big )}\;$ le caractère euclidien de l'espace affine permettant de définir
           La définition de la multiplication scalaire de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois $\;\color {transparent}{\big (}$ou deux$\color {transparent}{\big )}\;$ le caractère euclidien de l'espace affine la distance entre deux points de l'espace affine .

Propriétés

Valeurs possibles d'un produit scalaire de deux vecteurs

     « Lorsque $\;{\vec {u}}\;$ ou $\;{\vec {v}}\;$ est nul », «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=0\;$» ;

     « lorsqu'aucun des vecteurs n'est nul mais $\;{\vec {u}}\perp {\vec {v}}\;$», $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\Rightarrow \cos(\alpha )=0\;$ d'où «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=0\;$» ;

     « dans tous les autres cas $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}\neq 0\;$» en étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;\;{\text{si }}\;\alpha \;{\text{est aigu}}\\<0\;\;{\text{si }}\;\alpha \;{\text{est obtus}}\end{array}}\right.$.

À retenir

« Deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ non nuls sont orthogonaux ssi $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=0\;$».

Autres propriétés

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est commutative c.-à-d. «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}={\vec {v}}\!\cdot \!{\vec {u}}\;$» .

     La multiplication scalaire entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!\left({\vec {v}}+{\vec {w}}\right)={\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}+{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {w}}\;$» .

Définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace

     On considère une base « orthonormée » de l'espace vectoriel à trois dimensions $\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ ainsi que
     On considère la décomposition de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ dans cette base $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.$ ; utilisant la distributivité de la multiplication scalaire entre deux vecteurs relativement à l'addition vectorielle on obtient $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\left(u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\right)\!\cdot \!\left(v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\right)=u_{x}\,v_{x}\,{\vec {i}}^{2}+u_{y}\,v_{y}\,{\vec {j}}^{2}+u_{z}\,v_{z}\,{\vec {k}}^{2}+\left(u_{x}\,v_{y}+u_{y}\,v_{x}\right){\cancel {{\vec {i}}\!\cdot \!{\vec {j}}}}+\left(u_{x}\,v_{z}+u_{z}\,v_{x}\right){\cancel {{\vec {i}}\!\cdot \!{\vec {k}}}}\,+\left(u_{y}\,v_{z}+u_{z}\,v_{y}\right){\cancel {{\vec {j}}\!\cdot \!{\vec {k}}}}\;$ en utilisant le caractère orthogonal deux à deux des vecteurs de base et enfin, par utilisation du caractère normé de ces derniers «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}\;$».

Définition équivalente utilisant les composantes des deux vecteurs

     Le produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ peut se définir à l'aide de leurs composantes dans une base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel à trois dimensions, à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.$,
     Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\vec {u}}\;$ et $\;\color {transparent}{\vec {v}}\;$ peut se définir comme le scalaire «$\;u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}\;$ noté $\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}\;$», soit
     Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\vec {u}}\;$ et $\;\color {transparent}{\vec {v}}\;$ peut se définir comme le scalaire «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}\;$».

Remarque

     Le produit scalaire des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ ayant une définition intrinsèque , sa valeur est la même pour toute base orthonormée ;
     si on définit deux bases orthonormées distinctes de l'espace vectoriel à trois dimensions $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\vec {i'}},\,{\vec {j'}},\,{\vec {k'}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles les composantes des deux vecteurs sont respectivement $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x'}\,{\vec {i'}}+u_{y'}\,{\vec {j'}}+u_{z'}\,{\vec {k'}}\\{\vec {v}}=v_{x'}\,{\vec {i'}}+v_{y'}\,{\vec {j'}}+v_{z'}\,{\vec {k'}}\end{array}}\right.\;$ $\Rightarrow$
     l'« invariance du produit scalaire par changement de base » soit «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}=u_{x'}\,v_{x'}+u_{y'}\,v_{y'}+u_{z'}\,v_{z'}\;$».

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire

     Soient deux vecteurs non nuls $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel à trois dimensions dans lequel on définit la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace$,
     supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.\;$ et
     cherchons à déterminer l'angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}\;$ entre ces deux vecteurs ; pour cela
     on exprime le produit scalaire de ces deux vecteurs de façon intrinsèque «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert \times \cos(\alpha )\;$» puis
     on explicite ce dernier en utilisant leurs composantes                                     «$\;{\vec {u}}\!\cdot \!{\vec {v}}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}\;$» ,
     on en déduit alors                                                                                             «$\;\cos(\alpha )={\dfrac {u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}}{\Vert {\vec {u}}\Vert \times \Vert {\vec {v}}\Vert }}\;$», la norme des vecteurs étant éliminée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Vert {\vec {u}}\Vert ={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\\\Vert {\vec {v}}\Vert ={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}\end{array}}\right.\;$ d'où
     on en déduit alors                                                                                             «$\;\cos(\alpha )={\dfrac {u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y}+u_{z}\,v_{z}}{{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\,{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}\;$».

Produit vectoriel de deux vecteurs

     La définition de la multiplication vectorielle de deux vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction est orientable , ce que nous admettrons ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction étant orientable et connexe, nous admettrons qu'il y a exactement deux orientations possibles différentes, le choix d'une de ces orientations qualifiant l'espace physique affine à trois dimensions de

• « orienté à droite » $\;{\big (}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$ ou
• « orienté à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction « orienté à droite » $\;{\big \{}$par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction est orienté à droite » $\;{\big (}$nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction orienté à gauche »${\big )}{\big \}}$.

Base directe d'un espace orienté à droite

Vues en perspective et projetée d'un trièdre direct

Vues en perspective et projetée d'un trièdre indirect

     Soit une base « orthonormée » $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » , la base est

• « directe » si, levant le pouce de la main droite dans le sens de $\;{\vec {i}}$, l'index pointant dans le sens de $\;{\vec {j}}$, « le sens de $\;{\vec {k}}\;$ est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » $\;{\big (}$voir schémas ci-contre à gauche${\big )}\;$ ou
• « indirecte » si, levant le pouce de la main gauche dans le sens de $\;{\vec {i}}$, l'index pointant dans le sens de $\;{\vec {j}}$, « le sens de $\;{\vec {k}}\;$ est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » $\;{\big (}$« règle de la main gauche » ${\big )}$ $\;{\big (}$voir schémas ci-dessus à droite${\big )}$.

Remarque

     Si la base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est orthonormée « directe », la base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,-{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est orthonormée « indirecte » et il en est de même de toutes les bases obtenues à partir de $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ en remplaçant un quelconque vecteur de la base par son opposé ;
     par contre si on remplace deux vecteurs quelconques de la base par leurs opposés par exemple $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,-{\vec {j}},\,-{\vec {k}}\right\rbrace$, on retrouve une base « directe » et
     si on remplace les trois vecteurs de la base par leurs opposés soit $\;\left\lbrace -{\vec {i}},\,-{\vec {j}},\,-{\vec {k}}\right\rbrace$, la base est de nouveau « indirecte ».

Base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche

     Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche » , la notion de base « directe $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» doit être identifiée à celle de base « indirecte introduite en mathématiques » et
           Préliminaire : Dans un espace « orienté à gauche »,       celle de base « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» doit être identifiée à celle de base « directe introduite en mathématiques » en effet,
     Préliminaire : « en mathématiques, une base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base sont donnés par la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace,
     Préliminaire : « en mathématiques, pour un espace « orienté à gauche » une base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ est donc dite directe si elle suit la « règle de la main gauche » et
           Préliminaire : « en mathématiques, pour un espace « orienté à gauche » une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace }\;$ est donc dite indirecte si elle suit la « règle de la main droite » alors que
     Préliminaire : « en physique, une base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ sera dite directe » si les sens des vecteurs successifs de la base suivent la « règle de la main droite » quelle que soit l'orientation de l'espace,
     Préliminaire : « en physique, pour un espace « orienté à gauche » une base $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ sera donc dite directe $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ si elle suit la « règle de la main droite » et
           Préliminaire : « en physique, pour un espace « orienté à gauche » une base $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace }\;$ sera donc dite indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ si elle suit la « règle de la main gauche »  ;

     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique dans un espace « orienté à gauche » est son utilisation pratique en optique géométrique lors de la présence d'un miroir plan en effet
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan mettant en correspondance un espace objet avec un espace image ,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » avec choix d'une base « directe » $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$
           Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique un miroir plan pour un espace objet usuellement « orienté à droite » obtenu par la « règle de la main droite » , il est souhaitable,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » avec choix d'une base symétrique de $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ par rapport
                  Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » au miroir soit $\;\left\lbrace {{\vec {u}}'}_{\!x}=-{\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$, base de l'espace image
                  Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physiquement, que l'espace image associé soit « orienté à gauche » au miroir soit obtenue par la « règle de la main gauche »  ;
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base de l'espace image suivant la même règle que celle définissant l'orientation de l'espace image,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base serait qualifiée de « directe en mathématiques » mais
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de la base est qualifiée d'« indirecte en physique » car, ce qui importe le plus en physique,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de c'est le choix de la base indépendamment de l'orientation de l'espace, par suite, il semble difficile
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément $\;{\big (}$comme il faudrait le faire en suivant les définitions mathématiques${\big )}\;$
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base de l'espace objet « orienté à droite » ,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base obtenue par la « règle de la main droite » et
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base de l'espace image « orienté à gauche » ,
     Préliminaire : « en physique, la raison du choix fait en physique les sens des vecteurs successifs de de qualifier simultanément de « directe » la base obtenue par la « règle de la main gauche » $\;\ldots$

     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : Soit une base « orthonormée » $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$ de l'espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à gauche » $\;{\big (}$l'orientation étant obtenue avec la « règle de la main gauche » ${\big )}$,
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de $\bullet \;$« directe $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» si les sens des vecteurs successifs de la base
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de $\color {transparent}{\bullet }\;$« directe $\;\color {transparent}{\big (}$au sens de la physique$\color {transparent}{\big )}\;$» suivent la « règle de la main droite » ou
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de $\bullet \;$« indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» si les sens des vecteurs successifs de la base
     Caractère direct ou indirect d'une base d'un espace orienté à gauche en physique : la base est qualifiée de $\color {transparent}{\bullet }\;$« indirecte $\;\color {transparent}{\big (}$au sens de la physique$\color {transparent}{\big )}\;$» suivent la « règle de la main gauche » .

Définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs

Définition intrinsèque

     $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ étant deux vecteurs de l'espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté » , on définit le produit vectoriel de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$, noté $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}$, comme le vecteur ayant les propriétés suivantes :

• si $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ sont colinéaires ou si un des deux vecteurs au moins est nul, $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$,
• si $\;{\vec {u}}\neq {\vec {0}}\;$ et $\;{\vec {v}}\neq {\vec {0}}\;$ ne sont pas colinéaires, $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\neq {\vec {0}}\;$ et
  $\succ \;$sa direction est normale au plan formé par $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$,
  $\succ \;$son sens est tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace \;$ est « direct » pour « un espace orienté à droite » et
  $\color {transparent}{\succ }\;$son sens est tel que le trièdre $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\rbrace }\;$ est « indirect ${\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$» pour « un espace orienté à gauche »
  $\succ \;$sa norme est définie par $\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \;\left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \;|\sin(\alpha )|\;$ où $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}$.

Propriétés

     $\succ \;$La multiplication vectorielle entre deux vecteurs est anticommutative c.-à-d. «$\;{\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\;$» ;

     $\succ \;$la multiplication vectorielle entre deux vecteurs est distributive par rapport à l'addition vectorielle c.-à-d. «$\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}+{\vec {w}}\right)=$ ${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}+{\vec {u}}\wedge {\vec {w}}\;$».

Définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace

Définition (équivalente) du produit vectoriel à l'aide d'une base orthonormée

     Soient $\;{\vec {u}}\;(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})\;$ et $\;{\vec {v}}\;(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\;$ les composantes de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ dans une base orthonormée $\;({\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3})$ $\;{\big \{}$base « directe dans un espace orienté à droite » et « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans un espace orienté à gauche » ${\big \}}$, les composantes de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ dans la même base sont «$\;(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2},\;u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3},\;u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;$» ;
     on peut les déterminer de la façon décrite ci-après :      $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {u}}&\wedge &{\vec {v}}&=&{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&&v_{1}&&u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&^{+}{\searrow }&v_{2}&&\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&_{-}{\nearrow }&v_{3}&&\end{array}}\right\rbrace \;$      $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {u}}&\wedge &{\vec {v}}&=&{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&&v_{1}&&\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&&v_{2}&&u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&^{+}{\searrow }&v_{3}&&\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&_{-}{\nearrow }&v_{1}&&\end{array}}\right\rbrace \;$      $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {u}}&\wedge &{\vec {v}}&=&{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&^{+}{\searrow }&v_{1}&&\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&_{-}{\nearrow }&v_{2}&&\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&&v_{3}&&u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$.

     Remarque : La détermination des composantes du produit vectoriel des deux vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ étant la même quel que soit le caractère « direct ou indirect $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ de la base » adaptée à l'« orientation à droite ou à gauche de l'espace » $\Rightarrow$ le produit vectoriel de ces deux vecteurs$\;{\vec {u}}\;$et$\;{\vec {v}}\;$dans un espace orienté à gauche $\;{\big \{}$avec base indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}{\big \}}\;$est opposé à celui de$\;{\vec {u}}\;$et$\;{\vec {v}}\;$dans un espace orienté à droite $\;{\big \{}$avec base directe${\big \}}\;$ en effet

     Remarque : appelant $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ la base « directe dans un espace orienté à droite » et
     Remarque : appelant $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ la base « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans le même espace orienté à gauche » ,
     Remarque : les composantes de $\;{\vec {u}}\;$ « dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ étant $\;(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})\;$», « dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ elles sont $\;({u'}_{\!1}=-u_{1},\,u_{2},\,u_{3})\;$», de même
     Remarque : les composantes de $\;{\vec {v}}\;$ « dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ étant $\;(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\;$», « dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ elles sont $\;({v'}_{\!1}=-v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\;$», nous en déduisons que
     Remarque : les composantes de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ « dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ sont $\;\left\lbrace u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\;,\;u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\;,\;u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right\rbrace \;$» et
     Remarque : les composantes de              « dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ sont $\;\left\lbrace u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\;,\;u_{3}\,{v'}_{\!1}-{u'}_{\!1}\,v_{3}\;,\;{u'}_{\!1}\,v_{2}-u_{2}\,{v'}_{\!1}\right\rbrace =\left\lbrace (u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2})\;,\;-(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3})\;,\;-(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\right\rbrace \;$»

     Remarque : d'où $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ exprimé dans $\;({\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ et dans $\;({{\vec {b}}'}_{\!1}=-{\vec {b}}_{1},\,{\vec {b}}_{2},\,{\vec {b}}_{3})\;$ ayant une même 1^ère composante et un couple de 2^ème, 3^ème composante opposée sont des vecteurs opposés,

     Remarque : cette conclusion étant en accord avec la définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs.

Propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée

Propriété

     Soit une base orthonormée $\;({\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3})\;$ d'un espace orienté $\;{\big (}$« à droite » ou « à gauche »${\big )}\;$, « tout vecteur de base peut être écrit comme le produit vectoriel des deux autres vecteurs de base $\;{\big (}$en respectant l'ordre de la base${\big )}\;$» :

$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {e}}_{1}={\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\\{\vec {e}}_{2}={\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\\{\vec {e}}_{3}={\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\end{array}}\right.\;$.

     On peut utiliser cette propriété et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle pour retrouver les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en effet :
     $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left(u_{1}\,{\vec {e}}_{1}+u_{2}\,{\vec {e}}_{2}+u_{3}\,{\vec {e}}_{3}\right)\wedge \left(v_{1}\,{\vec {e}}_{1}+v_{2}\,{\vec {e}}_{2}+v_{3}\,{\vec {e}}_{3}\right)$
     $\;\color {transparent}{{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}}$ $=u_{1}\,v_{2}\left({\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\right)+u_{1}\,v_{3}\left({\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{3}\right)+u_{2}\,v_{1}\left({\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{1}\right)+u_{2}\,v_{3}\left({\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\right)+u_{3}\,v_{1}\left({\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\right)+u_{3}\,v_{2}\left({\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{2}\right)$
     $\;\color {transparent}{{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}}$ $=\left(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right)\left({\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\right)+\left(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\right)\left({\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\right)$ $+\left(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\right)\left({\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\right)\;$ $=\left(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right){\vec {e}}_{3}+\left(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\right){\vec {e}}_{1}+\left(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\right){\vec {e}}_{2}\;$ ou en ordonnant
     $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2}\right){\vec {e}}_{1}+\left(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3}\right){\vec {e}}_{2}+\left(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1}\right){\vec {e}}_{3}$.

Interprétation géométrique

Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel

     Notant $\;\alpha \;$ l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ s'écrit alors «$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \;\left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \;\sin(\alpha )\;$» ou,
     Notant $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ l'angle non orienté entre les deux vecteurs, avec «$\;\left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \;\sin(\alpha )=h\;$» $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$,
     Notant $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ l'angle non orienté entre les deux vecteurs, la norme de $\;\color {transparent}{{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}}\;$ s'écrit alors «$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \;h\;$» encore égale à
     Notant $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ l'angle non orienté entre les deux vecteurs, l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs$\;{\vec {u}}\;$et$\;{\vec {v}}\;$.

À retenir

$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert \;$ peut être interprété comme l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}$.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit vectoriel

     Soient deux vecteurs non nuls $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ de l'espace vectoriel à trois dimensions orienté dans lequel on définit la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {i}},\,{\vec {j}},\,{\vec {k}}\right\rbrace \;$,
     supposons connues les composantes de ces vecteurs dans cette base c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}=u_{x}\,{\vec {i}}+u_{y}\,{\vec {j}}+u_{z}\,{\vec {k}}\\{\vec {v}}=v_{x}\,{\vec {i}}+v_{y}\,{\vec {j}}+v_{z}\,{\vec {k}}\end{array}}\right.\;$ et
     cherchons à déterminer l'angle $\;\alpha ={\widehat {\left({\vec {u}}\,{,}\,{\vec {v}}\right)}}\;$ entre ces deux vecteurs ; pour cela
     on exprime la norme du produit vectoriel de ces deux vecteurs de façon intrinsèque «$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert =\left\Vert {\vec {u}}\right\Vert \times \left\Vert {\vec {v}}\right\Vert \times \sin(\alpha )\;$» puis
     on explicite cette dernière en utilisant les composantes du produit vectoriel                   «$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert ={\sqrt {(u_{y}\,v_{z}-u_{z}\,v_{y})^{2}+(u_{z}\,v_{x}-u_{x}\,v_{z})^{2}+(u_{x}\,v_{y}-u_{y}\,v_{x})^{2}}}\;$» ,
     on en déduit alors                                                                                                              «$\;\sin(\alpha )={\dfrac {\sqrt {(u_{y}\,v_{z}-u_{z}\,v_{y})^{2}+(u_{z}\,v_{x}-u_{x}\,v_{z})^{2}+(u_{x}\,v_{y}-u_{y}\,v_{x})^{2}}}{||{\vec {u}}||\times ||{\vec {v}}||}}\;\;$»,
     la norme des vecteurs étant éliminée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Vert {\vec {u}}\Vert ={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\\\Vert {\vec {v}}\Vert ={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}\end{array}}\right.\;$ d'où             «$\;\sin(\alpha )={\dfrac {\sqrt {(u_{y}\,v_{z}-u_{z}\,v_{y})^{2}+(u_{z}\,v_{x}-u_{x}\,v_{z})^{2}+(u_{x}\,v_{y}-u_{y}\,v_{x})^{2}}}{{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}\,{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}\;$».

Itération de la multiplication vectorielle

Conséquence de la non associativité de la multiplication vectorielle

     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle mais cette dernière étant « non associative » ,
     Le produit vectoriel de deux vecteurs étant un vecteur, il est possible d'itérer la multiplication vectorielle il est donc indispensable de préciser dans quel ordre la multiplication vectorielle est faite ;

     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right\rbrace \;$ quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\{\text{ou}}\\\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}\end{array}}\right\rbrace \;$ a priori différents,
     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right\rbrace }\;$ quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » la non associativité de la multiplication vectorielle rendant
     ainsi avec un triplet ordonné de vecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right\rbrace }\;$ quelconques on peut former deux « doubles produits vectoriels » la non associativité l'expression $\;{\cancel {{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}}}\;$ sans aucune signification .

Formules du double produit vectoriel

     Celles-ci peuvent se démontrer laborieusement à l'aide des composantes de chaque produit vectoriel dans une base orthonormée , voir le paragraphe « en complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre » plus loin dans le chapitre $\;{\big (}$pour les sceptiques${\big )}\;\ldots$

• $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}=-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {u}}+\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}\;$ $\quad \longleftarrow \quad$ le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}{\big )}$, le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs $\;{\big (}$pour $\;{\vec {u}}\;$ le produit scalaire est $\;{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\;$ et pour $\;{\vec {v}}\;$ c'est $\;{\vec {u}}\cdot {\vec {w}}{\big )}\;$ avec un signe $\;-\;$ devant le 1^er vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {u}}{\big )}\;$ ;
• $\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {w}}\;$ $\quad \longleftarrow \quad$ le membre de droite est une combinaison linéaire (C.L.) des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}{\big )}$, le facteur multiplicatif de chaque vecteur étant le produit scalaire des deux autres vecteurs $\;{\big (}$pour $\;{\vec {v}}\;$ le produit scalaire est $\;{\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\;$ et pour $\;{\vec {w}}\;$ c'est $\;{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}{\big )}\;$ avec un signe $\;-\;$ devant le 2^ème vecteur des deux vecteurs à l'intérieur des parenthèses du membre de gauche $\;{\big (}$à savoir $\;{\vec {w}}{\big )}\;$.

     Remarque : La 1^ère formule du double produit vectoriel peut se déduire de la 2^nde $\;{\big (}$et vice versa${\big )}\;$ par utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle
     Remarque : en effet $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}=-{\vec {w}}\wedge \left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)={\vec {w}}\wedge \left[-\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\right]={\vec {w}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {u}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {u}}\;$ par utilisation de la 2^ème formule du double produit vectoriel, ce qui établit finalement $\;\left({\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right)\wedge {\vec {w}}=-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {u}}+\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}\;$ c.-à-d. la 1^ère formule du double produit vectoriel ;
     Remarque : il ne reste donc plus qu'à établir la 2^nde formule du double produit vectoriel $\;\ldots$

Vérification des formules du double produit vectoriel à partir de l'utilisation de la base orthonormée cartésienne directe

On note $\;\left\lbrace {\vec {e}}_{x}\,,\,{\vec {e}}_{y}\,,\,{\vec {e}}_{z}\right\rbrace \;$ la base orthonormée cartésienne .

     À utiliser en particulier si on se souvient que le développement du double produit vectoriel aboutit à une C.L. des deux vecteurs situés entre parenthèses dans le membre de gauche mais
     À utiliser en particulier si on a oublié où doit être positionné le signe $\;-\;\ldots$

     Formant un 1^er produit vectoriel $\;{\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}\;$ donnant $\;{\vec {e}}_{z}\;$ et formant avec ce dernier le produit vectoriel $\;{\vec {e}}_{z}\wedge {\vec {e}}_{x}\;$ donnant $\;{\vec {e}}_{y}\;$ la formule du double produit vectoriel doit être en accord avec ce résultat
     Formant un 1^er produit vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}}\;$ donnant $\;\color {transparent}{{\vec {e}}_{z}}\;$ et formant avec ce dernier le produit vectoriel $\;\color {transparent}{{\vec {e}}_{z}\wedge {\vec {e}}_{x}}\;$ donnant $\;\color {transparent}{{\vec {e}}_{y}}\;$ on doit donc vérifier «$\;\left({\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}\right)\wedge {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{y}\;$» ;

     si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. de $\;{\vec {e}}_{x}\;$ et $\;{\vec {e}}_{y}\;$ ${\big (}$vecteurs du produit vectoriel entre parenthèses du membre de gauche${\big )}$,
          si on se souvient que le développement du double produit vectoriel doit être une C.L. de $\;\color {transparent}{{\vec {e}}_{x}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {e}}_{y}}\;$ devant quel vecteur faut-il positionner le signe $\;-\;$ ?

     Compte tenu du résultat trouvé par utilisation des propriétés des vecteurs de base orthonormée, « le signe $\;+\;$ doit être devant $\;{\vec {e}}_{y}\;$ et le signe $\;-\;$ devant $\;{\vec {e}}_{x}\;$» selon la formule suivante
     Compte tenu du résultat trouvé par utilisation des propriétés des vecteurs de base orthonormée, «$\;\left({\vec {e}}_{x}\wedge {\vec {e}}_{y}\right)\wedge {\vec {e}}_{x}=$ ${\cancel {-\left({\vec {e}}_{y}\cdot {\vec {e}}_{x}\right){\vec {e}}_{x}+}}\;{\cancel {\left({\vec {e}}_{x}\cdot {\vec {e}}_{x}\right)}}\;{\vec {e}}_{y}={\vec {e}}_{y}\;$» .

En complément : démonstration d'une des formules du double produit vectoriel par identification des composantes cartésiennes de chaque membre

     Nous nous proposons de démontrer la 2^nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «$\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {w}}\;$» en déterminant les composantes cartésiennes du 1^er membre et
     Nous nous proposons de démontrer la 2^nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «$\;\color {transparent}{{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {w}}}\;$» en retrouvant celles du 2^nd à l'aide du produit scalaire de deux vecteurs
     Nous nous proposons de démontrer la 2^nde formule du double produit vectoriel c.-à-d. «$\;\color {transparent}{{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right){\vec {v}}-\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right){\vec {w}}}\;$» en retrouvant en fonction des composantes de ces derniers soit :

     $\;{\begin{array}{c}&&{\vec {u}}&\wedge \\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&\\{\vec {e}}_{2}&|&u_{2}&\\{\vec {e}}_{3}&|&u_{3}&\\{\vec {e}}_{1}&|&u_{1}&\end{array}}\;\left({\begin{array}{c}{\vec {v}}&\wedge &{\vec {w}}\\v_{1}&&w_{1}\\v_{2}&&w_{2}\\v_{3}&&w_{3}\\v_{1}&&w_{1}\end{array}}\right)\;{\begin{array}{c}=&{\vec {u}}&\wedge &\left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\&u_{1}&&v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2}\\&u_{2}&&v_{3}\,w_{1}-v_{1}\,w_{3}\\&u_{3}&&v_{1}\,w_{2}-v_{2}\,w_{1}\\&u_{1}&&v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2}\end{array}}\;{\begin{array}{c}=&{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\&u_{2}\,(v_{1}\,w_{2}-v_{2}\,w_{1})-u_{3}\,(v_{3}\,w_{1}-v_{1}\,w_{3})\\&u_{3}\,(v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2})-u_{1}\,(v_{1}\,w_{2}-v_{2}\,w_{1})\\&u_{1}\,(v_{3}\,w_{1}-v_{1}\,w_{3})-u_{2}\,(v_{2}\,w_{3}-v_{3}\,w_{2})\\&\end{array}}\;$ soit, en factorisant autrement chaque composante

     $\;{\begin{array}{c}&\\{\vec {e}}_{1}&|\\{\vec {e}}_{2}&|\\{\vec {e}}_{3}&|\end{array}}\;{\begin{array}{c}{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\v_{1}\,(u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})-w_{1}\,(u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})\\v_{2}\,(u_{3}\,w_{3}+u_{1}\,w_{1})-w_{2}\,(u_{3}\,v_{3}+u_{1}\,v_{1})\\v_{3}\,(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2})-w_{3}\,(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2})\end{array}}\;$ puis en ajoutant et retranchant dans chaque composante le même produit à savoir

• pour la 1^ère composante on ajoute $\;v_{1}\;u_{1}\;w_{1}\;$ permettant d'obtenir comme 1^er terme $\;v_{1}\;(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})=v_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)\;$ et
  pour la 1^ère composante on retranche $\;w_{1}\;u_{1}\;v_{1}\;$ permettant d'obtenir pour 2^ème terme $\;-w_{1}\;(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})=-w_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)$,
• pour la 2^ème composante on ajoute $\;v_{2}\;u_{2}\;w_{2}\;$ permettant d'obtenir comme 1^er terme $\;v_{2}\;(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})=v_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)\;$ et
  pour la 2^ème composante on retranche $\;w_{2}\;u_{2}\;v_{2}\;$ permettant d'obtenir pour 2^ème terme $\;-w_{2}\;(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})=-w_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\;$ et
• pour la 3^ème composante on ajoute $\;v_{3}\;u_{3}\;w_{3}\;$ permettant d'obtenir comme 1^er terme $\;v_{3}\;(u_{1}\,w_{1}+u_{2}\,w_{2}+u_{3}\,w_{3})=v_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)\;$ et
  pour la 3^ème composante on retranche $\;w_{3}\;u_{3}\;v_{3}\;$ permettant d'obtenir pour 2^ème terme $\;-w_{3}\;(u_{1}\,v_{1}+u_{2}\,v_{2}+u_{3}\,v_{3})=-w_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)$ ;

     finalement on obtient $\;{\begin{array}{c}&\\{\vec {e}}_{1}&|\\{\vec {e}}_{2}&|\\{\vec {e}}_{3}&|\end{array}}\;{\begin{array}{c}{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)\\v_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-w_{1}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\\v_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-w_{2}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\\v_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-w_{3}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)\end{array}}\;$ établissant la formule du double produit vectoriel $\;{\vec {u}}\wedge \left({\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\right)={\vec {v}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}\right)-{\vec {w}}\left({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right)$.

Produit mixte de trois vecteurs

     La définition de la multiplication mixte de trois vecteurs d'un espace vectoriel à trois dimensions nécessite de vérifier, au préalable, que l'espace affine dont l'espace vectoriel est la direction est orientable , ce qui a déjà été fait en introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs » plus haut dans ce chapitre ;
     l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction étant orientable a, du fait de son caractère connexe, exactement deux orientations différentes possibles à savoir

• une « orientation à droite » $\;{\big (}$orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$ ou
• une « orientation à gauche » $\;{\big (}$orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes positionné en un point $\;M\;$ de l'espace${\big )}\;$.

     Dans la suite de ce paragraphe nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction « orienté à droite » $\;{\big \{}$par abus nous dirons « l'espace vectoriel est orienté à droite » au lieu de « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction est orienté à droite » $\;{\big (}$nous emploierions le même abus pour « l'espace physique affine à trois dimensions dont l'espace vectoriel est la direction orienté à gauche »${\big )}{\big \}}$.

Définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs

Définition intrinsèque

     $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ étant trois vecteurs de l’espace vectoriel, direction de l'espace physique affine à trois dimensions « orienté » , on définit le produit mixte de $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ comme le scalaire «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$» ayant les propriétés suivantes :

• si $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ sont coplanaires ou si un des trois vecteurs au moins est nul, $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=0$,
• si $\;{\vec {u}}\neq {\vec {0}}$, $\;{\vec {v}}\neq {\vec {0}}\;$ et $\;{\vec {w}}\neq {\vec {0}}\;$ ne sont pas coplanaires, $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\neq 0\;$.

     Remarque : Le produit vectoriel de deux vecteurs dépendant de l'orientation de l'espace $\;{\big \{}$le produit vectoriel de deux vecteurs dans un espace « orienté à gauche » étant l'opposé du produit vectoriel des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » ${\big \}}\;$ bien que
     Remarque : le produit scalaire de deux vecteurs en soit indépendant, nous en déduisons que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dépend de l'orientation de l'espace, plus précisément
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs dans un espace « orienté à gauche » est l'opposé du produit mixte des mêmes vecteurs dans le même espace mais « orienté à droite » .

Propriétés

     $\succ \;$Le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire c.-à-d. que «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=({\vec {v}}\wedge {\vec {w}})\cdot {\vec {u}}=({\vec {w}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}\;$» ;

     $\succ \;$par contre toute permutation entre deux vecteurs laissant le 3^ème en la même position change le produit mixte en son opposé par exemple :

     $\color {transparent}{\succ }\;$par contre $\blacktriangleright \;$«$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=-({\vec {v}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {w}}\;$» résultant de l'anticommutativité du produit vectoriel ou

     $\color {transparent}{\succ }\;$par contre $\blacktriangleright \;$«$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=-({\vec {u}}\wedge {\vec {w}})\cdot {\vec {v}}\;$» résultant d'une 1^ère permutation circulaire mettant $\;{\vec {v}}\;$ en 3^ème position selon $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=({\vec {w}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$par contre $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=-({\vec {u}}\wedge {\vec {w}})\cdot {\vec {v}}}\;$» suivi de l'utilisation de l'anticommutativité du produit vectoriel  ;

     $\succ \;$dans un espace « orienté à droite » , le produit mixte «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}>0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est direct}}\\<0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est indirect}}\end{array}}\right.\;$» alors que
     $\color {transparent}{\succ }\;$dans un espace « orienté à gauche » , le produit mixte«$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}>0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est indirect (au sens de la physique) (« règle de la main gauche »)}}\\<0\!\!&{\text{si le trièdre}}\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}})\!\!&{\text{est direct (au sens de la physique) (« règle de la main droite »)}}\end{array}}\right.\;$» .

Définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace

Définition (équivalente) du produit mixte à l'aide d'une base orthonormée

     Soient $\;{\vec {u}}\;(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})$, $\;{\vec {v}}\;(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})\;$ et $\;{\vec {w}}\;(w_{1},\,w_{2},\,w_{3})\;$ les composantes de $\;{\vec {u}}$, $\;{\vec {v}}\;$ et $\;{\vec {w}}\;$ dans une base orthonormée $\;{\big \{}$base « directe dans un espace orienté à droite » et « indirecte $\;{\big (}$au sens de la physique${\big )}\;$ dans un espace orienté à gauche »${\big \}}$ $\;({\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3})$,
     Soient les composantes de $\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\;$ dans la même base étant «$\;(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2},\;u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3},\;u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;$» ,
     Soient le produit mixte $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ est défini par le scalaire «$\;(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2})\;w_{1}+(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3})\;w_{2}+(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;w_{3}\;$».

     Remarque : On peut aisément vérifier l'invariance du produit mixte par permutation circulaire à l'aide des composantes des vecteurs par exemple
     Remarque : On peut aisément vérifier pour montrer que «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=({\vec {w}}\wedge {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}\;$» on part de $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=(u_{2}\,v_{3}-u_{3}\,v_{2})\;w_{1}+(u_{3}\,v_{1}-u_{1}\,v_{3})\;w_{2}+(u_{1}\,v_{2}-u_{2}\,v_{1})\;w_{3}\;$ dans laquelle
     Remarque : On peut aisément vérifier on fait des factorisations partielles en $\;v_{1}$, $\;v_{2}\;$ et $\;v_{3}\;$ $\Rightarrow$ $\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=(u_{3}\,w_{2}-u_{2}\,w_{3})\;v_{1}+(u_{1}\,w_{3}-u_{3}\,w_{1})\;v_{2}+(u_{2}\,w_{1}-u_{1}\,w_{2})\;v_{3}\;$ dans laquelle
     Remarque : On peut aisément vérifier $(w_{2}\,u_{3}-w_{3}\,u_{2},\;w_{3}\,u_{1}-w_{1}\,u_{3},\;w_{1}\,u_{2}-w_{2}\,u_{1})\;$ sont les composantes ordonnées du produit vectoriel $\;{\vec {w}}\wedge {\vec {u}}$ $\;\ldots$

Interprétation géométrique de la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires

Interprétation géométrique du produit mixte

     L'espace étant « orienté à droite » et appelant $\;{\vec {n}}\;$ un vecteur unitaire normal au plan formé par $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$ tel que $\;({\vec {u}},\,{\vec {v}},\,{\vec {n}})\;$ soit direct, nous pouvons écrire «$\;{\vec {u}}\wedge {\vec {v}}=\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert {\vec {n}}\;$» avec «$\;\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert \;$ représentant l'aire du parallélogramme construit à partir de $\;{\vec {u}}\;$ et $\;{\vec {v}}\;$»  ;
     la définition intrinsèque du produit scalaire nous conduisant à «$\;({\vec {u}}\wedge {\vec {v}})\!\cdot \!{\vec {w}}=\left\Vert {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}\right\Vert \,\left\Vert {\vec {w}}\right\Vert \,\cos(\gamma )\;$» avec «$\;\gamma ={\widehat {({\vec {n}}\,{\text{,}}\,{\vec {w}})}}\;$» $\Rightarrow$
     la valeur absolue du produit scalaire vaut «$|(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\wedge <!--\; \wedge \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}|=\Vert \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$