Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

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Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent
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Chapitre no 19
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Intégrales généralisées (ou impropres)
Chap. suiv. :Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
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L'espace physique considéré dans ce chapitre étant sauf avis contraire « orienté à droite » [1].

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Introduction  : nous avons étudié la caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace dans le paragraphe « caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     Introduction ; nous avons indiqué dans le paragraphe « commentaire final » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'il existe une méthode plus compacte pour faire cette caractérisation utilisant la notion de gradient de fonction scalaire.

     Remarque : la définition du gradient du champ scalaire donnée ci-dessus est essentiellement utilisée pour déterminer les composantes
     Remarque : du champ vectoriel dans les différents repérages cartésien, cylindro-polaire ou cylindrique ou sphérique,
     Remarque : explicitation exposée dans les trois paragraphes suivants.

Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Appelons « les composantes cartésiennes de »,

  • d'une part sa définition «» se réécrit «» [5] et
  • d'autre part la différentielle de s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «» [3],

     des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «» d'où :

Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Appelons « les composantes cylindro-polaires ou cylindriques de »,

  • d'une part sa définition «» se réécrit «» [7] et
  • d'autre part la différentielle de s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «» [3],

     des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «» d'où :

Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Appelons « les composantes sphériques de »,

  • d'une part sa définition «» se réécrit «» [10] et
  • d'autre part la différentielle de s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «» [3],

     des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «» d'où :

Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient[modifier | modifier le wikicode]

     « traduit la variation de la grandeur dans l'espace », par exemple 
     « traduit la variation « si est un champ uniforme à et de même sens », c.-à-d.
     « traduit la variation « si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, « s'écrit », cela signifiera que
     « traduit la variation « si est un champ uniforme à et de même sens » « ne varie pas avec et » [13] ou « ne varie pas avec et » [13] et
     « traduit la variation « si est un champ uniforme à et de même sens » « quand », cette étant uniforme ;
     « traduit la variation variation de la températurede l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
     « traduit la variation variation de la températureil y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical choisi comme axe ,
     « traduit la variation variation de la température il y a invarianceavec choix du repérage cylindro-polaire d'axe ne dépend pas de ,
     « traduit la variation variation de la températurel'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, quand et
     « traduit la variation variation de la températureil est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude » [14] ;
     « traduit la variation variation de la températurenous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite
     « traduit la variation variation de la températurenous résumons tout ceci par gradient « radial plus précisément “axipète[15] » ;
     « traduit la variation variation de la pressiond'un lac : il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant et , ne dépend, ni , ni de , et
     « traduit la variation variation de la pressiond'un lac : quand la profondeur l'axe vertical étant orienté dans le sens et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac ;
     « traduit la variation variation de la pressiond'un lac : nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac,
     « traduit la variation variation de la pressiond'un lac : nous résumons tout ceci par gradient « vertical plus précisément ».

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U[modifier | modifier le wikicode]

     « Une surface iso-U est une surface où » ; elle est caractérisée par lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de à partir d'un point de cette surface en y restant [16] ;
     « Une surface iso-U à partir de «» avec un déplacement élémentaire tel que «» ou
     « Une surface iso-U à partir de «» avec un déplacement élémentaire tel que « à tous les de la surface construits à partir de »
     « Une surface iso-U à partir de «» avec un déplacement élémentaire tel que « à tous les
     « Une surface iso-U à partir de «» avec un déplacement élémentaire tel que « à la surface passant par » ou
     « Une surface iso-U à partir de «» avec un déplacement élémentaire tel que « à la surface iso-U passant par » ;

     dans les exemples considérés au paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » plus haut dans ce chapitre :
     dans les exemples « est radial plus précisément “axipète” [15] » et « les isothermes [17] sont des tuyaux cylindriques de révolution » [18] d'où « la perpendicularité » ;
     dans les exemples « est vertical plus précisément » et « les isobares [19] sont des plans horizontaux » [20] d'où « la perpendicularité ».

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» est, en repérage cartésien, construit sur les vecteurs de base cartésienne et
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» est, en repérage cartésien, construit sur les opérateurs scalaires du 1er ordre “dérivations partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes” [21]
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, soit
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «».

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace «»
     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espaceidentifiable à «» ;

     en conclusion on peut écrire l'application suivante «» [22] où « est une fonction scalaire différentiable de l'espace »,
     en conclusion l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace «» par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» est le champ vectoriel “gradient de ” «».

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace » à savoir
     Partant de la définition intrinsèque du «» [23] et

     y substituant l'expression équivalente «» [22] utilisant l'opérateur “nabla”
                                                on obtient «» ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative [24],
                                                                «» ou, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace »
                                                                «», les opérateurs scalaires étant « et » ;

     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut donner la définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” exposée ci-dessous :

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” [26] « opérateur linéaire » tel que «» et,
     en l'appliquant à une fonction scalaire de l'espace, «», puis,
     en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire,

« » [27] ou
         «»,

           ainsi que la différentielle de dans le même repérage cylindro-polaire,

«» ou
«»

     dont on déduit l'opérateur différenciation «» en repérage cylindro-polaire

«» soit,

     en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels , et , on obtient

«» «» d'où

     la définition équivalente suivante de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire

«» [28].

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” [26] « opérateur linéaire » tel que «» et,
     en l'appliquant à une fonction scalaire de l'espace, «», puis,
     en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique,

« » [27] ou
         «»,

           ainsi que la différentielle de dans le même repérage sphérique,

«» ou
«»

     dont on déduit l'opérateur différenciation «» en repérage sphérique

«» soit,

     en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels , et , on obtient

«» «» d'où

     la définition équivalente suivante de l'opérateur “nabla” en sphérique

«» [29].

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» est construit à partir

     avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle dans le cas d'une représentation locale [31], on se place en repérage « cylindro-polaire » [32] dans lequel
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle «» est composé des trois composantes et des deux 1ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de , dépendance qui entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle l'image de par est alors défini comme le scalaire

«» où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [33] on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants «» [34]
que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon
«» [35],
«» [35] ou
«[36]» [37], [38].

     Finalement on trouve, pour l'image de par l'opérateur du 1er ordre «» dans le repérage cylindro-polaire,

«» [39].

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” à la fonction vectorielle de l'espace on obtient l'« image » définissant « le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle » noté «» [40] ;

     en conclusion le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » résulte de l'application suivante

«» où
est une fonction vectorielle différentiable de l'espace.

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     En cartésien «», ce qui donne,
     En cartésien en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles et
     En cartésien en utilisant, d'une part que les vecteurs de base cartésienne sont constants, d'autre part qu'ils forment une base orthonormée :

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     En sphérique «», soit,
     En sphérique en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, puis
     En sphérique en utilisant les expressions des dérivées partielles des vecteurs de base sphérique déterminées au paragraphe « complément : différentielle des vecteurs de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. , , et
     En sphérique en utilisant le caractère orthonormé de la base sphérique,

«» avec :

[42].

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     La divergence du champ vectoriel noté «» est le « champ scalaire défini en » égal « au quotient du flux élémentaire de à travers une surface élémentaire fermée entourant sur le volume élémentaire mesurant l'intérieur de » [44] soit

«»     ou     «» [45]
où « est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée entourant »
                                                                 et orienté vers l'extérieur, l'intérieur de cette surface étant de volume .

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle par l'opérateur linéaire du 1er ordre » dans tous les « repérages précédemment introduits » [46], [47], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de » [48].

Justification en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     Pour cela « on considère, à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur suivant , suivant et suivant », « la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées du parallélépipède [49], soit «», avec «» [50], «» [51] et «» [52] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «» puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de par définition intrinsèque

«» dans lequel
                                                  «»
                    d'où «» définissant toutes deux «»
                          « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur » C.Q.F.D. [54].
Justification en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de dans ce repérage ;

     « on considère donc à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'un tuyau cylindrique d'axe d'épaisseur suivant , d'ouverture angulaire suivant et de hauteur suivant », « la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;

     on évalue alors le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de [55], soit «», avec «» [56], «» [57] et «» [58] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[59] soit

     en ajoutant tous les termes, en faisant apparaître l'élément de volume commun «» dans les deux 1ers termes et en le mettant en facteur dans la somme puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de par définition intrinsèque

«» dans lequel
                                                  «»
                    d'où «» définissant toutes deux «»
                          « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur » C.Q.F.D. [54].
Justification en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante mais aussi plus délicate de déterminer l'expression de dans ce repérage, elle est surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux «» ; nous allons donc chercher à retrouver l'expression de pour un champ vectoriel radial [60] en utilisant la définition intrinsèque du champ scalaire divergence ;

     « on considère ici à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une couche sphérique de centre d'épaisseur suivant , d'ouverture de colatitude suivant et d'ouverture de longitude suivant », « la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;

     on évalue alors le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel radial , noté », en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de [61] et en constatant que

  • les deux flux à travers les portions de méridiens de longitudes et sont nuls vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement et et champ vectoriel suivant et
    les deux flux à travers les portions tronconiques de colatitudes et le sont aussi vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement et et champ vectoriel ,
  • seuls les flux à travers les portions de sphère de rayons et ne l'étant pas,

     d'où le « flux élémentaire à travers du champ vectoriel radial » évalué selon «», avec «» [62] soit,

     en faisant la somme de ces deux termes «» [63] ou,

     après factorisation par et utilisation de l'approximation linéaire «» [53] ;

     finalement, en faisant apparaître l'élément de volume commun «», puis en le mettant en facteur et en divisant par ce dernier pour obtenir l'expression de par définition intrinsèque dans le cas d'un champ radial

«» pour «»
                                                                «» si «»
d'où «» définissant toutes deux «» pour un champ radial
« la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur » C.Q.F.D. [54].

     Remarque : Il resterait à vérifier que «» est également applicable c.-à-d. que les deux définitions sont équivalentes pour
     Remarque : un champ orthoradial «» «» et
     Remarque : un champ longitudal «» «».

Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla vectoriel ...”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» est construit à partir

     avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle , on se place en repérage « cylindro-polaire » [32] dans lequel
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle «» est composé des trois composantes et des deux 1ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de , dépendance qui entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction vectorielle l'image de par est alors défini comme le vecteur

«» où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [33], on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants «» [65]
que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle selon
«» [66],
«» [66] ou
«» [66], [67][68],[69].

     Finalement on trouve, pour l'image de par l'opérateur du 1er ordre «» dans le repérage cylindro-polaire,

«» [70].

Définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel ...” de cette fonction vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” à la fonction vectorielle de l'espace on obtient l'« image » définissant « le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle » noté «» [71] ;

     en conclusion le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle » résulte de l'application suivante

«» où
est une fonction vectorielle différentiable de l'espace.

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     En cartésien «», ce qui donne,
     En cartésien en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles et
     En cartésien en utilisant, d'une part que les vecteurs de base cartésienne sont constants,
     En cartésien en utilisant, d'autre part qu'ils forment une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite [72] :

     Méthode de détermination des composantes cartésiennes de [73] : «» [74]       «» [75]       et      «».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :

     Méthode de détermination des composantes cylindro-polaires de présentée en deux étapes, d'abord en considérant que les vecteurs de base sont fixes, puis en tenant compte de leur dépendance éventuelle relativement à  :
      tout d'abord en supposant les vecteurs de base fixes «» [76]       «» [77],       «»,
     puis en tenant compte uniquement de la dépendance de avec «» «» et
     puis en tenant compte uniquement de la dépendance de avec «» «»,
     enfin, en ajoutant les deux contributions, une rectification de la composante de sur par rapport à celle obtenue en supposant les vecteurs de base fixes en « ».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     En sphérique «», soit,
     En sphérique en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles, puis
     En sphérique en utilisant les expressions des dérivées partielles des vecteurs de base sphérique déterminées au paragraphe « complément : différentielle des vecteurs de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. , , et
     En sphérique en utilisant le caractère orthonormé direct de la base sphérique de l'espace physique orienté à droite [72],

«» avec :

[42].

     Méthode de détermination des composantes sphériques de présentée en deux étapes, d'abord en considérant que les vecteurs de base sont fixes, puis en tenant compte de leur dépendance éventuelle relativement à et  :
      tout d'abord en supposant les vecteurs de base fixes «» [79]       «» [80],       «»
     puis selon la seule dépendance de avec et , «» «»,

     puis selon la seule dépendance de avec et , «» «» et

     puis selon la seule dépendance de avec et , «» « »,

     enfin, en ajoutant les deux contributions, la rectification des composantes de sur , et par rapport à celles obtenues en supposant les vecteurs de base fixes :

  • sur en «»,
  • sur en «» et
  • sur en «».

Définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Le rotationnel du champ vectoriel noté «» est le « champ vectoriel défini en » dont « le flux à travers une surface élémentaire ouverte entourant [81] est égal à la circulation du champ le long du contour fermé limitant la surface » [82] soit

«»     ou     «»,
« étant le contour élémentaire fermé limitant la surface élémentaire ouverte centrée en et de vecteur surface élémentaire »,
« étant le vecteur déplacement élémentaire générique du contour élémentaire fermé »,
« l'orientation du contour fermé étant définie en accord avec celle de la surface ouverte » [83].

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla vectoriel ...”[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle par l'opérateur linéaire du 1er ordre » dans tous les « repérages précédemment introduits » [46], [84], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de » [85] ;

     la méthode la plus simple, dans un repérage donné, consiste à choisir une surface élémentaire ouverte à un des trois vecteurs de base du repérage, le flux du vecteur à travers cette surface ne faisant intervenir que la composante de sur le vecteur de base choisi, le calcul de la circulation de le long du contour limitant la surface , ne permet de vérifier que la composante sur ce vecteur de base et par suite

     la méthode la plus simple, dans un repérage donné, il faut recommencer la vérification sur deux autres surfaces élémentaires ouvertes aux deux autres des trois vecteurs de base du repérage

Justification en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     Pour cela « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire de longueur suivant et suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté de vers en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle, soit «», avec «» [86] et «» [87] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or le champ vectoriel défini comme image de par l'opérateur a pour composante cartésienne sur «» [88],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

     Pour justifier l'équivalence des deux définitions en repérage cartésien, il reste donc à effectuer la même vérification sur et mais nous nous contenterons de valider cette équivalence par permutation circulaire

Justification en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     Pour cela « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire cylindrique de révolution de hauteur suivant et d'arc suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté sur l'arc de cercle de cote dans le sens de en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de , soit «», avec «» [89] et «» [90] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire cylindrique limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire cylindrique limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or le champ vectoriel défini comme image de par l'opérateur a pour composante cylindro-polaire sur «» [91],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

     Pour justifier l'équivalence des deux définitions en repérage cylindro-polaire, il reste donc à effectuer la même vérification sur et .

     Ensuite « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire de hauteur suivant et de largeur suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté sur le rayon de cote dans le sens de en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de , soit «», avec «» [92] et «» [93] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or le champ vectoriel défini comme image de par l'opérateur a pour composante cylindro-polaire sur «» [91],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

     Enfin « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire sectorielle de largeur suivant et d'ouverture angulaire suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté sur l'arc de rayon dans le sens de en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de , soit «», avec «» [94] et «» [95] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire sectorielle limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire sectorielle limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or le champ vectoriel défini comme image de par l'opérateur a pour composante cylindrique sur «» [91],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

Justification en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     Pour cela « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire sphérique de rayon , d'ouvertures angulaires suivant et suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté sur l'arc de cercle de colatitude dans le sens de en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de , soit «», avec «» [96] et «» [97] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire sphérique limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire sphérique limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or défini comme image de par l'opérateur a pour composante sphérique sur «» [98],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

     Pour justifier l'équivalence des deux définitions en repérage sphérique, il reste donc à effectuer la même vérification sur et .

     Ensuite « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire tronconique d'apothème [99] suivant et d'ouverture angulaire suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté sur le rayon de longitude dans le sens de en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de , soit «», avec «» [100] et «» [101] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire tronconique limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire tronconique limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or défini comme image de par l'opérateur a pour composante sphérique sur «» [98],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

     Enfin « on considère, à partir du point , l'expansion surfacique élémentaire méridiane de hauteur suivant et d'ouverture angulaire suivant , orienté dans le sens de », « le contour fermé limitant étant orienté sur le rayon de colatitude dans le sens de en accord avec l'orientation de » [83] ;
     on exprime alors la « circulation élémentaire le long de du champ vectoriel , noté », en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de , soit «», avec «» [102] et «» [103] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

[53] soit

     en ajoutant tous les termes puis,
     en mettant en facteur l'aire de la surface élémentaire limitée par c.-à-d. «»,
     la circulation élémentaire le long de du champ vectoriel s'écrit «» ;

     l'expansion surfacique élémentaire méridiane limitée par étant orientée par , son vecteur surface élémentaire s'écrit «» et
     l'expansion surfacique élémentaire méridiane limitée par étant orientée par , le flux du champ vectoriel «» ;

     or le champ vectoriel défini comme image de par l'opérateur a pour composante sphérique sur «» [98],

     la composante du champ vectoriel rotationnel sur obtenue par définition intrinsèque est donc identique à celle obtenue par opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”.

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'opérateur linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté « ou plus simplement » est construit à partir

     avec pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction scalaire , on se place en repérage « cylindro-polaire » [32] dans lequel
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction scalaire la dépendance partielle des vecteurs de base cylindro-polaire entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” quand ce dernier agit sur lui-même par l'intermédiaire d'une multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «» agit sur une fonction scalaire l'image de par est alors défini comme le scalaire

«» où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [33], on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants «» [104]
que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon :
«» [105], [35].

     Finalement on trouve, pour l'image de par l'opérateur du 2nd ordre «» dans le repérage cylindro-polaire,

«» [106].

Définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquant l'opérateur linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace on obtient l'« image scalaire » définissant « le champ scalaire laplacien [107] de la fonction scalaire de l'espace » [108], noté «» ;

     en conclusion « le champ scalaire laplacien [107] d'une fonction scalaire » résulte de l'application suivante

«» où
est une fonction scalaire différentiable de l'espace [109].

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien[modifier | modifier le wikicode]

     En cartésien «» [110], ce qui donne,
     En cartésien en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles et
     En cartésien en utilisant, d'une part, que les vecteurs de base cartésienne sont constants, d'autre part, qu'ils forment une base orthonormée :

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

     En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     À la fonction scalaire on associe par l'opérateur vectoriel “nabla” le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire selon

«» [112], puis

     à la fonction vectorielle on associe par l'opérateur “nabla scalaire ...” le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle selon

«» [113] ;

     en composant les deux opérateurs on a donc « ou s'identifiant à » d'où la définition intrinsèque équivalente du champ scalaire laplacien [107] d'une fonction scalaire de l'espace :

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     La façon la plus simple de déterminer l'expression du laplacien [107] de la fonction scalaire dans n'importe quel repérage est d'« utiliser sa définition intrinsèque » avec les « expressions de la divergence et du gradient dans le repérage considéré » [114] ;

     nous allons donc procéder comme ceci pour déterminer l'expression du laplacien de la fonction scalaire dans le repérage sphérique :

     expression du gradient de : «» [115],

     expression de la divergence d'un champ vectoriel : «» [116] d'où

     l'expression du laplacien [107] de : «» [110].


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. La circulation élémentaire d'un champ vectoriel est voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  3. 3,0 3,1 3,2 et 3,3 Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », définition généralisée à une fonction scalaire de trois variables indépendantes.
  4. Ou, de façon plus concise «» définition à connaître sans hésitation.
  5. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. Peut servir de définition équivalente du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cartésien mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
  7. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Peut servir de définition équivalente du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cylindro-polaire mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
  9. Les composantes de gradient de s'exprimant en avec désignant l'unité de et la dérivée partielle de relativement à un angle s'exprimant en , un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de relativement à est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ; le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à en l'occurrence  est l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel en l'occurrence  dans le vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire .
  10. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Peut servir de définition équivalente du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage sphérique mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
  12. Les composantes de gradient de s'exprimant en avec désignant l'unité de et les dérivées partielles de relativement à un angle s'exprimant en , un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de relativement à et celle de relativement à est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ;
       le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à en l'occurrence  et celui précédant la dérivée partielle relativement à en l'occurrence  sont respectivement l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel en l'occurrence  et de celui qui précède l'élément différentiel en l'occurrence  dans le vecteur déplacement élémentaire en sphérique .
  13. 13,0 et 13,1 n'ayant pas de composantes sur et sur ou n'ayant pas de composantes sur et sur .
  14. Si le débit de l'eau dans la conduite n'est pas trop lent.
  15. 15,0 et 15,1 Lacune actuelle de la langue française, le seul terme existant étant « centripète » utilisé dans le repérage sphérique pour un « champ radial et dirigé vers le pôle », mais aucun terme équivalent en cylindro-polaire pour un “champ radial et dirigé vers l'axe” l'usage est alors de qualifier ce champ de “ centripète ”, mais ce n'est pas correct étymologiquement d'où le remplacement par “axipète” Attention cet adjectif ne figure pas encore dans la langue française.
  16. C.-à-d. en se déplaçant dans le plan tangent à la surface en .
  17. C.-à-d. les surfaces iso-.
  18. D'équation .
  19. C.-à-d. les surfaces iso-.
  20. D'équation .
  21. Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. 22,0 et 22,1 Pour l'instant ce n'est vérifié qu'en repérage cartésien, mais cela reste valable dans tous les repérages.
  23. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  24. Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 1ère propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. Pour l'instant le domaine d'application de cet opérateur scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.
  26. 26,0 et 26,1 Admettre cette définition revient à dire qu'elle est valable quel que soit le repérage.
  27. 27,0 et 27,1 La multiplication scalaire étant distributive relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. Pour établir les composantes cylindro-polaires de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en cylindro-polaire
  29. Pour établir les composantes sphériques de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en sphérique
  30. 30,0 et 30,1 On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  31. Avec une représentation locale, les vecteurs de la base correspondante dépendent au moins partiellement de , les dérivées partielles relativement à ses coordonnées ne sont donc pas naturellement nulles.
  32. 32,0 32,1 et 32,2 On aurait pu choisir pour les mêmes raisons le repérage sphérique.
  33. 33,0 33,1 et 33,2 Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  34. Les six autres termes étant «» et «».
  35. 35,0 35,1 et 35,2 D'abord utilisation de la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable, puis de ou correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ».
  36. Le troisième vecteur de base cylindro-polaire étant constant, sa dérivée par rapport à est nulle.
  37. Avec «» on rappelle que les vecteurs de base cylindro-polaire sont indépendants de on obtient successivement :
       «»,
       «» et
       «».
  38. Avec «» on rappelle que les vecteurs de base cylindro-polaire sont indépendants de on obtient successivement :
       «»,
       «» et
       «».
  39. Le but de ce paragraphe n'était pas d'établir ce résultat mais de développer la méthode permettant de calculer «» dans n'importe quel repérage à partir de la connaissance des composantes de l'opérateur vectoriel “nabla” dans ce repérage.
  40. Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque » et « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” »,
       Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire ...” énoncée ici» mais aussi « une définition intrinsèque qui est donnée au paragraphe « définition (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre».
  41. On vérifie l'identité de ces deux expressions car «»
  42. 42,0 et 42,1 Pour lignes , et  : , et ne dépendant pas de ,
       Pour ligne s, et  : ne dépendant pas de .
  43. On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'une part «» et
       On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'autre part «»
  44. Le flux élémentaire d'un champ vectoriel est «» voir paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluationl (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  45. Ou, de façon plus concise «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  46. 46,0 et 46,1 Parmi les repérages introduits ceux qui sont valables pour tous les points de l'espace c.-à-d. « cartésien », « cylindro-polaire » et « sphérique » le repérage de Frenet nécessitant de connaître la courbe n'est donc valable que localement sur cette courbe mais il existe d'autres repérages non introduits valables pour tous les points de l'espace comme
                        Parmi le « repérage bifocale » substituant les coordonnées du repérage sphérique d'un point dans le demi-plan méridien par distance respective du point à deux points fixes de l'axe symétriques par rapport à , notés pour , pour et appelés « foyers du repérage »
  47. Comme, par exemple, dans le repérage cartésien «».
  48. Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages
  49. L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur du parallélépipède.
  50. La face à , d'abscisse respectivement est d'aire , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est pour la face d'abscisse respectivement pour la face d'abscisse  ; l'ordonnée et la cote du point générique de chaque face sont notées et , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour l'ordonnée et n'importe quelle valeur entre et pour la cote.
  51. La face à , d'ordonnée respectivement est d'aire , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est pour la face d'ordonnée respectivement pour la face d'ordonnée  ; l'abscisse et la cote du point générique de chaque face sont notées et , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre et pour la cote.
  52. La face à , de cote respectivement est d'aire , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est pour la face de cote respectivement pour la face de cote  ; l'abscisse et l'ordonnée du point générique de chaque face sont notées et , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre et pour l'ordonnée.
  53. 53,0 53,1 53,2 53,3 53,4 53,5 53,6 53,7 et 53,8 Par généralisation de l'« approximation linéaire d'une fonction scalaire d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » vue au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes, la dérivée droite étant remplacée par la dérivée partielle relativement à la variable dont on cherche l'approximation au voisinage d'une de ses valeurs, les autres variables étant figées.
  54. 54,0 54,1 et 54,2 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  55. L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur de cette expansion tridimensionnelle élémentaire.
  56. La face cylindrique de rayon respectivement est d'aire respectivement , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est respectivement  ; l'abscisse angulaire et la cote du point générique de chaque face sont notées et , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour l'abscisse angulaire et n'importe quelle valeur entre et pour la cote ;
       attention les aires des deux portions de faces cylindriques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des tuyaux cylindriques n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à sur chaque tuyau ne sont pas de même longueur.
  57. La face au méridien, d'abscisse angulaire respectivement est d'aire , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est respectivement  ; le rayon polaire et la cote du point générique de chaque face sont notés et , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre et pour la cote.
  58. La face à , de cote respectivement est d'aire , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est respectivement  ; le rayon polaire et l'abscisse angulaire du point générique de chaque face sont notés et , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre et pour l'abscisse angulaire.
  59. Commentaire sur la 1ère ligne : d'abord on observe une différence de valeurs de la fonction entre celle pour et celle pour , en effet la somme des deux termes se réécrit, « après factorisation par », «»,
       Commentaire sur la 1ère ligne : puis, on utilise l'approximation linéaire voir la note « 48 » plus haut dans ce chapitre ;
       Commentaire sur la 2ème et 3ème lignes : on utilise l'approximation linéaire voir la note « 48 » plus haut dans ce chapitre.
  60. Pour retrouver l'expression complète de il resterait à effectuer le calcul pour un champ orthoradial «» et aussi
       Pour retrouver l'expression complète de il resterait à effectuer le calcul pour un champ longitudal «» puis
       Pour retrouver l'expression complète de il resterait à effectuer le calcul ajouter les trois contributions, l'opérateur divergence étant linéaire.
  61. L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur de cette expansion tridimensionnelle élémentaire.
  62. La face sphérique de rayon respectivement est d'aire respectivement , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est respectivement  ; la colatitude et la longitude du point générique de chaque face notées et peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et pour la colatitude et n'importe quelle valeur entre et pour la longitude ;
       attention les aires des deux portions de faces sphériques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des sphères n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à sur chaque cercle méridien de sphère ne sont pas de même longueur ainsi que les arcs correspondant à sur chaque cercle parallèle de sphère
  63. On observe une différence de valeurs de la fonction entre celle pour et celle pour , en effet la somme des deux termes se réécrit, « après factorisation par », « ».
  64. On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  65. Les six autres termes étant «» et «».
  66. 66,0 66,1 et 66,2 D'abord utilisation de la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable, puis
                               D'abord utilisation de «» ou «» correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement au vecteur que l'on dérive » et enfin
                               D'abord utilisation de la propriété d'une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et utilisant la règle de la main droite voir la description de celle-ci et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » «» ou «» et éventuellement
                               D'abord utilisation de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle.
  67. Le 3ème vecteur de base cylindro-polaire étant constant, sa dérivée par rapport à est nulle.
  68. Avec «» on rappelle que les vecteurs de base cylindro-polaire sont indépendants de on obtient successivement :
       «»,
       «» avec utilisation éventuelle de la propriété d'une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite «» ou «» et de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle, voir note « 61 » plus haut dans ce chapitre et
       «».
  69. Avec «» on rappelle que les vecteurs de base cylindro-polaire sont indépendants de on obtient successivement :
       «» avec utilisation éventuelle de la propriété d'une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite «» ou «» et de l'anticommutativité de la multiplication vectorielle, voir note « 61 » plus haut dans ce chapitre et
       «» et
       «».
  70. Le but de ce paragraphe n'était pas d'établir ce résultat mais de développer la méthode permettant de calculer dans n'importe quel repérage à partir de la connaissance des composantes de l'opérateur vectoriel “nabla” dans ce repérage.
  71. Comme pour le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire qui a une définition intrinsèque et une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla”, le champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace a une définition utilisant l'opérateur “nabla vectoriel ...” énoncée ici mais aussi une définition intrinsèque qui est donnée au paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre.
  72. 72,0 et 72,1 Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » et le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cette dernière définition utilisant la règle de la main droite voir la description de celle-ci et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  73. Applicable en repérage cartésien car les vecteurs de base sont fixes
  74. Disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur : suivant la flèche descendante, le terme avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme avec signe «» soit «» comme 1ère composante du produit vectoriel.
  75. Pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme avec signe «» soit «» comme 2ème composante du produit vectoriel ;
       ce résultat peut aussi être obtenu par permutation circulaire à partir de la 1ère composante du produit vectoriel ce qui donne
    «».
  76. Disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur : suivant la flèche descendante, le terme avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme avec signe «» soit «» comme 1ère composante du produit vectoriel.
  77. Pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme avec signe «» soit «» comme 2ème composante du produit vectoriel.
  78. On vérifie l'identité de ces deux expressions car «», « » et « »
  79. Disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur : suivant la flèche descendante, le terme avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme avec signe «» d'où la 1ère composante du produit vectoriel «».
  80. Pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1>ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme avec signe «» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme avec signe «» soit «» comme 2ème composante du produit vectoriel.
  81. Le flux élémentaire du champ vectoriel est «» voir paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluationl (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  82. La circulation élémentaire d'un champ vectoriel le long d'un contour élémentaire est est le vecteur déplacement élémentaire en de voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       la circulation du champ vectoriel le long du contour élémentaire est définie par «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  83. 83,0 83,1 83,2 83,3 83,4 83,5 83,6 et 83,7 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec choix d'une base orthonormée directe voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la courbe fermée limitant la surface ouverte à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de et effectuant une translation dans le sens choisi sur , le sens défini sur correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».
  84. Comme, par exemple, dans le repérage cartésien «».
  85. Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages
  86. Le côté à , d'ordonnée respectivement d'ordonnée est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le côté d'ordonnée respectivement pour le côté d'ordonnée , la cote étant  ; l'abscisse du point générique de chaque côté est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  87. Le côté à , d'abscisse respectivement d'abscisse est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le côté d'abscisse respectivement pour le côté d'abscisse , la cote étant  ; l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  88. Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.
  89. L'arc de cercle de rayon et cote respectivement de cote est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour l'arc de cote respectivement pour l'arc de cote  ; l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  90. Le côté à , d'abscisse angulaire respectivement d'abscisse angulaire est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le côté d'abscisse respectivement pour le côté d'abscisse  ; la cote du point générique de chaque côté est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  91. 91,0 91,1 et 91,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
  92. Le rayon élémentaire d'abscisse angulaire , de cote respectivement de cote est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le rayon de cote respectivement pour le rayon de cote  ; le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est notée , il peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  93. Le côté à , de rayon polaire respectivement de rayon polaire est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le côté de rayon polaire respectivement pour le côté de rayon polaire  ; la cote du point générique de chaque côté est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  94. Le rayon élémentaire de cote , d'abscisse angulaire respectivement d'abscisse angulaire est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le rayon d'abscisse angulaire respectivement pour le rayon d'abscisse angulaire  ; le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est notée , il peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  95. L'arc de cercle de cote , de rayon respectivement de rayon est de longueur respectivement de longueur , le vecteur l'orientant étant pour l'arc de rayon respectivement pour l'arc de rayon  ; l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  96. L'arc de méridien de rayon et longitude respectivement de longitude est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour l'arc de longitude respectivement pour l'arc de longitude  ; la colatitude du point générique de chaque arc est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  97. L'arc de parallèle à la distance de de colatitude respectivement de colatitude est de longueur respectivement de longueur , le vecteur l'orientant étant pour l'arc de colatitude respectivement pour l'arc de colatitude  ; la longitude du point générique de chaque arc est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  98. 98,0 98,1 et 98,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.
  99. On appelle apothème d'un cône respectivement d'un tronc de cône de révolution, la distance le long d'une génératrice quelconque entre le sommet du cône et un point de sa base respectivement entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque.
  100. L'apothème élémentaire de longitude respectivement de longitude est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour l'apothème de longitude respectivement pour l'apothème de longitude  ; la distance au pôle du point générique de chaque segment élémentaire est notée , il peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  101. L'arc de parallèle à la distance de respectivement à la distance de est de longueur respectivement de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le parallèle à la distance de respectivement pour le parallèle à la distance de  ; la longitude du point générique de chaque côté est notée , elle peut prendre n'importe quelle va leur entre et .
  102. Le rayon élémentaire de longitude , de colatitude respectivement de colatitude est de longueur , le vecteur l'orientant étant pour le rayon de colatitude respectivement pour le rayon de colatitude  ; la distance entre le pôle et le point générique de chaque segment élémentaire est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  103. L'arc de cercle de longitude , de rayon respectivement de rayon est de longueur respectivement de longueur , le vecteur l'orientant étant pour l'arc de rayon respectivement pour l'arc de rayon  ; la colatitude du point générique de chaque arc est notée , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre et .
  104. Les six autres termes étant «» et «».
  105. Pour ne pas alourdir l'écriture, les coordonnées figées lors des dérivations partielles ont été parfois omises et la dépendance des vecteurs de base n'a pas toujours été indiquées.
       Avec «» rappel : les vecteurs de base cylindro-polaire sont indépendants de on obtient successivement :
    • «»,
    • «» et
    • «».
         Avec «» rappel : les vecteurs de base cylindro-polaire sont indépendants de on obtient successivement :
    • «»,
    • «» et
    • «».
  106. Le but de ce paragraphe n'était pas d'établir ce résultat mais de développer une méthode permettant de calculer «» dans n'importe quel repérage à partir de la connaissance des composantes de l'opérateur vectoriel “nabla” dans ce repérage.
  107. 107,0 107,1 107,2 107,3 107,4 et 107,5 Nom donné pour rendre hommage à Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités dans cette dernière il utilise la transformation de Laplace portant son nom pour lui rendre hommage découverte par Leonhard Euler ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
       Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
  108. Comme pour « le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » ou « le champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » ou encore « le champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle » qui a « une définition intrinsèque » et « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” » ou « l'opérateur “nabla scalaire” » ou encore « l'opérateur “nabla vectoriel” »,
       Comme pour « le champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire nabla” » énoncée ici mais aussi « une définition intrinsèque » voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » plus loin dans ce chapitre.
  109. Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2ndes de la fonction scalaire existent.
  110. 110,0 110,1 et 110,2 Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté.
  111. On vérifie l'identité de ces deux expressions car «»
  112. Voir le paragraphe « lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire » plus haut dans ce chapitre.
  113. Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_du_champ_scalaire_divergence_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace_par_l'image_que_donne_l'opérateur_“nabla_scalaire...”_de_cette_fonction_vectorielle|définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle]] » plus haut dans ce chapitre.
  114. On peut aisément vérifier cette affirmation en repérage cylindro-polaire connaissant
    • l'expression du gradient dans ce repérage « » voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre et
    •            celle de la divergence d'un champ vectoriel , « » voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre
       d'où l'expression du laplacien de la fonction , « » voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
  115. Voir le paragraphe « composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  116. Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.