Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

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Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent
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Chapitre no 19
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Intégrales généralisées (ou impropres)
Chap. suiv. :Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
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Sommaire

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]



Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

...... Appelons les composantes cartésiennes de , sa définition se réécrit d'une part et la différentielle de s'exprimant d'autre part en fonction de ses dérivées partielles selon , des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, d'où :



Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

...... Appelons les composantes cylindro-polaires de , sa définition se réécrit d'une part et la différentielle de s'exprimant d'autre part en fonction de ses dérivées partielles selon , des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, d'où :



Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

...... Appelons les composantes sphériques de , sa définition se réécrit d'une part et la différentielle de s'exprimant d'autre part en fonction de ses dérivées partielles selon , des deux formes de , vraies quels que soient , et , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, d'où :



Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient[modifier | modifier le wikicode]

...... traduit comment varie la grandeur dans l'espace, par exemple :

  • si est un champ uniforme à et de même sens, c.-à-d. si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, s'écrit selon , cela signifiera
    ...... que ne varie pas avec et [8] ou ne varie pas avec et [8], et
    ...... que quand , cette croissance étant uniforme ;
  • variation de la température T de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude : il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical ascendant choisi comme axe , nous en déduisons que ne dépend pas de , l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, quand et il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude » [9] ; nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite, gradient « radial plus précisément “axipète[10] »  ;
  • variation de la pression p d'un lac : d'une part il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant et , nous en déduisons que ne dépend pas de et de , et d'autre part quand la profondeur [l'axe vertical étant orienté dans le sens descendant et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac] ; nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac, gradient « vertical plus précisément descendant » .

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U[modifier | modifier le wikicode]

......Une surface iso-U est une surface où  ; elle est caractérisée par lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de à partir d'un point de cette surface en restant sur celle-ci [11] ; de en choisissant un déplacement élémentaire tel que on en déduit  ou est à tous les de la surface construits à partir de soit finalement

est à la surface passant par  [12] ;

......dans les exemples considérés au paragraphe précédent :

  • est radial plus précisément “axipète” et les isothermes [13] sont des tuyaux cylindriques de révolution [14] d'où la perpendicularité ;
  • est vertical plus précisément descendant et les isobares [15] sont des plans horizontaux [16] d'où la perpendicularité.

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” noté est, en repérage cartésien, construit à partir des vecteurs de base cartésienne et des opérateurs scalaires du premier ordre “dérivations partielles relativement à chacune des coordonnées cartésiennes” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, sa définition s'écrivant

.

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace on obtient pour image identifiable à  ;

......en conclusion on peut écrire l'application suivante

[17]
est une fonction scalaire différentiable de l'espace.

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

......Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace U(M) » à savoir et y substituant l'expression équivalente[17] utilisant l'opérateur “nabla” on obtient ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative, que l'on peut réécrire, dans chaque membre, sous la forme d'« un opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace U(M) » à savoir  ; cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et proposer, comme définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” :



Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

...... Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”[19] « opérateur linéaire » tel que ou, en l'appliquant à une fonction scalaire de l'espace, soit, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire ainsi que la différentielle de en repérage cylindro-polaire, et en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels , et , on obtient la définition (équivalente) suivante de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire

[20].

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

...... Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”[19] « opérateur linéaire » tel que ou, en l'appliquant à une fonction scalaire de l'espace, soit, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire ainsi que la différentielle de en repérage sphérique, et en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels , et , on obtient la définition (équivalente) suivante de l'opérateur “nabla” en sphérique

[21].

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “nabla scalaire ...” noté est construit à partir de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” et de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire », avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
......pour préciser la façon dont l'opérateur scalaire agit sur une fonction vectorielle , on se place en repérage « cylindro-polaire » [22] dans lequel est composé des trois composantes et des deux premiers vecteurs de base dépendant des coordonnées de , dépendance qui entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” ;
......l'image de par est alors défini comme le scalaire

où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants [23]
que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon
[24],
[24] ou
[25] [26],[27].

......Finalement on trouve, pour l'image de par l'opérateur scalaire du premier ordre dans le repérage cylindro-polaire,

[28].

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire...” de cette fonction vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

.....Appliquant l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “nabla scalaire ...” à la fonction vectorielle de l'espace on obtient pour image qui définit le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle noté [29] ;

......en conclusion on peut écrire l'application suivante


est une fonction vectorielle différentiable de l'espace.

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......En cartésien , ce qui donne, en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, sachant que, d'une part, les vecteurs de base cartésienne sont constants et, d'autre part, ils forment une base orthonormée :



Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur “nabla scalaire ...” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :



Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......En sphérique , soit, en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, puis en utilisant les expressions des dérivées (partielles) des vecteurs de base sphérique déterminées au paragraphe « différentielle des vecteurs de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. , , et sachant que ces vecteurs de base forment une base orthonormée,

avec :

[31].



Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

...... La divergence du champ vectoriel noté est le champ scalaire défini en égal au quotient du flux élémentaire de à travers une surface élémentaire fermée entourant sur le volume élémentaire mesurant l'intérieur de [33] soit

 ou [34]
est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée entourant et orienté vers l'extérieur,
l'intérieur de cette surface étant de volume .

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur scalaire “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

...... Ayant obtenu l'image de la fonction vectorielle par l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre dans tous les « repérages précédemment introduits » [35],[36], il nous suffit de retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de [37].

Justification en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

...... Pour cela on considère, à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur suivant , suivant et suivant , la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur ;
......on évalue alors le flux élémentaire à travers du champ vectoriel , noté , en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées du parallélépipède[38], soit en explicitant , avec [39], [40] et [41] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

  • [42],
  • [42],
  • [42],

soit finalement, en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun , puis en divisant par ce dernier, l'expression de par définition intrinsèque c.-à-d. l'expression précédemment obtenue de par (C.Q.F.D.).

Justification en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

...... On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de dans ce repérage ;

...... on considère donc à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'un tuyau cylindrique d'axe d'épaisseur suivant , d'ouverture angulaire suivant et de hauteur suivant , la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur ;

......le flux élémentaire, à travers , du champ vectoriel , vaut , où [43], [44] et [45] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

  • [46] soit, après factorisation par et utilisation de l'approximation linéaire [42],
  • [42],
  • [42],

soit finalement, en ajoutant tous les termes, en faisant apparaître l'élément de volume commun , puis en le mettant en facteur et en divisant par ce dernier, l'expression de par définition intrinsèque coïncidant avec l'expression précédemment obtenue par , soit (C.Q.F.D.).

Justification en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

...... La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante (mais aussi plus délicate) de déterminer l'expression de dans ce repérage, elle est surtout intéressante pour des champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux  ; nous allons donc chercher à retrouver l'expression de pour un champ vectoriel radial [47] en utilisant la définition intrinsèque du champ scalaire divergence ;

......on considère là encore à partir du point , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une couche sphérique de centre d'épaisseur suivant , d'ouverture de colatitude suivant et d'ouverture de longitude suivant , la surface fermée limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur ;

......dans le cas d'un champ vectoriel radial , seuls les flux à travers les portions de sphère de rayons et ne sont pas nuls, les quatre autres flux à travers les portions de méridiens de longitudes et ainsi qu'à travers les portions tronconiques de colatitudes et l'étant car les vecteurs surfaces élémentaires sont respectivement et pour les flux à travers les portions de méridiens, et pour les flux à travers les portions tronconiques alors que le champ vectoriel est suivant  ; on a donc avec [48] et, en faisant la somme de ces deux termes [49], donnant, après factorisation par et utilisation de l'approximation linéaire [42] ; finalement, en faisant apparaître l'élément de volume commun , puis en le mettant en facteur et en divisant par ce dernier, on obtient l'expression de pour un champ vectoriel radial par définition intrinsèque c.-à-d. l'expression précédemment obtenue de par en considérant un champ radial

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'opérateur scalaire linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla”[modifier | modifier le wikicode]

......L'opérateur scalaire linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla” noté ou plus simplement est construit à partir de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” et de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire », avec pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace ;
......pour préciser la façon dont l'opérateur scalaire agit sur une fonction scalaire , on se place en repérage « cylindro-polaire »[22] dans lequel la dépendance (partielle) des vecteurs de base cylindro-polaire entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” quand ce dernier agit sur lui-même par l'intermédiaire d'une multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles ; l'image de par est alors défini comme le scalaire

où, compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, on trouve, après développement, neuf termes de l'un des trois types suivants [50] que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon :

[51],[24].

......Finalement on trouve, pour l'image de par l'opérateur scalaire du second ordre dans le repérage cylindro-polaire,

[52].

Définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Appliquant l'opérateur scalaire linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace on obtient pour image le scalaire définissant le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace [53], noté  ;

......en conclusion on peut écrire l'application suivante

est une fonction scalaire différentiable de l'espace[54].

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......En cartésien [55], ce qui donne, en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, sachant que, d'une part, les vecteurs de base cartésienne sont constants et, d'autre part, ils forment une base orthonormée :



Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur “nabla scalaire nabla” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :