Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

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L'espace physique considéré dans ce chapitre étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite » .

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Introduction  : nous avons étudié la caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace dans le paragraphe « caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace » du chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     Introduction ; nous avons indiqué dans le paragraphe « commentaire final » du même chap.$13$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'il existe une méthode plus compacte pour faire cette caractérisation utilisant la notion de gradient de fonction scalaire.

Gradient du champ scalaire $U(M)$

     Le gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » est égale à « la différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» .

     Remarque : la définition du gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ donnée ci-dessus est essentiellement utilisée pour déterminer les composantes
     Remarque : du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ dans les différents repérages cartésien, cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ ou sphérique,
     Remarque : explicitation exposée dans les trois paragraphes suivants.

Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{x}(M),\,A_{y}(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cartésiennes de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{x}(M)\,dx+A_{y}(M)\,dy+A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\,dz\;$» ,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;dx$, $\;dy\;$ et $\;dz$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\\A_{y}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ en cartésien

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{\rho }(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{\rho }(M)\,d\rho +A_{\theta }(M)\,\rho \,d\theta +A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\;$» ,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;d\rho$, $\;d\theta \;$ et $\;dz$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\\A_{\theta }(M)\,\rho =\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{r}(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{\varphi }(M)\;$ les composantes sphériques de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{r}(M)\,dr+A_{\theta }(M)\,r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi =dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\,d\varphi \;$» ,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;dr$, $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\\A_{\theta }(M)\,r=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\\A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $U(M)$ en sphérique

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» .

Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient

     «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ traduit la variation de la grandeur $\;U\;$ dans l'espace », par exemple 
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$« si $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est un champ uniforme $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ et de même sens », c.-à-d.
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$« si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ s'écrit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=A\;{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}A=cste>0\end{array}}\right\rbrace \;$», cela signifiera que
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ est un champ uniforme $\;\color {transparent}{\parallel }$ à $\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ et de même sens » «$\;U\;$ ne varie pas avec $\;x\;$ et $\;y\;$» ${\big [}$ou « ne varie pas avec $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$» ${\big ]}\;$ et
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ est un champ uniforme $\;\color {transparent}{\parallel }$ à $\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ et de même sens » «$\;U\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$», cette $\;\nearrow \;$ étant uniforme ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$variation de la température$\;T\;$de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical $\;\uparrow \;$ choisi comme axe $\;Oz$,
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$ il y a invarianceavec choix du repérage cylindro-polaire d'axe $\;Oz\;$ $\Rightarrow$ $\;T\;$ ne dépend pas de $\;\theta$,
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, $\;T\searrow \;$ quand $\;\rho \nearrow \;$ et
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude $\;z\;$»  ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$nous résumons tout ceci par gradient « radial plus précisément “axipète” $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)={\dfrac {dT}{dr}}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\text{avec }}{\dfrac {dT}{dr}}(M)<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$variation de la pression$\;p\;$d'un lac : il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}$, $\Rightarrow$ $\;p\;$ ne dépend, ni $\;x$, ni de $\;y$, et
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la pression$\;\color {transparent}{p}\;$d'un lac :$\;p\nearrow \;$ quand la profondeur $\;z\nearrow \;$ ${\big [}$l'axe vertical étant orienté dans le sens $\;\downarrow \;$ et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac${\big ]}$ ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la pression$\;\color {transparent}{p}\;$d'un lac : nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac,
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la pression$\;\color {transparent}{p}\;$d'un lac : nous résumons tout ceci par gradient « vertical plus précisément $\;\downarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\dfrac {dp}{dz}}(M)\,{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}{\dfrac {dp}{dz}}(M)>0\\{\vec {u}}_{z}\;\downarrow \;\;{\text{et }}z{\text{ profondeur}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U

     « Une surface iso-U est une surface où $\;U=cste\;$» ; elle est caractérisée par $\;dU=0\;$ lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir d'un point $\;M\;$ de cette surface en y restant  ;
     « Une surface iso-U à partir de «$\;dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;dU=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0,\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;{\text{de la surface}}\;$» ou
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à tous les ${\overrightarrow {dM}}\;$ de la surface construits à partir de $\;M\;$»
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp }\;$ à tous les$\Downarrow$
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à la surface $U=cste\;$ passant par $\;M\;$» ou
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à la surface iso-U passant par $\;M\;$» ;

     dans les exemples considérés au paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » plus haut dans ce chapitre :
     dans les exemples $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)\;$ est radial plus précisément “axipète”  » et « les isothermes sont des tuyaux cylindriques de révolution » d'où « la perpendicularité » ;
     dans les exemples $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ est vertical plus précisément $\;\downarrow \;$» et « les isobares sont des plans horizontaux » d'où « la perpendicularité ».

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est, en repérage cartésien, construit sur les vecteurs de base cartésienne et
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;$» est, en repérage cartésien, construit sur les opérateurs scalaires du 1^er ordre “dérivations partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes”
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, soit
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$».

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire

     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)={\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$»
     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espaceidentifiable à «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» ;

     en conclusion on peut écrire l'application suivante «$\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$» où «$\;U\;$ est une fonction scalaire différentiable de l'espace »,
     en conclusion l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace «$\;U\;$» par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est le champ vectoriel “gradient de $\;U$” «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$».

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”

     Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$» à savoir
     Partant de la définition intrinsèque du «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» et

     y substituant l'expression équivalente «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]={\vec {\nabla }}\left[U\right]\;$» utilisant l'opérateur “nabla”
                                                on obtient «$\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative ,
                                                                «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=dU(M)\;$» ou, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$»
                                                                «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)=\left\lbrace d\right\rbrace \left[U\right](M)\;$», les opérateurs scalaires étant «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ et $\;d\left[\;\right]\;$» ;

     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut donner la définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” exposée ci-dessous :

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté $\;{\vec {\nabla }}$, est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «$\;d\left[\;\right]\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$» .

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire

     Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$», « opérateur linéaire tel que $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»
          Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$»,
     on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» ou
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \,\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace \rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +dz\,\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$» ;
     parallèlement la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «$\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;dz\;$» ou
     parallèlement la différentielle de $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «$\;dU=d\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$»,
     on en déduit l'opérateur différenciation «$\;d\left[\;\right]\;$» en repérage cylindro-polaire «$\;d\left[\;\right]=d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$» soit,
     on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;d\rho$, $\;d\theta \;$ et $\;dz\;$ de «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»,

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\\rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     la définition $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» .

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique

     Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$», « opérateur linéaire tel que $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»
          Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$»,
     on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique «$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» ,
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\;{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» ou
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\varphi \,\left\lbrace r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$» ;
     parallèlement la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage sphérique s'écrivant «$\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;d\varphi \;$» ou
     parallèlement la différentielle de $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ dans le même repérage sphérique s'écrivant «$\;dU=dr\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$»,
     on en déduit l'opérateur différenciation «$\;d\left[\;\right]\;$» en repérage sphérique «$\;d\left[\;\right]=dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\;$» soit,
     on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;dr$, $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ de «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»,

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     la définition $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ de l'opérateur “nabla” en sphérique «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» .

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » «$\;\cdot \;$»,
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage cartésien , ou
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage cylindro-polaire ou encore
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage sphérique  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$»  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$»  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$» .

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ on obtient l'« image $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant
         Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ on obtientle « champ scalaire divergence du champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)\;$» «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$»  ;

     en conclusion le « champ scalaire $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ divergence de la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$» résulte de l'application suivante «$\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\;$».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien

     En cartésien «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \cdot \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne  :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cartésien

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire

     En cylindro-polaire «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne  :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$»
ou
                 «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» .

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique

     En sphérique «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;+\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$», ce qui donne  :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en sphérique

          «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)$
            $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)}\color {black}=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$»

ou, après regroupement,
«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$» .           

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

     La « divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$»
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ scalaire défini en $\;M\;$» par le « quotient du flux élémentaire $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]\;$ de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ scalaire défini en $\;\color {transparent}{M}\;$» par le « quotient du flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]}\;$ sur le volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ mesurant l'intérieur de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$» soit
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}={\dfrac {\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ vecteur surface élémentaire en $\;M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$»,
                                      La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$ vecteur surface orienté vers l'extérieur,
                                      La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$» l'intérieur de cette surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$.

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» dans tous les « repérages précédemment introduits » , il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de $\;{\vec {A}}(M)\;$» .

Justification en repérage cartésien

     Pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{x}(M')\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M')\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M')\,{\vec {u}}_{z}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$»,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées du parallélépipède , soit
     on évalue alors le «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$», avec
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» , «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})=-A_{x}(x,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz+A_{x}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dy\,dz\;$» ,
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})=-A_{y}(x_{i},\,y,\,z_{i})\;dx\,dz+A_{y}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\;dx\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\,dz\;$» et
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{z}(x_{i},\,y_{i},\,z)\;dx\,dy+A_{z}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\;dx\,dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dx\,dy\;$» soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «$\;dx\,dy\,dz=d{\mathcal {V}}\;$» puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque
     on évalue alors le «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;$» dans lequel
                                                  on évalue alors le «$\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» d'où
                                on évalue alors le «$\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant toutes deux «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$», « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$» C.Q.F.D. .

Justification en repérage cylindro-polaire

     On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ dans ce repérage ;
     pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z$, d'épaisseur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{\rho }(M')\,{\vec {u}}_{\rho }(M')+A_{\theta }(M')\,{\vec {u}}_{\theta }(M')+A_{z}(M')\,{\vec {u}}_{z}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$»,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$, soit
     on évalue alors le «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$», avec
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\rho \,d\theta \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» , «