Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels

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La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.

Rappel, 1^ères notions de cinétique d'un système discret de points matériels : « masse », « centre d’inertie » et « vecteur résultante cinétique »

Masse d'un système discret (fermé) de points matériels

     La masse $($inerte$)$ $m_{\text{syst}}$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ est le scalaire positif

«$m_{\text{syst}}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i$» ;

     c'est la 1^ère grandeur d'inertie introduite, elle caractérise le système discret $($fermé$)$ de points matériels $[$elle est alors indépendante du référentiel spatio-temporel dans lequel ce système discret $($fermé$)$ évolue$]$.

Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système discret (fermé) de points matériels

     Le centre d'inertie $($C.D.I.$)$ $G$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ est le « barycentre des positions instantanées des points matériels ayant pour cœfficient leur masse » c.-à-d. « le point $G$ tel que $\sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{G{M}_i}=\overrightarrow{0}$» ;

     avec $O$ point quelconque de l'espace, « le vecteur $\overrightarrow{OG}$ suit la relation $\overrightarrow{OG}=\frac{\sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}}{\sum _{i=1}^N{m}_i}=\frac{\sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}}{m_{\text{syst}}}$» $\{$la justification se fait en partant de la définition et « en utilisant la relation de Chasles $\overrightarrow{G{M}_i}=\overrightarrow{O{M}_i}-\overrightarrow{OG}$» d'où «$\sum _{i=1}^N{m}_i[\overrightarrow{O{M}_i}-\overrightarrow{OG}]=\overrightarrow{0}$» $\iff$ «$\sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}=\left(\sum _{i=1}^N{m}_i\right)\overrightarrow{OG}$ $=m_{\text{syst}}\overrightarrow{OG}$» et par suite l'une ou l'autre des expressions de $\overrightarrow{OG}\}$.

     Méthode de construction du barycentre d'un système de points matériels : utiliser autant que faire se peut la notion de barycentre partiel et, pour déterminer chacun d'eux, choisir un des points du système d'origine comme point de référence $($c.-à-d. comme point $O)\dots$ voir la « méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés » sur l'exemple du « C.D.I. de la molécule d'eau » dans le chap.$24$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Remarque : Il est possible de réécrire l'une ou l'autre des expressions de $\overrightarrow{OG}$ à l'aide de la « fonction vectorielle de Leibniz associée à un système de $n$ points pondérés ${\left\{A_k\left({\alpha }_k\right)\right\}}_{k=1,\dots ,n⩾p+1}$ d'un espace affine $E$ de direction $W$ tous deux de dimension $p$»,

«$\mathrm{\forall }M\in E$, on associe $\overrightarrow{f}(M)=$ $\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\overrightarrow{M{A}_k}\in W$» définissant la fonction vectorielle de Leibniz,
la fonction vectorielle de Leibniz associée au système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N⩾4}$ s'écrivant ici «$\mathrm{\forall }A\in E,\overrightarrow{f}(A)=\sum _{i=1}^N{m}_k\overrightarrow{A{M}_i}\in W$»

     Remarque : d'où la réécriture de la définition de $G$ et de l'expression de $\overrightarrow{OG}$ :

«$\overrightarrow{f}(G)=\overrightarrow{0}$» dans laquelle «$\overrightarrow{f}(G)=\sum _{i=1}^N{m}_k\overrightarrow{G{M}_i}$» et
«$\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{f}(O)}{\sum _{i=1}^N{m}_k}=\frac{\overrightarrow{f}(O)}{m_{\text{syst}}}$» dans lesquelles «$\overrightarrow{f}(O)=\sum _{i=1}^N{m}_k\overrightarrow{O{M}_i}$».

Vecteur résultante cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude

     La résultante cinétique $\overrightarrow{P}(t)$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ est la grandeur vectorielle

«$\overrightarrow{P}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$» dans laquelle «${\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$ est le vecteur quantité de mouvement du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$», se réécrivant,
en cinétique classique, «$\overrightarrow{P}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» dans laquelle «${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ est le vecteur vitesse du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$».

     Lien avec le mouvement du C.D.I. du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ :

en cinétique classique «$\overrightarrow{P}(t)=m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$» avec
«${\overrightarrow{V}}_G(t)$ le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du système à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$».

     Conséquence : en cinétique classique, la résultante cinétique $\overrightarrow{P}(t)$ du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ est la quantité de mouvement d'un point fictif

• de mouvement identique, à tout instant, à celui du C.D.I. $G$ du système fermé dans le référentiel $ℛ$ et
• de masse identique à $m_{\text{syst}}$ c.-à-d. la masse du système fermé.

Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude

     En cinétique relativiste, la résultante cinétique ${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ}}(t)$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ reste définie selon

«${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ}}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$» dans laquelle
«${\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$ est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$»,
se réécrivant «${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ}}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» dans laquelle
«${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ est le vecteur vitesse du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$» et
«${\gamma }_{M_i}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_{M_i}^2(t)}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$».

     Remarque : S'il est toujours possible, avec $O$ point fixe du référentiel $ℛ$, de définir le vecteur position du C.D.I. $G$ d'un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en cinétique relativiste selon «$\overrightarrow{OG}(t)=\frac{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}(t)}{m_{\text{syst}}}$» et
     Remarque : s'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $t$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du système fermé à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ selon «${\overrightarrow{V}}_G(t)=$ $\frac{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)}{m_{\text{syst}}}$» $\iff$ «$m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$»,
     Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2^nd membre de la relation explicitant $m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$, c.-à-d. $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$, l'expression «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» explicitant la résultante cinétique relativiste ${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ}}(t)$ du système et par suite
     Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre la résultante cinétique relativiste ${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ}}(t)$ du système fermé ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ et le vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ du C.D.I. $G$ du système fermé, au même instant, dans le même référentiel $\dots$

     Cas d'un système discret fermé de points matériels${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$en translation dans le référentiel$ℛ$ : « tous les points matériels $M_i$ ayant même vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)=\overrightarrow{f}(t),\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$ avec $\overrightarrow{f}(t)={\overrightarrow{V}}_G(t)$ $[$le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du système fermé$]$», « ont même facteur de Lorentz ${\gamma }_{M_i}(t)=$ $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_{M_i}^2(t)}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_G^2(t)}{c^2}}}={\gamma }_G(t),\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$» et par suite, ce dernier pouvant être factorisé dans la définition du vecteur résultante cinétique relativiste «${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ}}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ du système discret fermé de points matériels en translation » selon «${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst. en transl.}}(t)$ $={\gamma }_G(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)]$» dans laquelle «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)=m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$» d'où la liaison entre vecteur résultante cinétique relativiste ${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst. en transl.}}(t)$ d'un système fermé en translation et vecteur vitesse de translation ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ de ce dernier selon

«${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst. en transl.}}(t)={\gamma }_G(t)m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$» dans laquelle
«${\gamma }_G(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_G^2(t)}{c^2}}}$ est le facteur de Lorentz du système en translation ».

Vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point A

Définition du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

Moment cinétique (vectoriel) d'un système discret (fermé) de point matériels dans le référentiel d'étude par rapport à A

     Le vecteur moment cinétique du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ par rapport au point $A$ est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant $t$, dans le référentiel $ℛ$ soit encore «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$» avec
${\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$ « le vecteur quantité de mouvement de $M_i$ dans $(ℛ)$ au même instant $t$»,
soit, en cinétique classique «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» avec
${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ « le vecteur vitesse de $M_i$ dans $(ℛ)$ au même instant $t$».

     Remarques : $A$, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à $ℛ$, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile $\dots$

     Remarques : Cette définition est applicable que l'espace physique soit « orienté à droite » ou « orienté à gauche » :
     Remarques : $\succ$dans le cas quasi-systématique l'espace physique étant « orienté à droite », « le sens des trièdres $\{\overrightarrow{A{M}_i}(t),{\overrightarrow{p}}_{M_i}(t),{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)\}$ est direct $\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$» et

     Remarques : $\succ$dans le cas quasi-inexistant où l'espace physique serait « orienté à gauche », « le sens des trièdres $\{\overrightarrow{A{M}_i}(t),{\overrightarrow{p}}_{M_i}(t),{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)\}$ serait indirect $($au sens de la physique$)$ $\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$».

Cas d’un système discret (fermé) de points matériels en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

     Dans un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en translation dans le référentiel d'étude $ℛ$, les points $M_i$ ont tous, dans $ℛ$, même vecteur vitesse à un instant $t$, vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. $G$ du système fermé ${\overrightarrow{V}}_G(t)$, ils ont donc chacun, dans le cadre de la cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement ${\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)=m_i{\overrightarrow{V}}_G(t)$ et par suite
     Dans un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en translation le vecteur moment cinétique du système discret fermé ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ par rapport à un point origine $A$ quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans $ℛ$, «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst. en transl.},t)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\overrightarrow{V}}_G(t)$», on peut « factoriser vectoriellement par ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ à droite » ce qui donne «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst. en transl.},t)$ $=[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overrightarrow{A{M}_i}(t)]\wedge {\overrightarrow{V}}_G(t)$» et on reconnaît dans le 1^er facteur du 2^nd membre «$m_{\text{syst}}\overrightarrow{AG}(t)$» soit «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst. en transl.},t)=m_{\text{syst}}\overrightarrow{AG}(t)\wedge {\overrightarrow{V}}_G(t)$» ou encore «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst. en transl.},t)$ $=\overrightarrow{AG}(t)\wedge [m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)]$» ;

     « en choisissant le C.D.I. $G$ du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant $t$, du vecteur moment cinétique du système en translation dans $ℛ$, on en déduit ${\overrightarrow{\sigma }}_G(\text{syst. en transl.},t)=\overrightarrow{0}$» ;

     dans le cas d’un système discret « quasi-quelconque » de points matériels, « le vecteur résultante cinétique du système ${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$ étant lié à sa masse $m_{\text{syst}}$ et au vecteur vitesse de son C.D.I. ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ par la relation ${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$», on peut écrire, pour un système en translation dans le cadre de la cinétique classique,

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst. en transl.},t)=\overrightarrow{AG}(t)\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$» et
son cas particulier «${\overrightarrow{\sigma }}_G(\text{syst. en transl.},t)=\overrightarrow{0}$».

Complément, expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A

     En cinétique relativiste, le moment cinétique ${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ évalué relativement au point origine $A$ reste défini selon

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(M_i,t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$» dans laquelle
«${\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$ est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$»,
se réécrivant «${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» dans laquelle
«${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ est le vecteur vitesse du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$» et
«${\gamma }_{M_i}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_{M_i}^2(t)}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$».

     Remarque : S'il est toujours possible, avec $O$ point fixe du référentiel $ℛ$, de définir le vecteur position du C.D.I. $G$ d'un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en cinétique relativiste selon «$\overrightarrow{OG}(t)=\frac{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overrightarrow{O{M}_i}(t)}{m_{\text{syst}}}$» et
     Remarque : S'il est toujours possible, de dériver la relation ci-dessus par rapport à $t$ pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du système fermé à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ selon «${\overrightarrow{V}}_G(t)=$ $\frac{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)}{m_{\text{syst}}}$» $\iff$ «$m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$»,
     Remarque : il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2^nd membre des relations explicitant $m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$ ou $m_{\text{syst}}\overrightarrow{AG}(t)$, c.-à-d. respectivement $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ ou $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overrightarrow{A{M}_i}(t)$, l'expression «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» explicitant le moment cinétique relativiste ${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)$ du système et par suite
     Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste ${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)$ du système fermé ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ évalué au point origine $A$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ et les grandeurs caractérisant le C.D.I. $G$ du système fermé à savoir $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AG}(t)\\ {\overrightarrow{V}}_G(t)\end{array}\right\}$, au même instant, dans le même référentiel $\dots$

     Cas d'un système discret fermé de points matériels${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$en translation dans le référentiel$ℛ$ : « tous les points matériels $M_i$ ayant même vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)=\overrightarrow{f}(t),\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$ avec $\overrightarrow{f}(t)={\overrightarrow{V}}_G(t)$ $[$le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du système fermé$]$», « ont même facteur de Lorentz ${\gamma }_{M_i}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_{M_i}^2(t)}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_G^2(t)}{c^2}}}=$ ${\gamma }_G(t),\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$» et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste «${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» du système discret fermé de points matériels en translation évalué en $A$ selon «${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)={\gamma }_G(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)]$» dans laquelle «${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)=$ ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ pour tout point $M_i$» d'où, par factorisation vectorielle à droite par ${\overrightarrow{V}}_G(t)$, «${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)={\gamma }_G(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overrightarrow{A{M}_i}(t)]\wedge {\overrightarrow{V}}_G(t)$» soit encore, par propriété du C.D.I. $G$ du système fermé «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overrightarrow{A{M}_i}(t)=m_{\text{syst}}\overrightarrow{AG}(t)$», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport au point origine $A$ «${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)$» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ de ce dernier ainsi que le vecteur $\overrightarrow{AG}(t)$ positionnant son C.D.I.

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)={\gamma }_G(t)[\overrightarrow{AG}(t)\wedge m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)]$» dans laquelle
«${\gamma }_G(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_G^2(t)}{c^2}}}$ est le facteur de Lorentz du système en translation » ;

     Cas d'un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en translation « en choisissant le C.D.I. $G$ du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant $t$, du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans $ℛ$», on en déduit «${\overrightarrow{\sigma }}_{G,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)=\overrightarrow{0}$» ;

     Cas d'un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en translation dans le cas d’un système discret « quelconque » de points matériels en translation dans le référentiel $ℛ$, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation ${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ.}\text{syst. en transl.}}(t)$ étant lié à sa masse $m_{\text{syst}}$, à son facteur de Lorentz ${\gamma }_G(t)$ et à son vecteur vitesse de translation ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ par la relation «${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ.}\text{syst. en transl.}}(t)=$ ${\gamma }_G(t)m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$», on peut écrire, pour un système en translation,

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)=\overrightarrow{AG}(t)\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{relativ.}\text{syst. en transl.}}(t)$» et
son cas particulier «${\overrightarrow{\sigma }}_{G,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},t)=\overrightarrow{0}$».

Changement d’origine de calcul du moment cinétique vectoriel d’un système discret de points matériels

Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude

     Le vecteur moment cinétique, à l'instant $t$, du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel d’étude $ℛ$ par rapport au point origine $A$ étant la somme des vecteurs moment cinétique, au même instant, de chaque point matériel $M_i$ dans le même référentiel $ℛ$ par rapport au même point origine $A$ et
     le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque point $M_i$ s’écrivant, avec $A^{\prime }$ nouvelle origine d'évaluation des moments vectoriels «${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(M_i,t)=$ ${\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$», on obtient, en faisant la somme de ces $N$ relations,

«$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(M_i,t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)+\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$» ou,

     en faisant une « factorisation vectorielle par $\overrightarrow{A^{\prime }A}$ à gauche » dans le 2^ème terme du 2^nd membre et
     en reconnaissant dans le 1^er terme du 2^nd membre le vecteur moment cinétique ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ du système par rapport à $A$ ainsi que
     en reconnaissant dans le 1^er membre le vecteur moment cinétique ${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)$ du système par rapport à $A^{\prime }$, on obtient

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)=$ ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge [\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)]$»

     soit enfin, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^nd membre

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$».

Changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « fermé » de points matériels en cinétique newtonienne

     Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant $t$, du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel d’étude $ℛ$ suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, la formule

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$», dans laquelle
«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)\\ {\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\end{array}\right\}$ sont le moment cinétique $($vectoriel$)$ du système par rapport à $\left\{\begin{array}{c}{A}^{\prime }\\ A\end{array}\right\}$»
et «${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$ la résultante cinétique du système » ;

     dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique ${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$ du système étant liée au vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ de son C.D.I. $G$ selon «${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$», son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique $($vectoriel$)$ du système donne

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$».

     Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $G$ du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret $($fermé$)$ de points matériels, le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine $A$ suivra la relation

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_G(\text{syst},t)+\overrightarrow{AG}\wedge m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$»,

          Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $G$ que l'on peut interpréter en remarquant que le 2^ème terme du 2^ème membre est le vecteur moment cinétique du C.D.I. $G$ $[$considéré comme point fictif de masse $m_{\text{syst}}$ et de quantité de mouvement $m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)={\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)]$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ par rapport à $A$ alors que le 1^er terme du 2^ème membre est le vecteur moment cinétique du système au même instant $t$ dans le même référentiel $ℛ$ par rapport à $G\dots$

     Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système discret fermé de points matériels par rapport à $A$ à l'instant $t$ dans le référentiel d’étude $ℛ$ est la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à $G$ $($C.D.I. du système$)$ au même instant $t$ dans $ℛ$ et du vecteur moment cinétique de $G\left(m_{\text{syst}}\right)$ par rapport à $A$ au même instant $t$ dans $ℛ$».

Complément, changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « quelconque » de points matériels « en translation » en cinétique relativiste

     Nous avons vu au paragraphe précédent que le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant $t$, du système discret « quelconque » de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel d’étude $ℛ$ reste applicable en cinétique relativiste sous la forme

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime },\text{relativ}}(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst}}(t)$», dans laquelle
«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime },\text{relativ}}(\text{syst},t)\\ {\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst},t)\end{array}\right\}$ sont le moment cinétique $($vectoriel$)$ relativiste du système par rapport à $\left\{\begin{array}{c}{A}^{\prime }\\ A\end{array}\right\}$»
et «${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst}}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$ la résultante cinétique relativiste du système » mais $\dots$

     si le mouvement du système discret « quelconque » de points matériels n'est pas une translation, il n'y a, a priori, aucune simplification du vecteur résultante cinétique relativiste du système $\dots$

     Cas d'un système discret « quelconque » de points matériels en translation dans le référentiel d'étude $ℛ$ : « tous les points matériels $M_i$ ayant même vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)=$ ${\overrightarrow{V}}_G(t)$ c.-à-d. le vecteur vitesse du C.D.I. $G$ du système fermé », ont aussi « même facteur de Lorentz ${\gamma }_{M_i}(t)=$ $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_{M_i}^2(t)}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_G^2(t)}{c^2}}}={\gamma }_G(t),\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$» et par suite, nous avons déduit une expression simplifiée de ${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst}}(t)$ dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre, cette expression étant

«${\overrightarrow{P}}_{\text{relativ},\text{syst. en transl.}}(t)={\gamma }_G(t)m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$» dans laquelle
«${\gamma }_G(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_G^2(t)}{c^2}}}$ est le facteur de Lorentz du système en translation » ;

          le report de cette expression dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant $t$, du système discret « quelconque » de points matériels en translation dans le référentiel d’étude $ℛ$ nous conduit à

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime },\text{relativ}}(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\gamma }_G(t)m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$».

     Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $G$ du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste d’un système discret (fermé) de points matériels en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué relativement à un 2^ème point origine $A$ s'obtient par

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en transl.},t)=\cancel{{\overrightarrow{\sigma }}_{G,\text{relativ}}(\text{syst. en transl.},t)+}\overrightarrow{AG}\wedge {\gamma }_G(t)m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)$»,

          Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. $G$ que l'on peut interpréter en remarquant que le 2^ème membre est le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. $G$ $[$considéré comme point fictif de masse $m_{\text{syst}}$ et de quantité de mouvement relativiste ${\gamma }_G(t)m_{\text{syst}}{\overrightarrow{V}}_G(t)={\overrightarrow{P}}_{\text{relativ.},\text{syst. en transl.}}(t)]$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ$ par rapport à $A\dots$

Cas où le système discret de points matériels est en rotation autour d’un axe fixe

Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ

Système discret fermé de points matériels $M_i,(m_i)$ en rotation autour d'un axe $(\Delta )$ fixe, moment cinétique $($vectoriel$)$ du système par rapport à un point $A$ quelconque de $(\Delta )$

     Le système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)$ fixe du référentiel d'étude $ℛ$, de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ à l'instant $t$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $A$ quelconque de $\left(\Delta \right)$, on peut, en cinétique classique, écrire le « vecteur moment cinétique du point $M_i,\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$ dans $ℛ$ par rapport à $A$ sous la forme

${\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)=$ $m_i{r}_i^2\overrightarrow{\Omega }(t)-m_i\bar{\Omega }(t)\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)$» avec
«$H_i$ centre de rotation de $M_i$ autour de $\left(\Delta \right)$» et «$r_i$ le rayon du cercle décrit par $M_i$» ;

     le vecteur moment cinétique du système ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point $M_i$, on en déduit donc

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}[m_i{r}_i^2\overrightarrow{\Omega }(t)-m_i\bar{\Omega }(t)\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$» ou,

     après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ ou $\bar{\Omega }(t)$ dans le 1^er ou 2^ème terme,

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=\left[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{r}_i^2\right]\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$» ;

     définissant le moment d'inertie$J_{\Delta }$du système relativement à l'axe de rotation $\left(\Delta \right)$ comme la grandeur scalaire «$J_{\Delta }=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{J}_{\Delta }(M_i)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{r}_i^2$» exprimée en $kg\cdot m^2$ $[$il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse $m_{\text{syst}}]$ et

     repérant le point $M_i$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $A$ et d'axe $\left(\Delta \right)$ orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ $[$de sens a priori arbitraire sur $\left(\Delta \right)$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu$]$ «$(r_i,{\theta }_i,z_i)$» $[$la base cylindro-polaire liée à $M_i$ étant notée $({\overrightarrow{u}}_{r_i},{\overrightarrow{u}}_{{\theta }_i},{\overrightarrow{u}}_{\Delta })$$]$,

     le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour de l'axe $\left(\Delta \right)$ fixe dans $ℛ$, de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ à l'instant $t$ dans $ℛ$, évalué au même instant $t$ par rapport à $A$ point quelconque de $\left(\Delta \right)$, se réécrit selon

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i{r}_i{\overrightarrow{u}}_{r_i}(t)]$» ;

     le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour de l'axe $\left(\Delta \right)$ fixe dans $ℛ$, de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ à l'instant $t$ dans $ℛ$, évalué au même instant $t$ par rapport à $A$ point quelconque de $\left(\Delta \right)$ est donc la somme de deux termes,

• le 1^er «$J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)$» porté par l'axe de rotation en étant $\propto$ à la vitesse angulaire et
• le 2^ème «$-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i{r}_i{\overrightarrow{u}}_{r_i}(t)]$» $\perp$ à l'axe de rotation en étant $\propto$ à la vitesse angulaire et tournant à la même vitesse angulaire que le système de points matériels $\dots$

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : rappelons tout d'abord qu'un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour d'un axe fixe $\left(\Delta \right)$ est nécessairement un solide, il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable) » du chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ;
     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice $3\text{x}3$ appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie $($symétrique$)$ étant rappelée ci-dessous :

«$\left[J\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(y_i^2+z_i^2)& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{y}_i& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i\\ -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{y}_i& \sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+z_i^2)& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i\\ -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i& \sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+y_i^2)\end{array}\right]$» ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue :

• les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
       $\succ J_{Ox}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(y_i^2+z_i^2)$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $Ox$»,
       $\succ J_{Oy}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+z_i^2)$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $Oy$» et
       $\succ J_{Oz}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+y_i^2)$ « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe $Oz$»,
• l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
       $\succ I_{xy}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{y}_i$ « produit d'inertie du solide dans le plan $xOy$»,
       $\succ I_{xz}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i$ « produit d'inertie du solide dans le plan $xOz$» et
       $\succ I_{yz}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i$ « produit d'inertie du solide dans le plan $yOz$»,

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «$\left[J\right]=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{Ox}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{xy}& J_{Oy}& -I_{yz}\\ -I_{xz}& -I_{yz}& J_{Oz}\end{array}\right]$» ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant le point origine $A$ de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe $\left(\Delta \right)$ orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ comme axe $\overrightarrow{Az}$, les axes $\overrightarrow{Ax}$ et $\overrightarrow{Ay}$ respectivement orientés par ${\overrightarrow{u}}_x$ et ${\overrightarrow{u}}_y$ étant choisis $\perp$ à $\left(\Delta \right)$ tels que la base $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_{\Delta }\}$ soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à $M_i$, la matrice d'inertie du solide se réécrit «$\left[J\right]=$ $\left[\begin{array}{ccc}{J}_{Ox}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{xy}& J_{Oy}& -I_{yz}\\ -I_{xz}& -I_{yz}& J_{\Delta }\end{array}\right]$» ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut alors vérifier que « la matrice colonne $[{\sigma }_A(\text{syst},t)]=\left[\begin{array}{c}{\bar{\sigma }}_{A,x}(\text{syst},t)\\ {\bar{\sigma }}_{A,y}(\text{syst},t)\\ {\bar{\sigma }}_{A,\Delta }(\text{syst},t)\end{array}\right]$ représentant le vecteur moment cinétique ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour d'un axe fixe $\left(\Delta \right)$ dans le référentiel $ℛ$» avec « un vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ représenté par la matrice colonne $[\Omega (t)]=$ $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \bar{\Omega }(t)\end{array}\right]$» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «$[{\sigma }_A(\text{syst},t)]=\left[J\right]\times [\Omega (t)]$» ou «$\left[\begin{array}{c}{\bar{\sigma }}_{A,x}(\text{syst},t)\\ {\bar{\sigma }}_{A,y}(\text{syst},t)\\ {\bar{\sigma }}_{A,\Delta }(\text{syst},t)\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{ccc}{J}_{Ox}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{xy}& J_{Oy}& -I_{yz}\\ -I_{xz}& -I_{yz}& J_{\Delta }\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \bar{\Omega }(t)\end{array}\right]$» soit finalement

«$\begin{array}{ccc}{\bar{\sigma }}_{A,x}(\text{syst},t)& =-I_{xz}\bar{\Omega }(t)& =-\bar{\Omega }(t)\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i\right\}\\ {\bar{\sigma }}_{A,y}(\text{syst},t)& =-I_{yz}\bar{\Omega }(t)& =-\bar{\Omega }(t)\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i\right\}\\ {\bar{\sigma }}_{A,\Delta }(\text{syst},t)& =J_{\Delta }\bar{\Omega }(t)& =\bar{\Omega }(t)\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+y_i^2)\right\}\end{array}$» ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ précédemment déterminés directement à savoir

• «$J_{\Delta }\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+y_i^2)\right\}\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{r}_i^2\right\}\overrightarrow{\Omega }(t)=J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)$» porté par l'axe de rotation et
• «$-I_{xz}\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_x-I_{yz}\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_y=-\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i\right\}\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_x-\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i\right\}\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_y$ $[$ou encore, après factorisation par $\bar{\Omega }(t)]$, $=-\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i(x_i{\overrightarrow{u}}_x+y_i{\overrightarrow{u}}_y)\right\}\bar{\Omega }(t)$ $=-\bar{\Omega }(t)\left\{\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i{r}_i{\overrightarrow{u}}_{r_i}\right\}$» $\perp$ à l'axe de rotation.

Complément, vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ

     Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$, à l'instant $t$ dans $ℛ$, évalué par rapport au point origine $A$, se détermine selon

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(M_i,t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$» dans laquelle
«${\overrightarrow{p}}_{M_i,\text{relativ}}(t)$ est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$»,
se réécrivant «${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ.}}(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge m_i{\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$» dans laquelle
«${\overrightarrow{V}}_{M_i}(t)$ est le vecteur vitesse du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$» et
«${\gamma }_{M_i}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\overrightarrow{V}}_{M_i}^2(t)}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$» ;

     le système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)$ fixe du référentiel d'étude $ℛ$, de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ à l'instant $t$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point $A$ quelconque de $\left(\Delta \right)$, on peut écrire le vecteur moment cinétique relativiste du point $M_i,\mathrm{\forall }i\in \left[[1,N]\right]$ dans $ℛ$ par rapport à $A$ sous la forme

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(M_i,t)={\gamma }_{M_i}(t){\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{newton}}(M_i,t)={\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2\overrightarrow{\Omega }(t)-{\gamma }_{M_i}(t)m_i\bar{\Omega }(t)\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)$»,
avec «$H_i$ centre de rotation de $M_i$ autour de $\left(\Delta \right)$», «$r_i$ le rayon du cercle décrit par $M_i$» et
«${\gamma }_{M_i}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$» puis

     en déduire le vecteur moment cinétique relativiste ${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)$ du système discret fermé en rotation autour de l'axe fixe $\left(\Delta \right)$ évalué par rapport au point origine $A$ quelconque sur l'axe, selon

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(M_i,t)=[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$» ou
«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)=\left[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\frac{m_i{r}_i^2}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}\right]\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\frac{m_i\overline{A{H}_i}}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$» ;

     comme en cinétique classique, le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé en rotation autour de l'axe fixe $\left(\Delta \right)$ évalué par rapport au point origine $A$ quelconque sur l'axe est la somme de deux termes

• le 1^er «$[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\overrightarrow{\Omega }(t)=\left[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\frac{m_i{r}_i^2}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}\right]\overrightarrow{\Omega }(t)$» porté par l'axe de rotation et
• le 2^ème «$-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]=-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\frac{m_i\overline{A{H}_i}}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$» $\perp$ à l'axe de rotation $\dots$

     Repérant le point $M_i$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $A$ et d'axe $\left(\Delta \right)$ orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ $[$de sens a priori arbitraire sur $\left(\Delta \right)$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu$]$ «$(r_i,{\theta }_i,z_i)$» $[$la base cylindro-polaire liée à $M_i$ étant notée $({\overrightarrow{u}}_{r_i},{\overrightarrow{u}}_{{\theta }_i},{\overrightarrow{u}}_{\Delta })$$]$, l'expression relativiste du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de $\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ dans $ℛ$, calculé par rapport à $A$ point quelconque de $\left(\Delta \right)$, se réécrit selon

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)=\left[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\frac{m_i{r}_i^2}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}\right]\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\frac{m_i{z}_i{r}_i}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}{\overrightarrow{u}}_{r_i}(t)]$».

Complément, notion d'axes principaux d’inertie en cinétique newtonienne

     Pour tout point$A$origine de calcul de vecteur moment cinétique classique du système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour d'un axe «$\left(\Delta \right)\ni A$», axe fixe du référentiel d'étude $ℛ$, nous admettrons qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation ${\left\{\left({\Delta }_{p,k}\right)\right\}}_{k=1\mathrm{..}3}$, deux à deux$\perp$, telles que

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A\in \left({\Delta }_{p,k}\right)}(\text{syst},t)$ soit $\parallel$ à l'axe de rotation $\left({\Delta }_{p,k}\right)$ du système » c.-à-d. telles que
«$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_{i,k}}\overrightarrow{H_{i,k}{M}_i}(t)=\overrightarrow{0}$» avec «$H_{i,k}$ le projeté orthogonal de $M_i$ sur $\left({\Delta }_{p,k}\right)$»,
$\Downarrow$
«${\overrightarrow{\sigma }}_{A\in \left({\Delta }_{p,k}\right)}(\text{syst},t)=J_{{\Delta }_{p{,}_{,}k}}\overrightarrow{\Omega }(t)$» avec «$J_{{\Delta }_{p{,}_{,}k}}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{r}_{i,k}^2$ dans laquelle $r_{i,k}=H_{i,k}{M}_i$»,
$\left({\Delta }_{p,k}\right)$ définissant un axe principal d'inertie du système issu de $A$,
«$J_{{\Delta }_{p{,}_{,}k}}$ étant le moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie $\left({\Delta }_{p,k}\right)$ passant par $A$».

     Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux $\perp$, d'axe de rotation du système telles que « le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point $A$ quelconque, avec pour axe de rotation un axe issu de $A$ ayant l'une des trois directions précédentes, ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ soit $\parallel$ au vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ », c.-à-d. qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point $A$, ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine $A$ mais $\dots$

     Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, un axe quelconque de rotation$(\Delta )$peut ne jamais être principal d'inertie pour un de ses points$A$ c.-à-d. que le 2^ème terme du vecteur moment cinétique ${\overrightarrow{\sigma }}_{A\in \left(\Delta \right)}(\text{syst},t)$ du système en rotation autour de $\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$, à savoir «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)\perp \left(\Delta \right)$», peut être non nul pour tous les points $A\in \left(\Delta \right)$.

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : un système discret fermé de points matériels ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour d'un axe fixe $\left(\Delta \right)$ étant nécessairement un solide, il est possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable) » du chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », ce tenseur d'inertie pouvant être représenté par une matrice $3\text{x}3$ appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du même chap.$4$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », matrice d'inertie $($symétrique$)$ rappelée ci-dessous

«$\left[J\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(y_i^2+z_i^2)& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{y}_i& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i\\ -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{y}_i& \sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+z_i^2)& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i\\ -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i& -\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i& \sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+y_i^2)\end{array}\right]$» dont

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : $\succ$les éléments diagonaux définissent les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément

«$\left\{\begin{array}{c}{J}_{Ox}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(y_i^2+z_i^2)\\ J_{Oy}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+z_i^2)\\ J_{Oz}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(x_i^2+y_i^2)\end{array}\right\}$» et

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : $\succ$l'opposé des éléments non diagonaux définissent les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément

«$\left\{\begin{array}{c}{I}_{xy}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{y}_i\\ I_{xz}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{x}_i{z}_i\\ I_{yz}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{y}_i{z}_i\end{array}\right\}$»

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «$\left[J\right]=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{Ox}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{xy}& J_{Oy}& -I_{yz}\\ -I_{xz}& -I_{yz}& J_{Oz}\end{array}\right]$».

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Comme il est admis dans le paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » du chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » :

« toute matrice symétrique réelle $\left[A\right]$ est diagonalisable c.-à-d. qu'il existe une matrice diagonale $\left[D\right]$ à cœfficients réels semblable à $\left[A\right]$ $\{$ou encore
il existe une matrice orthogonale $\left[P\right]$ à cœfficients réels et une matrice diagonale $\left[D\right]$ également à cœfficients réels telles que $\left[A\right]=$ $\left[P\right]\times \left[D\right]\times {\left[P\right]}^{-1}\}$»,

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : on en déduit donc que « la matrice d'inertie $\left[J\right]$ est diagonalisable ».

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Comme cela est exposé dans le paragraphe « définition des axes principaux d'inertie d'un solide et moments principaux d'inertie de ce dernier » du chap.$4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\left[J\right]$ du solide relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée $\{{\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_{\Delta }\}$ du $ℝ$-espace vectoriel tridimensionnel euclidien $W$, direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, rendant la matrice diagonalisable, il existe au moins un changement de base $($en fait il en existe au moins trois$)$ telle que la matrice d'inertie du solide soit transformée en «$\left[𝒥\right]$ diagonale » ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit ${\{{\overrightarrow{u}}_{X,k},{\overrightarrow{u}}_{Y,k},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_{p,k}}\}}_{k=1\mathrm{..}3}$ l'une des bases orthonormées de $W$ pour laquelle la matrice d'inertie du solide est rendue diagonale ,
     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit ${\{{\overrightarrow{u}}_{X,k},{\overrightarrow{u}}_{Y,k},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_{p,k}}\}}_{k=1\mathrm{..}3}$ les axes ${\{\left(A{X}_k\right),\left(A{Y}_k\right),\left({\Delta }_{p,k}\right)\}}_{k=1\mathrm{..}3}$ issus de $A$ et orientés par les vecteurs de la nouvelle base ${\{{\overrightarrow{u}}_{X,k},{\overrightarrow{u}}_{Y,k},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_{p,k}}\}}_{k=1\mathrm{..}3}$ définissent alors les axes principaux d'inertie du solide, axes caractérisant la répartition de masse du solide autour de $A$ $($point fixe du solide$)$ ;
     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : soit ${\{{\overrightarrow{u}}_{X,k},{\overrightarrow{u}}_{Y,k},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_{p,k}}\}}_{k=1\mathrm{..}3}$ les éléments diagonaux de la nouvelle matrice d'inertie diagonale $\left[𝒥\right]$ à savoir $J_{A{X}_k}$, $J_{A{Y}_k}$ et $J_{{\Delta }_{p,k}}$ sont appelés moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs ${\{\left(A{X}_k\right),\left(A{Y}_k\right),\left({\Delta }_{p,k}\right)\}}_{k=1\mathrm{..}3}$, leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels $M_i(m_i)$ du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier.

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Compte-tenu de ce qui vient d'être rappelé, la matrice d'inertie $\left[𝒥\right]$ du solide dans un référentiel $ℛ$ lié au solide et relativement axes principaux d'inertie ${\{\left(A{X}_k\right),\left(A{Y}_k\right),\left({\Delta }_{p,k}\right)\}}_{k=1\mathrm{..}3}$ de ce dernier issus du point $A$, point fixe de $ℛ$, s'écrit, avec «$J_{A{X}_k}$, $J_{A{Y}_k}$ et $J_{{\Delta }_{p,k}}$ moments principaux d'inertie du solide », selon

«$\left[𝒥\right]=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{A{X}_k}& 0& 0\\ 0& J_{A{Y}_k}& 0\\ 0& 0& J_{{\Delta }_{p,k}}\end{array}\right]$».

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide (suite) : Dans cette nouvelle base ${\{{\overrightarrow{u}}_{X,k},{\overrightarrow{u}}_{Y,k},{\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_{p,k}}\}}_{k=1\mathrm{..}3}$, dans la mesure où la rotation du système ${\left\{M_i\left(m_i\right)\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ se fait autour de l'axe principal d'inertie $\left({\Delta }_{p,k}\right)$, « son vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}(t)$ est représenté par la matrice colonne $[\Omega (t)]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \bar{\Omega }(t)\end{array}\right]$» et « le vecteur moment cinétique du système en rotation autour de $\left({\Delta }_{p,k}\right)$, moment évalué par rapport à $A$, ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$, l'est par la matrice colonne $[{\sigma }_A(\text{syst},t)]=\left[𝒥\right]\times [\Omega (t)]=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{A{X}_k}& 0& 0\\ 0& J_{A{Y}_k}& 0\\ 0& 0& J_{{\Delta }_{p,k}}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ \bar{\Omega }(t)\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ J_{{\Delta }_{p,k}}\bar{\Omega }(t)\end{array}\right]$» dont on déduit

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=J_{{\Delta }_{p,k}}\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{{\Delta }_{p,k}}=J_{{\Delta }_{p,k}}\overrightarrow{\Omega }(t)$», où
«$\left({\Delta }_{p,k}\right)$ est l'un des axes principaux d'inertie du système issus de $A$» et
«$J_{{\Delta }_{p,k}}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i(X_{i,k}^2+Y_{i,k}^2)$ le moment principal d'inertie du système par rapport à $\left({\Delta }_{p,k}\right)$»
ou encore «$J_{{\Delta }_{p,k}}=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{r}_{i,k}^2$» avec «$r_{i,k}$ la distance orthogonale de $M_i$ à $\left({\Delta }_{p,k}\right)$».

Complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels

     Ci-dessous une liste $($non exhaustive$)$ d'axes principaux d'inertie pour des systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels :

• Tout axe de symétrie d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe $[$en effet deux points symétriques par rapport à cet axe $\left(\Delta \right)$, $M_p$ et $M_q,q\ne p$ ont même masse $m_p=m_q,q\ne p$, même cote $z_p=z_q,q\ne p$ quel que soit le point origine $A\in \left(\Delta \right)$, même distance orthogonale à l'axe $\left(\Delta \right)$ soit $r_p=r_q,q\ne p$ et un vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire associée opposé l'un à l'autre ${\overrightarrow{u}}_{r_q}=-{\overrightarrow{u}}_{r_p},q\ne p$ d'où «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i{r}_i{\overrightarrow{u}}_{r_i}=\overrightarrow{0},\mathrm{\forall }A\in \left(\Delta \right)$» $\Rightarrow$ $\left(\Delta \right)$ est un axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe$]$, exemple d'axes principaux d'inertie pour un cylindre de révolution « homogène » de hauteur finie : l'axe de symétrie de révolution mais aussi tout axe $\perp$ à ce dernier passant par le centre d'inertie du cylindre $\dots$
• Tout « axe de symétrie d’ordre $p⩾3$ » d'un système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe $[$en effet supposons que $\left({\Delta }_s\right)$ soit un axe de symétrie d’ordre $p=3$, cela signifie que les points de chaque triplet de points matériels symétriques d’ordre $3$ par rapport à $\left({\Delta }_s\right)$, ${\{M_n,M_p,M_q\}}_{n\ne p\ne q\text{et}n\ne q}$ se déduisant l'un de l'autre dans une permutation circulaire ${}_1\to {}_2$ $\to {}_3\to {}_1$ par rotation autour de cet axe d’angle $\frac{2\pi }{3}$ ont même masse $m_n=m_p=m_q$, même cote $z_n=z_p=$ $z_q$ quel que soit le point origine $A\in \left({\Delta }_s\right)$, même distance orthogonale à l'axe $\left({\Delta }_s\right)$ soit $r_n=r_p=r_q$ et un vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire associée se déduisant l'un de l'autre par rotation ${\text{rot}}_{({\Delta }_s)}\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ autour de $\left({\Delta }_s\right)$ d’angle $\frac{2\pi }{3}$ soit ${\overrightarrow{u}}_{r_n}\stackrel{{\text{rot}}_{({\Delta }_s)}\left(\frac{2\pi }{3}\right)}{⟶}{\overrightarrow{u}}_{r_p}\stackrel{{\text{rot}}_{({\Delta }_s)}\left(\frac{2\pi }{3}\right)}{⟶}{\overrightarrow{u}}_{r_q}\stackrel{{\text{rot}}_{({\Delta }_s)}\left(\frac{2\pi }{3}\right)}{⟶}{\overrightarrow{u}}_{r_n}$ d'où «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i{r}_i{\overrightarrow{u}}_{r_i}=\overrightarrow{0},\mathrm{\forall }A\in \left({\Delta }_s\right)$» $\Rightarrow$ $\left({\Delta }_s\right)$ est un axe principal d'inertie du système pour tous les points de l'axe$]$, exemple d'axes principaux d'inertie pour une expansion tridimensionnelle tétraédrique régulière « homogène » : les quatre axes passant par l'un des quatre sommets et par le centre d'inertie du tétraèdre car ce sont des axes de symétrie d'ordre $3\dots$
• Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie de système pour sa répartition de masse est axe principal d'inertie du système pour le pied $A_p$de l'axe sur le plan $[$en effet deux points symétriques par rapport au plan $\left(\Pi \right)$, $M_p$ et $M_q,q\ne p$ ont même masse $m_p=m_q,q\ne p$, même distance orthogonale à l'axe $\left(\Delta \right)\perp$ à $\left(\Pi \right)$, $r_p=r_q,q\ne p$, même vecteur unitaire radial de leur base cylindro-polaire commune associée ${\overrightarrow{u}}_{r_q}={\overrightarrow{u}}_{r_p}$,$q\ne p$ et une cote opposée l'une de l'autre $z_q=-z_p,q\ne p$ pour le point origine $A_p=\left(\Delta \right)\cap \left(\Pi \right)$ d'où «$\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A_p{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)=$ $\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{z}_i{r}_i{\overrightarrow{u}}_{r_i}=\overrightarrow{0}$ pour $A_p=\left(\Delta \right)\cap \left(\Pi \right)$» $\Rightarrow$ $\left(\Delta \right)$ est un axe principal d'inertie du système pour le point $A_p$ pied de l'axe sur le plan de symétrie$]$, autre exemple d'axes principaux d'inertie pour un cylindre de révolution « homogène » de hauteur finie : le plan passant par le centre d'inertie du cylindre et $\perp$ à l'axe de symétrie de révolution étant un plan de symétrie, tout axe $\perp$ à ce plan en $A_p$, c.-à-d. $\parallel$ à l'axe de symétrie de révolution et issu de $A_p$, est un axe principal d'inertie du cylindre pour le point origine $A_p\dots$

Définition du moment cinétique (scalaire) d’un système discret (fermé) de points matériels par rapport à un axe Δ

Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels » dans le référentiel d’étude et conséquence : notion de « moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »

Équiprojectivité du « vecteur champ moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels » dans le référentiel d’étude

     La « définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel » introduite au chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » est d'abord rappelée ci-dessous dans le but de la tester sur la notion de moment cinétique $($vectoriel$)$ d'un système discret $($fermé$)$ de points matériels évalué en un point origine $A$ quelconque :

un champ de vecteurs $\overrightarrow{f}(M)$ défini en $M\in ℰ$ est « équiprojectif » si
«$\mathrm{\forall }(M,N)\in {ℰ}^2,\overrightarrow{f}(M)\cdot \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{f}(N)\cdot \overrightarrow{MN}$».

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $($fermé$)$ de points matériels, on utilise la « formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude » établie plus haut dans ce chapitre soit

«$\mathrm{\forall }(A,A^{\prime })\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$» avec
«${\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)$ la résultante cinétique du système » puis

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $($fermé$)$ de points matériels, on multiplie scalairement les deux membres par $\overrightarrow{A^{\prime }A}$ d'où

«$\mathrm{\forall }(A,A^{\prime })\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}=[{\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)+\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)]\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}$» ou,

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $($fermé$)$ de points matériels, la multiplication scalaire étant distributive par rapport à l'addition vectorielle,

«$\mathrm{\forall }(A,A^{\prime })\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}\cancel{+[\overrightarrow{A^{\prime }A}\wedge {\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)]\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}}$»,

     Pour démontrer l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret $($fermé$)$ de points matériels, ce qui établit l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude.

     Remarques : $\succ$On pouvait aussi utiliser l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique d'un point matériel établie dans le paragraphe « équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »

«$\mathrm{\forall }(A,A^{\prime })\in {ℰ}^2,{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}={\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(M_i,t)\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }},\mathrm{\forall }{M}_i\in {\left\{M_k\right\}}_{k=1\mathrm{..}N}$» puis,

     Remarques : $\succ$On pouvait aussi utiliser la définition du moment cinétique vectoriel du système évalué en $A$ et en $A^{\prime }$ selon «$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_A(M_i,t)\\ {\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(M_i,t)\end{array}\right\}$»,
     Remarques : $\succ$il suffit alors de faire la somme des $N$ relations d'équiprojectivité pour les $N$ points matériels du système et de factoriser scalairement par $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ dans chaque membre en reconnaissant dans l'autre facteur le moment cinétique vectoriel du système évalué en $A$ pour le membre de gauche et en $A^{\prime }$ pour le membre de droite $($C.Q.F.D.$)$.

     Remarques : $\succ$En utilisant la notion $($hors programme de physique de P.C.S.I.$)$ de « torseur » introduite dans le chap.$1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », le moment cinétique $($vectoriel$)$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ par rapport à $A$ «${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$» étant le moment du torseur cinétique «${𝒯}_{\text{cinét. du syst.}}$» du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ d'éléments de réduction en $A$ «${𝒯}_{\text{cinét. du syst.}}={\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{P}}_{\text{syst}}(t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)\\ {\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)\end{array}\right\}}_A$» et
     Remarques : $\succ$En utilisant le fait que le « moment d'un torseur au point $A$» est par définition un « champ de vecteurs équiprojectif »
     Remarques : $\succ$nous en déduisons, sans autre développement, le caractère « équiprojectif » du « vecteur moment cinétique du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel $ℛ$ par rapport à $A$».

Conséquence, notion de « moment cinétique scalaire du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un axe Δ »

     Considérant un axe $\Delta$ quelconque et deux points quelconques $($distincts$)$ de cet axe $(A,A^{\prime }\ne A)\in {\Delta }^2$, nous déduisons de l'équiprojectivité du vecteur moment cinétique du système discret $($fermé$)$ de points matériels dans le référentiel $ℛ$ la relation

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}=$ ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\cdot \overrightarrow{A^{\prime }A}$» ou,

     en orientant l'axe $\Delta$ par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overline{A{A}^{\prime }}{\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ et en simplifiant par $\overline{A{A}^{\prime }}\ne 0$,

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A^{\prime }}(\text{syst},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$»,

     cette valeur constante sur $\Delta$ définissant le moment cinétique $($scalaire$)$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ par rapport à l'axe $\Delta$ $[$cette définition est valable en cinétique classique ou relativiste, elle s'étend aux systèmes ouverts de points matériels dans le cadre classique ou relativiste$]$.

Moment cinétique (scalaire) d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à Δ

     Le moment cinétique $($scalaire$)$ du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ par rapport à l'axe $\Delta$ est la grandeur scalaire, définie à l'instant $t$, selon «${\sigma }_{\Delta }(\text{syst},t)={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }\mathrm{\forall }A\in \Delta$» avec
«${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ un vecteur unitaire orientant $\Delta$» et
«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ le vecteur moment cinétique de ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ dans $(ℛ)$
évalué en un point $A$ quelconque de $\Delta$ au même instant $t$», soit encore,
«${\sigma }_{\Delta }(\text{syst},t)=[\sum _{i=1\mathrm{..}N}\overrightarrow{A{M}_i}(t)\wedge {\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)]\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }\mathrm{\forall }A\in \Delta$» avec
«${\overrightarrow{p}}_{M_i}(t)$ le vecteur quantité de mouvement de $M_i$ dans $ℛ$ au même instant $t$».

     Commentaire : cette grandeur traduit la réserve de « mouvement inertiel » du système discret $($fermé$)$ de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ par rapport à l'axe $\Delta$, elle tient compte de l'inertie d'une part et de la composante de la vitesse de chaque point $M_i$ dans un plan $\perp$ à $\Delta$ ainsi que de la disposition du point $M_i$ par rapport à cet axe d'autre part, la grandeur dépend donc du référentiel $(ℛ)$.

Expression du moment cinétique scalaire d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)$, orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, avec un vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\Omega }(t)=$ $\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, $[\bar{\Omega }(t)$ étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\left(\Delta \right)]$,
     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation nous choisissons un point $A$ quelconque de cet axe de rotation $\left(\Delta \right)$ et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ du système par rapport à $A$ établie dans le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans le chapitre à savoir

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)=J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$», avec
«$H_i$ le projeté orthogonal de $M_i$ sur l'axe $\left(\Delta \right)$» et
«$J_{\Delta }=\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i{r}_i^2$ le moment d'inertie du système relativement à $\left(\Delta \right)$ dans laquelle $r_i=H_i{M}_i$», puis

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation nous multiplions les deux membres de l'expression de ${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)$ scalairement par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$,

«${\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\{J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]\}\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$
                                    $=J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$»
                                                                     par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle puis,

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation nous remarquons la nullité du 2^ème terme du 2^ème membre «$[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{m}_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$ étant $\perp$ à ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$», le 1^er terme du 2^ème membre se simplifiant selon «$J_{\Delta }\overrightarrow{\Omega }(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\bar{\Omega }(t)$» et le 1^er membre définissant le moment cinétique scalaire du système relativement à $\left(\Delta \right)$ «${\sigma }_{\Delta }(\text{syst},t)$ $={\overrightarrow{\sigma }}_A(\text{syst},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ si $A\in \left(\Delta \right)$».

     Finalement le moment cinétique scalaire classique ${\sigma }_{\Delta }(\text{syst},t)$ du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe $\left(\Delta \right)$ fixe dans le référentiel $ℛ$ avec un vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\Omega }(t)=\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, moment évalué par rapport à l'axe $\left(\Delta \right)$ de rotation orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, s'écrit

«${\sigma }_{\Delta }(\text{syst},t)=J_{\Delta }\bar{\Omega }(t)$» avec
«$J_{\Delta }$ le moment d'inertie du système relativement à $\left(\Delta \right)$» et
«$\bar{\Omega }(t)$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\left(\Delta \right)$».

Complément, expression relativiste du moment cinétique scalaire d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe Δ dans le référentiel d’étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)$, orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, avec un vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\Omega }(t)=$ $\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, $[\bar{\Omega }(t)$ étant la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\left(\Delta \right)]$,
     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation nous choisissons un point $A$ quelconque de cet axe de rotation $\left(\Delta \right)$ et utilisons l'explicitation du vecteur moment cinétique classique relativiste ${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)$ du système par rapport à $A$ établie dans le paragraphe « complément, vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ » plus haut dans le chapitre à savoir

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)=$ $[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$», avec
«$H_i$ le projeté orthogonal de $M_i$ sur l'axe $\left(\Delta \right)$», «$r_i=H_i{M}_i$ la distance orthogonale de $M_i$ à $\left(\Delta \right)$» et
«${\gamma }_{M_i}(t)=$ $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_i$ à l'instant $t$ dans $ℛ$», puis

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation nous multiplions les deux membres de l'expression de ${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)$ scalairement par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$,

«${\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\{[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\overrightarrow{\Omega }(t)-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]\}\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$
                                                              $=[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\overrightarrow{\Omega }(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }-\bar{\Omega }(t)[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$»
                                             par distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle puis,

     Pour expliciter le moment cinétique scalaire relativiste du système discret de points matériels ${\left\{M_i\right\}}_{i=1\mathrm{..}N}$ en rotation nous remarquons la nullité du 2^ème terme du 2^ème membre due au fait que les deux facteurs vectoriels «$[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i\overline{A{H}_i}\overrightarrow{H_i{M}_i}(t)]$ et ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ sont $\perp$», le 1^er terme du 2^ème membre se simplifiant selon «$[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\overrightarrow{\Omega }(t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }=[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\bar{\Omega }(t)$» et le 1^er membre définissant le moment cinétique scalaire relativiste du système relativement à $\left(\Delta \right)$ «${\sigma }_{\Delta ,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)$ $={\overrightarrow{\sigma }}_{A,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\Delta }$ si $A\in \left(\Delta \right)$».

     Finalement le moment cinétique scalaire relativiste ${\sigma }_{\Delta ,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)$ du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe $\left(\Delta \right)$ fixe dans le référentiel $ℛ$ avec un vecteur rotation instantanée $\overrightarrow{\Omega }(t)=\bar{\Omega }(t){\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, moment évalué par rapport à l'axe $\left(\Delta \right)$ de rotation orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, s'écrit

«${\sigma }_{\Delta ,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},t)=[\sum _{i=1\mathrm{..}N}{\gamma }_{M_i}(t)m_i{r}_i^2]\bar{\Omega }(t)$» avec, à l'instant $t$ dans $ℛ$,
«${\gamma }_{M_i}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_i^2\Vert \overrightarrow{\Omega }(t){\Vert }^2}{c^2}}}$ le facteur de Lorentz du point $M_i$»,
«$r_i$ le rayon du cercle décrit par $M_i$» et «$\bar{\Omega }(t)$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\left(\Delta \right)$».