Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels

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Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
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Chapitre no 2
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe
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Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.

Sommaire

Rappel, 1ères notions de cinétique d'un système discret de points matériels : « masse », « centre d’inertie » et « vecteur résultante cinétique »[modifier | modifier le wikicode]

Masse d'un système discret (fermé) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     La masse (inerte) du système discret (fermé) de points matériels est le scalaire positif

[1] ;

     c'est la 1ère grandeur d'inertie introduite, elle caractérise le système discret (fermé) de points matériels elle est alors indépendante du référentiel spatio-temporel dans lequel ce système discret (fermé) évolue [2].

Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système discret (fermé) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Le centre d'inertie (C.D.I.) [3] du système discret (fermé) de points matériels est le « barycentre des positions instantanées des points matériels ayant pour cœfficient leur masse » [4] c.-à-d. le point tel que [5] ;

     avec point quelconque de l'espace, le vecteur [6] suit la relation [5] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [7] d'où et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

     Méthode de construction du barycentre d'un système de points matériels : utiliser autant que faire se peut la notion de barycentre partiel [8] et, pour déterminer chacun d'eux, choisir un des points du système d'origine comme point de référence c.-à-d. comme point voir la « méthode de construction du barycentre du système de trois points pondérés » sur l'exemple du « C.D.I. [9] de la molécule d'eau » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Remarque : Il est possible de réécrire l'une ou l'autre des expressions de à l'aide de la fonction vectorielle de Leibniz [10] associée à un système de points pondérés d'un espace affine de direction tous deux de dimension , «, on associe » définissant la fonction vectorielle de Leibniz [10] voir le paragraphe « notion de fonction vectorielle de Leibniz » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la fonction vectorielle de Leibniz [10] associée au système discret (fermé) de points matériels s'écrivant ici «» d'où la réécriture de la définition de et de l'expression de  :

dans laquelle [11] et
dans lesquelles [11].

Vecteur résultante cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système discret (fermé) de points matériels à l'instant dans le référentiel d'étude est la grandeur vectorielle

[12], [13] dans laquelle est le vecteur quantité de mouvement du point à l'instant dans ,
se réécrivant, en cinétique classique [14],
[12], [13] dans laquelle est le vecteur vitesse du point à l'instant dans .

     Lien avec le mouvement du C.D.I. [9] du système discret fermé de points matériels  :

en cinétique classique [14] [15], [16] avec
le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système à l'instant dans le référentiel .

     Conséquence : en cinétique classique [14], la résultante cinétique du système discret fermé de points matériels à l'instant dans le référentiel est la quantité de mouvement d'un point fictif

  • de mouvement identique, à tout instant, à celui du C.D.I. [9] du système fermé dans le référentiel et
  • de masse identique à c.-à-d. la masse du système fermé.

Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique relativiste, la résultante cinétique du système discret (fermé) de points matériels à l'instant dans le référentiel d'étude reste définie selon

[13] dans laquelle
est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point à l'instant dans ,
se réécrivant [13] dans laquelle
est le vecteur vitesse du point à l'instant dans et
le facteur de Lorentz [17] du point à l'instant dans .

     Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I. [9] d'un système discret fermé de points matériels en cinétique relativiste selon et
     Remarque : s'il est toujours possible de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon , il devient impossible, dans le cas général, de déduire, à partir du 2nd membre de la relation explicitant , «» c.-à-d. la résultante cinétique relativiste du système [18] et par suite
     Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre la résultante cinétique relativiste du système fermé à l'instant dans le référentiel et le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système fermé, au même instant, dans le même référentiel

     Cas d'un système discret fermé de points matériels en translation dans le référentiel  : tous les points matériels ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système fermé, ont même facteur de Lorentz [17] et par suite, ce dernier pouvant être factorisé dans la définition du vecteur résultante cinétique relativiste du système discret fermé de points matériels en translation selon dans laquelle d'où l'expression d'un lien entre le vecteur résultante cinétique relativiste d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier

[19], [20], [21] dans laquelle
est le facteur de Lorentz [17] du système en translation.

Vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point A[modifier | modifier le wikicode]

Définition du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : , le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à , est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile

Cas d’un système discret (fermé) de points matériels en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

     Dans un système discret fermé de points matériels en translation dans le référentiel d'étude , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [9] du système fermé , ils ont donc chacun, dans le cadre de la cinétique classique [25], pour vecteur quantité de mouvement et par suite
     le vecteur moment cinétique du système discret fermé par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , , on peut « factoriser vectoriellement par à droite » [26] d’où et on reconnaît dans le facteur de gauche du membre de droite «» soit ou encore [27] ;

     en choisissant le C.D.I. [9] du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit [28] ;

     dans le cas d’un système discret « quasi-quelconque » [29] de points matériels, le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I. [9] par la relation [30], on peut écrire, pour un système en translation,

[28] et
son cas particulier [28].

Complément, expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique relativiste, le moment cinétique du système discret (fermé) de points matériels à l'instant dans le référentiel d'étude évalué relativement au point origine reste défini selon

[24] dans laquelle
est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point à l'instant dans ,
se réécrivant [24] dans laquelle
est le vecteur vitesse du point à l'instant dans et
le facteur de Lorentz [17] du point à l'instant dans .

     Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I. [9] d'un système discret fermé de points matériels en cinétique relativiste selon et
     Remarque : s'il est toujours possible de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon , il devient impossible, dans le cas général, d'utiliser le 2nd membre de la relation explicitant pour simplifier l'expression «» c.-à-d. le moment cinétique relativiste du système [31] et par suite
     Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste du système fermé évalué au point origine à l'instant dans le référentiel et les grandeurs caractérisant le C.D.I. [9] du système fermé à savoir , au même instant, dans le même référentiel

     Cas d'un système discret fermé de points matériels en translation dans le référentiel  : tous les points matériels ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système fermé, ont même facteur de Lorentz [17] et par suite, en factorisant ce dernier dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé de points matériels en translation évalué en selon dans laquelle pour tout point d'où, par factorisation vectorielle à droite par [26], soit encore, par propriété du C.D.I. [9] du système fermé «», l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport au point origine «» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier ainsi que le vecteur positionnant son C.D.I. [9]

[32], [20], [33] dans laquelle
est le facteur de Lorentz [17] du système en translation ;

          en choisissant le C.D.I. [9] du système discret fermé de points matériels comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans , on en déduit [34] ;

          dans le cas d’un système discret « quelconque » [35] de points matériels en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation étant lié à sa masse , à son facteur de Lorentz [17] et à son vecteur vitesse de translation par la relation [36], on peut écrire, pour un système en translation,

[34] et
son cas particulier [34].

Changement d’origine de calcul du moment cinétique vectoriel d’un système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Formule de changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique, à l'instant , du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude par rapport au point origine étant la somme des vecteurs moment cinétique, au même instant, de chaque point matériel dans le même référentiel par rapport au même point origine et
     le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque point s’écrivant, avec nouvelle origine d'évaluation des moments vectoriels, selon « » [37], on obtient, en faisant la somme,
      ou, en faisant une « factorisation vectorielle par à gauche » [26] dans le 2ème terme du membre de droite et en reconnaissant dans le 1er terme du membre de droite le vecteur moment cinétique du système par rapport à ainsi que dans le 1er membre le vecteur moment cinétique du système par rapport à , on obtient « » soit enfin, en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «» dans le 2ème facteur du produit vectoriel du 2ème membre

«» [38].

Changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « fermé » de points matériels en cinétique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

     Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant , du système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d’étude suivant, dans le cadre de la cinétique classique [25] ou relativiste, la formule

«» [38], dans laquelle
sont le moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à
et la résultante cinétique du système ;

     dans le cadre de la cinétique classique [25] la résultante cinétique du système étant liée au vecteur vitesse de son C.D.I. [9] selon [16], son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique (vectoriel) du système donne

«» [28].

     Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. [9] du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels, le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2ème point origine suivra la relation

«» [39],

     Cas particulier : que l'on peut interpréter en remarquant que le 2ème terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du C.D.I. [9] considéré comme point fictif de masse et de quantité de mouvement à l'instant dans le référentiel par rapport à alors que le 1er terme du 2ème membre est le vecteur moment cinétique du système au même instant dans le même référentiel par rapport à

     Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système discret fermé de points matériels [39] par rapport à à l'instant dans le référentiel d’étude est la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à C.D.I. [9] du système au même instant dans et du vecteur moment cinétique de par rapport à au même instant dans ».

Complément, changement d’origine du calcul du vecteur moment cinétique d’un système discret « quelconque » de points matériels « en translation » en cinétique relativiste[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons vu au paragraphe précédent que le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant , du système discret « quelconque » [35] de points matériels dans le référentiel d’étude reste applicable en cinétique relativiste sous la forme

«» [38], dans laquelle
sont le moment cinétique (vectoriel) relativiste du système par rapport à
et la résultante cinétique relativiste du système mais

     si le mouvement du système discret « quelconque » [35] de points matériels n'est pas une translation, il n'y a, a priori, aucune simplification du vecteur résultante cinétique relativiste du système

     Cas d'un système discret « quelconque » [35] de points matériels en translation dans le référentiel d'étude  : tous les points matériels ayant même vecteur vitesse c.-à-d. le vecteur vitesse du C.D.I. [9] du système fermé, ont aussi même facteur de Lorentz [17] et par suite, nous avons déduit une expression simplifiée de dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre, cette expression étant

[19], [20], [21] dans laquelle
est le facteur de Lorentz [17] du système en translation ;

          le report de cette expression dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant , du système discret « quelconque » [35] de points matériels en translation dans le référentiel d’étude nous conduit à

«» [40].

     Cas particulier : Si on choisit le C.D.I. [9] du système comme 1er point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste d’un système discret (fermé) de points matériels en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué relativement à un 2ème point origine s'obtient par

«» [40],

     Cas particulier : que l'on peut interpréter en remarquant que le 2ème membre est le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. [9] considéré comme point fictif de masse et de quantité de mouvement relativiste à l'instant dans le référentiel par rapport à

Cas où le système discret de points matériels est en rotation autour d’un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ[modifier | modifier le wikicode]

Système discret fermé de points matériels {Mi, (mi)} en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Le système discret fermé de points matériels étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut, en cinétique classique [25], écrire le vecteur moment cinétique du point dans par rapport à sous la forme [41], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point  ; on en déduit donc ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,

 ;

     définissant le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation comme la grandeur scalaire « » exprimée en il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et

     repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu «» la base cylindro-polaire liée à étant notée ,

     le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

[42] ;

     le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de est donc la somme de deux termes,

  • le 1er «» porté par l'axe de rotation en étant à la vitesse angulaire et
  • le 2ème «» à l'axe de rotation en étant à la vitesse angulaire et tournant à la même vitesse angulaire que le système de points matériels

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : rappelons tout d'abord qu'un système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe est nécessairement un solide [43], il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie selon la « définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable) » [44] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ;
     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice [45] appelée matrice d'inertie du solide comme cela a été précisé dans le paragraphe « matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la matrice d'inertie symétrique étant rappelée ci-dessous :

 ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
          « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe »,
          « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe » et
          « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
          « produit d'inertie du solide dans le plan »,
          « produit d'inertie du solide dans le plan » et
          « produit d'inertie du solide dans le plan »,

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon  ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : choisissant le point origine de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe orienté par comme axe , les axes et respectivement orientés par et étant choisis à tels que la base soit orthonormée directe [46], la matrice d'inertie du solide se réécrit  ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut alors vérifier que la matrice colonne représentant le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel avec un vecteur rotation instantanée représenté par la matrice colonne s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante [47] ou soit finalement

 ;

     Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique précédemment déterminés directement à savoir

  • «» porté par l'axe de rotation et
  • « ou encore, après factorisation par , » à l'axe de rotation.

Complément, vecteur moment cinétique d’un système discret de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel étude dans le cadre de la cinétique relativiste, le point origine de calcul étant un point A de Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Comme cela a été établi dans le paragraphe « complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé de points matériels , à l'instant dans , évalué par rapport au point origine , se détermine selon

[24] dans laquelle
est le vecteur quantité de mouvement relativiste du point à l'instant dans ,
se réécrivant [24] dans laquelle
est le vecteur vitesse du point à l'instant dans et
le facteur de Lorentz [17] du point à l'instant dans  ;

     le système discret fermé de points matériels étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point quelconque de , on peut écrire le vecteur moment cinétique relativiste du point dans par rapport à sous la forme

[41],
avec centre de rotation de autour de , le rayon du cercle décrit par et
le facteur de Lorentz [17] du point à l'instant dans  ;

     et par suite en déduire le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé en rotation autour de l'axe fixe évalué par rapport au point origine quelconque sur l'axe,

ou
 ;

     comme en cinétique classique [25], le vecteur moment cinétique relativiste du système discret fermé en rotation autour de l'axe fixe évalué par rapport au point origine quelconque sur l'axe est la somme de deux termes

  • le 1er «» [48] porté par l'axe de rotation et
  • le 2ème «» à l'axe de rotation

     Choisissant le point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe orienté par comme axe , les axes et respectivement orientés par et étant choisis à tels que la base soit orthonormée directe [46], le point ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par , «», la base cylindro-polaire liée à étant , l'expression relativiste du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée dans , calculé par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

.

Complément, notion d'axes principaux d’inertie en cinétique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

     Pour tout , point origine de calcul de vecteur moment cinétique classique [25] du système discret fermé de points matériels en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude et passant par ,
     il existe au moins trois directions de l'axe de rotation , orthogonales entre elles, telles que

soit à l'axe de rotation du système c.-à-d. telles que
[49] avec le projeté orthogonal de sur ,

avec dans laquelle ,
définissant un axe principal d'inertie du système issu de [50],
étant le moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par .

     Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point quelconque, avec pour axe de rotation un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, soit au vecteur rotation instantanée , c.-à-d. qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point , ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine [51] mais

     Remarque : un axe quelconque peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points