Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques

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Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques
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Chapitre no 6
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
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Systèmes des forces extérieures et des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels, exemples[modifier | modifier le wikicode]

Bien que nous devrions parler de « vecteur force », l'usage suggère de dire simplement « force ».

Distinction entre extérieur et intérieur à un système de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Un système de points matériels fermé étant limité par sa surface latérale et un ouvert par la surface de contrôle le définissant, nous observons que dans les deux cas, la surface latérale ou de contrôle sépare l'espace en deux demi-espaces définissant l'intérieur et l'extérieur au système de points matériels ;

     toutefois il y a une « différence fondamentale entre systèmes fermé et ouvert en ce qui concernent les définitions d'intérieur et d'extérieur »,

  • pour un système de points matériels fermé, « l'extérieur et l'intérieur ne changent pas avec le temps » alors que
  • pour un système de points matériels ouvert, « ce qui est à l'extérieur peut passer à l'intérieur et vice-versa »

Système des forces extérieures et système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Système des forces extérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Une force extérieure est une force que l'extérieur du système exerce sur un point du système,
     le système des forces extérieures est défini par l'ensemble des forces que chaque système extérieur au système de points matériels exerce sur chaque point de .

Système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Une force intérieure est une force qu'un point du système exerce sur un autre point du système,
     le système de forces intérieures est défini par l'ensemble des forces [1] que chaque point de exerce sur chaque point de .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Exemples de forces extérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont des forces de champ « poids, forces électriques » dans la mesure où la source de « champ de pesanteur ou de champ électrique » est extérieure au système de points matériels [2] ou
     Ce sont des forces de contact [3] comme « la tension d'un ressort, la réaction d'un fluide, la réaction d'un support solide ou la tension d'un fil » [4].

Exemples de forces intérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont des forces d'interaction entre les différentes parties du système de points matériels, elles sont principalement d'origine électrostatique « forces d'attraction maintenant la cohésion du système » ou « forces de répulsion si le système est très fortement comprimé » mais elles peuvent être également
     Ce sont des forces de contact entre deux parties du système comme celles précédemment citées parmi les forces extérieures exemple de la « tension d'un ressort sur un solide » et de l’« action que le solide exerce sur le ressort » si ressort et solide sont tous deux dans le système de points matériels .

Définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du principe des actions réciproques et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Cet énoncé est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton [5].
Début d’un théorème
Fin du théorème

Commentaires sur le principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

     En « dynamique newtonienne » [8] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également,
         En « dynamique newtonienne » le principe est applicable dans n'importe quel référentiel [9] ;

     la 2ème relation «» peut s'écrire encore, en utilisant la 1ère relation, «»,
     la 2ème relation «» ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun ,
     la 2ème relation «» la 1ère relation «» ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme ;

     une des forces étant appelée arbitrairement « action », l'autre est appelée « réaction ».

Résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé est définie selon

«».

1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Une 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne » soit

«»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé [10].

     Démonstration : on peut coupler les forces intérieures selon et , se réécrit alors «» et
     Démonstration : d’après la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a
     Démonstration : d’où la propriété énoncée «».

     Remarques : pour un instant fixé, le principe des actions réciproques est applicable en dynamique newtonienne à un système de points matériels ouvert puisqu'il n'est alors pas envisagé d'entrée et de sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, on peut donc affirmer qu'à cet instant fixé,  ;

     Remarques : toujours en dynamique newtonienne, dès lors qu'on fait varier l'instant initialement fixé, il peut y avoir entrée et sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, ceci entraînant une modification de la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert [11] dès lors que l'on considère l'instant d'étude non figé, par exemple,

     Remarques : toujours en dynamique newtonienne, s'il y a sortie du point pendant , cela élimine initialement présent dans mais cette somme étant nulle à l'instant , cela ne change pas le reste de la somme non éliminée dans qui demeure nulle à l'instant  ;

     Remarques : toujours en dynamique newtonienne, s'il y a entrée du point pendant , cela ajoute initialement absent dans mais cette somme étant nulle à l'instant et s'ajoutant à qui est initialement nulle, on en déduit  ;

     Remarques : en conclusion, si la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert change avec l'instant considéré, la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels ouvert en dynamique newtonienne » reste applicable pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude .

     Remarques : Qu'en est-il en dynamique relativiste ? Dans la mesure où le choix du référentiel d'étude de la dynamique relativiste n'influe pas sur l'applicabilité du principe des actions réciproques alors la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système de points matériels fermé » reste applicable en dynamique relativiste [12].

Bilan de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Il y a deux types de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé :

1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de champ[modifier | modifier le wikicode]

     Le 1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des forces de champ » comme :

  • le poids du système appliqué au « centre de gravité » [13], étant le champ de pesanteur terrestre au lieu envisagé,
  • la force électrique appliqué au « centre de charge » [14], dans l'hypothèse où les points matériels seraient chargés et soumis à un champ électrique localement uniforme sur la répartition des points matériels chargés,

2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de contact[modifier | modifier le wikicode]

     Le 2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des forces de contact », pour déterminer ces dernières il suffit de réfléchir à ce qui est au contact du système de points matériels fermé, voir les exemples exposés ci-après.

1er exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un ressort, cas du ressort idéal[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le paragraphe traitant de « l'action d'un ressort idéal sur l'objet avec lequel il est en contact, cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ; on rappelle les grandes lignes ci-dessous :

     on considère systématiquement [15] un ressort « idéal » c.-à-d. de « masse négligeable » et « parfaitement élastique », sa longueur à vide étant et sa raideur [16], il suit la loi de Hooke [17] à savoir

la « force que le ressort exerce sur le système de points matériels fermé indéformable au point de liaison » s’écrit
«» avec
le vecteur unitaire orientant l’axe du ressort de vers [18] et
« l'allongement du ressort », étant la longueur à charge du ressort.

2ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide, résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique[modifier | modifier le wikicode]

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient tout d'abord de faire la distinction entre :

  • forces statiques qui existent par simple contact du fluide et du système de points matériels fermé, que ce dernier soit immobile ou en mouvement relativement au fluide ; ce sont des forces de pression dont un exemple est la « poussée d'Archimède » [19], [20] quand le système est entièrement immergé dans le fluide la poussée d'Archimède est une force verticale ascendante s’exerçant sur le système de points matériels fermé, indéformable [20] et entièrement immergé dans le fluide, égale au poids de « fluide déplacé » [21] et appliquée au « centre de poussée » c.-à-d. le C.D.I. [22] du « fluide déplacé » [21], [23], voir le paragraphe « énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » et
  • forces dynamiques qui nécessitent un « mouvement du système de points matériels fermé relativement au fluide » [24] ; ci-dessous nous nous intéresserons à ces « forces de frottement fluide » que nous noterons , étant le point de contact du fluide avec le système de points matériels.

En complément, forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système n'ayant pas d'axe de symétrie ou, s'il en a un, son vecteur vitesse n'étant pas porté par l'axe[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation de vecteur vitesse relativement au fluide immobile
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable n'admet pas d'axe de symétrie de la répartition des masses ou
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable en admet un mais avec un vecteur vitesse de translation non porté par cet axe,

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide exercées sur notée
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide exercées sur n'est pas colinéaire à  ; on décompose alors

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction de [25], la composante obtenue étant appelée « traînée » toujours de sens opposé à et
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction verticale [26], la composante obtenue étant appelée « portance », celle-ci étant orientée
          Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction verticale, la composante vers le haut exemple : aile d'avion [27] ou
          Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction verticale, la composante vers le bas exemple : aileron de camion ou de voiture de course de [28].

Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable admet un axe de symétrie de la répartition des masses et
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable est en mouvement de translation relativement au fluide immobile avec un vecteur vitesse porté par cet axe,
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide exercées sur notée
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide est colinéaire et dans le sens contraire au vecteur vitesse ,
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation dépendant toutefois de la norme du vecteur vitesse
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation avec les propriétés communes suivantes :

     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que la norme du vecteur vitesse de translation ,
     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que « la dimension transversale de » [29],
     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que « la viscosité dynamique du fluide » [30] et
     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que « la densité du fluide » [31].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le domaine des faibles vitesses [32] de translation du système de points matériels fermé indéformable relativement au fluide immobile [33], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur encore appelée « résistance du fluide » est de forme linéaire à savoir

«» où
est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide
ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » [34].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le domaine des vitesses moyennes [32], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur encore appelée « résistance du fluide » est de forme quadratique à savoir

«» où
est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que avec et
est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide
ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » [35] ;
la résistance du fluide s'écrit encore «» avec «» [36].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le domaine des vitesses élevées [32], [37], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur encore appelée « résistance du fluide » est de forme variant plus rapidement que quadratiquement à savoir

«» où
est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que avec et
« est une fonction de plus rapidement que » [38]
dépendant de la viscosité dynamique et de la densité du fluide ainsi que
« de la forme et des dimensions du système de points matériels ».

En complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide[modifier | modifier le wikicode]

     Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide
     Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » [39] et défini selon «» avec
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la norme du vecteur vitesse de translation du système »,
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « une longueur caractéristique de la dimension transversale du système » et
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la viscosité cinématique du fluide », ou
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » et défini selon «» avec
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la norme du vecteur vitesse de translation du système »,
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « une longueur caractéristique de la dimension transversale du système »,
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la masse volumique du fluide » et
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la viscosité dynamique du fluide ».

     Suivant la valeur du nombre de Reynolds [39] il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme
          Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide linéaire si , l'écoulement du fluide autour de étant laminaire ou
          Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide quadratique si , l'écoulement du fluide autour de étant turbulent.

     Remarques : Que choisir si  ? En fait on pourrait considérer variant comme avec compris entre et ,
     Remarques : Que choisir si  ? En fait on pourrait considérer variant comme avec d'autant plus proche de que le nombre de Reynolds [39] est grand mais
     Remarques : Que choisir si  ? pour éviter une trop grande complication on choisira pour et pour le restant de l'intervalle en étant conscient de commettre une erreur [40].

     Remarques : Que choisir si  ? On pourrait considérer variant comme avec supérieur à et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds [39] est grand mais
     Remarques : Que choisir si  ? pour éviter une trop grande complication on choisira pour restant de l'ordre de quelques unités en étant conscient de commettre une erreur [40] et
     Remarques : Que choisir si  ? si la comparaison au résultat expérimental n'est pas satisfaisante ou pourra essayer .

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une boule , de rayon , en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse
     On considère une boule , se déplaçant dans l'air pris dans les conditions de température et de pression  ;
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de dans les conditions précédentes de température et de pression
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'air «» [41] ainsi que
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique « dans ces conditions de température et de pression » donnant
  On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de l'air «» [42],
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     On considère une boule , le nombre de Reynolds [39] de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'air s'écrivant «»,
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire si «» correspondant à une vitesse « en » soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon [43], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est lent mais réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon [44], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ;
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique si «» correspondant à « en » [45] soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon [43], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45] tout à fait réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon [44], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45] ce qui est réalisable [46].

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'air sinon elle doit raisonnablement être quadratique.

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'eau[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une boule , de rayon , en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse se déplaçant dans l'eau ;
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de l'eau soit linéaire ou quadratique
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'eau «» [47] ainsi que
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «» donnant
  On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de l'eau «» [42],
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     On considère une boule , le nombre de Reynolds [39] de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'eau s'écrivant «»,
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire si «» correspondant à une vitesse « en » soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon [43], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est très lent mais réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon [44], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon , «» beaucoup trop lent pour être réalisable ;
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique si «» correspondant à « en » [45] soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon [43], « en » [45]
      On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon , ou «» [45] tout à fait réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon [44], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45] ce qui est réalisable en étant toutefois un peu faible voire très faible [48].

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'eau,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'eau choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'eau,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'eau choisie peut être linéaire si l'objet est très lent,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'eau sinon elle doit raisonnablement être quadratique.

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans la glycérine[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une boule , de rayon , en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse se déplaçant dans la glycérine ;
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de la glycérine soit linéaire ou quadratique
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de la glycérine «[49] ainsi que
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «» donnant
  On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de glycérine «[50],
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     On considère une boule , le nombre de Reynolds [39] de la boule en translation rectiligne uniforme dans la glycérine s'écrivant «»,
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire si «» correspondant à une vitesse « en » soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon [43], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon , «» réalisable même si les objets de taille millimétrique se déplacent usuellement beaucoup plus rapidement
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon [44], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est très lent mais néanmoins réalisable même si la vitesse reste « escargotesque » [51] ;
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique si «» correspondant à « en » [45] soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon [43], «
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , « en » [45]
      On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , ou «» [45]
             On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , « ce qui est réalisable [52]
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon [44], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45]
             On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , « ce qui est réalisable.

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans la glycérine,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine choisie peut certes être linéaire pour un objet de vitesse « escargotesque » [51],
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine mais, plus vraisemblablement, elle doit être quadratique,

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans la glycérine,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine choisie peut encore linéaire aux faibles vitesses,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine mais elle doit raisonnablement être quadratique.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

     L'étude précédente nous montre qu'une forme linéaire de résistance de fluide est rare car nécessitant, le plus souvent, des vitesses trop faibles, à l'exception de fluide très visqueux comme la glycérine, il est donc vraisemblable que la résistance du fluide soit quadratique [53].

3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

Notions de liaisons unilatérale ou bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

     Nous supposons que le système de points matériels fermé indéformable est en contact avec un ou deux supports solides,
     Nous supposons suivant le nombre de supports en contact « un » ou « deux » est dit en liaisons « unilatérale » ou « bilatérale » soit, plus précisément :

Liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison unilatérale avec un support solide , position en contact et position hors contact

     Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable est au contact de la surface d'un support solide et
     Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface en général l'extérieur du support [54], on dit qu'il est en « liaison unilatérale »
     Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface voir figure ci-contre à droite ;

     le support solide exerce en tout point de contact avec le système de points matériels fermé indéformable
     le support solide exerce une force empêchant ce dernier de traverser la surface de contact,
     la résultante des forces exercées par sur est appelée « réaction de sur » et notée ou plus simplement
     la résultante des forces exercées par sur est appelée « réaction de sur » et notée quand il n'y a pas d'ambiguïté ;

     quand il y a contact effectif entre et , « est dirigée vers l'extérieur de si le domaine non interdit de est l'extérieur de » [55] et
     quand il n'y a plus contact entre et , «»

voir figure ci-contre à droite.

Liaison bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison bilatérale avec deux supports solides de surface en regard et ,
position en contact sur et
{position en contact sur

     Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable est au contact des surfaces voisines et de deux supports solides et
     Lorsqu'il ne peut occuper que les positions situées entre ces deux surfaces, on dit qu'il est en « liaison bilatérale » voir figure ci-contre à gauche ;

     pratiquement le contact est assuré avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides et , mais pas les deux simultanément [56],
     pratiquement quand l'un d'entre eux ou est en contact effectif avec le système de points matériels fermé indéformable
     pratiquement quand l'un d'entre eux ou exerce, en tout point de ce contact, une force empêchant de traverser la surface de contact,
     pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces exercées par l'une ou l'autre des surfaces des supports solides ou
     pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de sur » [57] et notée ou plus simplement
          pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de sur » et notée quand il n'y a pas d'ambiguïté ;

     « est donc dans un sens ou un autre suivant que le contact effectif est avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides ou » [58] :

     si le contact effectif de est avec [58], « est dirigé vers » voir figure ci-contre à gauche et

     si le contact effectif de est avec [58], « est dirigé vers » voir figure ci-contre à gauche.

Composante normale de réaction et force de frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un vecteur unitaire normal à la surface commune du ou des supports solides[59] défini au « point d’application de la réaction de sur » [60],
     Soit son sens est choisi usuellement, « en cas de liaison unilatérale, vers l'extérieur du support solide de surface si le domaine non interdit de est l'extérieur de [55] » et
     Soit son sens est choisi arbitrairement « en cas de liaison bilatérale » ;

     nous notons « la projection de sur la normale » soit «» où est appelée « composante normale de la réaction »
     nous notons « la projection de sur la normale » soit «» où laquelle est [61] pour une liaison unilatérale et de valeur réelle quelconque pour une liaison bilatérale [62] et
     nous notons « la projection de sur le plan tangent à au point de contact » soit «» [63] est appelée « force de frottement solide » [64] ;

     finalement «» avec « en liaison unilatérale et quelconque en liaison bilatérale ».

Notions de liaisons « idéale » (ou sans frottement) et « non idéale » (ou avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

On peut encore remplacer « liaison idéale » par « liaison parfaite » et          
On peut encore remplacer « liaison non idéale » par « liaison non parfaite ».
Ci-dessous on utilise la définition de la « puissance d'une force » à voir au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     La puissance développée par la réaction du support sur le système de points matériels fermé indéformable dans un référentiel lié à s'écrivant «»,
     La puissance développée par la réaction du support sur le système de points matériels fermé indéformable étant en translation de vecteur vitesse relativement à ,
     La puissance développée par la réaction se réécrit, en utilisant la décomposition de précédemment introduite [65], «»,
          La puissance développée par la réaction se réécrit, en utilisant la décomposition de précédemment introduite le vecteur vitesse étant nécessairement dans le plan tangent à ,
     La puissance développée par la réaction se réécrit, «» [66] ; on distingue alors deux types de liaisons :

Liaison idéale (ou sans frottement)[modifier | modifier le wikicode]

     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison idéaleou sans frottement» avec la surface du ou des supports solides si «» [67] ;

la réaction de la surface sur le système est donc « toujoursà la surface» du ou des supports solides.

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable est en mouvement de translation relativement au référentiel lié à ,
     Dans le cas où il est équivalent de définir la liaison de avec la surface du ou des supports solides comme « idéaleou sans frottement» si «».

Liaison non idéale (ou avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéaleou avec frottement» avec la surface du ou des supports solides si,
     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéaleen envisageant toute situation de repos de par rapport à , « il y en a au moins une où » et
     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéaledans tout état de translation de par rapport à , « la force de frottement solide est toujours » ;

     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéalela réaction de la surface sur le système est donc telle que
     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéale la réaction il existe « au moins un cas de repos de relativement à à » [68] et
     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéale la réaction dans l'hypothèse de translation de par rapport à ,
  Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison non idéale la réaction dans l'hypothèse de translation de « la réaction de sur est toujours à ».

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable est en mouvement de translation relativement au référentiel lié à ,
     Dans le cas où il est équivalent de définir la liaison de avec la surface du ou des supports solides comme « non idéaleou avec frottement» si «».

Expressions empiriques des lois de frottement « solide » de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

lois expérimentales s’appliquant à une liaison « non idéale » quelle soit unilatérale ou bilatérale, lois dites « de Coulomb » [69] en hommage à ce dernier.

     En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre et , indispensables dans certaines situations sans frottements, nous ne pourrions pas marcher sur Terre mais
     En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre et , indésirables dans d’autres ;

     pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire d'avoir des surfaces très polies comme des surfaces verglacées ou et
     pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre une « couche de fluide coussin d’air ou film d’huile entre et » [70],
     pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre ceci entraînant une « importante des forces de frottement solide » [71],
     pour éliminer les frottements naturels si tel est le cas, il est nécessaire de mettre il devient légitime de négliger les frottements initialement solides c.-à-d. de considérer la liaison comme idéale.

     Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer la situation de « repos » de sur le ou les supports solides de surface dans le référentiel lié à cette dernière
     Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer de celle du « mouvement de translation » de sur le ou les supports solides de surface dans le référentiel lié à
     Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer pour énoncer les lois empiriques de frottement solide de Coulomb [69] :

Loi de frottement « solide » sans glissement de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de profil d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface , situation de repos malgré une force tendant à faire glisser le système, propriété de la réaction par rapport à la normale ainsi que de la force de frottement solide

      est au repos sur le ou les supports solides de surface dans le référentiel lié à cette dernière a priori « présence de force de frottement solide » [72] avec absence de glissement voir schéma ci-contre où la liaison est unilatérale [73] ;

     si une force tend à faire glisser sur suivant choix du vecteur unitaire tangentiel dans le « sens de la force qui pourrait créer le déplacement » c.-à-d. le « sens de » ou encore le « sens du mouvement de glissement susceptible de se produire » [74],

     si une force tend à faire glisser sur suivant le support solide [75] réagit en exerçant sur une force de frottement solide s'opposant à la mise en mouvement de sur c.-à-d. de même direction et de sens contraire à  ;

     sur l'exemple ci-contre, la force tendant à déplacer est exercée vers la gauche la création, de la part de , d'une force de frottement solide orientée vers la droite ;

     sur l'exemple ci-contre, s'il n'y a pas glissement, ,
     sur l'exemple ci-contre, si on fait , la norme de la force de frottement solide pour maintenir le repos mais ne pouvant indéfiniment, on observe qu'il existe une valeur de à partir de laquelle le glissement s'amorcera ;

     sur l'exemple ci-contre, de même la composante normale de la réaction s’oppose à la pénétration de dans , or
     sur l'exemple ci-contre, de même la force pressante de sur [76] s'exerçant normalement en absence de pénétration
     sur l'exemple ci-contre, de même et si la force tangentielle varie sans modifier la force pressante de direction normale [77], en absence de pénétration reste applicable la norme de la composante normale de la réaction reste une constante indépendante de  ;

     sur l'exemple ci-contre, en résumé, tant que ne glisse pas sur , la de sans modifier s'accompagne d'une de à constant c.-à-d.
     sur l'exemple ci-contre, en résumé, tant que ne glisse pas sur , la de sans modifier s'accompagne d'une de l'inclinaison de relativement à la normale ;

Schéma de perspective d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface , situation de repos malgré une force tendant à faire glisser le système, propriété de la réaction relativement au cône limite de frottement défini au point de contact

     sur l'exemple ci-contre, la « valeur maximale de pour laquelle le non glissement est maintenu », définit un « angle maximal d’inclinaison de par rapport à la normale pour qu'il n'y ait pas glissement » ; cet angle maximal d'inclinaison est noté et appelé « angle limite de frottementsolide» [78] ;

     sur l'exemple ci-contre, on définit aussi le « cône limite de frottementsolide» au point de contact [79], comme le « cône de révolution, de sommet , d’axe normal à en et de demi angle au sommet » voir schéma ci-contre ;

     sur l'exemple ci-contre, la condition de non glissement s'énonce alors selon :

« tant qu'il n'y a pas glissement de sur [75], la réaction reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement » ;

     sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement
     sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, « ssi avec l'angle non orienté entre et »
     sur l'exemple ci-contre, d'après le schéma précédent ci-dessus à droite, ce qui est une 2nde écriture de la condition de non glissement [80] ;

     sur l'exemple ci-contre, on en déduit encore, avec «» et en introduisant le « cœfficient de frottement solide » [81],
     sur l'exemple ci-contre, on en déduit encore, que la condition de non glissement se réécrit «» et au final

la loi de frottement « solide » sans glissement de Coulomb [69] s'énonce selon
«» avec « le cœfficient de frottement solide entre et [75] ».

Loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de perspective d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface , situation de glissement du système sur la surface du support solide due à une force , propriété de la réaction relativement au cône limite de frottement défini au point de contact
Schéma de profil d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface , situation de glissement du système sur la surface du support solide due à une force , propriété de la réaction par rapport à la normale ainsi que de la force de frottement solide

     Si une force tend à faire glisser sur le ou les supports solides de surface dans le référentiel lié à cette dernière suivant , le support solide [75] réagit en exerçant sur une force de frottement solide s'opposant à sa mise en mouvement c.-à-d. de même direction et de sens contraire à dernier schéma dans « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb » plus haut dans ce chapitre et

     Si une force tend à faire glisser si dépasse la valeur maximale de non glissement , le système se met à glisser sur [75] dans la direction et le sens de qui sont aussi la direction et le sens de , le mouvement hypothétique devenant ainsi réel avec un vecteur vitesse dépendant de l'instant repéré à partir du début du glissement ;

     Si une force tend à faire glisser pendant le temps du glissement de sur [75], la force de frottement solide garde la direction de et le sens opposé à celui de cette dernière a pour direction celle de et pour sens le sens opposé à , elle s'oppose donc au mouvement de sur [75] dans le référentiel lié aux supports solides ; reste à évaluer la norme de la force de frottement solide , on vérifie alors expérimentalement que celle-ci garde la valeur qu'elle a prise quand le glissement a démarré ;

     Si une force tend à faire glisser la condition de glissement sur [76] peut se traduire d'une 1ère façon selon :

« tant qu'il y a glissement de sur [76], la réaction reste sur le cône limite de frottement » voir schéma ci-contre ;

           Si une force tend à faire glisser pendant le temps du glissement de sur , la force pressante de sur [76] s'exerçant normalement reste de norme constante [82], en absence de pénétration et par suite, la norme de la composante normale de la réaction reste une constante indépendante de  ;

     Si une force tend à faire glisser d'après le schéma ci-dessous à droite [83], reste sur le cône limite de frottement
           Si une force tend à faire glisser d'après le schéma ci-dessous à droite, « ssi avec l'angle non orienté entre et »
           Si une force tend à faire glisser d'après le schéma ci-dessous à droite, ce qui est une 2nde écriture de la condition de glissement [84] ;

     Si une force tend à faire glisser on en déduit, avec «» et le « cœfficient de frottement solide» [81],
     Si une force tend à faire glisser on en déduit, que la condition de glissement se réécrit «»

d'où la loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb [69] s'énonce selon
«» avec « le cœfficient de frottement solide entre et [75] »,
ayant pour direction celle de et pour sens le sens opposé à .

     Remarques : on observe que, pendant le glissement du système de points matériels fermé indéformable sur le ou les supports solides de surface , reste constante quelle que soit la norme de la force à condition que la norme de la composante normale de la réaction soit constante, cette dernière exigence nécessitant que la norme de la force pressante de sur [76], à savoir le soit [85].

     Remarques : En fait le cœfficient de frottement défini comme le rapport de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction quand il y a glissement est légèrement de la valeur maximale du rapport de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction pour qu'il n'y ait pas glissement, le 1er étant légèrement au 2nd mais dans la pratique on ne fait pas la différence ;

     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant « cœfficient de frottement dynamique » le 1er et
     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant « cœfficient de frottement statique » le 2nd
     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant avec «» ;

     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction la condition de non glissement s'écrit alors «» et

     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction la condition de glissement s'écrit alors «» qui est alors «» ;

     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. il faut aussi faire la distinction entre angles limites de frottement dynamique et statique avec «» tout comme
     Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. il faut aussi faire la distinction entre cônes limites de frottement dynamique et statique, le 1er étant d'angle au sommet à celui du 2nd

     Puissance développée par la réactiondu support solide[75] sur le systèmelors du glissement de ce dernier sur la surface du 1er :
     Puissance développée par la réactionsachant que «» [86] et que « est de même direction que mais de sens opposé », on en déduit «» puis,

     Puissance développée par la réactionsachant que «» loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb [69] il en découle «» avec
     Puissance développée par la réactionsachant que « la vitesse instantanée de glissement de sur [75] ».

4ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil idéal[modifier | modifier le wikicode]

Notion de fil idéal[modifier | modifier le wikicode]

     Un fil est dit « idéal » si sa masse peut être négligée relativement aux autres masses et si sa longueur est considérée comme constante ;

un fil « idéal » est donc « sans masse et inextensible ».

Liaison d'un système de points matériels fermé à un fil idéal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de liaison d'un système de points matériels fermé, indéformable, avec un fil idéal , libre entre ses deux extrémités et tendu par action sur son extrémité non liée au système , par une force

     Supposons un système de points matériels fermé, indéformable et attaché en à une extrémité d'un fil idéal , ce fil étant libre entre ses deux extrémités et tendu par action sur l'autre extrémité non attachée au système d'une force voir schéma ci-contre ;

     on constate que le fil est rectiligne de direction identique à celle de la force et

     on constate qu'il exerce une force sur notée de support « la direction du fil en » [87],
     on constate qu'il exerce une force sur notée de sens « de vers » [88] et
     on constate qu'il exerce une force sur notée de norme « non nulle dans la mesure où le fil est tendu » [89], [90] ;

     en appelant [91] le vecteur unitaire orientant le fil en lié à vers , on peut écrire «»
           en appelant le vecteur unitaire orientant le fil en lié à vers , on peut écrire avec «» [92] appelé
           en appelant le vecteur unitaire orientant le fil en lié à vers , on peut écrire « tension du fil en » [93].

Fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition de la tension d'un fil idéal , libre entre ses deux extrémités

     La cohésion d'un fil idéal , libre entre ses deux extrémités, suppose qu'un élément de longueur situé en n'importe quel point du fil, subit de la part du reste du fil deux forces notées respectivement sur le schéma ci-contre et , telles que la r.f.d.n. [94] du point [95] appliquée à l'« élément de longueur  » [96] détermine son mouvement ;

     compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse dans un champ de pesanteur il est donc également sans poids et
     compte-tenu du fait qu'il est libre entre ses deux extrémités,
     compte-tenu l'élément de longueur n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, en appelant son vecteur accélération,
     compte-tenu l'élément de longueur n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, la r.f.d.n. [94] s'écrit
     compte-tenu l'élément de longueur n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, «» [95], [97] ou
     compte-tenu l'élément de longueur n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, « soit «» ;

     les deux forces ont donc une direction commune « celle du fil au point , centre de l'élément de longueur »,
     les deux forces ont donc une direction commune et appelant « le vecteur unitaire tangentiel au point orienté de la gauche vers la droite », il vient «» [98]
     les deux forces ont donc une direction commune et appelant « le vecteur unitaire tangentiel au point orienté de la gauche vers la droite », traduisant le sens des forces sur la direction de  ;

     les deux forces ont donc une direction commune avec la relation on en déduit «» c.-à-d. la même tension du fil aux deux extrémités de l'élément de longueur .

     En conclusion, un « fil idéal, tendu, libre entre ses deux extrémités, est rectiligne et la tension en ses différents points est la même » [99], [100].

Fil idéal tendu, au contact « parfait » d'un support solide entre ses deux extrémités, notion de tension en un point du fil reposant sur le support solide[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition de la tension d'un fil idéal au contact parfait d'un support solide entre ses deux extrémités

     Nous supposons un contact « parfait », c.-à-d. sans frottement solide, entre le fil idéal et le support solide sur l'exemple ci-contre le support solide est un cylindre de révolution d'axe passant par et au plan de la figure contenant le fil ;

     nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal au contact parfait du support solide,
     nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal tendu entre les deux points de contact extrêmes avec le support et [101],
     nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal suit la courbure du support entre ces deux points [102] et
     nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal que « la tension du fil y est constante » [103], [104] ;

      et s'exerçant sur l'élément de longueur n’ont pas la même direction, en effet,
      et l'élément de longueur suivant la courbure du support solide, ce dernier exerce sur lui, en absence de frottement solide, une réaction de direction à la surface du support et par suite,
      et l’application de la r.f.d.n. [94] du point appliquée à l'« élément de longueur  » [96] donne,
            et l’application de la r.f.d.n. compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse [105]
            et l’application de la r.f.d.n. «» [95], [97] ou
            et l’application de la r.f.d.n. «» d'où

«» et de direction différente.

     Remarques : Dans le cas du schéma ci-dessus c.-à-d. d'un support solide cylindrique de révolution, le support de la réaction , en absence de frottement solide, passe par [106],
     Remarques : Dans le cas du schéma ci-dessus c.-à-d. d'un support solide cylindrique de révolution, ce support étant localement axe de symétrie de la figure, il est donc licite d'induire une même symétrie entre et et par suite l'égalité de leur norme [104], cette valeur commune définissant alors la tension du fil au point centre de l'élément de longueur .

     Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide» [107], le fil « suit toujours la courbure du support entre les deux points de contact extrême » mais
            Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide», « la tension n’y est plus rigoureusement constante » car la réaction du support sur le fil au point
            Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide», « la tension n’y est plus rigoureusement constante » car la réaction est au support : en effet
            Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide», si le fil tend à glisser vers la droite parce qu'une force plus importante y est exercée
             Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide», si le fil tend à glisser vers la droite la réaction est inclinée vers la gauche correspondant à
             Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide», si le fil tend à glisser vers la droite une force de frottement solide [108] orientée vers la gauche [109], d'où
             Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est « avec frottement solide», si le fil tend à glisser vers la droite « est légèrement plus faible que » [110].

Protocole expérimental pour étudier une loi de force[modifier | modifier le wikicode]

     On veut étudier une « loi de force » [111] en statique ou en dynamique, dans chaque cas
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, il convient de préciser sans ambiguïté le système de points matériels fermé subissant la force que l'on cherche à étudier ainsi que
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, il convient de préciser sans ambiguïté le référentiel d’étude lequel, pour l'instant, doit être « galiléen » [112] ; dans un 1er temps,
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, faire le bilan des forces appliquées, en conservant uniquement les forces prédominantes parmi lesquelles doit figurer
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, faire le bilan des forces appliquées, en conservant la force dont on recherche la loi de force puis
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en statique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie et
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en statique, en déduire cette dernière en écrivant la condition d’équilibre c.-à-d. « la nullité de la somme des forces appliquées » ;
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en statique, éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en statique, éventuellement en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée ;
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en dynamique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie ainsi que
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en dynamique, déterminer le vecteur accélération de translation du système de points matériels fermé et
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en dynamique, déterminer la masse de ce dernier puis
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en dynamique, en déduire la loi de force cherchée en écrivant la « r.f.d.n. » [94], [113] c.-à-d. « l'égalité entre la somme des forces appliquées et le produit de la masse du système par le vecteur accélération de ce dernier » ;
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en dynamique, éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et
            On veut étudier une « loi de force » en statique ou en dynamique, en dynamique, éventuellement en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 La force décrivant l'action de sur est notée ou plus simplement et celle décrivant l'action de sur notée ou plus simplement avec l'objet subissant l'action en 1er indice et l'objet source de l'action en 2nd.
  2. Le poids sera donc une force extérieure si la Terre est extérieure au système de points matériels,
       la force électrique sera une force extérieure si la source du champ électrique c.-à-d. le système de charges l'engendrant est extérieure au système de points matériels
  3. Résultant du contact du système de points matériel avec son extérieur.
  4. Cela nécessite donc que le ressort, le fluide, le support solide ou le fil soient extérieurs au système de points matériel.
  5. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  6. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. Et, ce qui est équivalent à .
  8. C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».
  9. En dynamique relativiste, le principe des actions réciproques reste applicable dans la mesure où les forces utilisées sont invariantes par changement de référentiel et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique dans sa globalité.
  10. En particulier le système de points matériels fermé peut être déformable ou indéformable.
  11. Raison pour laquelle on limite l'étude, dans le cadre de la mécanique, aux systèmes fermés l'étude des systèmes ouverts étant plus délicate elle sera éventuellement considérée ponctuellement.
  12. Et il en serait de même de la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système de points matériels ouvert » pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude .
  13. C’est le nom historique du « point d'application de la résultante des poids de tous les points matériels », défini comme le « barycentre des positions des points matériels affectés de la norme de leur poids comme cœfficient » voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       le C.D.I. centre d’inertie étant le barycentre des positions des points matériels affectés de leur masse comme cœfficient, et le poids d’un point matériel étant à sa masse avec comme cœfficient de proportionnalité le champ de pesanteur terrestre du lieu considéré, le centre de gravité est confondu avec le C.D.I. centre d’inertie.
  14. Le « point d’application de la résultante des forces électriques s’exerçant sur tous les points matériels » est défini comme le « barycentre des positions des points matériels affectés de la norme de leur force électrique comme cœfficient » voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       la force électrique s’exerçant sur un point matériel étant à sa charge avec comme cœfficient de proportionnalité le champ électrique du lieu considéré, ce barycentre est aussi le « barycentre des positions des points matériels affectés de leur charge comme cœfficient » ce qui définit le « centre de charge ».
  15. Sauf avis contraire.
  16. La raideur du ressort étant définie comme le « cœfficient de proportionnalité permettant de passer de la valeur absolue de l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide à la norme de la tension de ce dernier », dans la mesure où on reste dans le domaine d'élasticité du ressort soit .
  17. Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  18. étant l’autre extrémité du ressort laquelle peut être mobile.
  19. Archimède de Syracuse (vers 287 av J.C. - vers 212 av J.C.) est un grand scientifique grec de Sicile, physicien, mathématicien et ingénieur ;
       en physique on lui doit des avancées dans le domaine de l'hydrostatique, de la mécanique statique et l'explication du principe du levier ;
       en mathématiques il a, entre autres, établi des formules pour calculer des volumes d'expansion tridimensionnelle de révolution, a obtenu un encadrement de avec une remarquable précision et a introduit la spirale d'Archimède d'équation polaire .
  20. 20,0 et 20,1 Le qualificatif « poussée d'Archimède » est réservé à la résultante des forces de pression exercée par le fluide sur le système de points matériels fermé quand ce dernier est indéformable, sinon il convient de parler de « résultante d'Archimède ».
  21. 21,0 et 21,1 C-à-d. le fluide qu'il faudrait mettre à la place du système de points matériels fermé et indéformable sans qu'aucune autre modification ne soit perceptible il s'agit d'une opération fictive consistant à retirer le système de points matériels fermé, indéformable et à ajouter du fluide occupant le même volume, cette opération fictive se faisant sans modification de pression en n'importe quel point du fluide initialement présent.
  22. Centre D'Inertie.
  23. Le C.D.I. centre d’inertie du « fluide déplacé » est a priori différent du C.D.I. centre d’inertie du système, ils ne sont confondus que si le système est homogène mais ce n’est en général pas le cas : par exemple un sous-marin contient de la tôle, de l'air, du matériel divers, de l'eau dans les ballastes et des humains, alors que le « fluide déplacé » ne contient que de l’eau d'où un centre de poussée différent du C.D.I. centre d’inertie du sous-marin.
  24. Ce mouvement est relatif, on peut aussi envisager le « système de points matériels fermé immobile » et le « fluide se déplaçant » comme dans l'exemple de l'action du vent sur un obstacle immobile.
  25. Parallèlement à la direction verticale.
  26. Parallèlement à la direction .
  27. De façon à permettre la compensation du poids de l'avion.
  28. De façon à assurer une bonne tenue de route, la portance « plaquant » le camion ou la voiture de course sur celle-ci.
  29. C.-à-d. la dimension de à son vecteur vitesse.
  30. La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux c.-à-d. qu'il « collera » au plan ;
       si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude car la couche inférieure à l'altitude tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement c.-à-d. la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard notée s'exprimant en , étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique du fluide par avec le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude , ceci impliquant que la viscosité dynamique du fluide s'exprime en encore appelé « poiseuille » de symbole , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ;
       c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite c.-à-d. les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ont la vitesse maximale
       on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée qui dépend de la viscosité dynamique du fluide ainsi que de sa masse volumique selon s'exprimant donc en mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole égal à  ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.
  31. Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée que dans l'atmosphère proche du sol.
  32. 32,0 32,1 et 32,2 Domaine qui nécessite d'être précisé et qui le sera dans le paragraphe « en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide » plus bas dans ce chapitre.
  33. On rappelle que doit avoir un axe de symétrie de répartition des masses d'une part et que son vecteur vitesse de translation doit être porté par cet axe d'autre part ;
       dans le cas où ces nécessités ne seraient pas réalisées, on décompose sur les directions verticale et du vecteur vitesse, la composante sur cette dernière direction définissant la « traînée » exercée par le fluide et c'est uniquement sur cette dernière qu'on peut appliquer ce qui est dit, ci-après, sur la résultante des forces de frottement.
  34. Par exemple si est de forme sphérique de rayon , la résultante des forces de frottement fluide linéaire est donnée par la formule de Stokes «» où est la viscosité dynamique du fluide s'exprimant en , le cœfficient égal à dépendant de la viscosité dynamique du fluide mais en apparence ne dépendant pas de sa densité ne pas oublier que cette formule n'est valable qu'à faible vitesse, et si celle-ci , la forme linéaire n'est plus applicable et la densité apparaît, de la dimension transversale de l'objet mais aussi de sa forme par le facteur  ;
       George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1ère démonstration de ce théorème fût donnée vingt ans plus tôt par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui on doit aussi, entre autres, le théorème portant son nom .
  35. Pour faire apparaître la dépendance précisée dans le texte on pose est la masse volumique du fluide, l'aire du « maître couple » de l'objet le maître couple étant la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan à et son cœfficient de traînée grandeur sans dimension caractéristique de l'aérodynamisme de l'objet lors de son déplacement, il est d'autant plus faible que l'objet a une forme aérodynamique semble en apparence indépendant de la viscosité dynamique du fluide ne pas oublier que cette formule n'est valable qu'à vitesse moyenne, et si celle-ci , la forme quadratique n'est plus applicable cédant la place à la forme linéaire dans laquelle la viscosité dynamique apparaît.
       Quelques valeurs de cœfficient de traînée suivant la forme de l'objet les commentaires entre parenthèses correspondant à un système de points matériels fermé immobile, le fluide se déplaçant en direction du système :
    • un corps est dit « profilé » s'il possède une surface d'attaque convexe à rayon de courbure faible et une surface de fuite plus anguleuse, c'est l'un des plus faibles cœfficients de traînée caractéristique d'un bon aérodynamisme,
    • la surface de front étant convexe, le fluide peut « couler » sur l'objet,
    • son vecteur vitesse étant suivant l'axe du cylindre, l'aérodynamisme est médiocre car la face de front est plane,
    • mauvais aérodynamisme mais c'est le but recherché, la surface de front est alors concave d'où une difficulté de l'air de pouvoir « couler » à l'intérieur du parachute pour se retrouver à l'extérieur.
  36. En effet .
  37. A priori pratiquement jamais considéré même si cette situation devrait être la plus fréquente, la raison de ceci étant que cela complique grandement la résolution d'un problème avec certes une amélioration des résultats mais ne justifiant pas cette complication.
  38. Comme avec et .
  39. 39,0 39,1 39,2 39,3 39,4 39,5 et 39,6 Osborne Reynolds (1842 - 1912) ingénieur et physicien irlandais ayant fait d'importantes contributions à l'hydrodynamique et la dynamique des fluides dont la plus importante fut l'introduction en du nombre qui porte son nom.
  40. 40,0 et 40,1 Ce qui nécessitera de vérifier le résultat théorique obtenu avec le résultat expérimental.
  41. Micropoiseuille.
  42. 42,0 et 42,1 Centistokes.
  43. 43,0 43,1 43,2 43,3 43,4 et 43,5 Correspondant à la dimension d'un grain de sable.
  44. 44,0 44,1 44,2 44,3 44,4 et 44,5 Correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même.
  45. 45,00 45,01 45,02 45,03 45,04 45,05 45,06 45,07 45,08 45,09 45,10 45,11 45,12 45,13 et 45,14 Le symbole est personnel, il signifie « appartenant approximativement à ».
  46. En effet est la vitesse d'un athlète pratiquant la marche.
  47. Millipoiseuille.
  48. En effet est la vitesse d'un nageur se déplaçant lentement dans l'eau.
  49. Poiseuille.
  50. Stokes.
  51. 51,0 et 51,1 Dont la signification serait « habituel pour un escargot » mais c'est inutile de chercher la définition dans un dictionnaire vous ne la trouverez pas !
  52. En restant dans le début de l'intervalle car si la vitesse proche de la fin d'intervalle est réalisable pour des petits météoroïdes leur vitesse dans l'espace se trouve, pour la plupart d'entre eux, entre et suivant la taille mais il est évidemment rare qu'ils se déplacent dans la glycérine !
  53. Si néanmoins on vous impose une résistance de fluide de forme linéaire pour traiter le problème posé avec un fluide modérément visqueux comme l'eau ou l'air, vous ne devez pas remettre en cause cette forme sauf si la question est posée en fin de problème et à condition que soit rappelée la définition du nombre de Reynolds et ses valeurs nécessaires pour avoir une forme linéaire ou quadratique.
  54. Mais ce peut aussi être l'intérieur.
  55. 55,0 et 55,1 Et vers l'intérieur de si le domaine non interdit de est l'intérieur de .
  56. Il y a « du jeu » à l'échelle mésoscopique permettant au système de points matériels fermé indéformable de se déplacer entre les deux surfaces et c’est « ce jeu » qui fait que le contact n'existe qu'avec une des deux surfaces à la fois.
  57. Pour éviter la lourdeur d'écriture on note la réunion .
  58. 58,0 58,1 et 58,2 Mais à l'échelle macroscopique il est a priori impossible de savoir sur quelle surface il y a contact.
  59. Dans le cas d'une liaison bilatérale, les deux surfaces en regard et étant proches l'une de l'autre sont considérées superposées et appelées d'un nom unique .
  60. Si est une boule, le contact est alors ponctuel et le point d’application est alors parfaitement défini ;
       si est un parallélépipède rectangle avec la surface du ou des supports solides plane, le contact est étendu et dans la mesure où les forces de réaction aux différents points de contact sont uniformes, le point d’application de la résultante est le centre de symétrie de la surface de contact centre de la base rectangulaire de par exemple si le contact est assuré sur toute la base ;
       c’est le point d’application de la résultante que nous appellerons par la suite « point de contact ».
  61. Nulle en cas d'absence de contact.
  62. ou suivant la surface qui est en contact effectif si est orienté vers , « est si est orienté vers », « sinon » ou
       nulle si « lévite » entre les deux surfaces en regard.
  63. Pour l'instant est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à défini au point de contact et choisi suivant la direction de la projection de sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite il sera défini plus précisément, voir les paragraphes « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb » plus loin dans ce chapitre.
  64. étant la « composante tangentielle de la réaction ».
  65. Voir le paragraphe « composante normale de réaction et force de frottement solide » plus haut dans ce chapitre.
  66. Ceci n'ayant de sens que si existe c.-à-d. s'il y a contact entre et , toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.
  67. Cette définition est valable dans le cas où est au repos mais aussi dans celui où il est en translation relativement au référentiel lié à .
  68. Dans l'exemple d’une caisse au repos sur un plan horizontal et en liaison non idéale avec ce dernier, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse « son poids » étant au plan, elle est en équilibre avec la réaction opposée au poids donc au plan, bien que la liaison ne soit pas idéale, mais
       si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver, elle est donc toujours en équilibre, il existe alors une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse et au plan.
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 et 69,4 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  70. Dans ce cas, en toute rigueur, l’ajout de fluide remplace les frottements de type solide par ceux de type fluide mais, si la vitesse n’est pas trop élevée, la force de frottement fluide est nettement plus faible que celle de frottement solide due à la rugosité.
  71. Ou le remplacement par des forces de frottement fluide nettement plus faibles que celles de frottement solide.
  72. Mais celle-ci peut accessoirement être nulle.
  73. Mais le caractère unilatéral n'est pas indispensable, les propriétés trouvées restent applicables sauf avis contraire dans le cas d'une liaison bilatérale.
  74. Jusqu'à présent le vecteur unitaire tangentiel était simplement choisi, de façon arbitraire, dans le plan tangent à au point de contact de en supposant que ce choix de direction correspondrait à celle de la projection de sur le plan tangent,
       maintenant ce choix est précisé dans le cas d'une situation de repos de sur .
  75. 75,00 75,01 75,02 75,03 75,04 75,05 75,06 75,07 75,08 et 75,09 Dans le cas d'une liaison bilatérale il s'agit du support solide sur lequel le contact avec est effectif c.-à-d. ou .
  76. 76,0 76,1 76,2 76,3 et 76,4 étant la composante tangentielle de la somme des forces extérieures exercées sur en dehors de la réaction de , en est la composante normale.
  77. Pour faire , il suffit d'ajouter une force tangentiellement et par conséquent cela ne modifie aucunement la composante normale de la somme des forces extérieures exercées sur en dehors de la réaction de .
  78. Il caractérise le frottement solide entre et , dépendant de la nature de chaque solide ainsi que de la plus ou moins grande rugosité de chacun d'entre pris individuellement mais aussi collectivement dans le cas d'une liaison bilatérale il faut remplacer par ou .
  79. étant le point d'application de la résultante des réactions de sur , dans le cas d'une liaison bilatérale il faut remplacer par ou , étant alors situé sur la surface de ces derniers à savoir ou .
  80. La 1ère étant .
  81. 81,0 et 81,1 est une grandeur sans dimension, ce n’est en aucun cas une force et en particulier ce n'est pas la force de frottement solide
  82. En effet seule la composante tangentielle de la somme des forces extérieures exercées sur en dehors de la réaction de , c.-à-d. , est modifiée, la composante normale reste donc constante.
  83. Ou ci-dessus à droite pour un schéma en perspective.
  84. Cette 2ème écriture de condition de glissement étant équivalente à .
  85. Ce qui peut aisément ne pas être le cas comme sur l'exemple d'un parallélépipède rectangle sur un plan incliné d'un angle par rapport à l'horizontale, angle d'inclinaison dont on fait varier la valeur :
       la force pressante normale étant la composante du poids du système sur cette normale vaut , sa norme variant avec ne reste donc pas constante et il en est de même de la norme de la composante normale de la réaction qui, valant , quand  ;
       la force tendant à faire glisser le système sur le plan incliné étant la composante du poids du système le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné ligne orientée selon l'altitude par c.-à-d. étant de norme quand  ;
       on peut alors affirmer qu'il existe une valeur à partir de laquelle le système se met à glisser sur le plan incliné, pour cette valeur, la norme de la force de frottement solide et celle de la composante normale de la réaction valant avec la condition de glissement soit finalement l'angle limite de frottement solide ;
       pour , la norme de la force de frottement solide vaut avec en effet ne s'enfonçant pas dans le plan incliné les composantes normales du poids de ce dernier et de la réaction du plan incliné se compensent d'où qui quand et comme qui quand , la résultante des forces appliquées le long de la ligne de plus grande pente du plan inclinée vaut de norme quand , c.-à-d. qu'on peut conclure à l'accélération du mouvement de glissement avec une augmentation de l'inclinaison du plan incliné
  86. Voir le paragraphe « notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement) » plus haut dans ce chapitre.
  87. C'est aussi, dans la mesure où le fil est libre entre ses deux extrémités, le support de .
  88. C'est aussi, dans la mesure où le fil est libre entre ses deux extrémités, le sens de .
  89. Si le fil n'était pas tendu, il n'exercerait aucune force sur le système .
  90. Nous verrons que, dans la mesure où le fil est libre entre ses deux extrémités, cette norme est constante le long du fil et qu'elle est égale à la norme de , voir le paragraphe « fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil » plus bas dans ce chapitre.
  91. Quand il n'y a pas d'ambiguïté on notera simplement .
  92. Si le fil est tendu, sinon on pourra écrire
  93. La tension du fil est donc la norme du vecteur force que le fil exerce sur le système de points matériels fermé, indéformable auquel il est relié.
  94. 94,0 94,1 94,2 et 94,3 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  95. 95,0 95,1 et 95,2 Voir le paragraphe « autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la r.f.d.n. (forme la plus usitée de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou r.f.d.n.) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  96. 96,0 et 96,1 Cet élément de longueur de petite dimension étant quasi-ponctuel, on suppose que la r.f.d.n. réservée aux points lui est applicable.
  97. 97,0 et 97,1 La masse de l'élément de longueur étant supposée nulle.
  98. Avec définissant la tension du fil à l'extrémité droite de l'élément de longueur et la tension du fil à l'extrémité gauche de l'élément de longueur .
  99. Le fait que la tension en les différents points d'un fil idéal de longueur non élémentaire soit constante s'obtient par transitivité en décomposant le fil en ses différents éléments de longueur successifs
  100. Il est indispensable que le fil soit sans masse pour que la tension du fil, libre entre ses deux extrémités, soit indépendante du point considéré, en effet :
       supposons une corde pesante qu'on laisse pendre, elle adopte une direction verticale à l’équilibre, l’extrémité inférieure n’étant relié à rien, la tension en ce point est nulle mais l'extrémité supérieure devant supporter tout le poids de la corde, la tension en ce point est égale au poids de cette dernière ; en conclusion la tension d'une corde pesante qu'on laisse pendre de son extrémité supérieure à son extrémité inférieure.
  101. Le schéma est fait avec un support cylindrique, les points de contact extrêmes y étant notés et , mais les conclusions sont indépendantes de la forme du support solide on a choisi un support cylindrique en pensant au cas usuel d'un fil passant dans la gorge d'une poulie.
  102. En fait le fil suit le plus court chemin entre ces deux points de contact extrêmes, le plus court chemin entre deux points définissant la géodésique passant par ces points :
       dans un espace euclidien la géodésique passant par deux points est la droite joignant ces deux points,
       dans un espace à deux dimensions comme la surface de la Terre, la géodésique passant par deux points est le grand cercle cercle centré au centre de la Terre passant par ces deux points ou,
       dans un espace à deux dimensions comme la surface d'un cylindre de révolution, la géodésique passant par deux points quelconques et de la surface latérale du cylindre est l'ellipse dont le centre est situé sur l'axe du cylindre, étant le milieu de avec et respectivement les projetés orthogonaux de et sur l'axe et, dans le cas où , la géodésique passant par ces deux points d'une même section droite est un cercle de centre ,
       etc. .
  103. La tension du fil au point , centre de l'élément de longueur , étant toujours la norme de la force que le fil de gauche ou de droite exerce sur l'élément de longueur
  104. 104,0 et 104,1 Nous admettons, pour l'instant, ou induisons dans la 1ère remarque, plus loin dans ce paragraphe, cette propriété car elle nécessite l'utilisation d'un théorème régissant les mouvements de rotation théorème du moment cinétique, voir le paragraphe « énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen » ainsi que son cas particulier « cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », nous reviendrons sur la démonstration à ce moment là.
  105. Dans un champ de pesanteur il est donc également sans poids.
  106. Car la réaction est, en absence de frottement solide, à la surface du cylindre de révolution.
  107. Ceci étant indispensable si on souhaite utiliser une corde pour faire tourner une poulie sur son axe, la corde ne devant évidemment pas glisser dans la gorge de la poulie, il est donc indispensable qu'il y ait des frottements solides.
  108. Projetée tangentielle de la réaction .
  109. Telle que avec la composante normale de et le cœfficient de frottement solide entre le support et le fil, voir le paragraphe « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb » plus haut dans ce chapitre.
  110. Mais pratiquement la différence entre les deux étant au maximum avec la composante normale de et le cœfficient de frottement solide entre le support et le fil,
       Mais pratiquement la différence entre les deux est le plus souvent négligée, ce qui permet de parler de tension du fil au contact du support solide sans préciser à quel endroit cette tension est définie.
  111. C.-à-d. déterminer de quels paramètres dépend la force ainsi que la façon dont elle en dépend.
  112. Voir le paragraphe « retour sur la recherche de référentiels galiléens » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » où un référentiel galiléen est défini comme un référentiel dans lequel la r.f.d.n. ou relation fondamentale de la dynamique newtonienne du point s'applique après avoir été introduit comme référentiel dans lequel le principe de l'inertie voir l'énoncé dans le paragraphe « principe de l'inertie » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » s'applique, voir le paragraphe « référentiels galiléens » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  113. A priori la r.f.d.n. ou relation fondamentale de la dynamique newtonienne ne s'applique qu'à un point matériel mais celle-ci se prolonge à un système de points matériels fermé en translation voir le paragraphe « énoncé du théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels (cadre de la dynamique newtonienne) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».