Leçons de niveau 14

Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels

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Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels
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Chapitre no 3
Leçon : Mécanique des systèmes de points
Chap. préc. :Problème à deux corps, réduction canonique
Chap. suiv. :Cinétique et dynamique d'un système continu de matière
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Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système discret de points matériels
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     Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes avec pour système discret de points matériels «» dans lequel «» [1] ; de plus si le contenu du système reste inchangé aucune entrée ou sortie de points matériels dans le système, le système est dit « fermé » sinon, il est dit « ouvert ».

Sommaire

Cinétique d'un système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas général le système discret de points matériels est déformable et

     dans le cas où il est fermé et « indéformable » il définit un « solide au sens de la mécanique».

Masse du système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     La masse du système discret de points matériels «» dans lequel «» [1] est une grandeur scalaire caractérisant l'inertie du système et définie selon

«».

     Remarque : Si le système est fermé, étant constant, la masse du système ne varie pas c.-à-d. «».

Centre d'inertie (ou centre de masse) du système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Le centre d'inertie ou centre de masse du système discret de points matériels «» dans lequel «» [1] est le barycentre des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant [2]

« tel que » est donc un point fictif.

     Propriété : avec représentant une position quelconque, « est tel que » [3] «» de par la définition est indépendant de .

     Propriété : Justification : introduisant la position dans la définition, on obtient «» ou «» «» ou encore «».

Résultante cinétique du système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique du système discret de points matériels «» dans lequel «» [1] en mouvement dans le référentiel , est notée, à l'instant , ou, en absence d'ambiguïté, et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant soit, en notant la quantité de mouvement du point dans le référentiel à cet instant ,

«» [4] ou encore, ;
«» [5], [6] avec
le vecteur vitesse du point à l'instant dans .

     Remarque : Si le système est fermé, c.-à-d. si , l'éventuelle variation de sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;

     Remarque : si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée , pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :

     Remarque : si le système est ouvert, par entrée ou sortie de points matériels accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et ou

     Remarque : si le système est ouvert, par modification du mouvement des points initialement présents.

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : La résultante cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «» [1], définie à l'instant dans le référentiel , est liée au mouvement du C.D.I. [7] du système au même instant dans le même référentiel selon

«» [5] dans lequel
est la masse du système et
le vecteur vitesse de à l'instant dans .

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : Démonstration : Choisissant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I. [7] du système de points matériels fermé est tel que  ;

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : Démonstration : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [8] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, , le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de points matériels, C.Q.F.D. [9].

     Propriété de la résultante cinétique d'un système discret fermé : La résultante cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «» [1], définie à l'instant dans le référentiel , est donc, au même instant dans le même référentiel , le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. [7] du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels par rapport à un point O[modifier | modifier le wikicode]

Définition du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels par rapport à un point O[modifier | modifier le wikicode]

     Le vecteur moment cinétique du système discret de points matériels «» avec «» [1] dans le référentiel d'étude par rapport à un point a priori quelconque[10] est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant , dans le référentiel par rapport à ce même point [11] soit encore

«» [4], [12] avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
soit encore «» [5], [12] avec
« le vecteur vitesse de dans au même instant ».

Formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Soit deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels à l'instant dans le référentiel suit la relation suivante

«» [4] dans laquelle
«» est la résultante cinétique du système au même instant dans le même référentiel .

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles [13] et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [14] soit dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme et on factorise vectoriellement à gauche par [15] dans le 1er terme d'où la R.Q.F.D. [16].

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque et le C.D.I. [7] du système discret est le plus couramment utilisé à savoir «» [4] ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels, à l'instant , par rapport à un point quelconque dans le référentiel , «» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant , par rapport au C.D.I. [7] du système dans le même référentiel , «» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à , du point fictif de quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel , «».

Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le système discret de points matériels «» avec «» [1] en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que , le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel vaut, à l'instant relativement à un point quelconque, « » dans lequel « ou, d'une part «» et d'autre part «» puis, par factorisation vectorielle à droite [15] «» par définition du C.D.I. [7] du système soit

«» [4] et
«[4] » [5].

Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Moment cinétique vectoriel d'un point matériel M en mouvement circulaire dans le référentiel d’étude par rapport à un point A de l’axe de rotation, différent du centre C du cercle[modifier | modifier le wikicode]
Schéma descriptif du mouvement d'un point matériel M décrivant un cercle de centre C, de vecteur rotation instantanée [17] imposé, avec précision du vecteur moment cinétique de M en un point A (origine de calcul de moment cinétique) de l'axe de rotation mais différent du centre C

     Soit un point quelconque de l'axe de rotation du point matériel avec centre du cercle décrit par dans le référentiel avec le vecteur rotation instantanée , le vecteur moment cinétique du point matériel dans par rapport au point de son axe de rotation, noté est défini par

«» [4] ou «» [5] ;

     y injectant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée [17], à savoir [18], [19], on obtient nécessitant d'utiliser une des deux formules du double produit vectoriel [20] soit avec par utilisation de la relation de Chasles [13] ou encore, en notant le vecteur unitaire de , on peut écrire car est à , d'où , soit encore, en notant le rayon du cercle , l'expression finale du vecteur moment cinétique du point matériel en mouvement circulaire de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée [17] quand l'origine de calcul du moment cinétique est un point de l'axe de rotation du centre du cercle

«» [5].
Expression du vecteur moment cinétique d’un système discret fermé de points matériels en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ[modifier | modifier le wikicode]
Système discret fermé de points matériels {Mi, (mi)} en rotation autour d'un axe (Δ) fixe, moment cinétique (vectoriel) du système par rapport à un point A quelconque de l'axe (Δ)

     Le système discret fermé de points matériels «» avec «» [1] étant en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point quelconque de , on peut écrire, au même instant , le vecteur moment cinétique du point dans par rapport à sous la forme [21], [5], avec centre de rotation de autour de et le rayon du cercle décrit par , le vecteur moment cinétique du système étant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point  ; on en déduit donc ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par ou dans le 1er ou 2ème terme,

«» [5] ;

     en notant «» exprimée en le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation il s'agit de la 2ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1ère étant sa masse et

     repérant le point par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle et d'axe orienté par de sens a priori arbitraire sur mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas «» la base cylindro-polaire liée à étant notée [22],

     le vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «» [1] en rotation autour de l'axe fixe dans , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant dans , évalué au même instant par rapport à point quelconque de , se réécrit selon

«» [23], [5].
Simplification dans le cas où l'axe Δ de rotation du système discret fermé de points matériels est « axe principal d'inertie du système »[modifier | modifier le wikicode]

     Pour tout , point origine de calcul de vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels «» avec «» [1] en rotation autour d'un axe fixe du référentiel d'étude et passant par ,
     on admet qu'il existe au moins trois directions de l'axe de rotation , orthogonales entre elles, telles que

« soit à l'axe de rotation » du système c.-à-d. telles que
«» [24] avec le projeté orthogonal de sur ,

«» [5] avec «» dans laquelle ,
définissant un « axe principal d'inertie du système issu de » [25],
étant le « moment principal d'inertie du système relativement à l'axe principal d'inertie passant par ».

     Remarque : Pour un système discret fermé de points matériels indéformable, on peut définir au moins trois directions, deux à deux , d'axe de rotation du système telles que le vecteur moment cinétique de ce dernier évalué par rapport à un point quelconque, «», en rotation autour d'un axe issu de ayant l'une des trois directions précédentes, « soit au vecteur rotation instantanée », c.-à-d. qu'on peut toujours trouver trois axes principaux d'inertie du système issus de n'importe quel point , ou encore on peut définir un repère principal d'inertie du système à partir de n’importe quel point origine [26] mais

     Remarque : un axe quelconque peut n'être principal d'inertie pour aucun de ses points c.-à-d. que le 2ème terme du vecteur moment cinétique du système en rotation autour de , de vecteur rotation instantanée , à savoir «», peut être non nul pour tous les points [27].

     Exemples d'axes principaux d'inertie : Pour plus de détails voir le paragraphe « complément, exemples de détermination d'axes principaux d'inertie de systèmes discrets fermés indéformables particuliers de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI » ;

     Exemples d'axes principaux d'inertie : l'exemple le plus fréquemment rencontré est celui d'un système discret fermé de points matériels ayant un axe de symétrie de révolution autour duquel le système est en rotation, le moment cinétique de ce dernier étant évalué par rapport à un point quelconque de , on vérifie la relation «» avec «» dans laquelle établissant que l'axe de symétrie de révolution du système est un axe principal d'inertie de ce dernier pour tous les points de l'axe, en effet «» car, dans le plan de section droite quelconque du système coupant l'axe en , au point matériel correspond un point matériel unique symétrique de par rapport à c.-à-d. tel que «» d'où la propriété énoncée en faisant la somme sur utilisant une seule fois tous les points du plan de section droite coupant l'axe en [28] puis sur pour décrire toutes les sections droites.

Moment cinétique scalaire du système discret de points matériels par rapport à un axe Δ[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels «» avec «» [1] par rapport à l'axe , à l'instant , dans le référentiel d'étude est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant , dans le même référentiel , par rapport à un point quelconque de l'axe soit

«», [29], [4] .

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c.-à-d. en vérifiant la propriété «» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels [30] entre et soit « » [4] et on multiplie scalairement chaque membre par en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [31] «» [32] R.Q.F.D. [16] ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts et quelconques sur l'axe orienté par , nous pouvons poser et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels se réécrit, après simplification par , «», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système discret de points matériels.

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels «» avec «» [1] en translation de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque d'un axe , «» [33] dans lequel « d'où
     Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe orienté par «» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [34] ou, en notant le projeté orthogonal de sur l'axe «» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle et d'axe orienté par les coordonnées cylindro-polaires de sont avec pour base cylindro-polaire liée à , [22] et par suite «» ou, en notant la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant , [4]

«[5], [35].

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Le moment cinétique vectoriel du système discret de points matériels «» avec «» [1] en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant dans le référentiel d'étude , s'exprimant, à l'instant relativement à un point quelconque de , «» [36], [5], [23] dans lequel «» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation , le projeté orthogonal de sur l'axe et la vitesse angulaire de rotation du système autour de orienté par , d'où
     Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le moment cinétique scalaire du système en rotation évalué par rapport à l'axe de rotation orienté par «» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [31] ainsi que à , l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«» que l'axe soit principal d'inertie [37] ou non [5].

Énergie cinétique du système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique, à l'instant , du système discret de points matériels «» avec «» [1] dans le référentiel d'étude est la somme des énergies cinétiques de tous les points matériels, définies au même instant , dans le référentiel [38] soit encore

«» [4], [39] ou
«» [5] avec
« le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant »,
et « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en translation dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique, à l'instant , du système discret de points matériels «» avec «» [1] en translation de vecteur vitesse au même instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que , s'évaluant selon «» soit, en factorisant par et reconnaissant dans l'autre facteur

«» [5], [38]
ou encore, avec [5]
«» [5].

     Cas particulier d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : L'énergie cinétique du système discret de points matériels «» avec «» [1] en rotation autour d'un axe , de vecteur rotation instantanée [17] à l'instant dans le référentiel d'étude c.-à-d. tel que avec [19], s'évaluant selon «» [38], [23] ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [34] «» soit, en factorisant par et en reconnaissant dans l'autre facteur

«» [5] ou
«» [5] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation du système autour de
ou encore, avec [5], étant le moment d'inertie du système relativement à ,
«» [5].

Référentiel barycentrique d'un système discret fermé de points matériels et cinétique associée[modifier | modifier le wikicode]

Notion de référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système discret fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .

     Intérêt de son introduction : on peut décrire la cinématique d'un système de points matériels dans le référentiel d'étude en la considérant comme composée de deux mouvements :

        Intérêt de son introduction : un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant , à , ce mouvement considérant le système à l'instant comme un solide et

        Intérêt de son introduction : un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide lié au C.D.I. [7]  ;

     Intérêt de son introduction : le solide s'identifie au référentiel barycentrique , ce dernier étant lié à , en translation de vecteur vitesse relativement au référentiel d'étude  ;

     Intérêt de son introduction : la description de la cinématique du système se réduit donc à

        Intérêt de son introduction : celle du mouvement du C.D.I. [7] dans le référentiel d’étude et

        Intérêt de son introduction : celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique c.-à-d. à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

Grandeurs cinétiques barycentriques du système discret fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Résultante cinétique barycentrique du système discret fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «» [1] est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique de tous les points matériels du système soit

«» [4] ou encore «» [5].

     Propriété : «» [5] car «» [5] d'une part et «» d'autre part ; on en déduit «» [5].

Moment cinétique barycentrique vectoriel du système discret fermé de points matériels évalué en un point O quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «» [1] évalué en un point quelconque «» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique de tous les points matériels du système par rapport au même point au même instant soit

« » [4] ou encore «» [5].

     Propriété : «» est indépendant du point origine et simplement noté «» [5] en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points et distincts on obtient «» [4] avec [5] d'où «» [5].

Énergie cinétique barycentrique du système discret fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant , du système discret fermé de points matériels «» dans lequel «» [1] «» est la somme des énergies cinétiques barycentriques de tous les points matériels du système au même instant soit

«» [4] ou encore « » [5].

Théorèmes de Kœnig (ou König)[modifier | modifier le wikicode]

     Les théorèmes de Kœnig ou König[40] permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes discrets fermés de points matériels.

1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude [30] et l'appliquant entre un point quelconque et le C.D.I. [7] du système, on peut donc écrire «» [5] dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude  ;

     il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig [40], à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I. [7] du système, à l'instant , dans le référentiel d'étude , s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant , c.-à-d. au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant , dans le référentiel barycentrique , lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I. [7] du système, soit encore à établir «» ;

     pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu [42], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique » [43], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit «» [42] puis,
     en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [14] dans le membre de droite «», enfin
     en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant vectoriellement à droite par [15] » par définition du C.D.I. [7] du système discret fermé de points matériels d'où finalement «» R.Q.F.D. [16].

Application à un système discret fermé de points matériels indéformable (solide au sens de la mécanique)[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement général d'un système discret fermé de point