Introduction à la théorie des nombres
| Chap. 1 : |  Nombres premiers et fonctions arithmétiques |
|---|---|
| Chap. 2 : | Approximation diophantienne et fractions continues |
| Chap. 3 : | Séries et produits infinis formels |
| Chap. 4 : | Résidus quadratiques |
| Chap. 5 : | Formes quadratiques entières |
| Chap. 6 : | Géométrie des nombres |
| Annexe 1 : | Démonstration de la transcendance de e et pi |
|---|---|
| Annexe 2 : |  Une 2ème démonstration de la transcendance de e |
| Exos. 1 : | Nombres premiers et fonctions arithmétiques |
|---|---|
| Exos. 2 : | Approximation diophantienne et fractions continues |
| Exos. 3 : | Séries et produits infinis formels |
| Exos. 4 : | Résidus quadratiques |
| Exos. 5 : | Formes quadratiques entières |
| Exos. 6 : | Géométrie des nombres |
| Devoir 1 : | Théorème des deux carrés de Jacobi |
|---|---|
| Devoir 2 : | Nombres équivalents |
| Devoir 3 : | Groupe des inversibles de ℤ/nℤ |
| Devoir 4 : | Principe local-global pour les carrés |
| Devoir 5 : | Équation de Pell-Fermat |
| Devoir 6 : | Développement en série de Engel |
Présentation []
Cette leçon s'inspire du classique G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], qui permet de faire connaissance avec les principaux thèmes de la théorie des nombres classique, sans beaucoup de prérequis.
Le cours s'organise en six chapitres de deux heures, accompagnés d'exercices d'application :
- Chapitre 1 : Nombres premiers et fonctions arithmétiques (arithmétique élémentaire, convolution de Dirichlet et inversion de Moebius, tour d'horizon sur quelques théorèmes et conjectures célèbres)
- Chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues. (Mesure d'irrationalité. Théorème de Liouville. Fractions continues. Entiers quadratiques.)
- Chapitre 3 : Séries et produits infinis formels. (Partitions d'un entier. Identités d'Euler, du triple produit de Jacobi et des nombres pentagonaux.)
- Chapitre 4 : Résidus quadratiques. (Symbole de Legendre. Loi de réciprocité quadratique.)
- Chapitre 5 : Formes quadratiques entières. (Représentabilité d'un entier par une forme quadratique. Classes d'équivalence. Réduction.)
- Chapitre 6 : Géométrie des nombres (convexes et réseaux, théorèmes de Minkowski).
Ouvrages de référence (outre Hardy & Wright, qui n'aborde pas la théorie des formes quadratiques) :
- Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers (la lecture active de cet opuscule est particulièrement recommandée, pour sa concision — malgré sa richesse — et son approche très pédagogique) ;
- Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory ;
- I. Niven, H. S. Zuckerman et H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers ;
- J. Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant ;
- L. E. Dickson, Introduction to the Theory of Numbers (1929, rééd. 1957).
Voir aussi :
- Serge Lang, Introduction to Diophantine Approximations
- Arthur T. Benjamin et Ezra Brown, Biscuits of Number Theory
- P. Bornsztein, X. Caruso, P. Nolin et M. Tibouchi, « Cours d'arithmétique, première partie »,
- Lionel Fourquaux, « Théorie des nombres »,
-
Un fragment (~100 ?) des Éléments d'Euclide (~–300) -
Édition de 1621 des Arithmétiques de Diophante (~200). -
Fermat (1607-1665). -
Euler (1707-1783). -
Lagrange (1736-1813). -
Caricature de Legendre (1752-1833). -
Gauss (1777-1855) -
Jacobi (1804-1851). -
Tchebychev (1821-1894). -
Hermite (1822-1901). -
Kronecker (1823-1891). -
Minkowski (1864-1909).
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Objectifs []
une initiation aux « beautés fascinantes de la théorie des nombres » (Deligne), sans aucune perspective d'application :
« Le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain » (Jacobi, lettre à Legendre, 1830) ;
« Les mathématiques sont la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques » (Gauss).
Niveau et prérequis conseillés []
Leçon de niveau 16.
- Arithmétique
- Rudiments de théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Rudiments sur les anneaux
- Fonctions d'une variable réelle
- Un peu de topologie
Référents []
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