Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres

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Introduction à la théorie des nombres
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Cette leçon s'inspire du classique G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] , qui permet de faire connaissance avec les principaux thèmes de la théorie des nombres classique, sans beaucoup de prérequis.

Le cours s'organise en six chapitres de deux heures, accompagnés d'exercices d'application :

  • Chapitre 1 : Nombres premiers et fonctions arithmétiques (arithmétique élémentaire, convolution de Dirichlet et inversion de Moebius, tour d'horizon sur quelques théorèmes et conjectures célèbres)
  • Chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues. (Mesure d'irrationalité. Théorème de Liouville. Fractions continues. Entiers quadratiques.)
  • Chapitre 3 : Séries et produits infinis formels. (Partitions d'un entier. Identités d'Euler, du triple produit de Jacobi et des nombres pentagonaux.)
  • Chapitre 4 : Résidus quadratiques. (Symbole de Legendre. Loi de réciprocité quadratique.)
  • Chapitre 5 : Formes quadratiques entières. (Représentabilité d'un entier par une forme quadratique. Classes d'équivalence. Réduction.)
  • Chapitre 6 : Géométrie des nombres (convexes et réseaux, théorèmes de Minkowski).

Ouvrages de référence (outre Hardy & Wright, qui n'aborde pas la théorie des formes quadratiques) :

Objectifs

Les objectifs de cette leçon sont :

une initiation aux « beautés fascinantes de la théories des nombres » (Deligne), sans aucune perspective d'application :

« Le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain » (Jacobi, lettre à Legendre, 1830) ;

« Les mathématiques sont la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques » (Gauss).
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Niveau et prérequis conseillés

Cette leçon est de niveau 16. Les prérequis conseillés sont :


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