Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Groupe des inversibles des entiers modulo n

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Groupe des inversibles de ℤ/n
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Devoir no3
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Ce devoir est de niveau 16.

Dev préc. :Nombres équivalents
Dev suiv. :Principe local-global pour les carrés
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1. Soient un anneau commutatif intègre, son groupe des inversibles et un sous-groupe fini de .

  1. Montrer que est cyclique.
    (Indication : considérer le polynôme , où désigne l'exposant du groupe , c.-à-d. le plus petit entier tel que et utiliser que dans tout groupe abélien d'exposant fini , il existe un élément d'ordre .)
  2. En déduire que pour tout nombre premier , le groupe est cyclique.
  3. En déduire que pour tout , le groupe contient un élément d'ordre .
    (Indication : dans tout groupe, si un élément est d'ordre alors est d'ordre .)

2. Soit un nombre premier impair.

  1. Montrer que .
  2. En déduire que dans le groupe , la classe de est d'ordre .
  3. En déduire, à l'aide de la question 1.3, que est cyclique.
    (Indication : dans un groupe abélien, si deux éléments sont d'ordres et premiers entre eux, leur produit est d'ordre ).

3. 

  1. Décrire et .
  2. Montrer que .
  3. En déduire que pour tout , dans le groupe , la classe de est d'ordre .
  4. En déduire que est alors le produit direct de deux sous-groupes cycliques non triviaux.

4. Quels sont les entiers pour lesquels est cyclique ?