Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Groupe des inversibles des entiers modulo n

1. Soient $A$ un anneau commutatif intègre, $A^{\times }$ son groupe des inversibles et $G$ un sous-groupe fini de $A^{\times }$.

1. Montrer que $G$ est cyclique.

   (Indication : considérer le polynôme $X^{e}-1$, où $e$ désigne l'exposant du groupe $G$, c'est-à-dire le plus petit entier $n>0$ tel que $\forall x\in G\quad x^{n}=1$ et utiliser que dans tout groupe abélien d'exposant fini $e$, il existe un élément d'ordre $e$.)

2. En déduire que pour tout nombre premier $p$, le groupe $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est cyclique.
3. En déduire que pour tout $k\in \mathbb {N}$, le groupe $\left(\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} \right)^{\times }$ contient un élément d'ordre $p-1$.

   (Indication : dans tout groupe, si un élément $a$ est d'ordre $rs$ alors $a^{r}$ est d'ordre $s$.)

Solution

1. Soient $x$ un élément de $G$ d'ordre $e$ et $\langle x\rangle$ le sous-groupe qu'il engendre. Puisque $\langle x\rangle \subset G$, $e=|\langle x\rangle |\leq |G|$. Réciproquement, $e\geq |G|$ car le polynôme $X^{e}-1$ a au moins $|G|$ racines dans $A$ (or dans un anneau commutatif intègre, le nombre de racines d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré). Par conséquent, $\langle x\rangle =G$.
2. Plus généralement, d'après la question précédente, le groupe multiplicatif de tout corps fini (commutatif) est cyclique.
3. Soit, d'après la question précédente, un entier $a$ dont la classe dans $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est d'ordre $p-1$ et soit $d$ l'ordre de sa classe dans $\left(\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} \right)^{\times }$. Alors, $a^{d}\equiv 1{\bmod {p}}$ donc $p-1\mid d$, et la classe de $a^{\frac {d}{p-1}}$ dans $\left(\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est d'ordre $p-1$.

 

2. Soit $p$ un nombre premier impair.

1. Montrer que $\forall k\in \mathbb {N} \quad \left(1+p\right)^{p^{k}}\equiv 1+p^{k+1}{\bmod {p^{k+2}}}$.
2. En déduire que dans le groupe $\left(\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} \right)^{\times }$, la classe de $1+p$ est d'ordre $p^{k}$.
3. En déduire, à l'aide de la question 1.3, que $\left(\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est cyclique.

   (Indication : dans un groupe abélien, si deux éléments sont d'ordres $r$ et $s$ premiers entre eux, leur produit est d'ordre $rs$).

Solution

1. Soit $a_{k}:={\frac {\left(1+p\right)^{p^{k}}-1-p^{k+1}}{p^{k+2}}}$. Montrons par récurrence que $a_{k}\in \mathbb {N}$. On a $a_{0}=0$ et, en développant $\left(1+p\right)^{p^{k+1}}=\left(1+p^{k+1}\left(1+pa_{k}\right)\right)^{p}$ par la formule du binôme, $a_{k+1}=a_{k}+\sum _{j\geq 2}{\binom {p}{j}}p^{(k+1)j-3}\left(1+pa_{k}\right)^{j}$. Les coefficients ${\binom {p}{j}}p^{(k+1)j-3}$ pour $k\geq 0$ et $j\geq 2$ sont tous entiers, même celui pour $(k,j)=(0,2)$ bien que l'exposant $(k+1)j-3$ soit (dans ce seul cas) strictement négatif (égal à $-1$), car ${\binom {p}{2}}p^{-1}={\frac {p-1}{2}}$ et $p$ est impair.
2. Modulo $p^{k+1}$, on a bien $\left(1+p\right)^{p^{k}}\equiv 1$ et $\left(1+p\right)^{p^{k-1}}\equiv 1+p^{k}\not \equiv 1$.
3. Le groupe $\left(\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est d'ordre $\varphi \left(p^{k+1}\right)=p^{k}\left(p-1\right)$ et contient un élément d'ordre $p-1$ et un élément d'ordre $p^{k}$. Leur produit est donc un générateur du groupe.

 

3. 

1. Décrire $\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)^{\times }$ et $\left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)^{\times }$.
2. Montrer que $\forall k\in \mathbb {N} \quad 5^{2^{k}}\equiv 1+2^{k+2}{\bmod {2^{k+3}}}$.
3. En déduire que pour tout $r\geq 3$, dans le groupe $\left(\mathbb {Z} /2^{r}\mathbb {Z} \right)^{\times }$, la classe de $5$ est d'ordre $2^{r-2}$.
4. En déduire que $\left(\mathbb {Z} /2^{r}\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est alors le produit direct de deux sous-groupes cycliques non triviaux.

Solution

1. $\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est le groupe trivial et $\left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est le groupe cyclique d'ordre $2$.
2. Soit $a_{k}:={\frac {5^{2^{k}}-1-2^{k+2}}{2^{k+3}}}$. Montrons par récurrence que $a_{k}\in \mathbb {N}$. On a $a_{0}=0$ et, en développant $5^{2^{k+1}}=\left(1+2^{k+2}\left(1+2a_{k}\right)\right)^{2}$, $a_{k+1}=a_{k}+2^{k+1}\left(1+2a_{k}\right)^{2}$.
3. Modulo $2^{r}$, on a bien $5^{2^{r-2}}\equiv 1$ et $5^{2^{r-3}}\equiv 1+2^{r-1}\not \equiv 1$.
4. Dans $\left(\mathbb {Z} /2^{r}\mathbb {Z} \right)^{\times }$, qui est d'ordre $\varphi \left(2^{r}\right)=2^{r-1}$, les sous-groupes engendrés par la classe de $5$ et celle de $-1$ ont pour ordres respectifs $2$ et $2^{r-2}$. De plus, leur intersection est le sous-groupe trivial, c'est-à-dire que ${\bmod {2^{r}}}$, aucune puissance de $5$ n'est congrue à $-1$. En effet, ${\bmod {2^{r}}}$, puisque $5$ est d'ordre $2^{r-2}$, sa seule puissance qui soit d'ordre $2$ est $5^{2^{r-3}}\equiv 1+2^{r-1}\not \equiv -1$ (on peut aussi remarquer que toutes les puissances de $5$ sont congrues à $1{\bmod {4}}$).

 

4. Quels sont les entiers $n>1$ pour lesquels $\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est cyclique ?

Solution

Soit $n=2^{r_{1}}3^{r_{3}}\dots p_{m}^{r_{m}}$ (décomposition en facteurs premiers). D'après le théorème des restes chinois, $\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est isomorphe au produit direct des groupes $\left(\mathbb {Z} /p_{k}^{r_{k}}\mathbb {Z} \right)^{\times }$. D'après les questions précédentes, il est donc cyclique si et seulement si $r_{1}\leq 2$ et les $\varphi \left(p_{k}^{r_{k}}\right)$ sont premiers entre eux deux à deux. Or pour $p$ premier impair et $r\geq 1$, $\varphi \left(p^{r}\right)$ est pair. Par conséquent, $\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }$ est cyclique si et seulement si $n=2$, $4$, $p^{r}$ ou $2p^{r}$, avec $p$ premier impair et $r\geq 1$.