Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Groupe des inversibles des entiers modulo n

1. Soient $A$ un anneau commutatif intègre, $A^{\times }$ son groupe des inversibles et $G$ un sous-groupe fini de $A^{\times }$.

1. Montrer que $G$ est cyclique.

   (Indication : considérer le polynôme $X^e-1$, où $e$ désigne l'exposant du groupe $G$, c'est-à-dire le plus petit entier $n>0$ tel que $\mathrm{\forall }x\in G{x}^n=1$ et utiliser que dans tout groupe abélien d'exposant fini $e$, il existe un élément d'ordre $e$.)

2. En déduire que pour tout nombre premier $p$, le groupe ${(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}^{\times }$ est cyclique.
3. En déduire que pour tout $k\in \mathbb{N}$, le groupe ${(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})}^{\times }$ contient un élément d'ordre $p-1$.

   (Indication : dans tout groupe, si un élément $a$ est d'ordre $rs$ alors $a^r$ est d'ordre $s$.)

Solution

1. Soient $x$ un élément de $G$ d'ordre $e$ et $⟨x⟩$ le sous-groupe qu'il engendre. Puisque $⟨x⟩\subset G$, $e=|⟨x⟩|\le |G|$. Réciproquement, $e\ge |G|$ car le polynôme $X^e-1$ a au moins $|G|$ racines dans $A$ (or dans un anneau commutatif intègre, le nombre de racines d'un polynôme non nul est au plus égal à son degré). Par conséquent, $⟨x⟩=G$.
2. Plus généralement, d'après la question précédente, le groupe multiplicatif de tout corps fini (commutatif) est cyclique.
3. Soit, d'après la question précédente, un entier $a$ dont la classe dans ${(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}^{\times }$ est d'ordre $p-1$ et soit $d$ l'ordre de sa classe dans ${(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})}^{\times }$. Alors, $a^d\equiv 1modp$ donc $p-1\mid d$, et la classe de $a^{\frac{d}{p-1}}$ dans ${(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})}^{\times }$ est d'ordre $p-1$.

 

2. Soit $p$ un nombre premier impair.

1. Montrer que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{(1+p)}^{p^k}\equiv 1+p^{k+1}mod{p}^{k+2}$.
2. En déduire que dans le groupe ${(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})}^{\times }$, la classe de $1+p$ est d'ordre $p^k$.
3. En déduire, à l'aide de la question 1.3, que ${(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})}^{\times }$ est cyclique.

   (Indication : dans un groupe abélien, si deux éléments sont d'ordres $r$ et $s$ premiers entre eux, leur produit est d'ordre $rs$).

Solution

1. Soit $a_k:=\frac{{(1+p)}^{p^k}-1-p^{k+1}}{p^{k+2}}$. Montrons par récurrence que $a_k\in \mathbb{N}$. On a $a_0=0$ et, en développant ${(1+p)}^{p^{k+1}}={(1+p^{k+1}(1+p{a}_k))}^p$ par la formule du binôme, $a_{k+1}=a_k+\sum _{j\ge 2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})p^{(k+1)j-3}{(1+p{a}_k)}^j$. Les coefficients $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j})p^{(k+1)j-3}$ pour $k\ge 0$ et $j\ge 2$ sont tous entiers, même celui pour $(k,j)=(0,2)$ bien que l'exposant $(k+1)j-3$ soit (dans ce seul cas) strictement négatif (égal à $-1$), car $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{2})p^{-1}=\frac{p-1}{2}$ et $p$ est impair.
2. Modulo $p^{k+1}$, on a bien ${(1+p)}^{p^k}\equiv 1$ et ${(1+p)}^{p^{k-1}}\equiv 1+p^k\equiv ̸1$.
3. Le groupe ${(\mathbb{Z}/p^{k+1}\mathbb{Z})}^{\times }$ est d'ordre $\phi \left(p^{k+1}\right)=p^k(p-1)$ et contient un élément d'ordre $p-1$ et un élément d'ordre $p^k$. Leur produit est donc un générateur du groupe.

 

3. 

1. Décrire ${(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}^{\times }$ et ${(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})}^{\times }$.
2. Montrer que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{5}^{2^k}\equiv 1+2^{k+2}mod{2}^{k+3}$.
3. En déduire que pour tout $r\ge 3$, dans le groupe ${(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})}^{\times }$, la classe de $5$ est d'ordre $2^{r-2}$.
4. En déduire que ${(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})}^{\times }$ est alors le produit direct de deux sous-groupes cycliques non triviaux.

Solution

1. ${(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}^{\times }$ est le groupe trivial et ${(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})}^{\times }$ est le groupe cyclique d'ordre $2$.
2. Soit $a_k:=\frac{5^{2^k}-1-2^{k+2}}{2^{k+3}}$. Montrons par récurrence que $a_k\in \mathbb{N}$. On a $a_0=0$ et, en développant $5^{2^{k+1}}={(1+2^{k+2}(1+2a_k))}^2$, $a_{k+1}=a_k+2^{k+1}{(1+2a_k)}^2$.
3. Modulo $2^r$, on a bien $5^{2^{r-2}}\equiv 1$ et $5^{2^{r-3}}\equiv 1+2^{r-1}\equiv ̸1$.
4. Dans ${(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})}^{\times }$, qui est d'ordre $\phi \left(2^r\right)=2^{r-1}$, les sous-groupes engendrés par la classe de $5$ et celle de $-1$ ont pour ordres respectifs $2$ et $2^{r-2}$. De plus, leur intersection est le sous-groupe trivial, c'est-à-dire que $mod{2}^r$, aucune puissance de $5$ n'est congrue à $-1$. En effet, $mod{2}^r$, puisque $5$ est d'ordre $2^{r-2}$, sa seule puissance qui soit d'ordre $2$ est $5^{2^{r-3}}\equiv 1+2^{r-1}\equiv ̸-1$ (on peut aussi remarquer que toutes les puissances de $5$ sont congrues à $1mod4$).

 

4. Quels sont les entiers $n>1$ pour lesquels ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$ est cyclique ?

Solution

Soit $n=2^{r_1}{3}^{r_3}\dots p_m^{r_m}$ (décomposition en facteurs premiers). D'après le théorème des restes chinois, ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$ est isomorphe au produit direct des groupes ${(\mathbb{Z}/p_k^{r_k}\mathbb{Z})}^{\times }$. D'après les questions précédentes, il est donc cyclique si et seulement si $r_1\le 2$ et les $\phi \left(p_k^{r_k}\right)$ sont premiers entre eux deux à deux. Or pour $p$ premier impair et $r\ge 1$, $\phi \left(p^r\right)$ est pair. Par conséquent, ${(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}^{\times }$ est cyclique si et seulement si $n=2$, $4$, $p^r$ ou $2p^r$, avec $p$ premier impair et $r\ge 1$.