Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Formes quadratiques entières
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Formes quadratiques entières

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Résidus quadratiques
Exo suiv. : Géométrie des nombres
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Formes quadratiques entières
Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Formes quadratiques entières
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Montrer que (si et) seulement si .
  2. Trouver un polynôme tel que .
  3. Trouver un polynôme homogène de degré tel que .

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que est le pgcd de tous les entiers représentés par .

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Montrer que s'il existe un entier représenté par et premier avec , alors est primitive.
  2. Pourquoi est-ce une généralisation de la règle (évidente) « si et sont premiers entre eux, alors est primitive » ?
  3. Réciproquement, on suppose primitive. Montrer que[1] pour tout entier , il existe un entier premier avec et représenté par .

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Calculer et .

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des deux carrés ».

Vous allez, dans cet exercice, démontrer[2] qu'un entier est somme de deux carrés si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les exposants de tous les facteurs premiers congrus à sont pairs.

  1. Démontrer le sens direct (« seulement si ») de l'équivalence. (Indication : montrer d'abord que si un nombre premier divise une somme de deux carrés , alors divise et .)
  2. Montrer que .
  3. Soit un entier sans facteur carré, et sans facteur premier congru à . Montrer que est un carré et en déduire (grâce à la question précédente) que est une somme de deux carrés.
  4. En déduire le sens réciproque (« si ») de l'équivalence.

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Vérifier (dans tout anneau commutatif) l'identité de Brahmagupta : .
  2. Montrer que pour tout discriminant , l'ensemble des entiers représentés par la forme principale de discriminant contient et est stable par produit. (Dans le cas , on pourra vérifier puis utiliser que .)

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que .
  2. En déduire que tout nombre premier congru à est de la forme .
  3. Caractériser de même les nombres premiers de la forme , pour .

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

  1. Identifier les classes pour .
  2. En déduire que tout nombre premier congru à est de la forme .
  3. Identifier de même les classes pour et les nombres premiers de la forme .

Exercice 5-9[modifier | modifier le wikicode]

  1. Identifier les classes pour .
  2. Montrer que tout nombre impair de la forme est congru à .
  3. Montrer que tout nombre impair de la forme est congru à .
  4. En déduire une condition nécessaire et suffisante (en termes de congruence) pour qu'un nombre premier soit de la forme , et caractériser de même ceux de la forme [3].

Exercice 5-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier .

  1. Montrer que est un carré si et seulement si est congru soit à et à , soit à et à .
  2. Montrer que les deux seules formes (quadratiques entières positives) réduites de discriminant sont et .
  3. En déduire que est de la forme si et seulement s'il est congru à , et qu'il est de la forme si et seulement s'il est congru à .
  4. Montrer que si deux entiers sont représentés tous deux par ou tous deux par alors est représenté par , et que si l'un est représenté par et l'autre par alors est représenté par .

Exercice 5-11[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que pour toute représentation propre , il existe une unique équivalence propre telle que .
  2. Déterminer les racines carrées de .
  3. En déduire les couples d'entiers tels que et .
  4. En déduire que est somme de deux carrés d'exactement deux façons (à interversion près des deux carrés), que l'on précisera.

Exercice 5-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit une forme quadratique entière de discriminant . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes[4] :

  1. est un carré parfait (éventuellement nul) ;
  2. s'annule en d'autres points (de ) que le point  ;
  3. est le produit de deux formes linéaires (de dans ).

Exercice 5-13[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer les formes réduites et les cycles, pour .
  2. Réduire , en appliquant un algorithme standard[5], ou celui indiqué dans la démonstration du cours (existence d'une forme réduite proprement équivalente à une forme indéfinie anisotrope donnée).

Exercice 5-14[modifier | modifier le wikicode]

(Analogue à l'exercice 5-5 ci-dessus.)

  1. Quels sont les nombres premiers modulo lesquels est un carré ?
  2. Soient (avec entiers) et , congru à ou , un diviseur premier de .
    1. Déduire de la question précédente que divise (donc aussi ).
    2. En déduire que l'exposant de dans la décomposition de en facteurs premiers est pair.
  3. Montrer que la forme principale est la seule forme positive réduite de discriminant .
  4. Soit un entier sans facteur carré, et sans diviseur premier congru à ou . Déduire de la question précédente que est de la forme .
  5. Déduire de tout ce qui précède une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit de la forme .

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Énoncé comme exercice par Niven, Zuckerman et Montgomery (ex. 14 p. 163). Traité par Dickson, p. 82.
  2. Baker, p. 38-39.
  3. Voir aussi Niven, Zuckerman et Montgomery, exercices 5, 9 et 10 p. 162.
  4. Voir aussi Niven, Zuckerman et Montgomery, exercices 6 à 10, p. 154-155.
  5. Duncan A. Buell, Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations, Springer, 1989 [lire en ligne], p. 22-23 .