Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques

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Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Chapitre no 1
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
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Chap. suiv. :Approximation diophantienne et fractions continues

Exercices :

Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Rappels d'arithmétique élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

Dans un anneau commutatif intègre  :


Autrement dit, dans , pour le préordre de divisibilité (qui sur est un ordre), pgcd = borne inf et ppcm = borne sup. Ils n'existent pas toujours, et même lorsqu'ils existent, on n'a pas toujours l'identité de Bézout. Pour plus de détails, voir l'exercice 1-1, ainsi que « Anneau à PGCD » et « Anneau de Bézout ».


Début d'un lemme


Fin du lemme

Gauss avait démontré le lemme d'Euclide directement (par descente infinie sur b pour a et p fixés), mais il se déduit immédiatement du lemme de Gauss, qui est vrai dans tout anneau (commutatif intègre) à PGCD.


Début d’un théorème


Fin du théorème

Rappelons que ce théorème se démontre par récurrence (pour l'unicité, on utilise le lemme d'Euclide).


Début d’un théorème


Fin du théorème

Rappelons le principe de la preuve : pour tous nombres premiers et tout facteur premier p de , le nombre p est différent de .


Début d’un théorème


Fin du théorème

Fonctions arithmétiques[modifier | modifier le wikicode]

Multiplicativité[modifier | modifier le wikicode]




Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Indicatrice d'Euler[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème



Remarque : n'est donc pas complètement multiplicative : par exemple, .

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 1-6.


On démontrera en exercice l'identité remarquable (dans ce contexte, ce type de somme est toujours, implicitement, indexé par les diviseurs positifs de ).

Anneau de convolution[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Le théorème suivant sera démontré en exercice :

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 1-5.


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème
Panneau d’avertissement La complète multiplicativité n'est pas préservée par -produit ni -inverse. Par exemple, la fonction « nombre de diviseurs », , et la fonction de Möbius ci-dessous, ne sont pas complètement multiplicatives.

Fonction de Möbius[modifier | modifier le wikicode]




Début d’un théorème


Fin du théorème

Par définition de , pour toutes fonctions arithmétiques et , on a l'équivalence , autrement dit :



Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Remarque : cette équivalence reste vraie si et (définies sur ) sont à valeurs dans n'importe quel groupe abélien au lieu de .

Fonction zêta de Riemann et autres séries de Dirichlet[modifier | modifier le wikicode]

La preuve du théorème des nombres premiers (voir infra) est issue de l'étude approfondie, à l'aide de méthodes d'analyse complexe, de la fonction zêta (introduite par Euler dès 1735 pour une variable réelle et étendue par Riemann dans son mémoire de 1859) :


Début d’un théorème


Fin du théorème





Pour étudier sérieusement la théorie de ces fonctions (et de leur prolongement analytique) il faut s'attaquer à des questions de convergence plus fines que dans la théorie des fonctions holomorphes, ce que nous ne ferons pas ici. Nous nous satisferons de la propriété suivante, qui résulte simplement des propriétés du produit de Cauchy de deux séries :


(Noter que la simple convergence des deux séries à gauche n'implique pas celle de la série à droite.) Ceci ressemble au lien entre convolution et multiplication dans la transformation de Fourier.

Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique complètement multiplicative et périodique. Les deux plus simples sont et  ; leurs séries de Dirichlet sont clairement la fonction constante (sur ) et la fonction . Un autre exemple de caractère de Dirichlet est le symbole de Legendre, cf. chap. 4. Les séries associées aux caractères de Dirichlet interviennent dans la preuve du théorème de la progression arithmétique (voir infra).

Énoncés de quelques conjectures et théorèmes célèbres sur les nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercices 1-8 et 1-7.


Début d’un théorème


Fin du théorème


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 1-9.


On verra en exercice que cet énoncé équivaut à . Le « petit théorème des nombres premiers » (Tchebychev, 1850), qui dit seulement « est de l'ordre de » au lieu de « est équivalent », est bien plus élémentaire.



  • « Postulat » de Bertrand : le « petit théorème des nombres premiers » permet d'affirmer qu'il existe une constante telle que premier, . En affinant un peu la preuve, Tchebychev trouve que convient (c'est plus faible que la conjecture de Legendre ci-dessus), autrement dit :
.
En fait, pour tout , pour assez grand, d'après le (« grand ») théorème des nombres premiers.
Début d’un théorème


Fin du théorème

Version quantitative de La Vallée Poussin (qui généralise le théorème des nombres premiers) :

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à dans cette suite, si sa raison est , est équivalent à .
  • Théorème de Green-Tao (2004) : la suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues.
  • Formules polynomiales
    • Un nombre chanceux d'Euler est un entier tel que est un nombre premier pour . Euler en a trouvé six : . Il n'y en a pas d'autres (Kurt Heegner, 1952).
    • Il n'existe pas de polynôme (non constant) à coefficients entiers dont toutes les valeurs à partir d'un certain rang soient premières (on le montrera dans l'exercice 1-4).
    • Dixième problème de Hilbert : l'ensemble des équations diophantiennes résolubles est-il récursif, c.-à-d. : existe-t-il un algorithme universel qui, quand on lui donne n, répond si la n-ième équation (pour une numérotation naturelle de toutes les équations) a des solutions ou pas ? Réponse : non et même pire :
Début d’un théorème


Fin du théorème

Une retombée surprenante du théorème de Matiassevitch est (puisque l'ensemble des nombres premiers est évidemment récursivement énumérable, et même récursif) qu'il existe un polynôme Q (de degré 25, à 26 variables) dont les valeurs strictement positives sont exactement les nombres premiers.

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Ici, la « caractérisation » est seulement à association près, c.-à-d. à produit près par un inversible (si , on choisit le représentant appartenant à  ; si est un corps, on choisit, pour tout polynôme non nul, le polynôme unitaire associé).
  2. On définit de façon analogue le PGCD d'une famille non vide , et l'on dit que les sont premiers entre eux dans leur ensemble si ce PGCD est 1.
  3. Donc , et si , on peut remplacer par et/ou par .
  4. Remarque : pour tout , si et seulement si , ce qui a lieu pour au plus un nombre premier . En effet, si deux entiers n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers, alors le quotient est irrationnel (il est donc même transcendant, d'après le théorème de Gelfond-Schneider).
  5. Cet anneau est en fait isomorphe à l'anneau des séries formelles en les indéterminées pour premier : E. D. Cashwell et C. J. Everett, « The ring of number-theoretic functions », Pacific J. Math., vol. 9, no  4, 1959, p. 975-985 [texte intégral].