Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques

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Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Exercices no1
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Nombres premiers et fonctions arithmétiques

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Approximation diophantienne et fractions continues
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un anneau commutatif intègre quelconque, et l'on ne spécifie donc les pgcd et ppcm qu'à association près (). Démontrer que si  :

  1. si existe alors existe et  ;
  2. existe si et seulement si existe, et dans ce cas :  ;
  3. si existe alors aussi (pour info : la réciproque est fausse : cf. Anneau à PGCD) et  ;
  4. si tous les PGCD de paires existent alors tous les PPCM aussi.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient premiers entre eux. Démontrer que l'application se restreint en une bijection de l'ensemble des couples tels que et dans l'ensemble des diviseurs de , en explicitant la bijection réciproque. (Cette propriété a servi, dans le cours, à démontrer que si et sont multiplicatives alors l'est aussi.)

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier et un entier non divisible par . On note la classe modulo de tout entier .

  1. Montrer que l'application est bijective et envoie sur lui-même.
  2. En déduire que .
  3. En déduire le petit théorème de Fermat.

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer qu'il n'existe aucun polynôme non constant à coefficients entiers dont toutes les valeurs à partir d'un certain rang soient des nombres premiers. Indication : en supposant qu'il existe un tel , montrer qu'il existerait un et que tous les seraient alors divisibles par .
  2. Démontrer que plus généralement, si est un polynôme en variables à coefficients entiers, et si , alors est un nombre composé pour une infinité de valeurs de . Indication : en supposant que c'est faux, montrer qu'il existerait un nombre premier puis, en utilisant le petit théorème de Fermat, que tous les seraient alors divisibles par .

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que l'ensemble des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau commutatif intègre.

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Soit un diviseur de . On note et .
    Montrer que pour tout , , et en déduire que les éléments d'ordre du groupe sont les générateurs du sous-groupe .
  2. En déduire que .
  3. Retrouver ce résultat par calcul direct, en considérant d'abord le cas où est une puissance d'un nombre premier, puis en utilisant que et sont multiplicatives, après l'avoir justifié.

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

On note couramment la suite des nombres premiers, rangés par ordre strictement croissant. On va en donner deux majorations faciles (plus grossières même que celle du « petit théorème des nombres premiers »).

  1. En examinant l'argument d'Euclide (qui montre que la suite est infinie), montrer (par récurrence) que .
  2. Fixons et posons .
    • En examinant les décompositions possibles en facteurs premiers pour tous les entiers de à , démontrer que .
    • En déduire que si alors (on pourra admettre que ).
    • En déduire : .

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Écart entre nombres premiers ».

On veut démontrer que la suite n'est pas majorée.

  1. Soit . Montrer que tous les entiers de à sont composés.
  2. En déduire qu'il existe tel que .
  3. Conclure.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que les formulations (1), (2) et (3) suivantes du théorème des nombres premiers sont équivalentes :

.

( est un intermédiaire technique ; la motivation est .)

Indication pour  : montrer que chacun des énoncés et implique .

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer :

  1. pour tout de partie réelle  ;
  2. pour tout complexe et tout de partie réelle .

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction totient de Jordan ».

Pour tout entier , on définit la fonction par :

est le nombre de -uplets tels que .
  1. Reconnaître .
  2. En partitionnant selon les valeurs que prend, sur cet ensemble, l'application , démontrer que (pour tout )
    .
  3. En déduire que et que est multiplicative.
  4. En déduire que .
  5. est-elle complètement multiplicative ?
  6. Calculer , sachant que (cours) et que (exercice précédent).

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction de von Mangoldt ».

La fonction de von Mangoldt est définie sur par

  1. Montrer que pour tout entier , .
  2. En déduire que .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

(Exercice iii de Baker p. 17.)

On définit par :

.
  1. Montrer que n'est pas multiplicative.
  2. Montrer que .
  3. En déuire que .

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

  1. Transcrire la formule d'inversion de Möbius dans le cas où les fonctions et , au lieu d'être à valeurs dans , sont à valeurs dans un groupe abélien noté multiplicativement, .
  2. Pour , on définit le -ième polynôme cyclotomique comme le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines primitives -ièmes de dans (les éléments du groupe dont l'ordre est exactement ) :
    .
    Vérifier que .
  3. En déduire que tous les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers.
  4. Déduire des questions 1 et 2 un moyen de calculer . Indication : prendre pour le groupe des fractions rationnelles non nulles à coefficients rationnels.
  5. En considérant les degrés des polynômes en jeu dans les questions 2 et 4, retrouver deux formules connues.

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On note le -ième polynôme cyclotomique (cf. exercice précédent).

  1. Montrer qu'il existe un multiple de tel que .
  2. Soit alors un diviseur premier de . Montrer que puis, en notant l'ordre de dans , montrer que :
    • si , alors .
    • si est un diviseur strict de , alors .
  3. En déduire (par un raisonnement analogue à celui d'Euclide dans le cas ) le cas particulier suivant du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet :
    il existe une infinité de nombres premiers congrus à .