Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Nombres premiers et fonctions arithmétiques

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Approximation diophantienne et fractions continues
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans un anneau commutatif intègre quelconque, et l'on ne spécifie donc les pgcd et ppcm qu'à association près (). Démontrer que si  :

  1. si existe alors existe et  ;
  2. existe si et seulement si existe, et dans ce cas :  ;
  3. si existe alors aussi (pour info : la réciproque est fausse : cf. Anneau à PGCD) et  ;
  4. si tous les PGCD de paires existent alors tous les PPCM aussi.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient premiers entre eux. Démontrer que l'application se restreint en une bijection de l'ensemble des couples tels que et dans l'ensemble des diviseurs de , en explicitant la bijection réciproque. (Cette propriété a servi, dans le cours, à démontrer que si et sont multiplicatives alors l'est aussi.)

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier et un entier non divisible par . On note la classe modulo de tout entier .

  1. Montrer que l'application est bijective et envoie sur lui-même.
  2. En déduire que .
  3. En déduire le petit théorème de Fermat.
  4. Soient . Montrer que si , alors .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer qu'il n'existe aucun polynôme non constant à coefficients entiers dont toutes les valeurs à partir d'un certain rang soient des nombres premiers. Indication : en supposant qu'il existe un tel , montrer qu'il existerait un et que tous les seraient alors divisibles par .
  2. Démontrer que plus généralement, si est un polynôme en variables à coefficients entiers, et si , alors est un nombre composé pour une infinité de valeurs de . Indication : en supposant que c'est faux, montrer qu'il existerait un nombre premier puis, en utilisant le petit théorème de Fermat, que tous les seraient alors divisibles par .

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que l'ensemble des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau commutatif intègre.

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Soit un diviseur de . On note et .
    Montrer que pour tout , , et en déduire que les éléments d'ordre du groupe sont les générateurs du sous-groupe .
  2. En déduire que .
  3. Retrouver ce résultat par calcul direct, en considérant d'abord le cas où est une puissance d'un nombre premier, puis en utilisant que et sont multiplicatives, après l'avoir justifié.

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

On note couramment la suite des nombres premiers, rangés par ordre strictement croissant.

On va en donner deux majorations faciles (plus grossières même que celle du « petit théorème des nombres premiers »).

  1. En examinant l'argument d'Euclide (qui montre que la suite est infinie), montrer (par récurrence) que .
  2. Fixons et posons .
    • En examinant les décompositions possibles en facteurs premiers pour tous les entiers de à , démontrer que .
    • En déduire que si alors (on pourra admettre que ).
    • En déduire : .

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Écart entre nombres premiers ».

On veut démontrer que la suite n'est pas majorée.

  1. Soit . Montrer que tous les entiers de à sont composés.
  2. En déduire qu'il existe tel que .
  3. Conclure.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que les formulations (1), (2) et (3) suivantes du théorème des nombres premiers sont équivalentes :

.

( est un intermédiaire technique ; la motivation est .)

Indication pour  : montrer que chacun des énoncés et implique .

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer :

  1. pour tout de partie réelle  ;
  2. pour tout complexe et tout de partie réelle .
    Rappel : est la fonction « somme des puissances -ièmes des diviseurs » : .

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction totient de Jordan ».

Pour tout entier , on définit la fonction par :

est le nombre de -uplets tels que .
  1. Reconnaître .
  2. En partitionnant selon les valeurs que prend, sur cet ensemble, l'application , démontrer que (pour tout )
    .
  3. En déduire que et que est multiplicative.
  4. En déduire que .
  5. est-elle complètement multiplicative ?
  6. Calculer , sachant que (cours) et que (exercice précédent).

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction de von Mangoldt ».

La fonction de von Mangoldt est définie sur par

  1. Montrer que pour tout entier , .
  2. En déduire que .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

(Exercice iii de Baker p. 17.)

On définit par :

.
  1. Montrer que n'est pas multiplicative.
  2. Montrer que .
  3. En déuire que .

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

  1. Transcrire la formule d'inversion de Möbius dans le cas où les fonctions et , au lieu d'être à valeurs dans , sont à valeurs dans un groupe abélien noté multiplicativement, .
  2. Pour , on définit le -ième polynôme cyclotomique comme le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines primitives -ièmes de dans (les éléments du groupe dont l'ordre est exactement ) :
    .
    Vérifier que .
  3. En déduire que tous les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers.
  4. Déduire des questions 1 et 2 un moyen de calculer . Indication : prendre pour le groupe des fractions rationnelles non nulles à coefficients rationnels.
  5. En considérant les degrés des polynômes en jeu dans les questions 2 et 4, retrouver deux formules connues.

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On note le -ième polynôme cyclotomique (cf. exercice précédent).

  1. Montrer qu'il existe un multiple de tel que .
  2. Soit alors un diviseur premier de . Montrer que puis, en notant l'ordre de dans , montrer que :
    • si , alors .
    • si est un diviseur strict de , alors .
  3. En déduire (par un raisonnement analogue à celui d'Euclide dans le cas ) le cas particulier suivant du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet :
    il existe une infinité de nombres premiers congrus à .

Exercice 1-16[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction multiplicative. On pose (pour tout ).

  1. En utilisant la définition de la fonction de Möbius, montrer que si est complètement multiplicative alors est l'inverse de pour la convolution de Dirichlet.
  2. Démontrer la réciproque (indication : évaluer sur les puissances de nombres premiers, en utilisant l'expression explicite de sur ces mêmes nombres).