Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques

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Résidus quadratiques
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Exercices no4
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Résidus quadratiques

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Séries et produits infinis formels
Exo suiv. :Formes quadratiques entières
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier et trois entiers, avec et non divisibles par . Montrer qu'il existe des entiers tels que . (Indication : combien y a-t-il de carrés dans  ?)

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier congru à modulo et un carré dans . Exprimer en fonction de et les deux racines carrées de .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Que donne le lemme de Gauss pour  ?

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier congru à modulo . Montrer que la somme des entiers compris entre et qui sont des carrés est égale à . (Indication : .)

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier .

  1. Démontrer le théorème de Wilson : .
  2. En déduire que le produit des carrés non nuls de est égal à . (Indication : .)

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier et un entier non divisible par .

  1. Montrer que est une puissance -ième si (et seulement si) .
  2. Pour (donc ), en déduire le « critère d'Euler » usuel : .

Exercice 4-7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que pour tout nombre premier , si est premier alors .
  2. Application : montrer que le nombre de Mersenne n'est pas premier.

Exercice 4-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier impair et

On se propose de redémontrer que , par une méthode voisine (en plus simple) de celle vue en cours pour le théorème fondamental.

On considère pour cela, dans l'anneau , l'élément . Démontrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3. est inversible ;
  4. (indication : remarquer que ).
  5. Conclure.

Exercice 4-9[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances d'un nombre premier impair.

  1. Soient un polynôme à coefficients entiers, un nombre premier, un entier positif et tel que et .
    Montrer qu'il existe un entier tel que .
  2. En déduire[1] que si est impair, tout entier non divisible par qui est un carré est aussi un carré pour tout .
  3. Ce n'est pas aussi simple si  : trouver un entier impair qui est un carré mais pas , et un entier impair qui est un carré mais pas .

Exercice 4-10[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances de . Soit un entier .

  1. Quel est l'ordre du groupe multiplicatif  ?
  2. Trouver le nombre de carrés dans ce groupe, en considérant les carrés des entiers impairs compris entre et .
  3. Vérifier que tout carré impair est congru à .
  4. En déduire[2] quels sont les carrés dans .
  5. Et dans  ?

Exercice 4-11[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier .

  1. Déduire de la loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) que .
    La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement que si et seulement si est un carré modulo .
  2. Montrer que si et seulement si le groupe contient un élément d'ordre .
  3. Montrer que les éventuels éléments d'ordre de sont exactement les racines dans du polynôme .
  4. Conclure.

Exercice 4-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier différent de et .

  1. Déduire de la loi de réciprocité quadratique que .
    La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement[3] que si et seulement si est un carré .
    On note le corps fini à p2 éléments.
  2. Montrer que si et seulement si le groupe contient un élément d'ordre .
  3. Montrer que les éventuels éléments d'ordre de sont exactement les racines dans du polynôme .
  4. Vérifier qu'un élément est racine de si et seulement si et l'élément est racine de .
  5. Montrer que si et si est un élément d'ordre de alors l'élément appartient non seulement au corps mais au sous-corps . (Indication : développer .)
  6. En déduire que si et seulement s'il existe tel que .
  7. Conclure.

Exercice 4-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux nombres premiers impairs distincts. On se propose de redémontrer[4] que .

  1. Montrer que est le nombre de couples tels que .
  2. Montrer qu'un tel couple appartient au rectangle .
  3. Montrer que de même, est le nombre de points de ce même rectangle tels que .
  4. Montrer que est le nombre de points de ce rectangle vérifiant soit , soit , et que ces deux zones sont en bijection.
  5. Conclure.

Exercice 4-14[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Symbole de Jacobi ».

Le symbole de Jacobi est défini pour tout impair et tout comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de  : pour toute suite finie de nombres premiers impairs (non nécessairement distincts), .

  1. Montrer que si et sont premiers entre eux et que sinon.
  2. A-t-on n'est pas un carré  ? A-t-on est un carré  ?
  3. Calculer .
  4. Montrer que (pour impairs) , et en déduire que .
  5. Montrer de même que (pour impairs) .
  6. Montrer que (indication : ).

Exercice 4-15[modifier | modifier le wikicode]

Soit un entier relatif non carré. On se propose de démonter qu'alors, il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels n'est pas un carré. On s'autorisera pour cela à utiliser non seulement la loi de réciprocité quadratique, mais aussi le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (pour une solution plus astucieuse qui se passe de ce théorème, voir le devoir « Principe local-global pour les carrés »).

On va distinguer trois cas, selon la parité des exposants (non tous pairs) dans la décomposition

,

où les sont des nombres premiers impairs distincts.

  1. On suppose dans cette question que ne sont pas tous pairs : par exemple (quitte à permuter les ) est impair.
    1. Montrer qu'il existe un entier non carré et congru à à .
    2. Montrer qu'il existe alors une infinité de nombres premiers congrus à et que modulo chacun de ces , l'entier n'est pas un carré.
  2. On suppose maintenant que sont pairs et impair (autrement dit : ). Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à et que pour une infinité d'entre eux, .
  3. On suppose enfin que sont pairs et impair (autrement dit : ). Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à et que pour une infinité d'entre eux, .

Exercice 4-16[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice généralise le précédent, avec les mêmes outils.

Soient un ensemble fini de nombres premiers impairs et l'ensemble .

  1. Soit une application de dans . Montrer que pour une infinité de nombres premiers , on a : .
  2. Soit un ensemble de produits d'éléments de tel qu'aucun produit d'éléments de ne soit un carré à part l'inévitable produit vide, et soit une application de dans .
    1. Pour tout , on note le vecteur du -espace vectoriel dont la composante d'indice , pour chaque , est la parité de l'exposant de dans la décomposition de en facteurs « premiers » (lorsqu'on incorpore à l'ensemble des nombres premiers).
      Montrer qu'il existe au moins une forme linéaire sur telle que .
    2. En déduire, grâce à la première question, qu'il existe une infinité de nombres premiers tels que .
    3. En utilisant la version quantitative du théorème de la progression arithmétique, préciser la densité asymptotique relative (dans l'ensemble des nombres premiers) de cet ensemble infini de solutions .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 101.
  2. C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 103.
  3. Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne. Pour le cas p ≡ 1 (mod 5), voir aussi la fin de L. Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 18, 1774 [texte intégral] (écrit en 1772).
  4. Cette preuve est due à G. Frobenius, « Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II », Sitzungsberichte Berliner Akad., 1914, p. 484-488.