Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques

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Résidus quadratiques
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Exercices no4
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Résidus quadratiques

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Séries et produits infinis formels
Exo suiv. :Formes quadratiques entières
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier et trois entiers, avec et non divisibles par . Montrer qu'il existe des entiers tels que . (Indication : combien y a-t-il de carrés dans  ?)

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier congru à modulo et un carré dans . Exprimer en fonction de et les deux racines carrées de .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Que donne le lemme de Gauss pour  ?

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier congru à modulo . Montrer que la somme des entiers compris entre et qui sont des carrés est égale à . (Indication : .)

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier .

  1. Démontrer le théorème de Wilson : .
  2. En déduire que le produit des carrés non nuls de est égal à . (Indication : .)

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier et un entier non divisible par .

  1. Montrer que est une puissance -ième si (et seulement si) .
  2. Pour (donc ), en déduire le « critère d'Euler » usuel : .

Exercice 4-7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que pour tout nombre premier , si est premier alors .
  2. Application : montrer que le nombre de Mersenne n'est pas premier.

Exercice 4-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre premier impair et

On se propose de redémontrer que , par une méthode voisine (en plus simple) de celle vue en cours pour le théorème fondamental.

On considère pour cela, dans l'anneau , l'élément . Démontrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3. est inversible ;
  4. (indication : remarquer que ).
  5. Conclure.

Exercice 4-9[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances d'un nombre premier impair.

  1. Soient un polynôme à coefficients entiers, un nombre premier, un entier positif et tel que et .
    Montrer qu'il existe un entier tel que .
  2. En déduire[1] que si est impair, tout entier non divisible par qui est un carré est aussi un carré pour tout .
  3. Ce n'est pas aussi simple si  : trouver un entier impair qui est un carré mais pas , et un entier impair qui est un carré mais pas .

Exercice 4-10[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de déterminer les carrés modulo les puissances de . Soit un entier .

  1. Quel est l'ordre du groupe multiplicatif  ?
  2. Trouver le nombre de carrés dans ce groupe, en considérant les carrés des entiers impairs compris entre et .
  3. Vérifier que tout carré impair est congru à .
  4. En déduire[2] quels sont les carrés dans .
  5. Et dans  ?

Exercice 4-11[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier .

  1. Déduire de la loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) que .
    La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement que si et seulement si est un carré modulo .
  2. Montrer que si et seulement si le groupe contient un élément d'ordre .
  3. Montrer que les éventuels éléments d'ordre de sont exactement les racines dans du polynôme .
  4. Conclure.

Exercice 4-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier différent de et .

  1. Déduire de la loi de réciprocité quadratique que .
    La suite de l'exercice va consister à redémontrer directement[3] que si et seulement si est un carré .
    On note le corps fini à p2 éléments.
  2. Montrer que si et seulement si le groupe contient un élément d'ordre .
  3. Montrer que les éventuels éléments d'ordre de sont exactement les racines dans du polynôme .
  4. Vérifier qu'un élément est racine de si et seulement si et l'élément est racine de .
  5. Montrer que si et si est un élément d'ordre de alors l'élément appartient non seulement au corps mais au sous-corps . (Indication : développer .)
  6. En déduire que si et seulement s'il existe tel que .
  7. Conclure.

Exercice 4-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux nombres premiers impairs distincts. On se propose de redémontrer[4] que .

  1. Montrer que est le nombre de couples tels que .
  2. Montrer qu'un tel couple appartient au rectangle .
  3. Montrer que de même, est le nombre de points de ce même rectangle tels que .
  4. Montrer que est le nombre de points de ce rectangle vérifiant soit , soit , et que ces deux zones sont en bijection.
  5. Conclure.

Exercice 4-14[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Symbole de Jacobi ».

Le symbole de Jacobi est défini pour tout impair et tout comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de  : pour toute suite finie de nombres premiers impairs (non nécessairement distincts), .

  1. Montrer que si et sont premiers entre eux et que sinon.
  2. A-t-on n'est pas un carré  ? A-t-on est un carré  ?
  3. Calculer .
  4. Montrer que (pour impairs) , et en déduire que .
  5. Montrer de même que (pour impairs) .
  6. Montrer que (indication : ).

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 101.
  2. C'est la méthode choisie par Gauss dans ses Recherches arithmétiques, § 103.
  3. Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne. Pour le cas p ≡ 1 (mod 5), voir aussi la fin de L. Euler, « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », dans Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 18, 1774 [texte intégral] (écrit en 1772).
  4. Cette preuve est due à G. Frobenius, « Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II », dans Sitzungsberichte Berliner Akad., 1914, p. 484-488.