Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Développement en série de Engel

Leçons de niveau 16
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Développement en série de Engel
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Devoir no6
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Devoir de niveau 16.

Dev préc. :Équation de Pell-Fermat
Dev suiv. :Sommaire
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Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Développement en série de Engel
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Soit une suite croissante d'entiers .

  1. Montrer que la série converge vers un réel .
    On dit alors que est un développement de en série de Engel.
  2. Montrer que et en déduire que le développement de en série de Engel est unique.
  3. Montrer que tout réel de possède un développement en série de Engel.
  4. Montrer que si la suite est stationnaire alors est rationnel.
  5. Prouver la réciproque.