Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Théorème des deux carrés de Jacobi

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Théorème des deux carrés de Jacobi
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Devoir no1
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Ce devoir est de niveau 16.

Dev préc. :Sommaire
Dev suiv. :Nombres équivalents
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Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Théorème des deux carrés de Jacobi
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Ce devoir est lié au chapitre 3 : Séries et produits infinis formels.

1°)  On définit les fonctions arithmétiques et par :

.
a)  Démontrer que , où (resp. ) est le nombre de diviseurs de congrus à (resp. à ) modulo .
b)  Montrer que est complètement multiplicative et en déduire que est multiplicative.
c)  Pour premier et , calculer dans chacun des trois cas suivants : , , .
d)  Déduire de ce qui précède que est non nul si et seulement si, dans la décomposition de en facteurs premiers, les nombres premiers congrus à modulo n'apparaissent qu'à des puissances paires.
e)  Vérifier que .

2°)  Pour tout , on note le nombre de couples tels que (par exemple : et ).

a)  Expliquer pourquoi .
b)  L'objet de la suite du problème est de démontrer le théorème des deux carrés de Jacobi (1829) (dont le théorème des deux carrés de Fermat se déduit, d'après la question 1.d) :
.
Déduire de ce qui précède que ce théorème équivaut à :
.

3°)  On rappelle la notation de Pochhammer .

Démontrer les identités suivantes :
a)   ;
b)  .

4°)  On définit la série formelle : .

a)  Démontrer que .
b)  On rappelle la formule du triple produit de Jacobi :
.
En déduire (à l'aide de la question précédente et en remarquant que ) :
.
c)  En évaluant en la dérivée formelle par rapport à des deux membres de l'égalité ci-dessus (pour le second, on utilisera sans justification la formule ), en déduire :
.
d)  À l'aide de la question 3 et de la formule du triple produit de Jacobi, en déduire :
.
e)  Conclure (cf. question 2.b).

Références[modifier | modifier le wikicode]

  • Daniel Duverney, Théorie des nombres, Dunod, 2007, 2e éd., p. 84-86 
  • H&W, chap. 16, § 9, théorème 278
  • Michael D. Hirschhorn, « A simple proof of Jacobi's two-square theorem », dans Amer. Math. Monthly, vol. 92, 1985, p. 579-580 [texte intégral]