Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Géométrie des nombres

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Géométrie des nombres
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Chapitre no 6
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chap. préc. :Formes quadratiques entières
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Géométrie des nombres
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Théorème de Minkowski pour un convexe symétrique[modifier | modifier le wikicode]

Présentation de l'énoncé[modifier | modifier le wikicode]





Début de l'exemple


Fin de l'exemple




Début d’un théorème


Fin du théorème


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Applications du théorème : exercices 6-4 à 6-6.1.





Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

D'après les remarques ci-dessus, il suffit de démontrer le premier point du théorème dans le cas particulier Λ = ℤn. La preuve repose sur le lemme de Blichfeldt[1], qui sera généralisé en exercice.

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 6-3 : principe des tiroirs pour les mesures et théorème de Blichfeldt.


Début d'un lemme


Fin du lemme


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Théorème de Minkowski pour des formes linéaires[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème
Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Application du théorème : exercice 6-7.







Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Application du cas m = 1 : exercice 6-6.2.



Deuxième théorème de Minkowski pour un convexe symétrique[modifier | modifier le wikicode]

Signalons seulement ce renforcement du premier théorème. Il concerne les minima successifs du réseau Γ par rapport au convexe symétrique C.




Début d’un théorème


Fin du théorème


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Hans Blichfeldt (1873-1945), mathématicien danois-américain.
  2. W. M. Schmidt, Diophantine Approximation, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 785), 1996 [lire en ligne], p. 42 et 98 .
  3. J. W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics and Mathrmatical Physics » (no 45), 1965 [lire en ligne], chap.V (« Transference theorems ») .
  4. Baker, p. 58.
  5. La preuve de Minkowski a été éclaircie par Martin Henk, « Successive Minima and Lattice Points » sur arXiv, 2002.