Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Équation de Pell-Fermat

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Équation de Pell-Fermat
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Devoir no5
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Ce devoir est de niveau 16.

Dev préc. :Principe local-global pour les carrés
Dev suiv. :Sommaire
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Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Équation de Pell-Fermat
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Wikipédia possède un article à propos de « Équation de Pell-Fermat ».

On rappelle que pour algébrique de degré  :

  • le « conjugué » de , noté , est par définition l'autre racine de son polynôme minimal si , et lui-même si  ;
  • et si , (cf. exercice 2-7, question 5) ;
  • la « trace » de est par définition le rationnel  ;
  • la « norme » de est par définition le rationnel .

On suppose dans ce problème que est un irrationnel quadratique et l'on note (pour tout ) le -ième quotient complet de son développement en fraction continue. On rappelle qu'il existe deux suites d'entiers, et (nécessairement uniques), telles que et

.
  1. Soient les rationnels définis par :
    .
    Développer et simplifier de manière à l'écrire comme la somme de et d'un rationnel.
    On obtient donc : .
  2. Montrer qu'il n'existe pas d'autre rationnel tel que .
  3. On suppose désormais que l'irrationnel quadratique est même un « entier quadratique » — c.-à-d. que les rationnels et sont en fait entiers — et que .
    1. Montrer que l'entier est strictement supérieur à .
    2. En déduire que puis, que .
    3. En déduire que est « réduit », c.-à-d. et .
  4. Par conséquent (corollaire de Galois) :
    • la fraction continue de est « purement périodique », autrement dit, en notant sa période :  ;
    • pour tout , est réduit.
    En déduire que :
    1. les rationnels sont positifs (indication : montrer et utiliser que ) ;
    2. si et seulement si  ;
    3. si , alors est un multiple de (indication : , d'après le calcul de la question 1 et l'hypothèse ) ;
    4. réciproquement, si est un multiple de , alors .
    On obtient donc : si et seulement si est un multiple de .
  5. Application à . Pour résoudre l'équation de Pell-Fermat est un entier positif non carré, on développe en fraction continue.
    Dans chacun des deux cas suivants, déterminer les ensembles
    et la valeur de pour  :
    1. cas , sachant que  ;
    2. cas , sachant que .