Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents

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Nombres équivalents
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Devoir no2
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Ce devoir est de niveau 16.

Dev préc. :Théorème des deux carrés de Jacobi
Dev suiv. :Groupe des inversibles de ℤ/n
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Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Nombres équivalents
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Ce devoir est lié au chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues.

Wikipédia possède un article à propos de « Nombres équivalents ».

On note la relation d'équivalence sur les irrationnels « avoir un quotient complet commun ».

Autrement dit, si deux irrationnels et ont pour suites de quotients complets et  :

.

1°)  Justifier brièvement les deux propriétés suivantes :

a)  avec les mêmes notations :  ;
b)  pour tout irrationnel  :
Lemme 1 : .


2°)  On considère d'autre part l'action, sur l'ensemble des irrationnels, du groupe (les matrices à coefficients entiers et de déterminant ), donnée, pour tout irrationnel , par :

.
Démontrer que (pour tous irrationnels et ) :
.

La suite de l'exercice va consister à démontrer la réciproque, à l'aide du lemme 1 ci-dessus et des lemmes 2 et 3 suivants, élémentaires donc admis : pour tout irrationnel ,


Lemme 2 : .


Lemme 3 : .


3°)  Soient deux irrationnels dans la même orbite pour l'action de . Il existe donc tels que

.
Montrer qu'on peut même choisir tels que de plus, ou .

4°)  Montrer que si alors (utiliser les lemmes 1 et 2).

5°)  On étudie maintenant le second cas : . On choisit alors, parmi les deux développements du rationnel en fraction continue finie, celui dont la longueur est de parité telle que

.
On le note
.
et l'on note (pour ) les numérateurs et dénominateurs des réduites associées.
Démontrer successivement :
a)  et  ;
b)   ;
c)   ;
d)  et enfin (en utilisant les lemmes 1 et 3) : .