Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Approximation diophantienne et fractions continues

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Approximation diophantienne et fractions continues
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Chapitre no 2
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chap. préc. : Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Chap. suiv. : Séries et produits infinis formels

Exercices :

Approximation diophantienne et fractions continues
Devoir : Nombres équivalents
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Introduction à la théorie des nombres/Approximation diophantienne et fractions continues
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Soit un réel.

Approximation d'un réel par des rationnels[modifier | modifier le wikicode]

Application du principe des tiroirs[modifier | modifier le wikicode]

On cherche à approcher par des rationnels « raisonnables » (de dénominateur et numérateur « pas trop grands »). Comme est dense dans , plus on s'autorise grand, plus on peut se rapprocher du réel . La taille nécessaire pour en fonction de l'erreur tolérée dépend de , mais pour tous les réels on a déjà :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 2-2.


Application
On en déduira (dans l'exercice lié) que si , alors il existe une infinité de fractions — et a fortiori de couples — vérifiant .
Remarque
À l'inverse, si alors, en excluant les solutions triviales , il ne reste qu'un nombre fini de solutions (voir infra).

Mesure d'irrationalité[modifier | modifier le wikicode]



Plus cette « mesure » est grande, mieux est approchable par des rationnels différents de , et moins il est algébrique. Plus précisément :

  • Elle vaut si (voir l'exercice 2-1), et elle est supérieure ou égale à sinon (voir supra).
  • Elle est finie si est algébrique, d'après le théorème de Liouville ci-dessous[1]. Les nombres de Liouville sont donc transcendants.
Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : la constante de Liouville et ses variantes.


Exemple de nombre de Liouville : la constante de Liouville (voir l'exercice lié).

On démontrera en exercice la proposition suivante :



Cette définition équivalente de la mesure d'irrationalité est plus commode pour démontrer le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Fractions continues[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Fraction continue ».

Réduites, ou fractions continues finies[modifier | modifier le wikicode]


La preuve de la propriété suivante est laissée en exercice.


Remarques
  • En particulier, , ce qui fournit une définition récursive équivalente à la précédente.
  • On n'a pas imposé pour l'instant que les soient des entiers, ni pris la précaution de supposer non nulles les quantités qu'on inverse. Cette définition est donc à prendre au sens formel, c.-à-d. en considérant les comme des indéterminées et en se plaçant dans leur corps de fractions rationnelles. Par exemple :
    .

Les deux fractions continues (finies) d'un rationnel[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout rationnel , l'algorithme d'Euclide fournit un développement de en fraction continue finie « simple », c.-à-d. avec et pour .

Le développement obtenu ainsi a la particularité que les pour sont même strictement supérieurs à . On en déduit un second développement de en fraction continue simple, qui n'a plus cette particularité : .

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 2-5.


Ce sont les deux seuls (cf. exercice lié).

La fraction continue (infinie) d'un irrationnel[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'algorithme d'Euclide ci-dessus, si l'on note (en particulier ), était la partie entière de et sa partie fractionnaire. Pour tout irrationnel , le même algorithme donne une fraction continue simple infinie :

.

Ainsi, et l'algorithme ne s'arrête évidemment jamais. L'irrationnel ( si ) et sa partie entière sont appelés le quotient complet et le quotient partiel de d'indice .

Numérateurs et dénominateurs des réduites[modifier | modifier le wikicode]

On a déjà observé que les réduites associées à une suite s'expriment rationnellement en fonction des . On peut systématiser l'exemple qui l'illustrait :


On obtient ainsi :


Remarques
  • Comme dans la définition des réduites (voir supra), ces formules sont à prendre au sens formel, les étant des indéterminées et les des polynômes en ces indéterminées. On peut donc y remplacer à volonté les indéterminées par des entiers ou même des réels, tant que cela ne remplace pas les dénominateurs par .
  • En particulier, pour une fraction continue simple infinie :
    • pour tout  : et  ;
    •  ;
    • la suite d'entiers est strictement croissante[2] donc tend vers l'infini.

Bijection entre irrationnels et fractions continues infinies[modifier | modifier le wikicode]

Les résultats de cette section sont centraux dans la théorie des fractions continues : ils établissent une bijection entre l'ensemble des fractions continues infinies simples et l'ensemble des irrationnels[3], et montrent au passage que les réduites d'un irrationnel en constituent une « bonne approximation », en un sens qui sera précisé dans la section suivante.








Début d’un théorème


Fin du théorème

Meilleure approximation[modifier | modifier le wikicode]


Remarque
La fraction approche alors mieux , au sens ordinaire (plus faible que celui de la définition), que toute autre fraction de dénominateur plus petit, car
si et alors .


Début d’un théorème


Fin du théorème

Fraction continue d'un irrationnel quadratique[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Fraction continue d'un irrationnel quadratique ».



Début d’un théorème


Fin du théorème

Pour un tel développement, on introduit la notation suivante :







Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. La mesure d'irrationalité d'un irrationnel algébrique est en fait exactement égale à 2 : c'est le théorème de Thue-Siegel-Roth (Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), et enfin Klaus Roth (1955), médaille Fields en 1958), plus précis que celui de Liouville. Par ailleurs, d'après un théorème de Khinchine de 1924, la mesure d'irrationalité de presque tout réel est égale à 2.
  2. La croissance stricte n'est garantie qu'à partir de , car si .
  3. Ceci fournit une preuve explicite du fait que l'ensemble des irrationnels a la puissance du continu. C'est d'ailleurs cette méthode qui permit à Cantor, en 1878, de démontrer directement que est équipotent à , au lieu d'utiliser que et que (via une bijection canonique) .
  4. Avec une licence pour le numérateur de la première réduite , puisque l'entier qui minimise peut être .
  5. À ne pas confondre avec la notion de conjugué d'un nombre complexe.