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Annexe : Une 2ème démonstration de la transcendance de e
Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Une 2ème démonstration de la transcendance de e », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Une 2e démonstration sans formule de Leibniz et dérivation simplifie légèrement la preuve de la transcendance de e
Si
était algébrique,
il existerait un polynôme
,
tel que
,
avec
Pour tout polynôme
on a donc
,
dont on déduit
.
En utilisant la relation de Chasles et le changement de variable
pour calculer chacune de ces intégrales dans cette somme, on obtient :
.
On a donc :
,
cela nous permet de définir de deux façons différentes une application
de
dans
telle que
En fait, il s'agit d'une application de
dans l'ensemble des entiers naturels N,
car étant donné
,
on vérifie que
et pour
,
à l'aide de cette intégration par parties
,
on obtient la relation de récurrence
, d'où
.
Si
,
dans le produit
apparaît le facteur
lorsque
,
tous les polynômes
pour
N sont alors sommes de monômes de degré supérieur ou égal à
.
Tous les termes d'indice
dans la première somme qui définit
sont donc des entiers divisibles par
,
car ils sont combinaisons linéaires à coefficients entiers de termes de la suite
.
Le terme d'indice
est seulement un multiple de
qui peut s'écrire sous la forme
, avec
N,
car le monôme de plus bas degré de
est
.
Au final
peut s'écrire sous la forme
avec
N.
Pour autoriser une minoration de l'entier positif
par son diviseur
,
il faut s'assurer que
ne soit pas nul.
On évite à coup sûr cette éventualité avec un entier
premier strictement supérieur à
et
,
pour que celui ci ne puisse pas être facteur premier de
,
et ne puisse pas ainsi diviser
,
on a donc l'implication :
Mais lorsque
,
les intégrales figurant dans la deuxième expression de
peuvent être aisément majorées,
car dans chacune d'elle la variable
doit appartenir à l'intervalle
.
Dans ces conditions,
on a
et
les
facteurs du produit
prennent donc leurs valeurs dans
,
étant donné que
et
sont eux-mêmes dans cet intervalle.
Quel que soit l'entier
,
on en déduit l'implication suivante :
Étant donné les constantes
et
dépendantes du seul polynôme
,
on déduit des inégalités (1)et (2) l'implication suivante :
Cela permettrait de mettre en évidence une infinité de termes de la série
minorés par le même nombre strictement positif
,
ceci entre en contradiction avec la convergence absolue de cette série vers
,
l'hypothèse
algébrique, qui avait autorisé les deux expressions de
ci-dessus,
est donc fausse.