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Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Une 2ème démonstration de la transcendance de e

Leçons de niveau 16
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Une 2ème démonstration de la transcendance de e
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Annexe 2
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Annexe de niveau 16.

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Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Une 2ème démonstration de la transcendance de e
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Une 2e démonstration sans formule de Leibniz et dérivation simplifie légèrement la preuve de la transcendance de e

Si était algébrique, il existerait un polynôme , tel que , avec Pour tout polynôme on a donc , dont on déduit . En utilisant la relation de Chasles et le changement de variable pour calculer chacune de ces intégrales dans cette somme, on obtient : . On a donc : , cela nous permet de définir de deux façons différentes une application de dans telle que

En fait, il s'agit d'une application de dans l'ensemble des entiers naturels N, car étant donné , on vérifie que et pour , à l'aide de cette intégration par parties , on obtient la relation de récurrence , d'où .


Si , dans le produit apparaît le facteur lorsque , tous les polynômes pour N sont alors sommes de monômes de degré supérieur ou égal à . Tous les termes d'indice dans la première somme qui définit sont donc des entiers divisibles par , car ils sont combinaisons linéaires à coefficients entiers de termes de la suite . Le terme d'indice est seulement un multiple de qui peut s'écrire sous la forme , avec N, car le monôme de plus bas degré de est . Au final peut s'écrire sous la forme avec N. Pour autoriser une minoration de l'entier positif par son diviseur , il faut s'assurer que ne soit pas nul. On évite à coup sûr cette éventualité avec un entier premier strictement supérieur à et , pour que celui ci ne puisse pas être facteur premier de , et ne puisse pas ainsi diviser , on a donc l'implication :

Mais lorsque , les intégrales figurant dans la deuxième expression de peuvent être aisément majorées, car dans chacune d'elle la variable doit appartenir à l'intervalle . Dans ces conditions, on a et les facteurs du produit prennent donc leurs valeurs dans , étant donné que et sont eux-mêmes dans cet intervalle. Quel que soit l'entier , on en déduit l'implication suivante :
Étant donné les constantes et dépendantes du seul polynôme , on déduit des inégalités (1)et (2) l'implication suivante :
Cela permettrait de mettre en évidence une infinité de termes de la série minorés par le même nombre strictement positif , ceci entre en contradiction avec la convergence absolue de cette série vers , l'hypothèse algébrique, qui avait autorisé les deux expressions de ci-dessus, est donc fausse.