Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Séries et produits infinis formels

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Problème général de la théorie additive des nombres : on se donne un ensemble d'entiers >0 et l'on cherche, pour tout entier naturel , le nombre de parties de (ou de multiensembles) (éventuellement de cardinal prescrit) dont est la somme — ou seulement, si c'est trop difficile : quels sont les pour lequels une telle partie existe. Exemples : les nombres premiers, les carrés parfaits, les cubes parfaits, etc. (cf. conjecture de Goldbach, formules de Jacobi, problème de Waring…).

Partitions d'un entier[modifier | modifier le wikicode]

On considère ici le cas le plus simple : , et l'on compte les multiensembles d'entiers plutôt que les ensembles, c'est-à-dire que dans la somme égale à , un même entier peut apparaître plusieurs fois. Ceci donne naissance à ce qu'on appelle les partitions non restreintes d'un entier :


Remarque
Une telle suite est nécessairement finie. En la complétant par une suite infinie de zéros, on peut l'identifier à une suite infinie décroissante d'entiers positifs ou nuls de somme .
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Diagramme de Ferrers en colonnes de la partition de 10.
Diagramme de Ferrers en colonnes de la partition de 10, conjuguée de .

On peut représenter une partition de par un diagramme de Ferrers[1] : cases disposées régulièrement sur colonnes, avec cases sur la première colonne, cases sur la deuxième, etc. (on peut aussi convenir de les disposer sur lignes, avec cases sur la première ligne, cases sur la deuxième, etc.).

En inversant lignes et colonnes (c.-à-d. en prenant le symétrique du diagramme par rapport à la diagonale principale), on obtient une représentation de la partition conjuguée (ou « duale »). Par exemple, les deux partitions représentées ci-contre sont duales l'une de l'autre. Les deux remarques suivantes sont des applications immédiates :


Série génératrice[modifier | modifier le wikicode]



Estimation asymptotique[modifier | modifier le wikicode]

Par des méthodes élaborées d'analyse complexe, Godfrey Harold Hardy et Srinivasa Ramanujan ont calculé, en 1918, un développement asymptotique de la suite , dont le premier terme est l'équivalent suivant :

(Rappelons que .)

En 1937, en affinant leur méthode, Hans Rademacher a donné une expression exacte de sous la forme d'une série convergente.

Nous nous contenterons ici de démontrer une majoration élémentaire (qui sera un peu affinée en exercice) :


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 3-8.



Théorème des nombres pentagonaux[modifier | modifier le wikicode]


Un nombre pentagonal est un entier de la forme avec (pour l'explication de ce nom, voir Introduction aux suites numériques/Exercices/Suites arithmétiques#Nombres polygonaux).


Le théorème suivant explicite la fonction d'Euler, inverse de la série génératrice de . Nous en verrons en exercice deux démonstrations : l'une — à l'aide des diagrammes de Ferrers — via sa formulation combinatoire, l'autre — à l'aide du théorème du triple produit de Jacobi (voir infra) — via sa formulation algébrique.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Grâce à ce théorème, on obtient une méthode de calcul de bien plus efficace que de calculer récursivement les nombres de partitions de en parties puis d'en déduire  :


Triple produit de Jacobi et identités d'Euler[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

Avant de le démontrer, introduisons les notations plus compactes de Pochhammer[2].



Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début d’un théorème


Fin du théorème

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. Norman Macleod Ferrers, 1829-1903, mathématicien britannique.
  2. Leo August Pochhammer, 1841-1920, mathématicien prussien.
  3. George E. Andrews, « A simple proof of Jacobi's triple product identity », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 16, 1965 [texte intégral]. Voir aussi H&W, th. 352.