Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Formes quadratiques entières

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Formes quadratiques entières
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Chapitre no 5
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chap. préc. :Résidus quadratiques
Chap. suiv. :Géométrie des nombres

Exercices :

Formes quadratiques entières
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Définitions et premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple
Fin de l'exemple




Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercices 5-9 à 5-11.


Panneau d’avertissement

L'adverbe « proprement » est indispensable dans la proposition et le corollaire ci-dessus (sauf bien sûr lorsqu'il s'agit des représentations d'un entier sans facteur carré). Par exemple, pour n'importe quel discriminant , tout carré est représentable par une forme de discriminant (non proprement : ) tandis que son diviseur ne l'est pas toujours : penser par exemple au théorème des deux carrés (exercice 5-5) ou plus généralement, pour un discriminant non carré, aux nombres premiers modulo lesquels n'est pas un carré (il y en a une infinité).

Typologie[modifier | modifier le wikicode]

Lorsqu'on s'intéresse à l'ensemble des entiers représentés par , il est naturel de mettre en facteur .



Début de l'exemple
Fin de l'exemple

On introduit de plus la classification suivante (issue de celle des formes réelles) :


Il reste donc à étudier les formes définies positives et les formes indéfinies non isotropes (en se limitant, si on le souhaite, à celles qui sont primitives).

La théorie de la réduction, essentiellement due à Gauss[8], va permettre de montrer que le nombre de classes est fini.

Réduction des formes définies positives[modifier | modifier le wikicode]

On étudie donc ici le cas et .

Autrement dit : est réduite si ou .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème
Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercices 5-4 et 5-5.



Réduction des formes indéfinies anisotropes[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas des formes indéfinies anisotropes ( non carré), on pourrait choisir les mêmes définition et algorithme que pour en remplaçant par leurs valeurs absolues, mais on perdrait l'unicité.

Cependant, avec le même genre de définition et d'algorithme que pour la fraction continue (périodique) d'un irrationnel quadratique, Gauss obtient « presque » l'unicité :



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Gauss se restreignait à ce cas ; l'hypothèse pair complique sa théorie de la composition mais est nécessaire par exemple dans le théorème des 15. La condition entiers (avec non nécessairement pair) est cependant naturelle car elle équivaut à (voir l'exercice lié).
    Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Exercice 5-1.


  2. Tandis que pour une forme quadratique binaire à coefficients dans un corps, le discriminant est par définition modulo les carrés d'éléments non nuls.
  3. J. P. G. Lejeune Dirichlet, « Recherches sur diverses applications de l'Analyse infinitésimale à la théorie des Nombres », J. reine angew. Math., vol. 19, 1839, p. 324-369 [texte intégral].
  4. J. P. G. Lejeune Dirichlet, « Über eine Eigenschaft der quadratischen Formen », Ber. Preuss. Akad. Wiss., 1840, p. 49-52 [texte intégral].
  5. Heinrich Weber, « Beweis des Satzes, dass jede eigentlich primitive quadratische Form unendlich viele Primzahlen darzustellen fähig ist », Math. Ann., vol. 20, 1882, p. 301-329 [texte intégral].
  6. W. E. Briggs, « An elementary proof of a theorem about the representation of primes by quadratic forms », Canad. J. Math., vol. 6, 1954, p. 353-363 [lien DOI]
  7. Harmut Ehlich, « Ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für binäre quadratische Formen », J. reine angew. Math., vol. 201, 1959, p. 1-36 [texte intégral].
  8. J. Oesterlé, « La classification de Gauss des formes binaires quadratiques », L'Enseignement mathématique, vol. 34, 1988, p. 44-52.
  9. Henri Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, coll. « GTM » (no 138), 1993 [lire en ligne], p. 243 .

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

« Finding the class number h(d) of binary quadratic forms of negative discriminant d », sur numbertheory.org