Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres

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Géométrie des nombres
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Exercices no6
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Géométrie des nombres

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Formes quadratiques entières
Exo suiv. :Sommaire
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres
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Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Construire dans le plan :

  1. un convexe d'aire infinie mais ne contenant aucun point de  ;
  2. une partie symétrique par rapport à l'origine et d'aire infinie mais ne contenant aucun point de .

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle les deux points du théorème de Minkowski :

Soit un convexe symétrique par rapport à .

  1. Si , alors contient au moins un élément non nul de .
  2. Si et si est compact, on a la même conclusion.

Montrez que chacun des deux points se déduit de l'autre.

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit un entier .

  1. Démontrer le « principe des tiroirs pour les mesures » :
    Soient un espace mesuré et une suite de parties mesurables de .
    Si , alors il existe un point de appartenant à au moins de ces parties.
  2. En déduire le théorème de Blichfeldt :
    Soit une partie Lebesgue-mesurable de .
    • Si , alors contient points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
    • Si et si est compact, on a la même conclusion.

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier

.

Il existe donc[4] un entier tel que .

En considérant le réseau et le disque ouvert de centre et de rayon , redémontrer[5] le théorème des deux carrés « de Fermat »[6] :

est somme de deux carrés.

Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des quatre carrés de Lagrange ».
  1. Soit un nombre premier . Il existe donc[7] des entiers tels que .
    En considérant le réseau pour et la boule[8] ouverte de centre et de rayon , démontrer que
    est somme de quatre carrés.
  2. En utilisant l'identité des quatre carrés d'Euler[9], selon laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés, en déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange :
    tout entier positif est somme de quatre carrés.

Exercice 6-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Montrer qu'il existe :

  1. tels que et (considérer ) ;
  2. tels que , et .

Exercice 6-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux entiers. Montrer que pour tout réel , il existe deux entiers et tels que , et .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pete L. Clark, « Geometry of numbers with applications to number theory », Proposition 5.9, p. 30.
  2. Jesús A. De Loera et Raymond Hemmecke, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization, SIAM, 2013 [lire en ligne], p. 41-42 .
  3. John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer, 1971 (1re éd. 1959) [lire en ligne], p. 70 .
  4. Voir chapitre 4.
  5. Cf. exercice 5-5.
  6. Énoncé par Albert Girard dès 1625, puis par Fermat, et démontré en 1749 par Euler.
  7. Cf. exercice 4-1.
  8. On rappelle que le volume de la boule unité en dimension n est égal à et que la fonction Gamma vérifie .
  9. Analogue pour 4 carrés de celle de Diophante pour 2 carrés, vue dans l'exercice 5-6.