Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Séries et produits infinis formels

Exercice 3-1

Quelle est la série génératrice du nombre de partitions de $n$ en parties qui sont :

1. paires et inférieures ou égales à $k$ ?
2. paires (resp. impaires) ?
3. des carrés parfaits ?
4. des nombres premiers ?
5. distinctes ?
6. des carrés parfaits distincts ?
7. des nombres premiers distincts ?

Solution

1. ${\frac {1}{\prod _{1\leq n\leq k/2}\left(1-X^{2n}\right)}}$ ;
2. ${\frac {1}{\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{2n}\right)}}$ (resp. ${\frac {1}{\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{2n-1}\right)}}$) ;
3. ${\frac {1}{\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{n^{2}}\right)}}$;
4. ${\frac {1}{\prod _{p{\text{ premier}}}\left(1-X^{p}\right)}}$ ;
5. $\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{n}\right)$ ;
6. $\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{n^{2}}\right)$ ;
7. $\prod _{p{\text{ premier}}}\left(1+X^{p}\right)$.

 

Exercice 3-2

Démontrer, à l'aide des séries génératrices, que :

1. le nombre de partitions de $n$ en parties distinctes est égal au nombre de ses partitions en parties impaires ;
2. le nombre de partitions de $n$ dans lesquelles les parties paires sont en nombre pair moins celui où elles sont en nombre impair est égal à celui en parties distinctes impaires.

Solution

1. $\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{k}\right)=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1-X^{2k}}{1-X^{k}}}={\frac {1}{\prod _{j\in \mathbb {N} }\left(1-X^{2j+1}\right)}}$.
2. $\prod _{j\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1}{1+X^{2j}}}\prod _{j\in \mathbb {N} }{\frac {1}{1-X^{2j+1}}}=\prod _{j\in \mathbb {N} }\left(1+X^{2j+1}\right)$, d'après la question 1.

 

Exercice 3-3

En raisonnant sur des diagrammes de Ferrers, démontrer que :

1. pour tout $n\in \mathbb {Z}$, il y a $p(n)-p(n-1)$ partitions de $n$ dans lesquelles chaque partie est supérieure ou égale à $2$, et autant dans lesquelles les deux plus grandes parties sont égales ;
2. pour tout $n\in \mathbb {N}$, $p(1)+p(2)+\dots +p(n)<p(2n)$. Indication : pour chaque $k$ de $1$ à $n$, transformer un diagramme d'une partition de $k$ en un diagramme d'une partition de $2n$ en lui ajoutant une ligne.

Solution

1. Il s'agit de montrer qu'il y a $p(n-1)$ partitions de $n$ avec au moins une partie égale à $1$. Or leurs diagrammes de Ferrers sont en bijection avec ceux des partitions de $n-1$ (en supprimant la dernière partie, égale à $1$).
2. L'indication donne une injection, et l'inégalité est stricte car il y a aussi la partition de $2n$ constituée d'une seule partie.

 

Exercice 3-4

Soit $E$ l'ensemble des diagrammes de Ferrers des partitions de $n$ en parties distinctes, chaque partition étant représentée par une suite de lignes de longueurs strictement décroissantes. On note $p_{P}(n)$ (resp. $p_{I}(n)$) le nombre de celles en un nombre pair (resp. impair) de parties.

On considère deux transformations $A$ et $B$, définies partiellement de $E$ dans $E$ de la façon suivante :

• pour $e\in E$, soient $b$ le nombre de points de la « base » (l'horizontale inférieure) et $o$ le nombre de points de l'« oblique » (à 45 degrés en haut à droite) ;
• on construit $A(e)$ en déplaçant la base en une oblique supplémentaire (le long des $o$ points) ;
• on construit $B(e)$ en déplaçant l'oblique en une base supplémentaire (sous les $b$ points) ;
• dans les deux cas, la transformation n'est autorisée que si le nouveau diagramme est encore un élément de $E$.

$B:\rightarrow \quad A:\leftarrow$

1. Montrer que si $n$ est tel que pour chaque $e\in E$, une et une seule des deux opérations est autorisée, alors $p_{P}(n)=p_{I}(n)$.
2. Montrer que $A$ est autorisée si $b<o$, qu'elle ne l'est pas si $b>o$, et qu'elle l'est si $b=o$ sauf, pour certains entiers $n$ (à préciser), pour un élément particulier de $E$ (à dessiner).
3. Montrer que $B$ est autorisée si $b>o+1$, qu'elle ne l'est pas si $b<o+1$, et qu'elle l'est si $b=o+1$ sauf exception à préciser de même.
4. En déduire le théorème des nombres pentagonaux : $p_{P}(n)-p_{I}(n)=0$ sauf si $n=k(3k\pm 1)/2$, auquel cas cette différence vaut $(-1)^{k}$.

Solution

(Pour des illustrations, voir par exemple H&W ou l'article de Wikipédia.)

1. Si, pour chaque élément de $E$, une et une seule des deux opérations $A$ ou $B$ est autorisée, alors l'application qui à tout élément de $E$ associe le résultat de cette opération est (une involution de $E$ donc) une bijection de $E$ dans $E$. Comme elle change la parité du nombre de lignes, elle se restreint en une bijection de $E_{P}$ (l'ensemble des éléments de $E$ ayant un nombre pair de lignes) dans $E_{I}$ (l'ensemble des éléments de $E$ ayant un nombre impair de lignes) donc $p_{P}(n)=p_{I}(n)$.
2. $A$ est autorisée si et seulement l'oblique le long de laquelle on veut plaquer la base est suffisamment longue, c'est-à-dire $o\geq b$, à l'exception suivante près : si $o=b$ et si l'oblique et la base ont un point en commun, $A$ est interdite. Notons $k$ le nombre de lignes de cette éventuelle partition exceptionnelle. $n=\sum _{i=0}^{k-1}\left(k+i\right)={\frac {k\left(3k-1\right)}{2}}$.
3. $B$ est autorisée si et seulement la base le long de laquelle on veut plaquer l'oblique est suffisamment longue, c'est-à-dire $b\geq o+1$ (pour que la nouvelle suite de lignes soit bien de longueurs strictement décroissantes), à l'exception suivante près : si $b=o+1$ et si l'oblique et la base ont un point en commun, $B$ est interdite. Notons $k$ le nombre de lignes de cette éventuelle partition exceptionnelle. $n=\sum _{i=0}^{k-1}\left(k+1+i\right)={\frac {k\left(3k+1\right)}{2}}$.
4. D'après les trois questions précédentes, si $n$ n'est pas un nombre pentagonal alors $p_{P}(n)=p_{I}(n)$. Si au contraire $n={\frac {k\left(3k\pm 1\right)}{2}}$ alors, en notant $e$ la partition exceptionnelle (à $k$ lignes) pour laquelle ni $A$ ni $B$ n'est autorisée, on a, pour toutes les autres, une et une seule des deux opérations autorisée, et l'opération « soit $A$, soit $B$ » est une involution de $E\setminus \{e\}$ donc par restriction (comme dans la question 1) une bijection de $E_{P}\setminus \{e\}$ dans $E_{I}$ si $k$ est pair, auquel cas on trouve $p_{P}(n)-1=p_{I}(n)$, ou une bijection de $E_{P}$ dans $E_{I}\setminus \{e\}$ si $k$ est impair, auquel cas $p_{P}(n)=p_{I}(n)-1$. Dans les deux cas, $p_{P}(n)-p_{I}(n)=(-1)^{k}$.

 

Exercice 3-5

À l'aide de la formule du triple produit de Jacobi, redémontrer le théorème des nombres pentagonaux :

$\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{k}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(3n-1)/2}$.

Solution

$q=X^{3},c=-1/X^{2}$ : $\left(X;X^{3}\right)_{\infty }=\left(X^{3};X^{3}\right)_{\infty }\;\left(X;X^{3}\right)_{\infty }\;\left(X^{2};X^{3}\right)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{3n(n+1)/2-2n}(-1)^{n}$.

 

Exercice 3-6

Déduire de la première identité d'Euler les deux identités suivantes :

1. $\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(1+X^{2n+1}\right)=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k^{2}}}{\left(1-X^{2}\right)\left(1-X^{4}\right)\dots \left(1-X^{2k}\right)}}$ ;
2. $\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{2n}\right)=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k+1)}}{\left(1-X^{2}\right)\left(1-X^{4}\right)\dots \left(1-X^{2k}\right)}}$.

Solution

1. $\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(1+X^{2n+1}\right)=\left(-X;X^{2}\right)_{\infty }=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k-1)}}{\left(X^{2};X^{2}\right)_{k}}}X^{k}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k^{2}}}{\left(1-X^{2}\right)\left(1-X^{4}\right)\dots \left(1-X^{2k}\right)}}$ ;
2. $\prod _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1+X^{2n}\right)=\left(-X^{2};X^{2}\right)_{\infty }=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k-1)}}{\left(X^{2};X^{2}\right)_{k}}}X^{2k}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k(k+1)}}{\left(1-X^{2}\right)\left(1-X^{4}\right)\dots \left(1-X^{2k}\right)}}$.

 

Exercice 3-7

1. Déduire du triple produit de Jacobi la formule suivante :

   $(q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-q/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {N} }c^{-n}\left(1-c+c^{2}-c^{3}+\dots +c^{2n}\right)q^{n(n+1)/2}$.

2. En déduire une expression sous forme de produit infini de $\sum _{n\in \mathbb {N} }X^{n(n+1)/2}$.
3. En déduire aussi une expression sous forme de série de $\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{k}\right)^{3}$.

Solution

1. À gauche, $(-1/c;q)_{\infty }=(1+1/c)(-q/c;q)_{\infty }$. À droite, pour $n\in \mathbb {N}$, $q^{(-n-1)(-n)/2}c^{-n-1}=q^{n(n+1)/2}c^{-n-1}$.
   ${\frac {c^{n}+c^{-n-1}}{1+1/c}}=c^{-n}{\frac {c^{2n+1}+1}{c+1}}=c^{-n}\left(1-c+c^{2}-c^{3}+\dots +c^{2n}\right)$.
2. $q=X,c=1$ : $\sum _{n\in \mathbb {N} }X^{n(n+1)/2}=(X;X)_{\infty }\;(-X;X)_{\infty }\;(-X;X)_{\infty }=\left(X^{2};X^{2}\right)_{\infty }(-X;X)_{\infty }={\frac {\left(X^{2};X^{2}\right)_{\infty }}{\left(X;X^{2}\right)_{\infty }}}$ (cf. exercice 3-2, question 1).
3. $q=X,c=-1$ : $\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{k}\right)^{3}=(X;X)_{\infty }^{3}=\sum _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{n}(2n+1)X^{n(n+1)/2}$.

 

Exercice 3-8

En affinant la preuve de la majoration vue en cours :

$p(n)\leq \exp \left(K{\sqrt {n}}\right)$ avec $K:=2{\sqrt {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$,

démontrer que

$\forall n>1\quad p(n)<{\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}\exp \left(K{\sqrt {n}}\right)$.

Indication : montrer que pour $0<x<1$, $F(x):=\sum p(k)x^{k}>{\frac {p(n)x^{n}}{1-x}}$ et se souvenir que $\ln F(x)<{\frac {\pi ^{2}}{6t}}$ pour $t:={\frac {1-x}{x}}$.

Solution

Puisque la suite $\left(p\left(k\right)\right)$ est positive et croissante, $F(x)\geq \sum _{k\geq n}p(k)x^{k}\geq p(n)\sum _{k\geq n}x^{k}={\frac {p(n)x^{n}}{1-x}}$ donc

$\ln p(n)\leq \ln F(x)-n\ln x+\ln \left(1-x\right)<{\frac {\pi ^{2}}{6t}}+\left(n-1\right)\ln \left(1+t\right)+\ln t<{\frac {\pi ^{2}}{6t}}+\left(n-1\right)t+\ln t=:f(t)$.

Par conséquent,

$\ln p(n)<\min _{t>0}f(t)\leq f\left({\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}\right)=2\pi {\sqrt {\frac {n-1}{6}}}+\ln {\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}<K{\sqrt {n}}+\ln {\frac {\pi }{\sqrt {6\left(n-1\right)}}}$.

 

Exercice 3-9

On pose

$\sum _{n\in \mathbb {N} }A(n)X^{n}:={\frac {1}{\left(X;X^{6}\right)_{\infty }\left(X^{5};X^{6}\right)_{\infty }}}\quad {\text{et}}\quad \sum _{n\in \mathbb {N} }B(n)X^{n}:=\left(-X;X^{3}\right)_{\infty }\left(-X^{2};X^{3}\right)_{\infty }$.

1. Quelle est l'interprétation combinatoire de $B(n)$ et $A(n)$ en termes de nombres de partitions ?
2. Démontrer l'identité $\left(-a;q\right)_{\infty }={\frac {\left(a^{2};q^{2}\right)_{\infty }}{\left(a;q^{2}\right)_{\infty }\left(aq;q^{2}\right)_{\infty }}}$.
3. En déduire que $B(n)=A(n)$ ($\forall n\in \mathbb {N}$).

Solution

1. • $B(n)$ est le coefficient de $X^{n}$ dans $\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*} \atop k\equiv \pm 1{\bmod {3}}}\left(1+X^{k}\right)$. C'est donc le nombre de partitions de $n$ en parties distinctes congrues à $\pm 1{\bmod {3}}$.
   • $A(n)$ est le coefficient de $X^{n}$ dans $\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*} \atop k\equiv \pm 1{\bmod {6}}}{\frac {1}{1-X^{k}}}=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*} \atop k\equiv \pm 1{\bmod {6}}}\sum _{m\in \mathbb {N} }X^{km}$. C'est donc le nombre de partitions de $n$ en parties congrues à $\pm 1{\bmod {6}}$.
2. $\left(-a;q\right)_{\infty }\left(a;q^{2}\right)_{\infty }\left(aq;q^{2}\right)_{\infty }=\left(-a;q\right)_{\infty }\left(a;q\right)_{\infty }=\left(a^{2};q^{2}\right)_{\infty }$.
3. $\sum _{n\in \mathbb {N} }B(n)X^{n}={\frac {\left(X^{2};X^{6}\right)_{\infty }}{\left(X;X^{6}\right)_{\infty }\left(X^{4};X^{6}\right)_{\infty }}}{\frac {\left(X^{4};X^{6}\right)_{\infty }}{\left(X^{2};X^{6}\right)_{\infty }\left(X^{5};X^{6}\right)_{\infty }}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }A(n)X^{n}$.

 

Exercice 3-10

(Apostol, exercice 7 p. 326 ; H&W, theorem 355-356.)

1. À l'aide de la formule du triple produit de Jacobi, démontrer que :
   1. $\prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}^{\infty }\left(1-X^{5m}\right)\left(1-X^{5m-1}\right)\left(1-X^{5m-4}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(5n-3)/2}$ ;
   2. $\prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-X^{5m}\right)\left(1-X^{5m-2}\right)\left(1-X^{5m-3}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(5n+1)/2}$.
2. À quoi correspond le coefficient de $X^{n}$ dans le développement en série du produit formel $\prod _{k\geq 1}(1+X^{k})$ et dans celui de $\prod _{k\geq 1}(1-X^{k})$ ? (Justifier.)
3. Quelle est l'interprétation combinatoire des égalités de la question 1, en termes de nombres de partitions ?

Solution

1. 1. En prenant $q=X^{5}$ et $c=-1/X^{4}$ dans $(q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-1/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n(n+1)/2}c^{n}$, on obtient :

      ${\begin{aligned}\prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}^{\infty }\left(1-X^{5m}\right)\left(1-X^{5m-1}\right)\left(1-X^{5m-4}\right)&=(X^{5};X^{5})_{\infty }\;(X^{4};X^{5})_{\infty }\;(X;X^{5})_{\infty }\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{5n(n+1)/2}(-1/X^{4})^{n}\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(5n-3)/2}.\end{aligned}}$

      On pourrait aussi choisir $c=-1/X$, ce qui donnerait $\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(5n+3)/2}$, égale à la série précédente par changement d'indice $n\mapsto -n$.

   2. Pour $q=X^{5}$ et $c=-1/X^{2}$, l'identité du triple produit donne :

      $(X^{5};X^{5})_{\infty }\;(X^{3},X^{5})_{\infty }\;(X^{2};X^{5})_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{5n(n+1)/2-2n}(-1)^{n}$,

      qui équivaut à l'égalité à démontrer.

2. 1. Lorsqu'on développe (par distributivité) $\prod _{k\geq 1}(1+X^{k})$, on obtient $X^{n}$ autant de fois qu'il y a de façons de choisir, dans chaque parenthèse, soit $1$, soit $X^{k}$, de telle manière que le produit des $X^{k}$ choisis soit $X^{n}$, c'est-à-dire que $n$ soit la somme des $k$ pour lesquels c'est $X^{k}$ qui est choisi. Le coefficient de $X^{n}$ dans la série obtenue est donc le nombre de partitions de $n$ en parties distinctes.\\
   2. Lorsqu'on développe $\prod _{k\geq 1}(1-X^{k})$, on obtient bien sûr $X^{n}$ autant de fois, mais $N_{+}$ fois avec le signe + et $N_{-}$ fois avec le signe –, où $N_{+}$ est le nombre de façons de choisir $-X^{k}$ dans un nombre pair de parenthèses (et $1$ dans les autres) et $N_{-}$ est le nombre de façons de choisir $-X^{k}$ dans un nombre impair de parenthèses (et $1$ dans les autres), de telle manière, dans les deux cas, que $n$ soit la somme des $k$ pour lesquels c'est $-X^{k}$ qui est choisi. Le coefficient de $X^{n}$ dans la série obtenue est donc le nombre de partitions de $n$ en un nombre pair de parties distinctes moins le nombre de partitions de $n$ en un nombre impair de parties distinctes.
3. 1. Le nombre de partitions de $n$ en un nombre pair de parties distinctes congrues à $0$, $-1$ ou $1{\bmod {5}}$ moins le nombre de partitions de $n$ en un nombre impair de parties distinctes congrues à $0$, $-1$ ou $1{\bmod {5}}$ est nul, sauf si $n$ est un « nombre heptagonal généralisé », c'est-à-dire de la forme $k(5k-3)/2$ avec $k\in \mathbb {Z}$ (égal à $k(5k\pm 3)/2$ avec $k\in \mathbb {N}$), auquel cas cette différence vaut $(-1)^{k}$.
   2. Le nombre de partitions de $n$ en un nombre pair de parties distinctes congrues à $0$, $-2$ ou $2{\bmod {5}}$ moins le nombre de partitions de $n$ en un nombre impair de parties distinctes congrues à $0$, $-2$ ou $2{\bmod {5}}$ est nul, sauf si $n$ est de la forme $k(5k+1)/2$ avec $k\in \mathbb {Z}$ (égal à $k(5k\pm 1)/2$ avec $k\in \mathbb {N}$), auquel cas cette différence vaut $(-1)^{k}$.

 

Notes et références

En complément de cette feuille d'exercices, voir le devoir « Théorème des deux carrés de Jacobi ».