Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Séries et produits infinis formels

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Séries et produits infinis formels
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Exercices no3
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Séries et produits infinis formels

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Approximation diophantienne et fractions continues
Exo suiv. :Résidus quadratiques
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Séries et produits infinis formels
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Quelle est la série génératrice du nombre de partitions de en parties qui sont :

  1. paires et inférieures ou égales à  ?
  2. paires (resp. impaires) ?
  3. des carrés parfaits ?
  4. des nombres premiers ?
  5. distinctes ?
  6. des carrés parfaits distincts ?
  7. des nombres premiers distincts ?

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer, à l'aide des séries génératrices, que :

  1. le nombre de partitions de en parties distinctes est égal au nombre de ses partitions en parties impaires[1] ;
  2. le nombre de partitions de dans lesquelles les parties paires sont en nombre pair moins celui où elles sont en nombre impair est égal à celui en parties distinctes impaires[2].

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

En raisonnant sur des diagrammes de Ferrers, démontrer que :

  1. pour tout , il y a partitions de dans lesquelles chaque partie est supérieure ou égale à , et autant dans lesquelles les deux plus grandes parties sont égales[3] ;
  2. pour tout , . Indication : pour chaque de à , transformer un diagramme d'une partition de en un diagramme d'une partition de en lui ajoutant une ligne[4].

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'ensemble des diagrammes de Ferrers des partitions de en parties distinctes, chaque partition étant représentée par une suite de lignes de longueurs strictement décroissantes. On note (resp. ) le nombre de celles en un nombre pair (resp. impair) de parties.

On considère deux transformations et , définies partiellement de dans de la façon suivante :

  • pour , soient le nombre de points de la « base » (l'horizontale inférieure) et le nombre de points de l'« oblique » (à 45 degrés en haut à droite) ;
  • on construit en déplaçant la base en une oblique supplémentaire (le long des points) ;
  • on construit en déplaçant l'oblique en une base supplémentaire (sous les points) ;
  • dans les deux cas, la transformation n'est autorisée que si le nouveau diagramme est encore un élément de .
******o*******
*****o*******
************
***********
********oo
  1. Montrer que si est tel que pour chaque , une et une seule des deux opérations est autorisée, alors .
  2. Montrer que est autorisée si , qu'elle ne l'est pas si , et qu'elle l'est si sauf, pour certains entiers (à préciser), pour un élément particulier de (à dessiner).
  3. Montrer que est autorisée si , qu'elle ne l'est pas si , et qu'elle l'est si sauf exception à préciser de même.
  4. En déduire le théorème des nombres pentagonaux[5] : sauf si , auquel cas cette différence vaut .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de la formule du triple produit de Jacobi, redémontrer le théorème des nombres pentagonaux :

.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Déduire de la première identité d'Euler les deux identités suivantes[6] :

  1.  ;
  2. .

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déduire du triple produit de Jacobi la formule suivante :
    .
  2. En déduire une expression[7] sous forme de produit infini de .
  3. En déduire aussi une expression[8] sous forme de série de .

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

En affinant[9] la preuve de la majoration vue en cours :

avec ,

démontrer que

.

Indication : montrer que pour , et se souvenir que pour .

Exercice 3-9[modifier | modifier le wikicode]

Dans cet exercice, le produit infini formel (usuellement noté ) sera noté simplement . On pose

.
  1. Quelle est l'interprétation combinatoire de et en termes de nombres de partitions ?
  2. Montrer que .
  3. En déduire que ().

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. H & W, th. 344.
  2. Remarque due à Derrick Lehmer, d'après R. B. J. T. Allenby et Alan Slomson, How to Count: An Introduction to Combinatorics, 2011, 2e éd. [lire en ligne], p. 138-140 .
  3. Extrait de Allenby et Slomson 2011, p. 94. Remarque : on peut aussi le prouver à l'aide des séries génératrices.
  4. Extrait de Allenby et Slomson 2011, p. 93.
  5. Preuve due à Fabian Franklin, 1881.
  6. H & W, th. 345-346.
  7. Apostol, p. 326, l'appelle le théorème des nombres triangulaires de Gauss.
  8. Encore un théorème de Jacobi.
  9. Cette amélioration à peu de frais a été trouvée en 1974 par Jacobus H. van Lint : cf. Apostol, p. 318.
  10. Eric Weisstein, « Schur's Partition Theorem » sur MathWorld.