Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues

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Approximation diophantienne et fractions continues
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Exercices no2
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Approximation diophantienne et fractions continues

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. : Nombres premiers et fonctions arithmétiques
Exo suiv. : Séries et produits infinis formels
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On note sa mesure d'irrationalité, c'est-à-dire la borne supérieure (éventuellement infinie) de l'ensemble des réels tels que pour une infinité de couples .

  1. Pourquoi a-t-on toujours  ?
  2. Soit la borne inférieure de l'ensemble des réels pour lesquels :
    il existe tel que pour tout rationnel .
    Démontrer que . (Indication : montrer que et que .)
  3. Démontrer que la mesure d'irrationalité de tout rationnel est égale à .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un irrationnel. On pose et .

  1. Déduire du théorème d'approximation de Dirichlet que est infini.
  2. En déduire que la mesure d'irrationalité de est supérieure ou égale à .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer qu'un réel est de Liouville (c'est-à-dire de mesure d'irrationalité infinie) si et seulement si pour tout entier , il existe des entiers et tels que .
  2. En déduire que pour tout entier et toute suite d'entiers compris entre et , le nombre est de Liouville, à condition bien sûr qu'une infinité de soient non nuls. Indication : poser et .
  3. En déduire que l'ensemble des nombres de Liouville a la puissance du continu.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer la proposition suivante du cours : si

alors () :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient , et . Vérifier que .
  2. En déduire la fin de la preuve du théorème de bijection entre irrationnels et fractions continues infinies, c'est-à-dire : soient une fraction continue simple infinie, la limite (irrationnelle) de la suite de ses réduites et la fraction continue de  ; montrer (par récurrence bien fondée) que .
  3. En déduire également qu'un rationnel n'a qu'un développement (en fraction continue simple finie) de la forme avec (donc n'a que deux développements, le second étant ).

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient un irrationnel, la suite de ses réduites et un rationnel ().

  1. On rappelle (cf. preuve du théorème de meilleure approximation) que pour tout tel que , on a . Montrer que pour un tel ,
    .
  2. Montrer qu'il existe tel que et déduire de la question précédente que pour un tel , .
  3. En déduire que si alors est égal à l'une des réduites de .
  4. Application : soient un entier positif non carré et deux entiers strictement positifs tels que .
    Montrer que et en déduire que est l'une des réduites de .
descriptif indisponible
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Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice constitue une démonstration du théorème de Lagrange sur les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang.

Soient un irrationnel et, dans son développement en fraction continue, la suite des quotients complets et celle des quotients partiels.

  1. Montrer que si est -périodique () à partir du rang alors est un irrationnel quadratique, c.-à-d. algébrique de degré 2 et en déduire qu'alors, aussi.
    Indication : d'après l'équation générique vue dans l'exercice 2-4, on a et de même, pour certains entiers avec .
  2. Réciproquement, dans toute la suite de l'exercice, on suppose que est racine d'un polynôme de degré 2 à coefficients entiers, noté . En utilisant que , construire par récurrence une suite de couples telle que soit racine du polynôme .
  3. Vérifier que la suite des discriminants est constante.
  4. Pour tout irrationnel quadratique , notons son « conjugué », c'est-à-dire l'autre racine de son polynôme minimal sur . Calculer le produit en fonction des coefficients de .
  5. Un petit lemme utile pour les deux questions suivantes : montrer que pour tout irrationnel quadratique et tous rationnels et , on a et .
  6. Montrer que pour au moins un , (en montrant que sinon, et auraient même fraction continue, ce qui est absurde).
  7. Pour un tel , démontrer que et en déduire que et sont de signes contraires.
  8. En déduire que les coefficients de ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs.
  9. En déduire que et sont périodiques à partir d'un certain rang.

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Galois sur les fractions continues purement périodiques.

Soient un irrationnel quadratique, la suite de ses quotients complets, la suite de leurs conjugués et la suite de ses quotients partiels. D'après l'exercice précédent, ces suites sont donc -périodiques à partir d'un certain rang (pour un certain entier ).

  1. On pose . Montrer que .
  2. On suppose que . D'après l'exercice précédent (question 7), tous les sont donc positifs. Montrer qu'ils sont même supérieurs à , et que le développement de en fraction continue est . En déduire que est un irrationnel quadratique « réduit », c'est-à-dire que et , ou encore : .
  3. Réciproquement, on suppose que est réduit. Montrer qu'alors, pour tout , est la partie fractionnaire de , et en déduire que .

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Legendre sur les fractions continues des racines carrées de rationnels.

  1. Soit un rationnel non carré d'un rationnel, et soit sa partie entière. Montrer que l'irrationnel quadratique est « réduit » (notion définie dans l'exercice précédent). Son développement est donc purement périodique : . Écrire de deux façons (en fonction de et des ) le développement en fraction continue de et en déduire qu'il est de la forme .
  2. Réciproquement, soit un irrationnel dont le développement en fraction continue est de la forme (ce qui implique ). Écrire le développement en fraction continue de et en déduire que puis, que .