En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Approximation diophantienne et fractions continues
Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Approximation diophantienne et fractions continues », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
. On note
sa mesure d'irrationalité, c'est-à-dire la borne supérieure (éventuellement infinie) de l'ensemble des réels
tels que
pour une infinité de couples
.
- Pourquoi a-t-on toujours
?
- Soit
la borne inférieure de l'ensemble des réels
pour lesquels :
- il existe
tel que
pour tout rationnel
.
- Démontrer que
. (Indication : montrer que
et que
.)
- Démontrer que la mesure d'irrationalité de tout rationnel est égale à
.
Solution
- Pour
, on a
pour une infinité de couples : par exemple, on choisit arbitrairement
, puis
tel que
.
-
- Soit
. Alors, on n'a
que pour un nombre fini de couples
tels que
. Notons-les
. Pour eux, on a
avec
(>0). Pour tous les autres, on a
. En posant
, ceci prouve que
, et par passage à la limite,
.
- Soient
et
. Alors, il existe
tel que
pour tout rationnel
. Or pour
suffisamment grand,
. Et pour chacune des petites valeurs de
qui ne vérifient pas cela (et qui sont en nombre fini), on n'a
que pour un nombre fini de valeurs de
. Finalement, on n'a donc
que pour un nombre fini de couples
, ce qui prouve que
, et par passage à la limite,
.
- Supposons que
. On sait déjà que
.
- Montrons que
. Soit
. Les couples
tels que
sont en nombre fini car cela implique
donc
, puis
.
- Alternativement, montrons que
. Pour tout rationnel
, on a
pour
.
Soit
un irrationnel. On pose
et
.
- Déduire du théorème d'approximation de Dirichlet que
est infini.
- En déduire que la mesure d'irrationalité de
est supérieure ou égale à
.
Solution
- La distance de
à
est nulle car d'après le théorème d'approximation de Dirichlet,
. Or
. Donc
est infini. Une variante consiste (toujours à l'aide du théorème d'approximation de Dirichlet) à définir par récurrence une suite infinie de rationnels
tels que la suite des
soit strictement décroissante, ce qui implique que ces rationnels sont distincts : cf. Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), 2010 [lire en ligne], p. 6-7 ou Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, 2004 [lire en ligne], p. 2-3 .
- Par conséquent,
est infini, donc (avec les notations de l'exercice précédent)
.
- Montrer qu'un réel
est de Liouville (c'est-à-dire de mesure d'irrationalité infinie) si et seulement si pour tout entier
, il existe des entiers
et
tels que
.
- En déduire que pour tout entier
et toute suite
d'entiers compris entre
et
, le nombre
est de Liouville, à condition bien sûr qu'une infinité de
soient non nuls. Indication : poser
et
.
- En déduire que l'ensemble des nombres de Liouville a la puissance du continu.
Solution
- Si (avec les notations de l'exercice 2-1)
est infini alors, pour tout entier
, on a
pour une infinité de couples
. Or on n'a
que pour un nombre fini d'entiers
. Il existe donc des entiers
et
tels que
. Réciproquement, s'il existe une telle suite de couples
alors
est minoré par tout réel
. En effet, on a
pour tous les
, et les rationnels
correspondants forment un ensemble infini (donc les couples
aussi), puisque
.
- Pour tout entier
,
et
donc
.
- L'application
avec
, est injective et à valeurs dans les nombres de Liouville.
Démontrer la proposition suivante du cours : si
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{-2}=0,\quad &h_{-1}=1,\quad &h_{p}=a_{p}h_{p-1}+h_{p-2}\\k_{-2}=1,\quad &k_{-1}=0,\quad &k_{p}=a_{p}k_{p-1}+k_{p-2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7185525f6ea13d5dd70a372f74a533b631f05c)
alors (
) :
;
;
.
Solution
- La seconde égalité est immédiate et la première se démontre par récurrence : la formule est vraie pour
, et si elle l'est à un ordre
alors, en remplaçant l'indéterminée
par la fraction rationnelle
dans l'égalité
,
- on obtient bien :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{0},a_{1},\ldots ,a_{p},a_{p+1}\right]&={\frac {(a_{p}+{\frac {1}{a_{p+1}}})h_{p-1}+h_{p-2}}{\left(a_{p}+{\frac {1}{a_{p+1}}}\right)k_{p-1}+k_{p-2}}}\\&={\frac {a_{p+1}(a_{p}h_{p-1}+h_{p-2})+h_{p-1}}{a_{p+1}(a_{p}k_{p-1}+k_{p-2})+h_{p-1}}}\\&={\frac {a_{p+1}h_{p}+h_{p-1}}{a_{p+1}k_{p}+h_{p-1}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab340b963866b976d73f42ce3dbd1506f19a425)
- La seconde égalité est immédiate et la première se déduit de la définition de
et
:
.
- joint les deux procédés :
,
- d'où l'équation finale (dès
), après initialisation de la récurrence par
.
Remarquons que d'après l'équation 3, l'équation 2 se réécrit :
.
- Soient
,
et
. Vérifier que
.
- En déduire la fin de la preuve du théorème de bijection entre irrationnels et fractions continues infinies, c'est-à-dire : soient
une fraction continue simple infinie,
la limite (irrationnelle) de la suite de ses réduites et
la fraction continue de
; montrer (par récurrence bien fondée) que
.
- En déduire également qu'un rationnel n'a qu'un développement (en fraction continue simple finie) de la forme
avec
(donc n'a que deux développements, le second étant
).
Solution
(H&W, th. 159-160 et 169-170)
.
- Notons
l'irrationnel
. D'après le corollaire 1' de la formule 1 démontrée dans l'exercice précédent,
. Notons d'autre part
le
-ième quotient complet du développement de
en fraction continue. Par construction,
. Supposons que
. Alors,
, si bien que de proche en proche,
pour tout
de
à
, en particulier
(on peut aussi démontrer cette égalité plus directement, grâce aux formules 2 et 2'). Or par définition,
et d'après la question précédente,
. Donc
.
- Soient
avec
,
,
et par exemple
. Alors, par le même raisonnement que dans la question précédente,
et
, donc
et
.
Soient
un irrationnel,
la suite de ses réduites et
un rationnel (
).
- On rappelle (cf. preuve du théorème de meilleure approximation) que pour tout
tel que
, on a
. Montrer que pour un tel
,
.
- Montrer qu'il existe
tel que
et déduire de la question précédente que pour un tel
,
.
- En déduire que si
alors
est égal à l'une des réduites de
.
- Application : soient
un entier positif non carré et
deux entiers strictement positifs tels que
.
Montrer que
et en déduire que
est l'une des réduites de
.
- Cette propriété complète le devoir sur l'équation de Pell-Fermat.
- Utilité du facteur
[1] : trouver une fraction
telle que
mais qui ne fait pas partie des réduites de
.
Solution
.
et
, donc il existe un plus petit
tel que
. Pour un tel
,
.
- Si
alors
donc
.
(car
et
), donc
. Par ailleurs,
. Donc
, si bien que
.
- D'après la question précédente,
est donc l'une des réduites de
.
- Les deux premiers dénominateurs des réduites de
sont
et
, donc une fraction de dénominateur
ne fera pas partie des réduites. Comme
, la plus proche est
. On trouve
.
Cet exercice constitue une démonstration du théorème de Lagrange sur les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang.
Soient
un irrationnel et, dans son développement en fraction continue,
la suite des quotients complets et
celle des quotients partiels.
- Montrer que si
est
-périodique (
) à partir du rang
alors
est un irrationnel quadratique, c'est-à-dire algébrique de degré 2 et en déduire qu'alors,
aussi.
Indication : d'après l'équation générique
vue dans l'exercice 2-4, on a
et de même,
pour certains entiers
avec
.
- Réciproquement, dans toute la suite de l'exercice, on suppose que
est racine d'un polynôme de degré 2 à coefficients entiers, noté
. En utilisant que
, construire par récurrence une suite de couples
telle que
soit racine du polynôme
.
- Vérifier que la suite des discriminants
est constante.
- Pour tout irrationnel quadratique
, notons
son « conjugué », c'est-à-dire l'autre racine de son polynôme minimal sur
. Calculer le produit
en fonction des coefficients de
.
- Un petit lemme utile pour les deux questions suivantes : montrer que pour tout irrationnel quadratique
et tous rationnels
et
, on a
et
.
Indication : déterminer d'abord le polynôme minimal de
, en fonction de
,
et des coefficients
(« trace » de
) et
(« norme » de
) du polynôme minimal
de
. Faire de même pour
.
- Montrer que pour au moins un
,
(en montrant que sinon,
et
auraient même fraction continue, ce qui est absurde).
- Pour un tel
, démontrer que
et en déduire que
et
sont de signes contraires.
- En déduire que les coefficients de
ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs.
- En déduire que
et
sont périodiques à partir d'un certain rang.
- Le vérifier sur l'exemple
et calculer la suite des polynômes
associés, ainsi que les réduites jusqu'à l'indice
et un encadrement de
.
Solution
- Si
alors
(avec
et
) donc
avec
, irréductible sur
puisque
est irrationnel. En remplaçant
par
dans cette équation et en chassant les dénominateurs, on en déduit :
, qui est elle aussi une équation de degré 2 car le coefficient de
est
.
- Puisque (par hypothèse de récurrence)
, l'irrationnel
est racine de
donc il suffit de poser
et
. On aura bien
car par hypothèse de récurrence,
donc
est non nul et irréductible sur
.
- Immédiat.
.
-
- Soit
. Alors,
donc
est quadratique,
,
et
.
- Soit maintenant
. Alors,
donc
est quadratique,
,
et
.
- D'après la question précédente,
. Si tous les
pour
étaient supérieurs à
, cette suite d'égalités constituerait exactement la décomposition de
en fraction continue et l'on aurait donc
.
: par récurrence, en utilisant que
. Puis
et
de signes contraires : d'après la question 4 et le fait que
.
- Immédiat, d'après la question précédente et la question 3.
- D'après la question précédente, la suite
ne prend qu'un nombre fini de valeurs, donc la suite
également. Si
alors la suite
est
-périodique à partir du rang
, donc la suite
aussi.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Donc
,
,
,
et
.
donc
est compris entre
et
donc
.
Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Galois sur les fractions continues purement périodiques.
Soient
un irrationnel quadratique,
la suite de ses quotients complets,
la suite de leurs conjugués et
la suite de ses quotients partiels. D'après l'exercice précédent, ces suites sont donc
-périodiques à partir d'un certain rang (pour un certain entier
).
- On pose
. Montrer que
.
- On suppose que
. D'après l'exercice précédent (question 7), tous les
sont donc positifs. Montrer qu'ils sont même supérieurs à
, et que le développement de
en fraction continue est
. En déduire que
est un irrationnel quadratique « réduit », c'est-à-dire que
et
, ou encore :
.
- Réciproquement, on suppose que
est réduit. Montrer qu'alors, pour tout
,
est la partie fractionnaire de
, et en déduire que
.
Solution
donc (cf. « petit lemme » de l'exercice précédent)
, ce qui se réécrit
, ou encore :
.
- Les
sont positifs à partir d'un certain rang d'après l'exercice précédent, donc ils sont tous positifs puisqu'ils forment une suite périodique. De même, puisqu'ils sont supérieurs à
à partir d'un certain rang (car
), ils sont tous supérieurs à
. De plus, d'après la question précédente,
. Donc par définition du développement en fraction continue,
. Enfin,
donc
(c'est-à-dire
) et
donc
(c'est-à-dire
).
- Par hypothèse,
(donc
) et
. D'après la question 1, tous les
sont alors supérieurs à
(par récurrence) et l'équation
est donc exactement la décomposition de
en partie entière plus partie fractionnaire. Par conséquent, si
alors (d'après le « petit lemme »)
donc (en prenant les inverses des parties fractionnaires)
donc (à nouveau d'après le « petit lemme »)
. Ceci prouve la nullité du rang à partir duquel la suite
(donc aussi la suite
) est
-périodique.
Cet exercice constitue une démonstration du corollaire de Legendre sur les fractions continues des racines carrées de rationnels.
- Soit
un rationnel non carré d'un rationnel, et soit
la partie entière de
. Montrer que l'irrationnel quadratique
est « réduit » (notion définie dans l'exercice précédent). Son développement est donc purement périodique :
. Écrire de deux façons (en fonction de
et des
) le développement en fraction continue de
et en déduire qu'il est de la forme
.
- Réciproquement, soit
un irrationnel dont le développement en fraction continue est de la forme
(ce qui implique
). Écrire le développement en fraction continue de
et en déduire que
puis, que
.
- Calculer les développements en fraction continue[2] de
et
.
Solution
et
donc
est réduit.
On a d'une part
et d'autre part (d'après l'exercice précédent)
donc
. Par conséquent,
, etc. et la conclusion s'ensuit.
donc (d'après l'exercice précédent)
. Par conséquent,
, donc le nombre
(rationnel par définition de
) est égal à
.
,
,
,
,
, donc
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, donc
.
(Exercice iii de Baker p. 59.)
Soient
,
la racine positive de l'équation
et
l'autre racine.
- Montrer que
est irrationnel.
- Montrer que les dénominateurs des réduites
du développement en fraction continue
sont donnés par
.
- Pour
, reconnaître le réel
et la suite
.
Solution
-
- Première méthode : puisque
avec
, il suffit de montrer que
.
n'est pas le carré d'un entier car si
,
et si
,
(ou encore : car
n'est pas un carré et pour
, la distance entre
et le carré suivant,
, est
). Ce n'est donc pas non plus le carré d'un rationnel car si
avec
entiers positifs premiers entre eux alors
donc
.
- Deuxième méthode : puisque
et
, le développement de
en fraction continue est
. Ce développement est infini donc
est irrationnel.
(cf. seconde méthode ci-dessus). D'après la définition par récurrence de la suite
, la formule voulue est vraie pour
et
et (en utilisant que
et
) se propage par récurrence à tout
.
- Pour
,
est le nombre d'or et
est la suite de Fibonacci (à un décalage d'indice près).
On cherche à faire le lien (utilisé dans le devoir sur les nombres équivalents) entre les fractions continues de deux irrationnels opposés,
.
- Exprimer
en fonction de
.
- Vérifier l'égalité (entre fractions rationnelles en les indéterminées
) :
.
- En déduire que si
alors
.
- En déduire que si
alors
![{\displaystyle b_{1}=1,\quad b_{2}=a_{1}-1\quad {\text{et}}\quad \forall k\geq 3\quad b_{k}=a_{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3953fdbddeeda5f5e288eaed52471bc0b4d1ab6)
- (indication : intervertir les rôles de
et
).
Solution
.
.
- Si
, on déduit de la question précédente que
![{\displaystyle -x=-[a_{0},1,[a_{2},a_{3},\dots ]]=[-a_{0}-1,[a_{2},a_{3},\dots ]+1]=[-a_{0}-1,a_{2}+1,a_{3},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516c351c39369981ca6c5e015f16ec634ee15703)
- et l'on a bien
,
et
.
- On retrouve ainsi que
et l'on obtient de plus le résultat annoncé.
- Si
, posons
![{\displaystyle a'_{0}=-a_{0}-1,\quad a'_{1}=1,\quad a'_{2}=a_{1}-1,\quad \forall k\geq 3\quad a'_{k}=a_{k-1}\quad {\text{et}}\quad x'=[a'_{0},a'_{1},\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d375951e15ac0fb9551091a76f79b4443d295abb)
- (on a bien
et
). D'après la question précédente,
![{\displaystyle -x'=[-a'_{0}-1,a'_{2}+1,a'_{3},\dots ]=[a_{0},a_{1},a_{2},\dots ]=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81135eb8ff26497cd9dd36862e78910a68e4ce00)
- donc
, ce qui est le résultat voulu (joint au fait, à nouveau, que
).
- Soit
. Démontrer que
.
- Quel(s) théorème(s) ce résultat illustre-t-il ?
Solution
,
(car
),
,
(car
, car
, car
),
, donc
et
, si bien que
.
Une autre méthode, au lieu d'appliquer l'algorithme au membre de gauche, est de développer celui de droite :
et
donc
et l'on retrouve ainsi
, d'où
.
Par exemple,
.
- Ce résultat illustre les théorèmes de Lagrange (la périodicité de la fraction continue à partir d'un certain rang caractérise les irrationnels quadratiques) et de Legendre (lorsque cet irrationnel est la racine carrée d'un rationnel, forme particulière de la période — ici
— et début de la périodicité dès l'indice 1).
- ↑ Pour plus de précisions, voir l'article de Dominique Barbolosi et Hendrik Jager, « On a theorem of Legendre in the theory of continued fractions », Journal de théorie des nombres de Bordeaux, vol. 6, no 1, 1994, p. 81-94 [texte intégral].
- ↑ Le développement de
, pour tout entier naturel non carré
, est disponible en ligne : Eric W. Weisstein, « Periodic Continued Fraction », sur MathWorld.
Devoirs :