Leçons de niveau 16

Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Principe local-global pour les carrés

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Principe local-global pour les carrés
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Devoir no4
Leçon : Introduction à la théorie des nombres

Ce devoir est de niveau 16.

Dev préc. :Groupe des inversibles de ℤ/n
Dev suiv. :Équation de Pell-Fermat
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Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Principe local-global pour les carrés
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Soit un entier relatif non carré. On se propose de démonter qu'alors, il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels n'est pas un carré (ce qui affine le théorème d'Euclide), en utilisant la loi de réciprocité quadratique étendue au symbole de Jacobi, mais au lieu d'utiliser, comme dans l'exercice 4-15, le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, on va simplement raisonner comme Euclide en montrant que pour tout ensemble fini de nombres premiers, il existe un nombre premier n'appartenant pas à cet ensemble et modulo lequel n'est pas un carré.

On va distinguer trois cas, selon la parité des exposants (non tous pairs) dans la décomposition

,

où les sont des nombres premiers impairs distincts.

  1. On suppose dans cette question que ne sont pas tous pairs : par exemple (quitte à permuter les ) est impair. Soit un ensemble fini de nombres premiers différents de .
    1. Montrer qu'il existe un entier naturel non carré et congru à (donc impair).
    2. Soit sa décomposition en facteurs premiers. En écrivant de deux façons le symbole de Jacobi , montrer que l'un au moins des est égal à .
    3. Conclure.
  2. On suppose maintenant que sont pairs et impair. Soit un ensemble fini de nombres premiers impairs.
    1. Montrer qu'il existe un entier naturel congru à et premier avec .
    2. Conclure en procédant comme dans la question précédente.
  3. On suppose enfin que sont pairs et impair. Soit un ensemble fini de nombres premiers. En considérant l'entier , conclure de même.

Référence[modifier | modifier le wikicode]

Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, coll. « GTM » (no 84), 1990 [lire en ligne], p. 57-58 , ne traitent que le cas d'un entier naturel non carré. Autrement dit : et la question 3 n'est pas envisagée. Par ailleurs, ils commencent par se ramener au cas où est sans facteur carré (sans y gagner vraiment).