Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité

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Dérivabilité
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Chapitre no 4
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Continuité
Chap. suiv. :Relations de comparaison

Exercices :

Inégalités
Exercices :Dérivabilité
Exercices :Formule de Simpson
Exercices :Théorème de Darboux
Exercices :Inégalité des accroissements finis généralisée
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Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité
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Dérivabilité : définitions[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons les définitions de la leçon « Fonction dérivée » :



On peut donner une définition équivalente (dont l'un des avantages est qu'elle se généralise au calcul différentiel à plusieurs variables) :




Remarque : L'expression est un développement limité de au voisinage de à l’ordre 1 (c'est-à-dire une approximation affine de au voisinage de ).

On a alors le lien avec la continuité :



La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple ci-dessous de la fonction valeur absolue.

Le graphe de la fonction valeur absolue a un point anguleux en 0.
Le graphe de la fonction racine carrée a une tangente verticale en 0.

Parfois, en certains points, même si est continue en , elle n'y admet pas de nombre dérivé (cf. figures ci-contre).

En revanche, il existe parfois des « demi-tangentes » à droite et/ou à gauche. Cela conduit à des définitions de nombre dérivé « à gauche » ou « à droite ».




Dérivée et opérations[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème




Exemples : Remarquez que dans ces exemples, on utilise le formulaire du paragraphe suivant.

  1. Calculer la dérivée de la fonction .
    On pose et .
    Donc : .
  2. Calculer la dérivée de la fonction .
    On pose et .
    Donc : .
  3. Calculer la dérivée de la fonction .
    On pose et .
    Donc : .
  4. Calculer la dérivée d'une fonction de la forme .
    On a et ,
    donc , c'est-à-dire : .



Par conséquent, si ne s'annule pas sur , alors est dérivable sur et .

Dérivée des fonctions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Domaine de définition Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée Condition
(ou si ) (ou si )
arctan

Il faut être capable de démontrer ces résultats : deux de ces démonstrations sont proposées dans les deux boîtes déroulantes ci-dessous. On en trouve d'autres dans le chapitre « Dérivées usuelles » de la leçon « Fonction dérivée ».

Théorèmes sur la dérivation[modifier | modifier le wikicode]

Voici une condition nécessaire mais pas suffisante pour un extremum local.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Attention

  • La réciproque est fausse : par exemple, la fonction , en , a une dérivée nulle mais pas d'extremum local.
  • L'hypothèse « intervalle ouvert » (ou encore : n'est pas une borne de l'intervalle) est nécessaire. Par exemple, la fonction admet un minimum en et un maximum en , mais sa dérivée ne s'annule en aucun point.
Début d’un théorème


Fin du théorème
Illustration du théorème de Rolle
Le théorème de Rolle permet d'affirmer qu’il existe au moins un réel tel que la tangente à la courbe de au point soit « horizontale ».
Début d’un théorème


Fin du théorème


Illustration du théorème des accroissements finis
Graphiquement, le théorème des accroissements finis s'interprète en disant qu’il existe, sur la courbe de , au moins un point , strictement compris entre les extrémités et , et en lequel la tangente est parallèle à la corde reliant ces extrémités.

Ce théorème a quatre corollaires importants : l'inégalité des accroissements finis, le théorème « limite de la dérivée », la règle de l'Hôpital et, surtout, le lien entre sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée.




On verra une application de cette inégalité, à propos des fonctions lipschitziennes, au chapitre « Continuité uniforme ».

Voici enfin un théorème bien pratique pour calculer un nombre dérivé :

Début d’un théorème


Fin du théorème


L'énoncé suivant généralise la « règle simple de L'Hôpital » (qui n'est qu'une application directe de la définition d'un nombre dérivé). Il s'applique à des fonctions définies et dérivables à droite (ou à gauche) d'un point (c'est-à-dire réel ou infini), mais pas en ce point :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarques

Dérivée et sens de variation[modifier | modifier le wikicode]

La propriété qui suit fournit un critère pour le sens de variation d'une fonction dérivable :



Pour des exemples, voir le chapitre « Dérivée et sens de variation » et ses exercices, dans la leçon « Étude et tracé d'une fonction ».

Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur[modifier | modifier le wikicode]

Soit un intervalle de .

Dérivées d'ordre supérieur[modifier | modifier le wikicode]


(exemple à faire)

Attention à ne pas confondre la dérivée n-ième avec la puissance n-ième .



Cette propriété se démontre par récurrence sur en utilisant la linéarité de la dérivation.

Pour le produit, on voit apparaître des coefficients binomiaux :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Cette formule a la même forme et se démontre de la même façon que la formule du binôme.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Enfin, on a la propriété suivante qui se généralisera en calcul différentiel :


Classes de régularité[modifier | modifier le wikicode]



Donc signifie simplement que est continue sur .

On peut aussi parler de la classe , avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne () :