Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme

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Dans tout ce chapitre, $f:I\to \mathbb {R}$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.

Les notions de fonction uniformément continue / höldérienne / lipschitzienne seront étendues aux espaces métriques à peu de frais, dans la leçon « Topologie générale » (niveau 16).

Définition

Voici une notion de continuité plus fine que la continuité « simple ». Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le théorème de Weierstrass sur l'approximation de fonctions.

Définition

$f$ est dite uniformément continue sur $I$ si :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall \left(x,y\right)\in I^{2}\quad \left|x-y\right|\leq \delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq \varepsilon$.

La continuité « simple » de $f$ sur $I$ s'écrit par comparaison : $\forall \varepsilon >0\quad \forall x\in I\quad \exists \delta >0\quad \forall y\in I\quad \left|x-y\right|\leq \delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq \varepsilon$.

Le terme « uniforme » signifie que le choix de $\delta$ en fonction de $\varepsilon$, dans la définition de la continuité uniforme, ne dépend pas du point $x$ considéré ; il est uniforme sur $I$.

Propriétés et exemples

D'après la comparaison ci-dessus des deux définitions, on a immédiatement :

Remarque

Toute fonction uniformément continue est continue.

La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :

Début de l'exemple

Exemple d'application non uniformément continue

L'application $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :

$\exists \varepsilon >0\quad \forall \delta >0\quad \exists x,y\in \mathbb {R} \quad \left|x-y\right|\leq \delta {\text{ et }}\left|g(x)-g(y)\right|>\varepsilon$.

Il suffit de choisir $\varepsilon =2$. Pour tout $\delta >0$, soit $x$ (resp. $y$) le réel égal à ${\frac {1}{\delta }}+\delta$ (resp. ${\frac {1}{\delta }}$). Alors :

$\left|x-y\right|\leq \delta \quad {\text{et}}\quad \left|g(x)-g(y)\right|=\left({\frac {1}{\delta ^{2}}}+2\delta {\frac {1}{\delta }}+\delta ^{2}\right)-{\frac {1}{\delta ^{2}}}=2+\delta ^{2}>\varepsilon$,

ce qui termine la démonstration.

Fin de l'exemple

Un autre contre-exemple est la fonction $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \sin(\mathrm {e} ^{x})$.

On a cependant une réciproque partielle :

Début d’un théorème

Théorème de Heine

Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue.

Fin du théorème

Démonstration

Démontrons la contraposée, en supposant $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point de $\left[a,b\right]$.

Par hypothèse, il existe $\varepsilon >0$ tel que

$\forall \delta >0\quad \exists x,y\in \left[a,b\right]\quad \left|x-y\right|<\delta {\text{ et }}\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\geq \varepsilon$

donc (en prenant $\delta ={\frac {1}{n}}$) pour tout entier $n>0$, on peut alors choisir dans $\left[a,b\right]$ deux éléments $x_{n}$ et $y_{n}$ tels que

$\left|x_{n}-y_{n}\right|<{\frac {1}{n}}$ et $\left|f\left(y_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|\geq \varepsilon$.

La suite $\left(x_{n}\right)$ étant à valeurs dans $\left[a,b\right]$, elle est bornée. Le théorème de Bolzano-Weierstrass assure qu'il existe une sous-suite $\left(x_{\varphi \left(n\right)}\right)$ qui converge. Soit $\ell$ sa limite (qui appartient à $\left[a,b\right]$, par passage à la limite dans les inégalités). La relation $\left|x_{\varphi \left(n\right)}-y_{\varphi \left(n\right)}\right|<{\frac {1}{\varphi \left(n\right)}}\leq {\frac {1}{n}}$ montre que $\left(y_{\varphi (n)}\right)$ converge aussi vers $\ell$.

Il s'ensuit que pour tout $\delta >0$, il existe $x,y\in \left]\ell -\delta ,\ell +\delta \right[\cap \left[a,b\right]$ tels que

$\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\geq \varepsilon$

donc tels que

$\left|f\left(x\right)-f\left(\ell \right)\right|\geq \varepsilon /2$ ou $\left|f\left(y\right)-f\left(\ell \right)\right|\geq \varepsilon /2$,

ce qui prouve que $f$ est discontinue au point $\ell$.

 

Fonctions lipschitziennes et höldériennes

Définition : fonction lipschitzienne

$f$ est dite lipschitzienne sur $I$ si, pour une certaine constante $k$ :

$\forall x,y\in I\quad \left|f(x)-f(y)\right|\leq k\left|x-y\right|$.

On dit alors que $f$ est $k$-lipschitzienne. S'il existe de tels $k$ alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de $f$.

Caractérisation parmi les fonctions dérivables

Une fonction dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.

Démonstration

Si $f$ est $k$-lipschitzienne sur un intervalle $I$ alors, pour tous $x,y\in I$ distincts, $\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\leq k$. Par passage à la limite quand $y\to x$, on en déduit que $\left|f'\left(x\right)\right|\leq k$ pour tout $x\in I$.

Réciproquement, si $|f'|\leq k$ alors $f$ est $k$-lipschitzienne : c'est l'inégalité des accroissements finis.

 

Début de l'exemple

Exemples et contre-exemples

• Si $f$ est de classe C¹ sur un intervalle $I$ fermé borné alors $f$ est lipschitzienne sur $I$ (en effet, $f'$, continue sur $I$, est bornée d'après le théorème des bornes).
• Soit $\alpha \in \left]0,1\right[$. Pour tout $\varepsilon >0$, la fonction $f:x\mapsto x^{\alpha }$ n'est pas lipschitzienne sur $\left[0,\varepsilon \right]$ ni même (ce qui par continuité est en fait équivalent) sur $\left]0,\varepsilon \right]$ :
  • Démonstration directe : $\forall x>0\quad {\frac {f(x)-f(0)}{x}}=x^{\alpha -1}$, qui n’est pas bornée au voisinage de $0$.
  • Démonstration en utilisant la dérivée : $f':\left]0,\varepsilon \right]\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \alpha x^{\alpha -1}$ n'est pas bornée.
• Soit $\alpha \in \left]1,+\infty \right[$. Pour tout $A>0$, la fonction $f:x\mapsto x^{\alpha }$ n'est pas lipschitzienne sur $\left]A,+\infty \right[$ :
  • Démonstration directe : $\forall x>0\quad {\frac {f(2x)-f(x)}{2x-x}}=\left(2^{\alpha }-1\right)x^{\alpha -1}$, qui n'est pas bornée au voisinage de l'infini.
  • Démonstration en utilisant la dérivée : $f':\left]A,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \alpha x^{\alpha -1}$ n'est pas bornée.

Fin de l'exemple

Définition : fonction höldérienne

$f$ est dite höldérienne sur $I$ si, pour un certain $a\in \left]0,1\right]$ et une certaine constante $k$ :

$\forall x,y\in I\quad \left|f(x)-f(y)\right|\leq {k\left|x-y\right|^{a}}$.

On dit alors que $f$ est $a$-höldérienne : si $a=1$ , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.

Début de l'exemple

Exemples

• La fonction puissance d'exposant $a$, pour $0<a\leq 1$, est $a$-höldérienne (cf. cet exercice corrigé du chapitre « Dérivabilité »).
• En particulier, la fonction $\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\sqrt {x}}$ est ${\tfrac {1}{2}}$-höldérienne. En effet, on démontre facilement la majoration suivante :
  $\forall x,y\in \mathbb {R} _{+}\quad \left|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right|\leq {\sqrt {\left|x-y\right|}}$.

Fin de l'exemple

Propriété

Toute fonction höldérienne est uniformément continue.

Démonstration

Il suffit de prendre $\delta \leq \left(\varepsilon /k\right)^{1/a}$ dans la définition de la continuité uniforme.

 

La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :

Début de l'exemple

Exemple de fonction non höldérienne

La fonction $f$ définie sur $\left[0,1/2\right]$ par : $f(0)=0$ et $\forall x\in \left]0,1/2\right]\quad f(x)=1/\ln x$ est continue donc (d'après le théorème de Heine) uniformément continue, mais elle n'est $a$-höldérienne pour aucune valeur de $a$.

Fin de l'exemple