Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme

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Continuité uniforme
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Chapitre no 8
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Convexité
Chap. suiv. :Courbes asymptotes
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Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme
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Dans tout ce chapitre, est une fonction définie sur un intervalle .

Les notions de fonction uniformément continue / höldérienne / lipschitzienne seront étendues aux espaces métriques à peu de frais, dans la leçon « Topologie générale » (niveau 16).

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Voici une notion de continuité plus fine que la continuité « simple ». Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le théorème de Weierstrass sur l'approximation de fonctions.




La continuité « simple » de sur s'écrit par comparaison : .

Le terme « uniforme » signifie que le choix de en fonction de , dans la définition de la continuité uniforme, ne dépend pas du point considéré ; il est uniforme sur .

Propriétés et exemples[modifier | modifier le wikicode]

D'après la comparaison ci-dessus des deux définitions, on a immédiatement :



La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Un autre contre-exemple est la fonction .

On a cependant une réciproque partielle :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Fonctions lipschitziennes et höldériennes[modifier | modifier le wikicode]



On dit alors que est -lipschitzienne. S'il existe de tels alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de .




Début de l'exemple


Fin de l'exemple



On dit alors que est -höldérienne : si , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple



La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant :

Début de l'exemple


Fin de l'exemple