Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison

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Relations de comparaison
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Chapitre no 5
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Dérivabilité
Chap. suiv. :Développements limités

Exercices :

Calcul de limites
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Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison
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Soient (comme au chapitre 2 sur les limites) une partie de et un point adhérent à . Par exemple :

  • un intervalle et une extrémité (finie ou infinie) de cet intervalle ;
  • et (ce qui permet d'englober le cas des suites).

Soient et deux fonctions de dans .

Définitions : les notations de Landau[modifier | modifier le wikicode]


Lorsque ne s'annule pas au voisinage de , ces trois notions sont donc respectivement équivalentes à :

est bornée au voisinage de , et .

En particulier, pour tout réel , on a si et seulement si .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Propriétés des trois relations[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple


Fin de l'exemple



Multiplication[modifier | modifier le wikicode]



On en déduit par exemple que :

  • pour tout entier naturel (et même tout entier relatif, si ne s'annule pas). Nous verrons plus loin une règle analogue pour un exposant non entier ;
  • , si ne s'annule pas.

Addition[modifier | modifier le wikicode]

Panneau d’avertissement Les relations ne sont pas compatibles avec l'addition. En particulier, on ne peut généralement pas additionner les équivalents.
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


On a cependant un cas favorable assez fréquent :


Référence pour le point 2 : S. Balac et F. Sturm, Algèbre et analyse, PPUR, 2003 [lire en ligne], p. 692 .

Composition[modifier | modifier le wikicode]

Soient et adhérent à .



Début de l'exemple


Fin de l'exemple